关于子基的道路连通性

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【国家自然科学基金】_拓扑学_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

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广义近似空间广义度量空间广义可数紧空间对偶连通空间对偶导集运算对偶导集定理太湖新银鱼大银鱼大气样本库大气廓线基线地图网络地图符号地图学图论图四色猜想商映射哈密顿回路吴示性类吴方法吴文俊可平面图取样半论域决策协调集信号传递化表示代数学上近似协调集三维图像一般二元关系 r-强连通性 l-预余拓扑空间 l-拓扑空间 l-好的推广 18srrna基因
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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道路连通空间

定义4.5.1定义4.5.3作业本节重点：掌握道路连通的概念、性质。

掌握连通、局部连通、道路连通之间的联系与区别。

掌握道路连通分支的概念。

掌握Rn 子集的连通性质。

§4.5 道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义4.5.1 设X 是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X 的每一个连续映射f:[0，1]→X 叫做X 中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f 的起点和终点．当x ＝f （0）和y ＝f （1）时，称f 是X 中从x 到y 的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f 是X 中的一条道路，则道路f 的象集f([0，l])称为X 中的一条曲线或弧，并且这时道路f 的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义4.5.2 设X 是一个拓扑空间．如果对于任何x ，y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），我们则称X 是一个道路连通空间．X 中的一个子集Y 称为X 中的一个道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间．(Y 是否道路连通与X 是否道路连通没有关系)实数空间R 是道路连通的．这是因为如果x ，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R 中的一条以x 为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理4.5.1 如果拓扑空间X 是一个道路连通空间，则X 必然是一个连通空间．中子集的连通性质n R证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X 这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的．根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理4.5.3 设是n≥1个道路连通空间．则积空间也是道路连通空间．证明我们只需要对n＝2的情形加以证明．设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易验证（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明是一个道路连通空间．（这作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间是一个道路连通空间．个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间，：A→Y和：B→Y是两个连续映射，满足条件：定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，f（x）＝则f是一个连续映射．证明首先注意，由于，映射f的定义是确切的．因为当x∈A∩B 时，有．其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于现在设U是Y的一个开集．由于都连续，所以分别是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以也都是X的开集．因此是X的一个开集．这便证明了f是一个连续映射．当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通)根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设：[0，1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．定义4.5.4 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个道路连通分支．如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个道路连通分支称为X的子集Y的一个道路连通分支．拓扑空间X的每一个道路连通分支都不是空集；X的不同的道路连通分支无交；以及X的所有道路连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个道路连通分支当且仅当x和y道路连通．拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个道路连通分支的充分必要条件是A中有一条从x到y的道路．根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理4.5.1，它也是一个连通子集；又根据定理4．3．l，它必然包含在某一个连通分支之中．作为定理4.5.l在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理：定理4.5.5 n维欧氏空间的任何一个连通开集都是道路连通的．证明首先我们注意n维欧氏空间中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为它同胚于n维欧氏空间本身．其次证明n维欧氏空间的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设U是的一个开集，C是U的一个道路连通分支．设x∈C．因为U是一个包含x的开集，所以也包含着以x为中心的某一个球形邻域B（x，ε）．由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的，并且B（x，ε）∩C包含着x，故非空,这导致B（x，ε）C．所以C是一个开集．最后,设V是的一个连通开集．如果V，则没有什么要证明的．下设V．V是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集．因此如果V有多于一个道路连通分支，易见这时V可以表示为两个无交的非空开集之并，因此V是不连通的，这与假设矛盾．因此V只可能有一个道路连通分支，也就是说V是道路连通的．推论4.5.6 n维欧氏空间中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支．证明由于n维欧氏空间是一个局部连通空间，根据定理4．4．1，它的任何开集的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，的任何开集的任何连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，因此包含于这个集合的某一个连通分支之中，本推论的结论成立．通过引进局部道路连通的概念，定理4.5.5和推论4.5.6的结论可以得到推广．（参见习题5．）作业:P132 1. 2.本章总结：（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的母空间是否连通、局部连通、道路连通无关．（2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系．（3）记住中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的．（4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空．若两个分支有交，则必是同一个分支．（5）连通是本章的重点．（6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法．特别注意反证法．（7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的．。

城市道路网连通性评价指标探析

城市道路网连通性评价指标探析周涛;但媛;朱军功【摘要】道路网连通性是评价城市道路网是否合理的重要指标之一。

首先，对既有城市道路网连通性评价指标“连接度指数”进行深入解读，认为其实质上反映了路网中十字形交叉口、T字形交叉口等各类型交叉口的比例关系；其次，针对该指标无法体现交叉口转向限制对路网连通性的影响，改进建立了“连通度指数”计算方法，能够较好地描述道路交叉口存在的“非完全互通立交、转向限制、单向交通”等实际交通设计和管理条件下的方向连通性。

最后，针对重庆市三个典型片区进行了应用分析。

%Connectivity is one of the most important indices to assess the appropriateness and efficiency of urban roadway network. By reviewing existing criteria for urban roadway network connectivity evaluation, this paper identifies that most connectivity indices in fact reflect the proportions of intersections with vari-ous layouts (e.g. four-leg and T-shape) in roadway network. Realizing the deficiency of existing indices to consider the impact of turning restrictions on roadway network connectivity, this paper proposes a new con-nectivity index, which can better reflect the directional connectivity under different traffic design and man-agement conditions, such as interchange, turning restrictions, one-way street, and etc. Finally, the paper il-lustrates the performance of the proposed index in three typical areas in Chongqing.【期刊名称】《城市交通》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】6页(P60-65)【关键词】交通规划;城市道路网;规划指标;连通性;连接度指数;连通度指数【作者】周涛;但媛;朱军功【作者单位】重庆市交通规划研究院，重庆400020;重庆市交通规划研究院，重庆400020;重庆市交通规划研究院，重庆400020【正文语种】中文【中图分类】U491.1+30 引言道路网络是车辆运行的基础，保障路网结构的合理性，提高路网连通性，有利于车流的合理组织与分配，是缓解城市交通拥堵的重要措施之一。

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2011年科研热词部署道路获取网络化运营网关移动控制矢量地图栅格地图拓扑控制性能分析常规道路公交城市轨道交通图像规范化噪声分类协作模式传输功率传感器网络交通信息采集 tcp/ip ad hoc网络推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
科研热词雁鸣湖道路选取道路网道路等级连接度路划线性多边形链空间分析生态空间水域景观格局动态景观指数无标度性彩虹路连通数彩虹路小世界性复杂网络城市群地图综合交通网络交通地理信息系统中心度
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词降维处理阴影区域连通性检测连接性车载自组织网络路面裂缝路由协议超像素视觉导航裂缝子块智能机器人携带-转发图像识别可通行性检测去噪算法
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 1 2 3 4 5
2014年科研热词道路生态学生态廊道物种流最小耗费模型景观连接度推荐指数 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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ห้องสมุดไป่ตู้
关于子基的闭包关于子基的道路连通性关于子基的局部道路连通性关于子基的内部传感器网络一维网络 snake模型 simworld p2p mg模型 mcec(mg)算法 l-拓扑空间 k连通性 ct contingent上图切导数 cell cctc 1-con
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科研热词连通性 l-拓扑空间 l-好的推广高斯消去法非紧致空间零维空间集体振荡随机出错概率锥有效解锥拟凸映射邻接矩阵逻辑度量空间通信时滞通信时延连通性保持连通度连通分支连通元超立方体解集的连通性自组网脑电(eeg) 能控性聚合度群体行为网络覆盖率网络拓扑控制网络拓扑网络仿真网格容量结构特征移动节点移动传感器网络相干矢量虚部直径监测网格残余能量樊畿定理有限可积性无线传感器网络收敛性拓扑结构拓扑控制拓扑性质拓扑不变性形状保持弱拓扑分子格广义鞍点定理幂率布尔运算差分进化算法局部连通性
科研热词连通性无线传感器网络拓扑控制覆盖骨架提取遗传算法通信网络连通覆盖车辆网仿真车载自组织网络车载无线自组网络路由算法超立方体超f连通性超f连通分支谐振式移动机构虚拟力节点编码自适应性网络连通性网络拓扑结构拓扑优化纯量型变分不等式粒子群优化算法稳定成簇确定性值演化分析渗流理论模糊数概率分析树形结构最短路径算法最大圆盘最优邻居数智能交通系统无线自组网数学形态学攻击图拟平均一致拓扑维护拓扑管理拓扑空间弱向量变分不等式异结构多智能体异类无线传感器网络延迟容忍网络度序列连通对偶锥容错性完备性完备demorgan代数

教案15道路连通性

15.1 道路定义2.9 设X 是拓扑空间，从单位闭区间0,1I ⎡⎤=⎣⎦到X 的一个连续映射:I X α→称为X 上的一条道路，把点()0α和 ()1α分别称为α的起点和终点，统称端点定义2.10 一条道路:I X α→的逆也是X 上的道路，记作α，规定()()1t t αα=−，t I ∀∈。

5.2 道路连通空间定义2.11 拓扑空间X 称为道路连通的，如果,x y X ∀∈，存在X 中分别以x 和 y 为起点和终点的道路。

命题2.27 道路连通空间一定连通。

命题2.28 道路连通空间的连续映像是道路连通的。

5.3 道路连通分支定义 2.12 拓扑空间在等价关系∼下分成的等价类称为X 的道路连通分支，简称道路分支。

命题2.29 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。

5.4 局部道路连通定义2.13 拓扑空间X 称为局部道路连通的，如果x X ∀∈，x的道路连通邻域构成x 的邻域基。

引理如果拓扑空间X 的每一点x 有邻域x U ，使得x 与xU 中每一点都可用X 上道路连接，则（1） X 的道路分支都是既开又闭；（2） X 的连通分支就是道路分支。

定理2.9 局部道路连通空间X 的道路分支就是连通分支，它们是既开又闭的；当X 连通时，它一定道路连通。

例题1：证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的。

证设X 是2R 除去可数个点后所得到的空间, X y x ∈∀,，若,y x ≠设L 是线段xy 的中垂线。

2设z L ∈,用(x,z,y) 表示连接x,z,y 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而X 的余集Y 是可数集, 所以至少有一条折线(x, z, y)不含Y 中的点, 这表明X 是道路连通的。

例题2：证明至少有两个点的连通的T 4空间一定是不可数集。

证设X 是至少有两个点的连通的T 4空间，设y x ,是X 中的两个不同点，令}{x A =，}{y B =，则A 和B 是X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数[]1,0:→X f 使得0)(=x f ，1)(=y f ，又因X 是连通的，故)(X f 是[]1,0中的连通集，而)(1,0X f ∈，因此[]1,0)(=X f ，于是X 一定是不可数集。

点集拓扑讲义教案设计

点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。

按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。

本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：'第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对已有过了解的知识不提或少提.记号: Z, Z +, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集.教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一. 集合的运算幂集 P )(X , 交∩ 、并∪、差－(补, 余/,A A c).运算律: De Morgan 律: (1) C)-(A B)-(A C)(B -A ⋂=⋃."(2) C)-(A B)-(A C) (B -A ⋃=⋂A-(B ∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并, 如记n i ni i i n n n A A A A A A A A ≤=-==⋃⋃⋃=⋃⋃⋃11121)...(...A i . 规定 0 个集之并是φ,不用 0 个集之交.二. 关系R 是集合X 的一个关系, 即R y x X X R ∈⨯⊂),(,记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若X x ∈∀, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx;：R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x )|x ∈X}, 恒同关系, 它是等价关系; y} x R,y x,|y) {(x,<∈，小于关系, 它是传递的, 但不是对称的、不是自反的.设 R 是 X 上等价关系,X x ∈∀, x 的 R 等价类或等价类R [x ]或[x]为 xRy}| X {y ∈,R [x ] 的元称为R [x ] 的代表元; 商集 X} x | {[x]R X/R ∈=.定理设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则 (1)R [x ] x X,x ∈∈∀;(2)X y x, ∈∀，或者[x]R =[y]R , 或者φ=⋂R R [y] [x ]证(2). 设R R [y] [x ]z ⋂∈, 则zRy ZRx ,, 于是R R [y] [x ]⊂且R R [y] [x ]⊃, 于是R R [y] [x ]=.三. 映射#函数：Y X f →:.像：}|)({)(,A x x f A f X A ∈=⊂∀；原像：})(|{)(,1B x f X x B f Y B ∈∈=⊂∀-满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射X i 、限制A f |、扩张、内射X A i A X →:|集合n i X i ≤,, 笛卡儿积∏∏=≤≤≤∈===⨯⨯⨯ni i i n i n i i n n i X x x x x X X X X X 121121},)...,{(...到第i 个坐标集iX 的投射i i X X p →: 定义为i x x p =)(, 其中),..,(1n x x x =.对等价关系,R 集合X 到商集R X /的自然投射R X X p /:→定义为 R x x p ][)(=. 四. 集族数列+∈=Z n n n }{x }{x , 有标集族τγγ∈}{A , 指标集 Γ, 与}{τγγ∈A 不同, 可记有标集族A A A ∈=γγ}{; 类似地, 定义其并 τγλ∈A (或∪A )、交 τγλ∈A (或∩ A ), 不定义 0 个集的交. 与有限集族有相同的运算律, 如 De Morgan 律{τγγτγγτγγτγγ∈∈∈∈=--=-A A A A A A A ,)(,映射对应的集族性质: τγγτγτγγγτγγ∈∈∈∈==)()(),()(A f A f A f A f ,τγγτγτγγγτγγ∈-∈∈--∈-==)()(),()(1111B f B f B f B f五. 无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(φ或与某{1, 2, … , n}有一一映射), 无限集, 可数集(φ或存在X 到 Z 的单射),不可数集.易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集. 定理 X 是可数集X ⇔是 Z 的映像.由此, Q 是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数个可数集之并集是可数集.$定理 R 是不可数集.利用 Cantor 对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数 .直观上, 集合 A 中元素的个数称为该集合的基数, 记为card A, 或|A|. |Z +|=a , |R|=c . 若存在从集合 A 到集合 B 的单射, 则定义|A|≤ |B|.连续统假设: 不存在基数α, 使得c a <<α.选择公理: 若 A 是由非空集构成的集族, 则∈∀A A , 可取定.)(A A ∈ε.由选择公理可证明, 若βα,是基数, 则下述三式中有且仅有一成立: βαβαβα>=<,,第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.<教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系；教学难点：基与子基；可度量化空间度量空间与连续映射在 R 上, |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离. 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义设 X 是一集合 ,R X X →⨯:ρ. 如果满足正定性、对称性和三角不等式, 则称ρ是X 的一个度量.),(ρX 称为度量空间, y) (x,ρ表示两点 x, y 之间的距离.例实数空间 R.(x,y)=|x -y|, R 的通常度量.例 n 维欧氏空间 R R R R n⨯⨯⨯=....《对于nR x ∈, 记 n i i x x ≤≤=1)( 定义∑=-=ni i iy xy x 12)(),(ρ为 R n 的通常度量, n 维欧氏空间. R 2 称为欧氏平面或平面.例 Hilbert 空间 H.},...),..,({1221∑∞=∞<==i i n x x x x x H∑∞=-=→→⨯12)(),(),(:i i iy xy x y x R H H ρρ定义, 易证ρ为度量则度量空间),(ρH 称为 Hilbert 空间.例离散度量空间.度量空间),(ρX 称为离散的, 若0,>∃∈x X x δ, 使得不存在X 中的点x y ≠, 满足xy x δρ<),(如对集合X , 按如下方式定义R X X →⨯:ρ 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y x y x y x ,1,0),(ρ定义设),(ρX 是度量空间}),({),(ερε<∈=y x X y x B 称为以x 为心,ε为半径的球形邻域或ε邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), )+x ,-(x =) B(x, εεε.定理度量空间),(ρX 的球形邻域具有性质:.(1)).(,0,εεx B x X x ∈>∈∀(2))2,.(),.(),.(,0,0,,313321εεεεεεx B x B x B x X x ⋂⊂∈>∃>∈∀满足则；(3) 若 0),,(>∃∈δεx B y 使),(),(εδx B y B ⊂ ；证 (2)},m in{0213εεε<<；(3)),(),(),,(εδρεδx B y B y x ⊂-=则定义 X 的子集A 称为),(ρX 的开集, 若A x B A a ⊂>∃∈),(,0,εε使. 每一球形邻域是开集.例 R 中的开区间是开集.),(b a x ∈让},min{x b a x --=ε 则 ),(),(b a x B ⊆ε 同样可证, 无限开区也是开集.闭区间[a, b] 不是开集."定理度量空间的开集具有以下性质:(1)φ,X 是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是开集. 证 (1)由定理 (2), (3)由定理定义设X 是度量空间, U X U X x ,,⊆∈ 称为x 的邻域, 若有开集V , 使U V x ⊆∈. 定理 U 是X 中点x 的邻域存在ε>0, 使 B(x, ε) ⊂U.定义设Y X ,是两度量空间.Y X f →:, X x ∈0, 称f 在0x 连续, 若)(0x f 的球形邻域)0(),),((0>εεx f B存在0x 的球形邻域 B(x 0, δ), 使).),(()),((00εδx f B x B f ⊂ 称f 在X 连续, 若f 在X 的每一点连续.·定理设Y X ,是两度量空间. Y X f →:, X x ∈0, 那么(1)f 在0x 连续若U 是)(0x f 的邻域, 则)(1U f -是0x 的邻域;(2) f 在X 连续若U 是Y 的开集, 则)(1U f -是X 的开集.证 (1)利用定义(2)“”f -1 (U)是每一点的邻域.“”证每一点连续, 利用(1).由此可见, 度量空间的连续只与邻域或开集有关. 它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性..拓扑空间与连续映射定义设 τ是集合 X 的子集族, 若τ 满足:~τττττττφ∈⊂∀∈⋂⇒∈∀∈ 11,)3(;,)2(;,)1(B A B A X称τ是X 的一个拓扑),(τX 是拓扑空间, τ的元称为X 的开集. 空间 X 的拓扑是 X 的全体开集的族.定义 ),(ρX 度量空间.ρτ由 X 的所有开集构成的族 . (X, ρτ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间. ρτ简称为度量拓扑.度量空间一定是拓扑空间. 例平庸拓扑},{φτX =平庸空间.例离散拓扑)(X P =τ. 离散空间. X 的每一子集是开集. 由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.例有限补拓扑}{}{/φτ⋃⊂=的有限子集是X U X U . 验证 τ是 X 上的拓扑. (1)显然 . (2)X B A,⊂，讨论 A ∩B 时分两种情形, 一是 A, B 中有一是φ, 二是 A, B 都不是φ ；（3）ττ⊂1,不妨设10τφ∈≠∃A 利用 De Morgan 律.有限补空间. \例可数补拓扑}{}{/φτ⋃⊂=的可数子集是X U X U 定义可度量化空间.离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一. 本书将在中给出该问题的一个经典的解 .定义 Y X , 是两拓扑空间. Y X f →:称f 连续, 若 Y 中每一开集 U 的原象 f -1(U)是 X 中的开集.定理恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的.定义 Y X f →:称为同胚或同胚映射, 若f f 是一一映射且f f 及 1-f 均连续.定义称两空间 X 与 Y 同胚, 或 X 同胚于 Y, 若存在从 X 到 Y 的同胚. 定理恒同映射同胚(X 与 X 同胚); f 同胚 ⇒1-f同胚 (若 X 与 Y 同胚, 则 Y 与 X 同胚); 同胚的复合是同胚(若 X 与 Y 同胚, 且 Y 与 Z 同胚, 则 X 与 Z 同胚).|空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务 : 研究拓扑不变性质.抽象化过程: 欧氏空间→度量空间→拓扑空间; 点距离→度量→开集.邻域定义设),(τX 是拓扑空间. X U X x ⊂∈,称为 x 的邻域, 如果存在τ∈V 使U V x ⊆∈; 若 U 是开的, U 称为 x 的开邻域.定理设U X U .⊂是 X 的开集⇔U 是它的每一点的邻域 . 证由定义得“⇒”; 利用开集之并为开得“⇐”. x 在 X 的所有邻域构成的族称为 x 的邻域系, 记为 U x .{定理 U 的性质: (1) X ∈U x ;U ∈U x , x ∈U;(2) U, V ∈U U ∩ V ∈U ; (3) U ∈U x 且 U ⊂V ⇒V ∈U x ; (4) U ∈U ∃⇒V ∈U 使 V ⊂U 且 V y ∈∀, V ∈U .证由定义得(1); 由开集的交是开集得 (2); 由定义得(3); 取V 为满足U v x ⊂∈的开集. 由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定理导出开集, 从 U x )(X x ∈∀具有定理的性质的(1)-(4)出发, 定义∈∈∀⊂=U U x X U ,{τU x }, 则),(τX 是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 U . 详见定理定义点连续) 映射Y X f →:称为在点 x ∈X 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻域, 则 f -1(U)是 x 在 X 中的邻域. ;定理保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致 . 另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理恒等映射在每一点连续, 两点连续的函数之复合仍是点连续的. 定义与定义所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理设 Y X f →: 则 f 连续⇔f 在每一 x ∈X 连续. 证 “⇒”若 U 是 f(x)的邻域, ∃开集 V 使U V x f ⊂∈)(, x)()(11U fV fx --⊂∈“⇐”若 U 是 Y 的开集, )(1U f x -∈, U 是 f(x)的邻域, f -1 (U)是 x 的邻域, 所以 f -1 (U)在 X中开.导集、闭集、闭包定义设x X A ,⊂称为 A 的聚点(凝聚点, 极限点), 如果 x 的每一邻域 U 中有 A 中异于 x 的点, 即 U ∩ (A-{x})φ≠. A 的全体聚点之集称为 A 的导集, 记为 d(A). x 称为 A 的孤立点, 若 x 不是 A 的聚点, 即存在 x 的邻域 U 使 U ∩ (A-{x})=φ, 即 U ∩ A ⊂{x}.例 X 是离散空间. 若X A ⊂, 则.φ=)(A d,X x ∈∀取 U={x}, 则 U ∩ A ⊆{x}, 所以)(A d x ∉.！例 X 是平庸空间, X A ⊂若 A=φ, 则φ=)(A d ; 若|A|=1, 则 d(A)=X-A; 若|A|>1, 则X A d =)(.对于,X x ∈∀, 若 U 是 x 的邻域, 则 U=X, 于是 U ∩(A-{x})}{}{}){(x A x A x A U ⊄⇔≠-⇔≠-⋂φφ由此, 易计算 d(A).定理 X B A ⊂, 则 (1)φφ=)(d ;(2))()(B d A d B A ⊂⇒⊂; (3) )()()(B d A d B A d ⋃=⋃;(4) )())((A d A A d d ⋃⊆证由定义得(1)和(2).》关于(3). 由(2)得)()()(B A d B d A d ⋃⊂⋃. 设)()(B d A d x ⋃∉, 分别存在x 的邻域V U ,使得}{},{x B V x A U ⊂⋂⊂⋂, 令V U D ⋂=, 则}{)(x B A D ⊂⋃⋂.关于(4). 设)(A d A x ⋃∉, 存在x 的邻域U , 使得},{x A U ⊂⋂取x 的开邻域U V ⊂, 则)).((,)(),(,}){(,,A d d x A d V A d y y A V V y A V ∉=⋂∉=-⋂∈∀=⋂φφφ.定义 X A ⊂称为 X 的闭集 , 如果 A d(A)⊂. 定理 A 闭⇔/A 开 . 证 “⇒”A x ∈∀ ,由于A A d ⊂)(, 存在x 的邻域U 使φ=⋂A U, 于是/AU ⊂.“⇐”),(,,//A d x A A A x ∉=⋂∈∀φ所以 A A d ⊂)(’例 R 的闭区间是闭集.),(),(],[/+∞⋃-∞=b a b a 开集.),(b a 不是闭集, 因为a 是聚点.定理记 F 是空间X 的全部闭集族, 则#(1) ∈φ,X F ;(2) ∈B A ,F ∈⇒B A F ; (3) F 对任意交封闭.证利用 De Morgan 定律及拓扑的定义. F }{/τ∈=U U 直接验证可得(1)、(2)、(3) Cantor 集(例是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子 , 它说明 R 中的闭集可以是很复杂的, 在此不介绍.定义 A ∪ d(A)称为 A 的闭包, 记为-A A ,_. 定理对X B A ⊂,, 有 (1)φφ=-;！(2) -⊂A A ;(3)---⋃=⋃B A B A )( ; (4)---=AA )( .证 (3) ---⋃=⋃⋃⋃=⋃⋃⋃=⋃B A B d B A d A B A d B A B A )()()()(. (4) .))(()()())(()(------=⋃=⋃=⋃=A A d d A d A A d A A d A A .上述 4 条确定了闭包运算, 称为 Kuratowski 闭包公理, 由此可建立拓扑空间的概念. 事实上阿记此运算为)(A c , 定义 }U )c(U | X {U //=⊂=τ , 则),(τX 是拓扑空间, 且这空间中每一-=AA c )(, 详见定理关于闭包的几个相关结果:(1) ⇔∈-A x 对 x 的任一邻域有φ≠⋂A U . (定义后)：(2) --=}){()(x A A d ；(3) A 闭 -=⇔⊂⇔A A A A d )( . (定理 (4 )-A 是闭集. (定理(5 ) -A 是包含A 的所有闭集之交, 是包含A 的最小闭集. (定理设 F 是包含A 的所有闭集之交, 则F A A F A ⊂⊂⊂--,, 所以-=A F .)定义),(ρX 是度量空间.对非空的X x X A ∈⊂,定义}),(inf{),(A y y x A x ∈=ρρ. 定理对度量空间),(ρX 的非空子集 A(1)0),(=⇔∈-A x A x ρ; (2) 0}){,()(=-⇔∈x A x A d x ρ. 证明：⇔≠⋂⇔<∈∃>∀⇔=φεερερA x B y x A y A x ),(),(,,00),(-∈⇔≠⋂∈∀A x A U U U x φ,定理设 Y X f →:, 则下述等价…(1)f 连续;(2) 若B 闭于Y , 则)(1B f-闭于X ;(3) --⊂⊂∀)()(,A f A f X A证明；B )2()1(⇒是Y 的闭集，/B 是Y 的开集，/1/1)()(B fB f--=是 X 的开集, f -1(B)是 X 的闭集.)3()2(⇒ --------⊂⊂⊂⊂)()(),)((),)((,)()(1A f A f A f f A A f f A A f A f)1()3(⇒设U 是Y 的开集，/U 是Y 的闭集且/1/1/1/1//1/1)()(),()(,))(())((U fU fU fU fU U ff U ff ----------=⊂⊂⊂是闭，)(1U f-是开内部、边界定义若A 是x 的邻域, 则称x 是A 的内点. A 的所有内点的集合称为A 的内部, 记为0A .、定理对/0///0,,A A A A X A ==⊂--证明：,0A x ∈由于,/φ=⋂A A 于是,/-∉A x 从而.//-∈A x反之x A x Ax ∃∉∈--,,.///的邻域0/,,A x A V A V ∈⊆=⋂φ，因此，//0-=A A .从而---===A A A A A /0/////0/,.定理对X B A ⊂,, 有 (1)0X X =;A A ⊂0)2(； 000)()3(B A B A ⋂=⋂ 000)4(A A =.&证明：（1），（2）是显然的.00///////0)()(B A B A B A B A ⋂=⋂=⋃=⋂---而0//////00A A A A===---关于内部的几个结果：（1）A 是x 的邻域0A x ∈⇔； (2)0A 是开集；（3）A 是开集；（4）0A 是A 所包含的所有开集之并，是含于A 内的最大开集.*证明：//0)2(-=AA 是开集（3）A 开/A ⇔闭0////A A A AA ==⇔=⇔--（4）设O 是含于A 内的所有开集之并，O A A O A oo⊃⊂⊂,所以O A o=定义 x 称为A 的边界点, 若x 的每一邻域, 既含有A 中的点又有 /A 中的点. A 的边界点之集称为边界, 记为A ∂.定理对X A ⊂，有A A A A A A A AA A o o ∂-=∂⋃=∂=⋂=∂----)3(;)2();()1(//证明：;)()()()2(/-----=⋃⋂⋃=⋂⋃=∂⋃A A A A A A A A A A o oooo（3）o A A A AA A A A A A =⋂=-=⋂-=∂---------///)(基与子基，度量空间→球形邻域→ 开集→ 拓扑 . 在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义设 τ是空间 X 的拓扑, B τ⊂, 如果τ中每一元是B 中某子集族之并, 称B 是 X 的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理设B τ⊂ ,B 为 X 的基X x ∈∀⇔ 及x 的邻域 U x , x V ∃ 使x x U V x ⊂∈.证 “⇒”存在开集 W 使得 Ux Wx x ⊂∈,∃B 1⊂B 使得 =x W B 1, ∈∃x VB 1⊂B 1使x x U V x ⊂∈;“⇐” 设τ∈U ,∈∃∈∀x V U x ,B 使x x U V x ⊂∈, 从而⊂∈}|{U x V x B且U x xV U ∈=在度量空间中, 所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理所有开区间的族是 R 的基. 定理拓扑空间X 的基B 满足:…(i) ⋃B X =; (ii) ∈∀21,B B B,∈∃⋂∈∀321,B B B x B , ,213B B B x ⋂⊂∈∀.反之, 若集合 X 的子集族 B 满足(1)、(2), 定义}B {11B B ⊂⋃=τ, 则τ是X 的以 B 作为基的唯一拓扑.证验证 τ是X 的拓扑. (1) φφ⋃=. (2) 先设∈21,B B B , 21B B x ⋂∈ , ∈∃x w B 使21B B W x x ⋂⊂∈,于是τ∈⋂∈=⋂}|{2121B B x W B B x . 如果τ∈21,A A , 设⋃=1A B 1 ,⋃=2A B 2,则∈⋂⋃=⋂12121|{B B B A A B 1, ∈1B B 2}τ∈..(3) 设∃∈∀⊂,,11τττA B A ⊂B , 使得⋃=A B A , 那么{(1⋃⋃=⋃τB A | })1τ∈A .较强于(ii)且易于验证的条件是 (ii)∈∀21,B B B , ∈⋂21B B B .例实数下限拓扑空间.令 B b}a R,b a,|b) {[a,<∈=,则B 为 R 上一拓扑的基. 这空间称为实数下限拓扑空间,记为 R l . 开区间是 R l 中的开集, 因为 +∈+=Z i b i a b a ),1[),(.定义设),(τX 是拓扑空间, S τ⊂. 若 S 的元之所有有限交构成的族是τ的基, 则称 S 是τ的子基.S 的元之有限交构成的族∈⋂⋂⋂i n S S S S |...{21S ,}+∈≤Z n i . 显然, 空间X 的基是子基.|例 S }|),{(}|),{(R b b R a a ∈-∞⋃∈+∞=是R 的子基.对照定理集合 X 的子集族 S 要作为子基生成X 上的拓扑的充要条件是∪S X =. (定理映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理设Y X ,是两拓扑空间, Y X f →:, 下述等价: (1)f 连续;(2) Y 基 B , 使得 B 中每一元的原像在X 中开; (3) Y 有子基 S , 使得 S 中每一元的原像在X 中开.证 (3)⇒ (2) 设 B 是 S 的元之所有有限交构成的族 , 则 B 满足(2)..(2)⇒ (1) 设U 在Y 中开,则⋃=U B , 于是∈=--B B fU f|)({)(11B }在X 中开.类似地, 可定义点的邻域基与邻域子基的概念, 同时用它们来验证映射的连续性等. 在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.拓扑空间中的序列可以与R 中一样地定义序列、常值序列、子序列, 见定义定义 X 中序列x x i →极限 , 收敛序列 .平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点. 数学分析中的一些收敛性质还是保留的, 如常值序列收敛, 收敛序列的子序列也收敛 . (定理定理 {x}-A 中序列)(A d x x x i ∈⇒→ 证x ∀的邻域,}){(,φ≡-x A U U 所以.)(A d x ∈ 定理 f 在 x 0 连续且)()(00x f x f x x i i →⇒→{证设 U 是)(0x f 的邻域, 则)(1U f-是0x 的邻域, +∈∃Z n , 当n i >时有)(1U fx i -∈, 从而U x f i ∈)(.上述两定理的逆命题均不成立.例设 X 是不可数集赋予可数补拓扑, 则(1)在X 中+∈∃⇔→Z n x x i , 当n i > 时有.x x i =; (2)若A 是X 的不可数子集, 则X A d =)(.证（1）的必要性，令},|{+∈≠=Z i x x x D i i ，则/D 是x 的邻域，n i Z n >∀∈∃+,时有/D x i ∈，即x x i =证x ∀)2(的邻域/}{,U x A U ⊄-（可数集），所以).(,}){(A d x x A U ∈≠-⋂φ 定理的逆命题不真. 如例取定X x ∈0, 让}{0x X A -=, 则)(0A d x ∈, 但A 中没有序列收敛于0x .、定理的逆命题不真. 取X 是实数集赋予可数补拓扑, 让R X i →:是恒等映射, 若在X 中x x i → , 则在R 中)()(x f x f i →, 但 i 在 x 不连续, 因为x x 在R R 的开邻域)1,1(+-x x 的原像)1,1())1,1((1+-=+--x x x x i 在X 中不是开的.定理设{x i }是度量空间),(τX 中的序列, 则0),(→⇔→x x x x i i ρ.证 x x x i ∀⇔→的邻域+∈∃Z n U ,, 当 i>n 时有+∈∃>∀⇔∈Z n U x i ,0ε当 i>n 时有+∈∃>∀⇔∈Z n x B x i .0),(εε当n i >时有0),(→x x i ρ.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法, 引入遗传性、可积性、可商性等概念, 这些是研究拓扑性质的基本构架.教学重点：子空间与积空间；教学难点：子空间、（有限）积空间和商空间'子空间对于空间 X 的子集族 A 及X Y ⊂, A 在 Y 上的限制 A |∈⋂=A Y A |{A }.(定义引理设Y 是空间),(τX 的子集, 则是Y 上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证. 如, 设ττττ∈∃∈∀⊂A Y B A ,,1|1, 使得Y B A A ⋂=, 于是Y A A Y A B A Y B |111})|{(}|{ττττ∈⋂∈⋃=∈⋂⋃=⋃定义对),(,|Y Y X Y τ⊂称为),(τX 的子空间, Y |τ称为相对拓扑. “子空间”= “子集”+ “相对拓扑”.易验证, 若Z 是Y 的子空间, 且 Y 是X 的子空间, 则Z 是X 的子空间. (定理定理设 Y 是X 的子空间, Y y ∈, 则~(1)若*,ττ分别为Y X ,的拓扑, 则Y |*ττ=;(2)若 F , F *分别为Y X ,的全体闭集族, 则 F *=F |Y ; (3)若 U , U *分别为y 在 Y X , 中的邻域系, 则 U *=U Y y |; (4)若 B 是X 的基, 则 B |Y 是Y 的基.证 (2) ∈*F F *,**Y U F Y F Y Y ⋂=-⇔∈-⇔τY F U Y U X F U |**,)(τττ∈⇔∈⋂-=⇔∈.(4)U 开于Y , 存在X 的开集V , 使得Y V U ⋂=,B 1 ⊂B , 满足⋃=V B 1, 则⋃=U (B 1 |Y ).在 R 的子空间),0(+∞中]1.0(是闭集.<定理设Y 是X 的子空间,Y A ⊂, 则Y A c A c Y A d A d X Y X Y ⋂=⋂=)()()2(;)()()1(证 (1) )(A d y X ∈在X 中的邻域φ≠-⋂⋂⊃-⋂}){()(}){(,y A Y U y A U U , 所以 Y A d y X ⋂∈)(. 反之 , 设Y A d y X ⋂∈)(, y 在Y 中的邻域y V ∃,在 X 中的邻域 U 使Y U V ⋂=, 于是φ≠-⋂=⋂-=-}){(})){((}){(y A U Y y A U y A V , 所以).(A d y ∈.(2)Y A c Y A A d A Y A d A A d A A c X X X Y Y ⋂=⋃⋂⋃=⋂⋃=⋃=)()())(())(()()(.有限积空间就平面的球形邻域),(εx B d 而言, 我们知道球形邻域内含有方形邻域 , 方形邻域内含有球形邻域 . 从基的角度而言,形如),(),(222111εεx B x B ⨯的集合就是平面拓扑的基了. 对于两个拓扑空间Y X ,, 在笛卡儿积集Y X ⨯中可考虑形如V U ⨯的集合之全体, 其中 U, V 分别是 X, Y 的开集. 对于有限个空间n X X X ,...,,21, 可考虑形如n U U U ⨯⨯⨯...21的集合.定理设),(i i X τ是 n 个拓扑空间, 则n X X X X ⨯⨯⨯=...21 有唯一的拓扑, 以 X 的子集族 B n i U U U U i i n ≤∈⨯⨯⨯=,|...{21τ为它的一个基 .证验证 B 满足定理的条件(i), (ii). (1) ∈⨯⨯⨯=n X X X X ...21B ,∪B =X; (2) 若∈⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n V V V U U U ...,...2121B , 则∈⋂⨯⨯⋂⨯⋂=⨯⨯⨯⋂⨯⨯⨯)(...)()()...()...(22112121n n n n V U V U V U V V V U U U B .定义以定理中 B 为基生成n X X X X ⨯⨯⨯=...21 上的唯一拓扑, 称为拓扑n τττ,...,21的积拓扑.),(τX 称为),,),...(,(),,(2211n n X X X τττ的(有限 )积空间.￥定理设n X X X X ⨯⨯⨯=...21是积空间,B i 是i X 的基, 则 B ∈⨯⨯⨯=i n B B B B |...{21Bi,}n i ≤是积拓扑τ的基. 证利用定理设i i U U x ττ∈∃∈∈,使∈∃⊂⨯⨯⨯∈i n B U U U U x ,...21B i 使 i i i U B x ⊂∈, 那么.......2121U U U U B B B x n n ⊂⨯⨯⨯⊂⨯⨯⨯∈.例形如),(...),(),(2211n n b a b a b a ⨯⨯⨯的集合构成n R 的基.设),(),,(2211ρρX X 是两个度量空间.令22222111),(),(),(y x y x y x ρρρ+=,则ρ是21X X ⨯上的度量, 导出X 上的度量拓扑τ. 对于n 个度量空间之积可类似地定义. (定义定理度量空间的有限积: 积拓扑与度量拓扑一致.验证2=n 的情形. 易验证),(),(),()2/,()2/,(22112211εεεεεx B x B x B x B x B ⨯⊂⊂⨯于是每一),(εx B 是积拓扑的开集, 且每一),(),(2211εεx B x B ⨯是度量拓扑的开集, 所以导出相同的拓扑.定理有限积空间n X X X X ⨯⨯⨯=...21以 S },)({1n i U U p i i i i ≤∈=-τ为子基, 其中i τ是i X 的拓扑, i i X X p →:是投射.仅证2=n 的情形.2121221111)(,)(U X U p X U U p ⨯=⨯=--, 所以∈⨯=⋂--21212111)()(U U U p U p B .~定义 Y X f →:称为开(闭)映射, 若U 开(闭)于X , 则)(U f 开(闭)于Y .定理 i i X X p →:是满、连续、开映射, 未必是闭映射.由于n i i i X U X X U p ⨯⨯⨯⨯⨯=-......)(211, 所以i p 连续. 由于i n i i U U U U U p =⨯⨯⨯⨯⨯)......(21, 所以是i p 开的. 但是R R p →21:不是闭的.定理设映射X Y f →:其中X 是积空间n X X X ⨯⨯⨯..21. 则f 连续i i X Y f p n i →≤∀⇔:, 连续.证充分性. 对X 的子基 S )()())((},,)({1111i i i i i i i i U f p U p f n i U U p ----=≤∈= τ开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑 . 即设τ是积空间nX X X X ⨯⨯⨯=...21的积拓扑, 若集合 X 的拓扑*τ满足: 每一投射i i X X p →),(:*τ连续, 则*ττ⊂.证由于*1},)({ττ⊆≤∈-n i U U p i i i i ，所以*ττ⊂. 、商空间回忆, 商集R X /, 及自然投射R X X p /:→定义为R x x p ][)(=. 问题: 设X 是拓扑空间, 要在R X /上定义拓扑, 使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形, 设),(τX 是拓扑空间且YX f →:是满射. 赋予集合Y 什么拓扑, 使f 连续的最大的拓扑. 若f 连续, 且U 是Y 的开集, 则)(1U f -是X 的开集. 让})(|{11ττ⋃⊂=-U f Y U , 易验证1τ是Y 上的拓扑.定义称1τ 是 Y 的相对于f 满射而言的商拓扑, ),(),(:1ττY X f →称为商映射. 这时, U 在 Y 中开)(1U f -⇔在X 中开;F 在Y 中闭)(1F f -⇔在X 中闭.定理商拓扑是使f 连续的最大拓扑.证设),(),(:1ττY X f →是商映射. 显然, f 是连续的. 如果2τ是Y 的拓扑使),(),(:1ττY X f →连续, 则ττ∈∈∀-)(,12U fU , 于是,1τ∈U 即,12ττ⊂, 所以1τ 是使 f连续的最大拓扑. 定理设Y X f →:是商映射. 对于空间Z , 映射Z Y g →:连续⇔映射Z X f g →: 连续.证设Z X f g →: 连续,W ∀开于))(()()(,111W g fW f g Z ---= 开于,X 由于f 是商映射, 所以)(1W g -开于Y , 故g 连续.定理连续, 满开(闭)映射⇒商映射.:证设),(),(:Y X Y X f ττ→是连续的满开(闭)映射, 1τ是Y 的相对于f 而言的商拓扑, 要证Y ττ=1. 由定理 Y ττ⊃1 . 反之,X V f V ττ∈∈∀-)(,11. 对于开映射的情形Y V f f V τ∈=-))((1,; 对于闭映射的情形, Y V f X f Y V τ∈--=-))((1, 所以总有Y ττ⊂1.定义设R 是空间),(τX 的等价关系, 由自然投射R X X p i /:→确定了 X/R 的商拓扑, 称),/(R R X τ为商空间, 这时R X X p i /:→是商映射.例在R 中定义等价关系~: ⇔∈∀y x R y x ~,,或者Q y x ∈,, 或者Q y x ∉,商空间 R/~是由两点组成的平庸空间. 由于 Q 在 R 中既是开集, 也不是闭集, 所以单点集[Q]在 R/~中既不是开集,也不是闭集. 习惯上, 把 R/~说成是在 R 中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例在1] [0,上定义等价关系⇔∈∀y x y x ~],1,0[,~:或者y x =, 或者~/]1,0}.[1,0{},{=y x 是在1] [0,中粘合 0, 1 两点所得到的商空间, 这商空间同胚于单位圆周S. 1第四章连通性本章起的四章介绍 4 类重要的拓扑不变性质. 本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.教学重点：连通空间、局部连通空间；教学难点：连通分支.~连通空间在拓扑中怎样定义连通, 分隔区间(0, 1), (1, 2)的关系与(0, 1), [1, 2)的关系不同, 虽然他们都不相交, 但相连的程度不一样.定义设,,X B A ⊂ 若φ=⋂=⋂--B A B A , 则称B A ,是隔离的.区间(0, 1)与(1, 2)隔离, 但区间(0, 1)与[1, 2)不隔离.几个基本事实: (1)两不交的开集是隔离的; (2)两不交的闭集是隔离的; (3)隔离子集的子集是隔离的 .定义 X 称为不连通的, 若X 中有非空的隔离子集B A ,使B A X ⋃=, 即X 可表为两非空隔离集之并. 否则X 称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通, 平庸空间是连通的.！定理对空间X , 下述等价:(1) X 是不连通的;(2) X 可表为两非空不交闭集之并;(3) X 可表为两非空不交开集之并;(4) X 存在既开又闭的非空真子集.证 (1)⇒(2)设隔离集B A ,之并是B B B A B B A B B X =⋂⋃⋂=⋃⋂=----)()()(,. 同理, A 也是闭的.(2)⇒(3)设X 是两非空不交闭集B A ,之并, 则X 是两非空不交开集B A ,之并.(3)⇒(4)设X 是两非空不交开集B A , 之并, 则B A , 都是X 的既开又闭的非空真子集.(4)⇒ (1)若A 是X 的开闭集, 则A X A -,隔离.~例 Q 不是R 的连通子空间, 因为)),())(,((+∞⋂-∞⋂=ππQ Q Q .定理 R 是连通的.证若R 不连通, 则R 是两非空不交闭集B A , 之并 . 取定,,B b A a ∈∈ 不妨设b a <.令B b a B A b a A ⋂=⋂=],[,],[**则**,B A 是R 两非空不交闭集且**],[B A b a ⋃=.让 *sup A c =. 因*A 是闭的, **],(,,B b c b c A c ⊂<∈, 因*B 是闭的, *B c ∈, 从而φ≠⋂**B A , 矛盾.定义若X 的子空间Y 是连通的, 则称Y 为连通子集, 否则, 称为不连通子集.定理设,,X Y B A ⊂⊂, 则B A ,是Y 的隔离集B A ,⇔ 是X 的隔离集.证 B A c Y B A c B A c X X Y ⋂=⋂⋂=⋂)()()(; 同理, A B c A B c X Y ⋂=⋂)()(. 定理设Y 是X 的连通子集. 如果X 有隔离子集B A ,使B A Y ⋃⊂, 则A Y ⊂ 或B Y ⊂.^证Y B Y A ⋂⋂,是Y 的隔离集, 所以φ=⋂Y A , 或 φ=⋂Y B , 于是A Y ⊂ 或B Y ⊂. 定理若Y 是X 的连通子集且-⊂⊂Y Z Y , 则Z 是连通的.证若Z 不连通, X 的非空隔离集B A , 使Y B A Z ⊃⋃=, 于是A Y ⊂ 或B Y ⊂, 不妨设A Y ⊂, 那么--⊂⊂A Y Z , 于是 φ=⋂=B Z B , 矛盾.定理设τγλ∈}{Y 是空间X 的连通子集族. 如果φτγλ≠∈ Y , 则X 连通. 证若 τγλ∈Y 是 X 中隔离集B A ,之并, 取定φτγλ≠∈∈ Y x , 不妨设A x ∈, 则A Y ⊂∈∀γτγ,，所以A Y ⊂∈ τγλ，于是φ=B .定理设X Y ⊂. 若X Y y x ∃∈∀,,的连通子集 Y 使 Y Y y x xy ⊂∈,, 则Y 连通.证设φ≠Y ，取定Y a ∈, 则A Y ay ⊂∈ τγ且 τγ∈∈ay Y a , 所以Y 连通.定理连续映射保持) 设Y X f →:连续. 若X 连通, 则)(X f 连通.、证若)(X f 不连通, 则)(X f 含有非空的开闭真子集A . 由于)(:X f X f →连续, 于是)(1A f -是X 的非空开闭真子集.连续映射保持性可商性拓扑不变性.有限可积性. 对于拓扑性质 P, 要证有限可积性, 因为n X X X ⨯⨯⨯...21同胚于n n X X X ⨯⨯⨯-11..., 所以只须证: 若Y X ,具性质 P, 则Y X ⨯具有性质 P.定理 (有限可积性) 设n X X X ,...,,21 连通, 则n X X X ⨯⨯⨯...21连通.证仅证若Y X , 连通, 则 Y X ⨯连通. 取定Y X y x Y X b a ⨯∈∀⨯∈),(.),( 令)}})({{(Y a y X S xy ⨯⨯=由于}{y X ⨯同胚于Y a X ⨯}{, 同胚于Y , 所以}{y X ⨯，Y a ⨯}{, 都连通且)}({}){(),(Y a y X y a ⨯⋂⨯∈，由定理, xy S 连通且xy S y x ∈),(, 再由定理}),(|{Y X y x S Y X xy ⨯∈=⨯连通.连通性的应用利用 R 连通性的证明(定理知, 区间都是连通的. 区间有 9 类：无限区间 5 类：],,(),,(),,[),,(),,(b b a a -∞-∞+∞+∞+∞-∞、有限区间 4 类：(a, b), [a, b), (a, b], [a, b].定理设R E ⊂, 则E 连通⇔E 是区间.证若 E 不是区间,b c a <<∃ , 使E b a ∈,但E c ∉令),(,),(+∞=⋂-∞=c B E c A 则 E 是不交的非空开集B A , 之并.定理设X 连通, R X f →:连续, 则)(X f 是 R 的一个区间.注X y x ∈,, 如果 t 介于)(x f 与)(y f 之间, 则X z ∈∃, 使t z f =)(. 事实上, 不妨设)()(y f t x f ≤≤则)()](),([X f y f x f t ⊂∈所以Xz ∈∃, 使t z f =)(. 定理介值定理) 设R b a f →],[:连续, 若r 介于)(a f 与)(b f 之间, 则],[b a z ∈∃使r z f =)(.定理不动点定理) 设]1,0[]1,0[:→f 连续, 则]1,0[∈z 使z z f =)(.证不妨设 1)1(),0(0<<f f .定义R F →]1,0[:使)()(x f x x F -=, 则F 连续且 ]1,0[),1(0)0(∈<<z F F 使得0)(=z F , 即z z f =)(.—定义2:R R f →为)2sin ,2(cos )(t t t f ππ=, 则f 连续且1)(S R f =, 于是1S 是连通的. 对121121),(,),(S x x x S x x x ∈--=-∈=称为x 的对径点, 映射11:S S r →定义为x x r -=)(称为对径映射, 则 r 连续.定理定理) 设R S f →1:连续, 则1S x ∈, 使)()(x f x f -=. 证定义R S F →1:为)()()(x f x f x F --=，则F 连续. 若1S a ∈ , 使得)()(a f a f -≠ 则0)()(<-⋅a F a F , 由定理 1S z ∈∃, 使得0)(=z F , 即)()(z f z f -=.定理 }0{-n R 连通, 其中.)0,...,0,0(0,1nR n ∈=>证只证 n=2 的情形. 令})0{(]0,(}),0{(),0[-⨯-∞-⨯+∞=R B R A , 则}0{-=⋃n R B A . 由于})0{(),0[})0{(),0(-⨯+∞⊂⊂-⨯+∞R A R , 所以A 连通. 同理B 连通, 从而B A ,连通.定理 2R 与 R 不同胚.证若存在同胚R R f →2:, 令R R f g R →-=-}0{:2}0{2, 则g 连续, 从而}0{})0{(22-=-R R g 连通, 矛盾.连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.~定义 X y x ∈,称为连通的, 若X 的连通子集同时含y x ,, 记为y x ~. 点的连通关系~是等价关系： z x z y y x x y y x x x ~~,~)3(;~~)2(;~)1(⇒⇔.定义空间X 关于点的连通关系的每一等价类称为X 的一个连通分支.x~y ⇔x, y 属于X 的同一连通分支. X 是X 的全体连通分支的互不相交并.定理设 C 是空间X 的连通分支, 则(1)若Y 是X 的连通子集且φ≠⋂C Y , 则C Y ⊂;(2)C 是连通的闭集.证 (1)取定Y y C Y x ∈∀⋂∈, 则y x ~所以 .C y ∈(2)取定X C x C c ∃∈∀∈,,的连通集),(x x Y x c Y ∈，由于C Y C Y x x ⊂≠⋂,φ，于是}|{C x Y C x ∈⋃=且}|{C x Y c x ∈⋂∈, 所以 C 是连通的. 从而 -C 连通且φ≠⋂-C C , 于是C C ⊂-, 故 C 闭.【以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集. Q 的连通分支都是单点集, 不是Q 的开子集Q y x ∈∀,, 由定理不存在Q 的连通子集同时含有y x ,,所以Q 的连通分支都是单点集 .局部连通空间例 (拓扑学家的正弦曲线 ) 令T S S T x x x S ⋃=-⨯=∈=1],1,1[}0{]},1,0(|)/1sin(,{(,则1S S =-, 于是 S, S 连通. 在 S 中, S 中点与 T 中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性 .S S=S ∪T=ST定义设X x ∈若x 的每一邻域U 中都含有x 的某一连通的邻域V , 称X 在x 是局部连通的. 空间X 称为局部连通的, 若X 在每一点是局部连通的.S 1 是连通, 非局部连通的. 多于一点的离散空间是局部连通, 非连通的.定理对空间X , 下述等价:(1) X 是局部连通;(2) X 的任一开集的任一连通分支是开集;(3) X 有一个基, 每一元是连通的.证 (1)⇒(2)设 C 是X 的开集U 的连通分支. x C x ∃∈∀,的连通的邻域 U V ⊂, 于是 C V C V ⊂≠⋂,φ, 所以 C 是x 的邻域, 故 C 开.(2)⇒ (3)令 B C X C |{⊂= 是X 的开集U 的连通分支}, 则 B 是X 的基.(3)⇒ (1)设U 是x 的邻域, 存在开集V 使U V x ⊂∈, 连通开集 C 使U V C x ⊂⊂∈, 所以X 局部连通.定理设Y X f →:是连续开映射. 若X 局部连通, 则)(X f 局部连通. 证 )(X f y ∈∀, 及 y 在)(X f 中的邻域U , 取)(1y f x -∈, 则 0(1U f -是x 的邻域, X 的连通开集V 使)(1U f V x -⊂∈, 于是 U V f x f y ⊂∈=)()(.定理局部连通性是有限可积性, 即设n X X X ,...,,21局部连通, 则n X X X ⨯⨯⨯...21局部连通.证 y, y f(X), x, x X 使 f(x)=y, f(x)=y,证仅证若21,X X 局部连通, 则21X X ⨯局部连通. 设 B 1, B 2 分别是21,X X 的由连通开集组成的基, 则{121|B B B ⨯ ∈B 1, ∈2B B 2}是21X X ⨯的由连通开集组成的基(定理道路连通空间定义设X 是拓扑空间, 连续映射 X f →]1,0[:称为X 中的一条道路,)1(),0(f f 分别称为f 的起点和终点, f 称为从)0(f 到)1(f 的一条道路,])1,0([f 称为X 中的一条曲线. 若)1()0(f f =, f 称为闭路.定义对空间X , 如果X X y x ∃∈∀,, 中从x 到y 的道路, 则称X 是道路连通的. 类似可定义道路连通子集.R 是道路连通的, R y x ∈∀,, 定义R f →]1,0[:为ty x t t f +-=)1()(.定理道路连通⇒连通.证设 X 道路连通. X X y x ∃∈∀,,中从x 到y 的道路X f →]1,0[:, 这时])1,0([f 是X 中含y x ,的连通子集, 所以X 连通.拓扑学家正弦曲线 S 是连通, 非道路连通的空间.定理设Y X f →:连续. 若X 道路连通, 则)(X f 道路连通.证X x x X f y y ∈∃∈∀2121,),(,使)(),(2211x f y x f y ==，存在道路X g →]1,0[: 使21)1(,)0(x g x g ==, 则 f ◦g: [0, 1]→ Y 是 f(X)中从1y 到2y 的道路.定理道路连通性是有限可积性.证仅证若21,X X 是道路连通, 则21X X ⨯道路连通.212121),(),,(X X y y y x x x ⨯∈==∀, 则存在道路21]1,0[:X X f i ⨯→使i i i i y f x f ==)1(,)0(，定义21]1,0[:X X f ⨯→为))(),(()(21t f t f t f =, 则 f 是从 x 到 y 的道路.可引进局部道路连通空间的概念. 同时, 与连通分支类似 , 可建立道路连通分支: 空间中最大的道路连通子集.第五章可数性公理本章主要介绍 4 种与可数性相关的拓扑性质, 它们与度量空间性质、下章要讨论的分离性公理都是密切相关的. 本章的要点是给出它们之间的基本关系.教学重点：第一与第二可数性公理；教学难点：分离性公理.第一与第二可数性定理第二章介绍的空间的基, 在生成拓扑空间, 描述局部连通性, 刻画连续性等方面都发挥了积极的作用. 较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的.定义若X 有可数基, 称X 满足第二可数(性)公理, 或是第二可数空间, 简称2A 空间. 定理 . 2A R ⇒证令 B },|),{(Q b a b a ∈=, 定理 B 是 R 的可数基. 离散空间X 具有可数基X 是可数集.下面讨论“局部基”性质. (定义对X x ∈, 设 U x 是x 的邻域系, 若 V x ⊂U x 满足: ∈∀U U x , ∈∃V V x 使U V ⊂, 则称 V x 是 x 的邻域基, 若更设 V x 中每一元都是开的, 则称 V x 是 x 的开邻域基或局部基. 易验证, (1) 若 V 是x 在X 的邻域基, 则∈V V o|{V }是x 在 X 的局部基; (2)(定理若 B 是空间X 的基, X x ∈ , 则 B x ∈=B {B }B x ∈是x 的局部基.定义若X 的每一点有可数邻域基, 称X 满足第一可数(性)公理, 或是第一可数空间, 简称1A 空间.定理度量空间1A ⇒.证}|)/1,({+∈=Z n n x B B x 是x 的可数邻域基.例不可数多个点的可数补空间X ，非1A证X x ∈有可数局部基V ，∈∃-∈∀y V x X y },{V 使//}{,}{y y V y y V ⊂⊂从而不可数集}{}{//y V x ⋃⊂可数集, 矛盾.定理 12A A ⇒.证若 B 是X 的可数基, 则 B ∈=B {B }|B x ∈是X x ∈的可数邻域基.逆命题不成立, 不可数的离散空间是反例.。

连通性

连通性定义1 设),(11T X 和),(22T X 为两个拓扑空间，则),(11T X ),(22T X 定义为21X X 上的以1T 2T 为拓扑基的拓扑空间，称为),(11T X 和),(22T X 的不交并空间。

设Λ∈ααα)},{(T X 为一族拓扑空间，则),(αααT X Λ∈ 定义为ααX Λ∈ 上的以Λ∈α αT 为拓扑基的拓扑空间，称为拓扑空间族Λ∈ααα)},{(T X 的不交并空间。

如果不出现混淆，简记),(αααT X Λ∈ 为ααX Λ∈ 。

例1 对任意实数x ，记x R 为平面2R 由子集}|),{(R y y x ∈决定的子空间，则x R x R ∈ 为2R 上另一拓扑空间结构。

定理1 设拓扑空间),(T X 的子集族Λ∈αα}{X 满足ααX X Λ∈= 。

记),(ααT X 为),(T X 的子空间。

则),(T X ),(αααT X Λ∈= 的充要条件是每个αX 都为X 的开集。

证充分性由定义。

假设每个αX 都为X 的开集，则对任何子空间αX 的开集ααT ∈U ，存在X 的开集αV 使得αααX V U =，而αX 为X 的开集，所以αU 为X 的开集。

这说明Λ∈α αT ⊂T 。

由ααX X Λ∈= 可知Λ∈α αT 为X 的基。

定义2 设),(T X 为拓扑空间。

X 的子集A 称为X 的孤立分支，如果A 为X 的非空真子集并且既开又闭。

例2 设),(αααT X Λ∈ 为不交并空间，则对任何Λ∈α，αX 为X 的孤立分支。

定理2 设),(T X 为拓扑空间，A 为X 的非空真子集。

则以下结论等价。

(1) A 为X 的孤立分支。

(2) c A 为X 的孤立分支。

(3) 存在X 到}1,0{的满映射f 使得)0(1-=f A ，)1(1-=f A c 。

(4) =),(T X ),(1T A ),(2T c A ，其中),(1T A 和),(2T c A 为),(T X 的子空间。

周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性课后答案

謳因Ab 局部连通，所以存在连通集B ∈ Ux (Ab )，使得B ⊆ W ⊆ W ⊆ W ．所以存在X 的开集U ，使B = U ∩Ab ．再令U = U ∩W ，显然有B = U ∩Ab 且 ¯=U ∩W ∩A ¯=U ∩W ⊆W . U ∩A 设P = [x]是U 的含x的连通分支，则P 在U 中是开集，故在X 中也是开集．因x ∈ P ∩ B 及B 连通，有B ⊆ P ，从而有 ¯) ∩ Ab . B = P ∩ Ab = (P ∩ A 謨謱謩
謴练习0.18. 实直线R的子集A路连通当且仅当A连通． Proof. 对R的任一路连通子集A，则A是R连通子集．反之，若A是连通的，当 A是单点集时， A时路连通的；当 A不是单点集时， A是区间，从而是路连通的．练习0.19. 证明有限个路连通空间的积是路连通的． Proof. 仅对n = 2的情形进行证明设x = (x1 , x2 )，y = (y1 , y2 ) ∈ X1 ×X2 ，对i = 1, 2，由于Xi 是路连通空间，故在Xi 中又从xi 到yi 的一条道路fi : [0, 1] → Xi ．定义映射f: [0, 1] → X1 × X2 ，其中对任何的t ∈ [0, 1]，有f (t) = (f1 (t), f2 (t))，则f 是从x到y 的一条道路．故X1 × X2 是路连通空间．练习0.20. 证明有限个局部路连通空间的积是局部路连通的． Proof. 设X1 , X2 是局部路连通的，则对任意的(x1 , x2 ) ∈ X1 ×X2 ，以及对(x1 , x2 )的任意的基开集邻域U1 × U2 ，存在xi 的路连通邻域Vi ⊆ Ui ．于是V1 × V2 ⊆ U1 × U2 是(x1 , x2 )的路连通邻域．练习0.21. 设X 为拓扑空间，若{Yλ }λ∈Λ 为X 的路连通子集族，并且满足∀λ, µ ∈ Λ，存在Λ中的有限个元素r1 = λ, r2 · · · , rn , rn+1 = µ，使得Yri ∩ Yri+1 = ∅，i = 1, · · · , n，则 Yλ 为路连通子集．

拓扑学第五章-连通性

第五章连通性普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。

然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例：设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中1{(,sin )(0,1)}A x x x=∈{(0,)11}B y y =-≤≤如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。

▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。

前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。

在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。

§5-1 连通空间先看一个例子：考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。

它们是不交的，（即交为空集）。

但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。

原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。

为此，给出一个“分离”的概念。

定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ⋂=∅与A B ⋂=∅，则称A 与B 是分离的。

定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。

●显然，连通与下面几种说法是等价的。

① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集； ④ X 中只有X 和∅是既开又闭的。

上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。

例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。

（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。

（3）1E 空间是连通的。

结论（3）是明显的。

但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。

因此，有必要去证明一下。

证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。

拓扑基与子基的关系

拓扑基与子基的关系拓扑基与子基是拓扑学中的两个重要概念，它们在描述拓扑空间的结构时起着基础性的作用。

下面我们将详细探讨拓扑基与子基的定义、性质以及它们之间的关系。

首先，我们来定义拓扑基。

拓扑基是拓扑空间中的一个子集族，它满足两个条件：一是每个开集都是这些子集的并集；二是这些子集的任意交集仍然是这些子集的并集。

拓扑基是拓扑空间的一种“生成器”，它可以用来构造出所有的开集。

接下来，我们再来定义子基。

子基也是拓扑空间中的一个子集族，它满足的条件是：每个开集都可以表示为这些子集的并集，并且这些子集的有限交集仍然是开集。

子基相对于拓扑基来说，要求更为宽松，但仍然能够用来生成所有的开集。

那么，拓扑基与子基之间有何关系呢？首先，我们可以发现一个明显的共同点：它们都是用来生成拓扑空间中所有开集的子集族。

但是，它们在性质上有所不同。

拓扑基的要求更为严格，它要求任意子集的交集仍然是这些子集的并集，而子基则只要求有限交集的并集仍然是开集。

这种差异导致了它们在应用上的不同。

拓扑基在理论研究中具有更广泛的应用，特别是在证明某些拓扑性质时，使用拓扑基往往更为方便。

而子基则在实际应用中更为常见，例如在构造某些具体的拓扑空间时，使用子基可以简化计算过程。

此外，我们还需要注意到一个事实：一个拓扑空间可能有多个拓扑基或子基。

不同的拓扑基或子基可能会生成相同的拓扑空间，但它们在描述空间结构时可能具有不同的特点。

因此，在选择拓扑基或子基时，我们需要根据具体的问题和需求来做出合理的选择。

综上所述，拓扑基与子基是拓扑学中两个重要的概念，它们在描述拓扑空间的结构时发挥着基础性的作用。

虽然它们在定义和性质上有所不同，但它们在研究和应用中都具有重要的价值。

关于子基的局部连通性

是的可约元，否则，称是不可约元；如果中的任一元都是不可约元，则称是约简的．
定义２设ｘ，，）拓扑空间任意ＡＸ，关于子的内（）包ｃ（）．２（Ｔ为，则Ａ基部Ａ和闭Ａ定
义：（）Ｕ｛∈ ）ｃ（）～～）当Ａ＝时Ａ为集当Ａ＝为／Ａ＝ＩｐＢ，Ａ＝（Ａ．（）Ａ，称开；ｃ）ＡＡ（
时，Ａ称为闭集．
定义２３设（，）拓扑空间，．［２ｘ丁，为 ∈Ｘ，Ｘ，如果存在一个包含的开集包含于Ｕ
，
则称为的邻域．定义２４２设（，）．Ｉ丁，为拓扑空间，Ａ，Ｘ，如果
Ｎｏ１２０．．０８年
Ｇｅｅａ．９ｎｒｌＮｏ５
文章编号：０８７２（０８０．０１０１０－８６２０）１０１．６
关于子基的局部连通性
张其森，李长清，许晴媛。
（．１漳州师范学院数学与信息科学系，福建漳州３３０；２漳州师范学院计算机科学与工程系，福建漳州３３０）６００．６００摘要：利用关于子基的开集这个概念，本文定义关于子基的局部连通和关于子基的局部道路连通，探讨
收稿日期：０７０．０２０．９３基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１１；福建省自然科学基金资助项目（０６０２）１５１５）２０Ｊ２８作者简介：张其森（９１）１８．，男，福建省长乐市人，在读硕士研究生．
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广东省人民政府关于加快推进城市基础设施建设的实施意见-粤府〔2015〕56号

广东省人民政府关于加快推进城市基础设施建设的实施意见正文：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 广东省人民政府关于加快推进城市基础设施建设的实施意见粤府〔2015〕56号各地级以上市人民政府，各县（市、区）人民政府，省政府各部门、各直属机构：为深入贯彻落实《国务院关于加强城市基础设施建设的意见》（国发〔2013〕36号），进一步完善我省城市基础设施建设，提高城市综合承载力、运行效率和城市发展质量，现提出以下实施意见：一、总体要求遵循城市发展规律，结合本地区自然状况和经济社会发展水平，系统推进城市基础设施建设。

坚持先规划、后建设，规划编制与规划实施并重；坚持先地下、后地上，正确处理城市“面子”与“里子”的关系；坚持重安全、保民生，推进城市基础设施平战结合、军地融合，增强城市减灾防灾能力和公共服务供给能力；坚持绿色低碳、集约智能，提升城市生态环境质量；坚持机制创新，采取多元化投融资方式建设和运营城市基础设施；坚持建设和管理并重，提高城市基础设施运行效率。

二、科学编制和实施城市基础设施建设专项规划（一）科学编制专项规划。

各地级以上市要依据城市总体规划科学编制城市基础设施专项规划，并做好与土地利用总体规划等各类规划的衔接。

到2016年6月底，各地级以上市要完成城市综合交通、公共交通、地下管线、排水防涝、供水、供电、燃气、垃圾、污水、绿地系统、防洪、通信等城市基础设施专项规划的编制（修编）和审批工作，并将各专项规划纳入国民经济和社会发展“十三五”规划以及城市近期建设规划、年度实施计划；各县（市）要根据本地实际完成相关专项规划的编制（修编）和审批工作。

局部连通空间

因此C是点x的一个邻域。这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是开集。反过来，如果每一个开集的连通分支都是开集，则每一点的每一开邻域都包含连通的开邻域，这就是此开邻域的连通区。因此空间是局部连通的连通空间不一定是局部连通的空间。
道路连通空间
局部连通空间不一定是道路连通的。
反例：实直线R上的点集E=(- 1,0)∪(0,1)，并把E看成是R上的子空间，则E是局部连通的，但不是连通的。因为0点不属于E。
定义
连通空间
道路连通空间
定义1：设X是一个拓扑空间。如果X中有两个非空的隔离子集A和B，使得X= A∪ B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。
定义3：设X是一个拓扑空间，如果对于任何x, y，存在着X中的一条从x到y的道路(或曲线)，我们则称X是一个道路连通空间。X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间。
实数空间R是道路连通的，这是因为如果x, yR，则连续映射f： [0,1]R定义为对于任何t[0,1]有 f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y为终点的道路。也容易验证任何一个区间都是道路连通的。
与连通空间
（1）定理1：拓扑空间的两个不同的连通分支是不相交的。
证明：设A和B是两个连通分支，且A∩ B≠，则由熊金诚的结果可知，A∪ B是连通的，于是，A= A∪ B=B。
（2）定理2：任何拓扑空于任意x∈ X，包含x的连通分支Cx是存在的，所以：
（3）定理3：拓扑空间为局部连通的充分必要条件是每一开集的每一连通分支是开集。
证明：设X是局部连通空间，U是X的一个开集，而C是U的一个连通分支。如果x∈ C，由于U是x的一个邻域，所以x有一个连通邻域V包含于U。又由于V∩ C包含着点x，所以不是空集。根据熊金程的《点集拓扑讲义》中的定理4.31，可见：

拓扑学中的连通性与紧性的研究

拓扑学中的连通性与紧性的研究拓扑学是一门研究空间性质的学科，其中连通性和紧性是其重要概念之一。

本文将介绍拓扑学中的连通性和紧性的基本概念、性质以及相关研究。

一、连通性的概念与性质连通性是拓扑学中研究空间内部连通程度的属性。

给定一个拓扑空间X，如果X中任意两点都可以通过空间内的路径连续地相连，则称X是连通的，否则称X是不连通的。

连通性的概念可以进一步推广，如道路连通性、区域连通性等。

连通性具有以下性质：1. 连通集的补集是不连通的：若A是连通集，则A的补集A'是不连通的。

2. 连通集与连续映射的像：若f:X→Y是连续映射，且X是连通的，则f(X)也是连通的。

3. 连通集的闭包与内部：连通集的闭包和内部仍然是连通的。

二、紧性的概念与性质紧性是拓扑学中研究空间紧凑性的概念。

给定一个拓扑空间X，如果X中的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称X是紧的。

紧性具有以下性质：1. 紧集的闭子集是紧的：若A是紧集，B是A的闭子集，则B也是紧的。

2. 局部有限的连续映射的像是局部有限集：若f:X→Y是局部有限的连续映射，且X是紧的，则f(X)是Y中的局部有限集。

3. 连续映射下的紧性：若f:X→Y是连续映射，且X是紧的，则f(X)是Y中的紧集。

三、连通性与紧性的关系在拓扑学中，连通性与紧性有一定的关联。

有以下定理可以描述连通性与紧性的关系：定理1：连通紧致集合是连通性与紧性的结合。

证明：假设A是连通紧致集合，我们可以证明A是连通的且紧的。

首先，假设A不连通，则存在开集U、V，满足A⊆U∪V、U∩V=∅且U∩A≠∅、V∩A≠∅。

由于A是紧的，故存在有限子覆盖U1、V1、U2、V2、...、Un、Vn。

如果我们选择U1、U2、...、Un这些开集，则A⊆U1∪U2∪...∪Un，而U1∪U2∪...∪Un∪V1∪V2∪...∪Vn是U∪V的一个开覆盖，矛盾于A的连通性。

因此，A必须是连通的。

其次，假设A不紧，则存在A的一个开覆盖，无有限子覆盖。

4.1 连通空间

X1 X 2 X n 也是连通空间．
拓扑学的中心任务
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质,所谓拓
扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑
不变性质．
以,Y作为子空间是不连通的.
Department of Mathematics
定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l）X是一个不连通空间；
（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B,使得： A B , A B X 成立
（3）X中存在着两个非空的开子集A和B,使得：
点集拓扑学
-哈尔滨工程大学-理学院 -林锰 -
第四章连通性与道扑空间连通与子空间的连通性的概念,掌握关于连通性的相关性质和定理,掌握连通性的几个等价条件;了解连通分支等相关概念,掌握道理连通性和道路连通分支等概念掌握如何证明一个集合的连通与否；
定理4.1.3 如果 Y Z X ，则Y是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．定理4.1.4 设Y是拓扑空间X的一个子集，A, B Y 则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓
扑空间X中的隔离子集．
因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存
在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y当
B为闭集，则由于这时有: A B , B A
c
c
因此A、B也是开集，
Department of Mathematics
条件(3)蕴涵(4)．
如果X的子集A和B满足条件(3)中的要求，所以A、
B是开集，则由 A Bc , B Ac A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真子集. 条件(4)蕴涵(l)．设X中有一个既开又闭的非空真子集A,令 B Ac 则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并, 且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的,因此(l)成立．

道路连通性问题在高考数学中的解决方法

道路连通性问题在高考数学中的解决方法每年的高考数学考试中，常常会出现关于道路连通性问题的考题。

这类问题可以说是高考数学中的经典问题，也是很多学生比较头疼的难题。

那么，如何解决这类问题呢？首先，我们需要了解道路连通性问题的定义。

道路连通性问题是指在一张地图中，寻找一条能够连接所有城市的路径。

这些城市之间的路径可能是直线，也可能是曲线；可能是单向道，也可能是双向道；可能是高速公路，也可能是乡村小道。

因此，解决这类问题需要掌握一些基本知识和技巧。

一、建立模型为了解决道路连通性问题，我们需要将其转化为一个数学模型。

具体地说，我们需要将地图上的每一个城市表示为一个节点，城市之间的路径表示为边。

然后，我们可以使用图论来解决这个问题。

图论是一门数学学科，研究的是图的性质和相关算法。

求解道路连通性问题就可以看作是在图中寻找一条遍历所有节点的路径。

二、欧拉回路在解决道路连通性问题时，一个非常重要的概念就是欧拉回路。

欧拉回路是指在一个图中，恰好遍历每一条边一次的回路。

欧拉回路的存在条件是：该图是连通图且所有节点的度数都是偶数。

欧拉回路的求解方法有很多，最常用的是基于深度优先搜索和广度优先搜索的算法。

三、哈密顿回路如果一个路径可以恰好遍历所有的节点一次，那么这条路径就被称为哈密顿路径。

如果在这个路径的基础上，又恰好回到了起点，那么这个路径就被称为哈密顿回路。

求解哈密顿路径和哈密顿回路是一个NP难问题，也就是说，目前没有有效的多项式时间算法来解决这个问题。

因此，在实际应用中，我们需要使用一些启发式算法来求解哈密顿路径和哈密顿回路。

四、贪心算法贪心算法是一种简单、高效的求解算法，可以用于求解一些基本的道路连通性问题。

贪心算法的基本思想是，每次都选择当前最优的解，并且保证这种选择不会导致问题无法解决。

在道路连通性问题中，贪心算法可以用于求解最小生成树和最短路问题等。

五、动态规划算法动态规划算法是一种适用于求解复杂问题的算法，可以用于求解道路连通性问题中的多个子问题。

周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性课后答案

第四章连通性练习题
Hale Waihona Puke November 12, 2012
謱练习 0.1. 若空间(X, T )是连通的，T ⊆ T 是X 的拓扑，则空间(X, T )也是连通的． Proof. 如果(X, T )不连通，则存在既开又闭的非空真子集A．因T ⊆ T ，所以它又是(X, T )的既开又闭的非空真子集，从而(X, T )不连通，矛盾． ¯ = ∅，Y ∩ Z c = ∅，练习 0.2. 设Y 是X 的连通子集，设Z 是X 的子集，若Y ∩ Z b 则Y ∩ Z = ∅． ¯ ∪ Z c ，所以 Proof. 因为X = Z ∪ Z c = Z ¯ ∪ Z c ) = (Y ∩ Z ¯ ) ∪ (Y ∩ Z c ). Y = Y ∩ X = Y ∩ (Z ¯ ) ∩ (Y ∩ Z c ) = ∅，则Y = (Y ∩ Z ¯) 若Y ∩ Z b = (Y ∩ Z 矛盾． ˜n ∼ 练习0.3. 证明R = Rn ． ˜ n 作为子空间，其基开集为U1 × · · · × Un × {0} × · · · 。 Proof. 提示：R 练习0.4. 设ξ : S 1 → S 1 是同胚，满足ξ ◦ ξ = idS 1 ．证明对任意连续映射f : S 1 → R，存在点z ∈ S 1 ，使得f (z ) = f (ξ (z ))． Proof. 令F (z ) = f (z ) − f (ξ (z ))，z ∈ S 1 ，则F : S 1 → R为连续映射．取点z0 ∈ S 1 ，若F (z0 ) = 0则结论已真．若F (z0 ) = 0，不仿设F (z0 ) > 0，由ξ 的定义ξ (z0 ) ∈ S 1 且 F (ξ (z0 )) = f (ξ (z0 )) − f (ξ (ξ (z0 ))) = f (ξ (z0 )) − f (z0 ) = −F (z0 ) < 0, 由介值定理及S 1 的连通性存在z ∈ S 1 ，使得F (z ) = 0，即f (z ) = f (ξ (z ))．练习0.5. 设X 是无限集，T = {∅} ∪ {U |U c 有限}，则(X, T )是连通的． Proof. 如果不连通，则存在既开又闭的非空真子集A．由于A开，则Ac 有限，从而A无限；由于A闭，则Ac 开，从而A = Acc 有限；矛盾．练习0.6. 设Y 为不少于两点的离散拓扑空间，那么，X 连通的充要条件是每个连续映射f : X → Y 是常值的． Proof. 必要性．设X 是连通空间，f : X → Y 为连续映射，则f (X )为连通子集．若f 不是常值的，则f (X )多于一点，设y ∈ f (X )．由于Y 是离散空间，所以{y }，Y − {y }皆为Y 的非空开集，且它们无交，这与f (X )连通矛盾．故f (X )是单点集，即f 为常值映射．充分性．设每一连续映射f : X → Y 都是常值映射．若X 不连通，则存在非空开集A, B ，使得A ∪ B = X 謬A ∩ B = ∅，定义映射f : X → Y ，使得f (A) = {0}，f (B ) = {1}，显然f 为连续映射，但f 非常值，矛盾．练习 0.7. 设A是X 的连通子集，B 是X 的既开又闭的子集，若A ∩ B = ∅，则A ⊆ B ． (Y ∩ Z c )．这与Y 连通

关于子基的道路连通性

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道路连通空间

城市道路网连通性评价指标探析

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教案15道路连通性

点集拓扑讲义教案设计

连通性

周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性 课后答案

拓扑学第五章-连通性

拓扑基与子基的关系

关于子基的局部连通性

广东省人民政府关于加快推进城市基础设施建设的实施意见-粤府〔2015〕56号

局部连通空间

拓扑学中的连通性与紧性的研究

4.1 连通空间

道路连通性问题在高考数学中的解决方法

周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性 课后答案

周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性课后答案

周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性课后答案