【高考数学】专题06+导数的几何意义灵活应用【理科】(教师版)
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的几何意义及应用
1
2
3
4
5
6
变式2：若曲线上一点P处的 切线恰好平行于直
线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为 _____________________．
y=11x－14或 y=11x+18
变式4:若曲线C： y=x3－ax+2求在点 x=3处的切线方程为 y=11x－b ，求切点 坐标及a、b。
解：f/(x)=3x2－1， ∴所求的切线方程为： 即 y=2x 处的切线方程？
∴k= f/(1)=2
y－2=2(x－1),
同样题：已知曲线C：y=x3 －x+2，求在点x=1
变式1：求过 点A的切线方
程？
例1．曲线y=x3－x+2，求在点A(1,2) 处的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
一．求切线方程的步骤： 1. 设切点P（x0,y0） 2. 求k=f/(x0) 3. 写出切线方程 y－y0= f/(x0)(x－x0)
求曲线上点到－1，2）且与y=x2+ 2在点M（1，3）
处的切线垂直的直线方程是__________．
在曲线y=x3+x2+x－1的切线斜率中斜率最小的
例2：已知曲线C:y=x2－x+3,直线L:x－ y－4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L 的距离最短，并求出最短距离。
|134| 3 2 2
解：设P（x0，y0）,
∵f/(x)=2x－1, ∴2 x0－1=1, 解得x0= 1, ∴ y0=3,得 P（1，3）
∴P到直线的最短距离 d=
小结
切线方程是 __________ .
专题06 导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()yf x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =-- 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y在点()0,3处的切线方程为 .【答案】53y x =-+或530x y +-=. 【解析】55x y e -'=-，所求切线的斜率为55y e =-=-，故所求切线的方程为35y x -=-，即53y x =-+或530x y +-=. 【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,3处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 【考点定位】导数与切线斜率．6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.试题解析：（Ⅰ）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为，令则所以在上单调递增.因为(0)0,m =所以 当时，()0,m x >当0x <时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，①当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时取得极大值.③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.力、基本计算能力、分类讨论思想等。
导数的几何意义课件
导数的几何意义课件导数是微积分中的重要概念，它在解决实际问题中起着至关重要的作用。
导数的几何意义是我们在学习导数的过程中必须理解和掌握的内容之一。
本文将从几何的角度来解释导数的意义，并探讨导数在几何中的应用。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，如果它在点x处的导数存在，那么导数可以用极限的概念来表示，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点的瞬时变化率。
换句话说，导数告诉我们函数在某一点的斜率，也就是函数曲线在该点的切线的斜率。
那么，导数的几何意义是什么呢？我们可以通过一些几何图形来理解。
考虑一个函数f(x)在点x处的导数f'(x)。
我们可以将这个导数理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
切线是曲线上与该点非常接近的一条直线，它与曲线在该点处相切。
通过计算切线的斜率，我们可以得到曲线在该点的导数。
导数的几何意义还可以从另一个角度来理解。
我们可以将导数理解为函数曲线在某一点处的局部线性逼近。
也就是说，当我们在某一点处计算导数时，我们实际上是在用一条直线来近似曲线在该点的行为。
导数的几何意义对于理解函数的变化趋势和性质非常重要。
通过计算导数，我们可以了解函数在不同点的变化率，从而揭示函数曲线的特征。
例如，如果导数始终为正，那么函数在该区间上是递增的；如果导数始终为负，那么函数在该区间上是递减的。
而导数为零的点，则对应函数曲线的极值点。
除了以上的几何意义，导数在几何中还有一些重要的应用。
其中之一是求曲线的切线和法线。
通过计算导数，我们可以得到曲线在某一点处的切线的斜率，从而确定切线方程。
而切线的垂直线就是曲线在该点处的法线，通过计算切线斜率的倒数，我们可以得到法线的斜率。
导数还可以用来求曲线的凹凸性。
通过计算导数的导数，即二阶导数，我们可以判断曲线在某一点处的凹凸性。
灵活运用导数的几何意义
（，） （，） 线 斜 ＝ 三 （ ｘ 的 值 Ｙ ， Ｙ 连 的 率ｋ ｒ ＃２ 取 范 ．。Ｑ 。２ ）
受 思 维 定 势 的 消 极 影 响 ， 设 出切 线 方 程 ， 利 用 直 线 和 曲 先 再
・ ． ．
ｌ ，（ ）＜１ ｌ
Ｉ ㈨
）一 ，
翘 调 籀 的 条 件 ， 解 耪的 运 算 量 变 大 ． 线相 切 麴 薄使 得 题 龋 霸
二 、 妙 应 用 巧
位 置 ， 忽 略 切 点 既 在 曲线 上 ， 在 切 线 上 这 一 关 键 条 件 ， 或 也 或
（ ， ） 数 图 象 上 任 意 两 点 连 。１ 函
线 的斜率 ｋ ． ＜１
’ ． ’
厂（ ）＝Ｙ ＝ ｘ一１ 当 ０＜ ＜１时 ， ２ ， 一１＜ ｘ一１＜１ ２ ，
一
线 的斜率 ， 因此 ， 如果 Ｙ＝ （ 在点 。可导 ， 曲线 Ｙ＝ （ － ） 厂 则 ＿ ） 厂
在 点 （。 ‰ ） 处 的 切 线 斜 率 为 ｆ 。 ， 线 方 程 为 Ｙ— ） （ ） 切 ｆ
（ｏ （ 。 （ — ０ ． ）＝ ） Ｘ ）
例 １求 曲线 Ｙ＝ 在 点 Ｐ（ ，） 的 切 线 方 程． １１处
明： Ｊ 一 Ｉ Ｉ 。 ．
我们 知道 ， 函数 Ｙ＝ （ 在 点 。 的导数 的几何 意义就 ＿ ） 厂 处
是 曲 线 Ｙ＝ 八 ） 在点 Ｐ（ 。ｆ ‰ ） 处 的 切 线 的 斜 率 ． 这 个 ，（ ） 由 意义 出发 ， 们 可 以 发 现 ， 数 ｙ＝厂 ） 象 上 任 意 两 点 尸 我 函 － （ 图
２ … … （ ） 其 中 （ ） 中 （ ｌ 为 切 线 上 点 的 坐 标 ， ， ３． ３式 Ｘ，， ） （
高考数学考点导数的几何意义以及应用#
考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。
(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。
(Ⅱ>求的单调区间。
(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。
(2>求函数的最大值。
(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。
另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。
导数的几何意义课件(人教版)
x0
x
x0
x
lim 2x0
x0
x (x)2 x
2x0
所以此切线方程的斜率为2x0，
又因为此切线过点(
5 2
，6)和点(x0，x02),
所以
x02 6
x0
5 2
2 x0
即x02－5x0+6=0，
解得x0=2，或x0=3，
所以切线方程为y=4x－4或 y=6x－9.
二、函数的导数：
函数在点 x0处的导数 f (x0)、导函数 f (x) 、导数 之
称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
y x
表示函数f
x
在x＝x
处的瞬时变化率，
0
反映了函数在x＝x
附近的变化情况。
0
其几何意义是？
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时, 割 线PPn的 变化 趋势是
什 么?
y
y fx
P1
T
P
O
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
专题06导数的几何意义灵活应用-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖(教师版)
，故
，
即
，
故选： A ．
2.导数的定义
例 2．【山西 2019 联考】设
为可导函数，且
A．
B．
【答案】 B
C．
D．
，求
的值（
）
【解析】 根据导数的定义得到
=
,即可得到答案 .
【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：
=
故答案为： B.
【点睛】这个题目考查了导数的定义， ， 母是 x 的变化量即可 .
f1 x f1
2x0
x f1 x
1 f
1 ．选 B ．
2
练习 2．已知函数
在
处可导，若
，则
A．
B．
【答案】 B
C．
D．
【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算
.
3.求倾斜角
例 3．【 福建省莆田第六中学 2019 第一次模拟 】将函数 y ln x 1 x 0 的图象绕坐标原点逆时针方向
旋转角 （
0, ），得到曲线 C ，若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则
【答案】 A
B． f ' x0
C ． 2 f ' x0
D． 3 f ' x0
【解析】 由题得 lim f x0 x
f x0 3x
f x0 x
= 4lim
f x0 3x =4 f x0 ，故选 A.
x0
x
x0
4x
练习 2．设定义在
上的函数
的导函数
满足
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】 由
，
高中数学作业辅导,导数的几何意义
高中数学作业辅导，导数的几何意义大家好，我是你们的高中数学作业辅导员。
今天，我们要一起探索导数在几何意义上的奥秘。
导数，这个概念在高中数学中可是举足轻重，它不仅联系着函数的单调性，还关系到函数图像的走势。
那么，它是如何在几何图形中体现出来的呢？首先，我们知道，导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
几何上，它代表着曲线在该点的切线斜率。
想象一下，在坐标系中，你有一条光滑的曲线，当你想要知道它在某一点是如何变化的，就可以求出该点的导数，这个数值就告诉了你切线的斜率。
比如说，一个函数在某一点的导数为正，这就意味着在这一点的右侧，函数值在增加，就像是在爬坡；反之，如果导数为负，则像是在下坡，函数值在减少。
此外，导数为零的点，在几何上对应着曲线的拐点，也就是从上升转为下降，或从下降转为上升的地方。
是不是很有趣？当然，我们在做作业时，常常会遇到需要利用导数的几何意义来解决问题的题目。
例如，求函数极值、拐点，甚至是绘制函数图像等。
举个例子，假设我们有一个函数f(x) = x^3 - 3x，我们要找到它的拐点。
首先，我们求一阶导数f"(x) = 3x^2 - 3，然后令它等于零，解出x 的值。
这里，我们可以得到x = ±1。
将这两个x 值代入原函数，就可以得到对应的y 值，即(1, -2) 和(-1, 2)。
这样，我们就找到了这个函数的两个拐点。
通过这样的方法，我们不仅理解了导数的几何意义，还能解决实际问题。
好了，今天关于导数的几何意义就聊到这里。
希望我的辅导能帮助到你们，在做数学作业时更加得心应手。
下次，我们将探讨另一个高中数学的有趣话题，敬请期待！别忘了，数学是理解世界的钥匙，一起加油吧！。
导数的几何意义——高考真题解读.doc
导数的几何意义——高考真题解读
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，这里我们用曲线上某点处的切线来近似代替这一点处附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲。
三·高考题型归纳高考中，关于导数的几何意义问题，主要以选择题或填空题形式出现，难度主要以中低档题出现，偶尔也会有较难试题，此时导数的几何意义仅仅作为中间步骤而已。
导数的几何意义常考题型包括：（1）直接求切线的斜率；（2）求切线方程或者法线方程；（3）求切点的坐标；（4）求参数的值；（5）曲线的公切线问题；（6）与其他知识相关的综合性问题。
1·求切线的斜率：
2·求切线方程：
3·去参数的值：
4·求切点坐标：
5·公切线问题：
6.综合问题：。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念之一，它不仅有着深刻的几何意义，还在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将深入探讨导数的几何意义以及其在实际问题中的应用。
导数的几何意义导数的几何意义可以从两个方面来理解，即斜率和切线。
首先，导数可以被解释为函数图像上某一点的切线斜率。
具体而言，对于函数y=f（x），如果在某一点x=a处的导数存在，则导数f’(a)即为函数图像在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们能够得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而更加准确地描述函数的变化趋势。
其次，导数还可以被解释为函数的变化率。
导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化速率，进而揭示函数的增减性和凸凹性质。
具体而言，如果导数f’(a)在某一点x=a处为正，那么函数在该点上是递增的；如果导数f’(a)在某一点x=a处为负，那么函数在该点上是递减的；如果导数f’(a)在某一点x=a处等于零，那么函数在该点上可能存在极值点。
导数的应用导数作为微积分的基本工具，在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
以下将介绍导数在不同领域的具体应用。
1. 极值问题导数在求解函数的极值问题中起着重要作用。
对于一个可导函数，可以通过求导将极值问题转化为寻找导数为零的点或者导数不存在的点。
通过求解导数为零或导数不存在的方程，可以找到函数的可能极值点，进而得到函数的最大值或最小值。
2. 凸凹性分析凸凹性分析是导数在物理学、经济学等领域中的重要应用之一。
通过函数的二阶导数信息，可以判断函数的凸凹性质。
具体而言，如果函数的二阶导数大于零，那么函数是凸函数；如果函数的二阶导数小于零，那么函数是凹函数。
3. 曲线绘制与图像分析导数在曲线绘制与图像分析中也扮演着关键的角色。
通过求导，可以得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而帮助我们绘制更加准确的曲线。
同时，导数还可以帮助我们分析函数的拐点、极值点和最值点，进而对函数的整体形态进行深入理解。
导数的几何意义教案(后附教学反思
导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。
2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。
2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。
3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。
2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。
引导学生直观理解导数的几何意义。
4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。
5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。
3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。
4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。
5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
导数的几何意义及应用
目
CONTENCT
录
• 导数的定义与几何意义 • 导数在几何中的应用 • 导数在物理中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步性质与定理
01
导数的定义与几何意义
导数的定义
瞬时速度
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率，也可以 理解为物体在某一瞬间的速度。
切线斜率
对于可微函数，其在某一点的导数即为该点处的切 线斜率。
垂直位移是物体在垂直方向上的位移，也可以通过积分计算 。
电路中的电流与电压
电流
电流是电荷在导体中流动的速率，表 示单位时间内通过导体的电荷量。导 数可以用来计算电流。
电压
电压是电场中两点之间的电势差，表 示电场力做功的能力。导数可以用来 计算电压。
04
导数在实际问题中的应用
经济中的最优化问题
利润最大化
详细描述
在导数大于0的区间内，曲线是凹的； 在导数小于0的区间内，曲线是凸的。
曲线的极值
01
02
03
04
总结词
导数的符号变化可以确定曲线 的极值点。
详细描述
当一阶导数由正变负或由负变 正时，对应的点就是曲线的极
值点。
总结词
导数的符号变化可以确定曲线 的极值点。
详细描述
当一阶导数由正变负或由负变 正时，对应的点就是曲线的极
导数与积分的关系
微积分基本定理
设函数$f(x)$在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则对于任意实数$a < c < d < b$，有$int_{c}^{d}f'(x)dx = f(d) - f(c)$。
导数的积分
若函数$f(x)$在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则对于任意实数$a < c < d < b$，有$int_{c}^{d}f'(x)dx = int_{a}^{b}f'(t)mathbf{1}_{[c, d]}(t)dt$。
专题 导数的几何意义灵活应用-名师揭秘2019高考数学(文)命题热点全覆盖(教师)
专题06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是： 0limx ∆→Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . 2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.【详解】y=x 3的导数为y′=3x 2， 设切点为（m ，m 3）， 可得切线的斜率为3m 2，切线的方程为y ﹣m 3=3m 2（x ﹣m ）， 若P （0，0），则﹣m 3=3m 2（0﹣m ），解得m=0，只有一解；若P （0，1），则1﹣m 3=3m 2（0﹣m ），可得m 3=﹣，只有一解； 若P （1，1），则1﹣m 3=3m 2（1﹣m ），可得2m 3﹣3m 2+1=0， 即为（m ﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或﹣，有两解；若P （﹣2，﹣1），则﹣1﹣m 3=3m 2（﹣2﹣m ），可得2m 3+6m 2﹣1=0， 由f （m ）=2m 3+6m 2﹣1，f′（m ）=6m 2+12m ，当﹣2＜m ＜0时，f （m ）递减；当m ＞0或m ＜﹣2时，f （m ）递增． 可得f （0）=﹣1为极小值，f （﹣2）=7为极大值，则2m 3+6m 2﹣1=0有3个不等实数解． 故选：C ．练习3．过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以令，而，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A6.与切线有关的范围问题例6．已知，若的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由分段函数画出y=|f(x)|的图像，即直线y ax a =+与y=|f(x)|的图像有三个不同交点，，直线过定点C, ln3,3BC k =14AC k =-,02x ≤≤时，,设切点为()(),ln 1t t +，则切线方程为，过C(-1,0),代入得t=e-1,即切点为，两个图像要有三个交点，所以ln313k e ≤<，即ln313a e≤<，选B.【点睛】本题把方程根的个数问题转化为两个函数交点个数问题，一般适用于，两个不同类函数求零点个数问题，而且两个函数均容易画出，尽量使得只有一个函数带有参数，即一个函数为定函数，另一个函数为动态函数，再根据要求找出合适位置的图像及参数范围。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用在微积分中，导数是一个重要的概念，它不仅有着深刻的几何意义，还在各个科学领域中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的变化率，进而揭示函数的本质特征，为实际问题的求解提供强有力的工具。
本文将从导数的几何意义和应用两个方面进行论述。
一、导数的几何意义导数的几何意义表现在函数图像的切线和曲线斜率的计算上。
对于函数f(x)来说，它在x点的导数f'(x)代表了函数图像在x点处的切线斜率。
具体来说，可以通过将切线近似看作曲线在这一点的局部性质，通过求出曲线上两点间的斜率的极限来表示切线的斜率，即导数。
这样一来，导数的几何意义就被转化为切线的斜率。
导数的几何意义和切线紧密相关。
对于函数图像上每一个点，都存在唯一的切线与之对应。
切线具有两个重要的性质，一是切线与函数图像相切于给定点，二是切线与函数图像在给定点处具有相同的斜率。
因此，通过计算导数，我们可以得到函数图像上任意一点的切线斜率。
二、导数的应用导数的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、社会经济等领域都有着重要的作用。
以下将介绍导数在几个典型应用中的具体运用。
1. 最优化问题：导数可以帮助我们求解最优问题，如最大最小值问题。
通过求取函数的导数，并令其等于零，我们可以找到函数取得最大或最小值的点。
这在经济学中的成本最小化、收益最大化问题中有重要的应用。
2. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的运动状态。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过求导，我们可以计算出物体的速度和加速度，进而揭示物体运动的规律。
3. 金融学中的利率和风险：在金融学中，导数被用来描述利率和风险。
例如，在借贷中，利率的变化可以通过利率的导数来表示。
而金融衍生品的风险可以通过导数来衡量，从而帮助投资者做出明智的决策。
4. 统计学中的回归分析：回归分析是统计学中常见的分析方法，它基于导数和线性关系的原理。
通过对数据进行回归分析，我们可以建立数据之间的数学模型，并通过导数计算模型参数的变化率，从而了解变量之间的关系。
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专题06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是： 0limx ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝ 0limx ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________；③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1.变化率例1. 【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故,故选B.练习1．设()f x 在0x 可导，则等于（ ）A ．()04'f xB ．()0'f xC ．()02'f xD ．()03'f x 【答案】A【解析】由题得==4()0f x '，故选A.练习2．设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，，故，即，故选：A ． 2.导数的定义例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分母是x 的变化量即可.练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（ ）A ．()1f 'B ．()112f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，∴，∴．选B ．练习2．已知函数在处可导，若，则A ．B ．C ．D ． 【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】D 【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是11y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，其值为4π，由此可知4max πα=，故选D. 练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，则有k＝f′（1），则tanθ，又由0≤θ＜π，则θ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则故选A.4.曲线上某点处的斜率例4．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解。
【详解】由题意，函数，则，所以，即在点处的切线为的斜率为，所以切线的方程为，即，故选B。
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中正确求解函数的导数，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再利用直线的点斜式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
练习1．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则实数（）A．2 B．C．D．-2【答案】A【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数，由导数值等于求得实数a的值．【详解】由f（x）＝，得，则．考点：导数的几何意义及但点到直线的距离公式的综合运用.【易错点晴】导数是研究和刻画函数的单调性和极值等的重要工具,也是中学数学中的重要知识点和高考命题的重要内容和考点.本题以所满足等式条件为背景,考查的是函数求导法则及导数的几何意义的灵活运用.求解时先运用求导法则求出函数的导数为xx y 12/-=,然后依据题设求出切线与直线平行时,切点P 到这条直线的距离最小,所以112=-t t ,解之得1=t ,21-=t ,求出切点坐标,从而使得问题获解. 练习1．已知，则的最小值为 （ ）A ．5103 B ．518 C ．516 D ．512【答案】B ．【解析】设)3,(aa P ，)3,(bb Q -，则，)3,(a a P 的轨迹为直线3x y =，)3,(b b Q -的轨迹为双曲线x y 3-=，双曲线上一点)3,(00x x -到直线03=-y x 的距离为，的最小值为518【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力．。