第七章——轴向拉伸与压缩
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轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
第七章轴向拉伸与压缩案例
④强度校核与结论：
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解：1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： ① 理论与实际差别 ：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 ：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0 ～ 5.0，甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 ， [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 ： FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 ： FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 u ：
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解：1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： ① 理论与实际差别 ：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 ：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0 ～ 5.0，甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 ， [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 ： FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 ： FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 u ：
轴向拉伸与压缩教学教案
轴向拉伸与压缩教学教案第一章：轴向拉伸与压缩概念介绍教学目标：1. 让学生理解轴向拉伸与压缩的基本概念。
2. 让学生了解轴向拉伸与压缩的物理现象及其在实际中的应用。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩的定义。
2. 轴向拉伸与压缩的物理现象。
3. 轴向拉伸与压缩的应用实例。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解轴向拉伸与压缩的基本概念及其物理现象。
2. 通过实物展示或图片，使学生更直观地了解轴向拉伸与压缩的应用实例。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对轴向拉伸与压缩概念的理解程度。
2. 通过布置课后作业，让学生巩固所学内容。
第二章：轴向拉伸与压缩的基本理论教学目标：1. 让学生掌握轴向拉伸与压缩的基本理论。
2. 让学生了解轴向拉伸与压缩的计算方法。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩的基本力学原理。
2. 轴向拉伸与压缩的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解轴向拉伸与压缩的基本力学原理。
2. 通过示例，让学生了解轴向拉伸与压缩的计算方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对轴向拉伸与压缩基本理论的理解程度。
2. 通过布置课后作业，让学生巩固所学内容。
第三章：轴向拉伸与压缩的实验研究教学目标：1. 让学生了解轴向拉伸与压缩实验的原理。
2. 培养学生进行实验操作和数据处理的能力。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩实验的原理。
2. 轴向拉伸与压缩实验的操作步骤。
3. 实验数据的处理方法。
教学方法：1. 采用实验教学法，让学生亲身体验轴向拉伸与压缩实验。
2. 通过实验操作和数据处理，使学生更好地理解轴向拉伸与压缩的物理现象。
教学评估：1. 通过实验报告，评估学生对轴向拉伸与压缩实验原理的理解程度。
2. 通过实验操作和数据处理的评价，培养学生进行实验的能力。
第四章：轴向拉伸与压缩在工程中的应用教学目标：1. 让学生了解轴向拉伸与压缩在工程中的应用。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 轴向拉伸与压缩在工程中的应用实例。
轴向拉伸与压缩
m
P
m
N N P
F
x
0
N P0
NP
二 轴 向 拉 压 杆 的 内 力 与 轴 力 图
（3）轴力的符号规定 轴力的正负号：轴力以拉为正，以压为负。 也可以说，若轴力方向背离截面为正；指向截面 为负。 N N F F +
同一位臵处左、右侧截面上 内力分量必须具有相同的正负 号。
（二）轴力图 二 轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 轴 向 （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力， 拉 作轴力图。 压 （ 2 ）轴力图中：横坐标代表横截面位臵，纵轴代 杆 表轴力大小。标出轴力值及正负号（一般：正值画 的 内 上方，负值画下方）。 力 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改 与 轴 变轴力大小。 力 图
E tg
θ
P
细长杆受拉会变长变细，
受压会变短变粗
长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变形 粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形
P
L+L L
d-d d
d1
F
d
F l l1
横向变形
绝对变形 横向正应变
d d1 - d d d
规定，△l和△d伸长为正，缩短为负；ε和ε1 的正负号分别与△l和△d一致。因此规定：拉应 变为正，压应变为负。
（二）轴向拉压杆横截面上的正应力 研究方法：
三 轴 向 拉 压 杆 的 应 力
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
F
F
结论：横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
即
N A
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
机械设计基础——轴向拉伸与压缩
L1 L 伸长率: 伸长率: δ = × 100 % L A A1 断面收缩率 : ψ = × 100 A L —试件拉断后的标距
1
%
L —是原标距 A1 —试件断口处的最小横截面面积 A —原横截面面积。
ψ 、 值越大，其塑性越好。一般把 δ ≥5％的材 塑性材料，如钢材、铜、铝等；把 δ <5％的 料称为塑性材料 塑性材料 材料称为脆性材料 脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。 脆性材料
σs
O
ε
铸铁拉伸时的力学性能
σ
σb
铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没 有明显的直线部分和屈服阶段，无缩 颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很 小。断裂时曲线最高点对应的应力值 称为抗拉强度 σ b 。铸铁的抗拉强度 抗拉强度 较低。 曲线没有明显的直线部分，应力与应 变的关系不符合虎克定律。但由于铸 铁总是在较小的应力下工作，且变形 很小，故可近似地认为符合虎克定律。 通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。
σ max
FN max = ≤ [σ ] A
应用该条件式可以解决以下三类问题： 校核强度 、设计截面 、确定许可载荷 。
例1: 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ p 2MPa，油缸内径D＝75mm 2MPa D 75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活塞杆 σ 材料的许用应力[ ]＝50MPa [ ]＝50MPa，试校核活塞杆的强度。 d
σ
]= ]=
σs
σ
ns σb
nb
n s、n b是安全系 数: n s =1.2～2.5 =1.2～ n b ＝2.0～3.5 2.0～
5 拉(压)杆的强度计算
强度计算： 强度计算： 应用强度条件式进行的运算。 为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安 全工作的条件是：最大工作应力不超过材料 的许用应力。这一条件称为强度条件。 强度条件。 强度条件
材料力学之轴向拉伸和压缩
率作为弹性模量, 称为 割线弹性模量。
铸铁经球化处理成为球 墨铸铁后, 力学性能有 显著变化, 不但有较高 的强度, 还有较好的塑 性性能。
国内不少工厂成功地用 球墨铸铁代替钢材制造 曲轴、齿轮等零件。
2.6.4 金属材料在压缩时的力学性能
低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限ss都与拉
伸时大致相同。屈服阶段以后, 试样越压越扁, 横截面面积不断增大, 试样抗压能力也继续增高, 因而得不到压缩时的强度极限。
冷作时效不仅与卸载 后至加载的时间间隔 有关, 而且与试样所处 的温度有关。
2.6.3 其它金属材料在拉伸时的力学性能
工程上常用的塑性材 料, 除低碳钢外, 还有 中碳钢、高碳钢和合 金钢、铝合金、青铜、 黄铜等。
其中有些材料, 如Q345 钢, 和低碳钢一样, 有 明显的弹性阶段、屈 服阶段、强化阶段和 局部变形阶段。
并用s0.2来表示, 称为名义屈
服应力。
铸铁拉伸时的力学性能
灰口铸铁拉伸时的应 力—应变关系是一段微 弯曲线, 没有明显的直 线部分。
它在较小的拉应力下就 被拉断, 没有屈服和缩 颈现象, 拉断前的应变 很小, 伸长率也很小。 灰口铸铁是典型的脆性 材料。
铸铁拉断时的最大应力 即为其强度极限, 没有屈
比较图中的Oabcdef和d'def两条曲线, 可见在第 二次加载时, 其比例极限(亦即弹性阶段)得到了 提高, 但塑性变形和伸长率却有所降低。这种现 象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可 消除。
工程上经常利用 冷作硬化来提高 材料的弹性阶段。 如起重用的钢索 和建筑用的钢筋, 常用冷拔工艺以 提高强度。
在屈服阶段内的 最高应力和最低 应力分别称为上 屈服极限和下屈 服极限。
铸铁经球化处理成为球 墨铸铁后, 力学性能有 显著变化, 不但有较高 的强度, 还有较好的塑 性性能。
国内不少工厂成功地用 球墨铸铁代替钢材制造 曲轴、齿轮等零件。
2.6.4 金属材料在压缩时的力学性能
低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限ss都与拉
伸时大致相同。屈服阶段以后, 试样越压越扁, 横截面面积不断增大, 试样抗压能力也继续增高, 因而得不到压缩时的强度极限。
冷作时效不仅与卸载 后至加载的时间间隔 有关, 而且与试样所处 的温度有关。
2.6.3 其它金属材料在拉伸时的力学性能
工程上常用的塑性材 料, 除低碳钢外, 还有 中碳钢、高碳钢和合 金钢、铝合金、青铜、 黄铜等。
其中有些材料, 如Q345 钢, 和低碳钢一样, 有 明显的弹性阶段、屈 服阶段、强化阶段和 局部变形阶段。
并用s0.2来表示, 称为名义屈
服应力。
铸铁拉伸时的力学性能
灰口铸铁拉伸时的应 力—应变关系是一段微 弯曲线, 没有明显的直 线部分。
它在较小的拉应力下就 被拉断, 没有屈服和缩 颈现象, 拉断前的应变 很小, 伸长率也很小。 灰口铸铁是典型的脆性 材料。
铸铁拉断时的最大应力 即为其强度极限, 没有屈
比较图中的Oabcdef和d'def两条曲线, 可见在第 二次加载时, 其比例极限(亦即弹性阶段)得到了 提高, 但塑性变形和伸长率却有所降低。这种现 象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可 消除。
工程上经常利用 冷作硬化来提高 材料的弹性阶段。 如起重用的钢索 和建筑用的钢筋, 常用冷拔工艺以 提高强度。
在屈服阶段内的 最高应力和最低 应力分别称为上 屈服极限和下屈 服极限。
工程力学第7章++轴向拉伸与压缩
材料力学绪论
一、材料力学的任务 １、研究构件的承载能力 构件：组成结构或机械的部件。 构件：组成结构或机械的部件。 （1）衡量构件承载能力的强度要求： ）衡量构件承载能力的强度要求： 强度：构件抵抗破坏的能力。 强度：构件抵抗破坏的能力。不因发生断裂或过量 的塑性变形而失效。 的塑性变形而失效。 破坏——断裂或过量的塑性变形 断裂或过量的塑性变形 破坏 变形——构件尺寸与形状的变化。 构件尺寸与形状的变化。 变形 构件尺寸与形状的变化 弹性变形——外力解除以后可消失的变形。 外力解除以后可消失的变形。 弹性变形 外力解除以后可消失的变形 塑性变形——外力解除以后不能消失的变形。 外力解除以后不能消失的变形。 塑性变形 外力解除以后不能消失的变形
F
FN （－）FN
F
3、轴力图：轴力沿轴线变化的图形 轴力图：
F FN + F
4、轴力图的意义
① ② 直观反映轴力与截面位置变化关系； 直观反映轴力与截面位置变化关系；
x
确定出最大轴力的数值及其所在位置， 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截
面位置，为强度计算提供依据。 面位置，为强度计算提供依据。
7.2 截面法 轴力 轴力图： 轴力图： 一、内力
F1 物体内部某一部分与相邻部分间的 相互作用力。必须截开物体， 相互作用力。必须截开物体，内力才能 B C A M F2 显示。 显示。 处于平衡状态的物体， 处于平衡状态的物体，其任一部分 F3 也必然处于平衡状态。 也必然处于平衡状态 截面将物体截开， 沿C截面将物体截开，A部分在外力 F1 Fy My 作用下能保持平衡，是因为受到B 作用下能保持平衡，是因为受到B部分的 约束。 限制了A 约束。B限制了A部分物体在空间中相对 Mx A C 于 B的任何运动(截面有三个反力、三个 的任何运动(截面有三个反力、 F2 Fx 反力偶) 反力偶)。 Fz Mz
一、材料力学的任务 １、研究构件的承载能力 构件：组成结构或机械的部件。 构件：组成结构或机械的部件。 （1）衡量构件承载能力的强度要求： ）衡量构件承载能力的强度要求： 强度：构件抵抗破坏的能力。 强度：构件抵抗破坏的能力。不因发生断裂或过量 的塑性变形而失效。 的塑性变形而失效。 破坏——断裂或过量的塑性变形 断裂或过量的塑性变形 破坏 变形——构件尺寸与形状的变化。 构件尺寸与形状的变化。 变形 构件尺寸与形状的变化 弹性变形——外力解除以后可消失的变形。 外力解除以后可消失的变形。 弹性变形 外力解除以后可消失的变形 塑性变形——外力解除以后不能消失的变形。 外力解除以后不能消失的变形。 塑性变形 外力解除以后不能消失的变形
F
FN （－）FN
F
3、轴力图：轴力沿轴线变化的图形 轴力图：
F FN + F
4、轴力图的意义
① ② 直观反映轴力与截面位置变化关系； 直观反映轴力与截面位置变化关系；
x
确定出最大轴力的数值及其所在位置， 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截
面位置，为强度计算提供依据。 面位置，为强度计算提供依据。
7.2 截面法 轴力 轴力图： 轴力图： 一、内力
F1 物体内部某一部分与相邻部分间的 相互作用力。必须截开物体， 相互作用力。必须截开物体，内力才能 B C A M F2 显示。 显示。 处于平衡状态的物体， 处于平衡状态的物体，其任一部分 F3 也必然处于平衡状态。 也必然处于平衡状态 截面将物体截开， 沿C截面将物体截开，A部分在外力 F1 Fy My 作用下能保持平衡，是因为受到B 作用下能保持平衡，是因为受到B部分的 约束。 限制了A 约束。B限制了A部分物体在空间中相对 Mx A C 于 B的任何运动(截面有三个反力、三个 的任何运动(截面有三个反力、 F2 Fx 反力偶) 反力偶)。 Fz Mz
《建筑力学》_李前程__第七章_轴向拉伸与压缩
解:
Fl 3 wC1 3EI
wC 2
wB
wC 2
ql 4 128EI
ql 3 48EI
l 2
7ql4 384EI
wC
wC1
wC 2
Fl 3 3EI
7ql 4 384EI
=
wC1
F
+
wB
C
B
wC 2
B
l 2
B
q
l 2
3
解: 1.确定梁的约束力
FA
FB
ql 2
q
2.建立梁的弯矩方程
A
B
M (x) ql x 1 qx2 22
x
3.建立梁的挠曲线近似微分方程
FA
l
FB
d2w dx2
M (x) EI
1 EI
1 2
qlx
1 2
qx
2
4.对微分方程一次积分，得转角方程:
dw dx
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分
d2w dx2
M x
EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量。
上式积分一次得转角方程:
dw dx
1 EI
M x dx C
再积分一次，得挠度方程:
w
1 EI
M xdx
A
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案第一章：直杆轴向拉伸与压缩的基本概念1.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的定义；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
第二章：直杆轴向拉伸与压缩的变形分析2.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
3.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
第四章：拉伸与压缩时材料的力学性能4.1 学习目标1. 了解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 掌握拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.2 教学内容1. 拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.3 教学活动1. 讲解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 分析拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
第五章：实例分析与应用5.1 学习目标2. 能够应用所学知识解决实际问题。
5.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的实例分析；2. 应用所学知识解决实际问题。
5.3 教学活动1. 分析直杆轴向拉伸与压缩的实例；2. 解决实际问题，巩固所学知识。
第六章：弹性模量的概念与应用6.1 学习目标1. 理解弹性模量的定义及其物理意义；2. 掌握弹性模量在材料力学中的应用。
建筑力学课件：第7章拉伸和压缩
得杆内的最大应力为：
A
s max
FN max A
（7-3）
此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算
得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工
作应力。
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拉伸和压缩
13
例题 7-1 一横截面面积 A=400mm2 的等直
杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。
解：此杆的最大轴力为：
于它所在的截面。正应力的量纲为 力 长度2。在
国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其
中文代号是帕，国际代号是Pa (1 Pa 1 N/m2 ) 。
力学教程电子教案
拉伸和压缩
6
由于应力在截面上的变化规律还不知道，所 以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件 在受力变形后表面上的变形情况为根据，由表及 里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布 内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的 变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得 到以内力表示应力的公式。
力学教程电子教案
拉伸和压缩
3
§7-1 横截面上的应力
在第6章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面 上的内力——轴力FN。显然，它是横截面上法向分 布内力的合力。
F
F
F
FN
力学教程电子教案
拉伸和压缩
4
要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还 必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化 规律找出分布内力在各点处的集度——应力。杆件 横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号s 表示。 Nhomakorabeam
A FN
C
m
定义：法向分布内力的集度—
mm截面 C点处的正应力s 为：
轴向拉伸与压缩的概念
§7-1 刚体的平动
定义
在刚体内任取一直线，在运动过程中，这条 直线始终与它的最初位置平行。
平动刚体上各点的运动轨迹
z
A
rA
B
rB
o
vA
A1
aA
rA
2
vB
aB
rB B1
2
y
x
平动刚体上所有各点的运动轨迹、运动速度、 运动加速度皆相同
§7-2 刚体绕定轴的转动
7-3
vc
vB
O2 B 2
O2 B
z1 z2
1
O2 B
z2 z1
2n1
60
9.94
7-6
1
2n
60
20
2d 1r
2
1r
d
20 50
100 5t
1000
100 5t
2
5000
r2
2
2
d2
dt
1r(5)
d2
5000
b
杆作定轴转动,板做平动
O1 A E
O2
vA vC L
O
ac aA L
B
acn aAn L2
a
C
aC L2 2L 2
b
D
L 2 4
注意刚体运动与刚体上点的运动的区别
杆OA和O1B用十字形滑块D连接在一起，已知OO1＝ 6mm，杆OA作匀速转动，其角速度ω＝2rad/s。求杆
d2
d r
an r 2
a r
a r 4 2
定义
在刚体内任取一直线，在运动过程中，这条 直线始终与它的最初位置平行。
平动刚体上各点的运动轨迹
z
A
rA
B
rB
o
vA
A1
aA
rA
2
vB
aB
rB B1
2
y
x
平动刚体上所有各点的运动轨迹、运动速度、 运动加速度皆相同
§7-2 刚体绕定轴的转动
7-3
vc
vB
O2 B 2
O2 B
z1 z2
1
O2 B
z2 z1
2n1
60
9.94
7-6
1
2n
60
20
2d 1r
2
1r
d
20 50
100 5t
1000
100 5t
2
5000
r2
2
2
d2
dt
1r(5)
d2
5000
b
杆作定轴转动,板做平动
O1 A E
O2
vA vC L
O
ac aA L
B
acn aAn L2
a
C
aC L2 2L 2
b
D
L 2 4
注意刚体运动与刚体上点的运动的区别
杆OA和O1B用十字形滑块D连接在一起，已知OO1＝ 6mm，杆OA作匀速转动，其角速度ω＝2rad/s。求杆
d2
d r
an r 2
a r
a r 4 2
七-轴向拉伸与压缩
EE
0.2 名义屈服极限
o
图
o
0.2%
名义屈服极限：
对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生 0.2％的 塑性应变所对应的应力作为屈服极限，称之为名义屈服极限，用 σ0.2来 表示。
Ⅳ、铸铁拉伸时的力学性能
b
o
图
没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有屈服和 颈缩现象；拉断前应变很小，伸长率很小；
任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。
3、理论分析
（1）几何分析
所有小元素体（小方 格）变形一样。
x
u x
l l
y
z
v y
w z
0
Δx Δx +Δu
（2）物理分析
根据物理学知识，当变形为弹 性时，变形与力成正比。
结论：横截面上只有 ，且
均匀分布。
各纤维变 形相同
各纤维所受 内力相等
横截面上 的内力均 匀分布
2 2
FN2
3KN
2C
注：不论外力如何，轴力都画为正方向； 若求出的轴力为负，说明是压力。
(3) 作轴力图
FN /KN 2
O
x
3 思考：3-3截面的轴力如何？
几点说明：
(1)不能在外力作用处截取截面。 (2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。 (3)轴力与截面尺寸无关。 (4)轴力不能完全描述杆的受力强度。
2. 低碳钢拉伸的四个阶段：
（1）弹性阶段（oab段）
变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复；
Pe
b a
Oa段 —— 直线段，应力应变成线性关系
E ——胡克定律
O
E —— 材料的弹性模量(直线段的斜率)
建筑力学7轴向拉伸和压缩
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)
450 （MPa）
350
250
s
200
e
p
150
100
p e s
50
o
p
0.05
t
e
b b
0.15
1、弹性阶段（ oa 段）
oa 段为直线段， a 点对应的应力
称为比例极限，用 表示。 P
正应力和正应变成线性正比关系，
即遵循胡克定律， E
弹性模量E 和 的关系：
二、
工 程 实 例
• 桁架结构计算简图中，各杆均为二力杆：拉杆或压杆
上弦杆 （压杆）
腹杆 （压或
拉）
A
P
P
B
P
P
P
下弦杆 （拉杆）
§7–2 直杆横截面上的正应力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。 求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
求极值内力
危险截面判断
强度计算（强度校核、截 面设计、承载力验算）
§7－5 材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温(20℃)；静载（及 其缓慢地加载）；标准试件。
2、试验仪器：万能材料试验机
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
DL PL
DL
P
EA
L
EA E
试样变形集中到某一局部区域，由于该区 域横截面的收缩，形成了“颈缩”现 象最后在“颈缩”处被拉断。
代表材料强度性能的主要指标：
轴向拉伸与压缩的概念与实例
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
σ max
=
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1 与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
2.应力计算
AB段内任一横截面1-1上的正应力为： d2
σ1
=
FN1 A1
=
4× 2.0×104
π × 0.0202
= 6.37 ×107 Pa
= 63.7
MPa
同理, 得 BC 段内任一横截面 2-2 上的正应力为：
σ2
=
FN 2 A2
=
4× (−3.0×104 )
π × 0.0302
=
−4.24×107 Pa
现在求与横截面成a角的任一斜截面k－k上的应力。
k
F
F
α
k
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
k
F
F
α
k
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为A, 由公式(2.1), 横截面上的正应力为
σ = FN = F
AA
设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα, Aα与A之间
的关系应为
Aα
=
A
cosα
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
轴向拉伸和压缩
轴向拉伸和压缩
§1 轴向拉伸和压缩的概念 §2 内力·截面法·及轴力图 §3 应力·拉(压)杆内的应力 §4 拉(压)杆的变形·胡克定律 §5 拉(压)杆内的应变能 §6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §7 强度条件·安全因数·许用应力 §8 应力集中的概念
§1 轴向拉伸和压缩的概念
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题2：试作此杆的轴力图。
q
F
F
l
F
解： FR
F
l
2l
l
1
F2 q
1
F 2
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR = F
FR = F FR = F
FR = F
FR = F
1
F2
q
3
Fx
1
绍中编 《材料力学精讲》，p15)。
例题2 试求此正方形 砖柱由于荷载引起的横截 面上的最大工作应力。已 知F = 50 kN。
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
s1
FN1 A1
50103 N (0.24 m) (0.24
m)
0.87106 Pa 0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
的线应变。
F
s 90
F
t 90
s
t
s0
s0
0
0
s0
E
s s 0 cos2
§1 轴向拉伸和压缩的概念 §2 内力·截面法·及轴力图 §3 应力·拉(压)杆内的应力 §4 拉(压)杆的变形·胡克定律 §5 拉(压)杆内的应变能 §6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §7 强度条件·安全因数·许用应力 §8 应力集中的概念
§1 轴向拉伸和压缩的概念
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题2：试作此杆的轴力图。
q
F
F
l
F
解： FR
F
l
2l
l
1
F2 q
1
F 2
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR = F
FR = F FR = F
FR = F
FR = F
1
F2
q
3
Fx
1
绍中编 《材料力学精讲》，p15)。
例题2 试求此正方形 砖柱由于荷载引起的横截 面上的最大工作应力。已 知F = 50 kN。
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
s1
FN1 A1
50103 N (0.24 m) (0.24
m)
0.87106 Pa 0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
的线应变。
F
s 90
F
t 90
s
t
s0
s0
0
0
s0
E
s s 0 cos2
拉伸与压缩-内力应力强度条件讲解
FN3
F3
3-3截面：
由Fx = 0： FN3 FN3 0
求得： FN3 F3 4kN
例 1 画出图示直杆的轴力图。
解： 1.求轴力
1F1=18kN 2 F2=8kN3 F3=4kN
1
2
3
1-1截面： FN1 6kN 2-2截面：FN2 12kN 3-3截面： FN3 4kN
得到
m m
FN
m FN F 0
FN F
4、轴力与轴力图
m
F
I
II
F
m
m
F
I
FN
m
轴力 —— 作用线与杆的轴线重合的内力
轴力的符号规定：背离截面为 + ，指向截面为 - 。 轴力图 ——轴力沿轴线变化的图线
例 1 画出图示直杆的轴力图。
解： 1.求轴力 1-1截面：
1F 1=18kN
1
• 由于构件处于平衡状态，因而构件上的已知外力 和内力之合也应保持平衡。
• 通过平衡方程（Σ F＝0; Σ M＝0)可以求出未知 内力。
轴力FN、剪力FQ、扭矩Mx、弯矩MB都会产生对应的变形效应
3、拉压杆内力的计算
m
1- 截开取半 F
I
II
F
2- 附加内力
F
I
3- 平衡求解
由 Fx = 0：
讨论：1．在求内力时，能否将外力进行平移 ？
2．能否一次求出两个截面上的内力 ？
注意：1．在用截面法求内力时不能随意进行力的平移；
2．用截面法一次只能求出一个截面上的内力。
例 1 画出图示直杆的轴力图。
解： 1.求轴力
1F1=18kN 2 F2=8kN3 F3=4kN
建筑力学 第七章轴向拉伸与压缩.
x
FN 1 A1
1 1 F A1 120 106 2 4.8 10 4 2 2 57.6 103 N 57.6kN
2、根据斜杆的强度，求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2
对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力 应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现 象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。 为典型的脆性材料。
bt
FN 2 FN1 cos 3F
§7-4 轴向拉伸或压缩时的变形
一 纵向变形 Fl l l1 l l A l E l FN F l l N A EA
E为弹性摸量,EA为抗拉刚度
二 横向变形 b b b1 b b 横向应变 泊松比 钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33
目录
FN A
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
单位：1牛顿/米2.可表示为 1Pa 1N / m2 ， 1MPa 106 Pa
圣 文 南 原 理
§7-2 截面上的应力
——横截面上的应力
目录
例题7-2-1
A 1
45°
C
2
FN 1
第七章
•§7-1
轴向拉伸与压缩
概 述
•§7-2
•§7-3 •§7-4 •§7-5
直杆横截面上的正应力
容许应力 强度条件 拉压杆的变形 胡克定律 材料的力学性质
目录
目录
§7-1
概述
目录
上海交大材料力学轴向拉伸与压缩精品文档
即纵截面上的应力为零，因此在纵截面不会破坏。
4、当 13 4 5,c 5o s2 ,s2 in 1 ,
2
2,
2 135 45
4
5
材料力学
拉伸与压缩/斜截面上的应力
5、剪应力互等定理
135
2
135
拉伸与压缩/斜截面上的应力
O 1B
C
3
4F
3F
1
3
m
ax 3
2F A
D 2F
4、分段求 max
1
FN1 2A
3F, 2A
3
FN3 A
2F A
5、求 max
（在CD段）
max12maxFA （在CD段与杆轴 成45°的斜面上）
材料力学
三、 拉（压）时的强度计算
F
F
2F
F
2F
F
e
轴向拉伸和弯曲变形
材料力学
拉伸与压缩时横截面上的应力
应力—分布内力在截面内一点的密集程度
1
F
F
1
F
FdFAdA
应力的合力=该截面上的内力
确定应力的分布是静不定问题
材料力学
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力 研究方法：
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
3、横向变形 泊松比
b1
横向的绝对变形
bb1b
横向的相对变形（横向线变形）
b
材料力学
b
b
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
实验证明：
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l
C
F2
F
x
0
F2
FNB＝F2 10kN
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
FA
A
3. 应用截面法求控制面上的轴 力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B" 、 C 处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴力：
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
例题1
FA
TSINGHUA UNIVERSITY
A l l
A
直杆，A端固定，在B、C两处 作用有集中载荷 F1 和 F2 ，其中 F1＝5 kN，F2＝10 kN。 试画出：杆件的轴力图。 解：1. 确定A处的约束力 A 处虽然是固定端约束，但由 于杆件只有轴向载荷作用，所以 只有一个轴向的约束力FA。 由平衡方程
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l
l
F2
FNA＝F2－F1 5kN
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
FA
A
FN B' '
B"
B" B
l
F1
B
l
F1
3. 应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B" 、 C 处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴力：
根据以上分析，绘制轴力图的方法
确定约束力；
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根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也 就是轴力图的分段点；
应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在 截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的 部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力 建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中， 画出轴力图。
＝
0
0
n
式中 为材料的极限应力或危险应力(critical stress)，由材料 的拉伸实验确定；n为安全因数，对于不同的机器或结构，在 相应的设计规范中都有不同的规定。
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件的强度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
强度计算的依据是强度条件或强度设计 准则。据此，可以解决三类强度问题。
强度条件、安全因数与许用应力 三类强度计算问题 应用举例
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件的强度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
强度条件、安全因数 与许用应力
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件的强度设计
所谓强度设计(strength design)是指将杆件中的最大应力 限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强 度失效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩杆 件，也就是杆件中的最大正应力满足：
l
B"
B
l
F1
l
B'
C
FN C C
F2
F
x
0
F2
FNC＝F2 10kN
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
TSINGHUA UNIVERSITY
4. 建立FN - x坐标系，画轴力图 FN - x 坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴 垂直于x轴。 将所求得的各控制面上的轴力标在 FN- x 坐标系中，得 到a、b"、b´和c四点 。因为在A、B"之间以及B´、C之间， 没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与A（或B" ）截 面以及 C （或 B´）截面相同。这表明 a 点与 b" 点之间以及 c 点 与b´点之间的轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴 力图。
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件的强度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
三类强度计算问题
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件的强度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
强度校核 已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应 力，校核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证 是否符合设计准则。如果符合，则杆件或结构的强 度是安全的；否则，是不安全的。
试求：杆BD与CD的横截面上 的正应力。
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件横截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
解：1．受力分析，确定各杆的轴力 首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为B、C、D 三处均为销钉连接，故BD与CD均为二力构件。由平衡方程
F
x
0
F
y
0
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件横截面上的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长 或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截 面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 FN A 其中 FN—— 横截面上的轴力，由截面法求得； A—— 横 截面面积。
第5章 轴向拉伸与压缩
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件横截面上的应力
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
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应用截面法，可以确定AD、 DEB、BC段杆横截面上的轴力 分别为：
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l
B'
C
F
C
x
0
F2
F2
FNB＝F2－F1 5kN
第UA UNIVERSITY
A
FN B'
B"
B
l l
F1
B'
C
B'
3. 应用截面法求控制面上的轴 力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B" 、 C 处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴力：
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FN FN
+
－
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤如下：
首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力；
其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的 分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点； 第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截 开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向； 对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负： 产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负； 最后，建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标 系中，画出轴力图。
拉、压杆件横截面上的应力
解：1．受力分析，确定各杆的轴 力
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F
x
0
F
y
0
FNBD 2FP 2 22.2 10N 31.40kN
FNCD FP 22.2 10N 31.40kN－
其中负号表示压力。 2．计算各杆的应力 应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横 截面上的正应力分别为：
x
FNCD FNCD FNBD FNBD 9.75MPa － 62 . 0 MPa x 2 A A πd1 ABD CD 2 4
第5章 轴向拉伸与压缩
返回
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拉、压杆件的强度设计
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件的强度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
第5章 轴向拉伸与压缩
返回
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轴力与轴力图
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上 只有沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称为“轴 力”（normal force）用FN 表示。表示轴力沿杆轴线方向 变化的图形，称为轴力图（diagram of normal forces）。 为了绘制轴力图，杆件上同一处两侧横截面上的轴力必 须具有相同的正负号。因此，约定使杆件受拉的轴力为正， 受压的轴力为负。
FNAD＝－2FP＝－120 kN FNDE＝FNEB＝－FP＝－60 kN FNBC＝FP＝60 kN
第5章 轴向拉伸与压缩
拉、压杆件横截面上的应力
2．计算直杆横截面上绝对 值最大的正应力 横截面上绝对值最大的正 应力将发生在轴力绝对值最大 的横截面，或者横截面面积最 小的横截面上。本例中，AD段 轴力最大；BC段横截面面积最 小。所以，最大正应力将发生 在这两段杆的横截面上：
TSINGHUA UNIVERSITY
max
这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度条件 ，又称为强度设 计准则(criterion for strength design) 。其中[σ]称为许用应力 (allowable stress)，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安 全裕度的要求有关，由下式确定
B B' C
F2
C
F2
用假想截面分别从控制面 A 、 B' 、 B"、 C处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡。
第5章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
FA
FNA A
A
B"
B
l l
F1