1.7 概率论1

B = BA1 BA2 BAn
A1 , A2 , An
BA1 BA2
样本空间 S 的一个划分。
…... …...
S
BAn
A1
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A2
An
1) 全概率公式： 设随机事件 A1 , 满足：
A2 , , An 以及 B
1． 1 , A
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2) 概率的公理化定义
设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P ( A) ,
称为事件 A 的概率，要求集合函数 P () 满足 下列条件：
1
0
0
0 P ( A) ;
P( S ) 1 ;
若A1 , A2 , 是两两互不相容事件, 则
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2.随机事件的概 率
(1) 概率的定义及性质 1) 频率: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称 为 事件 A 发生的频数.比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) . 频率具有波动性和稳定性,频率的稳定值称为概率
3 A3 1 解（1）P ( E1 ) 2 4 C5 A4 40
4 A4 1 （2） P ( E2 ) 2 4 C5 A4 10
1 9 P ( E2 ) 1 P ( E 2 ) 1 10 10
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(3)几何概型 几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的 随机试验。 首先看下面的例子。 例 2 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去
样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同. 1) 定义：我们把这类实验称为等可能概型，考虑到 它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古 典概型.
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2) 计算方法
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个 样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 .
把 A1 , A2 , , An 看作该过程的若干个原因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 P An 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB A 已知
n
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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2
30
P ( A1 A2 ) P ( A1) P ( A2)
3)
概率的性质
A
B S
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A S
BA
A
B
S
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(2) 等可能概型（古典概型）
则事件A的概率为：
A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
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例 1. 甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。
例8 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射 手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四 级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分 别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加 比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解：设 B 该小组在比赛中射中目 标
Ai 选i级射手参加比赛 由全概率公式，有
n 1
A2 , , An 两两互不相容；
S 或
2． An
B
A
n 1

n
；
3． An 0 n 1, P

2,
则有
P B P An P B An
n 1
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全概率公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果，
设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，
且二人互不影响。求二人能会面的概率。
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解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻， 于是 0 X 5, 0 Y 5. y 即 点 M 落在图中的阴影部 5 分。所有的点构成一个正
方形，即有无穷多个结果。
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一、
随机事件及概率
(2) 样本空间(Space)
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为
E 的样本空间，记为 S .样本空间的元素，
即 E 的每个结果，称为样本点.
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一、
随机事件的概率
(3) 随机事件
随机事件的概率
(4) 事件间的关系与运算
10 包含关系
A B
A
B
S
事件A发生

事件B发生
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20 和事件
30 积事件
A
B S
A
B S
A,B中至少有一个发生 A B 发生 A,B同时发生 A B 发生
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定义 设A、B是某随机试验中的两个事件，且
P A 0
则
P AB PB A P A
称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率， 简称为B在A之下的条件概率。 在例 5 中，我们已求得
3 1 P B , P B A 16 4
1． 1 , A
A1 , A2 , , An 以及B 满足
S 或 B
2． An
n 1

A2 , , An 两两互不相容；
A
n 1

n
；
3． An 0 n 1, P
y
5 4 3 2 1
y-x =1 y-x = -1
0
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1
2 3 4
5 x
3、条件概率
(1) 条件概率 设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P
A 0
则称事件B在事件A已发生的条件下的概率为B在 A之下的条件概率，记为
P B A
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例 3 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次． 则该试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球
由于每人在任一时刻到达
4 3 2 1
.M(X,Y)
都是等可能的，所以落在正
方形内各点是等可能的。
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0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是： | X Y | 1,
阴影部分的面积 p 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
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例 5 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
则
1 7 P A 1 P A 1 8 8 1 1 6 P AB 1 8 8 8
由乘法公式，我们有
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PB P A1 A2 An


P A1 PA2 A1 PA3 A1 A2 PAn A1 A2 An 1
1 2 3 n 2 3 4 n 1 1 n 1
随机事件: 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件； •基本事件: 有一个样本点组成的单点集； •必然事件: 样本空间 S 本身； •不可能事件: 空集. 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的 一个样本点在试验中出现.
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一、
例 6 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加 进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都 未取出黑球的概率． 解：
设 B 取了 n 次都未取出黑球

A i 第 i 次取出白球
则
i 1， 2， ， n
B A1 A2 An
40 差事件
A
B
A
B
A B 发生 A发生且B不发生
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50
互不相容
60 对能同时发生
A,B有且只有一个发生
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(5)
随机事件的运算规律
幂等律: 交换律: 结合律: 分配律: De Morgan定律:
4 PB P An P B An n 1
i 1， 2， 3 4


2 6 9 3 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
0.5275
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2)贝叶斯公式
设随机事件
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(3）全概率公式和贝叶斯公式
定义 设 S 为试验 E 的样本空间， A1 , A2 , An
为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为
Ai A j = , i j, i, j 1, 2 , , n ;
A1 A2 An S .
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3 P B 16
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率 ，因此这时所求的概率为
1 P B A 4
由于
4 1 P A , P AB 16 16
故
P AB PB A P A
所以
6 P AB 8 6 PB A P A 7 7 8
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(2)
乘法公式
由条件概率的计算公式