第5章 假设检验

X X
如何检验该假设呢？—也即是接受还是拒 绝该假设？
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用假设检验的语言，类似u = 1 3的假设称为零
X
假设。通常用符号H 表示。因而，H ： u = 1 3。
0 0
X
零假设通常与备择假设成对出现。用符号H 表示 备择假设，备择假设有以下几种形式：
1
H ： u >13 ，称为单边备择假设。
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得到总体参数的估计值只是统计推断的第一步。 接下来要判定估计值的“优度”。 因为估计值很可能不等于真实的参数值：如果有 两个或更多个随机样本，计算这些样本的均值X， 则得到的估计值很可能不相同。我们把不同样本 估计值的差异称为抽样误差。 那么，是否存在一个判定估计量优劣的标准呢？
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读者或许发现：前面讨论的置信系数( 1- a) 就是1减去“犯第一类错误的概率a”，因此， 95%的置信系数表示接受零假设犯第一类 错误的概率至多为5%。 简言之， 5%的置信水平与95%的置信系数 的意义相同。
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H ： u <13 ，也称为单边备择假设。
1
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H ： u ≠1 3，称为双边备择假设。
1
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零假设和备择假设有不同的表述方式。 例如，零假设H ：u ≥1 3 , 备择假设H ：u < 1 3。
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为了检验零假设(与备择假设)，我们根据样 本数据(比如，根据表4 - 1得到的样本平均 P/E值11 . 5)以及统计理论建立判定规则来 判断样本信息是否支持零假设。 如果样本信息支持零假设，我们就不拒绝 H ，但如果不支持零假设，则拒绝H ，在 后一种情况下，我们接受备择假设，H 。
0 X
这是否意味着样本不是来自于均值为13的正态总 体呢？或许事实的确如此。 别忘了不等式(4 - 7)的置信区间的置信度仅为 95%而并非100%。如果真的如此，那么拒绝H ： u = 13，就可能犯错误。在这种情况下，我们说 犯了第一类错误。也即弃真错误
0 X
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估计是统计推断的一个方面，假设检验则是统计推断的另 一方面。在假设检验中，我们可对某一参数的假定值进行 先验判断或预期。 比如说，以往的经验或专家的意见告诉我们1 758支股票 总体的平均P/E值为1 2，假定根据某一随机样本(样本容 量为5 0)，计算出P/E的估计值为11。那么，11接近于假 设值1 2吗？ 显然，两个数值并不相等。 但是这里有一个重要问题： 11与1 2显著不同吗？我们知 道由于抽样的差异很可能导致样本估计值与总体真实值不 同。“从统计上说”，或许11并不与1 2不同？在此情况 下，我们能够拒绝假设：真实平均P/E值为1 2。但是如何 作出判定呢？这就是假设检验的内容，我们将会详细讨论。
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显著水平的选择与p值
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显著水平的选择与p值
假设检验的古典方法的不足之处在于选择a 的任意性。虽然一般常用的a值有1%、5% 和1 0%，但是这些值并不是固定不变的。 前面指出，只有在检查犯第一类错误和第 二类错误后果的时候，才选择相应的a 。 在实践中，最好是用p值(即，概率值)，p 值(p value)也称为统计量的精确置信水平。 它可定义为拒绝零假设的最低置信水平。
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在显著检验方法中，我们不是对未知参数 规定一个似乎合理的区间值，而是通过零 假设给参数设定一个特殊值，再计算检验 统计量，比如t统计量，并求其抽样分布及 该统计量取这个特殊值的概率。 如果这个概率很低，比如说小于5%或1%， 我们则拒绝零假设，如果概率值大于所选 择的显著水平，则不拒绝零假设。
10.63≤ uX ≤12.36 (近似值) (4 - 7)
置信区间提供了在某一置信度下(比如95%)真实的uX取值 范围。因此，如果这个区间不包括零假设中的值，比如 uX ＝13，那么我们会拒绝零假设吗？答案是肯定的。我 们以95%的置信度拒绝该零假设。
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从上面的讨论中，可以清楚地看到置信区 间与假设检验密切相关。 用假设检验的语言，不等式(4 - 7)描述的置 信区间称为接受区域(acceptance region)， 接受区域以外的称为零假设的临界区域 (critical region)或拒绝区域(region of rejection)。接受区域的上界和下界称为临 界值(critical values)。
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假设检验的标准或古典方法是：给定某一 水平的a，比如0 . 0 1或0 . 0 5，然后使检 验的功效最大，也即使b最小。这个求解过 程很复杂，有兴趣的同学可以参阅有关参 考书。 需要指出的是：在实际中，古典方法仅仅 给出了a值，而没有过多考虑b值。
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第5章 统计推断
估计与假设检验
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总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体(例如， 纽约的人口)。样本是总体的一个子集(例如，曼哈顿的人 口)。更宽泛地说，统计推断研究的是总体与来自总体的 样本之间的关系。 我们通过一个具体的例子来说明统计推断的含义。纽约股 票交易市场( N Y S E)共有1 758支股票( 1 9 9 0年9月4 日)。假定某一天，我们从这1 758支股票中随机选取5 0 支，并计算这5 0支股票价格与收入比的平均值—即P/E比 值。(例如，一支股票的价格为5 0美元，估计年收益为5 美元，则P/E为1 0；也就是说，股票以1 0倍的年收益出 售。)
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显著性检验
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显著性检验
显著性检验(test of significance approach) 是一种两者择一的假设检验，但它却是完 备的。 显著性检验是一种较为简洁的假设检验方 法。 我们仍通过P/E一例说明这种检验方法的一 些基本要点。
0 X
简言之，如果参数值超过上临界值或低于下临界 值，那么就拒绝零假设。现在就会清楚为什么接 受区域的边界称为临界值。因为它们是接受或拒 绝零假设的分界线。
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第一类错误和第二类错误：一个偏离
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在P/E一例中，我们拒绝H ：u = 13，因为样本均 值X= 11.5 看似与零假设不一致，
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置信区间法
根据表4 - 1提供的样本数据计算出样本均值为11 . 5。从 4 . 3节讨论中,我们知道样本均值服从均值为uX，方差为 o2/2的正态分布。但是由于真实的方差是未知的，所以用 样本方差来代替，在这种情况下，样本均值服从t分布， 见式( 4 - 3)。 根据t分布，我们得到uX的一个95%的置信区间： t 95%
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我们用一个例子来说明。已知，当自由度为2 0时， 计算得到t值为3 . 5 5 2。根据附录A中t分布表， 求出得此t值的概率值( p值)为0 . 0 01(单边的)或 0 . 0 0 2(双边的)。也即在0 . 0 0 1(单边)或( 0 . 0 0 2双边)水平下，t值是统计显著的。 在零假设：真实的P/E值为1 3下，我们得到t值为 －3 . 5。 P(t<－3 . 5)=0.000 5 这就是t统计量的p值。
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在实践中，是用置信区间法还是用显著性 检验法，主要是取决于个人的选择与习惯。 在置信区间方法中，我们对真实参数指定 一个似乎合理的区间值,并查明参数假设值 是落在该区间内还是落在区间外。 如果落在区间内，我们就不拒绝零假设， 但若落在区间外，则能够拒绝零假设。
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单边检验(one-tail test)或双边检验(two-tail test) 在P/E一例中，H ：u = 1 3，H ：u < 1 3。 那么如何检验这个假设呢？ 单边检验与前面讨论过的双边检验类似， 只是在单边检验中，仅仅需要决定统计量 单一的临界值,而不是两个临界值，
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用显著性检验的语言，经常遇到下面两个术语： ( 1 ) 检验(统计量)是统计显著的。 ( 2 ) 检验(统计量)是统计不显著的。 当我们说检验是统计显著的，一般是指能够拒绝 零假设，即观察到的样本值与假设值不同的概率 非常小，小于(犯第一类错误的概率)。同样的， 当我们说检验是统计不显著的，是指不能拒绝零 假设。在此情况下，观察到的样本值与假设值不 同可能受抽样影响较大(即观察到的样本值与真实 值不同的概率大于)。 当拒绝零假设时，我们就说是统计显著的，当不 能拒绝零假设时，就说不是统计显著的。
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解决这一问题的古典方法是假定在实际中 第一类错误比第二类错误更严重(由统计学 家Neyman和Pearson提出的)。 因此，先固定犯第一类错误的概率在一个 很低的水平上，比如说0 . 0 1或0 . 0 5，然 后在考虑如何减小犯第二类错误的概率。
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同样的原因，假定零假设H ：u = 12，在这 种情况下，根据不等式( 4 - 7)，我们应该 不拒绝这个零假设。
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但是表4 - 1这个样本很可能不是来自均值 为12的正态总体。因而，我们会犯第二类 错误，也即取伪错误。
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我们想尽可能减小这两种错误。但是，不 幸的是，对于任一给定样本，我们不可能 同时做到犯这两种错误的概率都很小。
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如何建立判定规则呢？有两个互补的方法： ( 1)置信区间法( 2)显著性检验法。 我们将通过P/E一例来阐述这两种方法。这 里， H ：u = 13
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H ：u ≠13 (双边假设)
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置信区间法
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假设检验
假设就是“为了调查或讨论的目的，我们 认为某件事是正确的”( w e b s t e r’s) 或是“基于某种原因之上的假定，或为了 进一步调查而基于某些已知事实的一个出 发点。”(牛津英汉词典)
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继前面的例子：假设真实的u 取某一特定 值，比如u ＝1 3。现在我们的任务就是去 “检验”这个假设。
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用这种语言表述为：如果参数值在零假设下位于 接受区域内，则不拒绝零假设。但如果落在接受 区域以外(也即落在拒绝区域内)，则拒绝零假设 在这个例子中，拒绝零假设H ：u = 1 3，因为这 个值落在临界区域，它比接受区域的上界1 2 . 3 6大，也即这是一个小概率事件—不到2 . 5%。
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在统计推断中，提出这样一个问题：根据50支股票的平 均P/E值，能否说这个P/E值就是总体的1 758支股票的平 均P/E值呢？ 换句话说，如果令X表示一支股票的P/E值，X表示5 0支 股票的平均P/E值( )，我们能否得知总体的均值， E(X)呢？ 统计推断的实质就是从样本值(X)归纳出总体值E(X)的过 程。 X就称为总体平均P/E[也即E(X)]的估计量，E(X)称为总体 参数
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犯第一类错误的概率通常用符号a表示，称 为显著水平， b犯第二类错误的概率用符 号表示。则： 第一类错误= a=犯弃真错误的概率 第二类错误= b=犯取伪错误的概率 不犯第二类错误的概率( 1- b)；也就是说， 当H 为假时，拒绝H ，称为检验的功效 ( power of test)。