1、直线复习

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高等数学1复习题

高等数学1（下）复习题1．求过直线12324x y z+-==和直线外一点()3,2,1A 的平面方程．2．求过点()3,1,2A -且与直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程．3．求直线121:-==zy x l 与平面01:=+--z y x π的夹角．4．求两直线1121:1+==z y x l 与11112:2-+=-=z y x l 的夹角．5．求两平面1:1=+y x π与2:2=+-z y x π的夹角．6.求过直线1x 1y 2z 3L :11---==-且平行于直线2x 2y 1z L :211+-==的平面方程．7.求直线2x 4y z 03x y 2z 90-+=⎧⎨---=⎩在平面4x-y+z=1上的投影直线的的方程．8.求过点(1,2,4)且与直线11232x y z +-==+垂直相交的直线方程．9．求下列函数的定义域：(1)z x y =-； 2(2)ln(21)z y x =-+；22(3)arccosz u x y=+．10．()sin ,z f x y x =，求,x xx z z ．11．设(),z z x y =由方程232zy xz -=所确定，求,z zx y∂∂∂∂，dz ．12．设(),z z x y =由方程2223x y z xyz ++=所确定，23u xy z =,求()1,1,1u x∂∂．13．设223z x y =+，3,sin x t y t ==，求dz dt．14．函数(),z f x y =在点()00,x y 处连续是它在该点偏导数存在的（） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件．16．已知曲空曲线Γ：23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，求曲线在()1,1,1--处的切线及法平面方程．17．求球面22256x y z ++=在()02,4,6M 的切平面及法线方程．18．求函数22u x y =-在()1,1点沿{}4,3α=-方向的方向导数．19．求2222u x y z =++在点()1,1,1P 处沿方向PO 的方向导数，其中O 为坐标原点．20．求数量场()()222,,ln 23u x y z x y z =++的梯度．21．设(),,u u x y z =有一阶连续偏导数，12,P P 为空间两点，则u 沿方向 12PP的方向导数为．A 1212PPgradu PP ⋅； B 12gradu PP ⋅ ；C 1212gradu PP gradu PP ⋅⋅ ；D 1212gradu PP gradu PP ⋅．22．求229620z x xy y x y =-++-+的极值．23．设(,,)M x y z 为平面1x y z ++=上的点，且该点到两定点(1,0,1)，(2,0,1)的距离平方之和为最小，求该点的坐标．24．设(,)f x y 为连续函数，交换下列积分的积分次序：（1）()()2111111,,xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰；（2）()()200,,a a aaxxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰；（3）()2122,xxdx f x y dy --⎰⎰；（4）()2102,yydy f x y dx ⎰⎰；（5）()()dy y x f dx dy y x f dx xx⎰⎰⎰⎰+22121121,,．25．求()6Dx y dxdy +⎰⎰，其中:,5,1D y x y x y ===围成区域．26．求()22x y Dedxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,D x y x y a ≥≥+≤．27．设Ω是由22z x y =+及22z x y =+所围．试计算2222x y e I dv x y +Ω=+⎰⎰⎰．28．求Lxds ⎰，L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围区域边界．29．已知曲线积分()()sin L yx x dx x dy x ϕϕ-+⎡⎤⎣⎦⎰与路径无关，其中()x ϕ可导，且()1ϕπ=，求()x ϕ．30．计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是221z x y =--在xoy 面上方的部分曲面的上侧．31．验证()()sin sin cos cos y y x x dx x x y y dy -++++是某函数(),u x y 的全微分，并求出该函数(),u x y ．32．计算积分()()222222Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰，式中L 是从点()0,0O 沿曲线sin y x =到点(),0A π的弧段．33．利用格林公式计算dy y x dx y x L)1()1(22++-⎰，其中L 为正向圆周：422=+y x34．利用格林公式计算dy y e dx y y e x Lx )2cos ()2sin (-+-⎰，其中L 为沿上半圆0,)(222≥=+-y a y a x 、从)0,2(a A 到)0,0(O 的段弧．35．求()22I x y dS ∑=+⎰⎰，其中222:0,01x y z z ∑+-=≤≤．36．计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为)10(22≤≤+=z y x z 之间的下侧．37．利用高斯公式计算3323(sin )()()z y x dydz e y dzdx x z dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑是上半球面224y x z --=的上侧．38．判别下列级数的敛散性：1) 12sin 5n n n π∞=∑； 2) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑；3) 11tan2n n n π∞+=∑； 4) 221(!)2n n n∞=∑．39.判别下列级数是否收敛，是否绝对收敛？ 1)1(1)21n n n ∞=-+∑； 2) 1cos32n n n n π∞=∑； 3)∑∞=--113sin 2)1(n n n n π．40．求幂级数()2ln 1nnn n x n∞=-∑的收敛域．当1x =时，是绝对收敛还是条件收敛？41．试求幂函数()12112121n n n n x n ∞+-=--∑的收敛域及和函数．42．设幂级数()01nn n a x ∞=+∑的收敛域为()4,2-，求级数()03nn n na x ∞=-∑的收敛区间．43．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是4，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是．44．试将函数411y x =-展开为x 的幂级数．45．函数()1x x e -的Maclaurin 级数中20x 的系数为．46．设周期为2π的函数()2200x f x xx ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的Fourier 级数在x π=处收敛于．47．()21010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则()f x 以2π为周期的Fourier 级数在x π=处收敛于，在2x π=收敛于．。

高考数学一轮复习直线、平面垂直的性质定理课件

[解析] 如果平面 ⊥ 平面 ,那么只有平面内垂直于交线的直线才垂直于平面 ,
故C错误.
02
研考点题型突破
题型一直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基

高考复习专题一直线运动

直线运动知识网络单元切块：按照考纲的要求，本章内容可以分成三部分，即：基本概念、匀速直线运动；匀变速直线运动；运动图象。

其中重点是匀变速直线运动的规律和应用。

难点是对基本概念的理解和对研究方法的把握。

基本概念匀速直线运动知识点复习一、基本概念1、质点：用来代替物体、只有质量而无形状、体积的点。

它是一种理想模型，物体简化为质点的条件是物体的形状、大小在所研究的问题中可以忽略。

2、时刻：表示时间坐标轴上的点即为时刻。

例如几秒初，几秒末，几秒时。

时间：前后两时刻之差。

时间坐标轴上用线段表示时间，例如，前几秒内、第几秒内。

3、位置：表示空间坐标的点。

位移：由起点指向终点的有向线段，位移是末位置与始位置之差，是矢量。

路程：物体运动轨迹之长，是标量。

直线运动直线运动的条件：a 、v 0共线参考系、质点、时间和时刻、位移和路程速度、速率、平均速度加速度运动的描述典型的直线运动匀速直线运动 s=v t，s-t 图，（a ＝0）匀变速直线运动特例自由落体（a ＝g ）竖直上抛（a ＝g ） v - t 图规律 at v v t +=0,2021at t v s +=as v v t 2202=-,t v v s t 20+=注意：位移与路程的区别．4、速度：描述物体运动快慢和运动方向的物理量，是位移对时间的变化率，是矢量。

平均速度：在变速直线运动中，运动物体的位移和所用时间的比值，v = s/t （方向为位移的方向）瞬时速度：对应于某一时刻（或某一位置）的速度，方向为物体的运动方向。

速率：瞬时速度的大小即为速率；平均速率：质点运动的路程与时间的比值，它的大小与相应的平均速度之值可能不相同。

注意：平均速度的大小与平均速率的区别．【例1】物体M 从A 运动到B ，前半程平均速度为v 1，后半程平均速度为v 2，那么全程的平均速度是：（）A ．（v 1+v 2）/2B ．21v v ⋅C ．212221v v v v ++ D ．21212v v v v + 5、加速度：描述物体速度变化快慢的物理量，a =△v /△t （又叫速度的变化率），是矢量。

高三一轮复习学案1 直线与直线的方程

考点1
直线的斜率与倾斜角
已知直线l过P（-1，2），且与以A（-2，-3）,B（3， 0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
【分析】借助于图形，由斜率公式确定k的范围.
【评析】解法一，当直线的倾斜角由锐角变到直角再由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tanα的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的，解法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4 ;
【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= 3x,即2x-3y=0.
预测2013年高考仍将以求直线的方程、点到直线的距离、两点间的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的理解能力.
1.直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角α：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角,叫作直线的倾斜角 .规定：直线与x轴平行或重合时α=0°.故倾斜角的范围是 . 0°≤α＜180°
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
【评析】求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：
（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解. （2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.

高二数学必修一复习知识点笔记

高二数学必修一复习知识点笔记1.高二数学必修一复习知识点笔记篇一空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

2.高二数学必修一复习知识点笔记篇二数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.高二数学必修一复习知识点笔记篇三函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.4.高二数学必修一复习知识点笔记篇四向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

高考物理一轮复习第一单元直线运动的概念和规律第1讲直线运动的概念和规律课件新人教版

0 +v
平均速度公式: =
2
= 。
2
(2)连续相等的相邻时间间隔 T 内的位移差相等。
即 x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
(3)位移中点速度 =

2
0 2 + 2
2
。
7.1 (2019四川大邑模拟)一小球沿斜面以恒定的加速度滚下,小球依次通过A、B、C三点,已
知AB=12 m,BC=20 m,小球通过AB、BC所用的时间均为2 s,则小球通过A、B、C三点的速度分
1
对质点的理解
1.1 (2018福州四中一模)下列几种情况下,可将被研究的物体当作质点来处理的是( c )。
A.研究正在吊起货物的起重机
B.研究坐在翻滚过山车中小孩的坐姿
答
案
C.测量太空中绕地球飞行的宇宙飞船的周期时
D.研究房门的运动
1.2 (2019杭州桐庐中学月考)2022年第19届亚洲运动会将在杭州举行,下列几种比赛项目
C.以张家齐为参考系,掌敏洁是静止的
D.以掌敏洁为参考系,跳台向下运动
答
案
2
对参考系的理解
2.2 (2018郑州质检)下列情景中,加点标示的物体的运动,不以地面为参考系
的是( D
)。
A.太阳东升西落
B.轻舟已过万重山
C.骏马在草原上奔驰
D.巍巍青山两岸走
答
案
3
时刻和时间、路程和位移
在时间轴上,时刻用一个点表示,时间用一段线段表示。生活中所说的“时间”,有时是指时刻,
对于参考系而言的。
②统一性:在比较不同物体的运动时,应选择同一参考系。
③任意性:参考系的选取是任意的,研究同一个物体的运动可以选择不同的物体作参考系。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案直线的倾斜角与斜率、直线方程1

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识点一直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D．k1<k3<k2解析：由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，∴k1<k3<k2.答案：D知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线易误提醒(1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y－6＋3＝0B.3x－3y＋6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0解析：直线斜率k＝tan 30°＝3 3，直线的点斜式方程为y－2＝33(x＋1)，整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34. 要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题．探究一与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x－1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线xn ＋1＋yn＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36B ．45解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9. ∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立， ∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D.6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k .由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －b x 2，由题意可得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a＋b＝－3.答案：－33．(2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx －y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．答案：5。

一轮复习直线平面平行的判定及其性质

和一个平面没有公共点。
2，（线//线）如果平面外的一
条直线和这个平面内的一条直
线平行，则这条直线和这个平
面平行。
3，（面//面）两面平行，则其
中一个平面内的直线必平行于
另一个平面。
4，平面外的两条平行直线中
的一条平行于平面，则另一条
也平行于该平面。
5，平面外的一条直线和两个
平行平面中的一个平面平行，
D1BQ∥平面 PAO?
解当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下：
∵Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，
∴QB∥PA.
∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点，∴D1B∥PO.
又∵D1B⊄平面 PAO，PO⊂平面 PAO，
QB⊄平面 PAO，PA⊂平面 PAO，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
AP DQ
AM DQ
∴PE＝ BQ，∴MB＝QB ，∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，
又 PM∩MQ＝M，BE∩BC＝B，
∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 PMQ.
∴PQ∥平面 BCE.
判断或证明线面平行的常用方法有：
证明
(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G 四点共面．
(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
∴EF∥平面 BCHG.
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形，
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

第一节直线及直线的方程(知识梳理)

第一节直线及直线的方程复习目标学法指导1.倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角及其取值范围.(2)直线斜率的概念. (3)过两点的直线斜率的计算公式.2.直线的方程(1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. (3)直线的两点式方程. (4)直线的截距式方程. 1.求斜率可用k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记“斜率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论.”2.求直线方程常用待定系数法.3.使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程需化为Ax+By+C=0的形式后才能指出A,B,C的值,否则易出错.(5)直线的一般式方程.3.两点连线的中点坐标公式.4.直线的交点坐标与距离公式(1)两条直线的交点坐标.(2)根据方程确定两条直线的位置关系.(3)点到点、点到线的距离公式.(4)两条平行线距离的求法.一、直线的斜率及直线方程1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. ②范围:倾斜角α的范围为[0°,180°). (2)直线的斜率①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率. ②过两点的直线的斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k=2121yy xx --.2.直线方程的五种形式式截距式x轴上截距为a与y轴上截距为b1x ya b+=不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1.概念理解(1)所有直线都有倾斜角,但并非所有直线都有斜率.其中倾斜角为90°的直线其斜率不存在.(2)应结合y=tan x在[0,π2),(π2,π)上的单调性及图象记忆斜率的变化规律.2.相关结论(1)两点间距离公式:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则()()221212x x y y-+-(2)点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上⇔Ax0+By0+C=0.(3)点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0外⇔Ax0+By0+C≠0.(4)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离0022A B+.(5)两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离1222A B+.二、两直线间的位置关系1.两直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2.l 1∥l 2⇔1212,;kk b b =⎧⎨≠⎩l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1;l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.2.两直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0.l 1∥l 2⇔122121120,0;A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0;l 1与l 2相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0.1.理解辨析(1)直线l 1与直线l 2的斜率都不存在时,l 1∥l 2.(2)直线l 1与直线l 2有一条斜率不存在,另一条斜率为零时,l 1⊥l 2. 2.与两直线位置关系相关结论(1)设直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组1112220,0.A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩①若方程组有唯一解,则l 1与l 2相交,此解就是l 1,l 2交点的坐标; ②若方程组无解,则l 1与l 2无公共点,此时l 1∥l 2; ③若方程组有无数组解,则l 1与l 2重合. (2)常见直线系方程①过定点P(x 0,y 0)的直线系方程:A(x-x 0)+B(y-y 0)=0(A 2+B 2≠0),还可表示为y-y 0=k(x-x 0)(斜率不存在时可设为x=x 0).②平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+λ=0(λ≠C). ③垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+λ=0.④过两条已知直线A 1x+B 1y+C 1=0,A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(不包括直线A 2x+B 2y+C 2=0). (3)对称问题的相关结论①点A(x 0,y 0)关于点P(a,b)的对称点A ′(2a-x 0,2b-y 0).②点M(x 0,y 0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M ′(x ′0,y ′0)的求法:由MM ′⊥l ⇔000yx y x '--'·(-AB )=-1得x ′0,y ′0的一个等量关系式,线段MM ′的中点在直线l 上⇔A(02xx +')+B(002yy +')+C=0,联立,求得点(x ′,y ′0)的坐标.③直线l 1关于直线l 的对称直线l ′1的求法步骤:若l 1与l 相交,第一步求出l 1和l 的交点M;第二步在l 1上找一特殊点,它关于l 的对称点N 在l ′1上,第三步由M,N 两点用两点式写出所求l ′1的方程.若l 1∥l,则l 1′∥l,设出l 1′方程,使l 1′与l 1到l 距离相等,可求出l 1′方程.④直线l 关于点P(a,b)的对称直线l ′的求解步骤,第一步,确定两条直线为平行线,若直线l 方程为Ax+By+C 1=0,则可设l ′的方程为Ax+By+C 2=0,第二步,利用点P 到l 的距离等于点P 到l ′的距离求出C 2即得直线l ′的方程.1.xsin 70°+ycos 70°=1倾斜角为( C ) (A)20° (B)70° (C)110° (D)-70°解析:y=-tan 70°x+1cos70︒,k=tan α=-tan 70°, 因为0°≤α<180°,由tan(180°-θ)=-tan θ知α=110°,故选C. 2.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是 . 解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+12=0, 则两平行线间的距离为1|2|22-32.答案:323.点A(1,3)关于直线l:y=x+1的对称点的坐标为 .解析:设对称点坐标为B(m,n),由AB 的中点(12m +,32n+)在直线l 上,知32n +=12m ++1,① 而直线AB 与l 垂直,故它们的斜率互为负倒数,因此31n m --=-1,② 由①②可得m=2,n=2. 答案:(2,2)4.若A(0,a),B(1,4),C(-a,-2)在同一条直线上,则a= .解析:由三点共线得k AB =k BC ,即4-a=61a+,解得a=1或a=2. 答案:1或25.若原点在直线上的射影为A(2,-1),则直线的方程为 .解析:设所求直线的斜率为k,则依题意有k ×k OA =-1,而k OA =1020---=-12,所以k=2,所以所求直线的方程为 y-(-1)=2(x-2),即2x-y-5=0. 答案:2x-y-5=0考点一直线的倾斜角与斜率[例1] (1)两直线的倾斜角为α1,α2,斜率为k 1,k 2,则( ) (A)若α1<α2,则k 1<k 2 (B)若α1<α2,则k 1>k 2 (C)若0<k 1<k 2,则α1<α2(D)若k1<k2<0,则α1>α2(2)已知A(2,0),B(-3,1),若过点P(0,-2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.解析:(1)k=tan α,α∈[0,π2)∪(π2,π)的图象如图,易知当α∈[0,π2)时,k=tan α递增;当α∈(π2,π)时,k=tan α递增;但是当α1<π2<α2时,k1>0>k2,故选C.解析:(2)如图,由斜率公式知k AP=1,k BP=-1.当直线l绕P点从PA逆时针旋转到PB时的所有直线与线段AB均有交点,此时斜率k满足k≥1或k≤-1.因此满足条件的直线l的斜率的取值范围为(-1,1).答案:(1)C (2)(-1,1)(1)斜率的求法①定义法:k=tan α(α≠90°);②公式法:若已知直线上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),根据斜率公式k=2121yy xx --(x 1≠x 2).(2)求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象,从旋转的角度求解. (3)求倾斜角或斜率问题时应注意 ①倾斜角的范围是[0,π);②函数k=tan α在[0,π2),(π2,π)上均为增函数,但在[0,π)上不单调.坐标平面内有相异两点A(cos θ,sin 2θ),B(0,1),经过两点的直线的倾斜角的取值范围是( B )(A)[-π4,π4] (B)(0,π4]∪[3π4,π) (C)[0,π4]∪[3π4,π) (D)[π4,3π4] 解析:k AB =2sin 1cos θθ-=2cos cos θθ-=-cos θ∈[-1,1],且 k AB ≠0.设直线的倾斜角为α,当0<k AB ≤1时,则0<tan α≤1, 所以倾斜角α的范围为0<α≤π4. 当-1≤k AB <0时,则-1≤tan α<0,所以倾斜角α的范围为3π4≤α<π.故选B.考点二直线的方程[例2] (1)直线l 过(1,0),倾斜角是x-2y+1=0倾斜角的2倍,直线l 方程为( )(A)y=x-1 (B)y=2x-2(C)y=43x-43 (D)y=43x-1(2)过两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)的直线一定可以表示为( ) (A)y-y 1=2121yy x x --(x-x 1) (B)y-y 2=2121yy xx --(x-x 2)(C)121y y y y --=121x xx x-- (D)(x 2-x 1)(y-y 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)(3)过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .解析:(1)设x-2y+1=0的倾斜角为α,则tan α=12,于是直线l 的斜率k=tan 2α=22tan 1tan αα-=43,所以直线l 的方程为y=43 (x-1),即y=43x-43,故选C.解析:(2)过两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≠x 2,y 1≠y 2)的直线为121y y y y --=121x x x x--,而当x 1=x 2或y 1=y 2时有分母为0,不能用比例式表示,只能用乘积式(x 2-x 1)(y-y 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)①,即当x 1=x 2时,①表示直线x=x 1(或x 2);当y 1=y 2时,①表示直线y=y 1(或y 2).故选D. 解析:(3)若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:(1)C (2)D (3)3x+2y=0或x-y-5=0(1)求直线方程的常用方法有:①直接法:直接求出直线方程中的系数,写出直线方程;②待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再构造关于系数的方程(组)求系数,最后代入写出直线方程.(2)求直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,如直线的斜率是否存在,直线在两坐标轴的截距是否为0等.(3)如果没有特别要求,则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A ≥0.设直线l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程; (2)若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.解:(1)当直线过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零,截距相等,所以a=2,方程即3x+y=0.若a ≠2,由于截距存在,所以21a a -+=a-2, 即a+1=1,所以a=0,方程即x+y+2=0.解:(2)法一将l 的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以欲使l 不经过第二象限,当且仅当()10,20,a a ⎧-+≥⎪⎨-≤⎪⎩ 所以a ≤-1.所以a 的取值范围是(-∞,-1]. 法二将l 的方程化为(x+y+2)+a(x-1)=0(a ∈R),它表示过l 1:x+y+2=0与l 2:x-1=0的交点(1,-3)的直线系(不包括x=1).由图象可知l 的斜率-(a+1)≥0时,l 不经过第二象限,所以a ≤-1. 考点三两直线的位置关系[例3] 已知两直线l 1:ax+2y+6=0和l 2:x+(a-1)y+(a 2-1)=0. (1)若l 1⊥l 2,求实数a 的值;(2)试判断l 1与l 2是否平行. 解:法一 (斜截式方程)(1)由直线l 1的方程知其斜率为-2a ,当a=1时,直线l 2的斜率不存在,l 1与l 2不垂直; 当a ≠1时,直线l 2的斜率为-11a -. 由-2a ·11a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-1⇒a=23. 故所求实数a 的值为23. 解:法一(2)由(1)知,当a=1时,l 1,l 2相交, 当a ≠1时,直线l 1的斜率为-2a , 直线l 2的斜率为-11a -. 由l 1∥l 2可得-2a =-11a -, 解得a=-1或a=2.当a=2时,l 1的方程为x+y+3=0, l 2的方程为x+y+3=0,显然l 1与l 2重合.当a=-1时,l 1的方程为x-2y-6=0,l 2的方程为x-2y=0,显然l 1与l 2平行.所以,当a=-1时,l 1∥l 2; 当a ≠-1时,l 1与l 2不平行. 法二 (一般式方程)(1)由已知条件得a ·1+2·(a-1)=0⇒a=23. 故所求实数a 的值为23. 法二(2)由A 1B 2-A 2B 1=0,得a(a-1)-1×2=0,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,l1的方程为x-2y-6=0,l2的方程为x-2y=0,显然两直线平行.当a=2时,l1的方程为x+y+3=0,l2的方程为x+y+3=0,显然两直线重合. 所以,当a=-1时,l1∥l2;当a≠-1时,l1与l2不平行.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件,显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简便.另外利用直线的斜率和截距讨论时,不要忘记斜率不存在时的情况.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a,若k2=0,则1-a=0,a=1.因为l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又因为l1过点(-3,-1),(矛盾),所以-3a+4=0,即a=43所以此种情况不存在,所以k2≠0,即k1,k2都存在且不为0.,l1⊥l2,因为k2=1-a,k1=ab所以k 1k 2=-1,即a b(1-a)=-1.(*)又因为l 1过点(-3,-1), 所以-3a+b+4=0.(**)由(*)(**)联立,解得a=2,b=2. 解:(2)因为l 2的斜率存在,l 1∥l 2, 所以直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab =1-a,①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2,所以l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b =b,②联立①②,解得2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,32.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以a=2,b=-2或a=23,b=2. 考点四对称问题[例4] 已知直线l:3x-y+3=0,求: (1)点P(4,5)关于l 的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程; (3)直线l 关于点(1,2)的对称直线方程.解:(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P ′(x ′,y ′),因为k PP ′·k l =-1,即y yx x'-'-×3=-1.① 又PP ′的中点在直线3x-y+3=0上,所以3×2x x '+-2y y '++3=0.②由①②得439,5343.5x y x x y y -+-⎧'=⎪⎪⎨++⎪'=⎪⎩③④把x=4,y=5代入③④得x ′=-2,y ′=7,所以点P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(-2,7). 解:(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y, 得关于l 对称的直线方程为4395x y -+--3435x y ++-2=0, 化简得7x+y+22=0.解:(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3), 关于点(1,2)的对称点M ′(x ′,y ′),所以02x '+=1,x ′=2,32y '+=2,y ′=1,所以M ′(2,1).l 关于点(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3, 所以对称直线方程为y-1=3×(x-2), 即3x-y-5=0.解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P ′(x ′,y ′)满足2,2.x a x y b y '=-⎧⎨'=-⎩ ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B ≠0)的对称点A ′(m,n),则有1,0.22n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.在△ABC 中,已知A(3,-1),∠B 的平分线BD 所在的直线方程是x-3y+6=0,AB 边上的中线CE 所在的直线方程是x+y-8=0,求点B 的坐标和边BC 所在的直线方程.解:设B 点坐标为(x,y),因为E 是AB 中点,所以E(32x +,12y -). 因为CE 所在直线方程为x+y-8=0,所以32x ++12y --8=0,即x+y-14=0① 而BD 所在直线方程为x-3y+6=0②联立方程①②可得9,5x y =⎧⎨=⎩ 所以B 点坐标为(9,5)因为BD 是∠B 的平分线,所以点A(3,-1)关于BD 所在直线的对称点A ′在BC 所在直线上.设A ′(x ′,y ′),则有31360,2213,3x y y x ''+-⎧-⨯+=⎪⎪⎨'+⎪=-⎪'+⎩ 解得3,531,5x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩所以A ′(35,315).则BC 所在直线方程等价于BA ′所在直线方程x+7y-44=0. 考点五直线方程的应用[例5] 已知两直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q 1(a 1,b 1),Q 2(a 2,b 2)(a 1≠a 2)的直线方程. 解:因为点P(2,3)在已知直线上,所以2a 1+3b 1+1=0,2a 2+3b 2+1=0, 所以2(a 1-a 2)+3(b 1-b 2)=0,即1212b ba a --=-23, 所以所求直线方程为y-b 1=-23(x-a 1).所以2x+3y-(2a 1+3b 1)=0, 即2x+3y+1=0.直线l 的方程中除去x,y 还有其他字母(称为参数),若直线l 过一个定点P,求定点P 的坐标时,通常对参数分别取两个具体的值,将所得的两个方程联立得方程组,由方程组的解可得定点P 的坐标.已知点A(2,4),B(6,-4),点P 在直线3x-4y+3=0上,若满足PA 2+PB 2=λ的点P 有且仅有1个,求实数λ的值. 解:设点P 的坐标为(a,b), 因为A(2,4),B(6,-4),所以PA 2+PB 2=[(a-2)2+(b-4)2]+[(a-6)2+(b+4)2]=λ, 即2a 2+2b 2-16a+72=λ, 又因为P 在直线3x-4y+3=0上, 所以3a-4b+3=0,所以509b 2-803b+90=λ, 又因为满足PA 2+PB 2=λ的点P 有且仅有1个,所以Δ=(-803)2-4×509×(90-λ)=0, 即λ=58.。

山师附中2022届新高考物理一轮专题复习-专题1直线运动

山东省2022届高考物理一轮复习专题训练—专题1直线运动一．选择题（共23小题）1．（2021•泰安四模）关于物理概念的定义所体现的思想方法，下列叙述正确的是（）A．交变电流的有效值体现了等效思想B．平均速度的概念体现了极限思想C．电阻的概念体现了控制变量思想D．重心的概念体现了理想模型思想2．（2021•烟台模拟）礼让行人已写入我国道路交通安全法：机动车行至人行横道时应减速慢行，遇行人正在通过时，应停车让行。

现有一辆汽车在平直公路上以v＝15m/s速度匀速行驶，司机发现前方20m处的人行横道上有人通行，于是刹车礼让，假设驾驶员的反应时间为0.5s，汽车刚好在到达人行横道前停下，则下列关于此过程中汽车的v﹣t图像中，可能正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•泰安四模）在平直的公路上，甲车在t＝0时刻由静止开始运动，某时刻乙车匀速通过甲车的出发点，如图所示，甲车的x—t图像是一条抛物线，两车的x—t图像在t＝4s时相切（乙车的x—t图像未画出），两车均可视为质点。

下列说法正确的是（）A．甲车的速度变化率逐渐增大B．甲车的加速度大小为8m/s2C．乙车的速度大小为8m/sD．t＝2s时，乙车通过甲车的出发点4．（2021•章丘区模拟）如图所示是某物体做直线运动的v2﹣x图象（其中v为速度，x为位置坐标），下列关于物体从x＝0处运动至x处的过程分析，其中正确的是（）A．该物体做加速度逐渐减小的直线运动B．该物体的加速度大小为C．该物体在位移中点的速度等于vD．该物体在运动中间时刻的速度大于v5．（2021•山东模拟）小明、小华两人各自驾车去一起烧烤，假设上高速后不久两人的车同时经过公路上的某一路标且速度相同，与此同时小明的车开始加速，但很快他发现后备箱没关好于是立即刹车（视为匀减速直线运动）直至停止。

从小明的车加速开始计时直至停止这一过程中两人的车的ν﹣t图像如下图，则下列说法正确的是（）A．该过程小明的车平均速度为m/s＝2.5m/sB．0～6s内小明的车一直在小华的车前方C．该过程中两车相距最远距离为7.5mD．在5s时两车相遇6．（2021•日照二模）一物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，先后经过A、B、C三点，物体通过AB段与BC段所用时间相等。

高考一轮复习教案直线运动1

富县高级中学集体备课教案年级:高二科目：物理授课人：课题第一章直线运动1第课时知识点1.知道参考系、质点的概念，在实际问题中能恰当地选择参考系和构建质点模型能够区分位移和路程、时间和时刻、平均速度和瞬时速度等概念，会计算位移、路程和速度2.掌握加速度的物理意义和定义式，知道速度、速度变化量和加速度的区别和联系；重点复习描述运动的物理量中心发言人陈熠难点加速度的物理意义和定义式，知道速度、速度变化量和加速度的区别和联系；教具课型课时安排课时教法学法个人主页教学过程第一课时【检查课前学习】【基础梳理】一、质点1.定义用来代替物体的有________________的点，是一种理想化模型。

2.物体可看做质点的条件当物体的________________和________________对所研究的问题没有影响或影响可以忽略时，该物体可以看做质点。

二、机械运动、参考系1.机械运动物体的________随时间发生变化。

2.参考系为了描述物体的运动而假定为不动、用来作________的物体叫做参考系。

对同一物体的运动，所选的____________不同，对它运动的描述就可能不同。

通常以________为参考系来描述物体的运动。

三、时刻和时间间隔四、位移和路程五、平均速度和瞬时速度六、加速度1.意义描述_________________的物理量。

2.定义式a＝________________，其中Δv指速度变化量，Δt指时间间隔。

3.方向与Δv的方向________，单位是m/s2。

4.决定因素加速度是由作用在物体上的____________和物体的________两个因素共同决定的，与Δv没有直接关系。

5.根据a与v方向间的关系确定物体的运动(1)当a与v同向或夹角为锐角时，物体________运动；(2)当a与v反向或夹角为钝角时，物体________运动；(3)当a与v垂直时，物体速度的大小____________________，方向________________。

高三物理二轮专题复习专题一直线运动

－专题一直线运动1、一物体自t=0时开始做直线运动，其速度图线如图所示。

下列选项正确的是( )A.在0～6s 内，物体离出发点最远为30mB.在0～6s 内，物体经过的路程为40mC.在0～4s 内，物体的平均速率为7.5m/sD. 5～6s 内，物体所受的合外力做负功2、甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v t -图像如图所示，图中OPQ ∆和OQT ∆的面积分别为1s 和2s ()21s s >.初始时，甲车在乙车前方0s 处。

A ．若012s s s =+，两车不会相遇B ．若01s s <，两车相遇2次C ．若01s s =，两车相遇1次D ．若3由此可求 A.前B.前C.前D.154、2006则起飞前 A.vt 5、a 、b A. a 、 B.20 C.60 D.406个路标0～20秒的A.在B.在C.在D.在7、t=0时甲乙两汽车从相距70 km 的两地开始相向行驶，它们的v －t 图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是（） A ．在第1小时末，乙车改变运动方向 B ．在第2小时末，甲乙两车相距10 km C ．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D ．在第4小时末，甲乙两车相遇 8、汽车由甲地开出,沿平直公路开到乙地时,刚好停止运动.它的速度图象如图所示.在0～t 0和t 0～3t 0 两段时间内,汽车的 ( )A.加速度大小之比为2∶1B.位移大小之比为1∶2C.平均速度大小之为2∶1D.平速度大小之比为1∶19、小球由空中某点自由下落,与地面相碰后,弹至某一高度,小球自由下落和弹起过程的速度图象如图所示,不计空气阻力,g=10 m/s 2,则 ( )A.小球下落的最大速度为5 m/sB.小球向上弹起的最大速度为3 m/sC.小球能弹起0.8 mD.小球在运动的全过程中路程为0.8 m10、如图所示,A 、B 两物体相距 s =7 m,物体A 以v A =4 m/s 的速度向右匀速运动,而物体B 此时的速度v B =10 m/s,只在摩擦力作用下向右做匀减速运动,加速度a =-2 m/s 2,那么物体A 追上物体B 所用的时间为 ( )A. 7 sB. 8 sC. 9 sD. 10 s11、某物体从A 点开始沿一直线运动,它运动的v-t 图象如图所示,下列说法正确的是 ( )A.物体在第1 s 末和第5 s 末离A 点距离最远B.物体在第2 s 内和第3 s 内的加速度是相同的C.物体在4 s 末返回出发点AD.物体在1 s 末、3 s 末、5 s 末速度方向改变12．一个做匀变速直线运动的质点，其位移随时间的变化规律x =2t +3t 2（m),则该质点的初速度为______m/s ，加速度为______m/s 2,3 s 末的瞬时速度为______m/s,第3 s 内的位移为______m.13.甲、乙、丙三个物体同时同地出发做直线运动，它们的位移一时间图像如图所示，在20 s 内它们的平均速度和平均速率的大小关系是 ( )A ．平均速度大小相等，平均速率B ．平均速度大小相等，平均速率C ．平均速度，平均速率相等D ．平均速度和平均速率大小均相等14.（2009）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S 0＝13.5 m 处作了标记，并以V ＝9 m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L ＝20 m 。

2022高考物理第一轮复习-01-直线运动

2022高考物理第一轮复习 01 直线运动一、单选题(共25题；共50分)1．（2分）图所示运动图象中，哪幅图说明物体在作匀速直线运动（）A．B．C．D．2．（2分）如图是甲、乙、丙三个物体做直线运动的位移图像，在0~t1时间内，下列说法正确的是（）A．甲的平均速度最大，因为甲所走的路程最多B．乙的平均速度最小，因为只有乙做直线运动C．三者的平均速度相同，因为位移和时间都相同D．乙的平均速率最小3．（2分）一小球自由下落的频闪照片如图所示，照片中的数字是小球距释放点的距离（单位是cm），频闪仪的闪光频率为25 Hz。

若当地的重力加速度为9.8 m/s2，则小球在下落过程中受到的空气阻力与重力的比值约为（）A．198B．149C．398D．2494．（2分）我国自主研发的“歼一20”隐身战斗机在t=0时刻离开地面起飞，其竖直方向的速度一时间图象如图所示，由图象可知，其在30 s内的总位移的大小为（）A．6000m B．8000m C．12000m D．24000m5．（2分）滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式，飞机跑道的前一部分水平，跑道尾段略微翘起。

假设某舰载机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，前一段的初速度为0，加速度为6m/s2，位移为150m，后一段的加速度为7m/s2，路程为50m，则飞机的离舰速度是（）A．40m/s B．45m/s C．50m/s D．55m/s6．（2分）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以100m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P 点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2m，重力加速度取g= 10m/s2，则t1：t2为（）A．100∶1B．1∶100C．1∶200D．200∶17．（2分）用高速摄影机拍摄的四张照片如图所示，下列说法正确的是（）A．研究甲图中猫在地板上行走的速度时，猫可视为质点B．研究乙图中水珠形状形成的原因时，旋转球可视为质点C．研究丙图中飞翔鸟儿能否停在树桩上时，鸟儿可视为质点D．研究丁图中马术运动员和马能否跨越障碍物时，马可视为质点8．（2分）一个小球在离地面一定高度的O点向下运动，第一次自由落体运动，第二次以第一次落地时的速度竖直向下做匀速直线运动，在O点的正下方有一点A，A与O的距离和A与地面的距离相等，则小球两次从O点到A点的时间比为（）A．1：1B．2：1C．2√2：1D．4：19．（2分）如图甲所示，一质点以初速度v0=12m/s从固定斜面底端A处冲上斜面，到达C处时速度恰好为零，滑块上滑的v-t图像如图乙所示。

2025高考数学一轮复习-1.2.1-直线的点斜式方程【课件】

知识点 2 直线在 y 轴上的截距在直线 l 的斜截式方程 y＝kx＋b 中，我们把直线 l 与 y 轴的交点 (0，b)的纵坐标_b_称为直线 l 在 y 轴上的截距．
4.直线ax2－by2＝1 在 y 轴上的截距是(
)
A．|b|
B．－b2
C．b2 B [令 x＝0，则 y＝－b2.]
D．±b
[解] 设直线方程为 y＝16x＋b，则 x＝0 时，y＝b；y＝0 时，x＝－6b.
由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即 6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为 y＝16x＋1 或 y＝16x－1.
[母题探究] 1．(变条件)本例的条件变为：已知△ABC 的三个顶点分别是 A(0， 3)，B(4，2)，C(2，1).若直线 l 过点 A，且将△ABC 分割成面积相等的两部分，求直线 l 的斜截式方程．
[解] 设直线 y＝ 3x＋1 的倾斜角为 α，则 tan α＝ 3，又 α∈[0， π)，所以 α＝60°，
知识点 1 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件点 P(x1，y1)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距_b_
图示
方程形式 y－y1＝___k_(_x_－__x1_适用条件
斜率存在
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．
(2)与 x 轴平行； [解] 与 x 轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即 y＝4. (3)与 x 轴垂直． [解] 与 x 轴垂直，斜率不存在，方程为 x＝3.
类型 2 直线的斜截式方程【例 2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，与 y 轴的交点坐标为(0，2)； [解] 由题意知直线在 y 轴上的截距为 2，由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为 y＝2x＋2.

直线的方程课件高三数学一轮复习

解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－0−13， Nhomakorabea当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
1， + ∞ ．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求 π)上直的线单倾调斜性角求的解取，值这范里围特时别，要常注借意助，正正切切函函数数y＝在ta[0n，x在π2)[∪0，(π2，π2)π∪)上(π2 ，并不是单调的．
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能【问题1】直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式是什么？
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．