第五章 平面向量 课时达标检测(二十八) 平面向量的数量积及其应用 Word版含答案
平面向量的数量积及应用参考答案
平面向量的数量积及应用参考答案1.【答案】B 【解析】∵(3,3)AC =- ，(1,1)AB = ，∴31310AB AC ⋅=-⨯+⨯= .2.【答案】C【解析】依据向量的投影，可以确定A 、B 、D 都是正确的3.【答案】B 【解析】∵2= a ，∴22222+=+⋅+ a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴2+= a b 4.【答案】C 【解析】2(3,n)- a b =，若2- a b 与 b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅= a b b =-，即2n 3=，2== a 5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅- 221()62OB OA =-=- .故选B.8.【解析】如图：∵1==-= a b a b ，∴△OAB 为正三角形，∴2222221-=-⋅+=-⋅= a b a a b b a b ，∴12⋅= a b ，∴2221||211232+=++⋅=++⨯= a b a b a b ，∴||+= a b .9.【答案】3π【解析】由22(2)()22+⋅-=+⋅-=- a b a b a a b b ，得2⋅= a b ，即由||||cos ,2⋅〈〉= a b a b ，1cos ,2〈〉= a b 。
故,3π〈〉= a b .10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=，∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1∴与1，2夹角相等，且为锐角，∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°，||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++= 可得2()0AB BC CA ++= ，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅= ，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=- 12.【解析】021cos 20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++= 12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒=13.【解析】由题意0⋅= a b 即有1212(2)()0k -⋅+= e e e e ，∴221122(12)20k k +-⋅-= e e e e ，又121== e e ，122,3π〈〉= e e ，∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =.14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x =+=．15.【解析】（1）∵ a 与2- b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅= a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=.（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+- b c ，22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+ b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+ b c 最大值为32，∴+ b c 的最大值为.（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故 a ∥ b .。
(完整word版)平面向量的数量积练习题(含答案),推荐文档
、选择题（每小题5分，共20分）（2012辽宁）已知向量a = （1,— 1）, b = （2, x ），若a b = 1,则x 等于C.2在^ABC 中，AB = 3, AC = 2, BC = 7i0，则ABAC 等于二、填空题（每小题5分，共15分）5.已知向量a , b 夹角为45°且|a|= 1, |2a —，则|b 匸6.在△ ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3, BC = 10,则 ABAC =7.已知a = （2,— 1）, b =（入3）,若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是三、解答题（共22分）8. (10 分)已知 a = (1,2), b = (-2, n) (n> 1), a 与 b 的夹角是 45°⑴求b ;(2)若c 与b 同向，且a 与C — a 垂直，求c.9. （12分）设两个向量e 1、e 2满足⑹匸2,圉二1, &、e 2的夹角为60°若向量2te 1 + 7e 2与 向量e 1 + te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.平面向量的数量积A 组专项基础训练1. 2. 3. (2012 重庆)设 x , y € R ,向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2,— 4)，且 a 丄c , b / c , + b|等于() A.励 B.V i0 C .已知向量a = (1,2), 2 砺 D . 10b = (2,— 3).若向量c 满足(c + a)// b , c 丄(a + b)，则 c 等于(则|a7 7A. 9, 37 7 B. — 3，—9C.7, 77 D. —9,4.1.()2. 3. 5. 6. B 组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）在^ ABC 中，AB = 2, AC = 3, A B B C = 1,贝U BC 等于 A ^/3B.V 7 C . 2逗 D V 23已知|a 匸6, |b| = 3, ab=— 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是()A . - 4B . 4C .— 2D . 2|PA|2 + |PB|2在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则 一等C . 5D . 10、填空题（每小题5分，共15分） 设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c)丄 b ,则 |a|= 如图，在矩形 ABCD 中，AB=（2, BC = 2,点E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若A B A F 二頁，则AE BF的值是在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足雪=卑，则AM AN 的取值范围是|BC| |CD| 三、解答题 1 *737. (13分)设平面上有两个向量 a = (cos a sin a (0 a<360°, b = — q ,专.(1)求证：向量a +b 与a — b 垂直；3当向量＞/3&+ b 与a —/sb 的模相等时，求a 的大小.平面向量的数量积参考答案A 组专项基础训练1.答案 D 解析 a b = (1 , — 1) (2, x) = 2 — x = 1? x = 1.2. 答案 B解析 Va = (x,1), b = (1, y), c = (2,— 4), 由 a 丄c 得 a c = 0, 即卩 2x — 4= 0,二 x = 2.由 b II c,得 1 X (— 4)— 2y= 0,y = — 2. — a= (2,1), b= (1, — 2). • a + b = (3, — 1), •••|a + b|^32+ — 1 2 =V 10.3. 答案 D解析 设 c = (x , y),贝U c + a = (x + 1, y + 2)，又(c + a) I b ,二 2(y + 2) + 3(x + 1)=0.①又 c 丄(a + b), • (x , y) (3,— 1) = 3x —y = 0.②联立①②解得 x =— 9, y = — |.4. 答案 D解析 由于 AB AC = AB| | AC| cos / BAC=2(|ABf + AC|2— |B C|2) = 2X(9 + 4 —10) = 3.、填空题（每小题5分，共15分）答案3迈解析 va , b 的夹角为45° |a|= 1,--a b= |a| |b|cos 45 = 2 |b|, |2a — b|2= 4 — 4 X ?解析如图所示,A C =AM+MC=AM — MB , ••• AB A C= (AM + MB) (AM — MB)5. |b| + |b|2= 10, •••|b|= ^2. 6. 答案 —16c=AM2—MB2=|AM|2—||M B|2= 9—25=—16.3 37.答案（— X,— 6） U — 6, 2解析由a b<0，即2入—3<0,解得勺，由all b得:36=—入即?= — 6.因此?<2，且"一6.三、解答题（共22分）& 解(1)a b= 2n —2, |a|=/5, [b"n2+ 4,2n — 2 yJ2 c 2 --cos 45 = = Q , •3n —16n—12= 0, •n= 6 或门=—Tj(舍),—b= (—2,6).取“2+4 2 3⑵由(1)知，a b= 10, |af= 5.又c与 b 同向，故可设c=?b(?>0), (c —a) a= 0,|a|2 5 1 1•-力a—|a|2=0, •-入=ba=10= 2，二c=2b=(—1,3).19.解e1 e2= |e111 e2| cos 60 = 2x 1 x 2= 1,•••(2te i + 7e2)(e i + te2)= 21©+ 7te2+ (2t2+ 7)e i e2= 8t +7t+ 2t2+ 7 = 2t2+ 15t+ 7.1由已知得2t2+ 15t+ 7<0,解得一7<t< — 2.当向量2te1 + 7e2与向量& + te2反向时,2t=入2\H4^/T4设2te1 + 7e2=?(e1 + te2), :<0，贝U ? 2t = 7? t =—2或t = 2 (舍).1 = 72 2故t的取值范围为（—7,—¥¥）u（—晋，一2）B组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）1.答案 A解析••• AB B C= 1,且AB = 2, • 1 = |AB||BC|cos( -B), •AB||BC|COS B=— 1.在^ABC 中，|AC|2= |AB|2+ |BC|2—2AB||BC|cosB,即卩9 = 4+ |BC|2—2X (- 1).••• |BC| = V3.2.答案 A解析 a b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a b= |b||a|cos〈a,b〉, 即一12= 3|a| cos〈 a, b〉,••• |a| cos〈a, b〉= —4.3.答案 D解析••• P A=CA-CP,.・.|PA|2=CA2- 2CP CA + cP2.••• P B= CB-CP, •••|PBj= CB2-2CP CB+CP2•••|PA|2 + IP BI=(CA2+ CB2)- 2CP (CA+ CB) + 2CP2=AB2-2CP 2cD + 2CP2.又AB2 = 16C P2,C D = 2C P,代入上式整理得|R A|2 + IPB I2 = 10|CP|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4.答案頁解析利用向量数量积的坐标运算求解.a+ c= (1,2m) + (2, m) = (3,3m). ■/ (a+ c)丄b,•- (a + c) b= (3,3m) (m+ 1,1)= 6m+ 3 = 0,1•- m=- 2. •a= (1, - 1), •••|a|=>/2.5.答案迈解析方法一坐标法.以A为坐标原点，AB, AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), B^/2,0), E(迄，1), F(x,2).故AB=(迄，0), AF = (x,2), AE=⑴，1), BF= (x^2, 2),•- A B A F=(迄，O)(X,2)=V2X.又AB AF = 72, •X= 1.A B F =(1—2).•••AE B F=(迈，1)(1—迈，2)=V2—2+ 2=/2.方法用AB, B C表示AE,B F是关键.设D F = X AB,则CF = (x—1)A B.—》—》—》—》—》—》—》—》—》2 —》—》i —1—AB AF = AB (AD + DF) = AB (AD + X AB)= X AB2=2X,又T AB AF=72, •2x=V2,••• x=¥..・.B F=BC+CF=BC+警—1 AB;.AE B F =(AB+BE)就+ 豎—1 AB=AB+^BC B C+豎-1 AB1 AB2+ 1BC2= *—1 X2 + 2^ 4=/2.6.答案[1,4]解析利用基向量法，把AM, A N都用AB, AD表示，再求数量积.如图所示,设|BM|B|C N||BC| |C D|=X0< 疋1)，则BM = BC,CN= ?CD , DN = CN-CD = ( B 1)CD ,••• AM A N=(AB+ BM) (AD + DN) =(AB+ BC)[AD + (入—I)C D]=(入—I)AB CD + BC AD=4(1—B +A 4—3入•••当B 0时，A M AN取得最大值4;当B 1时，AM AN取得最小值i..・.A M ANe [1,4].三、解答题7.(1)证明(a+ b) (a —b)= a2—b2= |a|2—|b|2= (cos2 a+ sin2 o) — 4 + = 0,故向量a+ b与a—b垂直.⑵解由|A/3a+ b| = |a —{3b|，两边平方得3|a|2+ 2屆b+ |b|2= |a|2—^3a b+ 3b|2, 所以2(|a|2— |b|2) + 4屆 b = 0,而|a| = |b|,所以 a b = 0,即卩一亦cos a+f sin a= 0 即cos(a+ 60)= 0, • a+ 60 B k 180 °90° ke Z ,即a k 180 + 30 ° ke Z,又0 ° a<360 , J则a= 30 或a 210 :。
第5章第3节 平面向量的数量积及其应用练习和答案
且 AD BC ，所以
4a
b
C ，所以 D 正确，故选 ABC．
8.ACD
【解析】对于 A 选项，设向量 a 、 b 的夹角为 ，∵| a b || a || b | cos |a || b | ，∴A 选
交于点 O ，记 I1 OAOB ， I2＝OB·OC ， I3＝OC·OD ，则 （ ）
A． I1 < I2 < I3
B． I1 < I3 < I2
C． I3 < I1 < I2
D． I2 < I1 < I3
二、多项选择题
7. ΑΒC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足 ΑΒ 2a ， ΑC 2a b ，则下
列结论不正确的是 （ ）
A． b 1
B． a b
C． a b 1
D． 4a b ΒC
7. 对任意向量 a, b ，下列关系式中恒成立的是 （ ）
A．| a b || a || b |
B．| a b ||| a | | b ||
C． (a b)2 | a b |2
D． (a b)(a b) a 2 b2
3
向量 b 满足 b2 4e b 3 0 ，则 | a b | 的最小值是（ ）
A． 3 1
B． 3 1
C．2
D． 2 3
14. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC ，AD CD ，BAD 120 ，AB AD 1 .
若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE 的最大值为（ ）
∴ I1 I2 ，同理 I2 I3 ．做 AG BD 于 G ，又 AB AD ．∴ OB BG GD OD ，
而 OA AF FC OC ，∴| OA | | OB || OC | | OD |，而 cos AOB cos COD 0 ，
高考数学第五单元 平面向量的数量积及应用.docx
第五单元 平面向量的数量积及应用一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设向量(2,5),(0,1)a b ==r r ,则()a a b ⋅+r r r 等于A.31B.32C.33D.34 2.已知向量,m n r r 均为单位向量,且向量,m n r r 反向,则m n ⋅r r 等于A.1-B.0C.1D.1或1- 3.设向量(1,2),(,1)a b m m =--=+r r ,若a b ⊥r r ,则||b r 等于 A.23 B.53 C.59 D.5 4.已知下列命题: (1)若22a b =r r ,则a b =r r 或a b =-r r , (2)若向量,,a b c r r r 均为非零向量,则 ()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r ; (3)若向量,,a b c r r r 均为非零向量,则()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ,其中正确命题的序号是A.(2)(3)B.(1)(2)C.(3)D.(1)(2)(3) 5.在直角ABC ∆中,90,25C AB AC ∠=⋅=ou u u r u u u r ,则AC 等于 A.2 B.3 C.4 D.5 6.设向量(3,4),(2,1)AB BC ==--u u u r u u u r ,则cos BAC ∠等于A.1010B.31010C.35D.45 7.设向量,a b r r 满足=4a b ⋅r r ,且a r 在b r 方向上的投影为2,b r 在a r 方向上的投影为1,则|3|a b -r r 等于A.231B.230C.10D.9 8.两个非零向量AB u u u r 与AC uuu r 满足(0||||||||AB AC AB AC BC AB AC AB AC +⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ）,则ABC ∆是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰非直角三角形 9.已知向量()c a tb t R =+∈r r r ,若||1,||2a b ==r r ,当且仅当14t =-时,||c r 取得最小值时,则向量a r 与b r 的夹角是A.6πB.3πC.23πD.56π 10.设||2c =r ,向量(1,3),(3,1)a b =-=r r ,则()()a c b c -⋅-r r r r 的最大值为A.85B.454-C.8D.445+11.如图,BC 是半径为3的圆A 的一条直径,F 是线段AB 上的点,且2BF FA =u u u r u u u r ,若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径,则FD FE ⋅u u u r u u u r 的值为A.8B.6C.8-D.6- 12.已知cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+,向量b r 是单位向量,向量*(cos ,sin )()77n n n a n N ππ=∈r ,则2222123141||||||||a b a b a b a b ++++++++r r r r r r r r L 的最大值是 A.284 B.285 C.286 D.287二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置. 13.若向量,a b r r 满足||1,||2,()0a b a b a ==-⋅=r r r r r ,则向量a r 与向量b r 的夹角是 14.在ABC ∆中,90,(,1),(2,3)C AB k AC ∠===o u u u r u u u r ,则实数k 的值是 15.已知向量(1cos ,1),(1cos ,sin ),a b R θθθθ=-=+-∈r r ,则a b ⋅r r 的最小值是16.在平面四边形ABCD 中,若||6,()()11,AC AB DC AC BD =+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则||BD =uuu r三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分) 设12,e e r r 是两个单位向量,且向量121232,3a e e b xe e =+=+r r r r r r .(Ⅰ)若a b ⊥r r 且120e e ⋅=r r ,求实数x 的值;(Ⅱ)若1a b x ⋅==r r ,求向量1e r 与2e r 的夹角θ的余弦值.18(本小题满分12分) 设向量4(3,4),(1,),(,1).3AB BC m CD =-==u u u r u u u r u u u r (Ⅰ)若7AB BD ⋅=u u u r u u u r ,求||BC uuu r ; (Ⅱ)若,,A B C 三点共线,求向量BC uuu r 与向量CD uuu r 的夹角.19(本小题满分12分)已知O 是平面α内的一点,,,A B C 是平面α内不共线的三点, 平面α内的动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r . (Ⅰ)当12λ=时,求()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值; (Ⅱ)若||1,||2,1,AB AC AP BC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 求实数λ的值.20(本小题满分12分) (Ⅰ)已知向量(1,1)a =-r ,且向量a r 与向量(2)a b +r r 方向相同,求a b ⋅r r 的取值范围; (Ⅱ)已知直线3y x =上一点P 的横坐标为a ,点(,32),(3,3)A a a B +,向量PA u u u r 与向量PB u u u r 的夹角为钝角,求实数a 的取值范围.21(本小题满分12分)在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=o ,边,AB AD 的长度分别是2和1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||(01)||||BM CN n n BC CD ==≤≤u u u u r u u u r u u u r u u u r . (Ⅰ)试用,AB AD u u u r u u u r 表示向量AM u u u u r 与AN uuu r ; (Ⅱ)求AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最大值与最小值.22(本小题满分12分) 在ABC ∆中,0,AG BG CG O ++=u u u r u u u r u u u r r 为ABC ∆内切圆的圆心,且||2,||3,|| 4.AB AC BC ===u u u r u u u r u u u r(Ⅰ)求证:1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ;(Ⅱ)求AG AO ⋅u u u r u u u r 的值.。
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高中数学学习材料唐玲出品第五单元 平面向量的数量积及应用一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设向量(2,5),(0,1)a b ==,则()a a b ⋅+等于A.31B.32C.33D.342.已知向量,m n 均为单位向量,且向量,m n 反向,则m n ⋅等于A.1-B.0C.1D.1或1-3.设向量(1,2),(,1)a b m m =--=+,若a b ⊥,则||b 等于A.23B.53C.59D.5 4.已知下列命题: (1)若22a b =,则a b =或a b =-, (2)若向量,,a b c 均为非零向量,则 ()()a b c a b c ⋅=⋅; (3)若向量,,a b c 均为非零向量,则()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅,其中正确命题的序号是A.(2)(3)B.(1)(2)C.(3)D.(1)(2)(3)5.在直角ABC ∆中,90,25C AB AC ∠=⋅=,则AC 等于A.2B.3C.4D.56.设向量(3,4),(2,1)AB BC ==--,则cos BAC ∠等于 A.1010 B.31010 C.35 D.457.设向量,a b 满足=4a b ⋅,且a 在b 方向上的投影为2,b 在a 方向上的投影为1,则|3|a b -等于 A.231 B.230 C.10 D.98.两个非零向量AB 与AC 满足(0||||||||AB AC AB AC BC AB AC AB AC +⋅=⋅=）,则ABC ∆是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰非直角三角形 9.已知向量()c a tb t R =+∈,若||1,||2a b ==,当且仅当14t =-时,||c 取得最小值时,则向量a 与b 的夹角是A.6πB.3πC.23πD.56π 10.设||2c =,向量(1,3),(3,1)a b =-=,则()()a c b c -⋅-的最大值为A.85B.454-C.8D.445+11.如图,BC 是半径为3的圆A 的一条直径,F 是线段AB 上的点,且2BF FA =,若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径,则FD FE ⋅的值为A.8B.6C.8-D.6-12.已知cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+,向量b 是单位向量,向量*(cos ,sin )()77n n n a n N ππ=∈,则2222123141||||||||a b a b a b a b ++++++++的最大值是A.284B.285C.286D.287二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.13.若向量,a b 满足||1,||2,()0a b a b a ==-⋅=,则向量a 与向量b 的夹角是14.在ABC ∆中,90,(,1),(2,3)C AB k AC ∠===,则实数k 的值是15.已知向量(1cos ,1),(1cos ,sin ),a b R θθθθ=-=+-∈,则a b ⋅的最小值是16.在平面四边形ABCD 中,若||6,()()11,AC AB DC AC BD =+⋅+=则||BD = 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)设12,e e 是两个单位向量,且向量121232,3a e e b xe e =+=+.(Ⅰ)若a b ⊥且120e e ⋅=,求实数x 的值;(Ⅱ)若1a b x ⋅==,求向量1e 与2e 的夹角θ的余弦值.18(本小题满分12分)设向量4(3,4),(1,),(,1).3AB BC m CD =-==(Ⅰ)若7AB BD ⋅=,求||BC ;(Ⅱ)若,,A B C 三点共线,求向量BC 与向量CD 的夹角.19(本小题满分12分)已知O 是平面α内的一点,,,A B C 是平面α内不共线的三点, 平面α内的动点P 满足()OP OA AB AC λ=++.(Ⅰ)当12λ=时,求()PA PB PC ⋅+的值; (Ⅱ)若||1,||2,1,AB AC AP BC ==⋅=求实数λ的值.20(本小题满分12分)(Ⅰ)已知向量(1,1)a =-,且向量a 与向量(2)a b +方向相同,求a b ⋅的取值范围;(Ⅱ)已知直线3y x =上一点P 的横坐标为a ,点(,32),(3,3)A a a B +,向量PA 与向量PB 的夹角为钝角,求实数a 的取值范围.21(本小题满分12分)在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=,边,AB AD 的长度分别是2和1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||(01)||||BM CN n n BC CD ==≤≤. (Ⅰ)试用,AB AD 表示向量AM 与AN ;(Ⅱ)求AM AN ⋅的最大值与最小值.22(本小题满分12分)在ABC ∆中,0,AG BG CG O ++=为ABC ∆内切圆的圆心,且||2,||3,|| 4.AB AC BC === (Ⅰ)求证:1()3AG AB AC =+; (Ⅱ)求AG AO ⋅的值.。
专题5.2 平面向量的数量积及其应用(理)(原卷版) Word版无答案
第五章 平面向量专题2 平面向量的数量积及其应用（理科）【考点1】平面向量数量积及其几何意义 【备考知识梳理】 1. 平面向量的数量积：(1)已知非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积，记作∙a b ，记作∙a b =|a ||b |cos θ，规定∙0a =0.注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.(2)已知a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则∙a b =1x 2x +1y 2y .2. 向量的投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上的投影，它是一个实数，而不向量. 向量b 在向量a 方向上的投影为∙a b|a |. 3.平面向量的数量积的几何意义∙a b 等于a 的模与b 在向量a 方向上的投影的乘积.4.数量积的运算法则：（1）∙a b =∙b a ；（2）()∙a b+c =∙∙a b +a c ，（3）()λ∙a b =.()λ∙a b =()λ∙a b 【规律方法技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量b 在向量a 方向上的投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用∙a b|a |计算. 3. 注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算. 【考点针对训练】1. 【江西师大附中2016年4月高三质检卷】已知向量1(,(1,0)2a b ==r r，则在上的投影等于______________.2. 【2016届河北省石家庄高三二模】在ABC Rt ∆中，2,4==AC AB ，点P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，点O 为ABC ∆的外心，则⋅的值为_____. 【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题 【备考知识梳理】 1. 向量夹角(1)定义：已知非零向量a 、b ，作OA = a ，OB =b ，则A O B ∠就是a 与b 的夹角，范围为[0,]π，当向量a 与b 同向时，a 与b 的夹角为0，当向量a 与b 反向时，a 与b 的夹角为π，注意通过平移使两个向量有共同的起点，向量所在的射线所成的角才是向量夹角. (2)若向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ=∙a b|a ||b |.(3)若已知向量a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ.2.向量垂直(1)概念：若a 与b 的夹角为o90，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . （2）已知非零向量a ，b ，则a ⊥b ⇔∙a b =0.(3)已知非零向量a ，b ，a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则a ⊥b ⇔1x 2x +1y 2y =0. 【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.在求夹角时要注意：(1)当a ，b 是非坐标形式时，需要先求出∙a b 及|a |、|b |或它们的关系. (2)若已知向量a ，b 的坐标，直接利用公式求解.(3)若两个向量夹角为锐角，则cos θ＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则cos θ小于0，反之，不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.【考点针对训练】1. 【2016年山西高三四校联考】若非零向量,a b 22a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A.π B.2πC.34π D. 4π 2. 【2016届邯郸市一中高三.十研】 已知向量(1,2),(,1),(3,2)a b m c =-=-=-，若()a b c -⊥，则m 的值是________．3. 【2016淮北一中高三最后一卷】已知向量()()1,1,n 2,2m t t =+=+，若()()m n m n +⊥-，则t =___________．【考点3】平面向量模与向量的数量积的综合运用 【备考知识梳理】1. 向量的模：向量a 的模就是表示向量a 的有向线段的长度，记作|a |，它表示向量a 的大小，是非负数.2. ==∙22|a |a a a .3.若向量a =（1x ，1y ），则|a .4.若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则||AB 【规律方法技巧】1. 对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a 是非坐标形式，用==∙22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a 来求解.2. 对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理. 【考点针对训练】1. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点.若1120,2A AB AC ∠=⋅=-，则AM 的最小值是____. 2. 【2016年河南八市高三联考】已知平面向量,,a b c 满足1a a a b b c ∙=∙=∙=，2a c ∙=，则a b c ++的取值范围为（ ）A ．[0,)+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．[4,)+∞ 【应试技巧点拨】1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()1,2AD AB AC =+等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆的外心.2. 向量垂直的重要应用向量垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直；二是利用垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=. 3.如何恰当的选择向量的数量积的公式求向量的数量积的公式有两个：一是定义式a b ＝cos a b θ；二是坐标式a b ⋅=1212x x y y +. 4．求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角． 【三年高考】1. 【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4（B ）–4（C ）94 （D ）–942. 【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）83. 【2016高考新课标3理数】已知向量)2321(，=BA ，)2123(，=BC ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒4. 【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜=1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是． 5. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM的最大值是( )（A ）434 （B ）494 （C （D 6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-7.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）A 、4π B 、2π C 、34π D 、π8.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．219.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.910.【2014全国课标2，理3】设向量a,b 满足|a+b |a-b ab = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 511. 【2014江苏，12】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .12. 【2014安徽，理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 【一年原创真预测】1.已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D 2.已知,a b 是平面内两个单位向量，满足0⋅=a b ，若向量满足=1⋅=⋅a c b c ，则++c a b 为（ ）A ．B ．2CD ．13.已知平面向量,是非零向量，2||=，)2(+⊥，则向量在向量方向上的投影为 .4.扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是_______.5. 已知向量,满足42=，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，则与的夹角为 .6.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边是a b c ，，，0=++GC GB GA 且0=⋅GB GA ，若tan tan tan tan tan A B mA B C+=，则实数m 的值是（ ）A.12B.13C.14D.157.在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M ，使得BM CN ⊥，则cos A 的取值范围为_______.8.已知向量,a b 满足|a |=1,|2|a b -=a 在b 方向的投影为12，则(+2)b a b ∙= .【考点1针对训练】 1. 【答案】12【解析】b 在a 方向上的投影为:11||cos ,2||a bb ab a ⋅<>===. 2. 【答案】6【考点2针对训练】 1. 【答案】 D2. 【答案】3-【解析】(1,3),()()0a b m a b c a b c -=---⊥⇒-⋅=,即3(1)(2)30m ⨯--+-⨯=，解之得3m =-. 3.【答案】－ 3【解析】由()()m n m n +⊥-，得()()220m n m n m n +⋅-=-=，所以2222(1)1(2)2t t ++=++，解得3t =-．【考点3针对训练】 1. 【答案】21 【解析】设,AB c AC b ==，由1120,2A AB AC ∠=⋅=-，即有1cos1202bc =-，得1bc =，点M 是BC 的中点，则()12AM AB AC =+，()()22222112144AM AB AC AB AC c b =++⋅=+-()()11121211444bc ≥-=⨯-=．当且仅当1b c ==取得最小值，且为14．则AM 的最小值为12,故答案为：21．2. 【答案】D【解析】如图，设由题意,,,OA a OB b OC c ===由1a a a b b c ⋅=⋅=⋅= ，可知()0b a c ⋅-=即()b a c ⊥-，即()OB OA OC ⊥-，即OB CA ⊥，设,AOB AOC θϕ∠=∠=，由2a c ⋅=可知cos 2c ϕ=即2OD =，由1a =知1OA =，则1AD =，在Rt OCD 和Rt ACD 中，可知sin tan 2c πϕθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1tan AD θ==，又1cos 1cos b b θθ=∴=，则2222222,a b c a b c ab bc ac ++=+++++，将1a a a b b c ⋅=⋅=⋅=，2a c ⋅=代入，2221212122a b c b c ++=+++⨯+⨯+⨯229b c =++2219cos c θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭221tan 9c θ=+++222110sin c c ϕ=++()2221101cos c c ϕ=++-2222110cos c c c ϕ=++-221104c c =++-22141416,4c c =+-+≥-当且仅当22144c c=--故4a b c ++≥，故选D.【三年高考】 1. 【答案】B2. 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 3. 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．4. 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为125. 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC BC ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点(),x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ． 6. 【答案】B7.【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A .8.【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．9.【答案】B.10.【答案】A【解析】因为22||()a b a b +=+=r u r r r 222a b a b ++⋅r r r r =10， 22||()a ba b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r，故选A.11. 【答案】2212. 【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)a b ==，则(2,OQ =，(cos ,sin )OP x x =，区域Ω表示的是平面上的点到点Q 的距离从r 到R 之间，如下图中的阴影部分圆环，要使CΩ为两段分离的曲线，则13r R <<<，故选A.【一年原创真预测】 1.【答案】A【解析】由题，得2(22,7)a b k -=--，又(2)a b c -⊥，所以(2)0a b c -⋅=，即1(22)720k ⨯--+⨯=，解得6k =，所以2||(b k =+=，故选A ．2.【答案】A3.【答案】-1【解析】∵ 2||=，)2(+⊥，∴)2(+∙=02||2=∙+b a a ，∴2||21-=∙=-2，∴向量在向量||a =-1.4.【答案】1-5. 【答案】32π 【解析】由4)3()(=-⋅+得，4||2322=-⋅+，即422432=-⋅+⨯，得2-=⋅.∴21222||||,cos -=⨯-=>=<b a ，∴>=<b a ,32π. 6.【答案】A【解析】由题知，G 是三角形的重心，所以()13AG AB AC +=uuu r uu u r uuu r，()()11233BG BA BC AC AB +=-=uu u r uu r uu u r uuur uu u r .因为()()1209AG BG AB AC AC AB =+-=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r g ，即2220AC AB AB AC --=u u u r u u u r u u u r u u u r g ，所以()222221202b c b c a --+-=，整理得：2225a b c +=①因为tan tan tan tan tan A B mA B C+=，所以()tan tan tan tan tan A B C m A B +=，即()sin cos sin cos sin cos sin sin B A A B C m C A B +=，即2sin cos sin sin C m C A B =，即22222a b c c mab ab +-=⨯，将①代入得2222212c m a b c ==+-.7.【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,838.【答案】34【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，则||cos a θ=12，解得cos θ=12，由|2|a b -=224||4||||cos ||a a b b θ-+=12，即242||||12b b -+=，解得||4b =，所以(2)b a b ∙-=22||a b b ∙+2114242⨯⨯+⨯=34.。
名师一轮效果监测届高考数学一轮复习检测《平面向量的数量积及平面向量的应用》word版含解析
平面向量的数目积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号数目积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、12一、选择题1.(2021年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,那么|a+b|等于(B)(A)(B)(C)2(D)10分析:∵a⊥b,∴x-2=0,x=2.∴|a+b|====.应选B.2.(2021乐山市第一次调研)两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),假定⊥a,那么实数k的值为( C )(A)2(B)1(C)-1(D)-2分析:由=(2,3),由于⊥a,因此2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,应选C.3.(2021年高考辽宁卷)两个非零向量a、b知足|a+b|=|a-b|,那么下边结论正确的选项是 ( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b分析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,应选B.法二几何法:以下列图,在?ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,a⊥b,应选B.4.(2021玉溪一中月考)|a|=6,|b|=3,a·b=-12,那么向量a在向量b方向上的投影是(A)(A)-4(B)4(C)-2(D)2分析:cos<a,b>== =-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,应选A.5.(2021东北四校联考)平面向量a和b,|a|=1,| b|=2,且a与b的夹角为120°,那么|2a+b|等于(A)(A)2(B)4(C)2(D)6分析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos120°=4,因此|2a+b|=2,应选A.6.(2021成都市高三一诊模拟)向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,1),那么|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0(B)4,0(C)16,0(D)4,4分析:|2a-b|=|(2cosθ-,2sinθ-1)|==,因此最大值和最小值分别为4,0.应选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C知足++ =0,那么向量,的夹角为.分析:∵A,B,C为单位圆上三点,∴||=||=||=1,又+ +=0,∴-= +,∴=(+ )2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2021年高考天津卷)直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,那么|+3 |的最小值为.分析:如图成立平面直角坐标系,设C(0,b),那么B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),那么+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3 |2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3 |2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2021德州一模)a=(m,n),b=(p,q),定义a?b=mn-pq,以低等式中,①a?a=0;②a?b=b?a;③(a+b)?a=a?a+b?a;(a?b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),必定成立的是.(填上全部正确等式的序号 )分析:由a?b的定义可知,①a?a=mn-mn=0,故①正确,②a?b=mn-pq,b?a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),因此(a+b)?a=(m+p)(n+q)-mn,而a?a+b?a=pq-mn,故③错误,④(a?b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,因此(a?b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.a、b、c是同一平面内的三个向量,此中a=(1,2).(1)假定|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)假定|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cosθ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.假定·=·=k(k∈R).判断△ABC的形状;假定k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcosA,·=bacosC,bccosA=abcosC,依据正弦定理,得sinCcosA=sinAcosC,即sinAcosC-cosAsinC=0,sin(A-C)=0,A=C,即a=c.那么△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccosA=bc·=.=k=2,即=2,解得b=2.12.(2021山东省威海市高三第一次模拟)向量m=(2cos x,cos x-sinx),n=,且知足f(x)=m·n.求函数y=f(x)的单一递加区间;(2)设△ABC的内角A知足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·= ,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x〔sin x+cosx〕+ s in x·cosx-sin2x=2 sin x·cosx+cos2x-sin2x= sin2x+cos2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单一递加区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·= ,即bccosA=,bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。
课时达标检测(二十八) 平面向量的数量积及其应用及答案
解析：选 B 由 a· (a－b)＝0，可得 a· b＝a2＝1，由|a－b|＝ 3，可得(a－b)2＝3，即 a2－2a· b＋b2＝3， 解得 b2＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a· b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2 3. 4．(2017· 洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a· (b－a)＝2，则向量 a 与 b 的夹角为( π A. 2 π B. 3 π C. 4 π D. 6 a· b 3 1 ＝ ＝ ，所以向量 a 与 b |a||b| 1×6 2 )
)
3．设向量 a，b 满足|a|＝1，|a－b|＝ 3，a· (a－b)＝0，则|2a＋b|＝( A．2 B．2 3 C．4 D．4 3
)
4．(2017· 洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a· (b－a)＝2，则向量 a 与 b 的夹角为( π A. 2 π B. 3 π C. 4 π D. 6
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB ＝(1，－2)， AD ＝(2,1)，则
AD ·AC ＝(
A．5
) B．4 C．3 D．2
3．若平面向量 a＝(－1,2)与 b 的夹角是 180° ，且|b|＝3 5，则 b 的坐标为( A．(3，－6) B．(－3,6) C．(6，－3)
解析：选 B 因为 a＝(－2，m)，b＝(1， 3)，所以 a－b＝(－2，m)－(1， 3)＝(－3，m－ 3)．由(a －b)⊥b，得(a－b)· b＝0，即(－3，m－ 3)· (1， 3)＝－3＋ 3m－3＝ 3m－6＝0，解得 m＝2 3，故选 B. 3．设向量 a，b 满足|a|＝1，|a－b|＝ 3，a· (a－b)＝0，则|2a＋b|＝( A．2 B．2 3 C．4 D．4 3 )
平面向量复习.doc
第五章 平面向量●网络体系总览平面向量解斜三角形向量的概念向量的运算向量的表示向量的应用几何表示坐标表示代数运算几何运算线段的定比分点平移正弦定理余弦定理●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a 与b 方向相反，可设b =（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b |=35=224λλ+，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b =（－3，6）. 答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34 D.－34 解析：由a ∥b ，∴3cos α=4sin α.∴tan α=43. 答案：A3.若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且=a ，=b ，则等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21bD.a －21b 解析：BE =AE －AB =AD +DE －AB =AD +21AB －AB =b －21a . 答案：B4.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 解析：a 与b 共线⇔存在实数m ，使a =m b ， 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线， ∴⎩⎨⎧==.1k m mk ，∴k =±1.答案：D5.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 解析：|a +b |=6464+=82（km ）. 答案：82 km 东北方向●典例剖析【例1】 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6剖析：欲求|a +b |，一是设出a 、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算. 解法一：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则x 12+y 12=1，x 22+y 22=4，a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2）， ∴（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=4. ∴x 12－2x 1x 2+x 22+y 12－2y 1y 2+y 22=4. ∴1－2x 1x 2－2y 1y 2=0.∴2x 1x 2+2y 1y 2=1.∴（x 1+x 2）2+（y 1+y 2）2=1+4+2x 1x 2+2y 1y 2=5+1=6. ∴|a +b |=6.解法二：∵|a +b |2+|a －b |2=2（|a |2+|b |2）， ∴|a +b |2=2（|a |2+|b |2）－|a －b |2 =2（1+4）－22=6. ∴|a +b |=6.故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.AGB CDE剖析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=－GC，即只需证GA+GB与GC互为相反的向量.证明：以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由G 为△ABC的重心知AG=2GD，从而GA=－2GD.∴GA+GB+GC=－2GD+2GD=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=t AB.再用以O为起点的向量表示.证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=t AB.∴OP－OA=t（OB－OA）.∴OP=OA+t OB－t OA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展①本题也可变为OA，OB不共线，若OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明AP与AB共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 【例4】 若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 解：（1）设a －t b =m ［a －31（a +b ）］（m ∈R ），化简得（32m －1）a =（3m－t ）b . ∵a 与b 不共线， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.2123030132t m t m m ， ∴t =21时，a 、t b 、31（a +b ）的终点在一直线上. （2）|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°=（1+t 2－t ）|a |2，∴t =21时，|a －t b |有最小值23|a |. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题. 思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?●闯关训练 夯实基础1.（2004年广东，1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－3 解析：由a ⊥b ，则3x －3=0，∴x =1. 答案：B2.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有 A.a ∥b 且a 、b 方向相同 B.a =b C.a =－b D.以上都不对 解析：a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，∴a ∥b 且方向相同. 答案：A3.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 A.B.BDC.ADD.解析：－－=－=+=. 答案：C4.设四边形ABCD 中，有=21AB 且|AD |=||，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：∵DC =21AB ，∴DC ∥AB ，且DC ≠AB .又|AD |=|BC |，∴四边形为等腰梯形. 答案：C5.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a .解：设a =λ1b +λ2c ，即－l 1+3l 2=λ1（4l 1+2l 2）+λ2（－3l 1+12l 2）， 即－l 1+3l 2=（4λ1－3λ2）l 1+（2λ1+12λ2）l 2，∴⎩⎨⎧-=-.31221342121＝＋，λλλλ解得λ1=－181，λ2=277，故a =－181b +277c . 6.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：e 12=4，e 22=1，e 1·e 2=2×1×cos60°=1， ∴（2t e 1+7e 2）·（e 1+t e 2）=2t e 12+（2t 2+7）e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.∴2t 2+15t +7＜0.∴－7＜t ＜－21.设2t e 1+7e 2=λ（e 1+t e 2）（λ＜0）⇒⎩⎨⎧==λλt t 72⇒2t 2=7⇒t =－214， ∴λ=－14. ∴当t =－214时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是（－7，－214）∪（－214，－21）. 思考讨论向量a 、b 的夹角为钝角，则cos 〈a ，b 〉＜0，它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?解：∵d =λ（2e 1－3e 2）+μ（2e 1+3e 2） =（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d =k c ，即（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2=2k e 1－9k e 2，由⎩⎨⎧-=+-=+，，k k 933222μλμλ得λ=－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d 与c 共线.8.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=a ，=b ，试用a 、b 分别表示、和.解：由三角形中位线定理，知DE 21BC . 故=21BC ，即=21a . CE =CB +BD +DE =－a +b +21a =－21a +b ， =MD +DB +=21ED +DB +21=－41a +21a －b =41a －b . 探究创新9.在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示.解：由已知得=31，AN =41AC .设ME =λMC ，λ∈R ，则AE =AM +ME =AM +λMC . 而=－AM ，∴=+λ（－） =31+λ（－31）. ∴=（31－3λ）+λAC .同理，设NE =t NB ，t ∈R ，则AE =AN +NE =41AC +t NB =41AC +t （AB －AN ）=41+t （AB －41）. ∴=（41－4t）+t . ∴（31－3λ）+λ=（41－4t）+t .由AB 与AC 是不共线向量，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-，，441331t t λλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.113112t ，λ∴AE =113AB +112AC ， 即=113a +112b . 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.●思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a =λb ，只有b ≠0才是正确的.而当b =0时，a ∥b 是a =λb 的必要不充分条件. 4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题. 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. ●教师下载中心 教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例【例题】 对任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 证明：分三种情况考虑.（1）当a 、b 共线且方向相同时，|a |－|b |＜|a +b |=|a |+|b |，|a |－|b |=|a －b |＜|a |+|b |. （2）当a 、b 共线且方向相反时，∵a －b =a +（－b ），a +b =a －（－b ），利用（1）的结论有||a |－|b ||＜|a +b |＜|a |+|b |，|a |－|b |＜|a －b |=|a |+|b |.（3）当a ，b 不共线时，设OA =a ，OB =b ，作OC =OA +OB =a +b ，BA =OA －OB =a －b ，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a |－|b ||＜|a ±b |＜|a |+|b |.综上得证.。
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课时达标检测(二十五）平面向量的数量积及其应用［小题对点练——点点落实]对点练（一) 平面向量的数量积1．已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D，E分别是边AB，BC的中点,连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则错误!·错误!的值为( )A．－错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：选B如图所示，错误!·错误!＝(错误!＋错误!）·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝－错误!错误!·错误!＋错误!错误!·错误!＝－14＋错误!＝错误!.2．已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC,DC上，BC＝2BE，CD＝λCF。
若错误!·错误!＝－9,则λ的值为（)A．2 B．3C．4 D．5解析：选 B 依题意得错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，因此错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!2－错误!错误!2＋错误!错误!·错误!,于是有错误!×62＋错误!×62×c os 60°＝－9。
专题检测题组-平面向量的数量积及其应用
6.2 平面向量的数量积及其应用一、选择题1.(2022届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面向量a,b,c,下列选项中正确的是( ) A.若λa +μb=0,则λ=μ=0 B.若a ·b=a ·c,则b=c C.若(a ·b)c=(a ·c)b,则b=c D.a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角答案 D 对于选项A,当a 与b 共线时,也可以满足已知条件,所以A 错;对于选项B,a 可能为0,所以B 错;对于选项C,向量数量积运算不满足结合律,所以C 错;对于选项D,a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120°,所以D 正确,故选D.2.(2022届云南质检(一),3)在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,D 点是AB 边的中点,BC=8,CA=12,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-40B.52C.92D.-18答案 A 在△ABC 中,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12×(82-122)=-40,故选A.3.(2022届贵阳摸底,6)在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=3,若点D,E 分别是斜边BC 的三等分点,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.2B.√5C.4D.5答案 C ∵∠BAC=90°,AB=AC=3,∴以A 为坐标原点,AB 、AC 所在直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E 分别是BC 的三等分点,所以可取E(2,1),D(1,2),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2+2×1=4.故选C.4.(2022届河南三门峡11月模拟,10)已知菱形ABCD 的边长为4,点M 是线段CD 的中点,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-409B.409C.-209D.209答案 A 由已知得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×23×16-12×16=329-8=-409,故选A.5.(2021郑州一模,4)设a,b 为单位向量,且|a-b|=1,则|a+2b|=( ) A.√3 B.√7 C.3 D.7答案 B 由a,b 为单位向量,且|a-b|=1,可得a 2-2a ·b+b 2=1,可得a ·b=12,则|a+2b|=√a 2+4a ·b +4b 2=√1+2+4=√7.故选B.6.(2022届皖南八校联考(一),11)设单位向量a 与非零向量b 的夹角是2π3,且|a-b|=√3|a|,则|a-tb|的最小值为( ) A.√33B.√32 C.12D.1 答案 B 由|a-b|=√3|a|可得a 2-2a ·b+b 2=3a 2,又a ·b=|a||b|cos 2π3=-12|a||b|,|a|=1,从而|a|=|b|=1,∴|a -tb|=√|a -tb|2=√a 2-2ta ·b +t 2b 2=√t 2+t +1=√(t +12)2+34,当且仅当t=-12时,|a-tb|取最小值√32,故选B.7.(2019课标Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B 解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a ·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos<a,b>-|b|2=0,即cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π3,故选B.解法二:如图,令OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以∠AOB=π3,即<a,b>=π3.故选B.思路分析 由两向量垂直的充要条件建立方程求解;另外一个思路是在三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.8.(2020河南十所名校联考,7)已知非零向量a,b 满足|a |=λ|b|,若a,b 夹角的余弦值为1930,且(a-2b)⊥(3a+b),则实数λ的值为( ) A.-49 B.23 C.32或-49 D.32答案 D 由(a-2b)⊥(3a+b)得(a-2b)·(3a+b)=0,即3a 2-5a ·b-2b 2=0,∵|a |=λ|b|,cos<a,b>=1930,∴a ·b=|a||b|cos<a,b >=λ|b|2·1930=19λ30|b|2. ∴3λ2|b|2-5×19λ30|b|2-2|b|2=0,又知|b|≠0,∴3λ2-196λ-2=0,即18λ2-19λ-12=0,解得λ=32或-49,又∵λ>0,∴λ=32,故选D.思路分析 由|a |=λ|b|以及垂直关系建立关于λ的方程,解方程求得λ的值,此处要注意λ的取值范围. 9.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,5)若向量a=(3,√x ),|b|=5,a ·b=10,a 与b 的夹角为60°,则x=( )A.16B.4C.7D.√7答案 C 由题意得a ·b=|a||b|cos 60°=52|a|=10⇒|a|=4,故|a|=√32+x =4,解得x=7.故选C.10.(2022届山西朔州怀仁期中,9)下列说法中正确的是( )A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(-53,+∞) B.向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34),可以作为平面内所有向量的一组基底C.非零向量a 和b,满足|a|>|b|,且两个向量同向,则a>bD.非零向量a 和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30° 答案 D 对于A,a +λb =(1+λ,2+λ),因为a 与a +λb 的夹角为锐角,所以cos<a,a +λb>=a ·(a+λb)|a|·|a+λb|=√1+2·√(1+λ)+(2+λ)∈(0,1),解得λ>-53且λ≠0,故A 中说法错误;对于B,e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B 中说法错误;对于C,两个向量的模可以比较大小,但两个向量不能比较大小,故C 中说法错误;对于D,不妨令|a|=|b|=|a-b|=1,则|a-b|2=(a-b)2=a 2-2a ·b+b 2=2-2a ·b=1,所以a ·b=12,则|a+b|2=(a+b)2=a 2+2a ·b+b 2=3,所以|a+b|=√3,所以cos<a,a+b>=a ·(a+b)|a|·|a+b|=1+121×√3=√32,因为<a,a+b>∈[0,π],所以<a,a+b>=π6,故D 中说法正确.故选D.11. (2022届吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy 中,x 轴的正方向与y 轴的正方向成60°角,向量e 1是与x 轴正方向同向的单位向量,向量e 2是与y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1+ye 2,则称有序数对<x,y>为向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,记作OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =<x,y>.在此斜坐标系xOy 中,已知向量a=<1,2>,b=<5,-4>,则向量a 与b 夹角的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 C 由题意得|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=|e 1||e 2|cos 60°=12,因为a=<1,2>,b=<5,-4>,即a=e 1+2e 2,b=5e 1-4e 2,所以a ·b=(e 1+2e 2)·(5e 1-4e 2)=5e 12+6e 1·e 2-8e 22=-3+6e 1·e 2=0,即a ⊥b,所以<a,b>=π2,故选C.二、填空题12.(2022届江西赣州赣县三中期中,15)已知AM,BN 分别为圆O 1:(x+1)2+y 2=1与O 2:(x-2)2+y 2=4的直径,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 . 答案 [0,8] 解析 如图.AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]·[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9-|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.而|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2-1,2+1]=[1,3],∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,8].13.(2022届吉林通化梅河口五中月考,16)①若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m>-34.②点O 在△ABC 所在的平面内,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点O 为△ABC 的垂心. ③点O 在△ABC 所在的平面内,若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6.④点O 在△ABC 所在的平面内,若满足AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |且CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点O 是△ABC 的外心. 以上命题为假命题的序号是 . 答案 ①④解析 对于①,BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m),因为∠ABC 为锐角,所以cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10·√(1+m)+m 2>0,即m>-34,又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以3m-(1+m)≠0,所以m>-34且m ≠12,故①中命题是假命题.对于②,因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点O 为△ABC 的垂心,故②中命题是真命题. 对于③,若E,F 分别是边BC,AC 的中点,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即E,O,F 三点共线且OE=2OF,如图a.过E,O,B 作AC 边的垂线段,长度分别为h 1,h 2,h 3,易知ℎ2ℎ1=13,ℎ1ℎ3=12,则ℎ2ℎ3=16,所以S △AOC ∶S △ABC =1∶6,故③中命题是真命题.对于④,如图b,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥AC 于E,OF ⊥BC 于F,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,易知O 为△ABC 的内心,故④中命题是假命题.图a图b14.(2022届河南段考三,14)已知向量a=(-4,x),b=(3,2),若a ⊥b,则|a|= . 答案 2√13解析 因为a ⊥b,所以-4×3+2x=0,得x=6,故|a|=√(-4)2+62=2√13.15.(2022届贵阳月考,14)已知平面向量a,b 的夹角为π3,且a=(2,0),|b|=1,则|2a-b|= .答案√13解析 由a=(2,0)得|a|=2,又a,b 的夹角为π3,|b|=1,故(2a-b)2=4a 2-4a ·b+b 2=4|a|2-4|a||b|cos π3+|b|2=13,所以|2a-b|=√(2a -b)2=√13.16.(2022届安徽蚌埠调研,14)已知|a|=1,|b|=2,|a-2b|=√13,则向量a 、b 的夹角为 . 答案π3解析 设向量a 、b 的夹角为θ,因为|a-2b|=√13,所以|a-2b|2=13,即1+16-8cos θ=13,得cos θ=12,因为0≤θ≤π,所以θ=π3.17.(2022届山西运城期中,13)在△ABC 中,若AB=2,AC=√3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 150°解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC=4-2√3cos ∠BAC=7,解得cos ∠BAC=-√32,又知0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=150°,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°.18.(2022届合肥10月联考,13)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是 . 答案(-34,12)∪(12,+∞)解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-m,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m).若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有3(1-m)-(2-m)=0,解得m=12;若∠ABC 为锐角,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m+m>0,解得m>-34.由上分析知,当m=12时,AB →与AC →同向共线,所以当∠ABC 为锐角时,m ≠12,故实数m 的取值范围为(-34,12)∪(12,+∞).。
平面向量的数量积与平面向量应用举例Word版含答案
平面向量的数量积与平面向量应用举例【课前回顾】1．向量的夹角和，则(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.【课前快练】1．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．3解析：选B 因为a ·b ＝|a ||b |c os 135°＝－122， 所以|b |＝－1224×⎝⎛⎭⎫－22＝6. 2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a－b )等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.3．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解析：选A ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直， 所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7. 答案：75．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |c os θ＝4×c os 120°＝－2. 答案：－2考点一 平面向量的数量积的运算考法(一) 利用数量积定义进行运算1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，解得m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 2．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |c os 60°＝210×10×12＝10.答案：103．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 2|2.其中|e 1|2＝|e 2|2＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·c os π3＝1×1×12＝12，所以b 1·b 2＝－6.答案：－6考法(二) 平面图形中数量积的运算 计算有关平面几何中数量积的方法(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算法则求得．4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12AB ―→－13AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24.5．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0， 即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.答案：146．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (c os α，sin α)，则AP ―→＝(c os α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(c os α＋2，sin α)＝2c os α＋4≤6，当且仅当c os α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法三：AO ―→·AP ―→表示AP ―→在AO ―→方向上的投影与|AO ―→|的乘积．当点P 在点B (1,0)处时，AO ―→·AP ―→有最大值，此时AO ―→·AP ―→＝2×3＝6.答案：6考点二 平面向量数量积的性质角度(一) 平面向量的模 求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2. (2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：由题意，a ·b ＝|a |·|b |c os 60°＝2×1×12＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×1＋4＝2 3. 答案：2 32.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.解析：AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|c os 60°＝1×3×12＝32，又AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以AO ―→2＝14(AB ―→＋AC ―→)2＝14(AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2)，即AO ―→2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA ―→|＝132. 答案：132角度(二) 平面向量的夹角 求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.[注意] 〈a ，b 〉∈[0，π]．3．(2018·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4解析：选A 因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×c os π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以c os 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析：选D ∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c ·a|c |·|a |＝c ·b|c |·|b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.角度(三) 平面向量的垂直1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．5．(2018·湘中名校联考)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0， 即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1， 所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.6．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：712【针对训练】1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2解析：选A 法一：a ＋b ＝(2λ＋2,2)，a －b ＝(－2,0)，由|a ＋b |＝|a －b |，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.法二：由|a ＋b |＝|a －b |，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，故a ·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.2．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意，得(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝c os 60°，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：333．已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为________． 解析：由AB ―→·BC ―→＝0可知，AB ―→⊥BC ―→.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )， 则AD ―→＝(x －1，y )，DC ―→＝(－x,2－y )． 由AD ―→·DC ―→＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝54. 所以点D 在以E ⎝⎛⎭⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上． 因为|BD ―→|表示B ，D 两点间的距离，而|EB ―→|＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝52.所以|BD ―→|的最大值为|EB ―→|＋r ＝52＋52＝ 5.答案： 5考点三 平面向量与三角函数的综合平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．【典型例题】(2017·江苏高考)已知向量a ＝(c os x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [思维路径](1)要求x 的值，需得到x 的关系式．由已知条件及两向量共线的坐标表示可得到关于x 的三角函数式，进而求得x 的值．(2)要求f (x )的最值，需把f (x )的关系式表示出来，由已知条件及f (x )＝a ·b 可得到f (x )的关系式是三角函数式，进而把问题转化为三角函数的最值问题，可求解．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3c os x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3c os x －3sin x ＝23c os ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤c os ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.【针对训练】已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2c os ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴c os ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1. ∵0<A <π，∴π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， 所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2.【课后演练】1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2D ．3解析：选D 依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，由(a ＋λb )·(2a －b )＝0，得2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，即－3λ＋9＝0，解得λ＝3.2．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且a ·(a －b )＝2，|a |＝2，则|b |等于( )A. 2 B ．2 3 C ．4D ．2解析：选D 因为a ·(a －b )＝2，所以a 2－a ·b ＝2，即|a |2－|a ||b |c a ，b ＝2，所以4－2|b |×12＝2，解得|b |＝2.3．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(x,4)，若(a －b )⊥c ，则c ·(a ＋b )＝( ) A ．(2,12) B ．(－2,12) C ．14D ．10解析：选C 由题意可得，a －b ＝(－4,1)，由(a －b )⊥c ，得(－4)×x ＋1×4＝0，即－4x ＋4＝0，解得x ＝1，所以c ＝(1,4)．又a ＋b ＝(2,3)，所以c ·(a ＋b )＝1×2＋4×3＝14.4．(2018·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×c os 45°＝2，∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.5．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )A ．－12B.32－1C.12D.32解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12. 6．(2018·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.7．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：328．(2018·张掖一诊)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________. 解析：∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝0，解得2a ·b ＝1， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝ 3. 答案： 39．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )，得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)， 所以c os 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45.答案：4510.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝(OA ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋AC ―→·AB ―→＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－1211．(2018·惠州三调)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0， 得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|， ∴△ABC 是等腰三角形．12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )， 所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.13．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 法一：如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|c os ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|， 而c os ∠AOB ＝c os ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2. 法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (0,2)，C (2，0)． 设D (m ，n )， 由AD ＝2和CD ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋(n －2)2＝4，(m －2)2＋n 2＝9， 从而有n －m ＝54>0，∴n >m .从而∠DBC >45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角． 从而∠AOB 为钝角．故I 1<0，I 3<0，I 2>0. 又OA <OC ，OB <OD ，故可设OD ―→＝－λ1OB ―→ (λ1>1)，OC ―→＝－λ2OA ―→(λ2>1)， 从而I 3＝OC ―→·OD ―→＝λ1λ2OA ―→·OB ―→＝λ1λ2I 1， 又λ1λ2>1，I 1<0，I 3<0，∴I 3<I 1，∴I 3<I 1<I 2.14．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 方向上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．解析：因为a ·b ＝3＋3m ，|a |＝1＋3＝2，|b |＝9＋m 2，由|b |cos 〈a ，b 〉＝3，可得a ·b |a |＝3，故3＋3m 2＝3，解得m ＝3，故|b |＝9＋3＝23，故cos 〈a ，b 〉＝323＝32，即〈a ，b 〉＝π6，故向量a 与b 的夹角为π6.答案：π615．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA ―→⊥OB ―→，|OA ―→|＝|OB ―→|.由OA ―→⊥OB ―→，得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0， 所以|a |＝|b |＝1，由|OA ―→|＝|OB ―→|，得|a －b |＝|a ＋b |， 所以a ·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB ―→|＝|OA ―→|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.答案：116．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )． 解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 当k ＝－7时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长． (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB ―→＝(3,5)，AC ―→＝(－1,1)， 则AB ―→＋AC ―→＝(2,6)，AB ―→－AC ―→＝(4,4)． 所以|AB ―→＋AC ―→|＝210，|AB ―→－AC ―→|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为210，4 2. (2)法一：由题设知，OC ―→＝(－2，－1)， AB ―→－t OC ―→＝(3＋2t,5＋t )， 由(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.法二：由(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，得AB ―→·OC ―→＝t OC ―→2，又因为AB ―→＝(3,5)，OC ―→＝(－2，－1)，|OC ―→|＝5， 所以t ＝AB ―→·OC ―→|OC ――→|2＝3×(－2)＋5×(－1)(5)2＝－115.。
平面向量的数量积及其应用
解析 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最 小值4.
| a b |2 | a b |2 | a b| | a b| ∵ ≤ = a 2 b 2 = 5 , 2 2
2 2 x12 y12 ,|b|= x2 y2 (2)|a|= .
平面向量的长度问题
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=
考点三
平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用
x1 x2 y1 y2
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为θ,则cos θ= . 2 (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a· b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, 得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= 10 cos θ, ≤cos θ≤ , y= 10 sin θ, ≤sin θ≤ . 设α1,α2为锐角,且sin α1= ,sin α2= ,
方法 2 求向量夹角问题的方法
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课时达标检测（二十八） 平面向量的数量积及其应用1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8D ．2解析：选 A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝3×4＝12.2．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( ) A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 3解析：选B 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B.3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．4D ．4 3解析：选B 由a ·(a －b )＝0，可得a ·b ＝a 2＝1，由|a －b |＝3，可得(a －b )2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.所以(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，所以|2a ＋b |＝2 3.4．(2017·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以向量a 与b 的夹角为π3. 5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ·DB 等于________．解析：因为DM ＝DA ＋AM ＝DA ＋13AB ，DB ＝DA ＋AB ，所以DM ·DB＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA ＋13 AB ·(DA ＋AB )＝|DA |2＋13|AB |2＋43DA ·AB ＝1＋43－43AD ·AB ＝73－43|AD |·|AB |·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.答案：1一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118解析：选B 如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF ＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析：选A ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ)AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1)AB ·AC ＋(1－λ)|AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12.二、填空题7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.答案：8 28．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π39．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．解析：设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9 三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12， 即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长．解：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，∴sin(A＋B)＝sin C，∴m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，cos C＝12，C＝π3.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.∵CA·(AB－AC)＝18，∴CA·CB＝18，即ab cos C＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.。