2016届高三数学二轮复习第二编考前冲刺攻略3.4转化(精)
2016届高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.2数形重点
【金版教程】2016届高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.2数形结合思想 文一、选择题1.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1≥02x －y ＋2≥0，若当x ＝－1，y ＝0时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2] B ．(－2，－1] C.(2,4) D ．[1,2)答案 A解析 画出满足条件的可行域(如图中阴影部分所示)，由题意知直线y ＝－ax ＋z 经过点(－1,0)时，z 取得最大值，结合图形可知－a ≥2，即a ≤－2.故选A.2.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1,2) D ．(2，＋∞)答案 B解析 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点A (2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.3.若关于x 的不等式3x 2＋2ax ＋b ≤0在区间[－1,0]上恒成立，则a 2＋b 2－1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－1，45 答案 C解析 设f (x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0在区间[－1,0]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f －f 即⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＋b ≤0b ≤0，把(a ，b )看作点的坐标，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据a 2＋b 2－1的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方减1，即45，所以a 2＋b 2－1≥45，故选C.4.已知全集U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2>1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x |x >0或x <－1}B.{x |1<x ≤2}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0≤x ≤2} 答案 C解析 解法一：依题意B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩∁U B ，因为U＝{x |x ≤－1或x ≥0}，所以∁U B ＝{x |x ＝－1或0≤x ≤1}，又集合A ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ∩∁U B ＝{x |0≤x ≤1}，故选C.解法二：依题意A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩∁U B ，因为0∈A,0∉B ，故0∈A ∩∁U B ，故排除A 、B ，而2∈A,2∈B ，故2∉A ∩∁U B ，故排除D ，选择C.5．已知向量a ＝⎝ ⎛sin 12ωx cos12ωx ， ⎭⎫sin φ，b ＝⎝⎛2cos φ，cos 212ωx －⎭⎪⎫sin 212ωx ，函数f (x )＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2的图象如图所示，为了得到f (x )的图象，则只需将函数g (x )＝sin ωx 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度答案 C解析 依题意，f (x )＝a·b ＝sin 12ωx cos 12ωx ×2cos φ＋sin φ(cos 212ωx －sin 212ωx )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2.由图知14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，又T ＝2πω(ω>0)，∴ω＝2，又π3×2＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π－π3×2(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝sin2x ，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴为了得到f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将g (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度．故选C.6.设F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与该双曲线的左支交于A 、B 两点，且△ABF 2是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，记双曲线C 的离心率为e ，则e 2＝( )A.5－2 2B.52＋24C.5＋2 2D.52－24答案 A解析 如图，因为过点F 1的直线l 与该双曲线的左支交于A 、B 两点，且△ABF 2是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，所以可设|BF 2|＝|AB |＝x ，所以|AF 1|＝x －|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a .因为∠ABF 2＝90°，所以2x 2＝16a 2，解得|BF 2|＝|AB |＝22a ，所以|BF 1|＝22a －2a ＝(22－2)a ，所以[(22－2)a ]2＋(22a )2＝(2c )2，即(22－2)2·a 2＋8a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a2＝5－2 2.二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≤0，sin πx ，x >0，若f (x )－ax ≥－1，则实数a 的取值范围是________．答案 [－6,0]解析 依题意得f (x )≥ax －1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝f (x )与y ＝ax －1(该直线过定点(0，－1)、斜率为a )的图象，如图所示．设直线y ＝ax －1与曲线y ＝x 2－4x (x ≤0)相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0－x 0x 20－4x 0＝ax 0－1，解得x 0＝－1，a ＝－6.结合图形可知，实数a 的取值范围是[－6,0].8.已知平面向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝a·b ＝2，(c －a )·(c －b )＝0，则c·a 的最大值是________．答案 5解析 依题意得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，即cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝π3.作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则由(c －a )·(c －b )＝0得(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝AC →·BC →＝0，点C 位于以线段AB 为直径的圆上，易知△AOB 为等边三角形，如图所示．因为c·a ＝|c||a|cos 〈c ，a 〉＝2|c|·cos 〈c ，a 〉，所以c·a 的最大值即是向量OC →在向量OA →方向上的投影的最大值．设圆心为M ，过点M 作MD ⊥OA ，垂足为D ，则当圆M 在点C 处的切线平行于MD 时，向量OC →在向量OA →方向上的投影最大，设此时点C 处的切线与OA 的延长线交于点E .由△AOB 为等边三角形可知，∠BAO ＝π3，所以|AD |＝12，故|OD |＝2－12＝32，所以投影的最大值为|OE |＝32＋1＝52，故c·a 的最大值为52×2＝5. 9.若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案2解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.整合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.三、解答题10.[2015·陕西高考改编]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率是多少？解复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14－12π.11.[2015·课标全国卷Ⅱ改编]已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为多少？解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.12．设函数f (x )＝x 2＋a ln (x ＋2)，且f (x )存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1<x 2. (1)求实数a 的取值范围；(2)若f (x 1)>mx 2恒成立，求m 的最小值．解 (1)由题可得f ′(x )＝2x ＋ax ＋2(x >－2)． ∵函数f (x )存在两个极值点x 1、x 2，且x 1<x 2， ∴关于x 的方程2x ＋ax ＋2＝0，即2x 2＋4x ＋a ＝0在(－2，＋∞)内有两个不等实根． 令S (x )＝2x 2＋4x (x >－2)、T (x )＝－a ，则结合图象可得－2<－a <0，即0<a <2，∴实数a 的取值范围是(0,2)．(2)由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 1x 2x 1＝－2－x 2－1<x 2<0，问题转化为f x 1x 2<m 恒成立， f x 1x 2＝x 21＋a x 1＋x 2＝x 2＋4x 2－2(x 2＋2)ln (－x 2)＋4.令－x 2＝x ，则0<x <1且f x 1x 2＝－x －4x＋2(x －2)ln x ＋4， 令F (x )＝－x －4x＋2(x －2)ln x ＋4(0<x <1)，则F ′(x )＝－1＋4x2＋2ln x ＋x －x＝4x 2－4x＋2ln x ＋1(0<x <1)，令g (x )＝F ′(x )，则g ′(x )＝－8x 3＋4x 2＋2x＝x 2＋2x －x 3＝x ＋2－5]x 3，∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即F ′(x )在(0,1)上是减函数， ∴F ′(x )>F ′(1)＝1>0， ∴F (x )在(0,1)上是增函数， ∴F (x )<F (1)＝－1，即f x 1x 2<－1， 要使f x 1x 2<m 恒成立，则m ≥－1， ∴m 的最小值为－1.。
高三数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 4.3解答题的解题程序模板课件 理
∴PBMP ＝MNBD＝12.又QQAB＝12.
∴QQBA＝PBMP .
∴在△MAB中，QP∥AM.
又QP⊄面AMD，AM⊂面AMD，
∴QP∥面AMD.
(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．
解 (2)以DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，
2sinA＋π6取最大值2. 综上可知， 3sinA－cosB＋π4的最大值为2， 此时A＝π3，B＝51π2.
(3)若a2＋c2－b2＝ac，且c＝2.求△ABC的面积．
解 (3)由a2＋c2－b2＝ac及余弦定理，得
cosB＝a2＋2ca2c－b2＝2aacc＝12.
又0<B<34π，因此B＝π3.
(1)P是△ABM的一边BM上的点→在另一边AB上一定存在一点Q使PQ∥AM→
BQ QA
＝
BP PM
＝
MNBD＝12.
(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角．
构建解题程序 第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线．
第二步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标．
第三步：求(或找)两个半平面的法向量．
第四步：求法向量n1，n2的夹角或cos〈n1，n2〉(若为锐二面角则求|cos〈n1，n2〉|)． 第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．
第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．如本题求得cos〈n1，n2〉＝－
构建解题程序 第一步：运用正弦定理，将边化为角的关系，进而由角的范围及tanC＝1，求角C. 第二步：化三角函数为 a2＋b2sin(x＋φ)的形式． 第三步：根据三角函数性质，求出A，B. 第四步：利用余弦定理与面积公式求S△ABC. 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤． 批阅笔记 1.①本题第(1)、(3)问的求解关键充分运用条件特征，灵活运用正余弦定理，完成边角的转 化． ②第(2)问注意到A、B关系，逆用两角和的正弦公式． 2．本题易错点：①第(2)问中，忽视角的取值范围，推理计算不严谨； ②不会将cosB＋π4转化为cos(π－A)，导致求解复杂化，使得求错结论； ③抓不住第(3)问的条件特征，盲目代入，无果而终．
高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 4.3解答题的解题程序模板 文
【金版教程】2016届高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 4.3解答题的解题程序模板 文1．[2015·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝sin2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.2．[2015·福建高考]如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．解(1)证明：如图，在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC . 因为DO ∩PO ＝O ，所以AC ⊥平面PDO . (2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1.又三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)解法一：在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°， 所以PB ＝12＋12＝ 2. 同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值． 又OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 的中点， 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，所以CE ＋OE 的最小值为2＋62. 解法二：(1)、(2)同解法一．在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以∠OPB ＝45°，PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝ 2. 所以PB ＝PC ＝BC ，所以∠CPB ＝60°.在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值． 所以在△OC ′P 中，由余弦定理得：OC ′2＝1＋2－2×1×2×cos(45°＋60°)＝1＋2－22×⎝⎛⎭⎪⎫22×12－22×32＝2＋3.从而OC ′＝ 2＋3＝2＋62. 所以CE ＋OE 的最小值为2＋62. 3．甲、乙两名同学参加“中学生辩论赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)如表所示．第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 58 55 76 92 88 乙6582878595(1)(不用计算)； (2)若从甲、乙两人5次测试的成绩中各随机抽取1次进行分析，求抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率．解(1)茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此选派乙参赛更好．(2)设事件A ：抽到的2次成绩中至少有1次高于90分．从甲、乙两人5次测试的成绩中各随机抽取1次，所有的基本事件如下：{58,65}，{58,82}，{58,85}，{58,87}，{58,95}，{55,65}，{55,82}，{55,85}，{55,87}，{55,95}，{76,65}，{76,82}，{76,85}，{76,87}, {76,95}，{88,65}，{88,82}，{88,85}，{88,87}，{88,95}，{92,65}, {92,82}，{92,85}, {92,87}，{92,95}，共25个．事件A 包含的基本事件如下：{58,95}，{55,95}，{76,95}，{88,95}，{92,65}，{92,82}，{92,85}, {92,87}，{92,95}，共9个．所以P (A )＝925，即抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率为925.4．[2015·五校联盟质检]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n a n ＋12(n ∈N *)．(1)求证数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解 (1)证明：S n ＝a n a n ＋12(n ∈N *)， ①S n －1＝a n －1a n －1＋12(n ≥2)． ②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)．∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1、公差为1的等差数列． (2)由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛ 1n －⎦⎥⎤⎭⎪⎫1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 5．[2015·南昌一模]已知圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λ OA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程． 解 (1)∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径， ∴AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＝94，得x ＝±2， ∴c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1， 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，a ＝2. ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，∵MN →＝λ OA →(λ≠0)， ∴直线的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y 22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，∴－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12x 1＋x 22－4x 1x 2＝12－3m 2， 点A 到直线l 的距离d ＝6 |m |3， ∴S △AMN ＝12|MN |·d ＝12 12－3m 2×63|m |＝224－m2m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立， 此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 6．已知函数f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R )．(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调区间．解 (1)∵f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R )，f (1)＝a ，f ′(x )＝－x ＋(a －1)＋2－ax，f ′(1)＝0，∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝a . (2)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝－x ＋(a －1)＋2－a x ＝－x 2＋a －1x ＋2－ax(x >0)，∴f ′(x )>0，即－x 2＋(a －1)x ＋2－a >0，f ′(x )<0， 即－x 2＋(a －1)x ＋2－a <0.令g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋2－a ，由g (x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝a －2.①当a >3时，x 2>x 1，g (x )>0的解集是{x |1<x <a －2}，g (x )<0的解集是{x |0<x <1}或{|x >a －2}，∴f (x )的单调递增区间是(1，a －2)，单调递减区间是(0,1)，(a －2，＋∞)． ②当a ＝3时，x 2＝x 1，对任意的x >0，都有g (x )≤0，当且仅当x ＝1时取等号， ∴f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．③当2<a <3时，x 2<x 1，g (x )>0的解集是{x |a －2<x <1}，g (x )<0的解集是{x |0<x <a －2}或{x|x>1}，∴f(x)的单调递增区间是(a－2,1)，单调递减区间是(0，a－2)，(1，＋∞)．④当a≤2时，x2≤0，g(x)>0的解集是{x|0<x<1}，g(x)<0的解集是{x|x>1}，∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．综上所述，当a>3时，f(x)的单调递增区间是(1，a－2)，单调递减区间是(0,1)，(a －2，＋∞)；当a＝3时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，没有单调递增区间；当2<a<3时，f(x)的单调递增区间是(a－2,1)，单调递减区间是(0，a－2)，(1，＋∞)；当a≤2时，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．。
2016高三数学二轮复习方法
2016高三数学二轮复习方法(一)计划性：教学计划是组织好教学的关键，是行动的指南针。
要将学期计划与周计划有机的整合起来。
纲领性：要吃透大纲与考试说明，使复习方向既适合自身又紧扣大纲及高考说明。
网络性：做好数学知识网的编结工作。
对各个知识点作再次的检查与修正，同时进行滚动的训练，将知识点形成网络结构，找出解题的规律及各种类型题目之间的内在联系。
方法性：应该把一些基本的方法和技巧梳理一遍，使学生在考试过程保持顺畅。
整体性：发挥备课组功能，在二轮复习中“集体冲刺”。
制定计划一起讨论，结合实际形成大纲，明确责任分工合作。
例如学案式教学，就分清选题的人为老教师，解题的人为新教师，相互配合，共同搞好教学。
强化课本作用，注重推陈出新。
课本是教学之本，考题之源。
近几年的高考命题坚持贯彻高考试题“源于课本”的命题原则，一直都很注重强化课本的作用。
其中许多题目都能在课本上找到影子，是课本上题目的变形和转化。
高考时有许多课本中例题、习题经过加工改变作为高考试题，因此建议同学们在有限的复习时间内要注意回归课本，要吃透课本上的典型习题、例题，以不变应万变。
、培养良好的学习习惯，提升应试能力复习。
最后一段时间，模考及综合训练较多。
在做题训练中同学们要努力做到以下几个方面。
(一)书写规范，表述准确。
建议同学们精心研究以前高考试题的评分标准，吃透评分标准，对照自己的行为习惯，力争减少失分，做到会做的不扣分，不会做的尽量能得分。
(二)整理错误，关注细节。
在复习的最后阶段，要特别注意把自己曾经做过的题目再整理一下，重点是出现错误的地方，要分析和反思出现错误的原因，有针对性地进行再纠正，对一些在细节上出现错误的问题尤其要关注。
(三)重视审题训练。
在高考中，往往是审题决定成败，或者说成也审题、败也审题。
注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键，然而审题是同学们在复习中重视不够的地方。
建议同学们在审题时首先弄清问题的已知条件和未知条件，其次注意题目的隐含条件，然后弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相互联系，最后思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似,即这个题目是否好像见过面?2016高三数学二轮复习方法(二)一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不可能再面面俱到。
2016届高考数学二轮复习 考前冲刺攻略课件：2-3-2数形结合思想
0≤x≤ 3 不等式组y≤3
x≤ 3y
表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 y＝2x，可知在(0,3)处 z＝y－2x
取到最大值 3，则实数 a 的取值范围是 a≥3.
18
第十八页，编辑于星期五：二十点 四十四分。
大二轮 ·数学 ·理
利用数形结合求最值的方法步骤 第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是 否具有几何意义． 第二步：转化为几何问题． 第三步：解决几何问题． 第四步：回归代数问题． 第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： (1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的 距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．
大二轮 ·数学 ·理
类型二
利用数形结合解不等式或求参数 LEIXING
例2
(1)使 log2(－x)<x＋1 成立的 x 的取值范围是__(－__1_,_0_)_．
(2)若不等式|x－2a|≥12x＋a－1 对 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是_－__∞__，__12_ ．
解析 (1)在同一坐标系中，分别作出 y＝log2(－x)，y＝x＋1 的图象，由图可知，x 的取值范围是(－
利用数形结合解不等式应注意的问题 解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图 形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.
16
第十六页，编辑于星期五：二十点 四十四分。
大二轮 ·数学 ·理
模拟演练 2
[2015·福建高考]已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t.若点
2016高考数学二轮复习重点及策略
2016高考数学二轮复习重点及策略通常情况下，高三数学需进行三轮复习，第一轮复习需以高考大纲为指导，以数学课本为基础，熟悉每个所学知识点，是一个唤起记忆的过程，要做到对知识点的学习不漏不缺。
第一轮复习结束后，紧接着需进入第二轮复习阶段。
在这一阶段是对第一阶段的巩固与强化，如果说第一阶段是知识点的积累，那么第二阶段就是对知识的灵活运用。
二轮复习中更侧重于知识的融会贯通，各个知识点的衔接，二轮复习大约持续40天左右，那么如何在短短的时间内能够高质量得进行复习，这一点很重要。
以下北京新东方中小学一对一高中数学资深教师胡凯丽为同学们从三个方面给予同学们指导。
1：第一阶段为重点知识的强化与巩固阶段，时间为3月1日—3月27日。
2：第二阶段是对于综合题型的解题方法与解题能力的训练，时间为3月28日—4月16日。
根据高考对知识点的考察我们可以归类为七大模块，并且针对每一个模块，新东方一对一胡凯丽老师为同学们一一详解：专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
高三党必备：高三数学第二轮复习方法!
高三党必备：高三数学第二轮复习方法！时下，高三数学即将进入第二轮复习阶段，考生应该如何在短短的时间内，科学安排复习，提高效率呢?下面整理了高三数学第二轮复习方法，供大家参考!高三数学第二轮复习方法一、研究考纲，把准方向为更好地把握高考复习的方向，教师应指导考生认真研读《课程标准》和《考试说明》，明确考试要求和命题要求，熟知考试重点和范围，以及高考数学试题的结构和特点。
以课本为依托，以考纲为依据，对于支撑学科知识体系的重点内容，复习时要花大力气，突出以能力立意，注重考查数学思想，促进数学理性思维能力发展的命题指导思想。
二、重视课本，强调基础近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。
强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到原型。
尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。
例如，高二数学(下)中有这样一道例题：求椭圆中斜率为平行弦的中点的轨迹方程。
此题所涉及的知识点、方法在2005年春季高考、2007年秋季高考、2010年秋季高考的压轴题中多次出现。
加强基础知识的考查，特别是对重点知识的重点考查;重视数学知识的多元联系，基础和能力并重，知识与能力并举，在知识的交汇点上命题;重视对知识的迁移，低起点、高定位、严要求，循序渐进。
有些题目规定了两个实数之间的一种关系，叫做接近，以递进式设问，逐步增加难度，又以学生熟悉的二元均值不等式及三角函数为素材，给学生亲近之感。
将绝对值不等式、均值不等式、三角函数的主要性质等恰如其分地涵盖。
注重对资料的积累和对各种题型、方法的归纳，以及可能引起失分原因的总结。
同时结合复习内容，引导学生自己对复习过程进行计划、调控、反思和评价，提高自主学习的能力。
三、突破难点，关注热点在全面系统掌握课本知识的基础上，第二轮复习应该做到重点突出。
需要强调的是猜题、押题是不可行的，但分析、琢磨、强化、变通重点却是完全必要的。
高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.4转化与化归思想 文
【金版教程】2016届高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.4转化与化归思想 文一、选择题1.已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A.[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C.[1，2＋1] D ．[1，2＋2]答案 A解析 由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |＝x 2＋y 2可看作(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO ＝2－1，P ′O ＝2＋1，故选A.2.[2015·九江一模]在如下程序框图中，输入f 0(x )＝sin(2x ＋1)，若输出的f i (x )是28sin(2x ＋1)，则程序框图中的判断框应填入( )A ．i ≤6B ．i ≤7 C.i ≤8 D ．i ≤9答案 B解析 i ＝1时，f 1(x )＝2cos(2x ＋1)；i ＝2时，f 2(x )＝－22sin (2x ＋1)；i ＝3时，f 3(x )＝－23cos(2x ＋1)；i ＝4时，f 4(x )＝24sin(2x ＋1)；……；i ＝8时，f 8(x )＝28sin(2x＋1)，循环结束，故选B.3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A.[－1,0]B ．[－1，＋∞)C.[0,3] D ．[3，＋∞)答案 D解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max<1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3.∴a ≥3.故选D.4.在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A.4 B ．3 C.52 D.125答案 C解析 解法一：∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5， ∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)，设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b4≥2ab 12.∴ab 12≤14，即xy ≤14，此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 解法二：由AD →＝xAB →＋yAC →，得x ＋y ＝1且x >0，y >0.∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14(当且仅当x ＝y ＝12时取得)．此时，|AD →|2＝9x 2＋16y 2＝94＋164＝254.∴|AD →|＝52.5.若函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的图象关于直线x ＝－π6对称，则ω的最小正值为( )A.3 B ．4 C.5 D ．6答案 C解析 由题意得y ＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6ω＋π3＝±1，即－π6ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝－6k －1，可得ω的最小正值为5.选C.6.[2015·兰州双基测试]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.10π B ．8π C.6π D ．9π答案 B解析 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，为：4π×3－13×4π×3＝8π.二、填空题7.若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2014)＝________.答案 2014解析 ∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1，∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1.∴f (x ＋1)－f (x )＝1.∴数列{f (n )}为等差数列，且f (1)＝1，d ＝1. ∴f (2014)＝f (1)＋2013×1＝2014. 8.设实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋1≥0，3a ＋2b －4≥0，a ≤1，则9a 2＋4b 2的最大值是________．答案 25解析 令3a ＝x,2b ＝y ，则问题转化为已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －4≥0，x 3≤1，求x 2＋y 2的最值问题．由x 2＋y 2的几何含义可知表示原点到点(x ，y )距离的平方，由可行域如图可知，点(3,4)距原点最远，故(x 2＋y 2)max ＝32＋42＝25.9.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10. 三、解答题10.[2015·大连双基]已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 11.已知函数f (x )＝x －1x，g (x )＝a ln x ，其中x >0，a ∈R ，令函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，判断方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由．解 (1)∵h (x )＝f (x )－g (x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.依题意，知不等式x 2－ax ＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a ≤x ＋1x在区间(0，＋∞)上恒成立，解得a ≤2，即a 的取值范围为(－∞，2]．(2)当a ＝2时，h (x )＝x －1x－2ln x ．∴h (x )＋h (2－x )＝2－2x 2－x－2ln [x (2－x )]．令t ＝x (2－x )∈(0,1)，构造函数φ(t )＝2－2t－2ln t ， ∵φ′(t )＝2t 2－2t ＝2－2tt2>0恒成立，∴函数φ(t )在(0,1)上单调递增，且φ(1)＝0. ∴φ(t )＝2－2t－2ln t ＝0在(0,1)上无解．即方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上无解．12. [2015·广东高考]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解 (1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ， 又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ， ∵PD ＝PC ， ∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ， ∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥BC .又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ，PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC . 又∵PD ⊂平面PDC ， ∴BC ⊥PD . (3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P －ADC 的高． ∵PH ＝PD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12CD 2＝42－32＝7，S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9，∴V P －ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37.由(2)知BC ⊥PD ， 又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6.设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C －PDA ＝V P －ADC ， ∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝3713·S △PDA ＝3713×6＝372.。
高考数学二轮复习方略
高考数学二轮复习方略高考数学的第二轮复习,通常称为“方法能力篇”。
进入第二轮复习，要以数学思想方法为纽带，将不同的、零散的知识点进行穿联、重组，并将数学思想方法贯穿于平时的解题思维。
同时，要针对高考中的重点问题、重点题型，进行集中突破训练，达到“熟能生巧”、“举一反三”，使自己的能力得到逐步提升，为冲刺高考作好充分的准备。
一、紧抓高考的两条主线对数学思想方法与数学能力的考查是高考数学的两条主线。
在一轮复习有了较为完备、扎实的知识基础上，二轮复习中应突出两大方面：一是“数学思想方法的融会贯通”，二是“数学能力的集中突破”。
高中数学中的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、待定系数法、换元法、配方法、反证法等。
在二轮复习中，应强化对这些思想方法的深入理解，把握其主要特征、实施步骤和注意事项。
例如，分类讨论是高考命题的热门话题，大多是含参变量问题。
在练习时，就要多作分析与思考：该题需不需要分类讨论？为什么要分类讨论？分类标准如何确定？怎么去讨论？结果需怎样综合？这样，在“做中学，学中思，思中悟”，不断领悟和熟悉数学思想方法的实质,并逐步达到融会贯通、灵活应用.对能力的考查是高考的重点，也是考试大纲强化的一个方面。
二轮复习中，要对能力进行集中的训练、突破。
在形式上，可采用较大密度的专项练习或专题训练，强化对重点知识的深入掌握，强化对重要思想方法的理解应用。
在能力方面，要特别注意运算能力的培养，讲究运算的合理性、方向性、简捷性，练成一套真功夫。
在解题中，要有意识地培养直觉猜想、归纳抽象、逻辑推理、演绎证明、运算求解等理性思维能力。
在分析问题和解决问题的能力的提升上，要注重深层次挖掘，注重通性通法，注重突破口的寻找和知识间的联系。
二、掌握解题的一般套路数学解题的一般套路为：模式识别，映射化归，分合并用，进退互化，正反相辅，数形结合，有效增设.。
超全的高考数学二轮复习攻略,我又有救了!
高三生：二论复习请你遵循课标，调整题型，回归教材，突破难点。
高考是每位学子12年求学路最后的通关考试，他是证明学子12年努力的结果，也是开启人生道路新的起点。
鉴于它的重要性，组合教育小合就来和同学们聊一聊高三学生面对高考应该如何进行高考数学的二轮复习。
一、二轮复习是查漏补缺针对第一轮复习存在的问题，进一步强化基础知识的复习和基本技能的训练，进一步巩固基础知识和提高基本能力，进一步强化规范解题的训练;二、二轮复习是知识重组把所学的知识连成线、铺成面、织成网，梳理知识结构，使之有机结合在一起，以达到提高多角度、多途径地分析和解决问题能力的目的;三、二轮复习是提升能力通过知识网的建立，一是提高解题速度和解题技巧，二是提升规范解题能力，三是提高实验操作能力。
重点在提高能力上下功夫，把目标瞄准中档题。
四、二轮复习策略1.选题要“精”选题要“精”，主要体现在代表性、新颖性、梯度性、适度性、针对性和创新性。
这里推荐同学们使用《30分钟拿下高考数学选择题、填空题》此书是是为快速提高考生的高考数学解题水平和技巧而编写的高考第二轮复习用书。
对历年高考数学真题和模拟题，归纳、总结出高考数学选择题、填空题的考点，遴选出最能代表该考点的试题，并高度概括该考点的通解通法与特殊技巧。
不仅可以提高分析和解决问题的能力，同时还可以提高考学生们洞察试题变异的能力。
本书通过方法篇、专题篇与实战篇的训练，帮助考生高效地解答选择题、填空题。
2.精读课本对重要的概念、规律一定要做到熟读、精读课本，看懂、看透，一次不够两次，两次不行再来，绝不能留任何的死角，包括课后的阅读材料、小实验、小资料等。
3.重视错题错题和不会做的题，往往是学生知识的盲区、物理思想方法的盲区、解题思路的盲区。
所以学生要认真应对高三复习以来的错题，问问自己为什么错了，错在哪儿，今后怎么避免这些错误。
4.把握重点学生要跳出题海、突破高频考点：例如函数、导数、三角函数、不等式、立体几何等，每年都会考到，这些考点就要深层次的去挖掘并掌握。
高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.3数学思想与方法 文
第二编 考前冲刺攻略
大二轮·文
第三步 数学思想与方法
第三讲 分类讨论思想
1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后 对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零， 各个击破，再积零为整”的解题策略． 2.分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几 种：
第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的 对象作为分类目标．
第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
解 (1)由题意得，5a3·a1＝(2a2＋2)2， 即 5(a1＋2d)·a1＝(2a1＋2d＋2)2 d2－3d－4＝0，解得 d＝－1 或 d＝4，
所以 an＝－n＋11 或 an＝4n＋6.
(2)若 d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解 (2)设数列{an}前 n 项和为 Sn， 因为 d<0，所以 d＝－1，an＝－n＋11，则 由 an≥0，即－n＋11≥0 得 n≤11. 所以当 n≤11 时，an≥0，n≥12 时，an<0. 所以 n≤11 时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋221n； n≥12 时，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an＝S11－(Sn－S11)＝－Sn ＋2S11＝12n2－221n＋110. 综上所述，|a1|＋|a2|＋…＋|an|
高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 4.2填空题速解方法 文
→→ ∵AP⊥BD，∴AP·BD＝0.
→→ → →
→
又∵AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|2，
→→ → ∴AP·AC＝2|AP|2＝2×9＝18.
→→ 方法二：把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则AP·AC＝18.
探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论 只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.本题中的方法 二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量.
解析 方法一：设数列{an}的公差为d，由S2＝a3得，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝12，所 以d＝12，故a2＝a1＋d＝1.
方法二：由S2＝a3，得a1＋a2＝a3. 则a3－a1＝a2，① 又a3＋a1＝2a2，② ②－①，得a2＝2a1＝1.
探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处 理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快 速准确地求解填空题的关键.本题方法二巧妙利用等差中项，不需要计算公差，直接可求得结果，简化了运 算.
变式训练2 设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则O→A·O→B＝__－__34____.
解析
方法一：如图，可取过焦点的直线为x＝
1 2
，求出交点A12，1
，B 21，－1 ，所以 O→A
→ ·OB ＝
1 2
×
1 2
＋
1×(－1)＝－34.
方法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)， 由题意，知p＝1.则O→A·O→B＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝p42－p2＝－34p2＝－34.
高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 4.2填空题速解方法 文
【金版教程】2016届高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 4.2填空题速解方法 文1．已知集合A ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .A ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，当B ＝∅时，m ＋1>2m ＋3，即m <－2，此时B ⊆A 成立．当B ≠∅时，m ＋1≤2m ＋3，即m ≥－2. 1．已知集合A ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .A ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，当B ＝∅时，m ＋1>2m ＋3，即m <－2，此时B ⊆A 成立． 当B ≠∅时，m ＋1≤2m ＋3，即m ≥－2.由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ＋1，2m ＋3≤4，解得－2≤m ≤12.又∵m ≥－2，∴－2≤m ≤12.综上可知m ≤12.2．[2015·日照模拟]已知a ，b ∈R ＋，函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b的最小值是________．答案 3＋2 2解析 因为函数过点(0,1)，所以2a ＋b ＝1. 所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2a b≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab时取等号，故填3＋2 2. 3．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (0)＝1，则f (2013)＝________.答案 1解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∴f (2013)＝f (671×3＋0)＝f (0)＝1.4．[2015·衡水二调]已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，函数g (x )＝f (x )－ax 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，1x ∈[1,3]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln 1x ＝－ln x ，∴12f (x )＝－ln x ，∴f (x )＝－2ln x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，f (x )＝－2ln x .∵函数g (x )的图象与x 轴有3个不同的交点，∴函数f (x )的图象与y ＝ax 有3个不同的交点，函数f (x )的图象如图所示，直线y ＝ax 与y ＝ln x 相切是一个边界情况，直线y ＝ax 过(3，ln 3)时是一个边界情况，符合题意的直线需要在这2条直线之间，∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴k ＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，与y ＝ax 相同，即a ＝1e ，当y ＝ax 过点(3，ln 3)时，a ＝ln 33.综上可得：ln 33≤a <1e.5．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.6．[2015·石家庄一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________． 答案 72解析 由三视图可知该几何体是一个组合体，下面是一个棱长为4的正方体；上面是一个三棱锥，三棱锥的高为3.故所求体积为43＋13×12×4×4×3＝72.7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.答案 －56解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，∴tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－13，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 8．数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60，则{a n ＋b n }的前20项和为________．答案 720解析 由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：S 20＝20a 1＋b 1＋a 20＋b 202＝20×5＋7＋602＝720.9．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 ∵b n ＝a n ＋1，∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1.∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81.∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9.10．[2015·郑州质量预测]设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sinπx ＋2图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝________. 答案 82解析 依题意，函数y ＝x 3与y ＝sin πx 均是奇函数，因此y ＝x 3＋sin πx 是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，函数f (x )＝x 3＋sin πx ＋2的图象关于点(0,2)对称，于是有f (－x )＋f (x )＝4，因此f (－1)＋f (1)＝4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＝4，…，f (0)＝2，所求的和为2＋20×4＝82.11．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．答案 43解析 根据题意作出图形如图所示，连接OA ，OB ，则|AO |＝1－02＋3－02＝10，|OB |＝2，∴|AB |＝|AO |2－|OB |2＝22，∴tan ∠BAO ＝222＝12，∴l 1与l 2的夹角的正切值等于tan 2∠BAO ＝2tan ∠BAO1－tan 2∠BAO ＝2×121－14＝43. 12．已知F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，以F 为顶点作一个两条对角线长分别为23和2的菱形PFRQ (|PR |>|FQ |)，如图所示．若抛物线经过P ，R 两个顶点，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝2x解析 由已知条件知|FQ |＝2，|PR |＝23，所以|PF |＝2，且点P 的横坐标为p2＋1，根据抛物线的定义知|PF |＝x P ＋p 2＝p 2＋1＋p2＝p ＋1，则由p ＋1＝2，得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x .13．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．答案332解析 设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半，即为|AF 2|＝b 2a＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332.14．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为 ________.答案 9解析 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18,50×0.18＝9.15．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的________条件．(填“充分不必要、必要不充分、充要”)答案 必要不充分解析 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )，但满足线性回归方程的点不一定是样本数据的平均数，因此“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的必要不充分条件．16．[2015·四川高考]如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．答案 25解析 取BF 的中点N ，连接MN ，EN ，则EN ∥AF ，所以直线EN 与EM 所成的角就是异面直线EM 与AF 所成的角．在△EMN 中，当点M 与点P 重合时，EM ⊥AF ，所以当点M 逐渐趋近于点Q 时，直线EN 与EM 的夹角越来越小，此时cos θ越来越大．故当点M 与点Q 重合时，cos θ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ ，NQ ，在△EQN 中，由余弦定理，得cos ∠QEN ＝EQ 2＋EN 2－QN 22EQ ·EN ＝20＋5－332×20×5＝－25，所以cos θ的最大值为25.17．[2015·福建高考]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为________．答案 0解析 i ＝1，S ＝0，S ＝0＋cos π2＝0，i ＝2；2>5不成立，执行循环：S ＝0＋cos 2π2＝－1，i ＝3；3>5不成立，执行循环：S ＝－1＋cos 3π2＝－1，i ＝4；4>5不成立，执行循环：S ＝－1＋cos 4π2＝－1＋1＝0，i ＝5；5>5不成立，执行循环：S ＝0＋cos 5π2＝0，i ＝6；6>5成立，停止循环，输出S 的值等于0.18．已知函数f (x )＝|e x－1|＋1，若a <b ，且f (a )＝f (b )，则实数a ＋2b 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，ln 3227 解析 结合函数的图象，易知a <0，b >0.∵f (a )＝2－e a ，f (b )＝e b，设f (a )＝f (b )＝k ，则k ∈(1,2)，∴a ＝ln (2－k )，b ＝ln k ，a ＋2b ＝ln (2k 2－k 3)．设g (k )＝－k 3＋2k 2，则g ′(k )＝－3k 2＋4k ，令－3k 2＋4k ＝0，得k ＝43，易知函数g (k )＝－k 3＋2k 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2上为减函数，即函数g (k )＝－k 3＋2k 2的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝3227，∴当k ∈(1,2)时，函数g (k )＝－k 3＋2k 2的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，3227，∴ln (2k 2－k 3)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，ln 3227，即实数a ＋2b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，ln 3227.。
高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.3数学思想与方法 文
【金版教程】2016届高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.3数学思想与方法 文一、选择题1.[2015·湖北高考]将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A.对任意的a ，b ，e 1>e 2B.当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C.对任意的a ，b ，e 1<e 2D.当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 答案 D 解析 e 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，而b ＋m a ＋m －b a ＝a －b ma a ＋m， 当a >b 时，a －b m a a ＋m >0，b ＋m a ＋m >ba ，e 1<e 2；当a <b 时，a －b m a a ＋m <0，b ＋m a ＋m <ba，e 1>e 2.故选D.2.集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x ||x －3|<a ，x ∈R }，若A ⊇B ，那么a 的取值范围是( )A.0≤a ≤1 B ．a ≤1 C.a <1 D ．0<a <1答案 B解析 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒0<a ≤1.综上得a ≤1.3．执行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为M ，从集合M 中任取一个元素m ，则函数y ＝x m (x >0)是增函数的概率为( )A.14B.12C.34D.45答案 B解析 由程序框图可知，初始条件x ＝－2.当－2≤2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)＝0，从而x ＝－2＋1＝－1；当－1≤2时，y ＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，从而x ＝－1＋1＝0；当0≤2时，y ＝02＋2×0＝0，从而x ＝0＋1＝1；当1≤2时，y ＝12＋2×1＝3，从而x ＝1＋1＝2；当2≤2时，y ＝22＋2×2＝8，从而x ＝2＋1＝3；当3>2时，退出循环．因此当x ≤2时，集合M ＝{0，－1,3,8}．要使函数y ＝x m(x >0)是增函数，则必须且只需m >0，故所求概率P ＝12，故选B.4.如果函数f (x )＝a x(a x－3a 2－1)(a >0且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 C.(1，3] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 B解析 令a x＝t ，则y ＝t 2－(3a 2＋1)·t ，对称轴t ＝－－3a 2＋12＝3a 2＋12≥12.①若0<a <1，则0<a x≤1.欲使x ∈[0，＋∞)时f (x )递增，只需3a 2＋12≥1.即3a 2＋1≥2，即a 2≥13.∴a ≥33或a ≤－33(舍去)，∴33≤a ＜1. ②当a >1时，a x>1不满足题设条件，故选B.5.[2015·西安八校联考]设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x＋1(a >0且a ≠1)，那么函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x －12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g －x －12的值域为( )A.{－1,0,1} B ．{0,1} C.{1，－1} D ．{－1,0}答案 D 解析 ∵g (x )＝a xa x ＋1，∴g (－x )＝1a x ＋1， ∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，∴f (x )＝－1； 当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，∴f (x )＝－1；当g (x )＝12时，g (－x )＝12，∴f (x )＝0.综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D.6.已知双曲线2x 2－2y 2＝1的右焦点F 为抛物线Γ：y 2＝2px 的焦点，点P 是抛物线Γ准线上的一点，点Q 是直线PF 与抛物线Γ的一个交点．若PQ →＝ 2 QF →，则直线PF 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y －1＝0或x －y －1＝0D.x ＋y ＋1＝0或x －y －1＝0 答案 C解析 因为双曲线2x 2－2y 2＝1的右焦点F 为(1,0)，即抛物线Γ的焦点为(1,0)，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝－1.设Q (x 0，y 0)，过点Q 作直线QA 垂直于准线，垂足为A ，根据抛物线的定义知，|QF →|＝|QA →|，因为PQ →＝ 2 QF →，所以|PQ →|＝ 2 |QF →|＝ 2 |QA →|， 所以直线PF 的倾斜角为45°或135°， 所以直线PF 的方程为y －0＝±(x －1)， 即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.故选C. 二、填空题7.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(0，＋∞)解析 由S n >0，得a 1＝S 1>0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0满足题意；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q>0，即1－qn1－q >0(n ＝1,2,3，…)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0②，由①得－1<q <1，由②得q >1.又因为q ≠0，故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).8.如图所示的程序框图，当输入的值为x ∈(－1,3]时，输出y 的取值范围为________．答案 [－2,0]∪[1,3)解析 由题意知，输出的y 是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x <1，1－x ，x ≥1的函数值．故当x ∈(－1,1)时，y ＝2x 2＋1∈[1,3)；当x ∈[1,3]时，y ＝1－x ∈[－2,0]．所以输出y 的取值范围为[－2,0]∪[1,3).9.对一切实数x ，若不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥－2解析 解法一：令t ＝|x |，则原不等式可变为t 2＋at ＋1≥0对于t ≥0恒成立． 令f (t )＝t 2＋at ＋1，显然函数图象为开口向上的抛物线，且过定点(0,1)， 当t ＝－a2≤0即a ≥0时，结合f (t )＝t 2＋at ＋1(t ≥0)的图象显然在t 轴的上方，所以当a ≥0时，t 2＋at ＋1≥0对于t ≥0恒成立；当t ＝－a2>0即a <0时，结合f (t )＝t 2＋at ＋1(t ≥0)的图象可得Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ＜0.综上所述，a ≥0或－2≤a <0，即a ≥－2.解法二：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0显然恒成立； 当x ≠0时，由x 2＋a |x |＋1≥0得－a ≤|x |＋1|x |，而|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，当且仅当|x |＝1|x |，即x ＝±1时等号成立，所以－a ≤2，得a ≥－2.综上所述，a ≥－2.三、解答题10.[2015·黄山市质检二]设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R . (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求实数p 的取值范围．解 (1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1－xx(x >0)．当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px (x >0)， 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(2p ＋1)x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12p ，使得ln x >0,1＋2px >0， 则g ′(x )＝ln x ＋(1＋2px )>0，即函数g (x )在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p ，使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上，实数p 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12.11.[2015·湖北高考]将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，求e 1与e 2的大小关系．解 依题意，e 1＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a a ＋m ＝m b －aa a ＋m，由于m >0，a >0，b >0， 所以当a >b 时，0<ba<1,0<b ＋m a ＋m <1，b a <b ＋m a ＋m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1<e 2； 当a <b 时，ba>1，b ＋m a ＋m >1，而b a >b ＋m a ＋m ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1>e 2.所以当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.12.[2015·湖南高考]设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .解 (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝33n－12， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝33n－12－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【金版教程】2016届高三数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 3.4转化与化归思想 理一、选择题1.已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A.[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C.[1，2＋1] D ．[1，2＋2]答案 A解析 由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |＝x 2＋y 2可看作(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO ＝2－1，P ′O ＝2＋1，故选A.2.[2015·九江一模]在如下程序框图中，输入f 0(x )＝sin(2x ＋1)，若输出的f i (x )是28sin(2x ＋1)，则程序框图中的判断框应填入( )A ．i ≤6B ．i ≤7 C.i ≤8 D ．i ≤9答案 B解析 i ＝1时，f 1(x )＝2cos(2x ＋1)；i ＝2时，f 2(x )＝－22sin (2x ＋1)；i ＝3时，f 3(x )＝－23cos(2x ＋1)；i ＝4时，f 4(x )＝24sin(2x ＋1)；……；i ＝8时，f 8(x )＝28sin(2x＋1)，循环结束，故选B.3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A.[－1,0] B ．[－1，＋∞) C.[0,3] D ．[3，＋∞)答案 D解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max<1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3.∴a ≥3.故选D.4.在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A.4 B ．3 C.52 D.125答案 C解析 解法一：∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5， ∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)，设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b4≥2ab 12.∴ab 12≤14，即xy ≤14，此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 解法二：由AD →＝xAB →＋yAC →，得x ＋y ＝1且x >0，y >0. ∴xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14(当且仅当x ＝y ＝12时取得)．此时，|AD →|2＝9x 2＋16y 2＝94＋164＝254.∴|AD →|＝52.5.若函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的图象关于直线x ＝－π6对称，则ω的最小正值为( )A.3 B ．4 C.5 D ．6答案 C解析 由题意得y ＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6ω＋π3＝±1，即－π6ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝－6k －1，可得ω的最小正值为5.选C.6.[2015·兰州双基测试]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.10π B ．8π C.6π D ．9π答案 B解析 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，为：4π×3－13×4π×3＝8π.二、填空题7.若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2014)＝________.答案 2014解析 ∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1，∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1.∴f (x ＋1)－f (x )＝1.∴数列{f (n )}为等差数列，且f (1)＝1，d ＝1. ∴f (2014)＝f (1)＋2013×1＝2014. 8.设实数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋1≥0，3a ＋2b －4≥0，a ≤1，则9a 2＋4b 2的最大值是________．答案 25解析 令3a ＝x,2b ＝y ，则问题转化为已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －4≥0，x 3≤1，求x 2＋y 2的最值问题．由x 2＋y 2的几何含义可知表示原点到点(x ，y )距离的平方，由可行域如图可知，点(3,4)距原点最远，故(x 2＋y 2)max ＝32＋42＝25.9.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10. 三、解答题10.[2015·大连双基]已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 11.已知函数f (x )＝x －1x，g (x )＝a ln x ，其中x >0，a ∈R ，令函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，判断方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由．解 (1)∵h (x )＝f (x )－g (x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.依题意，知不等式x 2－ax ＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a ≤x ＋1x在区间(0，＋∞)上恒成立，解得a ≤2，即a 的取值范围为(－∞，2]．(2)当a ＝2时，h (x )＝x －1x－2ln x ．∴h (x )＋h (2－x )＝2－2x 2－x－2ln [x (2－x )]．令t ＝x (2－x )∈(0,1)，构造函数φ(t )＝2－2t－2ln t ， ∵φ′(t )＝2t 2－2t ＝2－2tt2>0恒成立，∴函数φ(t )在(0,1)上单调递增，且φ(1)＝0. ∴φ(t )＝2－2t－2ln t ＝0在(0,1)上无解．即方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上无解．12．[2015·山西考前质量监测]如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H －PB －C 的余弦值．解 (1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2.又BC ＝2，∴CD ＝2，∴BC ⊥BD .∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又PD ∩BD ＝D ， ∴BC ⊥平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面PBC .(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， ∴tan ∠BPC ＝63， ∴PB ＝3，PD ＝1.由CH →＝2HD →及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，0. 设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0HB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23y 1＋z 1＝0x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1,1,2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－217，观察可知二面角H －PB －C 为锐角，21 7.故二面角H－PB－C的余弦值为。