2015年高考数学创新设计二轮精品规范练2
高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1.已知函数f (x )=ln x ,g (x )=ax (a >0),设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的单调区间;(2)若以函数y =F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的最小值.解 (1)F (x )=f (x )+g (x )=ln x +ax (x >0), F ′(x )=1x -a x 2=x -ax 2.∵a >0,由F ′(x )>0⇒x ∈(a ,+∞), ∴F (x )在(a ,+∞)上是增函数. 由F ′(x )<0⇒x ∈(0,a ), ∴F (x )在(0,a )上是减函数. 综上,F (x )的单调递减区间为(0,a ), 单调递增区间为(a ,+∞).(2)由F ′(x )=x -a x 2(0<x ≤3),得k =F ′(x )=x -a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥-12x 20+x 0(0<x 0≤3)恒成立.∵当x 0=1时,-12x 20+x 0取得最大值12, ∴a ≥12,即实数a 的最小值为12.2.(2015·重庆卷)设函数f (x )=3x 2+axe x (a ∈R ).(1)若f (x )在x =0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )=(6x +a )e x -(3x 2+ax )e x (e x )2=-3x 2+(6-a )x +a e x, 因为f (x )在x =0处取得极值, 所以f ′(0)=0,即a =0.当a =0时,f (x )=3x 2e x ,f ′(x )=-3x 2+6x e x , 故f (1)=3e ,f ′(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -3e =3e (x -1), 化简得3x -e y =0.(2)由(1)知f ′(x )=-3x 2+(6-a )x +ae x , 令g (x )=-3x 2+(6-a )x +a ,由g (x )=0解得x 1=6-a -a 2+366,x 2=6-a +a 2+366. 当x <x 1时,g (x )<0,即f ′(x )<0, 故f (x )为减函数;当x 1<x <x 2时,g (x )>0,即f ′(x )>0, 故f (x )为增函数;当x >x 2时,g (x )<0,即f ′(x )<0, 故f (x )为减函数.由f (x )在[3,+∞)上为减函数, 知x 2=6-a +a 2+366≤3, 解得a ≥-92,故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-92,+∞.3.已知f (x )=x 3+ax 2-a 2x +2.(1)若a =1,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若a ≠0,求函数f (x )的单调区间;(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )+a 2+1恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)∵a =1,∴f (x )=x 3+x 2-x +2, ∴f ′(x )=3x 2+2x -1,∴k =f ′(1)=4,又f (1)=3,∴切点坐标为(1,3), ∴所求切线方程为y -3=4(x -1), 即4x -y -1=0.(2)f ′(x )=3x 2+2ax -a 2=(x +a )(3x -a ), 由f ′(x )=0,得x =-a 或x =a3. ①当a >0时,由f ′(x )<0,得-a <x <a3. 由f ′(x )>0,得x <-a 或x >a3, 此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-a ,a 3,单调递增区间为(-∞,-a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,+∞. ②当a <0时,由f ′(x )<0,得a3<x <-a . 由f ′(x )>0,得x <a3或x >-a ,此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,-a ,单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,a 3和(-a ,+∞).综上,当a >0时,f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫-a ,a 3,单调递增区间为(-∞,-a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,+∞. 当a <0时,f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3,-a ,单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,a 3和()-a ,+∞. (3)依题意x ∈(0,+∞),不等式2x ln x ≤f ′(x )+a 2+1恒成立,等价于2x ln x ≤3x 2+2ax +1在(0,+∞)上恒成立,可得a ≥ln x -32x -12x 在(0,+∞)上恒成立, 设h (x )=ln x -3x 2-12x ,则h ′(x )=1x -32+12x 2=-(x -1)(3x +1)2x 2. 令h ′(x )=0,得x =1,x =-13(舍), 当0<x <1时,h ′(x )>0;当x >1时,h ′(x )<0. 当x 变化时,h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1,+∞)h ′(x ) + 0 - h (x )单调递增-2单调递减∴当x =1时,h (x )取得最大值,h (x )max =-2, ∴a ≥-2,即a 的取值范围是[-2,+∞). 4.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )=e mx +x 2-mx .(1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.解 (1)f ′(x )=m (e mx -1)+2x .若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f ′(x )>0.若m <0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f ′(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m ,f (x )在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f (x )在x =0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|≤e-1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)-f (0)≤e -1,f (-1)-f (0)≤e -1,即⎩⎪⎨⎪⎧e m-m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g (t )=e t -t -e +1,则g ′(t )=e t -1. 当t <0时,g ′(t )<0;当t >0时,g ′(t )>0.故g (t )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 又g (1)=0,g (-1)=e -1+2-e<0, 故当t ∈[-1,1]时,g (t )≤0.当m ∈[-1,1],g (m )≤0,g (-m )≤0,即①式成立;当m >1时,由g (t )的单调性,g (m )>0,即e m -m >e -1,不符题意; 当m <-1时,g (-m )>0,即e -m +m >e -1,不符题意. 综上,m 的取值范围是[-1,1].5.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=x 3+ax +14,g (x )=-ln x . (1)当a 为何值时,x 轴为曲线y =f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x >0),讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y =f (x )与x 轴相切于点(x 0,0), 则f (x 0)=0,f ′(x 0)=0,即⎩⎨⎧x 30+ax 0+14=0,3x 20+a =0.解得x 0=12,a =-34.因此,当a =-34时,x 轴为曲线y =f (x )的切线. (2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x <0, 从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0, 故h (x )在(1,+∞)上无零点. 当x =1时,若a ≥-54,则f (1)=a +54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0, 故x =1是h (x )的零点;若a <-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0, 故x =1不是h (x )的零点. 当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数.①若a ≤-3或a ≥0,则f ′(x )=3x 2+a 在(0,1)上无零点,故f (x )在(0,1)上单调.而f (0)=14,f (1)=a +54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)上有一个零点; 当a ≥0时,f (x )在(0,1)上没有零点.②若-3<a <0,则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,-a 3上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-a 3,1上单调递增,故在(0,1)中,当x = -a3时,f (x )取得最小值,最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫-a 3=2a 3-a 3+14.a .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 3>0,即-34<a <0,f (x )在(0,1)上无零点; b .若f ⎝⎛⎭⎪⎫-a 3=0,即a =-34,则f (x )在(0,1)上有唯一零点;c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 3<0,即-3<a <-34,由于f (0)=14,f (1)=a +54,所以当-54<a <-34时,f (x )在(0,1)上有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)上有一个零点.综上,当a >-34或a <-54时,h (x )有一个零点;当a =-34或a =-54时,h (x )有两个零点;当-54<a <-34时,h (x )有三个零点.。
2015年高考数学创新设计二轮精品规范练4
(1)证明在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos 45°=1,∴BD=1,∴AB⊥BD,
又∵平面ABD⊥平面BDC,平面ABD∩平面BDC=BD,
∴AB⊥平面BDC,又DC⊂平面BDC,
∴AB⊥DC.
(2)解在四面体ABCD中,以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,过D垂直于平面BDC的直线为z轴,建立如图空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,0,1)
规范练四立体几何
1.如图,在四棱锥E-ABCD中,EA⊥平面ABCD,AB∥CD,AD=BC=AB,∠ABC=.
(1)求证:△BCE为直角三角形;
(2)若AE=AB,求CE与平面ADE所成角的正弦值.
(余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos=3BC2,∴AC=BC,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)求二面角C-EF-D的大小;
(3)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG∥平面CEF,并证明你的结论.
(1)证明连接BD,∵FB∥ED,∴F,B,E,D共面,
∵ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴ED⊥AC,又ABCD为正方形,∴BD⊥AC,而ED∩DB=D,∴AC⊥平面DBFE,而EF⊂平面DBFE,∴AC⊥EF.
(2)解如图建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(2,2,1),E(0,0,2),由(1)知为平面DBFE的法向量,即=(-2,2,0),
又=(0,-2,2),=(2,0,1)
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),
则有即
如图2,在等腰梯形ABCD中,过点C作CG⊥AB于G,则GB=a,∴CD=AB-2GB=a,
【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习:大题分类规范练3Word版含解析
规范练三概率与统计1.节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好.若使用时间小于4千小时的产品为不合格品;使用时间在4千小时到6千小时(不含6千小时)的产品为合格品;使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.某节能灯生产厂家为了解同一型号的某批次产品的质量情况,随机抽取了部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示.若以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.(1)若该批次有产品 2 000件,试估计该批次的不合格品、合格品、优质品分别有多少件?(2)已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计可知:该型号节能灯每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:千小时)的关系式为y=-20,t<420,4≤t<6,40,t≥6,现从大量的该型号节能灯中随机抽取一件,其利润记为X(单位:元),求X≥20的概率.解(1)据题意,该批次的不合格品、合格品、优质品的概率分别为0.1,0.4,0.5,∴该批次的不合格品、合格品、优质品的件数分别为200,800,1 000.(2)∵P(X=20)=25,P(X=40)=12,∴P(X≥20)=P(X=20)+P(X=40)=9 10.2.一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张.(1)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率;(2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率.解(1)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张,基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共20个.设事件A=“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”,则事件A包含的基本事件有(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(5,1),(5,3)共8个.所以P(A)=820=25.(2)剩下的三边长包含的基本事件为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个;设事件B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形”则事件B包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3个,所以P(B)=3 10 .3.某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三、四、五组的频率;(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的2个产品均来自第三组的概率.解(1)第三组的频率是0.150×2=0.3;第四组的频率是0.100×2=0.2;第五。
【创新设计】(江西专用)2015高考数学二轮复习 专题训练 突破练1 理
突破练一1.已知函数f (x )=sin x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6+cos 2x -12.(1)求函数f (x )的最大值,并写出f (x )取最大值时x 的取值集合;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=12,b +c =3.求a 的最小值.解 (1)f (x )=sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32cos x +12sin x +cos 2x -12=32sin x cos x +12cos 2x =12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x +12cos 2x +14=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6=1, ∴2x +π6=2k π+π2(k ∈Z ),解得x =k π+π6,k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =k π+π6,k ∈Z .(2)由题意f (A )=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π6+14=12, 化简得sin (2A +π6)=12.∵A ∈(0,π),∴2A +π6∈(π6,13π6),∴2A +π6=5π6,∴A =π3.在△ABC 中,根据余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos π3=(b +c )2-3bc .由b +c =3,知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b +c 22=94,即a 2≥94.∴当b =c =32时,a 取最小值32.2.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于90分的有参赛资格,90分以下(不包括90分)的被淘汰,若有500人参加测试,学生成绩的频率分布直方图如图.(1)求获得参赛资格的人数;(2)根据频率分布直方图,估算这500名学生测试的平均成绩;(3)若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有5次选题答题的机会,累计答对3题或答错3题即终止,答对3题者方可参加复赛,已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同,并且相互之间没有影响,已知他连续两次答错的概率为19,求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E (ξ).解 (1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.005 0+0.004 3+0.003 2)×20=125人.(2)设500名学生的平均成绩为x ,则x =[(30+50)×0.0 065+(50+70)× 0.0 140+(70+90)×0.0 170+(90+110)×0.0 050+(110+130)×0.0 043+(130+150)×0.0 032]×12×20=74.84分.(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A ),则[1-P (A )]2=19,P (A )=23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5.则P (ξ=3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫233+⎝ ⎛⎭⎪⎫133=13,P (ξ=4)=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233+C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133=1027, P (ξ=5)=C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232=827.所以ξ的分布列为E (ξ)=3×13+4×1027+5×27=27. 3.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n +1=-4S n +1,a 1=1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时,a n =-4S n -1+1, 又a n +1=-4S n +1, ∴a n +1-a n =-4a n ,即a n +1a n=-3,n ≥2, 又a 2=-4a 1+1=-3,a 1=1,∴数列{a n }是首项为a 1=1,公比为q =-3的等比数列, ∴a n =(-3)n -1.(2)由(1)可得b n =n ·(-3)n -1,T n =1·(-3)0+2·(-3)1+3·(-3)2+…+(n -1)·(-3)n -2+n ·(-3)n -1,-3T n =1·(-3)1+2·(-3)2+…+(n -2)·(-3)n -2+(n -1)·(-3)n -1+n (-3)n,∴4T n =1+(-3)1+(-3)2+…+(-3)n -1-n ·(-3)n,所以,T n =1-n +-n16.4.如图,在直角梯形ABCP 中,AP ∥BC ,AP ⊥AB ,AB =BC =12AP =2,D 是AP 的中点,E 、G分别为PC 、CB 的中点,F 是PD 上的点,将△PCD 沿CD 折起,使得PD ⊥平面ABCD . (1)若F 是PD 的中点,求证:AP ∥平面EFG ;(2)当二面角G -EF -D 的大小为π4时,求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.(1)证明 F 是PD 的中点时,EF ∥CD ∥AB ,EG ∥PB ,∴AB ∥平面EFG ,PB ∥平面EFG ,AB ∩PB =B ,∴平面PAB ∥平面EFG ,AP ⊂平面PAB ,∴AP ∥平面EFG .(2)解 建立如图所示的坐标系,则有G (1,2,0),C (0,2,0),P (0,0,2),E (0,1,1),B (2,2,0),设F (0,0,a ),GF →=(-1,-2,a ),GE →=(-1,-1,1),设平面EFG 的法向量n 1=(x ,y,1),则有⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +a =0,-x -y +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2-a ,y =a -1,∴n 1=(2-a ,a -1,1).取平面EFD 的法向量n 2=(1,0,0),依题意, cos 〈n 1,n 2〉=2-a -a2+a -2+1=22, ∴a =1,于是GF →=(-1,-2,1).设平面PBC 的法向量n 3=(m ,n,1),PC →=(0,2,-2),BC →=(-2,0,0),则有⎩⎪⎨⎪⎧2n -2=0,-2m =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =0,n =1.∴n 3=(0,1,1).设FG 与平面PBC 所成角为θ,则有sin θ=|cos 〈GF →,n 3〉|=16·2=36,故有cos θ=336. 5.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ,l 与抛物线的一个交点为A ,与抛物线的准线交于点B ,且AF →=FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长;(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点,若在抛物线上存在一点P ,使得直线PC 与PD 的斜率之积为-4,求直线CD 在y 轴上截距的最大值.解 (1)过A 作y 2=4x 准线的垂线AH ,垂足为H ,则|AH |=|AF |=12|AB |,所以直线AB 的方程为y =3(x -1),所以B (-1,-23),|BF |=4,所以,以AB 为直径的圆为(x -1)2+y 2=16,所以,截得的弦长为4 3.(2)设直线CD :y =3x +m ,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204,y 0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214,y 1, D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224,y 2,把y =3x +m 代入y 2=4x ,消去x 得,3y 2-4y +4m =0,则y 1+y 2=43,y 1·y 2=4m 3,Δ=16-163m >0,所以m <33, 所以,k PC ·k PD =4y 1+y 0·4y 2+y 0=-4, 所以y 1·y 2+y 0(y 1+y 2)+y 20=-4, 所以y 20+4y 03+4m3=-4, 所以3y 20+4y 0+(4m +43)=0.所以Δ=16-43(4m +43)≥0,所以m ≤-233当m =-233时,直线CD :y =3x -233,所以直线在y 轴上截距最大值为-23 3.6.已知函数f (x )=ln x .(1)求证:当0<x <1时,f (1+x )<x -x 36;(2)设g (x )=ax -(x +1)f (x +1),若g (x )的最大值不大于0,求a 的取值集合; (3)求证:(1+1)(1+12) (1)1n)>e n -25(n ∈N *).(1)证明 要证f (x +1)<x -16x 3(0<x <1),即证:ln(x +1)<x -16x 3(0<x <1),设u (x )=x -16x 3-ln(x +1)(0<x <1),则u ′(x )=-x x +x -x +>0,所以,u (x )在(0,1)递增,即u (x )>u (0)=0. 从而f (x +1)<x -16x 3(0<x <1)成立.(2)解 g (x )=ax -(x +1)ln(x +1),∴g ′(x )=a -[1+ln(x +1)],令g ′(x 0)=0,则x 0=ea -1-1.∴g (x )max =g 极大值0x ,则a =x +1,∴g (x )max =e x-(x +1),设h (x )=e x -(x +1),则h ′(x )=e x-1.令h ′(x )=0,则x =0.所以,h (x )又因为g (x )max =ea -1-a ≤0,所以,e a -1-a =0,即:a =1.(3)证明 要证(1+1)⎝⎛⎭⎪⎫1+12…+⎝⎛⎭⎪⎫1+1n >e ,即证:ln(1+1)+ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+12+…+ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+1n >n -25, 由(2)可知ln(x +1)≥xx +1,令x =1n, 当n ≥3时,ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n ≥11+n >1n -1+n =n -n -1, 所以,ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+12≥2-1,ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13>3-2,…,ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+1n >n -n -1, 所以,ln(1+1)+ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+…+ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n >n -1+ln 2>n -25,即:(1+1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12…(1+1n )>e成立.。
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1理(含最新原创题,含解析)(建议用时:40分钟) 一、选择题1.若A ={x |2<2x<16,x ∈Z },B ={x |x 2-2x -3<0},则A ∩B 中元素个数为 ( ).A .0B .1C .2D .3解析 因为A ={x |2<2x<16,x ∈Z }={x |1<x <4,x ∈Z }={2,3},B ={x |x 2-2x -3<0}={x |-1<x <3},所以A ∩B ={2}. 答案 B2.若(1+2a i)i =1-b i ,其中a ,b ∈R ,则|a +b i|=( ).A.12+i B . 5 C.52D .54解析 因为(1+2a i)i =1-b i ,所以-2a +i =1-b i ,a =-12,b =-1,|a +b i|=|-12-i|=52. 答案 C3.我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( ). A.815B .12 C.25D .415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作,总的方法数为C 04C 22+C 14C 12+C 24C 02=15,其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12=8,所以,所求概率为815.答案 A4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 6=12,则S 7的值是( ).A .21B .24C .28D .7解析 ∵a 2+a 4+a 6=3a 4=12, ∴a 4=4, ∴S 7=a 1+a 72×7=7a 4=28.答案 C5.设a ,b ∈R ,则“(a -b )·a 2<0”是“a <b ”的( ).A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 由(a -b )·a 2<0得,a ≠0且a <b ;反之,由a <b ,不能推出(a -b )·a 2<0,即“(a -b )·a 2<0”是“a <b ”的充分非必要条件. 答案 A6.抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( ).A.12 B .32C .1D . 3解析 抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),双曲线x 2-y 23=1的渐近线为x ±33y =0,所以抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是|1±33×0|1+332=32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果,则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x -1x 6的展开式中含x 2项的系数是( ).A .192B .32C .96D .-192解析 由程序框图可知,a 计算的结果依次为2,-1,12,2,…,成周期性变化,周期为3;当i =2 011时运行结束,2 011=3×670+1,所以a =2.所以,⎝⎛⎭⎪⎫a x -1x 6=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1x 6,T r +1=C r 6(2x )6-r⎝⎛⎭⎪⎫-1x r=(-1)r C r 6·26-r x 3-r, 令3-r =2,得r =1,所以,含x 2项的系数是(-1)C 1625=-192. 答案 D8.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示,则f (x )的解析式为( ).A .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3B .f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3C .f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6 D .f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6 解析 由图象可知A =1,且14T =14×2πω=7π12-π3=π4,∴ω=2,f (x )=sin (2x +φ). 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12,-1代入得:-1=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12+φ,又∵|φ|<π2,∴7π6+φ=3π2,∴φ=π3,∴f (x )=sin (2x +π3).答案 A9.已知O 是坐标原点,点A (-2,1),若点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则O A →·O M →的取值X 围是( ). A .[-1,0]B .[-1,2]C .[0,1]D .[0,2]解析 ∵A (-2,1),M (x ,y ),∴z =O A →·O M →=-2x +y ,作出不等式组对应的平面区域及直线-2x +y =0,如图所示.平移直线-2x +y =0,由图象可知当直线经过点N (1,1)时,z min =-2+1= -1;经过点M (0,2)时,z max =2. 答案 B10.如图F 1,F 2是双曲线C 1:x 2-y 23=1与椭圆C 2的公共焦点,点A 是C 1,C 2在第一象限的公共点.若|F 1F 2|=|F 1A |,则C 2的离心率是( ).A.13 B .23 C.15D .25解析 由题意知,|F 1F 2|=|F 1A |=4,∵|F 1A |-|F 2A |=2,∴|F 2A |=2,∴|F 1A |+|F 2A |=6,∵|F 1F 2|=4,∴C 2的离心率是46=23. 答案 B11.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形,则此几何体的体积V 为( ).A.323 B .403C.163D .40解析 观察三视图可知,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,两个侧面与底面垂直,棱锥的高为4,由图中数据得该几何体的体积为13×4+12×4×4=403.答案 B12.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32-x =f (x ),f (-2)=-3,数列{a n }满足a 1=-1,且S n n =2×a n n+1(其中S n 为{a n }的前n 项和),则f (a 5)+f (a 6)=( ). A .-3 B .-2 C .3D .2解析 ∵函数f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∵f (32-x )=f (x ),∴f (32-x )=-f (-x ),∴f (3+x )=f (x ),∴f (x )是以3为周期的周期函数. ∵S n n =2×a n n+1,∴S n =2a n +n ,S n -1=2a n -1+(n -1)(n ≥2). 两式相减并整理得出a n =2a n -1-1, 即a n -1=2(a n -1-1),∴数列{a n -1}是以2为公比的等比数列,首项为a 1-1=-2,∴a n -1=-2·2n -1=-2n ,a n =-2n+1,∴a 5=-31,a 6=-63.∴f (a 5)+f (a 6)=f (-31)+f (-63)=f (2)+f (0)=f (2)=-f (-2)=3. 答案 C 二、填空题13.已知向量p =(2,-1),q =(x,2),且p ⊥q ,则|p +λq |的最小值为__________.解析 ∵p ·q =2x -2=0,∴x =1, ∴p +λq =(2+λ,2λ-1), ∴|p +λq |=2+λ2+2λ-12=5λ2+5≥ 5.答案514.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________.解析 由sin B +cos B =2得,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B +π4=2,sin ⎝⎛⎭⎪⎫B +π4=1,而B ∈(0,π),所以B =π4.由正弦定理得,sin A =a sin B b =12,又A +B +C =π,A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,3π4,∴A =π6.答案π615.若曲线y =x 在点(m ,m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18,则m =________. 解析 由y =x ,得y ′=-12x,所以,曲线y =x在点(m ,m)处的切线方程为y -m=-12m(x -m ),由已知,得12×32m×3m =18(m >0),m =64.答案 6416.已知a >0,b >0,方程为x 2+y 2-4x +2y =0的曲线关于直线ax -by -1=0对称,则3a +2bab的最小值为________.解析 该曲线表示圆心为(2,-1)的圆,直线ax -by -1=0经过圆心,则2a +b -1=0,即2a +b =1,所以 3a +2b ab =3b +2a =(3b +2a )(2a +b )=6a b +2b a+7≥26a b ·2ba+7=7+43(当且仅当a =2-3,b =23-3时等号成立). 答案 7+4 3。
2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2},B={x|(x –1)(x+2)<0},则A∩B=() A .{–1,0} B .{0,1} C .{–1,0,1} D .{0,1,2}2、若a 为实数,且(2+ai)(a –2i)=–4i ,则a=() A .–1 B .0 C .1 D .23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D .20064、已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则A .21 B .42 C .63 D .84 5、设函数f(x)=,则f(–2)+f(log 212)=() A .3 B .6 C .9 D .12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,分体积的比值为()A .B .C .D .7、过三点A .2 8、如上左2a=() A .0 9、已知A ,C 为该球上的动点,若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36A .36π.256π10、如上左O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x x 的函数,则y=f(x)的图像大致为()A .B .C .D . 11、已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为()A .B .2C .D .12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数,f(–1)=0,当x>0时,xf’(x)–f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是() A .(–∞,–1)∪(0,1) B .(,0)∪(1,+∞)C .(–∞,–1)∪(–1,0) D .(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ=. 14、若x ,y 满足约束条件,则z=x+y 的最大值为.15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.16、设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=–1,a n+1=S n S n+1,则S n =________________. 三、解答题17、△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD 和AC 的长.18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机抽查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62738192958574645376 78869566977888827689B 地区:73836251914653736482 93486581745654766579(1)均值及分散程度(记事件C :“A 地区用户的满意等级高于B 19、如图,长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=101F=4.过点E ,F 的平面α(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由(2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值.20、已知椭圆C :9x 2+y 2=M 2(m>0).直线l A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)(2)若l l 的21、设函数(1)证明:(2)2)|≤e –1,求m 的取值范围.22、[选修4ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N E ,F 两点. (1)(2)若AG EBCF 的面积. 23、[选修4xOy 中,曲线C 1:(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π. 在以O C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2cosθ. (1)求C 2与C (2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值24、[选修4–5:不等式选讲]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明: (1)若ab>cd ,则+>+;(2)+>+是|a –b|<|c –d|的充要条件. 2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案:A .∵(x–1)(x+2)<0,解得–2<x<1,∴B={x|–2<x<1},∴A∩B={–1,0}.2、答案:B .∵(2+ai)(a–2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ,∴a 2–4=–4,解得a=0.3、答案:D .由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.4、答案:B .∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21,∴1+q 2+q 4=7,整理得(q 2+3)(q 2–2)=0.解得q 2=2,∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42. 5、答案:C .∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3,()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log 3log 2log 6226+===,∴f(–2)+f(log 212)=9.6、答案:D .如图所示截面为ABC ,设边长为a ,则截取部分体积为S △ADC ·|DB|=a 3, 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为=.7、答案:C .由题可得,解得,所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0,令x=0,解得y=–2±2, 所以|MN|=|–2+2–(–2–2)|=4. 8、答案:B .输入a=14,b=18.第一步a≠b 成立,执行a>b ,不成立执行b=b –a=18–14=4; 第二步a≠b第三步a≠b 第四步a≠b 第四步a≠b 第五步a≠b 9、答案:C 点C 到平面10、答案:当点P 在CD 当x=时,从点P B . 11、答案:过点M 作, 12、答案:因为当x>0 又因为函数且g(–, 二、填空题131415、答案:所以Ca+Ca+C+C+C=32,解得a=3.16、答案:–.∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1,∴–=1.即–=–1,∴{}是等差数列, ∴=–(n –1)=–1–n+1=–n ,即S n =–. 三、解答题17、答案:(1);(2)|BD|=,|AC|=1.(1)如图,由题意可得S △ABD =|AB||AD|sin ∠BAD,S △ADC =|AC||AD|sin ∠CAD, ∵S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠DAC,∴|AB |=2|AC|,∴==. (2)设BC 边上的高为h ,则S △ABD =|BD|·h=2S △ADC =2××h ,解得|BD|=,设|AC|=x ,|AB|=2x ,则cos ∠BAD=,cos ∠DAC=.∵cos∠DAC=cos ∠BAD ,∴=,解得x=1或x=–1(舍去).∴|AC|=1. 18、(1)如图所示.通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高,A地区的分散程度大于B地区.(2)记事件不满意为事件A1,B1,满意为事件A2,B2,非常满意为事件A3,B3.则由题意可得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,则P(C)=P(A2)P(B1)+P(A3)(P(B1)+P(B2))=×+×(+)=.19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系.由题意和(1)可得A(10,0,0),F(0,4,8),E(10,4,8),G(10,10,0),则向量AF=(–10,4,8),EF=(–10,0,0),EG=(0,6,–8).设平面EFHG的一个法向量为n=(x,y,z),则,即,解得x=0,令y=4,z=3,则n=(0,4,3).所以直线AF与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF,n>|===.20、(1)设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2),则M(,),联立方程,消去y整理得(9+k2)x2+2kbx+b2–m2=0(*),∴x1+x2=–,y1+y2=k(–)+2b=,∴kOM ·kAB=·k=·(–)·k=–9.k=4±,有21∴∴,所以此时当令e–m–2m 在而.当当22则∵.在在Rt△AEO中,sin∠OAE===.∴∠OAE=60°,∵∠OAE=∠OAF=∠EAF,AE=AF,∴∠EAF=2∠OAE=60°,∴△AEF、△ABC是等边三角形.连接OM,∴OM=2.∵OD⊥MN,∴MD=ND=MN=.在Rt△ODM中,OD===1,∴AD=OA+AD=4+1=5.在Rt△ADB中,AB===.∴四边形EBCF的面积为S△ABC –S△AEF=×()2–×(2)2=.23、(1)将曲线C2,C3化为直角坐标系方程C2:x2+y2–2y=0,C3:x2+y2–2x=0.联立,解得或.所以交点坐标为(0,0),(,).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.∵A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).∴|AB|=|2sinα–2 cosα|=4|sin(α–)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.24、(1)由题意可得(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,∵ab>cd,∴>,而a+b=c+d,∴(+)2>(+)2,即+>+.(2)+>+,即a+b+2>c+d+2,∴>,∴ab>cd,∴–4ab<–4cd,∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd,∴(a–b)2<(c–d)2,∴|a–b|<|c–d|.。
2015年高考理科数学(全国通用)二轮专题配套word版练习12份
目录选择题的解法 (1)概率与统计 (12)函数与导数 (26)活用“审题路线图”,破解高考不再难 (40)集合与常用逻辑用语 (59)解答题的八个答题模板 (65)解析几何 (95)立体几何 (107)三角函数、解三角形、平面向量 (121)数列、不等式 (131)填空题的解法 (140)推理与证明、复数、算法 (149)选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面,注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力.选择题是属于“小灵通”题,其解题过程“不讲道理”,所以解答选择题的基本策略是:充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理,先间接后直接,先排除后求解,对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等.解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏.初选后认真检验,确保准确.解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法,但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答,因此,我们还要研究解答选择题的一些技巧.总的来说,选择题属小题,解题的原则是:小题巧解,小题不能大做.方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发,进行演绎推理,直接得出结论.这种策略多用于一些定性的问题,是解选择题最常用的策略.这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的,可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,然后与选择支对照,从而作出相应的选择.例1 数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=13,且对任意正整数m 、n ,都有a m +n =a m ·a n ,若S n <a 恒成立,则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D .2解析 对任意正整数m 、n ,都有a m +n =a m ·a n ,取m =1,则有a n +1=a n ·a 1⇒a n +1a n =a 1=13,故数列{a n }是以13为首项,以13为公比的等比数列,则S n =13(1-13n )1-13=12(1-13n )<12,由于S n <a对任意n ∈N *恒成立,故a ≥12,即实数a 的最小值为12,选A.答案 A思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力,准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求快则会快中出错.将函数y =sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y =sin(2x +π3)(x ∈R )的图象重合,则|m -n |的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 C解析 函数y =sin 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位可得y =sin 2(x +m )=sin(2x +2m )的图象,向右平移n (n >0)个单位可得y =sin 2(x -n )=sin(2x -2n )的图象.若两图象都与函数y =sin(2x +π3)(x ∈R )的图象重合,则⎩⎨⎧2m =π3+2k 1π,2n =-π3+2k 2π,(k 1,k 2∈Z )即⎩⎨⎧m =π6+k 1π,n =-π6+k 2π.(k 1,k 2∈Z )所以|m -n |=|π3+(k 1-k 2)π|(k 1,k 2∈Z ),当k 1=k 2时,|m -n |min =π3.故选C.方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略.例2 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) A .130 B .170 C .210 D .260(2)如图,在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P =BQ ,过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) A .3∶1 B .2∶1 C .4∶1D.3∶1解析 (1)取m =1,依题意a 1=30,a 1+a 2=100,则a 2=70,又{a n }是等差数列,进而a 3=110,故S 3=210,选C.(2)将P 、Q 置于特殊位置:P →A 1,Q →B ,此时仍满足条件A 1P =BQ (=0),则有1C AA B V -=1A ABC V -=1113ABC A B C V -,故选B.答案 (1)C (2)B思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效,比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题,但用特例法解选择题时,要注意以下两点: 第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理;第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心,∠A=60°,cos B sin C ·AB →+cos C sin B·AC →=2m ·AO →,则m 的值为( ) A.32B. 2 C .1 D.12答案 A解析 如图,当△ABC 为正三角形时,A =B =C =60°,取D 为BC 的中点, AO →=23AD →,则有13AB →+13AC →=2m ·AO →, ∴13(AB →+AC →)=2m ×23AD →,∴13·2AD →=43mAD →,∴m =32,故选A. 方法三 排除法(筛选法)例3 函数y =x sin x 在[-π,π]上的图象是( )解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;时,y=x sin x>0,排除B;当0<x<π2当x=π时,y=0,可排除C;故选A.答案 A思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法.函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],a变动时,方程b=g(a)表示的图形可以是()答案 B解析 研究函数y =2|x |,发现它是偶函数,x ≥0时,它是增函数,因此x =0时函数取得最小值1,而当x =±4时,函数值为16,故一定有0∈[a ,b ],而4∈[a ,b ]或者-4∈[a ,b ],从而有结论a =-4时,0≤b ≤4,b =4时,-4≤a ≤0,因此方程b =g (a )的图形只能是B. 方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,通过对规范图形或示意图形的观察分析,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来,利用图象的直观性,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决,这种方法称为数形结合法.例4 函数f (x )=⎝⎛⎭⎫12|x -1|+2cos πx (-2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A .2 B .4 C .6 D .8解析 由f (x )=⎝⎛⎭⎫12|x -1|+2cos πx =0, 得⎝⎛⎭⎫12|x -1|=-2cos πx , 令g (x )=⎝⎛⎭⎫12|x -1|(-2≤x ≤4), h (x )=-2cos πx (-2≤x ≤4),又因为g (x )=⎝⎛⎭⎫12|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -1, 1≤x ≤4,2x -1, -2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )=⎝⎛⎭⎫12|x -1|(-2≤x ≤4)和h (x )=-2cos πx (-2≤x ≤4)的图象(如图),由图象可知,函数g(x)=⎝⎛⎭⎫1x-1|关于x=1对称,2|又x=1也是函数h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的对称轴,所以函数g(x)=⎝⎛⎭⎫1x-1|(-2≤x≤4)和h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的交点也关于x=1对称,2|且两函数共有6个交点,所以所有零点之和为6.答案 C思维升华本题考查函数图象的应用,解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题,然后画出函数的图象找出零点再来求和.严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,但它在解有关选择题时非常简便有效.运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉.图解法实际上是一种数形结合的解题策略.过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.33B.-33C.±33D.- 3答案 B解析由y=1-x2,得x2+y2=1(y≥0),其所表示的图形是以原点O为圆心,1为半径的上半圆(如图所示).由题意及图形,知直线l的斜率必为负值,故排除A,C选项.当其斜率为-3时,直线l的方程为3x+y-6=0,点O到其距离为|-6|3+1=62>1,不符合题意,故排除D选项.选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次. 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,y ≥0,y -x ≤2表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B .1 C.74D .2 解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形. 阴影部分面积比1大,比S △OAB =12×2×2=2小,故选C 项.答案 C思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围,否则“估算”就没有意义.本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半.已知sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2m m +5(π2<θ<π),则tan θ2等于( )A.m -39-mB.m -3|9-m |C.13 D .5答案 D解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan θ2,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tanθ2也为一确定的值,又π2<θ<π,因而π4<θ2<π2,故tanθ2>1.1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法,在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.概率与统计1.随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等,且是不放回抽样.[问题1] 某社区现有480个住户,其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户,其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了6户,则该社区本次抽取的总户数为________. 答案 24解析 由抽样比例可知6x =480-200-160480,则x =24.2.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真观察图表,从中提取有用信息和数据.对于频率分布直方图,应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率.茎叶图没有原始数据信息的损失,但数据很大或有多组数据时,茎叶图就不那么直观、清晰了. [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为________.答案 203.众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. 平均数:样本数据的算术平均数,即x =1n(x 1+x 2+…+x n ).平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和. 标准差的平方就是方差,方差的计算(1)基本公式s 2=1n[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2].(2)简化计算公式①s 2=1n [(x 21+x 22+…+x 2n )-n x 2],或写成s 2=1n (x 21+x 22+…+x 2n )-x 2,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14,则该样本的众数、中位数分别是________. 答案 0.15、0.145 4.变量间的相关关系假设我们有如下一组数据:(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ).回归方程y ^=b ^x +a ^,其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^=∑i =1n(x i-x )(y i-y )∑i =1n(x i-x )2=∑i =1nx i y i-n x y ∑i =1nx 2i-n x2,a ^=y -b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^=b ^x +a ^必经过点________. 答案 (x ,y )5.独立性检验的基本方法一般地,假设有两个分类变量X 和Y ,它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表如表:y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计a +cb +da +b +c +d根据观测数据计算由公式k =n (ad -bc )2(a +b )(a +c )(b +d )(c +d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ,并且k 的值越大,说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大,可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示) 附:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )P (K 2>k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案 99.5%6.互斥事件有一个发生的概率P (A +B )=P (A )+P (B ) (1)公式适合范围:事件A 与B 互斥. (2)P (A )=1-P (A ).[问题6] 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数点,事件B 为出现2点,已知P (A )=12,P (B )=16,则出现奇数点或2点的概率之和为________.答案 237.古典概型P (A )=mn (其中,n 为一次试验中可能出现的结果总数,m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为________. 答案1128.几何概型一般地,在几何区域D 内随机地取一点,记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ,则事件A 发生的概率为P (A )=d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0,其中“度量”的意义依D 确定,当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的度量分别为长度、面积和体积等. 即P (A )=构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B .1-π12C.π6 D .1-π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A , P (A )=23-12×43π×1323=1-π12. 9.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先选后排法;至多至少问题间接法. (1)排列数公式A m n =n (n -1)(n -2)…[n -(m -1)]=n !(n -m )!,其中m ,n ∈N *,m ≤n .当m =n 时,A n n =n ·(n-1)·……·2·1=n !,规定0!=1. (2)组合数公式C mn =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…[n -(m -1)]m !=n !m !(n -m )!. (3)组合数性质C m n =C n-mn,C m n +C m -1n =C m n +1,规定C 0n =1,其中m ,n ∈N *,m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有________种.(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有________种. 答案 (1)35 (2)70 10.二项式定理(1)定理:(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n -1n ab n -1+C n nb n (n ∈N *). 通项(展开式的第r +1项):T r +1=C rna n -r b r ,其中C r n (r =0,1,…,n )叫做二项式系数. (2)二项式系数的性质①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C 0n =C n n ,C 1n =C n -1n ,C 2n =C n -2n ,…,C r n =C n -r n. ②二项式系数的和等于2n (组合数公式),即C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n=2n . ③二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和,即C 1n +C 3n +C 5n +…=C 0n +C 2n +C 4n +…=2n -1. 特别提醒:二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,往往因为概念不清导致出错. [问题10] 设⎝⎛⎭⎫x -2x 6的展开式中x 3的系数为A ,二项式系数为B ,则A ∶B =________. 答案 4∶1解析 T r +1=C r 6x6-r (-1)r ⎝⎛⎭⎫2x r=C r 6(-1)r 2r362r x-,6-32r =3,r =2,系数A =60,二项式系数B =C 26=15,所以A ∶B =4∶1. 4∶1.11.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别:(1)在P (A |B )中,事件A ,B 发生有时间上的差异,B 先A 后;在P (AB )中,事件A ,B 同时发生.(2)样本空间不同,在P (A |B )中,事件B 成为样本空间;在P (AB )中,样本空间仍为Ω,因而有P (A |B )≥P (AB ).[问题11] 设A 、B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为________.答案 3512.求分布列,要检验概率的和是否为1,如果不是,要重新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布,然后用公式.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C k n p k ·(1-p )n -k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表,则E (ξ)的值为________.ξ 0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xx答案209解析 根据概率之和为1,求出x =118,则E (ξ)=0×2x +1×3x +…+5x =40x =209.13.一般地,如果对于任意实数a <b ,随机变量X 满足P (a <X ≤b )=ʃba φμ,σ(x )d x ,则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N (μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布,则记为X ~N (μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是: ①P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6;②P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4;③P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),且P (ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于( ) A .0.6 B .0.4 C .0.3 D .0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)=0.8,∴P (ξ>4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线x =2, P (ξ<0)=P (ξ>4)=0.2,∴P (0<ξ<4)=1-P (ξ<0)-P (ξ>4)=0.6. ∴P (0<ξ<2)=12P (0<ξ<4)=0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的大约有________人.错解 由频率分布直方图,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为1-(0.02+0.08+0.10+0.10+0.08)=0.62.∴估计年薪在1.4万元~1.6万元之间约有300×0.62=186(人).找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义,频率分布直方图中,纵轴(矩形高)表示“频率组距”,每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率,由于概念不清,识图不准导致计算错误.正解 由所给图形可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2=0.24.所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有300×0.24=72(人). 答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示,在等腰Rt △ABC 中,过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率.错解 记AM <AC 为事件E ,设CA =CB =a ,因为△ABC 是直角三角形, 所以,AB =2a ,在AB 上取一点D ,使AD =AC =a ,那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ,即AM <AC , 因此AM <AC 的概率为P (E )=AD AB =a 2a =22. 找准失分点 据题意,过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ,射线CM 在∠ACB 内部均匀分布,但是点M 在AB 上的分布不是均匀的.正解 在AB 上取一点D ,使AD =AC ,因为AD =AC =a ,∠A =π4,所以∠ACD =∠ADC =3π8,则P (E )=∠ACD ∠ACB =3π8π2=34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示,A ,B ,C ,D 是海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个岛连接起来,不同的建桥方案共有多少种?错解 对于有一个中心的结构形式有A 44,对于四个岛依次相连的形式有A 44,∴共有2A 44=48(种).找准失分点 没有分清是排列还是组合. 正解 由题意可能有两种结构,如图:第一种:,第二种:对于第一种结构,连接方式只需考虑中心位置的情况,共有C 14种方法.对于第二种结构,有C 24A 22种方法. ∴总共有C 14+C 24A 22=16(种).易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有________种.(用数字作答) 错解 288错误!未找到引用源。
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练1 理(含最新原创题,含解析)
又CD⊂平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.
(2)取AE中点G,连接FG,BG.
因为F为ED的中点,所以FG∥AD且FG= AD.
在△ACD中,AC⊥CD,∠DAC=60°,
所以AC= AD,所以BC= AD.
在△ABC中,AB=BC=AC,所以∠ACB=60°,
T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3= T3,
……
T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3nb3n+1+
T3n-1b3nb3n+1b3n+2+T3nb3n+1b3n+2b3n+3
=T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3nb1b2b3
= (T3n-2+T3n-1+T3n),
代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+x2)=0,
∴2× +2m-(m+1)× =0,即2m-6=0,∴m=3,
∴存在Q(3,0)使得直线QA,QB的倾斜角互为补角.
4.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y= +2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;
(2)若该公司采用模型函数y= 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.
解(1)设奖励函数模型为y=f(x),按公司对函数模型的基本要求,函数y=f(x)满足:
故该函数模型不符合公司要求.
【三维设计】2015年高考数学总复习创新问题专项训练(二)文北师大版
创新问题专项训练(二)一、选择题 1.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数,定义A *B =⎩⎪⎨⎪⎧C A -C B ,C A C B ,C B -C A ,C AC B ,若A ={x |x 2-ax -1=0,a ∈R },B ={x ||x 2+bx +1|=1,b ∈R },设S ={b |A *B =1},则C (S )等于( )A .4B .3C .2D .12.已知集合A ={(x ,y )||x -2|+|y -3|≤1},集合B ={(x ,y )|x 2+y 2+Dx +Ey +F ≤0,D 2+E 2-4F >0},若集合A ,B 恒满足“A ⊆B ”,则集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )A.22πB .πC.12πD.2π3.已知数组(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x 10,y 10)满足线性回归方程y ^=b ^x +a ^,则“(x 0,y 0)满足线性回归方程y ^=b ^x +a ^”是“x 0=x 1+x 2+ … +x 1010,y 0=y 1+y 2+…+y 1010”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.给出定义:若函数f (x )在D 上可导,即f ′(x )存在,且导函数f ′(x )在D 上也可导,则称f (x )在D 上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f ′(x ))′,若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在(0,π2)上不是凸函数的是( )A .f (x )=sin x +cos xB .f (x )=ln x -2xC .f (x )=-x 3+2x -1D .f (x )=x ·e x5.定义:若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同,则称变换T 是f (x )的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T ,其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A .f (x )=(x -1)2,T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称 B .f (x )=2x -1-1,T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C .f (x )=2x +3,T 将函数f (x )的图像关于点(-1,1)对称D .f (x )=sin(x +π3),T 将函数f (x )的图像关于点(-1,0)对称二、填空题6.对于非空实数集A ,记A *={y |任意x ∈A ,y ≥x }.设非空实数集合M ,P ,满足M ⊆P .给出以下结论:①P *⊆M *;②M *∩P ≠∅;③M ∩P *=∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号).7.已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x 0是函数f (x )=ln x -2x的零点,则[x 0]等于________.8.某同学为研究函数f (x )=1+x 2+1+-x2(0≤x ≤1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ,点P 是边BC 上的一个动点,设CP =x ,则AP +PF =f (x ).请你参考这些信息,推知函数f (x )的极值点是______;函数f (x )的值域是________.9.(1)如图,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y =x ,y =x 12,y =(22)x的图像上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________.(2)若存在实常数k 和b ,使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足:f (x )≥kx +b 和g (x )≤kx +b ,则称直线l :y =kx +b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”.已知h (x )=x 2,φ(x )=2eln x (其中e 为自然对数的底数),根据你的数学知识,推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________.三、解答题10.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和g (x )=ax 2+bx +c ·ln x (abc ≠0). (1)证明:当a <0时,无论b 为何值,函数g (x )在定义域内不可能总为增函数; (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点C (x 0,y 0),记直线AB 的斜率为k ,若f (x )满足k =f ′(x 0),则称其为“K 函数”.判断函数f (x )=ax 2+bx +c 与g (x )=ax 2+bx +c ·ln x (abc ≠0)是否为“K 函数”?并证明你的结论.11.如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数),小飞轮O 2的半径为r ,O 1O 2=4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ,B ,满足∠BO 1A=π3,在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转,传动开始时,点B ,C 在水平直线O 1O 2上.(1)求点A 到达最高点时A ,C 间的距离; (2)求点B ,C 在传动过程中高度差的最大值.答 案1.选B 显然集合A 的元素个数为2,根据A *B =1可知,集合B 的元素个数为1或3,即方程|x 2+bx +1|=1有1个根或有3个根.结合函数y =|x 2+bx +1|的图象可得,b =0或4-b 24=-1,即b =0或b =±2 2.2.选B 集合A 可以看作是由区域{(x ,y )||x |+|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的,这是一个边长为2的正方形区域,集合B 是一个圆形区域,如果A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小,则圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0是|x -2|+|y -3|=1所表示正方形的外接圆,其面积是π×12=π.3.选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ,y ),则由“x 0=x 1+x 2+…+x 1010,y 0=y 1+y 2+…+y 1010”一定能推出“(x 0,y 0)满足线性回归方程y ^=b ^x +a ^”,反之不一定成立.4.选D 由凸函数的定义可得该题即判断f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负.对于A ,f ′(x )=cos x -sin x ,f ″(x )=-sin x -cos x ,在x ∈(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;对于B ,f ′(x )=1x -2,f ″(x )=-1x 2,在x ∈(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;对于C ,f ′(x )=-3x 2+2,f ″(x )=-6x ,在x ∈(0,π2)上,恒有f ″(x )<0;对于D ,f ′(x )=e x +x e x ,f ″(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x,在x ∈(0,π2)上,恒有f ″(x )>0.5.选B 选项B 中,f (x )=2x -1-1的值域为(-1,+∞),将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(-∞,1),值域改变,不属于同值变换.经验证,其他选项正确.6.解析:对于①,由M ⊆P 得知,集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ,依题意有P *={y |y ≥p },M *={y |y ≥m },又m ≤p ,因此有P *⊆M *,①正确;对于②,取M =P ={y |y <1},依题意得M *={y |y ≥1},此时M *∩P =∅,因此②不正确;对于③,取M ={0,-1,1},P ={y |y ≤1},此时P *={y |y ≥1},M ∩P *={1}≠∅,因此③不正确.综上所述,其中正确的结论是①.答案:①7.解析:∵函数f (x )的定义域为(0,+∞),∴函数f ′(x )=1x +2x2>0,即函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.由f (2)=ln 2-1<0,f (e)=ln e -2e >0,知x 0∈(2,e),∴[x 0]=2.答案:28.解析:显然当点P 为线段BC 的中点时,A ,P ,F 三点共线,此时AP =PF ,且函数f (x )取得最小值5,函数f (x )的图象的对称轴为x =12;当x ∈[0,12]时,函数f (x )单调递减,且值域为[5,2+1];当x ∈[12,1]时,函数f (x )单调递增,且值域为[5,2+1],∴函数f (x )的值域为[5,2+1].答案:x =12[5,2+1]9.解析:(1)由A 点的纵坐标为2,得点A 的横坐标是⎝⎛⎭⎪⎫222=12,由矩形的边平行于坐标轴,得B 点的纵坐标是2,从而横坐标是22=4,所以C 点的横坐标是4,纵坐标是(22)4=14,所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标12,点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14,即D 点的坐标是(12,14).(2)容易观察到h (x )和φ(x )有公共点(e ,e),又(x -e)2≥0,即x 2≥2e x -e ,所以猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y =2e x -e ,下面只需证明2eln x ≤2e x -e 恒成立即可,构造函数λ(x )=2eln x -2e x +e.由于λ′(x )=2e e -xx(x >0),即函数λ(x )在区间(0,e)上递增,在(e ,+∞)上递减,故λ(x )≤λ(e)=0,即2eln x -2e x +e≤0,得2eln x ≤2e x -e.故猜想成立,所以两函数间的隔离直线方程为y =2e x -e.答案:(1)(12,14)(2)y =2e x -e10.解:(1)假设g (x )在定义域(0,+∞)上为增函数,则有g ′(x )=2ax +b +c x =2ax 2+bx +cx>0对于一切x >0恒成立,从而必有2ax 2+bx +c >0对于一切x >0恒成立.又a <0,由二次函数的图象可知:2ax 2+bx +c >0对于一切x >0恒成立是不可能的. 因此当a <0时,无论b 为何值,函数g (x )在定义域内不可能总为增函数.(2)函数f (x )=ax 2+bx +c 是“K 函数”,g (x )=ax 2+bx +c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”.证明如下:对于二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,k =f x 1-f x 2x 1-x 2=a x 22-x 21+b x 2-x 1x 2-x 1=a (x 2+x 1)+b =2ax 0+b .又f ′(x 0)=2ax 0+b ,故k =f ′(x 0). 故函数f (x )=ax 2+bx +c 是“K 函数”.对于函数g (x )=ax 2+bx +c ·ln x (abc ≠0)(x >0), 不妨设x 2>x 1>0,则k =g x 1-g x 2x 1-x 2=a x 21-x 22+b x 1-x 2+c ln x 1x 2x 1-x 2=2ax 0+b +c lnx 1x 2x 1-x 2.又g ′(x 0)=2ax 0+b +c x 0,若g (x )为“K 函数”,则必满足k =g ′(x 0),即有2ax 0+b +c ln x 1x 2x 1-x 2=2ax 0+b +cx 0,也即c ln x 1x 2x 1-x 2=2c x 1+x 2(c ≠0),所以lnx 1x 2x 1-x 2=2x 1+x 2.设t =x 1x 2,则0<t <1,ln t =t -1+t.①设s (t )=ln t -t -1+t,则s ′(t )=t -2t+t2>0,所以s (t )在t ∈(0,1)上为增函数,s (t )<s (1)=0,故ln t ≠t -1+t.②①与②矛盾,因此,函数g (x )=ax 2+bx +c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”. 11.解:(1)以O1为坐标系的原点,O 1O 2所在直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系.当点A 到达最高点时,点A 绕O 1转过π6,则点C 绕O 2转过π3.此时A (0,2r ),C (92r ,32r ).∴AC =-92r 2+r -32r 2=25-23·r .(2)由题意,设大飞轮转过的角度为θ, 则小飞轮转过的角度为2θ,其中θ∈[0,2π].此时B (2r cos θ,2r sin θ),C (4r +r cos 2θ,r sin 2θ). 记点B ,C 的高度差为d ,则d =|2r sin θ-r sin 2θ|, 即d =2r |sin θ-sin θcos θ|.设f (θ)=sin θ-sin θcos θ,θ∈[0,2π], 则f ′(θ)=(1-cos θ)(2cos θ+1).令f ′(θ)=(1-cos θ)(2cos θ+1)=0,得cos θ=-12或1,则θ=2π3,4π3,0或2π.f (θ)和f ′(θ)随θ的变化情况如下表:综上所述,点B ,C 在传动过程中高度差的最大值d max =332r .。
2015年高考新课标Ⅱ理科数学试题及答案(精校版-解析版-word版)
2015年高考数学试题(理) 第1页【共10页】2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ={-2,-1,0,2},B ={x |(x -1)(x +2)<0},则A ∩B =( )A .{-1,0}B .{0,1}C .{-1,0,1}D .{0,1,2}2.若a 为实数且(2+ai )(a -2i ) =-4i ,则a =( )A .-1B .0C .1D .23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.C .2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+ a 3+ a 5=21,则a 3+ a 5+ a 7=( )A .21B .42C .63D .845.设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,则2(2)(log 12)f f -+=( ) A .3 B .6 C .9D .12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A .81B .71C .61D .51 7.过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交于y 轴于M 、N 两点,则MN =( )2015年高考数学试题(理) 第2页【共10页】A.B .8 C.D .108.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图,若输入a ,b 分别为14,18,则输出的a =( )A .0B .2C .4D .149.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90º,C 为该球面上的动点,若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A .36πB .64πC .144πD .256π10.如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则f (x )的图像大致为 ( )A .B .C .D .11.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,∆ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )AB .2 CD12.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当x >0时,()()0xf x f x '-<,则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是( )A .(,1)(0,1)-∞-UB .(1,0)(1,)-+∞UC .(,1)(1,0)-∞--UD .(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.设向量a ,b 不平行,向量λ+a b 与2+a b 平行,则实数λ= ____________.2015年高考数学试题(理) 第3页【共10页】14.若x ,y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩,则z x y =+的最大值为____________.15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =__________.16.设S n 是数列{a n }的前项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则S n =___________________.三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题12分)在∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin B C ∠∠;(Ⅱ)若AD =1,DCBD 和AC 的长. 18.(本小题12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率.19.(本小题12分)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16,BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);(Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.2015年高考数学试题(理) 第4页【共10页】20.(本小题12分)已知椭圆C :2229x y m +=(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若l 过点(,)3m m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题12分)设函数2()mx f x e x mx =+-.(Ⅰ)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x 1,,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.22.(本小题10分)【选修4-1:几何证明选讲】如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(Ⅰ)证明:EF ∥BC ;(Ⅱ)若AG 等于⊙O 的半径,且AE=MN=求四边形EBCF的面积.23.(本小题10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,t ≠0)其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:2sin ρθ=,C 3:ρθ=. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.24.(本小题10分)【选修4-5:不等式选讲】设a ,b ,c ,d 均为正数,且a b c d +=+,证明:(Ⅰ)若ab >cd>||||a b c d -<-的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科数学【参考答案】一、选择题:1. 【答案】A解析:由已知得,故{1,0}A B =- ,故选A.{}21B x x =-<<2015年高考数学试题(理) 第5页【共10页】2. 【答案】B解析:由已知得4a + (a 2 -4)i = -4i ,所以4a = 0,a 2 -4 = -4,解得a = 0,故选B.3. 【答案】D解析:由柱形图可知,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,所以二氧化硫排放量与年份负相关,故选D.4. 【答案】B解析:设等比数列公比为q ,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21,又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,解得q 2=2,所以a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42,故选B.5. 【答案】C解析:由已知得,又,所以,故.6. 【答案】D解析:由三视图得,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,截去四面体A -A 1B 1D 1,如图所示,设正方体棱长为,则,故剩余几何体体积为,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D. 7. 【答案】C解析:由已知得321143AB k -==--,27341CB k +==--,所以k AB k CB =-1,所以AB ⊥CB ,即△ABC 为直角三角形,其外接圆圆心为(1, -2),半径为5,所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25,令x =0,得2y =±,所以||MN = C.8. 【答案】B解析:程序在执行过程中,a ,b 的值依次为a =14,b =18,b =4,a =10,a =6,a =2,b =2,此时a =b =2程序结束,输出a 的值为2,故选B .9. 【答案】C解析:如图所示,当点C 位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球O 的半径为R ,此时,故R=6,则球O 的表面积为,故选C .10. 【答案】B2(2)1log 43f -=+=2log 121>22log 121log 62(log 12)226f -===2(2)(log 12)9f f -+=a 11133111326A A B D V a a -=⨯=3331566a a a -=AOB O ABC -2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==24144S R ππ==12015年高考数学试题(理) 第6页【共10页】解析:由已知得,当点P 在BC 边上运动时,即04x π≤≤时,tan PA PB x +;当点P 在CD 边上运动时,即344x ππ≤≤,2x π≠时,PA PB +=当2x π=时,PA PB +=当点P 在AD 边上运动时,即34x ππ≤≤时,PA PB +=tan x ,从点P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线2x π=对称,且,且轨迹非线型,故选B . 11. 【答案】D 解析:设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,如图所示,|AB |=|BM |,∠ABM =120º,过点M 作MN ⊥x 轴,垂足为N ,在Rt △BMN 中,|BN |=a,||MN =,故点M的坐标为(2)M a ,代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e = D.12. 【答案】A解析:记函数()()f x g x x =,则2()()()x f x f x g x x '-'=,因为当x >0时,xf ´(x )-f (x )<0,故当x >0时,g ´ (x )<0,所以g (x )在(0, +∞)单调递减;又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数,故函数g (x )是偶函数,所以g (x )在(-∞, 0)单调递增,且g (-1)=g (1)=0.当0<x <1时,g (x )>0,则f (x )>0;当x <-1时,g (x )<0,则f (x )>0,综上所述,使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1),故选A .二、填空题:13. 【答案】 解析:因为向量a b λ+ 与2a b + 平行,所以(2)a b k a b λ+=+ ,则12k kλ=⎧⎨=⎩,所以12λ=. 14. 【答案】 解析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为y =-x +z ,当z 取到最大时,直线y =-x +z 的纵截距最大,故将直线()()42f f ππ>12322015年高考数学试题(理) 第7页【共10页】 尽可能地向上平移到1(1,)2D ,则z =x +y 的最大值为32. 15. 【答案】解析:由已知得,故的展开式中x 的奇数次幂项分别为,,,,,其系数之和为,解得.16. 【答案】 解析:由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以. 三、解答题: 17.解析:(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠,1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠,因为2A B D A D C S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC =,由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. (Ⅱ)因为::2ABD ADC S S BD DC ∆∆==,DC =所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理知,2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠,故222222326AB AC AD BD DC +=++=,由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.18.解析:(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散。
2015年高考数学创新设计二轮精品突破练2
则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,2),
所以,=(-2,0,2),=(-2,0,0),
=(0,-2,2),
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则
即
令b=1则n=(0,1,1),
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ===.
(1)证明∵CD2=BC2+BD2.∴BC⊥BD.
又∵PD⊥底面ABCD.∴PD⊥BC.
又∵PD∩BD=D.∴BC⊥平面PBD.
而BC⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PBD.
(2)解由(1)所证,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即为二面P-BC-D的平面角,即∠PBD=.
而BD=2,所以PD=2.
因为底面ABCD为平行四边形,所以DA⊥DB,
且P(ξ=i)=(i=0、1、2、3),则随机变量ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
4.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=4,BD=2,PD⊥底面ABCD.
(1)证明:平面PBC⊥平面PBD;
(2)若二面角P-BC-D大
小为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.
第三组人数为100×0.06×5=30,第四组人数为100×0.04×5=20,第五组人数为100×0.02×5=10,根据分层抽样知,第三组应抽取3人,第四组应抽取2人,第五组应抽取1人,第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复入复查,则随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
5.已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-2y+3=0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满=+(1-),设动点N的轨迹为曲线C.
2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}21012,,,,--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101,,-D、{}210,,2、若a 为实数,且()()i i a ai 422-=-+,则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是A、逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ,21531=++a a a ,则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31,A ,()24,B ,()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点,则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ,B 是球O 的球面上两点, 90=∠AOB ,C 为该球面上的动点。
2015届高考数学第二轮高效精练2
专题二 三角函数与平面向量第7讲 三角函数的图象与性质1. 将函数y =sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π6的图象,则φ等于________.答案:116π 解析:∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+2π, 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=sin ⎝⎛⎭⎫x +116π,∴ 将函数y =sinx 的图象向左平移116π个单位可得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6的图象. 2. 函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎫ωx -π6的最小正周期为π5,其中ω>0,则ω=________. 答案:103. 已知函数f(x)=f′⎝⎛⎭⎫π4cosx +sinx ,则f ⎝⎛⎭⎫π4=________. 答案:1解析:f(x)=f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosx +sinx , f ′(x)=-f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sinx +cosx ,f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=-22f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+22, f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=2-1,f(x)=(2-1)cosx +sinx , f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=(2-1)×22+22=1. 4. 函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3的最大值为________. 答案:2解析:(解法1)由题意可知y =sin2xcos π6+cos2xsin π6+cos2xcos π3+sin2xsin π3=3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6),所以最大值为2. (解法2)y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6+cos[(2x +π6)-π2] =2sin(2x +π6),所以最大值为2. 5. 方程sin 2x +cosx +a =0一定有解,则实数a 的取值范围是________.答案:⎣⎡⎦⎤-54,1 解析:a =cos 2x -cosx -1=⎝⎛⎭⎫cosx -122-54,转化为函数的值域问题. 6. 要使sin α-3cos α=4m -64-m有意义,则m 的范围为______.答案:[-1,73] 解析:4m -64-m =sin α-3cos α=2sin(α-π3)∈[-2,2],所以-2≤4m -64-m≤2,解得-1≤m ≤73. 7. 设函数f(x)=2sin x 2,如果存在实数x 1、x 2,使得对任意的实数x 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为________.答案:2π解析:T =2π12=4π,对任意x ∈R ,都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立,f(x)min =f(x 1),f(x)max =f(x 2),于是|x 1-x 2|min =T 2=2π. 8. 已知过原点的直线与函数y =|sinx|(x ≥0)的图象有且只有三个交点,α是交点中横坐标的最大值,则(1+α2)sin2α2α=________. 答案:1解析:y =|sinx|(x ≥0)的图象如图,若过原点的直线与函数y =|sinx|(x ≥0)的图象有且只有三个交点,则第三个交点的横坐标为α,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2, 又在区间(π,2π)上,y =|sinx|=-sinx ,则切点坐标为(α,-sin α),又切线斜率为-cos α,则切线方程为y +sin α=-cos α(x -α),y =-xcos α+αcos α-sin α.又直线过原点,把(0,0)代入上式,得α=tan α,∴ (1+α2)sin2α2α=(1+tan 2α)2sin αcos α2tan α=(1+tan 2α)cos 2α=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+sin 2αcos 2αcos 2α=cos 2α+sin 2α=1. 9. 将函数y =3cosx +sinx(x ∈R )的图象向左平移m(m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是______________.答案:π6解析:y =3cosx +sinx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,图象向左平移m(m>0)个单位长度后得函数的解析式为y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+m ,由函数为偶函数得π3+m =k π+π2,k ∈Z ,m =k π+π6,又m>0,故m 的最小值是π6. 10. 已知六个点A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)(x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6,x 6-x 1=5π)都在函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C 上,则称此两点为“好点组”,则上述六点中好点组的个数为______________.(两点不计顺序)答案:11解析:画出函数f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的草图,由题知,A 1(x 1,1),B 1(x 2,-1),A 2(x 3,1),B 2(x 4,-1),A 3(x 5,1),B 3(x 6,-1)恰好为连续的三个最高点和三个最低点,符合题意的11组好点组是A 1B 1,A 2B 1,A 3B 1,A 1B 2,A 2B 2,A 3B 2,A 1B 3,A 2B 3,A 3B 3,A 1A 3,B 1B 3.11. 已知a >0,函数f(x)=-2asin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈[0,π2]时,-5≤f(x)≤1. (1) 求常数a 、b 的值;(2) 设g(x)=f ⎝⎛⎭⎫x +π2且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. 解:(1) ∵ x ∈[0,π2],∴ 2x +π6∈[π6,7π6]. ∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6∈[-12,1].∵ a >0, ∴ -2asin(2x +π6)∈[-2a ,a].∴ f(x)∈[b ,3a +b]. ∵ -5≤f(x)≤1,∴ b =-5,3a +b =1,因此a =2,b =-5.(2) 由(1)得a =2,b =-5,∴ f(x)=-4sin(2x +π6)-1, g(x)=f(x +π2)=-4sin(2x +7π6)-1 =4sin(2x +π6)-1. 又由lgg(x)>0,得g(x)>1,∴ 4sin(2x +π6)-1>1,∴ sin(2x +π6)>12, ∴ 2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z , 其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g(x)单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z , ∴ g(x)的单调增区间为(k π,k π+π6],k ∈Z . ∵ 当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g(x)单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z .∴ g(x)的单调减区间为(k π+π6,k π+π3),k ∈Z . 综上,g(x)的递增区间为(k π,k π+π6](k ∈Z );递减区间为(kπ+π6,k π+π3)(k ∈Z ).12. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0,ω>0,0<φ<π2)的周期为π,且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3,-3. (1) 求f(x)的解析式;(2) 求函数y =f(x)+f ⎝⎛⎭⎫x +π4的最大值及对应x 的值. 解:(1) 由2πω=π,得ω=2. 由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,-3,得A =3. 且2×2π3+φ=3π2+2k π(k ∈Z ),0<φ<π2,∴ φ=π6. ∴ f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6. (2) y =f(x)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4 =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4+π6 =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6 =32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +5π12, ∴ y max =3 2.此时,2x +5π12=2k π+π2,x =k π+π24,k ∈Z . 13. 函数f(x)=6cos 2ωx 2+3sin ωx -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且△ABC 为正三角形.(1) 求ω的值及函数f(x)的值域;(2) 若f(x 0)=835,且x 0∈⎝⎛⎭⎫-103,23,求f(x 0+1)的值. 解:(1) 由已知可得f(x)=6cos 2ωx 2+3sin ωx -3=3cos ωx +3sin ωx =23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π3, 又由于正三角形ABC 的高为23,则BC =4,所以函数f(x)的周期T =4×2=8,即2πω=8,即ω=π4,所以函数f(x)的值域为[-23,23]. (2) 因为f(x 0)=835,由(1)有f(x 0)=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3=835,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04+π3=45.由x 0∈⎝⎛⎭⎫-103,23得πx 04+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3=1-⎝⎛⎭⎫452=35. 又f(x 0+1)=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π4+π3 =23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3+π4 =23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3cos π4+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3sin π4 =23⎝⎛⎭⎫45×22+35×22=765.薄雾浓云愁永昼,瑞脑消金兽。
【创新设计】2015-2016学年高中数学人教A版必修2分层训练2.1.1 平面
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面一、基础达标1.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是()①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.A.0 B.1C.2 D.3答案 A解析①不正确,如a∩α=A;②不正确,∵“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A∉a,a⊂α,但A∈α;④不正确,“A⊂α”表述错误.2.(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是() A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析A.不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B.是平面的基本性质公理;C.是平面的基本性质公理;D.是平面的基本性质公理.3.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是() A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合答案 C解析∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β=A的写法错误.4.空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中() A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线答案 B解析如图(1)(2)所示,A、C、D均不正确,只有B正确,如图(1)中A、B、D不共线.5.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.答案∈解析因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.6.平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,点P∈β,且P∉l,又MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ=________.答案直线PR解析如图,MN⊂γ,R∈MN,∴R∈γ.又R∈l,∴R∈β.又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.7.已知△ABC在平面α外,直线AB∩α=P,直线AC∩α=R,直线BC∩α=Q,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.证明∵直线AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.则由公理3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.故P,Q,R三点共线于平面ABC与平面α的交线.二、能力提升8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面答案 D解析在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,∴选项A,B,C均正确,D不正确.9.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.答案共线解析∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.∵l∩α=O,∴O∈α.又∵O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D三点共线.10.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为A1A的中点,求证:(1)E,F,D1,C四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明(1)分别连接EF,A1B,D1C.∵E,F分别是AB和AA1的中点,∴EF綉12A1B.又A1D1綉B1C1綉BC,∴四边形A1D1CB为平行四边形.∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.∴EF与CD1确定一个平面,∴E,F,D1,C四点共面.(2)∵EF綉12CD1,∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE=P,如图.∵D1F⊂平面AA1D1D,P∈D1F,∴P∈平面AA1D1D.又CE⊂平面ABCD,P∈EC,∴P∈平面ABCD.∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.又平面ABCD∩平面AA1D1D=AD,∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点.三、探究与创新12.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,∵E∈AC,AC⊂平面SAC,∴E∈平面SAC.同理,可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD 和平面SAC的交线.13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.解如图,设A1C1∩B1D1=O1.∵O1∈A1C1,A1C1⊂平面ACC1A1,∴O1∈平面ACC1A1.又∵O1∈B1D1,B1D1⊂平面AB1D1,∴O1∈平面AB1D1.∴O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.而点A显然也是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.连接AO1,根据公理3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.。
2015届高考数学第二轮高效精练20
第26讲 矩阵与变换1. 已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0,点A(1,0)在矩阵M 对应变换作用下变为A′(1,2),求矩阵M 的逆矩阵M -1.解:∵ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,∴ a =1,b =2, ∴ M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0,∴ -1102M =11-2éùêúêúêúêúêúúêûë 2. 已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 566不存在逆矩阵,求实数x 的值及矩阵M 的特征值. 解:由题意,矩阵M 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 566=0,解得x =5, 矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤5566的特征多项式 f(λ)=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ-5-5-6λ-6=(λ-5)(λ-6)-(-5)×(-6). 令f(λ)=0并化简得λ2-11λ=0,解得λ=0或λ=11,所以矩阵M 的特征值为0和11.3. 已知,点A 在变换T :⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +2y y 作用后,再绕原点逆时针旋转90°,得到点B.若点B 的坐标为(-3,4),求点A 的坐标.解:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 2. 设A(a ,b),则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3 4,得⎩⎪⎨⎪⎧-b =-3,a +2b =4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a =-2b =3,即A(-2,3). 4. 设矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a >0,b >0),若曲线C :x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′:x 24+y 2=1,求a +b 的值. 解:设曲线C :x 2+y 2=1上任意一点P(x ,y)在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1,y 1),则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1,即⎩⎪⎨⎪⎧ax =x 1,by =y 1.又点P 1(x 1,y 1)在曲线C′:x 24+y 2=1上, 所以x 214+y 21=1,则a 2x 24+b 2y 2=1为曲线C 的方程. 又曲线C 的方程为x 2+y 2=1,故a 2=4,b 2=1.因为a >0,b >0,所以a +b =3.5. 已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤21-12,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-201,直线l :x +y +2=0先经过矩阵B 变换,再经过矩阵A 变换得到直线l′,试求l′的方程.解:AB =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2-3-1 4,设直线l 上任意一点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 经两次变换后得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2-3-1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y =x′,-x +4y =y′,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x =4x′+3y′5,y =x′+2y′5.∵ x +y +2=0, ∴ 4x′+3y′5+x′+2y′5+2=0, ∴ x ′+y′+2=0,即l′的方程是 x +y +2=0.6. 已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1对应的变换将点A(1,1)变为A ′(0,2),将曲线C :xy =1变为曲线C′.(1) 求实数a 、b 的值;(2) 求曲线C′的方程.解:(1) 由题知,⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤02,即⎩⎪⎨⎪⎧1+a =0,b +1=2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1. (2) 设P′(x ,y)是曲线C′上任意一点,P ′由曲线C 上的点P(x 0,y 0)经矩阵M 所对应的变换得到,所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x 0-y 0=x ,x 0+y 0=y , 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=y +x 2,y 0=y -x 2. 因为x 0y 0=1,所以y +x 2·y -x 2=1,即y 24-x 24=1. 即曲线C′的方程为y 24-x 24=1.薄雾浓云愁永昼,瑞脑消金兽。
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练2 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练2理(含最新原创题,含解析)1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设向量m =(a ,c ),n =(cos C ,cos A ). (1)若m ∥n ,c =3a ,求角A ;(2)若m ·n =3b sin B ,cos A =45,求cos C 的值.解 (1)∵m ∥n ,∴a cos A =c cos C . 由正弦定理得sin A cos A =sin C cos C , 化简得sin 2A =sin 2C .∵A ,C ∈(0,π),∴2A =2C (舍)或2A +2C =π, ∴A +C =π2,∴B =π2,在Rt △ABC 中,tan A =ac =33,A =π6. (2)∵m ·n =3b cos B ,∴a cos C +c cos A =3b sin B . 由正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =3sin 2B , 从而sin(A +C )=3sin 2B .∵A +B +C =π,∴sin(A +C )=sin B ,从而sin B =13,∵cos A =45>0,A ∈(0,π),∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,sin A =35.∵sin A >sin B ,∴a >b ,从而A >B ,B 为锐角, cos B =223.∴cos C =-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B =-45×223+35×13=3-8215.2.如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E ,F 分别为BB 1,AC 的中点. (1)求证:BF ∥平面A 1EC ; (2)求证:平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.证明 (1)连接AC 1并交A 1C 于点O ,连接OE ,OF ,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,四边形ACC 1A 1为平行四边形,所以OA =OC 1. 又因为F 为AC 的中点,所以OF ∥CC 1且OF =12CC 1.因为E 为BB 1的中点,所以BE ∥CC 1且BE =12CC 1,所以BE ∥OF 且BE =OF ,所以四边形BEOF 是平行四边形,所以BF ∥OE . 又BF ⊄平面A 1EC ,OE ⊂平面A 1EC ,所以BF ∥平面A 1EC . (2)由(1)知BF ∥OE ,因为AB =CB ,F 为AC 的中点,所以BF ⊥AC ,所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ,而BF ⊂底面ABC , 所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE 得OE ⊥AA 1,而AA 1,AC ⊂平面ACC 1A 1,且AA 1∩AC =A , 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ,所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3. 若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x 26+y 23=1,A 1,A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点.椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1,A 2的任意一点,过P 作PQ ⊥x 轴,垂足为Q ,线段PQ 交椭圆C 1于点H .求证:H 为△PA 1A 2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点) (1)解 由题意可知A 1(-6,0),A 2(6,0), 椭圆C 1的离心率e =22. 设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),则b = 6.因为b a=1-e 2=22,所以a =2 3. 所以椭圆C 2的方程为y 212+x 26=1.(2)证明 设P (x 0,y 0),y 0≠0,则y 2012+x 206=1,从而y 20=12-2x 20.将x =x 0代入x 26+y 23=1得x 206+y 23=1,从而y 2=3-x 202=y 204,即y =±y 02.因为P ,H 在x 轴的同侧,所以取y =y 02,即H (x 0,y 02).所以kA 1P ·kA 2H =y 0x 0-6·12y 0x 0+6=y 20x 20-=12-2x 2x 20-=-1,从而A 1P ⊥A 2H .又因为PH ⊥A 1A 2,所以H 为△PA 1A 2的垂心.4.如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池,其余的地方种花,若BC =a ,∠ABC =θ,设△ABC 的面积为S 1,正方形的PQRS 面积为S 2.(1)用a ,θ表示S 1和S 2;(2)当a 固定,θ变化时,求S 1S 2的最小值. 解 (1)S 1=12a sin θ·a cos θ=14a 2sin 2θ,设正方形边长为x ,则BQ =xtan θ,RC =x tan θ,∴xtan θ+x tan θ+x =a ,∴x =a1tan θ+tan θ+1=a sin 2θ2+sin 2θ, S 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin 2θ2+sin 2θ2=a 2sin 22θ4+sin 22θ+4sin 2θ, (2)当a 固定,θ变化时,S 1S 2=14⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin 2θ+sin 2θ+4,令sin 2θ=t ,则S 1S 2=14⎝ ⎛⎭⎪⎫4t +t +4(0<t ≤1),利用单调性求得t =1时,⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2min =94.5.已知函数f (x )=a ln x -1x(a 为常数).(1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线x +2y -5=0垂直,求a 的值; (2)求函数f (x )的单调区间;(3)当x ≥1时,f (x )≤2x -3恒成立,求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x >0},f ′(x )=ax +1x 2. 又曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线x +2y -5=0垂直, 所以f ′(1)=a +1=2,即a =1. (2)由f ′(x )=ax +1x 2(x >0),当a ≥0时, f ′(x )>0恒成立,所以f (x )的单调增区间为(0,+∞).当a <0时,由f ′(x )>0,得0<x <-1a,所以f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-1a ;由f ′(x )<0,得x >-1a,所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a,+∞.(3)设g (x )=a ln x -1x-2x +3,x ∈[1,+∞),则g ′(x )=a x +1x 2-2=-2x 2+ax +1x 2.令h (x )=-2x 2+ax +1,考虑到h (0)=1>0, 当a ≤1时,h (x )=-2x 2+ax +1的对称轴x =a4<1,h (x )在[1,+∞)上是减函数,h (x )≤h (1)=a -1≤0,所以g ′(x )≤0,g (x )在[1,+∞)上是减函数, 所以g (x )≤g (1)=0,即f (x )≤2x 2-3恒成立. 当a >1时,令h (x )=-2x 2+ax +1=0, 得x 1=a +a 2+84>1,x 2=a -a 2+84<0,当x ∈[1,x 1)时,h (x )>0,即g ′(x )>0,g (x )在[1,x 1)上是增函数;当x ∈(x 1,+∞)时,h (x )<0,即g ′(x )<0,g (x )在(x 1,+∞)上是减函数.所以0=g (1)<g (x 1),即f (x 1)>2x 1-3,不满足题意. 综上,a 的取值范围为a ≤1.6.已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,S n 为数列{a n }的前n 项和.(1)若数列{a n }是等差数列,且对任意正整数n 都有S n 3=(S n )3成立,求数列{a n }的通项公式;(2)对任意正整数n ,从集合{a 1,a 2,…,a n }中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与a 1,a 2,…,a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求a 1,a 2的值; (ⅱ)求数列{a n }的通项公式.解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ,因为S 3n =(S n )3对任意正整数n 都成立,所以分别取n =1,n =2时,则有:⎩⎪⎨⎪⎧a 1=a 31,8a 1+28d =a 1+d3.因为数列{a n }的各项均为正整数,所以d ≥0. 可得a 1=1,d =0或d =2.当a 1=1,d =0时,a n =1,S n 3=(S n )3成立; 当a 1=1,d =2时,S n =n 2,所以S n 3=(S n )3.因此,共有2个无穷等差数列满足条件,通项公式为a n =1或a n =2n -1. (2)(ⅰ)记A n ={1,2,…,S n },显然a 1=S 1=1.对于S 2=a 1+a 2=1+a 2,有A 2={1,2,…,S n }={1,a 2,1+a 2,|1-a 2|}={1,2,3,4}, 故1+a 2=4,所以a 2=3.(ⅱ)由题意可知,集合{a 1,a 2,…,a n }按上述规则,共产生S n 个正整数.而集合{a 1,a 2,…,a n ,a n +1}按上述规则产生的S n +1个正整数中,除1,2,…,S n 这S n个正整数外,还有a n -1,a n +1+i ,|a n +1-i |(i =1,2,…,S n ),共2S n +1个数. 所以,S n +1=S n +(2S n +1)=3S n +1.又S n +1+12=3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n +12,所以S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1+12·3n -1-12=12·3n -12.当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =12·3n -12-⎝ ⎛⎭⎪⎫12·3n -1-12=3n -1.而a 1=1也满足a n =3n -1.所以,数列{a n }的通项公式是a n =3n -1.。
2015届高考数学第二轮高效精练32
第3讲 基本初等函数(对应学生用书(文)、(理)7~9页)1. 掌握指数、对数的运算.2. 理解指数函数、对数函数的概念、图象和性质.3. 能利用基本初等函数的性质解决某些简单实际问题.4. 了解幂函数的定义,熟悉常见幂函数的图形与性质.1. 函数y =log a (x +2)+1(a>0,a ≠1)的图象经过的定点坐标为________.答案:(-1,1)2. 若函数y =(a 2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是________. 答案:(-2,-1)∪(1,2)解析:由y =(a 2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,得0<a 2-1<1,∴ 1<a 2<2,即1<a<2或-2<a<-1.3. 若函数f(x)=4x -k·2x +k +3有唯一零点,则实数k 的取值范围是________.答案:(-∞,-3)∪{6}解析:设t =2x ,t >0,则关于x 的方程4x -k·2x +k +3=0转化为t 2-kt +k +3=0,设f(t)=t 2-kt +k +3,原方程只有一个根,则换元以后的方程有一个正根,∴ f(0)<0,或Δ=0,∴ k <-3或k =6.4. 定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =|log 0.5x|的定义域为[a ,b],值域为[0,2],则区间[a ,b]的长度的最大值为________.答案:154解析:由函数y =|log 0.5x|得x =1时y =0;x =4或x =14时y =2,∴ 4-14=154.题型一 函数解析式及性质讨论例1 函数f(x)=ax 2+1bx +c(a 、b 、c ∈Z )是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3.(1) 求a 、b 、c 的值;(2) 当x<0时,讨论f(x)的单调性.解:(1)函数f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)恒成立,∴ c =0.又由f(1)=2,f(2)<3,得⎩⎨⎧a =2b -1,4a +12b <3,0<b <32,b ∈Z, ∴ b =1,a =1. (2) f(x)=x 2+1x =x +1x ,函数在(-∞,-1)上递增,在(-1,0)上递减.已知函数f(x)=a -22x +1(a ∈R ).(1) 试判断f(x)的单调性,并证明你的结论; (2) 若f(x)为定义域上的奇函数,求:① 函数f(x)的值域;② 满足f(ax)<f(2a -x 2)的x 的取值范围.解:(1) 函数f(x)为定义域(-∞,+∞),且f(x)=a -22x +1,任取x 1,x 2∈(-∞,+∞),且x 1<x 2,则f(x 2)-f(x 1)=a -22x 2+1-a +22x 1+1=2(2x 2-2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1),∵ y =2x 在R 上单调递增,且x 1<x 2,∴ 0<2x 1<2x 2,2x 2-2x 1>0,2x 1+1>0,2x 2+1>0, ∴ f(x 2)-f(x 1)>0,即f(x 2)>f(x 1), ∴ f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数. (2) ∵ f(x)是定义域上的奇函数, ∴ f(-x)=-f(x),即a -22-x +1+⎝⎛⎭⎪⎫a -22x +1=0对任意实数x 恒成立,化简得2a -⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x 2x +1+22x +1=0, ∴ 2a -2=0,即a =1,① 由a =1得f(x)=1-22x +1,∵ 2x +1>1,∴ 0<12x +1<1,∴ -2<-22x +1<0,∴ -1<1-22x +1<1,故函数f(x)的值域为(-1,1).② 由a =1得f(x)<f(2-x 2),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴ x<2-x 2,解得-2<x<1. 故x 的取值范围为(-2,1). 题型二 函数中的恒成立问题例2 设f(x)=log 21-axx -1-x 为奇函数,a 为常数.(1) 求a 的值;(2) 判断并证明函数f(x)在x ∈(1,+∞)时的单调性;(3) 若对于区间[2,3]上的每一个x 值,不等式f(x)>2x +m 恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1) 由条件得f(-x)+f(x)=0,∴ log 21+ax-x -1+log 21-axx -1=0,化简得(a 2-1)x 2=0,因此a 2-1=0,a =±1,但a =1不符合题意,因此a =-1.(2) 判断函数f(x)在x ∈(1,+∞)上为单调减函数; 证明如下:设1<x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=log 2x 1+1x 1-1-x 1-log 2x 2+1x 2-1+x 2=log 2x 1+1x 1-1·x 2-1x 2+1+(x 2-x 1),∵ 1<x 1<x 2,∴ x 2-x 1>0,x 1±1>0,x 2±1>0.∵ (x 1+1)(x 2-1)-(x 1-1)(x 2+1)=x 1x 2-x 1+x 2-1-x 1x 2-x 1+x 2+1=2(x 2-x 1)>0, 又(x 1+1)(x 2-1)>0,(x 1-1)(x 2+1)>0, ∴ log 2x 1+1x 1-1·x 2-1x 2+1>0,∴ f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),∴ 函数f(x)在x ∈(1,+∞)上为单调减函数. (3) 不等式为m<f(x)-2x 恒成立, ∴ m<[f(x)-2x ]min .∵ f(x)在 x ∈[2,3]上单调递减,2x 在x ∈[2,3]上单调递增, ∴ f(x)-2x 在 x ∈[2,3]上单调递减,当x =3时取得最小值为-10,∴ m ∈(-∞,-10).已知定义域为R 的函数f(x)=-2x +b2x +1+a是奇函数.(1) 求a 、b 的值;(2) 若对任意的t ∈R ,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0恒成立,求实数k 的取值范围. 解: (1) ∵ f(x)是定义域为R 的奇函数, ∴ f(0)=0,即b -1a +2=0b =1, ∴ f(x)=1-2xa +2x +1.又由f(1)= -f(-1),知1-2a +4=-1-12a +1a =2.经检验符合题意,∴ a =2,b =1.(2) (解法1)由(1)知f(x)=1-2x2+2x +1=-12+12x +1,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又f(x)是奇函数,从而不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0等价于f(t 2-2t)<-f(2t 2-k)=f(k -2t 2).因为f(x)为减函数,由上式推得t 2-2t >k -2t 2,即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,从而判别式Δ=4+12k <0k <-13.(解法2)由(1)知f(x)=1-2x 2+2x +1.又由题设条件得1-2t 2-2t 2+2t 2-2t +1+1-22t 2-k 2+22t 2-k +1<0,即(22t 2-k +1+2)(1-2t 2-2t)+(2t 2-2t +1+2)(1-22t 2-k)<0,整理得23t 2-2t -k >1.因底数2>1,故 3t 2-2t -k >0对一切t ∈R 均成立,从而判别式Δ=4+12k <0k <-13. 题型三 函数中的存在性问题例3 已知函数f(x)=|x -m|和函数g(x)=x|x -m|+m 2-7m.(1) 若方程f(x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数m 的取值范围;(2) 若对任意x 1∈(-∞,4]均存在x 2∈[3,+∞),使得f(x 1)>g(x 2)成立,求实数m 的取值范围.解:(1) 方程f(x)=|m|,即|x -m|=|m|.此方程在x ∈R 时的解为x =0或x =2m.要使方程|x -m|=|m|在x ∈[-4,+∞)上有两个不同的解,则2m ≥-4且2m ≠0.所以m 的取值范围是m ≥-2且m ≠0.(2) 原命题等价于:对于任意x 1∈(-∞,4],任意x 2∈[3,+∞),f(x 1)min >g(x 2)min .对于任意x 1∈(-∞,4],f(x 1)min =⎩⎪⎨⎪⎧0(m ≤4),m -4(m>4),对于任意x 2∈[3,+∞),g(x 2)min =⎩⎪⎨⎪⎧m 2-10m +9(m<3),m 2-7m (m ≥3).① 当m <3时,0>m 2-10m +9,解得1<m <3. ② 当3≤m ≤4时,0>m 2-7m ,解得3≤m ≤4. ③ 当m>4时,m -4>m 2-7m ,解得4<m <4+2 3. 综上所述,m 的取值范围为1<m <4+2 3.已知a>0,且a ≠1,函数f(x)=log a (x +1),g(x)=log a 11-x,记F(x)=2f(x)+g(x).(1) 求函数F(x)的定义域D 及其零点;(2) 若关于x 的方程F(x)-m =0在区间[0,1)内有解,求实数m 的取值范围.解:(1) F(x)=2f(x)+g(x)=2log a (x +1)+log a 11-x(a>0且a ≠1),由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x>0,解得-1<x<1, 所以函数F(x)的定义域为(-1,1).令F(x)=0,则2log a (x +1)+log a 11-x =0 (*).方程变为log a (x +1)2=log a (1-x), 即(x +1)2=1-x ,即x 2+3x =0,解得x 1=0,x 2=-3,经检验x =-3是方程(*)的增根,所以方程(*)的解为x =0,即函数F(x)的零点为0.(2) m =2log a (x +1)+log a 11-x (0≤x<1)=log a x 2+2x +11-x=log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x +41-x -4, a m =1-x +41-x -4,设1-x =t ∈(0,1],函数y =t +4t 在区间(0,1]上是减函数,当t =1时,此时x =0,y min =5,所以a m ≥1, ① 若a>1,则m ≥0,方程有解;② 若0<a<1,则m ≤0,方程有解.题型四 函数与方程、不等式综合应用问题例4 已知函数g(x)=ax 2-2ax +1+b(a ≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=g (x )x.(1) 求a 、b 的值; (2) 不等式f(2x )-k·2x ≥0在x ∈[-1,1]上恒成立,求实数k 的取值范围;(3) 方程f(|2x -1|)+k ⎝⎛⎭⎫2|2x -1|-3=0有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.解:(1) g(x)=a(x -1)2+1+b -a ,当a >0时,g(x)在[2,3]上为增函数,故⎩⎪⎨⎪⎧g (3)=4,g (2)=1⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a +1+b =4,4a -4a +1+b =1⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0.当a<0时,g(x)在[2,3]上为减函数. 故⎩⎪⎨⎪⎧g (3)=1,g (2)=4⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a +1+b =1,4a -4a +1+b =4⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3.∵ b <1,∴ a =1,b =0,即g(x)=x 2-2x +1,f(x)=x +1x-2.(2) 不等式f(2x )-k·2x ≥0化为2x +12x -2≥k·2x ,1+⎝⎛⎭⎫12x 2-2·12x ≥k ,令12x =t ,k ≤t 2-2t +1.∵ x ∈[-1,1],∴ t ∈⎣⎡⎦⎤12,2.记φ(t)=t 2-2t +1, ∴ φ(t)min =0,∴ k ≤0.(3) 由f(|2x-1|)+k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x -1|-3=0,得|2x -1|+1+2k|2x -1|-(2+3k)=0, |2x -1|2-(2+3k)|2x -1|+(1+2k)=0,|2x -1|≠0,令|2x-1|=t, 则方程化为t 2-(2+3k)t +(1+2k)=0(t ≠0).∵ 方程|2x-1|+1+2k |2x -1|-(2+3k)=0有三个不同的实数解,∴ 由t =|2x -1|的图象(如下图)知,t 2-(2+3k)t +(1+2k)=0有两个根t 1、t 2,且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1,t 2=1,记φ(t)=t 2-(2+3k)t +(1+2k),则⎩⎪⎨⎪⎧φ(0)=1+2k >0,φ(1)=-k <0或⎩⎨⎧φ(0)=1+2k >0,φ(1)=-k =0,0<2+3k2<1.∴ k >0.已知函数g(x)=mx 2-2mx +1+n(n ≥0)在[1,2]上有最大值1和最小值0.设f(x)=g (x )x(e 为自然对数的底数).(1) 求m 、n 的值;(2) 若不等式f(log 2x)-2klog 2x ≥0在x ∈[2,4]上有解,求实数k 的取值范围;(3) 若方程f(|e x -1|)+2k|e x -1|-3k =0有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.解:(1) g(x)=m(x -1)2+1+n -m ,当m>0时,g(x)在[1,2]上是增函数,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)=0,g (2)=1,即⎩⎪⎨⎪⎧1+n -m =0,1+n =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =0.当m =0时, g(x)=1+n ,无最大值和最小值;当m<0时, g(x)在[1,2]上是减函数,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)=1,g (2)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧1+n -m =1,1+n =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1,∵ n ≥0,∴n =-1舍去.综上,m 、n 的值分别为1、0.(2) 由(1)知f(x)=x +1x -2,∴ f(log 2x)-2klog 2x ≥0在x ∈[2,4]上有解等价于log 2x +1log 2x-2≥2klog 2x 在x ∈[2,4]上有解, 即2k ≤1()log 2x 2-2log 2x +1在x ∈[2,4]上有解.令t =1log 2x,则2k ≤t 2-2t +1,∵ x ∈[2,4],∴ t ∈⎣⎡⎦⎤12,1.记φ(t)=t 2-2t +1,∵ 12≤t ≤1,∴ φ(t)max =14,∴ k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,18. (3) 原方程可化为|e x -1|2-(3k +2)|e x -1|+(2k +1)=0.令|e x -1|=t ,则t ∈(0,+∞),由题意知t 2-(3k +2)t +2k +1=0有两个不同的实数解t 1、t 2,其中0<t 1<1,t 2>1或0<t 1<1,t 2=1.记h(t)=t 2-(3k +2)t +2k +1,则⎩⎪⎨⎪⎧2k +1>0,h (1)=-k<0 或⎩⎨⎧2k +1>0,h (1)=-k<0,0<3k +22<1,解得k>0,∴ 实数k 的取值范围是(0,+∞).1. (2013·全国卷)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x -2,则f(-1)=________.答案:-12. (2014·山东卷)函数f(x)=1(log 2x )2-1的定义域为_________.答案:⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) 解析:由已知得(log 2x)2-1>0,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.3. (2013·天津卷)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1),则a 的取值范围是____________.答案:⎣⎡⎦⎤12,2解析:f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)即为2f(log 2a)≤2f(1),|log 2a|≤1,所以12≤a ≤2.4. 已知f(x)=m(x -2m)(x +m +3),g(x)=2x -2.若x ∈R ,f(x)<0或g(x)<0,则实数m 的取值范围是________.答案:(-4,0)解析:根据g(x)=2x -2<0x<1,由于题目中条件的限制,导致g(x)在x ≥1时必须是f(x)<0,当m =0时,f(x)=0,不能做到g(x)在x ≥1时,f(x)<0,所以舍去,因此f(x)作为二次函数开口只能向下,故m<0,且此时f(x)的2个根为x 1=2m ,x 2=-m -3,为保证条件成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧x 1=2m<1,x 2=-m -3<1,⎩⎪⎨⎪⎧m<12,m>-4和大前提m<0取交集结果为-4<m<0.5. (2013·上海卷)甲厂以x kg/h 的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10),每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x +1-3x 元. (1) 要使生产该产品2 h 获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围;(2) 要使生产900 kg 该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.解:(1) 根据题意,200⎝⎛⎭⎫5x +1-3x ≥3 0005x -14-3x≥0,又1≤x ≤10,解得3≤x ≤10. (2) 设利润为y 元,则y =900x ·100⎝⎛⎭⎫5x +1-3x =9×104⎣⎡⎦⎤-3⎝⎛⎭⎫1x -162+6112,故x =6时,y max =457 500元.6. 设函数f(x)=1+(1+a)x -x 2-x 3,其中a>0. (1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2) 当x ∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值. 解:(1) f(x)的定义域为(-∞,+∞), f ′(x)=1+a -2x -3x 2, 令f′(x)=0得x 1=-1-4+3a 3,x 2=-1+4+3a3,x 1<x 2,∴ f ′(x)=-3(x -x 1)(x -x 2),当x<x 1或x>x 2时f′(x)<0;当x 1<x<x 2时f ′(x)>0,故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和(-1+4+3a 3,+∞)内单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增. (2) ∵ a>0,∴ x 1<0,x 2>0,① 当a ≥4时x 2≥1,由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增, ∴ f(x)在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值. ② 当4>a>0时,x 2<1,由(1)知f(x)在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减, ∴ f(x)在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a ,∴ 当1>a>0时,f(x)在x =1处取得最小值; 当a =1时,f(x)在x =0和x =1处同时取得最小值; 当4>a>1时,f(x)在x =0取得最小值.(本题模拟高考评分标准,满分14分) (2014·南通一模)已知a 为实常数,y =f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x -a 3x2+1.(1) 求函数f(x)的单调区间;(2) 若f(x)≥a -1对一切x >0成立,求a 的取值范围.解:(1) 由奇函数的对称性可知,我们只要讨论f(x)在区间(-∞,0)上的单调性即可.f ′(x)=2+2a 3x 3,令f ′(x)=0,得x =-a.(2分)① 当a ≤0时,f ′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,0)上单调递增;(4分)② 当a >0时,x ∈(-∞,-a ),f ′(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-a )上单调递增. x ∈(-a ,0),f ′(x)<0,所以f(x)在区间(-a ,0)上单调递减.(6分)综上所述:当a ≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);当a >0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞),单调减区间为(-a ,0),(0,a).(7分)(2) 因为f(x)为奇函数,所以当x >0时,f(x)=-f(-x)=-⎝⎛⎭⎫-2 x -a 3x 2+1=2x +a 3x 2-1.(9分)① 当a <0时,要使f(x)≥a -1对一切x >0成立,即2x +a 3x2≥a 对一切x >0成立.而当x =-a2>0时,有-a +4a ≥a ,所以a ≥0,则与a <0矛盾.所以a <0不成立.(11分)② 当a =0时,f(x)=2x -1>-1=a -1对一切x >0成立,故a =0满足题设要求.(12分)③ 当a >0时,由(1)可知f(x)在(0,a)上是减函数,在(a ,+∞)上是增函数. 所以f min (x)=f(a)=3a -1>a -1,所以a >0时也满足题设要求.(13分)综上所述,a 的取值范围是[0,+∞).(14分)1. 已知定义在R 上的奇函数f(x),满足f(x -4)=-f(x)且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________.答案:-8解析:因为定义在R 上的奇函数,满足f(x -4)=-f(x),所以f(x -4)=f(-x).又f(x)是奇函数,函数图象关于直线x =2对称且f(0)=0,由f(x -4)=-f(x)知f(x -8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,不妨设x 1<x 2<x 3<x 4,由对称性知x 1+x 2=-12,x 3+x 4=4,所以x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8.2. 已知函数f(x)=x 3-(k 2-k +1)x 2+5x -2,g(x)=k 2x 2+kx +1,其中k ∈R . (1) 设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k 的取值范围;(2) 设函数q(x)=⎩⎪⎨⎪⎧g (x ),x ≥0,f (x ),x <0.是否存在k ,对任意给定的非零实数x 1,存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1),使得q ′(x 2)=q′(x 1)成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.解: (1)p(x)=f(x)+g(x)=x 3+(k -1)x 2+(k +5)x -1,p ′(x)=3x 2+2(k -1)x +(k +5),因为p(x)在区间(0,3)上不单调,所以p′(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根,由p ′(x)=0得k(2x +1)=-(3x 2-2x +5),∴ k =-(3x 2-2x +5)2x +1=-34⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x +1)+92x +1-103,令t =2x +1,有t ∈(1,7),记h(t)=t +9t ,则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所以有h(t)∈[6,10),于是(2x +1)+92x +1∈[6,10),得k ∈(-5,-2],而当k =-2时有p ′(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x =1,故舍去,所以k ∈(-5,-2).(2) 当x <0时,有q′(x)=f′(x)=3x 2-2(k 2-k +1)x +5;当x >0时,有q′(x)=g′(x)=2k 2x +k.因为当k =0时不合题意,因此k ≠0,下面讨论k ≠0的情形,记A =(k ,+∞),B =(5,+∞)①,当x 1>0时,q ′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立,只能x 2<0且AB ,因此有k ≥5②,当x 1<0时,q ′(x)在(-∞,0)上单调递减,所以要使q′(x 2)=q ′(x 1)成立,只能x 2>0且B A ,因此k ≤5,综合①②k =5;当k =5时A =B ,则x 1<0,q ′(x 1)∈B =A ,即x 2>0,使得q′(x 2)=q′(x 1)成立.因为q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x 2的值是唯一的;同理,x 1<0,即存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1),使q ′(x 2)=q′(x 1)成立,所以k =5满足题意.请使用“课后训练·第3讲”活页练习,及时查漏补缺!薄雾浓云愁永昼,瑞脑消金兽。
【创新设计】(江西专用)2015高考数学二轮复习 专题训练 规范练二 数列 理
规范练二数列1.已知n ∈N *,数列{d n }满足d n =3+-n2,数列{a n }满足a n =d 1+d 2+d 3+……+d 2n ;数列{b n }为公比大于1的等比数列,且b 2,b 4为方程x 2-20x +64=0的两个不相等的实根.(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式;(2)将数列{b n }中的第a 1项,第a 2项,第a 3项,……,第a n 项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n },求数列{c n }的前2 015项和. 解 (1)∵d n =3+-n2,∴a n =d 1+d 2+d 3+…+d 2n =3×2n2=3n . 因为b 2,b 4为方程x 2-20x +64=0的两个不相等的实数根. 所以b 2+b 4=20,b 2·b 4=64, 解得:b 2=4,b 4=16,所以:b n =2n.(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列,首项分别是b 1=2,b 2=4,公比均是8,T 2 015=(c 1+c 3+c 5+…+c 2 015)+(c 2+c 4+c 6+…+c 2 014).=-81 0081-8+-81 0071-8=20×81 007-67.2.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +n 2-1,数列{b n }满足3nb n +1=(n +1)a n +1-na n ,且b 1=3.(1)求a n ,b n ;(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和,求T n ,并求满足T n <7时n 的最大值. 解 (1)n ≥2时,S n =a n +n 2-1,S n -1=a n -1+(n -1)2-1, 两式相减,得a n =a n -a n -1+2n -1, ∴a n -1=2n -1. ∴a n =2n +1,∴3n·b n +1=(n +1)(2n +3)-n (2n +1)=4n +3,∴b n +1=4n +33n ,∴当n ≥2时,b n =4n -13n -1,又b 1=3适合上式,∴b n =4n -13n -1.(2)由(1)知,b n =4n -13n -1,∴T n =31+73+1132+…+4n -53n -2+4n -13n -1, ①13T n =33+732+1133+…+4n -53n -1+4n -13n , ② ①-②,得23T n =3+43+432+…+43n -1-4n -13n=3+4·13-13n -11-13-4n -13n =5-4n +53n . ∴T n =152-4n +52·3n -1.T n -T n +1=n ++52·3n-4n +52·3n -1=-n +3n<0.∴T n <T n +1,即{T n }为递增数列. 又T 3=599<7,T 4=649>7,∴T n <7时,n 的最大值为3.3.数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1(n ∈N *),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9.(1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n =b n +2a n +2(n ∈N *),求证:c n +1<c n ≤13. (1)解 由a n +1=2S n +1, ① 得a n =2S n -1+1(n ≥2),②①-②得a n +1-a n =2(S n -S n -1)=2a n ∴a n +1=3a n ,即a n +1a n=3, 又当n =1时,a 2a 1=3也符合上式,∴a n =3n -1.由数列{b n }为等差数列,b 3=3,b 5=9,设{b n }公差为d , ∴b 5-b 3=9-3=2d ,∴d =3, ∴b n =3n -6.(2)证明 由(1)知:a n +2=3n +1,b n +2=3n ,所以c n =3n 3=n3,所以c n +1-c n =1-2n3n +1<0,∴c n +1<c n <…<c 1=13,∴c n +1<c n ≤13.4.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 5和a 7的等差中项为11,且a 2·a 5=a 1·a 14,令b n =1a n ·a n +1,数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求a n 及T n ;(2)是否存在正整数m ,n (1<m <n ),使得T 1,T m ,T n 成等比数列?若存在,求出所有的m ,n 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)因为{a n }为等差数列,设公差为d ,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5+a 7=22,a 2·a 5=a 1·a 14,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+10d =22,a 1+d a 1+4d =a 1a 1+13d ,整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d =11,d =2a 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d =2,a 1=1,所以a n =1+(n -1)×2=2n -1. 由b n =1a n ·a n +1=1n -n +=12(12n -1-12n +1) 所以T n =12(1-13+13-15+…+12n -1-12n +1)=n2n +1.(2)假设存在.由(1)知,T n =n 2n +1,所以T 1=13,T m =m 2m +1,T n =n2n +1,若T 1,T m ,T n 成等比数列,则有T 2m =T 1·T n ⇒(m 2m +1)2=13·n 2n +1⇒m 24m 2+4m +1=n 6n +3⇒4m 2+4m +1m 2=6n +3n ⇒3n =4m +1-2m2m 2,……①因为n >0,所以4m +1-2m 2>0⇒1-62<m <1+62,因为m ∈N *,m >1,∴m =2,当m =2时,带入①式,得n =12.综上,当m =2,n =12时可以使T 1,T m ,T n 成等比数列.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
规范练(二) 数列
1.已知n ∈N *
,数列{d n }满足d n =3+(-1)n 2,数列{a n }满足a n =d 1+d 2+d 3+……+d 2n ;数列{b n }为公比大于1的等比数列,且b 2,b 4为方程x 2-20x +64=0的两个不相等的实根.
(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式;
(2)将数列{b n }中的第a 1项,第a 2项,第a 3项,……,第a n 项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n },求数列{c n }的前2 015项和.
解 (1)∵d n =3+(-1)n 2
, ∴a n =d 1+d 2+d 3+…+d 2n =3×2n 2=3n .
因为b 2,b 4为方程x 2-20x +64=0的两个不相等的实数根. 所以b 2+b 4=20,b 2·b 4=64,
解得:b 2=4,b 4=16,所以:b n =2n .
(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列,首项分别是b 1=2,b 2=4,公比均是8,
T 2 015=(c 1+c 3+c 5+…+c 2 015)+(c 2+c 4+c 6+…+c 2 014). =2×(1-81 008)1-8+4×(1-81 007)1-8
=20×81 007-67. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +n 2-1,数列{b n }满足3n b n +1=(n +1)a n +1-na n ,且b 1=3.
(1)求a n ,b n ;
(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和,求T n ,并求满足T n <7时n 的最大值. 解 (1)n ≥2时,S n =a n +n 2-1,S n -1=a n -1+(n -1)2-1, 两式相减,得a n =a n -a n -1+2n -1,
∴a n -1=2n -1.
∴a n =2n +1,。