正比例2

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《正比例函数》2

2, 2,
所以k＝－2.
课后练习
1．一般地，形如____y_＝__k_x____(k 是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中___k___叫做比例系数．
2．(2019·梧州)下列函数中，正比例函数是( A )
A．y＝－8x
B．y＝8x
C．y＝8x2
D．y＝8x－4
3．已知函数 y＝(m＋2)x|m|－1 是正比例函数，则 m 的值为( B ) A．－2 B．2 C．1 D．－1
合作探究
知识点 1 正比例函数的定义
问题京沪高速铁路全长1 318 km.设列车的平均速度为
300 km/h考虑以下问题： (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹
桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？ (2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t (单位：
h) 之间有何数量关系？ (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了
3 一个正比例函数的图象过点(2，－3)，它的解析
式为( A )
A．y＝－．y＝
2 3
x
D．y＝－
2 3
x
归纳新知
1 知识小结
1.理解正比例函数的定义时应注意三点： (1)自变量x的指数为1； (2)比例系数k不等于0； (3)函数解析式等号右边的式子为整式．
2.求正比例函数解析式的步骤： (1)设函数解析式为y＝kx(k≠0)； (2)把已知条件代入函数解析式，列方程求出k的值； (3)将求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
5下c列m问，题高中为，x c变3m量，之体【间积的为中对yc应m考关3.系·是上函数海关系】吗？下如列y关于x的函数中，是正比例函数

2023六年级数学下册四正比例与反比例第3课时正比例(2)教案北师大版

过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6. 课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调正比例的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括正比例的基本概念、案例分析等。
3. 实例分析：采用讨论法和问题驱动法，引导学生分析教材中的实例，培养学生运用正比例关系解决实际问题的能力。
4. 动手实践：利用教学软件和多媒体设备，让学生观察正比例函数图像，并进行实物演示，增强学生的实践操作能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和心得，提高学生的合作能力和表达能力。
- 对学生设计的数学游戏或活动，给予肯定和鼓励，并提出改进意见。
注意事项：
1. 作业布置要适量，既要保证学生能够巩固所学知识，又不过度增加学生负担。
2. 作业反馈要及时，针对学生的错误和不足，给出具体的改进建议。
3. 鼓励学生积极参与创新实践题，培养他们的创新意识和团队合作能力。
4. 定期对学生的作业情况进行总结，关注学生的学习进步和问题所在，调整教学策略。
5. 正比例关系在实际问题中的应用：
- 速度、时间和路程的关系：当速度恒定时，路程与时间成正比；
- 价格和数量的关系：当单价恒定时，总价与数量成正比；
- 面积和边长的关系：当形状固定时，面积与边长的平方成正比。
6. 判断正比例关系的方法：
- 观察两种量的变化趋势，是否同增同减；
- 计算两种量的比值（商），看是否恒定。
2023六年级数学下册四正比例与反比例第3课时正比例（2）教案北师大版

学案1：19.2.1正比例函数（2）

19.2.1正比例函数（2）一、快乐回顾1、实数平方根性质：正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根。

2、求下面式子的值： √16 ， √81，√0， √149二、合作探究1、知识：根的式子，我们就把它称二次根式．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，”称为．2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，x >0）、、、（x ≥0，y ≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：。

例2．当x 在实数范围内有意义？解：由得：。

当在实数范围内有意义．注意：1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用（a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

三、尝试练习（一）1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？1x 1x y +解：二次根式有：；不是二次根式的有：。

2．形如________的式子叫做二次根式．3．面积为5的正方形的边长为________．四、尝试练习（二）1．下列式子中，是二次根式的是（）A． BC D ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B C D ．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5BC ．D ．以上皆不对五、师生合作例3．当x +在实数范围内有意义？例4.(1)已知y +5，求的值．(2)，求a 2014+b 2014 的值．六、课堂小结本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．参考答案：1x 1x 1511x +xy一、2,4,9,0，,17 二、1、√a ，二次根号2、例1.二次根式有：√2，√x （x >0），√0，-√2，√x +y . 例2.3x -1≥0, x ≥13，x ≥13.三、1、二次根式有：-√7，√4，√16，√8. 2、√a 3、√5 四、1、A 2、D 3、B五、例3、x ≥−32且x ≠-1；例4、（1）25，（2）2.。

18.2正比例函数2

18.2 正比例函数（一）正比例函数的概念学习目标：理解正比例、正比例函数的概念；掌握正比例函数图像的作法；掌握正比例函数的性质。

会建正比例函数模型解决相关应用问题。

学习过程：一、知识梳理1、正比例：如果两个变量的每一组对应值的比是一个常数（不等于0），就说这两个变量成正比例。

用x，y表示两个变量，就是yx=k，或表示为y=kx。

其中k是不等于零的常数。

2、正比例函数：解析式为形如y=kx（k是不等于零的常数）的函数叫正比例·函数。

其中k叫比例系数。

其定义域是一切实数。

求出了k的值就求出了正比例函数解析式。

二、例题精选例1、判断下列函数是否为正比例函数，如果是，比例系数是多少？○1y=-13x ○2y=2x-3 ○3y=2x3○4y=3x○5y=x2○6y=ax（a为常数）例2、（1）已知y=（2-3t）x4+3t是正比例函数，求函数解析式；并求x=1-2时函数y的值。

（2）已知y=（（a+2）x+a2-4是正比例函数，求a的值。

点评：正比例函数y=kx中，比例系数k是不等于零的常数；x的次数为一次。

例3、y与x-1成正比例，当x=4时，y=-12.写出y与x间的函数关系式；并求y=20时x 的值。

练习一1、正比例函数y=kx 中y=-2，则k=_____;2、若f （x ）=（m-3）x 是正比例函数，则m 的取值应满足条件_________;3、已知正比例函数满足x=2时，y=-6.，求,（1）函数解析式；（2）x=-2、0时，求y 的值；（3）y=-3，0，时，求x 的值。

4、已知y=（k+2）2k -3x 是正比例函数，求（1）函数解析式；（2）当-12≤y ≤6时，x 的范围。

5、已知f （x ）=（k-2）2k +k-1x +k+2是正比例函数，求k 的值和函数解析式。

6、已知y=12y -y ，且21y x 与成正比例，y 2与x+1成正比例；当x=-3时，y=19，当x=-1时y=2。

课件4：19.2.1正比例函数（2）

则m的取值范围是（Ｂ）
A. m 1 B. m 1
2. 函数 y 5x , y 2 x ,
C.
y
m
x,
1
y
D.1
m 1
x 中，
7
y随x的增大而增大的是 y 5x , y x
，
y随x的增大而减小的是 y 2x ,
y 1 x 7
.
3.已知正比例函数 y kx (k 2 2) 的图像，
例1：用“两点法”画出函数y 3x 和 y 3x
的图像，并回答下列问题。
图像
（1）函数 y 3x的图像过点（0, 0 ）和
（ 2 ，6），且 y 随x 的增大而增大；
（2）函数 y 3x 的图像过第__二__、__四____象限，
且 y随 x的增大而减小。
练习：
1.正比例函数 y (m 1)x 的图象经过一、三象限，
第十九章
一

次函
数
y 随 x 的增大而减小，求 k 的值。解：由正比例函数的定义可知：k 2 2 0, k 2
又y 随 x 的增大而减小，故 k<0 所以 k 2 4. 已知正比例函数 y (m 1) x|m|的图象过第
二、四象限，求m的值。解：由正比例函数的定义可知： | m | 1, m 1
又图像过第二、四象限，故 m 1 0, m 1 所以 m 1
画出正比例函数 y 2x和 y 2x 的图像
画图
解析式
y kx(k 0)
k 0
k 0
图像
图像恒过原点
(0, 0)
性质
⑴图像过一、三象限
⑵ y随 x的增大而
增大（上升趋势）
⑴图像过二、四象限

正比例函数2(应用)

正比例函数2（应用）一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，是自变量，是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？40．已知y与x﹣3成正比例，当x=4时，y=3．①求这个函数解析式．②求当x=3时y的值．正比例函数2（应用）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用三角形面积公式求出AH得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）设P（t，0），利用三角形面积公式得到•|t|•3=9，然后解关于t的绝对值方程即可．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6，∴•4•AH=6，解得AH=3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y=kx得4k=﹣3，解得k=﹣，∴正比例函数解析式为y=﹣x；（2）存在．设P（t，0），∵△AOP的面积为9，∴•|t|•3=9，∴t=6或t=﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=﹣2解得，∴正比例函数的解析式是；（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），∴OP=5，∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．【分析】依据正比例函数的定义得到|m+2|=1且m+3≠0，求得m的值即可．【解答】解：依题意有|m+2|=1且m+3≠0，解得m=﹣1．故m的值是﹣1．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．【分析】设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A （1，3）代入求得k即可．【解答】解：设正比例函数的函数解析式是y=kx，∵A（1，3）在y=kx上，则k=3，∴这个函数解析式是y=3x．【点评】此题主要考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．【分析】（1）根据新运算法则得出3※4的值；（2）分类讨论：当x≥0时和x＜0时，分别写出y与x的关系式，再画出图象．【解答】解：（1）∵4≥0，∴3※4=3×4=12；（2）当x≥0时，y与x的关系式为y=2x；当x＜0时，y与x的关系式为y=﹣2x；列表如下：x…﹣2﹣1012…y…42024…描点、连线，如图所示．【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是：（1）读清题意，掌握新运算法则；（2）分x≥0和x＜0找出y与x的关系式．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y=y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．【解答】解：根据题意设y1=k1x，y2=k2（x﹣2），即y=y1+y2=k1x+k2（x﹣2），将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得：，解得：k1=﹣，k2=﹣，则y=﹣x﹣（x﹣2）=﹣x+1．即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；画出该函数的图象为【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【分析】由点A所在的位置即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式，此题得解．【解答】解：∵点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，∴点A的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx中，﹣4=2k，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数的表达式是解题的关键．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【分析】（1）根据题意可设y=kx，再把当x=﹣2时，y=4代入可得k的值，进而得到函数解析式；（2）将点的坐标代入正比例函数的解析式求得a的值即可．【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y=kx，∵当x=﹣2时，y=4，∴4=﹣2k，k=﹣2，∴y与x的函数关系式为y=﹣2x，（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y=﹣2x的图象上，∴﹣2a=﹣2，∴a=1．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数的定义：y=kx（k≠0）．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围．【解答】解：根据y随x的增大而增大，知：3k﹣1＞0，解得k＞．故k的取值范围为k＞．【点评】考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx，把A坐标代入求出k的值，确定出解析式，再将B坐标代入求出a的值即可．【解答】解：设y=kx，把A（﹣2，3）代入﹣2k=3，解得：k=﹣1.5，∴y=﹣1.5x，把B（a，﹣3）代入y=﹣1.5x，解得：a=2．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．【分析】设y=k（x+1），将x=2，y=1代入可求得k的值，继而可得出函数解析式，再将x=﹣3代入可求出y的值．【解答】解：y=k（x+1），将x=2，y=1代入得：1=3k，解得：k=，∴函数解析式为：y=x+，当x=﹣3时，y=﹣3×+=﹣．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．【分析】（1）利用题意列方程组，然后解方程组求出k1与k2的值，从而得到两个正比例函数的解析式；（2）先计算出自变量为4时所对应的两个函数值，然后计算的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以两正比例函数的解析式分别为y1=x，y2=﹣x；（2）当x=4时，y1=x=7，y2=﹣x=﹣9，所以=﹣=．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．【分析】①利用待定系数法把x=﹣2时y=12代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式；②根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可得出k的值．【解答】解：①∵正比例函数y=kx中x=﹣2时y=12，∴12=﹣2•k，解得：k=﹣6，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣6x；②解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义及待定系数法确定正比例函数的解析式，难度不大，注意基础概念的掌握．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．【分析】直接设正比例函数的解析式为：y=kx，将点，代入求出即可．【解答】解：设正比例函数的解析式为：y=kx，（k＞0），∵正比例函数过点，∴，解得：，∴正比例函数的解析式为：y=6x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用图象上点的性质得出是解题关键．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．【分析】（1）设y=k（x+2），将x=5，y=﹣21，代入可得出y与x之间的函数关系式．（2）令x=0可得出截距．【解答】解：（1）设y=k（x+2），x=5，y=﹣21代入得：﹣21=7k，解得：k=﹣3，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣3x﹣6；（2）令x=0，解得：y=﹣6，∴截距为﹣6．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，难度不大，注意掌握截距的概念．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【分析】（1）根据图象上点的坐标性质，将点（，1）代入正比例函数y=（3m ﹣1）x，求得m值即可；（2）根据m的值，即可得出这个函数的解析式；【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y=（3m﹣1）x，即：1=（3m﹣1）×，整理得：3m=3，解得：m=1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y=（3m﹣1）x，即可求出，y=（3×1﹣1）x=2x，∴这个函数的解析式为：y=2x．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式，此题比较简单作题时一定要认真仔细不要犯错．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．【分析】先根据题意设出关系式，将x=3时y=1代入，求得k的值，然后把x=﹣5代入，求出y的值．【解答】解：∵y+4和x成正比例，∴y+4=kx（k≠0），∵x=3时，y=1，∴1+4=3k，k=，∴y=x﹣4．当x=﹣5时，∴y=×（﹣5）﹣4=﹣．【点评】本题考查了正比例函数的定义，已知自变量的值求得函数的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．【分析】首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q 的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．∵它图象经过点P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2．∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m．∴m=3．【点评】此类题目考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．【分析】根据正比例函数的系数≠0，且自变量的次数为1解答．【解答】解：根据题意得：k2﹣3=1①，k2+2k≠0②．由①得：k=±2．当k=﹣2时，k2+2k=0，y不是正比例函数；当k=2时，k2+2k=8，即y=8x是正比例函数，∴当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数．【点评】解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．【分析】设y1=kx2，y2=a（x﹣2），得出y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x=2代入函数解析式，即可得出答案．【解答】解：设y1=kx2，y2=a（x﹣2），则y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得：，k=2，a=﹣3，∴y与x之间的函数表达式是y=2x2﹣3（x﹣2），把x=2代入得：y=2×22﹣3×（2﹣2）=8．【点评】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得k=±2，∵此正比例函数y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，∴k＜1，∴k=﹣2．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式y=﹣x．【分析】因为y与x成正比例，y随x的增大而减小，所以可设y=kx（k＜0），又因其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），所以有﹣m=k，﹣1=mk，进而可利用方程求出m、k，最终解决问题．【解答】解：∵y与x成正比例，y随x的增大而减小，∴设y=kx（k＜0），∵其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），∴﹣m=k且﹣1=mk，∴﹣1=﹣m2，m=1，k=﹣1或m=﹣1，k=1，∵k＜0，∴m=1，k=﹣1，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题，但要注意运用y随x的变化规律确定值的取舍．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3）∴3=2k，解得k=，∴正比例函数的解析式为：y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．【分析】（1）设解析式为y=kx，再把（﹣3，6）…代入函数解析式即可算出k的值，进而得到解析式；（2）把（a，8）代入（1）计算出的解析式，即可算出a的值，进而得到点A 的坐标．【解答】解：（1）设解析式为y=kx，∵正比例函数的图象经过点（﹣3，6），∴6=﹣3k，解得k=﹣2，∴y=﹣2x；（2）把（a，8）代入y=﹣2x，得8=﹣2a，解得a=﹣4，故点A的坐标是（﹣4，8）．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是图象经过的点，必能满足解析式．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．【分析】设函数解析式为y=kx，将x=6时，y=﹣3代入解析式即可求出k的值，从而得到y与x的关系式．【解答】解：设函数解析式为y=kx，将x=6，y=﹣3代入解析式得，﹣3=6k，k=﹣，则函数解析式为y=﹣x．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，设出正比例函数y=kx是解题的关键．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．【分析】利用待定系数法把（﹣1，2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），∴2=﹣1•k，解得：k=﹣2，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣2x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，题目比较简单，关键是能正确代入即可．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．【分析】设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，求出k的值，得到y与x的函数关系式，再把x=﹣1代入，即可求出对应的y值．【解答】解：设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，得：7﹣1=k（1+2），解得：k=2．∴y﹣1=2（x+2），即y=2x+5．当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+5=3．【点评】先设出满足题目条件的解析式，再运用图象上的点与解析式的关系来确定系数是解决本题的关键．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．【分析】根据题意可得y+3=k（x+2），再由y=kx可得3=2k，解方程可得k的值，然后可得正比例函数解析式．【解答】解：∵当x增加2时，y增加3，∴y+3=k（x+2），y+3=kx+2k，∵y=kx，∴3=2k，解得：k=，∴正比例函数解析式为y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式．关键是根据等量关系得到3=2k．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．【分析】首先利用正比例函数的定义求得a的值，从而确定解析式，然后将点的坐标代入求得b值即可．【解答】解：∵y=（a﹣1）是正比例函数，∴a2﹣3=1且a﹣1≠0，解得：a=2或﹣2∵b2+5＞0∴点（﹣2，b2+5）在第二象限∴a=﹣2∴解析式y=﹣3x，过点（﹣2，b2+5），∴b2+5=6∴b=±1【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．【分析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可；（2）将z=1，x=4代入z=knx，求出kn即可．【解答】解：（1）设y=kx（k≠0），z=ny（n≠0），则有z=knx，故z是x的正比例函数；（2）将z=1，x=4代入z=knx得，1=4kn，解得：kn=，则z=x．【点评】本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．【分析】（1）由题意可设y=kx（k≠0）．把x、y的值代入该函数解析式，通过方程来求k的值；（2）把x的值代入（1）中的函数式即可求得相应的y值．【解答】解：（1）由题意可设y=kx（k≠0）．则12=﹣3k，解得，k=﹣4，所以y关于x的函数解析式是y=﹣4x；（2）由（1）知，y=﹣4x，当x=﹣时，y=﹣4×（﹣）=2．即当时的函数值是2．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题实际上是利用代入法求得的系数k的值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？【分析】根据正比例函数的定义可得k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，解得：k=1．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）∴﹣4=2×k，即k=﹣2∴正比例函数解析式为y=﹣2x∵正比例函数的图象经过点（a，4）∴4=﹣2×a，即a=﹣2．【点评】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解．【解答】解：如图所示①在直线y=x上作OP=OA，可得符合条件的P1、P2点，P1坐标为（﹣，﹣），P2（，），②以A为圆心，1为半径作弧交直线y=x于点P3，点P3符合条件，P3坐标为（，），③线段OA的垂直平分线交直线y=x于点P4，点P4符合条件，P4点坐标为（，）．故答案为：P1（﹣，﹣），P2（，），P3（，），P4（，）．【点评】本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A的纵坐标、点A所在的象限结合△AOH的面积为3，可求出点A的坐标，再根据点A的坐标利用待定系数法，可求出正比例函数的表达式；（2）设点P的坐标为（a，0），根据△AOP的面积为5，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A在第四象限，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．∴点A的纵坐标为﹣2，∴点A的坐标为（3，﹣2）．将点A（3，﹣2）代入y=kx，﹣2=3k，解得：k=﹣，∴正比例函数的表达式为y=﹣x．（2）设点P的坐标为（a，0），则S=|a|×|﹣2|=5，△AOP解得：a=±5，∴在x轴上能找到一点P，使△AOP的面积为5，此时点P的坐标为（﹣5，0）或（5，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据三角形的面积找出点A的坐标；（2）利用三角形的面积找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：根据题意，得：，由①，得：m=2或m=﹣2，由②，得：m≠﹣2，∴m=2，即当m=2时函数y=（m+2）是正比例函数．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x=﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=代入解析式解答即可．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k=6，解得k=﹣2，所以，此函数的关系式是y=﹣2x；（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．【分析】根据正比例函数的性质得k＞0，再把（k，k+2）代入y=kx得到关于k 的一元二次方程，解此方程确定满足条件的k的值，则可得到正比例函数解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限∴k＞0，把（k，k+2）代入y=kx得k2=k+2，整理得k2﹣k﹣2=0，解得k1=2，k2=﹣1，∴k=2，∴这个正比例函数的解析式为y=2x．【点评】考查了待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是10kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？【分析】（1）根据函数关系式中自变量与因变量的关系就可以得出G是m的函数进而得出m是自变量，G是因变量；（2）将G=100代入关系式G=10m，求出m的值即可；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，建立方程求出甲的质量，在代入解析式G=10m就可以求出结论．【解答】解：由题意，得（1）重力的表达关系式是G=mg，在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G 是因变量．故答案为：m，G；（2）∵G=10m．∴G=100时，100=10m，∴m=10kg．故答案为：10；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，由题意，得。

正比例函数(2)

∴2k=-6，
k =-3。
∴函数解析式为y=-3x.
总结
一般地，正比例函数 y=kx (k是常数， k0 ) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随着x的增大而减小．
14.2 正比例函数(2)
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
比例系数 X的正比例函数
y = k x
自变量
(k≠0的常数)
记住：自变量的指数为1，比例系数 k≠0
画出正比例函数
y 2 x 与y=-2x的图象：
列表：
x
3 2
1
2
2 0
0 0
1
2
-2
2
3
y=2x 6 4
Y=-2x
4
-4
6
-6
6
4
描Байду номын сангаас：连线：
y 2 x
的图象．
得出结论：正比例函数 y=kx (k是常数， k≠0 ) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx。
怎样画正比例函数的图像最简单？如何描点最方便？
经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数,k ≠0)的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k )，过这两点做直线即可.
练一练画出下列函数的图像
y=1/2x y=-1/2x
观察
比较两个函数的相同点与不同点.
归纳

课件1：19.2.1正比例函数（2）

问题2：这种规律对其他正比例函数适用吗？具有一般性吗？
请同学们在同一坐标系内画出
y 1 x 、y 1 x 进行验证。
2
2
总结
一般地正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx．当k>0时，直线y=kx经过第_一__、__三__象限，从左向右上升，即随着x的增大而__增__大____；当 k<0时，直线y=kx经过第_二__、__四___象限，从左向右下降，即随着x的增大反而__减__小___．
A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．以上都有可能
第十九章
一

次函
ห้องสมุดไป่ตู้
数
问题1：经过原点与点（1，3）的直线是哪个函数的图象？若经过原点与点（1，-4）呢？你发现什么？
问题2：画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
试一试：用你认为最简单的方法画出下列正比例函数的图象：
(1)y=3x
(2) y=-5x
五、课堂总结，发挥潜能 1．正比例函数y=kx图象的画法：过_原__点___与点 (1,k) 的直线即所求图象． 2．正比例函数的性质．
5、若k=2，则直线y=(k-1)x比例系数k-1 > 0(>或 <)从左到右上升（上升或下降）
6,若k=-2,则y=(k-1)x的比例系数k-1 < 0(>或<)，直线y=kx经过第_二__、__四__象限，从左到右下降（上升或下降），即y随x的增大而减小（增大或减小）
思考探索
例3：已知正比例函数y=(k-1)x(k是常数，k≠0）
(1)直线y=(k-1)x经过三、一象限，求k的取值范围。（2）直线y=(k-1)x从左到右上升，求k的取值范围。（3）直线y=(k-1)x经过二、四象限，求k的取值范围。（4）直线y=(k-1)x随着x的增大而减小，求k的取值范围。

正比例函数 (2)

提高水平
3若（x1，y1），（x2，y2）都是直线上的点，则 y1<y (1)当k>0时，直线y= kx，若X1<X2,则y1，y2 的大小关系是____ 2
y1>y (2)当k<0时，直线y= kx，若X1<X2，则y1，y2 的大小关系是______
2
•变式1:若直线y=（3-2k)x，(k是常数）当X1<X2 k<1.5 时,y1<y2，k的取值范围是______
共同点： ①正比例函数的图象都是一条直线；
②正比例函数的图象都经过原点(0.0)
不同点：
③当k＞0时，正比例函数的图象经过一、三象限；函数y随x的增大而增大。
④当k＜0时，正比例函数的图象经过二、四象限；
函数y随x的增大而减小。
作业：
顶尖课课练：正比例函数
谢谢指导
See You
2012.9
人教版 ·数学 ·八年级(上)
14.2.1
福州十八中陈炎琳
人教实验版
写出下列问题中的函数关系式
(1)圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化；
(1)l 2r
பைடு நூலகம்
(2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本放在一起的总厚度 h随这些练习本的本数n的变化而变化；
(3)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度W(单位：℃）随冷冻时间t（单位：分钟）的变化而变化.
例4 画正比例函数 y =2x 的图象解：函数y=2x的图像画法如下 y 1. 列表
x … -2 -1 0 1 y … -4 -2 0 2 2 … 4 …
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 1

学案4：19.2.1正比例函数（2）

19.2.1正比例函数（2）学习目标：本节课主要内容是正比例函数的研究，讨论这种函数的定义、图象和增减性．领会正比例函数的定义，会从实际问题中提炼出正比例函数的解析式．学习重点：正比例函数．学习难点：正比例函数性质的理解．学习过程：一、回顾交流，探索新知知识回顾：前面我们学习了函数的概念，函数是怎么定义的？在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么，我们称y是x的函数。

其中，x是自变量，y是x的函数（因变量）。

今天，我们继续研究函数，我们要研究一个较为简单、应用广泛的函数——正比例函数。

预备问题：汽车以60/千米时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，请填下表再写出s关于t的函数关系：．问题探究：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环：4个月零1周后，人们在2.56万米外的澳大利亚发现了它(一个月按30天计算)．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？共同思考：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）圆的周长L随半径r的大小变化而变化：（）m，铁块的质量m（g）随它的体积V（3m）的大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8g/3（）（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（）（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化；（）这些函数的共同点：形成定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，其中k叫下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=4x+1B．y=2x-1C．y=-5x D．y=x-8已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值．二、范例点击，提高认知正比例函数的解析式具有共同的结构，那么他们的图像是否也具有某种必然的共同之处呢？先给同学们提一个问题：描点法画函数图象的一般步骤是：画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x（2）y=-2x1：通过观察例2中两图象可发现如下规律，你能将此规律补充完整吗？两图象都是经过点的线，函数y=2x的图象经过第象限，从左向右呈趋势即y随着x的增大而，函数y=-2x的图象经过第象限．从左向右呈趋势，即y随着x的增大而。

正比例函数(2)课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册

-2
-1
0
-1
2
3
1
3
0
1
1
3
2
2
3
3
…
1
…
新知探究
如图，在直角坐标系中描出表中
y
1
y= x
3
2
1
-2 -1
O
1 2
x
x 和 y 的值对应坐标的点，将这
些点连接起来，得到一条经过原
点和第三、第一象限的直线.它
就是函数
1
y= x
3
的函数图象.
新知探究
例1
画出下列正比例函数的图象.
（3）y=-1.5x
（4）y=-4x
（3）y=-1.5x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选
取 y 与 x 的几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
3
1.5
0
-1.5
-3
-4.5
…
新知探究
y
如图，在直角坐标系中描出表中
y=-1.5x 9
x 和 y 的值对应坐标的点，将这
4
些点连接起来，得到一条经过原
1
点和第二、第四象限的直线，它
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，(3)∵点(1，3)在该函数图象
上，
∴2m＋4＞0，解得m＞－2；
∴2m＋4＝3，
(2)∵y随x的增大而减小，

正比例函数(2) (2)

课题：19.2.1正比例函数（2）【学习目标】１．会画正比例函数图象，能结合图象说出正比例函数性质；２．渗透数形结合的思想，培养学生多途经解决问题的思维方法.【前置学习】一、基础回顾：1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？① x y 2= ② 23x y = ③ x y 4-= ④ 1.5y x =- ⑤ 13-=x y2.用描点法画函数图象的步骤是. 二、自主学习请自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后，解答下列问题：1.用描点法画出下列正比例函数的图象（1）x y 2= （2） 1.5y x =-2.观察图象回答：正比例函数y =2x 与y =-1.5x 的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？2．对照课本P 88页中的图象，说一说函数13y x =与y =-4x 的图象各有什么特征？3．总结规律：（1）正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过的；我们称它为直线y=kx .（2）当k ＞0时，直线y=kx 经过第象限，从左向右，y 随x 增大而；当k ＜0时，直线y=kx 经过第象限，从左向右，y 随x 增大而 .四、疑难摘要【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一： 1.说一说正比例函数的图象特征及其性质.2.点（0,0）、（1，k ）、（2，2k ）、（3，3k ）是否都在正比例函数y=kx 的图象上？既然正比例函数的图象是一条直线，画正比例函数图象时，怎样画最简单？展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题1.直线5y x =经过第象限，y 随x 增大而；直线x a y )1(2+-=经过第象限，y 随x 增大而 . 2.若直线x k y )32(-=经过二、四象限，则k 的取值范围是 . 3.若直线32)1(-+=m x m y 经过一、三象限，则m =. 三、巩固新知,当堂训练课本P 89练习.四、反思小结本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.画函数0.6y x =-的图象，你认为过与两点画直线最简单.2.若函数y ＝k x 的图象经过点（2，－3），则k = ，y 随x 的增大而 .3.关于函数x y 3-=,下列说法正确的是( )(A) 图象必经过点（0，0）和（-1，-3） (B) 图象经过一、三象限(C) y 随x 的增大而减小 (D) 不论x 为何值，总有0<y4.已知点P 1（-2，y 1）、P 2（1，y 2）是正比例函数ax y -=(0<a )图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是 .5.已知关于x 的正比例函数4)92(--=m x m y 的图象经过第二、四象限，则m = .6.一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a ）与点（a ，-6），求这个函数的解析式.【应用拓展】7.已知y 与x 成正比例，且当x ＝-2时y ＝-4（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）用两点法画出函数图象；（3）如果x 的取值范围是0≤x ≤5，利用图象求y 的取值范围.。

八年级数学下册(人教版)课堂练习检测—正比例函数2(含答案)

八年级数学下册（人教版）课堂练习检测—正比例函数2（含答案）一、选择题1.已知函数y=（k-1）2k x为正比例函数，则（）A.k≠±1B.k=±1C.k=-1D.k=12.若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是（）A.0B.-2C.2D.-0.53.（易错题）正比例函数y=x的大致图像是（）x图像上的两点，下列判断中，正确的4.P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-12是（）A.y1＞y2B.y1＜y2C.当x1＜x2时，y1＜y2D.当x1＜x2时，y1＞y25.（易错题）已知在正比例函数y=（a-1）x的图像中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（）A.a＜1B.a＞1C.a≥1D.a≤16.若正比例函数的图象经过点（-1，2），则这个图象必经过点（）A.（1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-1）D.（1，-2）7.（北京景山学校月考）若点A（-2，m）在正比例函数y=-12x的图象上，则m的值是（）A.14B.14-C.1D.-18.（北京师大附中月考）某正比例函数的图像如图19-2-1所示，则此正比例函数的表达式为（）A.y=-12-x B.y=12xC.y=-2xD.y=2x9.（天津河西区模拟）对于函数y=-k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是（）A.是一条直线B.过点（1,kk-）C.经过一、三象限或二、四象限D.y随着x增大而减小二、填空题10.（教材习题变式）直线y=32x经过第________象限，经过点（1，________），y随x 增大而________；直线y=-（a2+1）x经过第________象限，y随x增大而________.三、解答题11.已知正比例函数y=(2m+4)x，求：(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？(2)m为何值时，y随x的增大而减小？(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？12.已知4y+3m与2x-5n成正比例，证明：y是x的一次函数.13.（教材例题变式）画正比例函数y=13x与y=-13x的图象.14.已知点（12，1）在函数y=（3m-1）x的图象上.（1）求m的值；（2）求这个函数的分析式.15.已知y-3与2x-1成正比例，且当x=1时，y=6.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）如果y的取值范围为0≤y≤5，求x的取值范围；（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系.16.（湖北启黄中学月考）已知函数()2321-=-my m x的图象是一条过原点的直线，且y随x的增大而减小，求m的值。

《正比例(二)》教学课件2

练习
（3）C的速度与B相同，C10：00从甲地出发，14： 00到达乙地，在上图中标出C的行程。
小结
今天你收获了什么？
正比例（二）
课前导入
如果汽车的速度不变，请完成下表。
时间/ 时
2
3
4
5
6
7…
路程/ 千米
180
270
360
450
540 630
…
知识讲授
如果汽车的速度不变，请完成下表。
时间/ 时
2
3
4
5
6
7…
路程/ 千米
180
270
360
450
540 630
…
写出相对应的路程和时间的比并求比值。你发现了什么？
数量一定，总价与单价成（正）比例，两个总价数量的比等于对应的两个（单价）数值的比。
练习
1.客车与货车分别从相距240千米的甲、乙两地相向开出，两车速度相同。相遇时，客车与货车行驶的时间比是3：5。客车与货车各行驶了多少千米？
客车与货车的路程比为3：5 客车的路程为240×（5＋3 3）＝90（千米）货车的路程为240×（5＋5 3）＝150（千米）
180 ＝90 2
270 ＝90 360 ＝90 ……
3
4
这个比值90表示什么？（速度）
知识讲授
如果汽车的速度不变，请完成下表。
时间/ 时
2
3
4
5
6
7…
路程/ 千米
180
270
360
450
540 630
…
用式子表示上面的几个量的关系：
路程时间
＝速度（比值一定）

数学六年级下册第21课时《正比例的意义 -2》课件

这两个点也在这条射线上
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
(9，31.5)
(14，49)
根据图象回答下面的问题：
（3）不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
买9m彩带总价31.5元； 49元能买14m彩带。
（2）说一说这个比值表示什么。
答：这个比值表示汽车行驶的速度。
（3）汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？
答：成正比例关系，因为路时程间 = 80（一定）。
时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480
（4）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶120km大约要用多少时间。
=单价（一定）
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
上表中总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。
如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示
它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式
圆柱的高一定，（）和（
）成正比例关系。
学以致用
1、填空：
两种（相关联）的量，一种量变化，另一
种量（也随着变化），如果这两种量中
（相对应）的两个数的（比值）一定，这两
种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做
（正比例关系），
用字母表示关系式是：
y k（一定） x
判断下面每题中的两种量是不是成正比例关系，并说明理由。