06第6章微分方程建模

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微分方程的建模与解析解法

微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。

本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。

二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。

具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。

2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。

3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。

4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。

三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。

以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。

2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。

3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。

4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。

5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。

四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。

假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。

使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。

通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。

微分方程模型的建立与求解

微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。

本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。

一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。

以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。

2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。

常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。

3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。

利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。

三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。

通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。

结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。

在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。

以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。

微分方程方法建模概述及举例

微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。

本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。

1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。

通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。

将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。

2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。

根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。

对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。

3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。

求解方法包括解析解和数值解两种。

解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。

数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。

4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。

通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。

现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。

1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。

已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。

求解该问题。

解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。

根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。

将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。

然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。

2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。

第二部 06.第六章常微分方程

y’ = y2t/y, y(0)=1, 0<t<4
>> odefun= inline('y-2*t/y','t','y') ; >> [t,y]=ode45(odefun,[0,4],1) ; >> [t,y] >> plot(t,y,'o') >> figure(2) >> ode45(odefun,0:1:4,1) ; %直接画图 >> [t,y]=ode45(odefun,0:1:4,1) ; [t,y]
ode23t ode15s
适度刚性问题梯形算法刚性方程组多步Gear法
deval
微分方程解的求值

所谓刚性方程指的是方程所描写的系统包含多个变化速率差别很大的子系统。如系统：
u ' 998u 1998v, u(0) 1 v ' 999u 1999v, v(0) 0
总结：
① ode45 误差小,精度高,但计算量大。 ② ode23 误差大,精度低,但计算量小。
③ 用刚性方程组解法解非刚性方程不好，
例如：ode23s，不仅计算量大，而且
误差也大。
例3 解微分方程组
x' x 3 y, x(0) 1 3 y ' x y , y (0) 0.5
其Matlab标准形式为
y ' (t ) f (t , y (t )) g ( ya, yb) 0 at b
这里y是2维向量，表示解函数x(t)及其导函数x’(t)。
求解三部曲：粗网络、解结构、数值化
2. 边值问题解法

微分方程的建模原理及应用

微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。

本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。

微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。

一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。

微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。

建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。

明确要研究的变量和参数。

2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。

3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。

4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。

微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。

•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。

•光学：描述光的传播和折射。

经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。

•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。

生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。

•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。

工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。

•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。

微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。

解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。

常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。

微分方程模型的建立

微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。

它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。

建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。

在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。

通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。

比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。

我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。

假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。

根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。

加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。

所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。

根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。

假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。

将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。

通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。

这可以帮助我们预测和理解质点的运动。

除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。

比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。

这些问题可以通过微分方程模型来描述。

考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。

我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。

根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。

通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。

第六章微分方程与数学建模1

第六章微分方程与数学建模
第一节微分方程第二节微分方程在数学建模中的应用
第一节微分方程
一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
1. 引例
例一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
dp dy

原方程化为
p
dp dy

f
(
y,
p)

设方程
p dp dy
f (y, p)
的通解为
y

p
(x,C1)

则利用
分离变量法得原方程的通解为

(
dy y,C1)

x

C2

四、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的一般形式
二阶常系数齐次线性微分方程的形式
如果 f (x) 不恒等于 0，则方程
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1

( 2
y1

y2 )
ex cos x,
y2

1 2i
( y1

y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sinx).
2.二阶常系数非齐次线性微分方程
解这是齐次方程，可以化成如下形式
dx x dy
x2 y2 x
y
y

x y
2
1
令

微分方程建模方法

求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
动态模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
微分方程建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
微分方程建模
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

微分方程方法建模

微分方程方法建模微分方程方法是数学中一种重要的建模方法，通过将实际问题抽象为微分方程，再进行求解，可以得到问题的解析解或数值解。

微分方程方法建模的过程通常包括问题的建立、方程的确定、初值条件的确定、求解方程、结果的分析和验证等步骤。

首先，问题的建立是微分方程方法建模的首要步骤。

在问题建立过程中，我们需要仔细分析问题，确定出其中的关键因素和变量，并找出它们之间的关系。

例如，可以考虑一个简单的生长模型，假设一个细菌种群的数量随时间的变化。

在这个问题中，关键因素是细菌的增长速率和死亡速率，变量是时间和细菌数量。

我们可以用微分方程来描述这个模型，令N(t)表示时间t时刻的细菌种群数量，则细菌种群数量随时间的变化满足微分方程dN/dt = rN - cN，其中r是细菌增长速率，c是细菌死亡速率。

确定微分方程是建立模型的核心工作。

通常情况下，微分方程可以由物理定律或经验公式导出，也可以根据问题的特点进行假设推导。

在确定微分方程的过程中，需要考虑到问题的实际情况，确定问题的边界条件和约束条件。

例如，在考虑一个容器中的流体流动问题时，可以利用质量守恒和动量守恒定律导出流体的运动方程，然后根据容器的几何形状和边界条件确定相应的边界条件。

确定微分方程后，还需要确定初值条件。

初值条件是微分方程问题的额外信息，通过初值条件我们可以确定方程的特定解。

初值条件可以是方程在一些特定时刻的解，也可以是方程在一些特定点的解。

例如，在考虑细菌生长模型时，我们可以通过实验测得初始时刻的细菌数量N0，则细菌生长模型的初值条件为N(0)=N0。

求解微分方程是微分方程方法建模的核心内容。

微分方程的求解可以分为解析解和数值解两种方法。

解析解是指能够用解析表达式表示出的方程解，它们可以通过分离变量、常数变易和变量替换等方法求解。

数值解则是通过数值计算方法得到的逼近解，常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

在实际建模中，求解微分方程时往往会根据问题的复杂程度和需求选择合适的求解方法。

微分方程的经典模型

模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符

微分方程建模方法

微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。

它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。

微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。

本文将详细介绍微分方程建模的方法。

经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。

它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。

经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。

例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。

经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。

这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。

理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。

它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。

理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。

例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。

根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。

这个模型可以求解得到物体的振动规律。

解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。

对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。

解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。

但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。

数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。

微分方程的建立步骤

微分方程的建立步骤
嘿，朋友们！今天咱来聊聊微分方程的建立步骤，这可有意思啦！
你想想啊，微分方程就像是一个神秘的密码锁，咱得一步步找到正
确的解法才能打开它。

首先呢，得明确问题。

就好比你要去一个地方，得先知道目的地在
哪儿呀！咱得搞清楚到底要研究啥现象，要解决啥难题。

这一步可不
能马虎，得瞪大眼睛瞧仔细咯！
然后呢，找出关键因素。

这就像是在一堆乱七八糟的东西里找出宝
贝一样。

把那些和问题紧密相关的因素给拎出来，可别把无关紧要的
也掺和进来。

接下来，建立数学模型。

嘿，这就有点像搭积木啦！把那些关键因
素用数学的语言、符号给组合起来，搭建成一个漂亮的模型。

这可得
有点想象力和创造力哦！
再然后，确定变量和未知函数。

这就像是给每个角色起个名字一样，让它们在这个数学的舞台上各就各位。

之后呢，根据物理规律或者已知条件列出方程。

这就好比给这些角
色设定好他们的行动规则，让一切都有章可循。

在这个过程中，可别掉以轻心啊！就像走钢丝一样，得小心翼翼的。

建立好微分方程后，咱还得检查检查，看看有没有漏洞，有没有不合理的地方。

这就跟检查作业似的，可不能马马虎虎交差了事。

你说这建立微分方程的过程像不像一场刺激的冒险？每一步都充满了挑战和惊喜！咱得用心去感受，去探索，才能找到那把解开神秘密码的钥匙。

总之啊，微分方程的建立步骤可不能小瞧，得认真对待，才能在数学的海洋里畅游无阻呀！大家加油哦！。

微分方程模型

图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt

p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量时应把示范效应和广告效应一起考虑。而广告只对没采用该技术的企业起作用。假设其引起的增量与（N-p）成正比

微分方程建模

2
一、数学建模的基本思维过程
转化实际问题
1、对要讨论的问题所涉及的重要特征进行合理的数学刻画（转化），即用数学语言对问题涉及到的重要特征进行表述. 2、寻求的实际问题的文字叙述，利用一些原则或定律，将其转化为数学描述。解数学问题用数学工具求解得到的数学问题。
3
二、微分方程模型
a、微分方程建模的对象涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确定性连续问题。 b、微分方程建模的基本手段微元法等
所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、合理的假
设。假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详尽，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。
5、分析与建立模型
• 根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。建模时应尽量采用简单的数学工具，
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
答：船速每小时20千米/小时. 求解
x =20 y =5
18
航行问题建立数学模型的基本步骤 • 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
(3.5)
(3.6)
(பைடு நூலகம்.7)
23
就是导弹轨迹的数学模型。值得注意的是，前面导出的一阶微分方程组(3.1)，(3.3)和

微分方程模型的建立与求解

微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。

其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。

很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。

因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。

一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。

在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。

对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。

例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。

此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。

在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。

对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。

例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。

二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。

微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。

对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。

对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。

这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。

这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。

三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。

微分方程方法建模

运动消耗量/天=69(J/kg.d) ×w(t)(kg) w (t t ) w (t ) w 体重的变化/天= ( kg / d ) t t 在上述描述中，等式两边的单位是不相匹配的，下面公式将两个单位换算成统一形式： J /d 1kg / d 41868 J / kg 建模由上面分析，体重w(t)满足下面关系式
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、 D3 等表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程
例1
解
d y dx
2
2
2
0 应表达为：D2y=0.
求
du dt
1 u
的通解.
输入命令：u=dsolve('Du=1+u^2','t')
化是由什么因素引起的，每天体重的变化满足下面关系：体重的变化=输入-输出输入=扣除基本的新陈代谢之后的净吸收量输出=进行健身训练时的消耗量为考虑导数，连续函数w(t)的瞬时变化满足下面关系式：体重的变化/天=净吸收量/天-运动消耗量/天其中净吸收量/天=10467-5038=5429(J/d)
建立模型
若开始时草地是干燥的，即Q(0)=0.降雨速度为常数r m/s,下雨持续c小时后，草地积了hcm高的水量。在下雨时草地的水量的改变只是由水的流入量(降水)与流出量(渗入)所引起的；停雨后，草地水量的改变是由流出量(渗入，蒸发)引起的。由此本模型遵循下面的模式草地积水量的改变量=流入量-流出量
10 5 10 3 Q ( t ), 0 t 1800 dQ 3 4 dt 10 Q ( t ) 5 10 Q ( t ), t 1800 当 0 t 1800时，有解得 Q(t)=0.01(1-e dQ dt 10

微分方程模型

微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。

通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。

本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。

基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。

微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。

通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。

常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。

解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。

解析解是指能够用数学公式精确表示的解。

解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。

一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。

数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。

微分方程模型

微分方程模型
微分方程是数学里最为重要的概念之一，这一概念在现代时代中发挥了越来越
重要的作用。

它用来描述以微小变化为基础的变化，模拟出自然界各种现象。

在互联网领域，微分方程可用来模拟用户在网络上的流量消费，解决用户多终端同时连接问题，还可以预测网络使用情况，帮助网络运营商决策有关网络投资的事宜。

微分方程首先要确定一个模型，因此，基础的微积分学知识对构建微分方程模
型是必不可少的。

要实现精确的模型，有必要首先考察网络中各种变量，比如稳定性、带宽、负载、容量等，并使用微积分方式，可以推导出一定的微分方程。

在根据这些方程完成模型分析后，可以因果分析得出不同的变量之间的联系。

构建出的微分方程模型，更进一步可以用来数值模拟，利用方程组信息和网络
设置，模拟并计算出网络中某种信息的变化和分布情况，从而及早识别出性能问题，调整网络性能设置。

此外，由于微分方程在处理数据时保持原有数据平稳性，并能够有效减少错误发生率，因此在工业界和学术界得到了广泛的应用。

综上所述，微分方程模型在互联网应用领域正在发挥越来越重要的作用。

它的
建模性质和精确性，不仅能够为企业提供有效的决策参考，而且还可以帮助把握未来网络使用状况，提升大量用户的网络使用体验。

微分方程的建模与求解方法

微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。

微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。

一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。

它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。

变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。

2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。

常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。

3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。

微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。

4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。

初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。

5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。

常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。

二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。

1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。

通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。

2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。

通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。

3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。

通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。

4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。

通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。

5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。

通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。

以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。

在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。

06第6章 微分方程建模

微分方程的建模与解析解法

微分方程模型的建立与求解

微分方程方法建模概述及举例

第二部 06.第六章 常微分方程

微分方程的建模原理及应用

微分方程模型的建立

第六章微分方程与数学建模1

微分方程建模方法

微分方程方法建模

微分方程的经典模型

微分方程建模方法

微分方程的建立步骤

微分方程模型

微分方程建模

微分方程模型的建立与求解

微分方程方法建模

微分方程模型

微分方程模型

微分方程的建模与求解方法

06第6章微分方程建模

第二部 06.第六章常微分方程