高中数学必修4同步分层能力测试AB卷三角恒等变换单元测试2

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数学人教A版必修4单元检测：三角恒等变换附答案含解

数学人教A 版必修4第三章三角恒等变换单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 105°＝( )A ．2B ．－2C ．－3D ．－22．已知sin2α＝45，cos 2α＝35-，则sin α等于( ) A ．1225- B ．725- C ．2425-D ．6253．函数y ＝3sin x －x 的最大值是( )A ．3＋B ．C ．6D ．34．若函数f (x )＝cos 22x －sin 22x ＋sin 4x (x ∈R )，则f (x )的( )A ．最小正周期为π2，最大值为1 B ．最小正周期为πC ．最小正周期为π2，最小值为D ．最小正周期为π，最小值为－15．函数f (x )＝1－2π2sin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )A ．B ．12-C ．12D 6．若cos α＝45-，α是第三象限角，则πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．10-B ．10C ．10-D ．107．已知x ∈π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，cos(π－x )＝45-，则tan 2x 等于( )A ．724B ．724-C ．247D ．247-8．函数f (x )＝(1x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2πB ．3π2C ．πD ．π29．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan 2θ的值为( ) A ．2B ．12C ．12或不存在 D ．2或不存在10．已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为__________． 12．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25，那么tan(β－2α)＝__________. 13．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α＝__________. 14．sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，则cos 2β＝__________. 15．在△ABC 中，sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝__________. 三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)(2011·广东惠州一模)已知函数f (x )＝2＋sin 2x ＋cos 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调增区间．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)．求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)．求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．。

高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试(II)卷

24. （5分） (2016高三上·闵行期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）的图象；
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．
25. （5分）已知关于x的方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单选题 (共15题；共30分)
1-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
.
B .
C .
D .
12. （2分） (2017高一上·眉山期末) 已知α是第一象限角，那么是（）
A . 第一象限角
B . 第二象限角
C . 第一或第二象限角
D . 第一或第三象限角
13. （2分） (2018高一下·平顶山期末) 已知，则（）
A .
B .
C .
D .
14. （2分）计算cos18°cos42°﹣cos72°cos48°=（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
7. （2分） (2017高一下·简阳期末) 已知cos α= ，α∈（），则cos 等于（）
A .
B . ﹣
C .
D . ﹣
8. （2分）已知f（x）=2sinωx（cosωx+sinωx）的图象在x∈[0，1]上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为（）

高中数学必修4同步分层能力测试AB卷三角恒等变换单元测试

第三章三角恒等变换单元测试一、选择题1. tan67°30′－tan22°30′等于( )A.1B.2 Ｃ.2 Ｄ.42. 下列等式中正确的是( )A.tan （α＋β）＝tan α＋tan βB.tan （α－β）＝tan α－tan βＣ.tan （2π－α）＝cot α Ｄ.tan （2π＋α）＝cot α 3. 已知cot α＝2，tan （α－β）＝－52，则tan （β－2α）的值是( ) 61D. 61C. 121B. 121A.-- 4. 设5π＜θ＜6π，cos 2θ＝a ，则sin 4θ等于 ( ) A.－21a + B.－21a - C.－21a + Ｄ.－21a - 5. cos5πcos 52π的值等于 A.41 B. 21 C.2 D.4 6. 若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于 A.257 B.－257 C.±257 D.－2512 7. 已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α－β)的值为（）A.－21B.21C.－1D.18. 已知tan α、tan β是方程6x 2－5x +1=0的两个根，且0<α<2π,π<β<2π3,则α+β的值为 A. 4π B. 4π3 C.4π5 D.k π+4π（k ∈Z ） 9. 已知βαβα-=-,1010)sin(是第一象限角,21tan =β,β是第三象限角,则cos α的值等于( ) A.1027 B. 1027- C.22 D. －22 10. 设f (sin α)=cos2α,则f (31)等于A.32B.97C.－97D.91 11. 若3π<x <4π,则2cos 12cos 1x x -++等于 A.)24cos(2x -π B.－)24cos(2x -π C.)24sin(2x -π D.－)24sin(2x -π 12. 若tan nm A =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于 ( ) A.ｎ B.－ｎ C.－ｍＤ.ｍ二、填空题13. 若0＜α＜2π，0＜β＜2π且tan α＝71，tan β＝43，则α＋β的值是 . 14.化简tan()tan()44A A ππ+--= . 15. 化简（tan10°－3）︒︒50sin 10cos = . 16. cos20°cos40°cos80°=___________.三、解答题17. 已知βαβαβαtan tan ,51)sin(,31)sin(求=-=+的值.18. 求值：212cos 412csc )312tan 3(2-︒︒-︒.19. 已知α∈（0,4π）,sin （4π－α）=257,求cos2α的值.20. 设sin （4π－x ）=135,0<x <4π,求)4cos(2cos x x +π的值.21.已知α、β都是锐角，且sin α=55,sin β=1010,求α+β. 下面给出一位同学的解答：解：∵α、β都是锐角,∵cos α= α2sin 1-=552511=-, cos β=101031011sin 12=-=-β, ∴sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=55³55210103+³1010=22. ∴α+β=4π. 这种解法有没有错误呢？如果有，错又在什么地方呢？22. 已知A 、B 、C 均为锐角，且tan A =p ,tan B =q ,tan C =r ,那么A +B +C 满足什么条件时， pq +qr +rp ＜1?第三章三角恒等变换单元测试参考答案:1. C2. C3. A4. D 解析:∵cos 2θ＝1－2sin 24θ 5π＜θ＜6π 45π＜4θ＜23π ∴sin 24θ＝21a -,即sin 4θ＝－21a -. 5. A 解析:原式＝cos 52cos5ππ＝5sin 52cos 5cos 5sin ππππ ＝5sin 252cos 52sinπππ＝415sin 45sin 5sin 454sin ==ππππ 6. B 解析:若23π<θ<2π, 由|sin θ|+|cos θ|>1,得－sin θ+cos θ>1 , ∴sin θ－cos θ<－1∵sin θ－cos θ=－51>－1 ,∴θ∉(23π,2π) ∴θ∈(π,23π) ,∵sin θ－cos θ=－51<0 ,∴sin θ<cos θ ∴θ∈(45π, 23π) ,∴cos2θ<0 排除A 、C 由(sin θ－cos θ)2=251得 sin2θ=1－251=2524,∴cos2θ=－.257)2524(12-=- 7. A 解析:由已知得：sin α+sin β=－sin γ①; cos α+cos β=－cos γ② .①2+②2，得2+2cos(α－β)=1⇒cos(α－β)=－21. 8. C 解析:由韦达定理，得tan α+tan β=65，tan α²tan β=61，而tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+= 61165-=1, 由于0<α<2π,π<β<2π3,∴π<α+β<2π.∴α+β=4π5.∴应选C. 9. D 解析:∵βαβα-=-,1010)sin(是第一象限角 ∴10103)cos(=-βα，∵ββ,21tan =是第三象限角,sin 55ββ∴==-. cos cos[()]cos cos()sin sin()αβαββαββαβ=+-=---====则 10. B 解析:f (sin α)=cos2α=1－2sin 2α.11. C 解析:原式=|cos 2x |+|sin 2x |=cos 2x －sin 2x =－2sin(2x －4π)=2sin(4π－2x ) 12. C 解析:ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ².2tan 12tan 22tan 12tan 1222m A A n A A -=+⋅-+- 13. 4π 14. 2tan 2A 解析:tan()tan()44A A ππ+-- tan[()()][1tan()tan()]4444A A A A ππππ=+--++⋅-A A 2tan 2]11[2tan =+⋅= 15. -2 解法一：（tan10°－3）︒︒50sin 10cos =（tan10°－tan60°）︒︒50sin 10cos =（︒︒-︒︒60sin 60sin 10cos 10sin ）︒︒50sin 10cos =︒⋅︒︒-60cos 10cos )50sin(²︒︒50sin 10cos =－︒60cos 1=－2. 解法二：（tan10°－3）︒︒50sin 10cos =（tan10°－tan60°）︒︒50sin 10cos =tan （10°－60°）（1+tan10°tan60°）︒︒50sin 10cos =－tan50°（1+tan10°²tan60°）︒︒50sin 10cos =－tan50°（︒⋅︒︒⋅︒+60cos 10cos 60sin 10sin 1）︒︒50sin 10cos =－︒︒50cos 50sin ²︒⋅︒︒60cos 10cos 50cos ²︒︒50sin 10cos =－2. 16. 81解析:原式==︒︒⋅︒︒⋅︒︒80sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin sin(18020)sin 2018sin 208sin 208︒-︒︒==︒︒. 17. 解析:由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2(51sin cos cos sin )1(31sin cos cos sin βαβαβαβα(1)+(2)得:158cos sin 2=βα (3) (1)－(2)得: 152sin cos 2=βα (4) (3)÷(4)得:.4tan tan ,4sin cos cos sin ==βαβαβα即 18. 解析:原式=)112cos 2(24sin 12cos 312sin 3)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(22-︒⋅︒︒-︒=-︒︒⋅-︒︒ =3448sin 21)6012sin(3224cos 24sin )12cos 2312sin 21(32-=︒︒-︒=︒⋅︒︒-︒. 19. 解析:∵α∈（0, 4π）,则有4π－α∈（0, 4π）, ∴cos （4π－α）=2524)4π(sin 12=--α. 又由于sin （4π+α）=sin[2π－（4π－α）］=cos （4π－α）, cos （4π+α）=sin （4π－α）, ∴cos2α=cos ［（4π+α）－（4π－α）］ =cos （4π+α）cos （4π－α）+sin （4π+α）sin （4π－α） =2sin （4π－α）cos （4π－α）=2³6253362524257=⨯. 20. 解析:∵0<x <4π,∴0<4π－x <4π,∴cos （4π－x ）=)4(sin 12x --π=1312)135(12=- 又cos （4π+x ）=sin （4π－x ）=135 ∴原式=)4sin()]4(2sin[x x --ππ=)4sin()4cos()4sin(2x x x ---πππ=2cos （4π－x ）=1324 21. 误区分析：由sin （α+β）=22,下结论α+β=4π,实际上，∵0<α<2π,0<β<2π,∴0<α+β<π. ∴α+β=4π或α+β=4π3,α+β的正弦值不是唯一的，所下的结论α+β=4π是没有根据的. 正解：∵0<α<2π,0<β<2π,∴0<α+β<π. 又∵cos α=552，cos β=10103, ∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β=10103552⨯－55³1010=22. 又∵在0～π之间，余弦值为22的角，只有4π， ∴α+β=4π. 22. 解析:∵tan A =p ,tan B =q ,tan C =r ,∴pq +qr +rp －1=tan A tan B +tan B tan C +tan C tan A －1 =A A cos sin ²B B cos sin +B B cos sin ²C C cos sin +C C cos sin ²AA cos sin －1 =CB AC B A B A C A C B C B A cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin -++ =C B A C A B C A B cos cos cos )cos(cos )sin(sin +⋅-+⋅=C B A C B A cos cos cos )cos(++- ∵A 、B 、C 皆为锐角，∴cos A cos B cos C ＞0.要使pq +qr +rp －1＜0,只需cos （A +B +C ）＞0,而0＜A +B +C ＜23π,∴0＜A+B+C ＜2π. 故当A+B+C 为锐角时，pq +qr +rq ＜1.。

高中数学必修4第三章《三角恒等变换》单元检测卷含解析

必修4第三章《三角恒等变换》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.454．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π65．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.126．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B ．－22 C ．2 D.2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan α11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为( )A ．－55 B ．－11525C.11525 D.5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动．且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A ．2，π B ．2,4π C.12，4π D.12，π 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(本小题满分12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值．必修4第三章《三角恒等变换》单元检测题参考答案【第5题解析】∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2. 故选A .【第6题解析】sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°)＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)＝－cos (73°＋47°)＝－cos 120°＝12. 故选B .【第7题解析】∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)，∴tan θ＝－22. 故选B . 【第8题解析】y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∴y＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.故选C .【第9题解析】a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y＝sin x ，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b. 故选A .【第10题解析】原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α sin 2α＋cos 2α2cos 2α cos 2α＋sin 2α ＝tan 2α.故选B . 【第11题解析】tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝43.∴tan ∠POQ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2， ∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ＝－55.故选A .【第12题解析】OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π. 故选C.【第16题解析】∵cos(α＋β)＝sin(α－β) ∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β) ∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 故填1. 【第17题答案】5π4【第17题解析】∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.【第19题答案】（1）－43；（2）－25＋1510.【第19题解析】(1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.【第20题答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)；（2）m ∈[0,1]．【第20题解析】(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 22x 0＋π6 ＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.【第22题答案】（1）45；（2）β＝3π4.【第22题解析】(1)tan α＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.。

苏教版高中数学必修四学同步训练三角恒等变换Word含答案(2)

3.1.3 两角和与差的正切一、填空题 1.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于________． 3．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是________． 4．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是________． 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． 6．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________. 7．tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 二、解答题9．求下列各式的值：(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．三、探究与拓展12．已知在△ABC 中，0<A <π2，0<B <π2，sin A ＝210，tan(A －B )＝－211. 求：(1)tan B 的值；(2)A ＋2B 的大小．答案1．－3 2.17 3.－7 4.5π4 5.23 6．－327.1 8．1 9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2.∴tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 11．解由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7， tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2， ∴α＋2β＝3π4. 12．解 (1)∵A ，B 是锐角，sin A ＝210， ∴cos A ＝7210，tan A ＝17， ∴tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan (A －B )1＋tan A ·tan (A －B )＝17＋2111＋17×(－211)＝13(或解tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝17－tan B 1＋17tan B ＝－211，∴tan B ＝13)． (2)∵tan B ＝13， ∴tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝231－19＝34， ∴tan(A ＋2B )＝tan A ＋tan 2B 1－tan A ·tan 2B＝17＋341－17×34＝1. 又tan A ＝17<1，tan B ＝34<1. ∵A ，B 是锐角， ∴0<A <π4，0<B <π4， ∴0<A ＋2B <3π4. ∴A ＋2B ＝π4.。

高中数学必修4同步分层能力测试AB卷三角函数的性质及应用,解三角形

三角函数（三角函数的性质及应用，解三角形）一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分) 1. 函数1cos y x =+的图象 ( ) A. 关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =2π对称 2. 函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是（）A ．π,13--B ．π,13+-C ．π,3-D ．π2,13--3. 函数2sin(2)6y x π=-(0)x π≤≤的递减区间是( )A ．[0,]3πB ．7[,]1212ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ4. 已知函数),(cos sin 2ππ-∈+=x x x y 则下列正确的是A. 是偶函数，有最大值为45 B. 是偶函数，有最小值为45C. 是偶函数，有最大值为2D. 是奇函数，没有最小值5. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )A sin()6y x π=+ B.sin(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.cos(2)6y x π=-6. 在ABC ∆中,已知222sin sin sin sin B C A A C --=,则角B 的大小为( ) A. 0150 B. 030 C. 0120 D. 060 7.(理) 函数)24sin(lg x y -=π的单调增区间是（）A ．)(]8,85(Z k k k ∈--ππππ B ．)()8,8[Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈--ππππD ．)()83,8[Z k k k ∈+-ππππ (文) 在锐角ABC ∆中，设B A y B A x cos .cos ,sin .sin ==,则y x ,的大小关系是( ) A ．y x ≤B ．y x <C ．y x ≥D ．y x >8. 在ABC ∆中，若cos cos sin sin 0A B A B ->，则这个三角形一定是( )AB D C西东南A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能 9. (理)锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边. 设B=2A ，则ab的取值范围是（） A ．（－2，2）B ．（0，2）C ．（2，2）D ．（3,2）(文) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( )Ａ. )2,1( Ｂ.),2(∞+ Ｃ. ),3[∞+Ｄ. ),3(∞+10. 将函数y =sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（）A ．76π B ．2π C ．6π D ．3π11. 已知关于x 的方程02sin2cos cos 22=+⋅-C B A x x 的两根之和等于两根之积的一半，则ΔABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 12. 海岛B 上有一座海拨1千米的山，山顶A 设有观察站，上午11时测得一轮船在岛北偏东60°处，俯视角30°， 11时10分又测得轮船在岛北偏西60°处，俯视角60°，则该轮船的速度为 ( )A. 239 千米/小时B. 393 千米/小时C./小时 D. 396 千米/小时二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 函数x x y cos sin -=的图象可以看成是由函数x x y cos sin +=的图象向右平移得到的，则平移的最小长度为 .14. 在△ABC 中，∠A =60°，AC =1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为 . 15. (理)若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数,则有序实数对(,a b )可以是 . (写出你认为正确的一组数即可).(文) 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为,,a b c .若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则::a b c = , ∠B 的大小是 .16. 设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12已知集合}0,|||{><-=a ax a x x A ，若x x x f ππcos sin )(-=在A 上是增函数，求a 的取值范围．18.（本小题满分12已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示.求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标.设函数x x x f ωωcos 23sin 21)(+=)0(>ω上的周期是π．（I ）求ω的值，并画出函数)(x f y =在区间],0[π上图象；（II ）函数)(x f y =的图象可由函数x y sin =的图象经过怎样的变换得到？20.（本小题满分12(理) 在△AB C 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件222b c bc a +-=和12c b =求∠A 和tan B 的值. (文)已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移１个单位可得()y f x =的图象，又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为３的等差数列，求()f x 的解析式，最小正周期和单调递减区间．22.（本小题满分14(理) 已知ABC ∆中，sin (sin )A B B C =．（１）求角A 的大小；（２）若3BC =，求ABC ∆周长的取值范围．(文) 在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边，已知.222bc a c b +=+ （1）求角A 大小；（2）若43sin sin =C B ，判断△ABC 的形状.数学参考答案与解析1．B 解析:由于函数cos 1y x =+为偶函数，故其图象关于y 轴对称.故应选B. 2. A 解析: 由1)62sin(3)(--=πx x f 得最小值为,13--最小正周期为,22ππ= 故选A.3. C 解析:令3222,()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈, 解得52,()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 又由0x π≤≤,可得函数2sin(2)6y x π=-(0)x π≤≤的递减区间是5[,]36ππ.故应选C. 4. A 解析:设).1,1()(),,(cos )(-∈-∈=x g x x x g 则ππ又1cos cos cos sin 22++-=+=x x x x y 45)21(cos 2+--=x 当21cos =x 时,y 取的最大值,45又由题意函数x x y cos sin 2+=是偶函数,故选A. 5. D 解析:将点(,0)6π-、(,1)12π分别代入,可得仅cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭符合,故应选D.6.A 解析: 由222sin sin sin sin B C A A C --=及正弦定理可得222b c a --=,即得222cos 22a cb B ac +-==-, ∴0150B =. 故应选A. 7.(理) C 解析: 由0)24sin(>-x x 即0)42sin(<-πx ,由110>即求函数)42sin()(π-=x x g 的减区间)(22422z k k x k ∈-≤-<-πππππ,即)(883z k k x k ∈-≤<-ππππ, 故选C.(文) D 解法一 ∵2A B π+> , ∴0sin sin()cos 0222B A B A A πππ>>->⇒>-=>或0sin sin()cos 0222A B A B B πππ>>->⇒>-=>∴sin sin cos cos A B A B > , 即x y >,故应选D .AB DC西东南解法二 ∵2A B π+>, ∴cos()cos02A B π+<= ,即cos cos sin sin 0A B A B -< , ∴x y >,故应选D .8.B 解析: 由cos cos sin sin cos()cos 0A B A B A B C -=+=->,可得C 为钝角,即此三角形为钝角三角形,故应选B. 9. (理)D 解析:A AA AB a b cos 2sin 2sin sin sin ===,又因为ABC ∆是锐角三角形, 所以⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0902902A A A B 004530<<∴A ,则)3,2(cos 2∈=A a b , 故选D. (文) B 解析:∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，∴其中一个角为60º，如图，直角三角形时，2=m ，所以钝角三角形时，有2>m ，故选B ．10. C 解析:由)3sin cos 3cos(sin 2cos 3sinππ⋅-⋅=-=x x x x y 2sin(),3x π=- 2sin(),3y x π=-即函数图象的周期,2π=T 且图象上一个对称中心)0,3(π,结合图象分析知,图象再向右平移6π 后，图象关于y 轴对称,所以a 的最小值为,6π故选C.11. C 解析:由题意得:2sin 221cos cos 2C B A ⋅⋅=2cos 1cos cos C B A -=⋅⇒ )cos(1cos cos 2B A B A ++=⋅⇒B A B A B A sin sin cos cos 1cos cos 2⋅-⋅+=⋅⇒ 1sin sin cos cos =⋅+⋅⇒B A B A 1)cos(=-⇒B A B A B A =⇒=-⇒0所以ABC ∆一定是等腰三角形,故选C.12.A 解析:如图所示, 由已知AB=1,及∠ADB=060,∠ACB= 030,由此可解得BC= 3 ，BD=33 ,∠CBD=120°,从而=393 ,船速为63=239 (千米/小时). 故应选A.︒6013.2π解析:∵sin cos )4y x x x π=-=- ,sin cos )4y x x x π=+=+ ,其向右平移2()2k k Z ππ+∈可得)sin()424y x x πππ=+--, 即得其平移的最小长度即为2π.14.:由已知条件可得011sin sin 6022ABC S AC AB A AB AB ∆=⨯===, 解之得4AB =.∴BC === 15.(理) (1,-1) (只要填满足0a b +=的一组数即可)解析:∵()sin()sin()(sin cos )(sin cos )44f x a x b x x x x x ππ=++-=++-)sin ()cos ]a b x a b x =++-, ∴当且仅当0a b += (0ab ≠)时,该函数为偶函数. 故可填(1,-1) (只要填满足0a b +=的一组数即可). (文) 5:7:8 ,3π解析: 据正弦定理sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===，故sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==,故5,7,8a k b k c k ===, 由余弦定理可得3B π∠=.16.43,π+32解析:由题意得：224sin 3[0,]2,333y x π=⨯=在上的面积为上的图象在此]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.17. 解析:由||x a ax -<得ax x a ax -<-<,所以(1)(1)a x aa x a +>⎧⎨-<⎩.当01a <<时,(,)11a a A a a =+-; 当a ≥1时,(,)1aA a=+∞+,又()sin cos )4f x x x x ππππ=-=-的单调递增区间为13[2,2],()44k k k Z -+∈,显然,当a ≥1时,()f x 在A 上不可能是增函数, 因此, 当01a <<,要使()f x 在(,)11a a A a a =+-上是增函数,只有13(,)[,]1144a a a a ⊆-+-,所以01314a a a <<⎧⎪⎨≤⎪-⎩,解得0a <≤37,故a 的范围为0a <≤37. 18. 解析:根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ）又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）. 根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π,(k ∈Z )或421π+x =2k π+32π（k ∈Z ）∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）. ∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ） 19. 解析:（I ）函数可化为)3sin()(πω+=x x f ，π=T πωπ=∴2 即 2=ω )32s i n ()(π+=∴x x f图象如图所示.（II ）将x y sin = （)(R x ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，得到函数 )3sin(π+=x y )(R x ∈的图象．再把后者所有的横坐标缩到原来的21倍（纵坐标不变），就得到函数)32sin(π+=x y )(R x ∈的图象．20.(理) 解析: ()22222221cos 222b c b c bc b c a A bc bc +-+-+-===所以：60A ∠=︒,由：180120C A B B ∠=︒-∠-∠=︒-∠()sin 1201sin sin120cos cos120sin 12sin sin sin 2B cC B B b B B B ︒-︒-︒===== 所以：1tan 2B =(文) 解法一由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A即.0)cos (sin sin =-A A B因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法二：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0、π<c ，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A = 由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求. 再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B21. 解析:由已知有sin cos )y a x b x c x c ϕ=++=++．而函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，所以得112a c c -+==即2221()2a b a b +=-+⇒=，故12||c a -=．代入得2sin()3y a x c π=-+. 经变换后有()2sin 3f x a x c π=+．故()f x 最小正周期为6T =．当0a >时，则12c a -=，且()(1)sin 3f x c x c π=-+．又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为３的等差数列，故曲线()y f x =与曲线3y =的相邻交点间的距离都相等．故由三角函数图象的性质得直线3y =要么与曲线()y f x =相切，即过()y f x =的最高点或最低点，要么过曲线()y f x =的所有对称中心．而又已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11(,1)6π，故直线3y =与曲线()y f x =相切时只可能在最高点处相切．但此时公差为一个周期６，这与已知矛盾．又当sin 03x π=时，310c a =⇒=>，此时的公差为半个周期３，这与已知相符合．故()2sin33f x π=+．令33922,[6,6]()23222k x k k Z x k k k Z πππππ+≤≤+∈⇒∈++∈．故此时()f x 的单调递减区间为39[6,6]()22k k k Z ++∈．当0a <时，则12c a -=-，且()(1)sin3f x c x c π=-+．同理当sin03x π=时，310c a =⇒=-<，此时的公差为半个周期３，这与已知相符合．故()2sin33f x π=-+．令3322,[6,6]()23222k x k k Z x k k k Z πππππ-≤≤+∈⇒∈-+∈．故此时()f x 的单调递减区间为33[6,6]()22k k k Z -+∈．当0a =时，与已知矛盾．综合以上有()2sin 33f x π=+或()2sin 33f x π=-+． 22.(理) 解析:（１）由A B C π++=得sin sin()C A B =+，代入展开即得sin sin sin A B A B =，而sin 0tan 3B A A π≠⇒==．（２）由（１）有23B C π+=即23C B π=-．又由正弦定理有22(sin sin )sin()]3AB AC R B C B B π+=+=+-，即33(sin )6sin()26AB AC B B B π+==+．而2510sin()1366626B B B πππππ<<⇒<+<⇒<+≤．故36AB AC <+≤，所以ABC ∆周长的取值范围是(6,9]． (文) 解析:①在△ABC 中，bc a c b Abc a c b +=+=-+222222cos 2又 3,21cos π==∴A A ②（法一）B B B B B C B 2sin 21cos sin 23)32sin(sin sin sin +=-⨯=⨯π 33,1)62sin(,4341)62sin(21ππππ===∴=∴=-∴=+-=C B A B B B 11()sin sin [cos()cos()][cos()cos()]22113[cos()],cos()12243B C B C B C A B C B C B C A B C ππ⨯=-+--=----=----=∴-=∴===法二 ∴△ABC 为等边三角形.。

高中数学必修4同步分层能力测试AB卷三角函数单元测试

第一章三角函数单元测试一、选择题 1. 已知集合M ={x |x =2πk +4π，k ∈Z }，P ={x |x =4πk +2π，k ∈Z }，则 A.M =PB.M ⊃≠PC.M ⊂≠PD.M ∩P =∅2. 设M 和m 分别表示函数y =31cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（） A.32 B.－32C.－34 D.－2 3. 函数y =2)1(tan 11-+x 的最大值为( ) A ．21B ．1C ．0D ．不存在4. 已知θ为第四象限角，sin θ＝－23，则tan θ等于 A.33 B.－33 C.±33D.－35. 已知函数y =2sin ωx （ω>0）的图象与直线y +2=0的相邻的两个公共点之间的距离为3π2，则ω的值为A.3B.23 C.32 D.31 6. 如果θ是第三象限角，且满足θsin 1+=cos 2θ+sin 2θ ，那么2θ是( )A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角 7. ⎪⎭⎫⎝⎛+=32tan πx y 的递增区间是( ) 5.R B.2k -,2k (k Z)6655C.2k -,2k (k Z) D.k -,k (k Z)3333A ππππππππππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 8. 将函数y =sin x 的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的21，然后将图象沿y 轴正方向平移2个单位，再沿x 轴正方向平移6π个单位，得到的是下列哪个函数的图象A.y =sin2x +2B.y =sin （2x －3π）+2 C.y =sin （2x +3π）+2 D.y =sin （2x －6π）+29. 如图所示,是函数y =2sin （ωx +ϕ）（|ϕ|<2π）的图象，那么( )A.ω=1110,ϕ=6π B.ω=1110,ϕ=－6π C.ω=2, ϕ=6π D.ω=2, ϕ=－6π10. 函数y =|tan x |cos x （0≤x ＜23π且x≠2π)的图象是11. 在△ABC 中，下列各式中为常数的是( )①tan(A ＋B)+tan C ；②cos(A 十B)十cosC ；③tan(2A+2B)+tan 2C ； ④cos(2A+2B)+cos2C ；⑤sin(A+B)+sinC.A ．①②③B ．③④⑤C ．①②④D ．①③⑤12. 已知函数x x x f sin )(⋅=的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若)2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <，则（ D ）A ．1x ＞2xB ．1x ＋2x ＞0C ．1x ＜2xD ．2221x x <二、填空题13. 函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 .14. 若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数,则有序实数对(,a b )可以是. (写出你认为正确的一组数即可).15. 若0＜α＜2π,且lg(1+cos α)=m, lg αcos 11-=n ，则lgsin α= (用m,n 表示)16. 对于实数0≥x ，规定：[]x 表示不超过x 的最大整数. 则方程[]x sin 2=[]x 的解集（x 以弧度为单位）是 .三、解答题17. 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，（1）求 AB 的长；（2）求弓形OAB 的面积.18. 已知25tan cot 12αα+=, 2233tan cot ,tan cot ,tan cot ,sin cos αααααααα--++求.19. 把函数y =f （x ）的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位，得到曲线y =21sin x 的图象，试求函数y =f （x ）的解析式.20. 已知定义在区间2[,]3ππ-上的函数()y f x =的图象关于直线6π-=x 对称，当2[,]63x ππ∈-时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，其图象如图所示.(1) 求函数)(x f y =在]32,[ππ-的表达式； (2) 求方程22)(=x f 的解.x21. 用描点法作出y ＝sin x ＋cos x 的图象.22. 已知函数sin()x ωϕ+图象关于点3(,0)4M π对称,求证: (1)3sin ()4x ωπϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦为奇函数; (2) 3sin()04πωϕ+=; (3)4()3k πϕωπ-=(k Z ∈).第一章三角函数单元测试参考答案:1. C 解析:首先研究集合M ={x |x =2πk +4π，k ∈Z }. 我们知道角x =2πk ，k ∈Z ，它的终边落在坐标轴上， ∴角x =2πk +4π，k ∈Z ，它的终边落在直线y =±x 上. 下面研究集合P ={x |x =4πk +2π，k ∈Z }.（1）当k =4n （n ∈Z ）时，x =4πk +2π=4π4n +2π=n π+2π，它的终边落在y 轴上;（2）当k =4n +1（n ∈Z ）时，x =4πk +2π=4)14(+n +2π=n π+2π+4π，它的终边落在y =－x 上;（3）当k =4n +2（n ∈Z ）时， x =4πk +2π=4π)24(+n +2π=n π+π，它的终边落在x 轴上;（4）当k =4n +3（n ∈Z ）时，x =4πk +2π=4π)34(+n +2π=n π+π+4π，它的终边落在y =x 上.综上，可得M ⊂≠P .∴应选C.2. D 提示：因为函数g （x ）=cos x 的最大值、最小值分别为1和－1.所以y =31cos x －1的最大值、最小值为－32和－34.因此M +m =－2. 3. B 提示: ∵当tan x =1时,1+（tan x －1）2取得最小值1，∴原函数此时取得最大值1. 4. D 提示: ∵θ为第四象限角，且sin θ＝－23,∴cos θ＝21, ∴tan θ=3cos sin -=θθ. 5. A 解析:函数y =2sin ωx 的最小值是－2，它与直线y +2=0的相邻两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由ωπ2=3π2，得ω=3.故应选A. 6. C 解析: 注意到θsin 1+=cos 2θ+sin 2θ ,得cos 2θ +sin 2θ≥0，由此可确定2θ所在象限.∵θ是第三象限角.∴2θ是第二或第四象限角.∵cos 2θ +sin 2θ=θsin 1+≥0 ,∴cos 2θ +sin 2θ≥0如图，在第二象限的区域内(阴影部分)有｜sin 2θ｜＞｜cos 2θ｜,所以2θ是第二象限角.∴应选C. 7. C 提示:令)(2322Z k k x k ∈+<+<-πππππ，则 )(32352Z k k x k ∈+<<-ππππ, 故应选C.8. B 提示: y =sin x 横坐标缩小为原来的21得 y =sin2x , 沿y 轴正方向平移2个单位得y =sin2x +2 , 沿x 轴正方向平移6π个单位y =sin2（x －6π）+2=sin （2x －3π）+2 .9. 解法一：∵1110³1211π+6π=π, 1110³1211π－6π=32π,2³1211π+6π=2π,2³1211π－6π=35π. 观察图象后，可知C 正确.解法二：将函数图象上的特殊点（0,1），（1211π,0）代入y =2sin （ωx +ϕ）中得⎪⎩⎪⎨⎧= +1,=.0)π1211sin(2sin 2ϕωϕ ∵|ϕ|<2π,∴ϕ=6π,由ω1211π+ϕ=2π,得ω=2. ∴应选C. 10. C 提示: y =|tan x |cos x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤<≤)2(sin )2320(sin πππππx x x x x 或11. A 解析：在三角形中存在着特殊的关系式A B C π++=, 因此tan(A ＋B)+tan C=tan(π-C)+tan C= -tanC+tan C=0 ; cos(A 十B)十cosC= cos(π-C)十cosC=-cosC 十cosC=0 ; tan(2A+2B)+tan 2C= tan2(π-C)+tan 2C=- tan 2C+tan 2C=0; cos(2A+2B)+cos2C= cos2(π-C)+cos2C=cos2C+cos2C=2cos2C ; sin(A+B)+sinC= sin(π-C)+sinC=sinC+sinC=2sinC.故应选A ．12. D 提示: x x x f sin )(⋅= 是偶函数,∴选取如下图象：当2<<x 时,有,21x x <则)()(21x f x f >当)()(,022121x f x f x x x ><<<-则有时π而题意),2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <则应有2221x x <,故选D.13. 解析:可以证明y ＝sin x ＋tan x 在［－4π，4π］上递增,∴函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为［－122,122+-]. 14. 解:∵()sin()sin()(sin cos )(sin cos )4422f x a x b x a x x x x ππ=++-=++-)sin ()cos ]2a b x a b x =++-, ∴当且仅当0a b += (0ab ≠)时,该函数为偶函数. 故可填(1,-1) (只要填满足0a b +=的一组数即可). 15.21(m-n) 解析:lgsin α= 21lg(1-cos 2α)= 21lg(1-cos α)( 1+cos α)= 21(m-n). 16. )2,2()2,1(6,0πππ⋃⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡提示: 由题意分析知:][x 表示不超过x 的最大正整数,(1)当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈6,0πx 时,[][],0sin 2==x x(2) 当)2,1(π∈x 时,[][],1sin 2==x x(3) 当)2,2(π∈x 时,[][]1sin 2==x x17. 解析:将圆心角α用弧度表示，然后利用弧长公式、扇形面积公式、三角形面积公式可得解.（1）∵α=120°=3π2 rad ，r =6，∴⌒AB 的长为l =3π2³6=4π. （2）∵S 扇形OAB =21lr =21³4π³6=12π，S △ABO =21r 2²sin 3π2=21³62³23=93，∴S 弓形OAB =S 扇形OAB －S △ABO =12π－93.18. 解析:由题设： 22625tan cot 2,144αα+=- ∴ 1274144625cot tan ±=-±=α-α144175)127(1225)cot )(tan cot (tan cot tan 22±=±⨯=α-αα+α=α-α172848251441931225)1144337(1225)cot tan cot )(tan cot (tan cot tan 2233=⨯=-⨯=αα-α+αα+α=α+α57251221cos sin 21cos sin ±=⨯+±=αα+±=α+α (2512cos sin 1225cos sin 1cot tan =αα∴=αα=α+α )19. 分析:一是设f （x ）=A sin （ωx +ϕ），按图象变换的法则，分两步，得y =A sin ［2ω（x +2π）+ϕ］，它就是y =21sin x ，构造A 、ω、ϕ的方程求解.二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y =21sin x 得到y =f （x ）. 解法一：设y =A sin （ωx +ϕ），把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y =A sin （2ωx +ϕ），再向左平移2π个单位，得到y =A sin ［2ω（x +2π）+ϕ］，即y =A sin （2ωx +4ωπ+ϕ）=21sin x .由两个代数式恒等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==2π22104π1221ϕωϕωωA A ∴f （x ）=21sin （2x －2π）=－21cos2x . 解法二：将y =21sin x 的图象向右平移2π个单位，得到y =21sin （x －2π）的图象，再把y =21sin（x －2π）的图象所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得到y =21sin （2x －2π），即y =－21cos2x 的图象，所以所求函数f （x ）=－21cos2x . 20. 解：（1）当2[,]63x ππ∈-时，函数22()sin()(0,0,)f x A x A ππωϕωϕ=+>><<-，观察图象易得：1,1,3A πωϕ===，即2[,]63x ππ∈-时，函数()sin()3f x x π=+，由函数)(x f y =的图象关于直线6x π=-对称得，[,]6x ππ∈--时，函数()sin f x x =-. ∴2sin()[,]363()sin [,)6x x f x x x πππππ⎧+∈-⎪⎪=⎨⎪-∈--⎪⎩.（2）当2[,]63x ππ∈-时，由sin()32x π+= 得，5341212x x x πππππ+=⇒=-=3或或4；当[,]6x ππ∈--时，由sin 2x -=得，344x x ππ=-=-或.∴方程()f x =的解集为35{,,,}441212ππππ---. 21. 解析：由y ＝sin x ＋cos x , 知函数的周期为Ｔ＝2π，先用“五点法”作出函数在长度为一个周期的区间上函数的图象.然后将函数y ＝sin x ＋cos x 在［－4，47］上的图象向左和向右平移2ｋπ（ｋ∈N ）个单位，即可得到y ＝sin x ＋cos x 的图象，如图所示.22.证明:设函数 ()f x =sin()x ωϕ+图象上任一点(,)P x y ,则该点关于3(,0)4M π对称的点坐标为/3(,)2P x y π--.∵点P /也在y =sin()x ωϕ+图象上 ,∴33()sin[()]22f x x πωπϕ--=-+即33()sin[()]22f x x πωπϕ-=--+.∴sin()x ωϕ+3sin[()]2x ωπϕ--+ .设34x t π=+ , 则有33()()44f t f t ππ+=-- ,即33()()44f x f x ππ+=-- .由33()()44f x f x ππ+=--, 知函数3()4f x π+3sin ()4x ωπϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦为奇函数. ∵奇函数图象过点(0,0) , ∴3sin()04πωϕ+=.令3,()4k k Z πωϕπ+=∈,可得4()3k πϕωπ-=(k Z ∈).。

高中数学人教A版必修四第三章三角恒等变换学业分层测评24 Word版含答案

学业分层测评(二十四)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若函数()＝－＋(∈)，则()是( )．最小正周期为的奇函数．最小正周期为π的奇函数．最小正周期为π的偶函数．最小正周期为π的偶函数【解析】()＝－)＋＝.故选．【答案】．(·邢台期末)若(π－α)＝－且α∈，则等于( )．－．－．．【解析】由题意知α＝－，α∈，∴α＝－，∵∈，∴＝＝－α))＝－.故选．【答案】．(·鹤岗一中期末)设＝°＋°，＝°－ °)，＝°))，则有( )【导学号：】．>> ．>>．>> ．>>【解析】＝°，＝°，＝°，由于°> °> °> °，所以>>.故选．【答案】．若(α＋β) β－(α＋β) β＝，则(α＋β)＋(α－β)等于( )．．－．．±【解析】∵(α＋β) β－(α＋β) β＝(α＋β－β)＝α＝，∴(α＋β)＋(α－β)＝αβ＝.【答案】．若函数()＝(＋) ，≤<，则()的最大值是() ．．．＋．＋【解析】()＝(＋)＝)))＝＋＝.∵≤<，∴≤＋<π，∴当＋＝时，()取到最大值.【答案】二、填空题．若θ是第二象限角，且θ＋θ－＝，则＝. 【解析】由θ＋θ－＝，又θ是第二象限角，得θ＝或θ＝－(舍去)．故θ＝－＝－，由＝θ)得＝.又是第一、三象限角，所以＝±.【答案】±．(·重庆一中期末)(π))－(π))＝.【解析】原式＝(π)－() (π) (π) (π))＝(π)－(()) (π))),() (π))。

高一数学高中数学必修4：第三章++三角恒等变换+单元同步测试(含解析)

答案 A
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．将答案填在题中
横线上 )
13．已知 α，β为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则 tanα＝________.
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴ cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－ cosαsinβ.
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3
1
3sinA－cos(B＋C)＝ 3sinA＋ cosA＝2( 2 sinA＋2cosA)
＝2cos(60 °－ A)＝2cos45°＝ 2.
答案 A
ห้องสมุดไป่ตู้
5．已知
tanθ＝13，则
cos2θ＋
1 2sin2θ等于
(
)
6
4
4
6
A．－ 5 B．－ 5
C.5
D.5
cos2θ＋sinθcosθ 1＋tanθ 6 解析原式＝ cos2θ＋sin2θ ＝1＋tan2θ＝5.
时，
y
有最大值
1＋ 2
2 ；
当
sin
2x＋π4 ＝－ 1
时， y
有最小值
1－ 2
2 .
3
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高中同步学习方略
∴值域为
1－ 2
2 1＋，2
2 .答案
C
2cos10 °－sin20 ° 11. sin70 ° 的值是 ( )
1
3
A. 2 B. 2
C. 3
D. 2
解析
2cos 30°－20°－sin20 °
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第三章测试

高中数学第三章三角恒等变换测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

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第三章三角恒等变换一．选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.15sin 951852-等于（） A 。

185 B.365C 。

3635 D.18352。

已知m A A =+tan 1tan ，则A 2sin 的值为 ( ） A 。

21mB.m 1C.m 2 D 。

m 23．sin 12π—3cos 12π的值是（）A ．0B ． —2C ． 2D ． 2 sin 125π4.已知3cos ()52x x ππ=-<<，则sin 2x =（）A.55B.55-C.255- D.2555．若△ABC 中，sin B·sin C＝cos 2错误!，则△ABC 的形状为( ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6。

函数sin 3cos 22x xy =+的图象的一条对称轴方程是（）A 。

x =113π B.x =53π C 。

53x π=- D 。

3x π=-7.已知α为锐角，且cos 错误!＝错误!，则cos α的值为( )A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误!8。

函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ )A 。

高中数学(人教A版,必修4)分层测评：第3章三角恒等变换

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝16.【答案】 D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．【答案】 C3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )【导学号：00680080】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】原式＝－－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A5．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0B ．22 C ．1D ．－22【解析】原式＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8 ＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) 【导学号：70512045】A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A ．32B ．－32C ．±32D ．±12【解析】由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B ．【答案】 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725. 【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】由cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C ．⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D ．⎣⎡⎦⎤π3，5π6【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x＝－12sin 2x －32cos 2x＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递减区间， π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12. 【答案】 B12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0，即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R)的最小正周期为________，最大值为________．【解析】因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2. 【答案】 2π 214．tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值是________．【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ1－tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ. 【答案】315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．【解析】 ∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，②由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan A ＋B ＋tan C 1－tan A ＋B tan C ＝－3＋31－－3×3＝0.又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π，∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．【解】 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3,4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值；(2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β.【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－431－⎝⎛⎭⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210. ∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1⎝⎛⎭⎫其中14≤ω≤32，函数f (x )＝a ·b ，且f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8.(1)求f ⎝⎛⎭⎫34π的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求cos ()α－β的值．【解】 (1)∵向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1＝(2(sin ωx ＋cos ωx )，－1)，∴函数f (x )＝a ·b ＝2cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )－1＝2sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. ∵f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8，∴2ω×5π8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)．又14≤ω≤32，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫34π＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×34π＋π4＝－2cos π4＝－1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223， ∴sin α＝13，sin β＝23.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos α＝223，cos β＝53，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝210＋29.。

高中数学必修4同步分层能力测试AB卷任意角、弧度任意角的三角函数

任意角、弧度任意角的三角函数A 卷(时间:45分钟满分:100分)一、选择题: (每小题6分,共36分)1. 若角2α与240°的终边相同，则α是A.120°+k ²360°，k ∈ZB.120°+k ²180°，k ∈ZC.240°+k ²360°，k ∈ZD.240°+k ²180°，k ∈Z 2. 列诸命题中，假命题是A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 3. 若f (cos x )=cos2x ,则f (sin150°)的值为 A.21 B.－21C.23D.－234. 若sin θ²cos θ＞0，则θ在 A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限D.第二、四象限5. 函数y =x x x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的值域是 A.{－2，4} B.{－2，0，4} C.{－2，0，2，4} D.{－4，－2，0，4} 6. 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P （x ，y ）是其终边上一点，则cos α=22yx x +-.其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题: (每小题5分,共20分) 7. 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21= .8. 已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数为 .角度为 .9. 若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－53,则b =___________,sin α=___________.10. 函数y ＝x sin ＋tan x 的定义域 . 三、解答题: 11.(10分)已知在平面直角坐标系中，点(),0A r 在圆心在原点O 、半径为()0r r >的圆周上，动点P 、Q 同时从A 处出发沿该圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转60，点Q 按顺时针方向每秒钟转30，试求点P 、Q 相遇时的位置及各转过的角度是多少?12. (10分)已知扇形的周长为20ｃｍ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积?13.(12分)（1）已知角α的终边经过点P （3,4）,求角α的正弦、余弦和正切. （2）已知角α终边经过点P （3t ,4t ）,t ≠0，求角α的正弦、余弦和正切.14.(12分)设sin θ与cos θ是方程2x 2－(3+1)x +m =0的两根，求m 与θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值.B 卷(时间:45分钟满分:100分)一、选择题:1. 给出下列四个命题，其中正确的命题有几个 ( ) ①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角 ③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角 A.1 B.2 C.3 D. 42. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) 2A .B ..3D .233ππ 3. 若θ是第二象限角，则 A.sin2θ＞0 B.cos 2θ＜0 C.tan 2θ＞0 D. tan 2θ＜04. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,4π∪⎪⎭⎫⎝⎛45π,πB. ⎪⎭⎫⎝⎛π,4πC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛45π,4πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛π,4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π,455. .sin(α－4π)+cos(α+4π)可化简为A.2sin(α－4π) B.2cos(α+4π) C.1 D.0二、填空题:6. 已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第象限.7. 不等式（lg20）2cos x ＞1 , x ∈（0，π）的解为____________. 三、解答题:8.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角, 黑蚂蚁每秒爬过β角(其中00<α<β<1800),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.9. 已知对于任意实数x ,均有f (π－x )=－f (x ),与f (2π－x )=f (x )成立，当x ∈(0,]2π时，有f (x )=x 2,试求f (1159π)的值. 10.若2π5＜θ＜3π，求3tan θ²2log 3+1241tan tan +-+θθ的值.任意角、弧度任意角的三角函数参考答案A 卷一、选择题:1. B 提示: 角2α与240°的终边相同，则2α=240°+ k ²360°，k ∈Z,2. D.提示：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题，A 、B 、C 均为真命题. ∴应选D.3. B 提示: f (sin150°)=f (sin30°)=f (cos60°)=cos120°=－21. 4. B 提示：∵sin θ²cos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号.当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限.因此，选B. 5. B 提示：对角x 分象限讨论若x 在第一象限，得y =x xx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin +++=4；若x 在第二象限，得y =x xx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin -+-+-+=－2；若x 在第三象限，得y =x xx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin ++-+-=0；若x 在第四象限，得y =xxx x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin -+-++-=－2. ∴函数值y 的集合是{－2，0，4}.∴应选B.6. A.提示：根据任意角三角函数定义知①正确.对②，我们可举出反例 sin 3π=sin 3π2.对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角.对④，应是cos α=22yx x +.（因为α是第二象限的角，已知有x ＜0）综上可知，应选A.二、填空题:7.-1提示: 原式＝)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+＝︒-︒︒-︒=︒-︒︒︒-70sin 70cos )70cos 70(sin 70sin 70cos 70cos 70sin 212 ＝︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin ＝－18. 4或1.720π或180π提示：由弧度数公式|α|=rl，可知要求α的值，只需求得α所对的弧长l 及扇形的半径即可.设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+.4,2622162rl r l lr l r 把①代入②，得 r （6－2r ）=4，∴r 2－3r +2=0.解得 r =1或r =2. ∵α是扇形的中心角，∴α>0.当r =1时，l =6－2r =6－2³1=4，此时，α=r l =14=4 rad;当r =2时，l =6－2r =6－2³2=2，此时，α=r l =22=1 rad. 所以，扇形中心角的弧度数是4或1.角度为0720π或180π.9. ±4 ±54提示: 由53932-=+-b 得b =±4.∴r =5,sin α=54±=r b .10. 解:要使函数y ＝x sin ＋tan x 有意义，必须且只须⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥Z k k x x ,20sin ππ 由sin x ≥0,则角x 的终边在第一、第二象限或在x 轴上或在y 轴的非负半轴上，即2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z 又x ≠k π＋2π，k ∈Z ，因此函数的定义域为{x |2k π≤x ＜2π＋2k π或2π＋2k π＜x ≤（2k ＋1）π，k ∈Z }.三、解答题:11. 设点P 、Q 出发后经过t 秒相遇，那么点P 转过的角度为60t 度，点Q 转过的角度为：30t -度，根据题意得：60(30)90360t t t --==，解得4t =。

高中数学必修4同步分层能力测试AB卷三角恒等变换章节复习指导

三角恒等变换章节复习指导一、知识框架二、知识精讲1、新课标是把两角差的余弦公式作为最基本公式,因此两角差的余弦公式是本章的一个重点内容,同时也是本章的一个难点.所以新课标是采用先利用向量的数量积推出一个特殊情况:⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+4cos 2sin cos πx x x 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πx x x sin 22cos 22+= 4sin sin 4cos cos ππx x +=,由此体现了从特殊到一般这一典型的数学思维过程,同时提示了公式的特点及推导途径.２、由两角差的余弦公式推导其余三角公式的主要采用比较灵活的变形转化策略来完成的.例如以β-代β得两角差的余弦公式 .在两角和差的余弦公式中,利用诱导公式ααπααπsin 2cos ,cos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-就可得到两角和差的正弦公式.在两角和的正余弦公式,令βα=就可得二倍角公式,再由正余弦公式相除得正切公式.３、要重视公式的逆运用.例如:0000000035sin 80sin 35cos 80cos 55cos 10cos 35cos 80cos +=+ ()2245cos 3580cos 000==-=,()000000001545tan 15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1-=+-=+-3330tan 0==. 4130sin 2115cos 15sin 75sin 15sin 00000=== 公式的典型变形:()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±22cos 1cos 2αα+=,22cos 1sin 2αα-= 也要把它当作公式能熟练运用.4、利用两角和差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式可进行化简、求值、证明恒等式。

在解题时特别注意化归思想的应用。

苏教版高中数学必修四学同步训练三角恒等变换Word含答案

3.3 几个三角恒等式一、填空题1．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的取值集合是________．2．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是________．4．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是______．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 6．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是________．7．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.8．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 二、解答题9．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合． 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值． 11．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．三、探究与拓展12．已知函数f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．答案1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝k π－π3，k ∈Z 2．π 3.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z ) 4.π2 5．3 6．－32 7.4780 8．－129．解 (1)f (x )＝(cos 4x －sin 4x )－2sin x cos x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴T ＝2π2＝π，∴f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4， ∴当2x ＋π4＝π，即x ＝3π8时，f (x )min ＝－2，f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π8. 10．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410. 11．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. 12．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12，由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。

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