1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编： 13平面几何

1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编平面几何部分2019A 一、（本题满分 40 分）如图，在锐角ABC ∆中，M 是BC 边的中点．点P 在ABC ∆内，使得AP 平分BAC ∠．直线MP 与ABP ∆,ACP ∆的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E ．证明：若DE MP =，则2BC BP =．★证明：延长PM 到点F ，使得MF ME =.连接,,BF BD CE ．由条件可知BDP BAP CAP CEP CEM ∠=∠=∠=∠=∠． ………………10 分 因为BM CM = 且EM FM = ，所以BF CE = 且//BF CE ．于是F CEM BDP ∠=∠=∠，进而BD BF =． ………………20 分 又DE MP =，故DP EM FM ==． 于是在等腰BDF ∆中，由对称性得BP BM = ．从而22BC BM BP ==………………40 分2019B 三、（本题满分50分）如图，点A,B,C,D,E 在一条直线上顺次排列，满足BC CD ==点P 在该直线外，满足PB PD =．点,K L 分别在线段,PB PD 上，满足KC 平分BKE ∠，LC 平分ALD ∠.证明：,,,A K L E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）★证明：令1AB =，BC CD t ==（0t >），由条件知2DE t =．注意到0180BKE ABK PDE DEK ∠<∠=∠<-∠，可在CB 延长线上取一点A ' ，使得A KE ABK A BK ''∠=∠=∠． ………………10 分此时有A BK A KE ''∆∆，故A B A K BKA K A E KE ''==''． ………………20 分 又KC 平分BKE ∠，故211BK BC t KE CE t t t===++．于是有22121A B A B A K BK ABA E A K A E KE t t AE'''⎛⎫=⋅=== ⎪'''++⎝⎭． …………30 分 由上式两端减1，得BE BEA E AE='，从而A '与A 重合． 因此AKE A KE ABK '∠=∠=∠．同理可得ALE EDL ∠=∠．而ABK EDL ∠=∠，所以AKE ALE ∠=∠． 因此,,,A K L E 四点共圆． (50)2018A 二、（本题满分40分） 如图所示， ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为边BC 的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆弧BAC 和BC 的中点，F 为ABC ∆内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足AB NB ⊥. 证明：若EM BN =,则FG DF ⊥。

（答题时请将图画在答卷纸上）★证明：由条件知，DE 为ABC ∆外接圆的直径，BC DE ⊥于M ，AD AE ⊥。

记I 为ABC ∆的内心，则I 在AE 上，AB IF ⊥。

由AB NB ⊥可知，MEI ADE ADE ABN ABE NBE ∠=∠-=-∠-=∠-∠=∠0009090)180(又根据内心性质，有EIB ABI EAB ABI EAC CBI EBC EBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠ 从而EI BE =。

结合EM BN =，所以MEI NBE ∆≅∆，于是EFI BFE BNE EMI ∠-=∠+=∠=∠0018090，故M I F E ,,,四点共圆。

进而可知AGM IEM IFM AFM ∠=∠+=∠+=∠09090,故M G F A ,,,四点共圆。

再由090=∠=∠DMG DAG 知，D M G A ,,,四点共圆，所以D M G F A ,,,,五点共圆，从而090=∠=∠DAG DFG ，即FG DF ⊥。

2018B 二、（本题满分40分）如图所示， 在等腰ABC ∆中，AC AB =，边AC 上一点D 及BC 延长线上一点E 满足CEBCDC AD 2=，以AB 为直径的圆ω与线段DE 交于一点F 。

证明：D F C B ,,,四点共圆。

（答题时请将图画在答卷纸上）★证明:取BC 中点H ，则由AC AB =知BC AH ⊥，故H 在圆ω上.延长FD 至G ，使得BC AG //，结合已知条件得，CE BC DC AD CE AG 2==，故CH BH BC AG ===21， 从而AGBH 为矩形，AGHC 为平行四边形。

由AGBH 为矩形知，G 在圆ω上，故HBF HGF ∠=∠,又AGHC 为平行四边形，由GH AC //，得HGF CDF ∠=∠, 所以CDF HBF CBF ∠=∠=∠，所以D F C B ,,,四点共圆。

2017A 一、（本题满分40分）如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）。

设IP 与BQ 交于点R 。

证明：CR BR ⊥（答题时请将图画在答卷纸上）★证明：连接PC PB IQ IC IB ,,,,，由于点点Q 在圆2Γ上， 故IQ IB =，所以IQB IBQ ∠=∠。

又Q P I B ,,,四点共圆，所以IQB IPB ∠=∠，于是IPB IBQ ∠=∠， 故IBP ∆~IRB ∆，从而IBP IRB ∠=∠，且IBIPIR IB =, 又AC AB =，且I 为ABC ∆的内心，故IC IB =，所以ICIPIR IC =所以ICP ∆~IRC ∆，则ICP IRC ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故A BPC ∠-=∠211800， 因此，ICP IBP IRC IRB BRC ∠+∠=∠+∠=∠ BPC BIC ∠-∠-=0360000090211802190360=⎪⎭⎫⎝⎛∠--⎪⎭⎫ ⎝⎛∠+-=A A ，即CR BR ⊥2017B 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点C B ,的切线分别相交于点Q P ,,BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ．求证：AT 平分线段XY ． （答题时请将图画在答卷纸上）★证明：首先证明//YX BC ，即证AX AYXC YB= 连接,BD CD ，因为ACQ ACQABC ABC ABP ABPS S S S S S ∆∆∆∆∆∆∙=，所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ∙∠∙∠∙∠∙=∙∠∙∠∙∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQAC AP BP∙=∙ ②因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，于是1sin 21sin 2ABQ ACPAB AQ BAQ S AB AQ S AC AP AC AP CAP ∆∆∙∠∙==∙∙∠ ③ 而1sin 21sin 2BCQ BCP BC CQ BCQ S CQ S BPBC BP CBP ∆∆∙∠==∙∠ ④ 由②，③，④得 ABQ CBQACP BCPS S S S ∆∆∆∆=，即ABQ ACP CBQ BCP S S S S ∆∆∆∆= 又ABQCBQ S AX S XC ∆∆=，ACP BCP S AYS YB∆∆=，故AX AY XC YB =设边BC 的中点为M ，因为1AX CM BYXC MB YA∙∙=，所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY2016A 二、（本题满分40分）如图所示，在ABC ∆中，Y X ,是直线BC 上两点（Y C B X ,,,顺序排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅,设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为1O ,2O ，直线1O 2O 与AB ，AC 分别交于点V U ,.证明：AUV ∆是等腰三角形。

★证明：作BAC ∠的内角平分线交BC 于点P .设ACX ∆ ，ABY ∆的外接圆分别为1ω和2ω，由角平分线定理知，ACABCP BP =， 又条件可得ACABCY BX =, 从而CPBPAC AB CP CY BP BX PY PX ==++=，即PY BP PX CP ⨯=⨯， 故P 对圆1ω和2ω的幂相等，所以P 在圆1ω和2ω的根轴上。

于是21O O AP ⊥，这表明点V U ,关于直线AP 对称，从而AUV ∆是等腰三角形。

2015A 三、（本题满分50分）如图所示，ABC ∆内接于圆O ， P 为弧BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠. 过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连接BD 交圆Ω于 点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F ， 证明：FCB ABC ∠=∠2。

★证明：证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上， 结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°—∠DCP=∠ABP=∠FBP ， 因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分 又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ． 从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ． 证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC, 又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．2015B 二、（本题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，设I 为其内心，设D 为ABC ∆内的一个点，满足D C B I ,,,四点共圆，过点C 作BD 的平行线，与AD 的延长线交于E ．求证：CE BD CD ⋅=2． ★证明：连接BI,CI ．设I, B , C, D 四点在圆O 上，延长DE 交圆 O 于F ，连接FB ，FC ． 因为BD||CE ，所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC ． 又由于∠CDE=∠CDF=∠CBF ， 所以△BFC ∽△DCE ，从而DC BFCE FC=． 再证明AB, AC 与圆O 相切．事实上，因为∠ABI=12∠ABC=12∠ACB=∠ICB ， 所以AB 与圆 O 相切．同理AC 与圆O 相切． 20 分因此有△ABD ∽△AFB ，△ACD ∽△AFC ，故BD AB AC DCBF AF AF CF ===, 即BF BD FC DC=．② 30 分 结合①、②，得DC BDCE DC=， 即2CD BD CE =⋅． 40 分2016B 三、（本题满分50分）如图所示， ABCD 是平行四边形，G 是ABD ∆的重心，点Q P ,在直线BD 上，使得PC GP ⊥,QC GQ ⊥证明：AG 平分PAQ ∠★证明：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形 的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆． 由相交弦定理知.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG ==因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ② 结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠2014A 二、（本题满分40分）如图所示，锐角ABC ∆中，060≠∠BAC ，过点C B ,分别作ABC ∆的外接圆O Θ的切线CE BD ,，且满足BC CE BD ==。