新课程2021高考数学一轮复习第二章第5讲指数与指数函数课件

(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( × )
2．小题热身 (1)函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( )
答案 C 解析 函数 y＝ax－a 的图象过点(1,0)，排除 A，B，D.
(2)化简 －x x3的结果是_－___－__x__．
－x3 x2· －x |x| －x －x －x 解析 由题意得 x<0，所以 x ＝ x ＝ x ＝ x ＝－ －x.
2.关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式 a0＝1(a≠0). (2)方法：求形如 f(x)＝M·akx＋b＋N 的图象恒过的定点，首先由 kx＋b＝ 0 求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．如举例说明 1. 3.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象 是否过这些点，若不满足则排除．如举例说明 2.
10 a·
a9)＝(a2·a
3 5
)÷(a
1 2
·a
9 10
)＝a
13 5
÷a
7 5
13－7
＝a 5 5
6
＝a 5 .
2.
1 64
＋
0.002
－12
－ 10×(
_－__1_8_.2_5__．
5 － 2) － 1 － －59 0 ＋ [( － 2)3] －23 的 值 为
解析 原式＝
252＋500
1 2
解析 因为指数函数 f(x)＝(a＋2)x 为减函数，所以 0<a＋2<1，解得－ 2<a<－1.所以实数 a 的取值范围是(－2，－1)．
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 指数幂的化简与求值
1．化简：(a2·5 a3)÷(
a·10
6
a9)＝__a__5____(用分数指数幂表示)．
解析
(a2·5 a3)÷(
am(a>0，m，n∈N*且
n>1)．
②正数的负分数指数幂：a－mn ＝
1
m
＝
1
(a>0，m，n∈N*且 n>1)．
a n n am
③0 的正分数指数幂等于 □01 0
；0 的负分数指数幂 □02 没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
□ ①aras＝ 03 ar＋s (a>0，r，s∈Q)； □ ②(ar)s＝ 04 ars (a>0，r，s∈Q)；
解析 指数函数 y＝ax(0＜a＜1)为减函数，因为 a＜b，所以 aa＞ab，A 错误；指数函数 y＝bx(0＜b＜1)为减函数，因为 a＜b，所以 ba＞bb，B 错误； 幂函数 y＝xa(0＜a＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又 a＜b，所以 aa＜ba，C 正 确；由幂函数 y＝xb(0＜b＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又 a＜b，所以 bb＞ab， D 错误.
性质
当 x<0 时， □04 0<y<1
当 x<0 时， □06 y>1
在 R 上是 □07 增函数
在 R 上是 □08 减函数
1．概念辨析
(1)已知 π 为圆周率，则10 π－510＝π－5.( × )
(2)[(－2Hale Waihona Puke 6]12 ＝(－2)
6×12 ＝(－2)3＝－8.( ×
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ )
角度 2 解指数不等式 2.不等式 2－x2＋2x>21x＋4 的解集为_{_x_|－__1_<_x_<_4_}__.
解析 ∵2－x2＋2x >12x＋4， ∴12x2－2x>12x＋4， ∴x2－2x<x＋4，∴x2－3x－4<0，解得－1<x<4.
角度 3 探究指数型函数的性质 3.已知函数 f(x)＝31ax2－4x＋3. (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间； 解 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令 u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2 ＋7.则 u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝13u 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递 增，即函数 f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).
－10×(
5＋2)－1＋(23) －23 ＝52＋10
5
－10 5－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.
3．若
x
1 2
1
＋x－2
＝3，则
2
的值为___5_____．
解析
由
x
1 2
1
＋x－2
＝3，得
x＋x－1＋2＝9，所以
x＋x－1＝7，所以
x2
＋x－2＋2＝49，所以
x2＋x－2＝47.因为
□ ③(ab)r＝ 05 arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0 且 a≠1)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
□01 (0，＋∞)
y＝ax (a>0 a>1
且 a≠1)
过定点 □02 (0,1)
0<a<1
当 x>0 时， □03 y>1 ； 当 x>0 时， □05 0<y<1 ；
题型二 指数函数的图象及应用
1.(2019·贵阳监测)已知函数 f(x)＝4＋2ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( )
A.(1,6) B．(1,5) C.(0,5) D．(5,0) 答案 A 解析 由 x－1＝0 得 x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数 f(x)＝4＋2ax－1 的 图象恒过定点(1,6).
)
答案 B
解析 沿直线 x＝1，自下而上先后为 y＝14x，y＝3x，y＝5x 的图象．故 选 B.
2.已知函数 y＝2a1－4x 的图象与指数函数 y＝ax 的图象关于 y 轴对称， 则实数 a 的值是( )
A.1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 ∵指数函数 y＝ax 的图象关于 y 轴对称的图象的解析式为 y＝a－
3.已知实数 a，b 满足等式 2019a＝2020b，给出下列 5 个关系式：①0＜ b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的关系式 有( )
A.1 个 B．2 个 C.3 个 D．4 个
答案 C
解析 实数 a，b 满足等式 2019a＝2020b，即 y＝2019x 在 x＝a 处的函数 值和 y＝2020x 在 x＝b 处的函数值相等.
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
解 (2)令 h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13h(x)， 由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，因此必有
a＞0，
12a－16
解得 a＝1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1.
4a
＝－1，
(3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值.
2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式 求解．如举例说明 2. 3.两类复合函数的最值(或值域)问题 (1)形如 y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且 a≠1)型函数最值问题多用换元法，即 令 t＝ax 转化为 y＝t2＋bt＋c 的最值问题，注意根据指数函数求 t 的范围. (2)形如 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)型函数最值问题，可令 t＝f(x)，则 y＝at， 先由 x 的取值范围求 t 的取值范围，再求 y＝at 的最值.
n
当 n 是 □02 奇数 时，a 的 n 次方根为 x＝n a
次
方 性质 当 n 是 □03 偶数 时，正数 a 的 n 次方根为 x＝±n a，负数
根
的偶次方根□04 没有意义
0 的任何次方根都是 0，记作 n 0＝0
定义
式子n a叫做
□07 被开方数
□05 根式
，其中 n 叫做 □06 根指数 ，a 叫做
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图 象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小 关系不确定时应注意分类讨论.
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数 图象，数形结合求解．如举例说明 3.
1.函数 y＝3x，y＝5x，y＝14x 在同一坐标系中的图象是(
(3)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 A2，13，则 f(－1)＝ _____3 ___.
解析
依题意可知
a2＝13，解得
a＝
33，所以
f(x)＝
33x，所以
f(－1)
＝
33－1＝
3.
(4)若指数函数 f(x)＝(a＋2)x为减函数，则实数 a 的取值范围为(_－__2_，__－__1．)
2.函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( )
答案 A 解析 函数 f(x)＝21－x 在 R 上是减函数，其图象过点(0,2)，故选 A.
条件探究 将本例中的函数改为“f(x)＝2|x－1|”，其图象是( ) 答案 B
解析 因为 f(x)＝2|x－1|＝221x－－1x， ，xx≤ >11，， 所以 f(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除 A， C，D.
x，且函数
y＝2a1－4x