【瀚海导航】2012高考数学总复习第六单元 第一节 不等关系与不等式练习
高考数学一轮复习第六章不等式第一讲不等关系与不等式学案含解析新人教版
第六章 不等式第一讲 不等关系与不等式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 实数的大小与运算性质的关系 (1)a >b ⇔__a －b >0__； (2)a ＝b ⇔__a －b ＝0__； (3)a <b ⇔__a －b <0__.知识点二 比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．知识点三 不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__a >c __；(3)同向可加性：a >b ⇔a ＋c __>__b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c __>__b ＋d ；(4)同向同正可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac __<__bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方性：a >b >0⇒a n __>__b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．归纳拓展1．a >b ，ab >0⇒1a <1b .2．a <0<b ⇒1a <1b .3．a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.4．若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab >1，则a >b .( × )(3)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( √ )(4)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 走进教材2．(必修5P 74T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析]a －b >0⇒a >b ⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0a －b >0.3．(必修5P 74T3改编)设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( C ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c[解析] 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 走向高考4．(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] ∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定，故选C ．5．(2019·全国)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |考点突破·互动探究考点一 比较代数式的大小——自主练透例1 (1)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小； (2)设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小； (3)若a >b >0，试比较a －b 与a －b 的大小．[解析] (1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0.∴－2xy (x －y )>0.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b .当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a ；当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a. (3)∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，又(a －b )2－(a －b )2＝a －b －(a ＋b －2ab )＝2ab －2b ，∵a >b >0，∴a >b ，∴ab >b ，∴2ab －2b >0，即(a －b )2>(a －b )2，∴a －b >a－b .[引申]本例(2)的条件下a a b b __>__(ab )a ＋b2.名师点拨比较两实数大小的方法比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．作商法通常适用于两代数式同号的情形．注意①若ab >1，b <0，则a <b ；②比较两式大小时可以先赋值判断两式大小关系，以明确比较时变形的方向；③注意函数单调性在比较大小中的应用．考点二 不等式的性质——师生共研例2 (1)已知a >b >0，c >d >0，则下列不等式中一定不成立的是( C ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －d >b －c C ．a c >b dD ．ac >bd(2)(2021·广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设a >1>b >－1，b ≠0，则下列不等式中恒成立的是( C )A ．1a <1bB ．1a >1bC ．a >b 2D ．a 2>2b(3)(2021·四省八校质检)若log a b <log a c ，则下列不等式一定成立的是( C ) A ．ab <ac B ．a b >acC ．a b <a cD ．b a >c a[解析] (1)对于A ，因为a >b >0，c >d >0，所以a ＋c >b ＋d 成立． 对于B ，因为a ＋c >b ＋d ，所以a －d >b －c 成立．对于C ，举反例，如a ＝6，b ＝2，c ＝3，d ＝1，可知a c ＝bd ，故C 不成立．对于D ，因为a >b >0，c >d >0，所以ac >bd >0，故ac >bd 成立．故选C ．(2)对于A ，当a 为正数，b 为负数时，1a >1b ，所以，A 错误；对于B ，当a ＝2，b ＝12时，B 不成立，所以错误；对于C,1>b >－1⇒b 2<1，而a >1，所以选项C 正确；对于D ，取反例：a ＝1.1⇒a 2＝1.21，b ＝0.8⇒2b ＝1.6，D 错误．(3)由题意知0<a 且a ≠1，当0<a <1时，b >c >0，∴ab >ac ，且1b <1c ，从而a b <ac ，∴A ，B 错，当a >1时，0<b <c ，∴b a <c a ，∴D 错．故选C ．名师点拨(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．(2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法． 〔变式训练1〕(1)(2021·四川攀枝花统考改编)设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( D ) A ．1a <1bB ．ac 2<bc 2C ．b a <a bD ．a 2>ab >b 2(2)(2021·山东省枣庄市模拟)已知0<a <1,0<c <b <1，下列不等式成立的是( D ) A ．a b >a c B ．c b >c ＋ab ＋aC ．log b a <log c aD ．b b ＋a >c c ＋a[解析] (1)对于A 显然错误；对于B ，当c ＝0时，不正确；对于C ，b a －a b ＝b 2－a2ab＝(b ＋a )(b －a )ab<0，故不正确，对于D ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a <b a <0⇒a 2>ab⎭⎬⎫a <b b <0⇒ab >b 2⇒a 2>ab >b 2，故选D ．(2)显然b ＋a >0，c ＋a >0， ∴b b ＋a >c c ＋a⇔bc ＋ab >bc ＋ac ， 即ab >ac ⇔b >c ，故选D ． 另解：不妨取c ＝14，a ＝b ＝12，代入选项A ，B ，C 都错，故选D ． 考点三 不等式性质的应用——多维探究 角度1 应用性质判断不等式是否成立例3 (2018·课标Ⅲ，12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( B ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析] 本题考查不等式及对数运算．解法一：∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0，排除C ．∵0<log 0.20.3<log 0.20.2＝1，log 20.3<log 20.5＝－1，即0<a <1，b <－1，∴a ＋b <0，排除D ． ∵b a ＝log 20.3log 0.20.3＝lg 0.2lg 2＝log 20.2， ∴b －b a ＝log 20.3－log 20.2＝log 232<1，∴b <1＋ba⇒ab <a ＋b ，排除A ．故选B ．解法二：易知0<a <1，b <－1，∴ab <0，a ＋b <0，∵1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4<1， 即a ＋b ab <1，∴a ＋b >ab ，∴ab <a ＋b <0.故选B ．角度2 利用不等式的性质求范围问题例4 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是__(－4,2)__,3x ＋2y 的取值范围是__(1,18)__.(2)(2021·河北衡水中学五调)已知1≤a ≤3，－4<b <2，则a ＋|b |的取值范围是__[1,7)__. [解析] (1)∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6, ∴1<3x ＋2y <18.(2)∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，又1≤a ≤3， ∴1≤a ＋|b |<7.名师点拨利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·广东省清远市期末改编)已知1a <1b <0，下列结论正确的是( B )A ．a 2>b 2B ．b a ＋a b >2C ．lg a 2>lg(ab )D ．2a ＋b >2a －b(2)(角度2)(2021·上海金山中学期中)已知1<a <2,2<b <3，则ab 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫13，1__. (3)(角度2)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－32，112__. [解析] (1)对于A ，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )<0不正确；对于B ，b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，又a >b ，∴b a ＋ab>2，正确；对于C ，a 2－ab ＝a (a －b )<0，∴lg a 2<lg(ab )，不正确；对于D ，(a ＋b )－(a －b )＝2b <0，∴2a ＋b >2a －b 不正确，故选B ．(2)∵2<b <3，∴13<1b <12，又∵1<a <2，∴13<ab <1.(3)由1<α<3得12<α2<32，由－4<β<2得－2<－β<4，所以α2－β的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，112.故填⎝⎛⎭⎫－32，112.名师讲坛·素养提升利用不等式变形求范围例5 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是__[5,10]__. [分析] 用f (1)和f (－1)表示f (－2)，也就是把f (－1)，f (1)看作一个整体求f (－2)，或用待定系数法求解．[解析] ∵y ＝f (x )＝ax 2＋bx ，∴f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . 解法一：(待定系数法) 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 又f (－2)＝4a －2b ，所以4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10. 解法二：(运用方程思想)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.名师点拨若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如a <α<β<b 中，千万不要忽略α<β这一条件．本例中若直接求出a ，b 范围，再求f (－2)范围，会因扩大范围而出错．〔变式训练3〕(1)已知1<a ＋b ≤5，－1≤a －b <3，则3a －2b 的取值范围是__(－2,10)__.(2)(2021·云南模拟)已知x >0，y >0，若－1≤lg x y ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y 的取值范围是__[－1,5]__.[解析] (1)设3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 则3a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝52.∴3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．又∵1<a ＋b ≤5，－1≤a －b <3， ∴12<12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )<152. ∴－2<3a －2b <10.(2)由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，∴12≤12(lg x ＋lg y )≤2，－32≤32(lg x －lg y )≤3， 则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5.故填[－1,5]．。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式课后作业 理
6．1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,3} B ．{1,3} C ．{2} D ．{3}答案 C解析 A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}＝{1,2,3}，故A ∩B ＝{2}，选C.2．(2017·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若(a －b )a 2≥0，当a ＝0时，a ≥b 不一定成立，故(a －b )a 2≥0不是a ≥b 的充分条件；若a ≥b ，则(a －b )·a 2≥0成立，故(a －b )a 2≥0是a ≥b 的必要条件，故选B.3．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c答案 C解析 由0<c <1知y ＝x c在(1，＋∞)上单调递增，故由a >b >1知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a logbc <b log a c ，故C 正确．故选C.4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.5．(2017·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6．(2017·松滋期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a ＞2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ＞qC ．p ＜qD ．p ≤q答案 A解析 由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .故选A.7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈(－∞，－2)，故选A.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．故选C.9．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，又f (2x －1)－f (x ＋1)>0，∴f (2x －1)>f (x ＋1)．当x >2时，2x －1>x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x <1(舍去)；当x <2时，2x －1<x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x >32，∴32<x <2；②若2x －1≤2<x ＋1，即1<x ≤32，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x >43，∴43<x ≤32.综上，43<x <2，故选D.10．(2018·湖南衡阳八中一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8答案 D解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0的图象如图所示，①当b ＝0时，原不等式化为 [f (x )]2＋af (x )<0，当a >0时，解得－a <f (x )<0，由于不等式[f (x )]2＋af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3.又f (3)＝－9＋6＝－3，∴－a <－3，－a ≥f (4)＝－8，则3<a ≤8. 易知当a ≤0时不合题意．②当b ≠0时，对于[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，Δ＝a 2＋4b 2>0， 解得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b 22，又－a －a 2＋4b 22<0<－a ＋a 2＋4b22，f (x )＝0有两个整数解，故原不等式至少有两个整数解，不合题意．综上可得a 的最大值为8.故选D. 二、填空题11．(2013·四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)．又x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴不等式f (x ＋2)＜5⇒f (|x ＋2|)＜5 ⇒|x ＋2|2－4|x ＋2|＜5⇒(|x ＋2|－5)(|x ＋2|＋1)＜0 ⇒|x ＋2|－5＜0⇒|x ＋2|＜5 ⇒－5＜x ＋2＜5⇒－7＜x ＜3. 故解集为(－7,3)．12．(2018·汕头模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．13．(2017·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.14．(2017·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9. 三、解答题 15．解不等式a x －x －2>1(a ∈R )．解 原不等式等价于a x －x －2－1>0，即a x －－x －x －2>0，所以[(a －1)x －(a －2)](x －2)>0 ①. 当a ＝1时，①式可以转化为x >2； 当a >1时，①式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0； 当a <1时，①式可以转化为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)<0. 又当a ≠1时，2－a －2a －1＝aa －1，所以当a >1或a <0时，2>a －2a －1； 当a ＝0时，2＝a －2a －1； 当0<a <1时，2<a －2a －1. 故当a ＝1时，原不等式的解集是(2，＋∞)；当a >1时，原不等式的解集是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0<a <1时，原不等式的解集是⎝⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1；当a ＝0时，原不等式的解集是∅；当a <0时，原不等式的解集是⎝⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2.16．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上f (x )为减函数，函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.。
(整理版)高考数学总复习第六章第1课时不等关系与不等式随
高考数学总复习 第六章 第1课时 不等关系与不等式随堂检测〔含解析〕 新人教版1．(·高考浙江卷)假设a ，b 为实数，那么“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a 〞的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∴“0<ab <1〞是“a <1b 或b >1a〞的充分条件． 而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， 故“0<ab <1〞是“a <1b 或b >1a〞的充分而不必要条件．2．设a ，b ∈R ，假设a －|b |>0，那么以下不等式中正确的选项是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 2<0C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C.3．a 1、a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，那么M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B.M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，∵a 1、a 2∈(0,1)，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N .应选B.4．(·高考江苏卷)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，那么x 3y 4的最大值是________．解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14， ∴181≤y 2x 4≤116. 又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y 2x4， 且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x 3y4≤27. 答案：27。
高考数学总复习 第6章 第1节 不等关系与不等式课件 新
A．a2＞－a3＞－a
B．－a＞a2＞－a3
C．－a3＞a2＞－a D．a2＞－a＞－a3
解析：∵－1＜a＜0，
∴0＜－a ＜1，∴－a ＞(－a)2＞(－a)3，即－a＞a2＞－a3.
答案：B
2．“a＋b ＞2c”的一个充分非必要条件是( ) A．a＞c或b＞c B．a＞c或b＜c C．a＞c且b＞c D．a＞c且b＜c 解析：由不等式的基本性质知，a＞c且b＞c⇒a＋b＞2c，所
a＋
b a－ ab
b2 .
∵a＞0，b＞0，
∴ a＋ b＞0， ab＞0.
又∵( a－ b)2≥0(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
∴
a＋
b a－ ab
b2≥0.
即a＋b≥ ba
a＋
b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
a＋b
解法二：
b a＋
a＝ b
a a＋b b ab a＋ b
＝
答案：12＜a＜1
1.将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题 中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换， 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系．常见的文 字语言与数学符号之间的转换关系如下表：
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
【活学活用】 2.(1)比较 x6＋1 与 x4＋x2 的大小，其中 x ∈R；
(2)设 a∈R，且 a≠0，试比较 a 与1a的大小．
解：(1)(x6＋1)－(x4＋x2) ＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1) ＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1) ＝(x2－1)2(x2＋1)． 当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2； 当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
高考领航北师大数学理总复习 第6章第1课时 不等关系与不等式含解析
【A 级】 基础训练1．(2014·吉林联考)已知实数a 、b 、c ，满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0∴c ≥b(b ＋c )－(c －b )＝2a 2＋2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＞0，∴b ＞a .答案：A2．已知a ，b 为实数，则“a ＞b ＞1”是“1a －1＜1b －1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞b ＞1⇒a －1＞b －1＞0⇒1a －1＜1b －1，又当a ＝0，b ＝2时，1a －1＜1b －1a ＞b ＞1，故选A.答案：A3．(2014·长春高三联合测试)已知m ∈(b ，a )且m ≠0，1m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1b ，则实数a ，b 满足( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞bC ．a ＜0＜bD ．a ＜b ＜0解析：由题知b ＜a ，从而排除选项C ，D.若ab ＜0，则由1b ＞1a 可得a ＜b ，不合题意，故选项B 不正确．从而知A 正确．答案：A4．(2012·高考四川卷)设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1；②若1b －1a ＝1，则a －b ＜1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |＜1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |＜1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：①中，∵a 2－b 2＝1，∴a －b ＝1a ＋b ，而a ＞0，b ＞0，又a 2＝b 2＋1＞1，∴a ＞1，从而1a ＋b＜1，即a －b ＜1，∴①正确． ②中，取a ＝5，b ＝56，验证知②错误．③中，取a ＝4，b ＝1，验证知③错误．④中，不妨设a ＞b ，∵a 3－b 3＝1，又(a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝1＋3ab (b －a )＜1，故a －b ＜1，∴④正确．答案：①④5．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________，α－β2的取值范围是________．解析：∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2，∴－π＜α＋β＜π.∴－π2＜α＋β2＜π2. ∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π，∵－π2≤α－β2＜π2.又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0 6．下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使1a ＜1b 成立的充分条件有________．解析：1a ＜1b ⇒b －a ab ＜0⇔b －a 与ab 异号，由题意知①②④能使b －a 与ab 异号． 答案：①②④7．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解：法一(作差法)：ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，∵a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)－1＞0.∴ab －(a ＋b )＞0.∴ab ＞a ＋b .法二(作商法)：∵a ＋b ab ＝1b ＋1a ，且a ＞2，b ＞2，∴1a ＜12，1b ＜12.∴1b ＋1a ＜12＋12＝1.∴a ＋b ab ＜1.又∵ab ＞4＞0，∴a ＋b ＜ab .8．一学生计划使用不超过20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为4元的圆球笔至少需要购买2支，单价为2元的笔记本至少需要购买3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买圆珠笔和笔记本的数量分别为x 支，y 本．则⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋2y ≤20，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤10，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N ＋.【B 级】 能力提升1．(2013·高考北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )A ．ac ＞bcB ．1a ＜1bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析：利用作差比较法或取特殊值排除法．A 项，c ≤0时，由a ＞b 不能得到ac ＞bc ，故不正确；B 项，当a ＞0，b ＜0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a ＞b 不能得到1a ＜1b ，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a ＞b 可知当a ＋b ＜0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2＞b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2＞0，所以可由a ＞b 知a 3－b 3＞0，即a 3＞b 3，故正确．答案：D2．已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；③a －b ＞a －b ；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：由a ＞b ＞0可得a 2＞b 2，①成立；由a ＞b ＞0可得a ＞b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴f (a )＞f (b －1)，即2a ＞2b －1，②成立，∵a ＞b ＞0，∴a ＞b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )＞0，∴a －b ＞a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36.答案：A3．(2014·上海杨浦模拟)已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的为( )A．(a＋c)4＞(b＋c)4B．ac2＞bc2C．lg|b＋c|＜lg|a＋c| D．(a＋c)13＞(b＋c)13解析：当a＞b，a＋c与b＋c为负数时，由0＞a＋c＞b＋c，得0＜－(a＋c)＜－(b＋c)．∴0＜[－(a＋c)]4＜[－(b＋c)]4，即(a＋c)4＜(b＋c)4.∴A不成立；当c＝0时，ac2＝bc2，∴B不成立；当a＞b时，a＋c＞b＋c，但若a＋c、b＋c均为负数时，|a＋c|＜|b＋c|，即lg|a＋c|＜lg|b＋c|.故C不恒成立．故选D.答案：D4．设a＞b＞c＞0，x＝a2＋(b＋c)2，y＝b2＋(c＋a)2，z＝c2＋(a＋b)2，则x，y，z的大小顺序是________．解析：法一：y2－x2＝2c(a－b)＞0，∴y＞x.同理，z＞y，∴z＞y＞x.法二：令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故有z＞y＞x.答案：z＞y＞x5．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围是________．解析：设u＝a＋b，v＝a－b，得a＝u＋v2，b＝u－v2，所以4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.又因为1≤u≤4，－1≤v≤2，所以－3≤3v≤6.故－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.答案：[－2,10]6．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出log b 1b＜log a1b＜log a b成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．解析：∵log b 1b＝－1若1＜a＜b，则1b ＜1a＜1＜b.∴log a1b ＜log a1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜1b ＜1 a，∴log a b＞log a1b ＞log a1a＝－1＝log b1b，故条件②可以；若0＜a＜1＜b，则0＜1b＜1，∴log a1b＞0，log a b＜0，条件③不可以．答案：②7．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c. 证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．即然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1xy，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高考数学复习全套课件 第六章 第一节 不等关系与不等式
一学生计划使用不超过20元的钱为自己购 一学生计划使用不超过 元的钱为自己购 买学习用具．根据需要，单价为 元的圆珠笔至少需 买学习用具．根据需要，单价为4元的圆珠笔至少需 要购买2支 单价为 元的笔记本至少需要购买 元的笔记本至少需要购买3 要购买 支，单价为2元的笔记本至少需要购买 本．写出满足上述所有不等关系的不等式． 写出满足上述所有不等关系的不等式．
1．若a>b，则下列各式中正确的是 ． ， A．a2>b2 ． C. 解析： 解析：a>b⇔a3>b3. ⇔ 答案： 答案：B B．a3>b3 ． D．log2a<log2b ．
(
)
2．“a＋b>2c”的一个充分非必要条件是 ． ＋ 的一个充分非必要条件是 A．a>c或b>c ． 或 C．a>c且b>c ． 且 B．a>c或b<c ． 或 D．a>c且b<c ． 且
其中关键一步是变形，手段可有通分、因式分解、 其中关键一步是变形，手段可有通分、因式分解、配 方 等，变形的目的是有利于判断符号，因此变形越彻底， 变形的目的是有利于判断符号，因此变形越彻底， 越有利于下一步的判断． 越有利于下一步的判断． 2．“作商比较法 的依据是 ． 作商比较法 的依据是“ 作商比较法”的依据是 >1，b>0⇒a>b”，是把两数 ， ⇒ ，
因此①②④能使b－ 与 异号 异号． 因此①②④能使 －a与ab异号． ①②④能使 答案： 答案：①②④
5．(2010·赤峰模拟 若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y， ． 赤峰模拟)若 ＞ ， ＞ ，则在① － ＞ － ， 赤峰模拟 ②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ ＋ ＞ ＋ ， ＞ ， － ＞ － ， 这五个式子中， 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号 是______________________________________． ．
高考数学理一轮复习配套文档第6章第1节不等关系与不等式
第一节不等关系与不等式【考纲下载】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．掌握不等式的性质及应用．1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则：(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c ⇔可乘性 a>b,c>0⇒ac >bc c 的符号 a>b,c<0⇒ac <bc 同向可加性 a>b,c>d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒ 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac >bd⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) 同正可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则： ①真分数的性质 b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②假分数的性质 a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．1．同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．2．(1)a >b ⇔1a <1b成立吗？(2)a >b ⇒a n >b n (n ∈N ，且n >1)对吗？提示：(1)不成立，当a ，b 同号时成立，异号时不成立．(2)不对，若n 为奇数，成立，若n 为偶数，则不一定成立．1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d解析：选D 由不等式的性质知，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . 2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ac 2>bc 2⇒a >b ，但当c ＝0时，a >bD ⇒/ac 2>bc 2.故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．3．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是 ( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2 D ．a 2>－a >a >－a 2解析：选B ∵a 2＋a <0，∴－1<a <0.不妨令a ＝－12，易知选项B 正确．4．已知a <b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a >1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a >2b解析：选C ∵a <b ，∴－a >－b ，∴2－a >2－b .5．(教材习题改编)已知－2<a <－1，－3<b <－2，则a －b 的取值范围是________，a 2＋b 2的取值范围是________．解析：∵－2<a <－1，－3<b <－2，∴2<－b <3,1<a 2<4,4<b 2<9.∴0<a －b <2,5<a 2＋b 2<13. 答案：(0,2) (5,13)易误警示(六)忽视不等式的隐含条件致误[典例] (2014·海门模拟)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．[解题指导] 用x ＋y 和x －y 整体代换2x －3y ，进而求出z 的取值范围． [解析] 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．又⎩⎨⎧－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以两式相加可得z ∈(3,8)．[答案] (3,8)[名师点评] 1.本题易忽视题目中字母x ，y 相互制约的条件，片面地将x ，y 分割开来考虑，导致字母的范围发生变化，从而造成解题的错误．2．当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时，若题目中出现的两个变量是相互制约的，不能分割开来，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的范围，以免扩大范围．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4.由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．。
高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式练习 理
第六章不等式、推理与证明本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式的证明与应用．推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．全国高考在这一章的命题上呈现以下特点：1．考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题也会有高档题出现．2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查．3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，偶尔会对数学归纳法进行考查，注重知识交汇处的命题．预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．5．强化不等式的应用．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系．对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．第一节 不等关系与不等式基础回顾Ｋ一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”“>”“≤”“≥”“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．二、实数运算性质与大小顺序关系1．a>b ⇔a －b>0；2.a ＝b ⇔a －b ＝0；3.a<b ⇔a －b<0. 它是比较两实数大小的依据，也是作差比较法的依据． 三、不等式的基本性质 双向性：1．定理1(对称性)：a>b ⇔b<a. 单向性：2．定理2(传递性)：a>b ，b>c ⇒a>c.3．定理3(同加性)：a>b ，c 为整式或实数⇔a ＋c>b ＋c.4.定理3推论(叠加性)：⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>d ⇒a ＋c>b ＋d. 5．定理4(可乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>0⇒ac>bc ；⎭⎪⎬⎪⎫a>b c<0⇒ac<bc. 6．定理4推论1(叠乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd. 7．定理4推论2(可乘方性)：a>b>0⇒a n>b n(n∈N *且n>1)．8．定理5(可开方性)：a>b>0⇒na ＞nb (n∈N *且n>1)．四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ，不能弱化条件得a ＞b ⇒1a ＜1b.五、正确处理带等号的情况如由a ＞b ，b ≥c 或a≥b，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a≥c，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会有a ＝c.注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别．基础自测Ｋ1．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是(C ) A ．a ＞a b ＞a b 2 B.a b 2＞a b ＞aC.a b ＞a b 2＞aD.a b ＞a ＞ab2 解析：特殊值法，取a ＝－1，b ＝－2，验证知a b ＞ab 2＞a 成立．也可用作差比较法．2．若0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列各式中最大的是(B ) A ．－1 B ．log 2bC ．log 2a ＋log 2b ＋1D ．log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)解析：特殊值法．取a ＝13，b ＝23，则log 2b ＝log 2 23＝1－log 23>1－log 24＝－1；log 2b－(log 2a ＋log 2b ＋1)＝－1－log 213＝－1＋log 23>0；计算可知，b>a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3，∴log 2b>log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)．故选B.3．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是③(填序号)． ①a b ＞1；②a 2＞b 2；③lg(a －b)＞0；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b . 解析：令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a b＞1不成立；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立；当a －b 在区间(0，1)内时，lg(a －b)＜0；f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f(a)＜f(b)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故④正确． 4．a>b>0，m>0，n>0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋n b ＋n 由大到小的顺序是a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >ba．解析：取特殊值．如a ＝2，b ＝1，m ＝n ＝1，则b a ＝12，a b ＝2，b ＋m a ＋m ＝23，a ＋n b ＋n ＝32.∴a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >ba .高考方向1.以选择题或填空题的形式考查不等式的性质及其应用.2.常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新型概念（定义）比较两个数的大小，题目难度不大.品味高考1．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当0<ab<1，a<0，b<0时，有b>1a .反过来若b<1a ，当a<0时，则有ab>1，所以“0<ab<1”是“b<1a”的既不充分也不必要条件．故选D.2．(2014·辽宁卷)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则(C )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c＞a ＞b ，故选C.高考测验1．若x ＞0，y ＞0，则x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：先看充分性，可取x ＝y ＝23，使x ＋y ＞1成立，而x 2＋y 2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x 2＋y 2＞1，因为x ＞0，y ＞0，所以(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＞x 2＋y 2＞1， ∴x ＋y ＞1成立，故必要性成立．综上所述，x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的必要不充分条件．2．(2013·北京西城期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a>2b －1；③a －b>a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b.其中一定成立的不等式为①②③(填序号)．解析：由a>b>0可得a 2>b 2，①成立；由a>b>0可得a>b －1，而函数f(x)＝2x 在R 上是增函数；∴f(a)>f(b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a>b>0，∴a>b ，∴(a －b)2－(a －b)2＝2ab －2b ＝2b(a －b)>0， ∴a －b>a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．课时作业1．下列四个数中最大的是(D )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2 解析：∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2< ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2，∴最大的数是ln 2.故选D.2．设a ，b ，c ，d ∈R ，则“a＋c>b ＋d”是“a>b 且c>d”的(A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：易得a>b 且c>d 时必有a ＋c>b ＋d.若a ＋c>b ＋d 时，则可能有a>d 且c>b ，故选A.3．下列各式中错误的是(C )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决．对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B ，D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错．4．设a ，b ∈R ，若a －|b|＞0，则下列不等式中正确的是(D )A ．b －a ＞0B ．a 3＋b 3＜0C ．a 2－b 2＜0 D ．b ＋a ＞0 解析：∵a－|b|＞0⇒ ∴a ＞|b|≥－b ， ∴a ＋b ＞0.5．设[x]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是(D )A ．(35，39)B ．(49，51)C ．(71，75)D ．(93，94)解析：∵[x－3]＝[x]－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13，y ＝4[x －3]＋5，解得[x]＝20，∴y＝73.∵x 不是整数， ∴20<x<21，∴93<x ＋y<94.故选D.6．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都曾经以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是(A )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地 7．若－1＜a ＜b ＜1，则a －b 的取值范围是(－2，0)．8．(2013·临沂模拟)若x>y ，a>b ，则在①a－x>b －y ，②a ＋x>b ＋y ，③ax>by ，④x －b>y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是②④．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x>y ，a>b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立． 又∵ax＝－6，by ＝－6， ∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立．9．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为c ＞b ＞a ． 解析：a ＝2－5＝4－5＜0， ∴b ＞0.c ＝5－25＝25－20＞0. b －c ＝35－7＝45－49＜0. ∴c ＞b ＞a.10．已知m∈R，a ＞b ＞1，f(x)＝mxx －1，试比较f(a)与f(b)的大小关系． 解析：∵f(a)－f(b)＝am a －1－bm b －1＝m （b －a ）（a －1）（b －1），∵a ＞b ＞1，∴b －a ＜0，a －1＞0，b －1＞0，∴当m ＜0时，m （b －a ）（a －1）（b －1）＞0，即f(a)＞f(b)；当m ＝0时，f(a)＝f(b)；当m ＞0时，m （b －a ）（a －1）（b －1）＜0，即f(a)＜f(b)．11．设f(x)＝ax 2＋bx 且1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f(－2)的取值范围． 解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则 4a －2b ＝m(a －b)＋n (a ＋b)， 即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又∵1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， ∴5≤f(－2)≤10.因此f(－2)的取值范围是[5，10]．。
【高考新坐标】高考数学总复习 第六章 第1节 不等关系与不等式课件
)
[解析]
当 c≤0 时，ac>bc 不成立，故 A 不正确；当 a＝1，
b＝－3 时，B、C 均不正确．
[答案] D
4．已知 a>b>0，c>d>0，则
1 1 [解析] c>d>0⇒ > >0， d c a b 又 a>b>0，∴ > >0，从而 d c
a 与 d
b 的大小关系是________． c
或 1 道大题和 1 道小题， 从题型 上看，选择题、填空题主要涉及 不等式的性质、解法、简单的线 性规划、基本不等式及应用、合 情推理等知识，解答题主要涉及 含参数不等式的解法，范围与最 值型综合题、不等式的推理与证 明等． 3． 高考命题蕴含的主要数学 思想有数形结合的思想、分类讨 论的思想、函数与方程的思想， 随着新课程标准的全面实施，命 题会更注重基本知识的应用和能 力的考查．
第一节
不等关系与不等式
[考纲传真] 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 等式(组)的实际背景．
2.了解不
1．两个实数比较大小的法则 (1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔ b<a (双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c > b＋c(双向性) a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d (单向性)
[答案] x2－28x＋190≤0(10≤x≤20)
【规律方法】 1．用不等式(组)表示不等关系的解题策略 (1)分析题目中有哪些未知量； (2)选择其中起关键作用的未知量，设为 x，再用 x 来表示其他 未知量； (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)． 提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易 忽略，从而导致错解． 2．文字语言与符号语言的转化 一定要准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言(如不等 式等)， 特别要注意“不超过”“至少”“低于”表示的不等关系， 同时还应考虑变量的实际意义．
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第六单元 第一节不等关系与不等式练习
一、选择题
1．(精选考题·广东高考)“m <14
”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 由方程x 2＋x ＋m ＝0有实根，则Δ＝1－4m ≥0，m ≤14
，故选A. 【答案】 A
2．下列命题中，真命题有( )
①若a >b >0，则1a 2<1b 2； ②若a >b ，则c －2a <c －2b ；
③若a >b ，e >f ，则f －ac <e －bc ；
④若a >b ，则1a <1b
. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】 ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b 2，正确；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ，正确；
③当c <0时，不正确；④当b ＝0时，不正确．故选B. 【答案】 B
3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )
A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
【解析】 ∵x ∈(e －1,1)，∴－1<ln x <0，
∴2ln x <ln x <ln 3x ，即b <a <c .
【答案】 C
4．(精选考题·潍坊模拟)若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )
A ．a ＋1b >b ＋1a
B ．a ＋1a >b ＋1b
C.b a >b ＋1a ＋1
D.2a ＋b a ＋2b >a b
【解析】 ∵a >b >0，∴1a <1b ，∴a ＋1b >b ＋1a ，故选A.
【答案】 A
5．若6<a <10，a 2
≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ．9≤c ≤18 B．15<c <30
C ．9≤c ≤30 D．9<c <30
【解析】 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2
≤a ＋b ≤3a .∵6<a <10， ∴3a <30，3a 2
>9，∴9<c <30. 【答案】 D
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度，跑步速度均相同，则( )
A ．甲先到教室
B ．乙先到教室
C ．两人同时到教室
D ．谁先到教室不确定
【解析】 设从寝室到教室路程s ，步行速度a ，跑步速度b ，(a ≠b )，则甲从寝室到
教室所用时间为s 2a ＋s 2b ＝s 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，乙从寝室到教室所用时间为2s a ＋b
. ∵s 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2s a ＋b ＝a ＋b 24ab >4ab 4ab
＝1， ∴乙所用时间比甲所用时间少，乙先到教室．
【答案】 B
7．若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >a ＋b ，x －a y －b 是⎩
⎪⎨⎪⎧
x >a ，y >b 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)若⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >a ＋b ，x －a y －b ①②
由②知x －a 与y －b 同号，
又由①，得(x －a )＋(y －b )>0，∴x －a >0，y －b >0，
即x >a 且y >b ，故充分性成立．
若⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，y >b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －a >0，y －b >0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y >a ＋b ，x －a y －b ， 故必要性亦成立．综合上述，应选C.
【答案】 C
二、填空题
8．若角α、β满足－π2
<α<β<π，则α－β的取值范围是________． 【解析】 由－π2<β<π，得－π<－β<π2，∴－3π2
<α－β<0. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32π，0 9．若－1<a <b <0，则1a ，1b
，a 2，b 2中值最小的是________． 【解析】 依题意知1a >1b ，a 2>b 2，故只需比较1b 与b 2的大小．∵b 2>0，1b <0，∴1b
<b 2. 【答案】 1b
10．设a 是互异的三个正数a 、b 、c 中的最大数，且a b ＝c d ，则a ＋d 与b ＋c 的大小关系是________．
【解析】 ∵a b ＝c d ，∴d ＝bc a ，
∴(a ＋d )－(b ＋c )＝(a －b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－c a . 又∵a >b ，a >c >0，∴a －b >0,1－c a
>0，∴a ＋d >b ＋c .
【答案】 a ＋d >b ＋c
三、解答题
11．设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，判断a ，b ，c 的大小
关系．
【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝a 2
＋1，c ＝2a 2－4a ＋5. ∵b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a .
又∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，∴a <b ≤c .
12．已知△ABC 三边长是a ，b ，c ，且m >0.
求证：a
a ＋m ＋b
b ＋m >c
c ＋m .
【证明】 方法一：a a ＋m ＋b b ＋m －c
c ＋m
＝a b ＋m c ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋m b ＋m
a ＋m
b ＋m
c ＋m
＝am 2＋a b ＋c m ＋abc ＋bm 2＋b a ＋c m ＋abc －cm 2－c a ＋b m －abc
a ＋m
b ＋m
c ＋m ＝a ＋b －c m 2＋2abm ＋abc
a ＋m
b ＋m
c ＋m .
又∵a ＋b >c ，m >0，∴(a ＋b －c )m 2＋2abm ＋abc >0， ∴a a ＋m ＋b
b ＋m >c
c ＋m .
方法二：令f (x )＝x
x ＋m ，则f (x )＝1－m
x ＋m ，在(0，＋∞)上是增函数．
由f (a ＋b )>f (c )得，a ＋b a ＋b ＋m >c
c ＋m .
又∵a
a ＋m >a
a ＋
b ＋m ，b b ＋m >b
a ＋
b ＋m ，
∴a a ＋m ＋b b ＋m >a ＋b a ＋b ＋m ，∴a a ＋m ＋b
b ＋m >c
c ＋m .。