相似-第7讲梅氏西瓦定理学

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相似三角形的电磁学与光学

相似三角形的电磁学与光学电磁学和光学是物理学中两个重要的分支领域，它们研究的是电磁场和光的传播特性。

在这两个领域中，相似三角形的概念有着重要的应用。

相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

在电磁学和光学中，利用相似三角形的特性可以推导出一些重要的结论和公式，帮助我们更好地理解和分析电磁场和光的行为。

首先，我们来看一下电磁学中的相似三角形应用。

在电磁学中，电磁波的传播速度和波长之间存在着一定的关系。

根据相似三角形的特性，我们可以得到如下的公式：速度比 = 波长比这个公式告诉我们，当两个电磁波的传播介质相同时，它们的速度和波长成正比。

这意味着，波长较长的电磁波在传播过程中会比波长较短的电磁波传播得更快。

这个公式在无线通信和无线电波传播中有着重要的应用，能够帮助我们分析和设计无线信号的传输和接收。

接下来，让我们转向光学中的相似三角形应用。

在光学中，折射现象是一个重要的研究对象。

当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。

根据斯奈尔定律（Snell's Law），我们可以得到如下的公式：n1*sinθ1 = n2*sinθ2其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，θ1和θ2分别是光线入射和折射的角度。

这个公式可以通过相似三角形的特性来推导得到。

相似三角形的角度比例和边长比例可以帮助我们理解光线的折射行为，并通过这个公式来计算光线的折射角度。

除了折射现象，相似三角形在光学中还有其他的应用。

例如，在光学成像中，利用相似三角形的特性可以推导出薄透镜成像公式。

这个公式可以帮助我们计算物体和成像的距离关系，从而分析和设计各种光学器件，如望远镜、显微镜等。

总结起来，相似三角形在电磁学和光学中有着广泛的应用。

在电磁学中，利用相似三角形的特性可以推导出电磁波传播速度和波长的关系，帮助我们分析和设计无线信号传输。

在光学中，相似三角形可以帮助我们理解和计算光线的折射行为，以及分析和设计各种光学器件。

华东师大版数学九年级上册相似三角形的判断精品课件PPT

内容：67页和69页的内容。时间：5分钟。方法：独立看书，然后小组交流。要求：
1.思考第69页，按要求完成第69页“探索”。
2.自学后完成学习检测。
华东师大版数学九年级上册课件：23. 3.2相似三角形的判断(2)
华东师大版数学九年级上册课件：23. 3.2相似三角形的判断(2)
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
华东师大版数学九年级上册课件：23. 3.2相似三角形的判断(2)
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如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应
三角形相似．
华东师大版数学九年级上册课件：23. 3.2相似三角形的判断(2)
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1、根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7，AC=14，∠A1＝1200，A1B1=3， A1C1=6。（2）∠A＝380，∠C＝970 ,∠A1＝380，∠B1＝450 (3) AB＝4，BC＝3，AC＝6；A1B1 ＝2.4，B1C1=1.2，A1C1＝1.6 2、如图，在正方形网格上有三角形 A1B1C1和三A 角 2B2C2 形
例3 证该明是图能2“4．相3似．”7中 △A， EB和△F了EC．相似．
证明 ∵ AE 54 1.5
FE 36
BE 45 1.5 CE 30
∴ AE BE
FE CE
∵ ∠AEB＝∠FEC，
∴ △AEB∽△FEC
（如果一个三角形的两依据下列各组条件，证明△ABC和△A条′B边′C与′相另似一个三角形的

《相似三角形》知识点归纳

《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
相似三角形的一切对应线段的比等于相似比。

2相似三角形周长的比等于相似比。

3相似三角形面积的比等于相似比的平方
以上就是xx教育网为大家带来的人教版初三数学，希望大家能够熟练掌握这些知识点，这样考试的时候就能熟练运用，从而取得好的成绩。

数学相似三角形课件

求解过程
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比值相等，则这两个比例是相等的。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比性质以及复合比性质，这些规则在解决相似三角形问题时经常用到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用于计算地球上两点之间的距离和方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角形来创建透视效果和比例准确的图像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形可以用于分析市场趋势、预测股票价格等，通过历史数据的相似模式来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边角边（BAB）、角边角（ABA）等判定方法确定两个三角形是否相似。

相似三角形ppt课件免费

构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等。
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05
相似三角形在生活中的实际应用
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建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师可以在设计过程中调整建筑物的比例和角度，使其在视觉上更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比例有关的问题，例如通过已知的两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
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9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平方，即如果两个三角形相似且相似比为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
14
04
相似三角形在代数中的应用
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15
方程求解问题
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利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过程，使问题更加直观易懂。
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不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进而计算出目标点的位置。
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在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方案，提高测量精度。
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艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角形原理来实现透视效果。通过绘制不同比例的相似三角形，可以在平面上呈现

相似三角形最全讲义

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、b的长度分别是m n，那么就说这两条线段a _m的比是a: b= m： n （或b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

a c3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b =da _c4、比例外项：在比例 b d（或a: b= c: d）中a、d叫做比例外项。

a _c5、比例内项：在比例b _d（或a: b = c：d）中b、c叫做比例内项。

a _ c6、第四比例项：在比例b d （或a: b= c: d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

a _b7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a （或a:b = b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。

8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长a c度的比相等，即一=—（或a：b=c: d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）3. 更比性质（交换比例的内项或外项）:=-，（交换外项） a =-•（同时交换内外项） c a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立•如：a= £=•b d（2）比例性质ad 1.基本性质二 bc（两外项的积等于两内项2.反比性质:a c （把比的前项、后项交换），（交换内项）cd bd 4.合比性质：-bc — a_b c_d—— --------- ------------一 d — b （分子加（减）分母，分母不变）db -a d -c5.等比性质: （分子分母分别相加，比值不变亠■亠n - 0），那么注意: (2) (3)立.（1）此性质的证明运用了“设 k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成知识点三: 黄金分割AC1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC （AC > BC ），如果-AB AC2即AC =ABX BC ,那么称线段点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

2024相似三角形的性质PPT免费

01定义02性质对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角的平分线也成比例，且周长之比等于相似比。

定义及性质如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应平行且成比例，那么这两个三角形相似。

平行线判定法如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。

两边成比例且夹角相等判定法如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

三边对应成比例判定法如果两个三角形的一边及这边所对的角平分线对应成比例，那么这两个三角形相似。

三角形角平分线定理判定法判定方法与全等三角形关系全等三角形是相似三角形的特例当相似比为1时，相似三角形即为全等三角形。

因此，全等三角形具有相似三角形的所有性质。

相似三角形不一定全等虽然相似三角形具有许多与全等三角形相似的性质，但它们的对应边并不一定相等。

因此，在解决几何问题时，需要注意区分相似和全等的关系。

对应角相等相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形相似，那么它们的对应角必定相等。

这一性质是相似三角形定义的一部分，也是判断两个三角形是否相似的重要依据。

对应角相等意味着两个三角形的形状相同，但大小可以不同。

01相似三角形的对应边成比例，即如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比值是一个常数。

02这个常数被称为相似比，它描述了两个相似三角形之间的大小关系。

03对应边成比例是相似三角形的一个基本性质，它使得我们可以通过已知的一边和相似比来求出其他边。

对应边成比例如果两个相似三角形的对应边长比为k ，那么它们的面积比就是k^2。

这个性质可以帮助我们在已知一个三角形的面积和相似比的情况下，求出另一个三角形的面积。

相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。

面积比与边长比关系利用相似三角形的对应角相等性质，可以通过已知三角形的角度信息，求解未知三角形的角度。

在复杂几何图形中，通过构造相似三角形，可以将复杂的角度问题转化为简单的角度计算。

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这一性质可以用来解决一些与面积有关的问题，如计算相似三角形的面积、判断两个三角形面积
的关系等。
在实际应用中，相似三角形的面积比与相似比关系也经常被用来进行面积或体积的测量和计算。
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03 相似三角形在几何中的应用
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平行线间距离问题
利用相似三角形性质求解平行线间距离
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这一性质可以用来解决一些与长度比例有关的问题，如线段的比例、面积的比例等。
在实际应用中，相似三角形的对应边成比例这一性质也经常被用来进行长度或距离的测量和计算。
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面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平方，即如果两个三角形相似且相似比为k，那么它们的面积
之比为k^2。
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contents
目录
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• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形在三角函数中的应用 • 相似三角形在生活中的应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
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01 相似三角形基本概念
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定义与性质
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05 相似三角形在生活中的应用举例
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建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，在建筑设计中实现视觉效果的优化，如调整建筑立面的比例和角度，营造出更加和谐、美观的外观。
利用相似三角形在建筑设计中的应用，还可以解决一些实际问题，如采光、通风等。
通过相似三角形的变换，实现建筑立面的层次感和立体感，增强建筑的视觉冲击力。

奥数-相似-梅氏赛瓦定理5师

第9讲相似三角形5：梅氏定理、塞瓦定理梅涅劳斯（Menelaus ）是约公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学及三角学书籍．下面以他名字命名的定理是他首先发现的，发表在球面几何学的教科书《球论》里，有着广泛的应用，不仅可以证明点共线，对其他几何问题也非常有用．塞瓦（Ceva ）是17世纪意大利数学家兼水力工程师，1678年塞瓦自己发现了后来以他名字命名的定理，同时他重新发现梅涅劳斯定理，当时他一并刊登发表，两个定理齐名流传至今．一、基础知识1．梅涅劳斯定理（Menelaus theorem ）在⊿ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，若D 、E 、F 共线，则：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=；2．梅涅劳斯定理的逆定理在⊿ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，若1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则D 、E 、F 共线．3．塞瓦定理（Ceva theorem ）设O 是⊿ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则1AE BD CF EB DC FA⋅⋅=4．塞瓦定理的逆定理设点D 、E 、F 分别在⊿ABC 的边BC 、AB 、CA 上，若1AE BD CF EB DC FA⋅⋅=，则AD 、CE 、BF 交于一点．二、例题部分－梅氏定理及逆定理的应用例1．（★）设AD 为⊿ABC 的一条中线，作任一直线CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：2AE AFED FB=《奥数教程》初二年级华东师范大学出版社 P206，例1例2．（★，97年湖北荆州竞赛题）如图，D 为⊿ABC 的BC 边的中点，E 为AC 边上的点，且AC ＝3CE ，BE 和AD 交于F 点，求AFFD的值；【证明】：∵1AE CB DF EC BD FA ⋅⋅=，21AE EC =，21CB BD = ∴14DF FA =，∴14DF FA = 例3．（★）图中AD 是⊿ABC 的中线，E 是AD 上的点，且AE ＝2DE ，连结BE 并延长交AC 于F ．（1）求证：AF ＝FC ；（2）求BFEF的值；【证明】：1AF CB DEFC BD EA ⋅⋅=，CB ＝2BD ，AE ＝2DE ，则AF ＝FC 又1BD CA FE DC AF EB ⋅⋅=，代入得12FE EB =，则31BF EF =例4．（★，90年全国部分省市初中通讯赛）设D 、E 分别在⊿ABC 的边AC 与AB 上，BD 与CE 交于F ，AE ＝EB ，23AD DC =，ABCS ＝40，求AEFD S 四边形【解】 ∵C 1D AB EF DA BE FC ⋅⋅=，32CD DA =，21AB BE =，∴13EF FC = ∵ABCS ＝40，∴AECS＝20；∴332045DFCS=⋅⋅＝9；∴AEFD S 四边形＝20－9＝11例5．（★★，第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）图中，⊿ABC 的∠B 的平分线BE 与BC 边的中线AD 垂直且相等，已知BE ＝AD ＝4，求⊿ABC 的三边．【解】易知⊿ABD 为等腰三角形，AO ＝OD ＝2；∵1AE CB DO EC BD OA ⋅⋅=，∴12AE EC =； ∵1BD CA EO DC AE OB ⋅⋅=，∴13EO OB =； ∵BE ＝4，∴EO ＝1，OB ＝3；∴AB ＝2213AO OB +=；BC ＝2AB ＝213，同时AE ＝225AO OE +=；则EC ＝25，故AC ＝35例6．（★★，93年第19届全俄中学生竞赛）在梯形ABCD 的对角线AC 的延长线上任意取一点P ，过P 点及梯形两底中点的直线分别交腰AB 及CD 于M 、N 点，求证：线段MN 与梯形的底平行；【证明】∵1BM AP CK MA PC KB ⋅⋅=，BK ＝CK ，∴BM PCMA AP =； ∵1DL AP CN LA PC ND ⋅⋅=，DL ＝LA ，∴CN PC ND AP =； ∴CN BM ND MA=，∴M N ∥AD例7．（★★）如图，已知1111PA PD PC PB+=+，求证：∠BPQ ＝∠DPQ ．【证明】：由已知1111PA PB PC PD -=-，∴AB CD PA PB PC PD=⋅⋅ ∴AB PD PB AP CDPC⋅=⋅∵1BA PD CQ AP DC QB⋅⋅=，∴PB QB PC QC=；∴∠BPQ ＝∠DPQ例8．（★★）如图⊿ABC 的∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于P 点，∠B 的平分线与边CA 交于Q 点，∠C 的平分线与边AB 交于R 点，求证：P 、Q 、R 三点共线．《奥数教程》初二年级华东师范大学出版社 P207，例2拓展．（★★★，笛沙格（Desargues ）定理）若⊿ABC 与⊿A’B’C ’的对应顶点连线AA ’，BB ’，CC ’相交于一点O ，则对应边BC 与B ’C ’，CA 与C ’A ’，AB 与A ’B ’的交点D 、E 、F 共线．三、例题部分－塞瓦定理及逆定理的应用例9．（★）求证：（1）三角形的三条中线共点（重心）；（2）三角形的三条内角平分线共点（内心）；（3）锐角三角形的三条高所在的直线共点（垂心）；例10．（★★，78年全国高中竞赛）在⊿ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，设BE 与CD 交于S ，求证：AS 通过BC 边的中点M ．【证明】：∵DE ∥BC ，∴AD AEDB EC=，又BM ＝MC ∴1AD BM CE DB MC EA⋅⋅= ∴AM 、BE 、CF 共线，即AS 通过BC 边的中点M ．例11．（★★）⊿ABC 中，M 是BC 的中点，AD 平分∠A ，BE ⊥AD 于E ，BE 交AM 于N ，求证：DN ∥AB ．【证明】：连结EM 并延长交AB 于G ，延长BE 、AC 交于F ．易得⊿ABF 为等腰三角形；则AB ＝AF ，BE ＝EF ； ∵BM ＝MC ，∴ME ∥CF ∴BG ＝GA ∵1BN ED AGNE DA GB ⋅⋅= ∴BN DA NE ED=，∴ND ∥AB例12．（★★）试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点．【证明】：设⊿ABC 的边BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，周长＝a ＋b ＋c ＝2s ；过A 、B 、C 且平分⊿ABC 的周长的三条直线分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，则由BD ＋CD ＝a ，c ＋BD ＝b ＋CD 得： BD ＝s －c ；CD ＝s －b ；同理可得：CE ＝s －a ；AE ＝s －c ；AF ＝s －b ；BF ＝s －a 故有1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，由塞瓦定理逆定理可知 AD 、BE 、CF 共点．例13．（★★★，99年全国联赛）四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，在CD 上取一点E ，连BE 交AC 于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：∠GAC ＝∠EAC ；【证明】：连结BD 交AC 于H ，对⊿BCD 及点F ，由塞瓦定理：1CG BH DEGB HD EC⋅⋅= 又AH 平分∠BAD ，有BH ABHD AD=；于是 1CG AB DEGB AD EC⋅⋅=；过C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，作AD 的平行线交AE 的延长线于J ；则CG IC GB AB =；DE ADEC CJ=所以1CI AB AD AB AD CJ⋅⋅=，即CI ＝CJ ；又CI ∥AB ，CJ ∥AD ，则有∠ACI ＝180°－∠DAC ＝∠ACJ于是⊿AC I ≌⊿AC J故∠IAC ＝∠JAC ，即∠GAC ＝∠EAC 例14．（★★★，95年加拿大奥林匹克）已知AD 是锐角⊿ABC 的高，H 是AD 上任意一点，连结BH ，CH 并延长交AC 、AB 于E 、F ，连结DE 、DF ，求证：∠EDH ＝∠FDH ．过A 作BC 的平行线BD AP CD AQ =；CD AGBC AP = BC AQBD AK=三式相乘得，1AGAK=，即AG＝AK易得Rt ⊿ADK ≌Rt ⊿ADG 则∠EDH ＝∠FDH四、练习题1～6参考《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P211，测试题1～6 1．（★）在⊿ABC 的两边AB 、AC 上分别取点Q 、R ，满足AQ:QB ＝2:1，AR:RC ＝1:2，连结QR 交CB 延长线于P ，那么PC:PB 等于（） A ．4:1 B ．2:1 C ．1:4 D ．1:2 【解】A 2．（★）ABCD 为平行四边形，BC ＝12，DC ＝10，对角线AC 与BD 交于O ，E 是BC 延长线上一点，且CE ＝4，OE 交DC 于F ，那么CF 的长是（） A ．1 B ．2 C ．0.5 D ．3 【解】B 3．（★）已知M 、N 分别在⊿ABC 的边AC 、AB 上，且MN ∥BC ，BM 、CN 交于O 点，连结AO 并延长交BC 于D ，那么BD:DC （） A ．大于1 B ．小于1 C ．等于1 D ．以上都可能【解】C 4．（★）在⊿ABC 中，如果AD 交BC 于D ，BE 交AC 于E ，CF 交BA 于F ，AD 、BE 、CF 相交于一点，2BD EA =，3CE FB =，那么AFDC 等于________；【解】165．（★）在⊿ABC 的BC 边上任取一点D ，设∠ADB 、∠ADC 的平分线与AB 、AC 分别相交于F 、E ，求证AD 、BE 、CF 交于一点；【证明】：易得DA FA DB FB =；DA EADC EC=∴1AF BD CE AD BD CD FB DC EA BD DC AD⋅⋅=⋅⋅= 由塞瓦定理逆定理可知，AD 、BE 、CF 交于一点；6．（★）在⊿ABC 中，D 、E 分别是BC 、CA 上的点，且BD ：DC ＝m ：1，CE ：EA ＝n ：1，AD 与BE 相交于F ，那么:ABFABCSS＝___________；【解】《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P212，测试题67．（★★）在⊿ABC 中，D 是BC 上的点，13BD DC =，E 是AC 中点，AD 、BE 相交于点O ，CO 交AB 于F ，求四边形BDOF 的面积与⊿ABC 的面积之比．【解】对⊿ABC 及点O ，由塞瓦定理，得3AF FB =，34AF AB =，又对⊿ADC 与截线BOE ，由梅涅劳斯定理，得4AO OD =，45AO AD =；故343455AFO ABDS S =⋅=，由此可知25BDOF ABD S S =，又14ABD ABCSS=，故:1:10ABFABCS S=8．（★★）在面积为1的⊿ABC 的三边上分别取D 、E 、F ，使1BD CE AFk DC EA FB===>，连结AD 、BE 、CF 交出⊿MNP ，试求MNPS《奥数教程》初二年级华东师范大学出版社，P208，例49．（★★★，2005年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC 中，AB>AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，DE 与BC 的延长线交于T ，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，过E 作BC 的垂线交CD 于G ，求证：F 、G 、T 三点共线．。

杭州学军中学九年级数学下册第二十七章《相似》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝∠C ．如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（）A ．15B ．10C ．152D ．52．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为,AB BC 的中点，则三角形BEF 与多边形EFCDA 的面积之比为（）A ．1∶4B ．1∶5C ．1∶7D ．1∶83．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（）A ．2B ．3C ．1D ．1.54．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．65．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（）A．4B．6C．8D．166．有下列四种说法：其中说法正确的有（）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（）A．B．C．D．8．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（）A．1:2B．1:4C．2D．2:19．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A ．21cmB ．14cmC ．6cmD ．24cm 10．如图，ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截(即：FG ∥BC)，若AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的（）A ．19B ．29C ．13D ．4911．如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F ．若AB ∶BC ＝5∶3，DE ＝15，则EF 的长为（）A ．6B ．9C ．10D ．2512．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 13．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．14．如图，在ABCD 中，7AB =，3BC =，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交的延长线于点E ，若2BF =，则线段EF 的长为（）A ．4B ．3C ．83D ．74 15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（）A ．352B ．253C ．5D ．354二、填空题16．如图，在矩形ABCD 中，6,AD AE BD =⊥，垂足为,3E ED BE =，动点,P Q 分别在,BD AD 上，则AE 的值为__________，AP PQ +的最小值为_____________．17．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）18．如图所示，在ABC ∆中，4BC =，E ，F 分别是AB ，AC 的中点．（1）线段EF 的长为_____；（2）若动点P 在直线EF 上，CBP ∠的平分线交CE 于点Q ，当点Q 把线段EC 分成的两线段之比是1∶2时，线段EP 、BP 之间的数量关系满足EP BP +＝_____．19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AC =，12BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且8DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则13PA PB +的最小值为________．21．已知b c c a a b k a b c+++===，0a ≠，0b ≠，0c ≠；则k =________． 22．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213D D D B =，且33//DE BC ；…；1113n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________．23．如图，在ABC 纸片中，13AB AC ==，24BC =，D 是BC 边上任意一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，AE 交BC 于点F ，当DEF 是直角三角形时，则BD 的长为________．24．已知：如图，ABC 内接于O ，且BC 是O 的直径，AD BC ⊥于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，6AB ＝，8AC ＝．则CD =_________________．AF =_________________．25．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．26．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC 为_________尺．三、解答题27．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合），在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN x =，PD y =，已知5103y x =-+，当Q 为BF 中点时，53y =．（1）判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由：（2）求DE ，BF 的长；（3）若30AED ∠=︒①当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个项点时，求所有满足条件的x 的值． 28．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．（1）在图1网格中找格点D ，作直线BD ，使直线BD 与AC 的交点P 是AC 的中点．（2）在图2网格中找格点E ，作直线BE 交AC 于点Q ，使得CQ CB =．29．已知平行四边形ABCD 中6AB =，AE 与BC 延长线相交于E 、与CD 相交于F ，2EF AF =，求FD 的长度．30．如图①，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，且AD ⊥BD ，过C 点作CF ∥AD 交BD 于F 点，E 为AC 的中点，连接ED ，EF ．（1）求证：DE ＝EF ；（2）如图②，若BA ＝BC ，连接BE 交CF 于M 点．①求证：△EFM ∽△CBM ；②求证：△DEF∽△ABC．。

梅涅劳斯定理与塞瓦定理之欧阳索引创编

塞瓦定理设O是△ABC内任意一点，AB、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1欧阳家百（2021.03.07）（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明CBA∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB ④AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理：M QRACPBCBACBAK LNMCBA课外作业：课后练习答案：三条高、一、选择题1、如图：设一直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 延长线分别交于X 、Y 、Z ，则的关系为（） A 、B 、C 、D 、不能确定2、如图：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、AC 、AB 上的点，AX 、BY 、CZ 相交于点O ，则的关系为（） A 、； B 、； C 、；D 、不能确定3、如图，在△ABC 中，F 点分AC 成1：2，G 是BF 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，那么E 分BC 边所成的比为（）A 、B 、C 、D 、4、如图，F 、D 、E 分等边△ABC 的三边AB 、BC 、CA 均为1：2两部分，AD 、BE 、CF 相交成△PQR 的面积是△ABC 面积的（）第1题ABZC XYACZY OXB第2题A BCRPE FQ 第3题ACBFGEA、 B、 C、 D、。

【单元练】杭州学军中学九年级数学下册第二十七章《相似》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．如图，在四边形ABCD中，//AD BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．DC AB AC BC=D解析：D【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．【详解】解：A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为AC ADBC AC=，则△ABC∽△DCA；D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当DC ABAC BC=时，不能判断△ABC∽△DCA．故选择：D．【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．2．如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D，若52BCBD=，则△ABC的面积为（）A ．12B ．10C ．9D ．8B解析：B【分析】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S．【详解】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，则有//BM CN ，∴BMD CND ∽，又52BC BD = ∴23BM BD CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上，∴2210223103k x x k x x⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩ ∴解得：112x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为22y x =+，∴点()0,2D ，∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，∴点()0,10F∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△又∵:2:5ABD ABC S S =△△，∴55S 41022ABC ABD S ==⨯=，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．3．如图，在菱形ABCD 中，660AB DAB =∠=︒,，A ，E 分别交BC 、BD 于点E 、F ，2CE =，连接CF ，以下结论：①ABF CBF ≌；②点E 到AB 的距离是23；③ADF 与EBF △的面积比为3∶2：④ABF 的面积为为1835，其中正确的是（）A ．①④B ．①③④C ．①②④D ．①②③④C解析：C【分析】根据菱形的性质得出△ABF 和△CBF 全等的条件，从而可判断①成立；过点E 作EG ⊥AB ，过点F 作MH ⊥AB ，求得EG 的长度，则可判断②是否成立；由AD ∥BE ，可判定△ADF ∽△EBF ，由相似三角形的性质可得△ADF 与△EBF 的面积比，从而可判断③是否成立；利用相似三角形的性质和等边三角形的性质，可求得△ABF 在AB 边上的高，进而求得△ABF 的面积，则可判断④是否成立．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB=6，∴BC=AB=6，∵∠DAB=60°，∴AB=AD=DB=6，∠ABD=∠DBC=60°，在△ABF 与△CBF 中，AB BC ABF FBC BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），故①成立；如图，过点E 作EG ⊥AB 延长线于点G ；过点F 作MH ⊥AB 交AB ，CD 于点H ，M ，则由菱形的对边平行可得MH ⊥CD ，∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，∴BE=6-2=4，∠EBG=60°∵EG ⊥AB ，∴EG=4×332= 故②成立；∵AD ∥BE ， ∴△ADF ∽△EBF ， ∴2269()(),44ADF EBF S AD S BE ∆∆=== 故③不成立；∵△ADF ∽△EBF ，32DF AD FB EB ∴== ∵DB=6， ∴BF= 125 ∴FH= 125×32=635， ∴S △ABF =12AB•FH=1631836255⨯⨯=，故④成立．综上所述，一定成立的有①②④．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定与性质及三角形的面积计算，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．若234a b c ==，则a b b c +-的值为（） A ．5B ．15C ．-5D ．-15C 解析：C【分析】设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可．【详解】解：设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∴a b b c +-=2334k k k k +-=5-k k=﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．5．如图，矩形ABCD 中，AD m =，AB n =，要使BC 边上至少存在一点P ，使ABP △、APD △、CDP 两两相似，则m 、n 间的关系式一定满足（）A ．12m n ≥B ．m n ≥C ．32m ≥D ．2m n ≥D 解析：D【分析】由于△MNP 和△DCP 相似，可得出关于MN 、PC 、NP 、CD 的比例关系式．设PC=x ，那么NP=m-x ，根据比例关系式可得出关于x 的一元二次方程，由于NC 边上至少有一点符合条件的P 点，因此方程的△≥0，由此可求出m 、n 的大小关系．【详解】解：若设PC=x ，则NP=m-x ，∵△ABP ∽△PCD ，AB BP PC CD ∴=即,n m x x n-= 即x 2-mx+n 2=0方程有解的条件是：m 2-4n 2≥0，∴（m+2n ）（m-2n ）≥0，则m-2n≥0，∴m≥2n ．故选：D ．【点睛】本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决．6．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（）A ．1:2B ．1:4C ．D ．2:1A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 分别是边BC 、AC 的中点，P 是AB 上一点，以PF 为一直角边作等腰直角△PFQ ，且∠FPQ ＝90°，若AB ＝12，PB ＝3，则QE 的值为（）A ．42B ．4C ．32D ．3C 解析：C【分析】取AB 的中点D ，连结FD ，根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=62，∠A=45°，根据三角形中位线定理得到EF ∥AB ，EF=12AB=6，DF=12BC=32，证明△FDP ∽△FEQ ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算，得到答案．【详解】解：如图，取AB 的中点D ，连结FD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AB=12，∴2∠A=45°，∵点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，AB=12，PB=3，∴AD=BD=6，DP=DB-PB=6-3=3，EF 、DF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，EF=12AB=6，DF=122，∠EFP=∠FPD ， ∴∠FDA=45°，32262DF EF ==， ∴∠DFP+∠DPF=45°，∵△PQF 为等腰直角三角形，∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=PQ ，∴∠DFP=∠EFQ ，∵△PFQ 是等腰直角三角形，∴22PF FQ =， ∴DF PF EF FQ =， ∵DF PF EF FQ=，∠DFP=∠EFQ ，∴△FDP ∽△FEQ ， ∴2QE EF DP DF ==，即23QE =，解得，QE=32，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=5：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）A ．5：7B ．10：4C ．25：4D ．25：49D 解析：D【分析】根据题意证明DEFBAF ，再利用相似比得到面积比．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//CD AB ，CD AB =，∵:5:2DE EC =，∴:5:7DE DC =，∴:5:7DE AB =，∵DEF BAF ， ∴22::25:49DEF BAF S S DE AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形相似比和面积比的关系． 9．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据相似三角形的判定逐个判断即可得．【详解】①在ADE 和ACB △中，AED B A A ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADEACB ∴，则条件①能满足； ②//DE BC ，ADE ABC ∴，则条件②不能满足；③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ACB ∴，则条件③能满足；④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：AD DE AC BC=，对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；综上，能满足的条件有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．10．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（）A ．7.5B ．4.5C ．8D ．6A解析：A【分析】先判断△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比求BC 的长．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴25DE AD BC AB ==， ∴5515.3222BC DE ==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的性质．二、填空题11．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可；解析：3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；【详解】BD ，CE 是ABC 的高，90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，BOE COD ∴∽△△，90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，EBO ECA ∴∠=∠，又∵BEO CEA ∠=∠，BOE CAE ∴∽△△，BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，BOE BAD ∴∽△△，综上与BOE △相似的三角形有3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；12．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G 由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG 所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC 于G ∵AD ：DC=1：n ∴AD ：解析：n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G ．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得1AC FC n AD FG==+；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG ，所以由等量代换证得结论．【详解】证明：如图，作//DG AF 交BC 于G∵AD ：DC=1：n ，∴AD ：AC=1：（n+1）．∵//DG AF ，∴AC FC CD GC=，根据比例的性质知，1AC FC n AD FG ==+，又E 是BD 的中点，∴EF 是△BGD 的中位线，∴BF=FG ．∴FC:BF=FC BF =1FC n FG=+．故填：n+1．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解．13．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b 的值为_______．6【分析】由等式可用a 表示出b 代入求值即可【详解】解：∵5a=6b （a≠0）∴b=a ∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b 是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a 表示出b ，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b （a≠0），∴b=56a ， ∴1651--66a ab a a a ===，故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a 表示出b 是解题的关键．14．如图，把正ABC ∆沿AB 边平移到''A B C '的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC ∆的面积的一半，若23AB =，则此三角形平移距离'CC 的长度是_________．【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形且面积比为2：1所以AB ：A′B=：1推出A′B=从而得到AA′的长【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置∴AC ∥A′C′∴△AB解析：236【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB ：2：1，推出6，从而得到AA′的长．【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，∴AC ∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BD ，2ABC S AB ∆∴AB ：A′B=2：1，∵AB=23，∴A′B=6，∴AA′=23-6．由平移可得' 'CC AA =∴' 236CC =-故答案为：236-．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC 与阴影部分为相似三角形．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE 等高然后由等高三5【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE 的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：51又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ，∴22ABE ECD 551S BE AB CD CE S ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴5AB CE=5AB CE =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，BCE S CEBCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．16．若()0a b a c b c k k c b a+++===≠，则k 的值为______．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．17．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC为_________尺．575【分析】由题意可得△AFB∽△ADC根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB∽△ADC∴可设BC=x则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】解析：57.5【分析】由题意可得△AFB∽△ADC，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．【详解】解：由题意可知：△AFB∽△ADC，∴AB FB AC DC=，可设BC=x，则有50.455x=+，解之可得：BC=57.5（尺），故答案为57.5．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．18．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，23AO DOBO CO==，则容器的内径是______．【分析】连接ADBC后可知△AOD∽△BOC再由相似三角形的性质和已知条件可以得到问题解答【详解】解：如图连接ADBC则在△AOD和△BOC中∴△AOD∽△BOC（cm）故答案为15cm【点睛】本题解析：15cm【分析】连接AD、BC后可知△AOD ∽△BOC，再由相似三角形的性质和已知条件可以得到问题解答．【详解】解：如图，连接AD 、BC ，则在△AOD 和△BOC 中，AO DO BO CO DOA BOC ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD ∽△BOC ，233,1015322AD AO BC AD BC BO ====⨯=（cm ），故答案为15cm ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质并灵活运用是解题关键． 19．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．或【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC 根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ∴当△ADE ∽△ABC ∴即解得：AD=3∴当△AED ∽△ABC ∴解析：163或3 【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC ，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ，∴当△ADE ∽△ABC ，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．20．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN43=NF；③38BMMG=；④S四边形CGNF12=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是___________．①③【分析】①易证△ABF≌△BCG即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接AGFG根据③中结论即可求得S四边形CGNF和解析：①③【分析】①易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF 的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF=∠CBG ，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△BNF ∽△BCG ， 32BN BC NF CG ∴==， BN 32NF =，②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，2213AF AB BF =+=1122ABF AF BN AB BF S ∆=⋅=⋅， 6132413N B 3NF BN ===3AN 91AF NF =∴=-， ∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线， 313213,1313NH EH ==∴，BN ∥EH ， 111313AH AN MN AH EH∴==，，解得：MN=2713143， ∴BM=BN-MN=31311，MG=BG-BM=81311， 38BM MG ∴=，③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则713 11142712213S 13CFG GNF CGNF S S CG CF NF NG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， 11633512226213ANG ADG ANGD S S S AN GN AD DG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， S 12CGNF S ≠四边形，④错误；故答案为 ①③．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．三、解答题21．如图，AB 是ABC 的内接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，12∠=∠，过点C 作CF DC ⊥交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（1）当5DF =:1:2AE EC =时，求圆O 的半径．（2）在（2）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则:OMB DGF S S =△△______．（直接写出答案）解析：（1）254；（2）544 【分析】（1）连接AD ，利用“HL”证明Rt △ADB ≅Rt △ACB ，推出AB ⊥DC ，DE=CE ，再证明BE 为△DCF 的中位线，利用锐角三角函数的定义得到AD 1BD 2=，再利用勾股定理即可求得⊙O 的半径；（2）同理先求得DE=5， DC=10，利用勾股定理可求得CG=152，证明△OBM ~△GCM ，推出56OM MG =，推出OBM GBM 56S S =，设OBM 5S a =，则GBM 6S a =，利用三角形的中线平分此三角形的面积，即可推出DGF 44S a =，即可求得答案．【详解】（1）连接AD ，∵∠1=∠2，∴AD=AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=∠ACB=90︒，∴Rt △ADB ≅Rt △ACB(HL)，∴DB=CB ，∠1=∠3，∴AB ⊥DC ，∴DE=CE ，∵CF ⊥DC ，∴BE ∥FC ，∴BE 为△DCF 的中位线，∴DB=12DF=55， ∵AE ：EC=1：2， ∴AE AD 1tan 3tan 1EC BD 2∠∠====， ∴AD=552， ∴AB=()222252555522AD BD ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴⊙O 的半径为254；（2）连接BG ， ∵CF ⊥DC ，∴∠ACG=90︒， ∴DG 为⊙O 的直径，∵DE 1tan 3EB 2∠==， ∴EB=2DE ，∵222DE EB BD +=，即(222455DE DE +=， ∴DE=5，则DC=2DE=10，∵222DC CG GD +=，即22225102CG ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴CG=152， ∵BO ∥GC ，∴△OBM ~△GCM ， ∴OM OB MG CG=，则25541562OM OB MG CG ===，∴OBM GBM 56S S =，设OBM 5Sa =，则GBM 6S a =， ∴GBO 5611Sa a a =+=， ∵点O 为直径DG 的中点， ∴DBO GBO 11SS a ==， ∴DBG GBO222S S a ==， ∵点B 为线段DF 的中点，DGF DBG 244SS a ==， ∴OBM DGF 554444S a S a ==．故答案为：544．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形中位线的判定和性质，三角形的中线的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O ；（2）△A ＇B ＇C ＇与△ABC 的位似比是；（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A ＇B ＇C ＇关于点O 中心对称的△A ＂B ＂C ＂，并直接写出△A ＂B ＂C ＂各顶点的坐标．解析：（1）画图见解析；（2）1:2；（3）画图见解析；A ＂（6,0），B ＂（3，-2），C ＂（4，-4）【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O ；（2）由OB=2OB′，即可得出△A′B′C′与△ABC 的位似比为1：2；（3），连接B′O 并延长，使OB″=OB′，延长A′O 并延长，使OA″=OA′，C′O 并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．【详解】解：（1）图中点O为所求；（2）△A′B′C′与△ABC的位似比等于1：2；故答案为：1：2；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）；C″（4，-4）．【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．23．如图，在△ABC中，AB＝23，AC43，点D在AC上，且AD＝12 AB，(1)用尺规作图作出点D(保留作图痕迹，不必写作法)；(2)连接BD，并证明：△ABD∽△ACB．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先尺规作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，以AB的一半作弧，与AC的交点即为点D的位置；（2）根据两边成比例且夹角相等证明即可．【详解】解：（1）点D的位置如图所示：（2）∵31231,222343AD AB AB AC ====，且∠A=∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．24．如图，在ABC 中，BA BC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线与O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：2ABC CAF ∠=∠；（2）若210AC =:1:4CE EB =，求AF 的长．解析：（1）见解析；（2）152【分析】（1）根据切线性质可知90CAB CAF ∠+∠=︒，所得等式两边同乘2可得22180CAB CAF ∠+∠=︒，在等腰三角形ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒，联立两个等式即可证明．（2）连接AE ，设CE x =，根据等腰三角形性质及勾股定理可得3AE x =，在Rt AEC 中运用勾股定理得出CE 、AE 的值，再根据AEF BEA ∽△△计算得出AF 的值．【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，AF 是O 的切线，∴AF AB ⊥，90CAB CAF ∠+∠=︒，等式两边同乘2可得：22180CAB CAF ∠+∠=︒①；∵BA=BC ，∴CAB ACB ∠=∠,∴在ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒②，联立①和②可得：222CAB CAF CAB ABC ∠+∠=∠+∠，∴2ABC CAF ∠=∠．（2）解：连接AE ，如图：∵:1:4CE EB =，BA=BC ，设CE x =，90AEB =︒∠（直径所对圆周角是直角）， ∴在Rt AEB 中，45AB CE EB x x x =+=+=，4BE x =，22=(5)(4)3AE x x x -=，∵在Rt AEC 中，222AE CE AC +=，即()()222321040x x +==，∴解得：2x =，AE=6，AB=10，∵AE ⊥BF ，FAE ABE ∠=∠（弦切角度数等于它所夹弧度所对圆周角度数），∴FAE ABE ∽，∴FA AB AE BE =，即1068FA =，解得：152FA =．【点睛】本题考查切线性质的综合运用，用勾股定理解三角形，灵活运用切线性质和勾股定理是解题关键．25．如图，点F 是ABC 中AC 边的中点，//AD BC ，DF 交AB 于点E ，交BC 延长线于点G ．（1）若:3:1BE AE =，8BC =，求BG 的长；（2）若12∠=∠，求证：2FC EF FD =⋅．解析：（1）BG=12,；（2）证明见解析【分析】（1）根据AD ∥BC ，点F 是AC 边上的中点，可证△ADF ≌△CGF ，得AD=CG ，再由BE ：AE=3：1及AD ∥BC ，得BG=3AD ，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG ；（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG ，又对顶角∠AFE=∠GFC ，可证△AFE ∽△GFC ，利用相似比证题．【详解】(1)解：∵AD ∥BC ，∴∠D=∠G ，又∠AFD=∠CFG ，AF=FC ，在△ADF 和△CGF 中D G AFD CFG AF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△CGF(AAS)，∴AD=CG ，FG=FD ，又∵AD ∥BC∴△ADE ∽△BGE ∴BE BG AE DA= 又BE ：AE=3：1，∴BG=3AD ，又AD=CG∴BC=2AD=8，解得AD=4，∴BG=3AD=12；（2）证明：∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠AEF=∠FCG ，又∵∠AFE=∠GFC ，∴△AFE ∽△GFC ，EF AF FC FG=，又AF=CF ，DF=GF ，即EF CF CF FD=， ∴FC 2=FE•FD ．【点睛】本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．26．已知ABC ，延长BC 到D ，使CD BC =.取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC 的值；（2）若18AB =，FB EC =，求AC 的长．解析：（1）23AE AC =；（2）27．【分析】（1）如图，连接FC 、AD ．易证FC 是△ADB 的中位线，则FC ∥AD ，且FC=12AD ；然后由“平行法”证得△EFC ∽△EDA ，则该相似三角形的对应边成比例：AE AD CE FC ==2，所以由比例的性质可以求得AE AC的值；（2）利用（1）中的比例式，把12AB=FB=EC=9代入，即可求得AC 的长度．【详解】解：（1）如图，连接FC 、AD ．∵点F 是AB 的中点，CD=BC ，∴FC 是△ADB 的中位线，∴FC ∥AD ，且FC=12AD ． ∴△EFC ∽△EDA ，∴AE AD CE FC==2， ∴1233AC AC AE AC EC AC AC AC --===；（2）∵点F 是AB 的中点，AB=18，FB=EC ，∴EC=12AB=9．由（1）知，2AE CE =，则29AE =，故AE=18， ∴AC=AE+EC=18+9=27．【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似三角形对应边成比例即可求得线段的比,正确作出辅助线是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO OC =，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．求点P 的坐标．解析：(2,422P -【分析】根据正方形的性质求出BO 和BQ 的长，再由COQPBQ ，利用对应边成比例列式求出BP 的长，从而算出AP 的长，就可以得到点P 的坐标．【详解】解：∵正方形OABC 的边长是2，∴2OC BC QO ===，根据勾股定理，22BO =，∴22BQ BO OQ =-=，∵//CO BP ，∴COQ PBQ ，∴CO OQ PB BQ =，即22222PB =-，解得222PB =-， ∴()2222422AP AB BP =-=--=-，∴()2,422P -．【点睛】本题考查平面直角坐标系和图象，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例列式求线段长．28．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，12DE CD =，连接BE 与AC ，AD ，FE 分别交于点O ，F ．（1）若DEF ∆的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．（2）求证2·OB OE OF =．解析：（1）平行四边形ABCD 的面积为24；（2）见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定△DEF ∽△ABF ，△DEF ∽△CEB ，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及△DEF 的面积为2，可求得答案．（2）由AD ∥BC ，AB ∥DC ，分别判定△AOF ∽△COB ，△ABO ∽△CEO ，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论．【详解】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，12DE CD =， ∴21AB CD DE DE ==，四边形ABCD 是平行四边形，//AB DC ∴，DEF ABF ∴∆∆∽，∴24()1ABF DEF S AB S DE ∆∆==，又2DEF S ∆=，8ABF S ∆∴=；四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，DEF CEB ∴∆∆∽， ∴2211()()39DEF CBE S DE S CE ∆∆===， 9218CBE S ∆∴=⨯=，18216CBE DEF BCDF S S S ∆∆∴=-=-=四边形，∴平行四边形ABCD 的面积为：81624+=．（2）证明：//AD BC ，AOF COB ∴∆∆∽， ∴AO OF CO OB=， //AB DC ，ABO CEO ∴∆∆∽， ∴AO OB CO OE=， ∴OF OB OB OE=， 2·OB OE OF ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。

梅涅劳斯定理公式证明

梅涅劳斯定理公式证明梅涅劳斯定理是一个在平面几何中非常有趣且实用的定理。

咱们先来说说这个定理到底是啥。

梅涅劳斯定理指出：如果一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA或其延长线交于 F、D、E 点，那么 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 。

那这个定理咋证明呢？咱们一步步来。

咱们先画个三角形 ABC ，然后随便画一条直线，和三角形的三条边或者延长线相交于 F 、 D 、 E 这三个点。

假设咱们从点 A 作一条和 BC 平行的直线，交 FE 的延长线于点 G 。

因为 AG // BC ，所以就有 AF/FB = AG/BD ， CE/EA = DC/AG 。

把这两个式子乘起来，就得到了 AF/FB × CE/EA = AG/BD ×DC/AG 。

两边一约分，就得到了 AF/FB × CE/EA = DC/BD 。

再把 BD/DC 乘到左边去，那不就得到了(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 嘛，这就证明出来啦！我记得有一次给学生讲这个定理的时候，有个特别调皮的小家伙，怎么都理解不了。

我就又重新给他画了好几遍图，一步一步带着他推导。

这小家伙一开始还满脸的不耐烦，觉得这定理太难太复杂。

可当最后推导出来，他那眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，原来这么简单啊！” 看到他那恍然大悟的样子，我心里可美了，觉得自己这功夫没白费。

梅涅劳斯定理在解决很多几何问题的时候，那可真是一把好手。

比如说，在判断三点是否共线的时候，就特别有用。

咱们就拿一个具体的题目来说。

有一个三角形 ABC ， D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 CA 上的点，已知 AF/FB = 1/2 ， BD/DC = 1/3 ，CE/EA = 1/4 ，咱们来判断 D 、 E 、 F 这三个点是不是共线。

根据梅涅劳斯定理，咱们算一下 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA) =（1/2）×（1/3）×（1/4） = 1/24 ，这可不等于 1 呀，所以 D 、 E 、 F 这三个点不共线。

竞赛定理公式大全

因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
证明
一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
因为△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE
2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

相似三角形的判定及性质课件

AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ，变为证 △ FAD ∽ △ FDB. 其中
BD∶AD 正是两对相似三角形的中
间比．
图 1－3－3
【自主解答】 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA. ∴AB∶AC＝BD∶AD. 又∵E 是 AC 的中点， ∴AE＝DE＝EC， ∴∠DAE＝∠ADE，
如图 1－3－5，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH.
求证：GH∥AB.
图 1－3－5
【思路探究】结合图形的特点可以先证比例式EEGD＝ EEHB成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠1
判定定理 2
判定定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这似．
2．判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就推导出这些条件．
如图 1－3－3，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC 于 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长与 AB 的延
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】由条件知：AB∶
所以 ∠ BAC ＝ ∠ EAD ， ∠ BAC － ∠ DAC ＝ ∠ EAD － ∠ DAC，即∠DAB＝∠EAC.

相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(解析版)

相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型梅内劳斯(Menelaus，公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。

梅涅劳斯(定理)模型：如图1，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF FB ⋅BDDC⋅CEEA=1．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果AF FB⋅BD DC ⋅CEEA=1，则F、D、E三点共线．图1图2塞瓦(G·Gevo1647-1734)是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。

塞瓦(定理)模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1。

注意：①梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯(定理)与塞瓦(定理)解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。

1(2023.浙江九年级期中)如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：AE:ED=2AF:FB．【解析】∵直线FEC是△ABD的梅氏线，∴AEED⋅DCBC⋅BFFA=1．而DCBC=12，∴AEED⋅12⋅BFFA=1，即AEED=2AFBF．【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．2(2023.重庆九年级月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，CD的延长线交AB于点E．求AEEB．【解析】∵HFC 是△ABD 的梅氏线，由题设，在Rt △AMC 中，CD ⊥AM ，AC =2CM ，由射影定理AD DM =AD ⋅AM DM ⋅AM =AC 2CM 2=4．对△ABM 和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，AE EB ⋅BC CM ⋅MD DA =1，即AE EB ⋅21⋅14=1．∴AEEB =2．【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．3(2023.湖北九年级期中)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，AE =EB ，AD DC=23，BD 与CE 交于点F ，S △ABC =40．求S AEFD ．【解析】对△ECA 和截线BFD ，由梅氏定理得：EF FC ⋅CD DA ⋅AB BE=1，即EF FC ⋅32⋅21=1，∴EF FC =13．∴S △BFE =14S △BEC =18S △ABC ．∴S AEFD =S △ABD -S △BEF =25-18 S △ABC =1140⋅40=11．【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．4(2023.江苏九年级月考)已知AD 是△ABC 的高，点D 在线段BC 上，且BD =3，CD =1，作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G ，求CG ．【解析】如图，设CG =x ，EFG 是△ABC 的梅氏线．则由梅涅劳斯定理4+x x ⋅CF FA ⋅AEEB=1．显然的CF FA =DC 2AD 2，AE EB =AD 2BD 2，于是19⋅4+x x =1，得x =12．【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合．5(2023.广东九年级专项训练)如图，在△ABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，∠B 的平分线与边CA 交于点Q ，∠C 的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【解析】AP是∠BAC的外角平分线，则BPPC=ABCA ①BQ是∠ABC的平分线，则CQQA=BCAB ②CR是∠ACB的平分线，则ARRB =CABC ③①×②×③得BPPC⋅CQQA⋅ARRB=ABCA⋅BCAB⋅CABC=1，因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线．【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用．6(2023上·广东深圳·九年级校联考期中)梅涅劳斯(Menelaus)是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与△ABC的三边AB,BC,CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图2，过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有AFFB=AGBD，CEEA=CDAG，∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE，∴AFFB ⋅BDDC⋅CEEA=AGBD⋅BDDC⋅CDAG=1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图3，△ABC 三边CB ,AB ,AC 的延长线分别交直线l 于X ,Y ,Z 三点，证明：BX XC ⋅CZ ZA ⋅AYYB=1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图4，等边△ABC 的边长为3，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且BF =2AF ,CF 与AD 交于点E ，试求AE 的长．(3)如图5，△ABC 的面积为4，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接FD 交AC 于E ，求四边形BCEF 的面积．【答案】(1)详见解析；(2)AE =343；(3)83【分析】(1)过点C 作CN ∥XZ 交AY 于点N ，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．(2)根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3)根据定理，计算比值，后解答即可．【详解】(1)证明：如图，过点C 作CN ∥XZ 交AY 于点N ，则BX XC =BY YN ,CZ ZA =YN AY．故：BX XC ⋅CZ ZA ⋅AY YB =BY YN ⋅YN AY ⋅AY YB =1．(2)解：如图，根据梅涅劳斯定理得：AF FB ⋅BD DC ⋅DEEA=1．又∵BF =2AF ，∴∴AF BF =12,BCCD =2，∴DE =AE ．在等边△ABC 中，∵AB =3，点D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ,BD =CD =32．∴由勾股定理知：AD =323∴AE =343．(3)解：∵线段DEF 是△ABC 的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，AF FB ⋅BD DC ⋅CE EA =1，即11×21×CE EA =1，则CE EA=12．如图，连接FC ，S △BCF =12S △ABC ,S △CEF =16S △ABC ，于是S 四边形BCFF =S △BCF +S △CEF =23S △ABC =23×4=83．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键．7(2023.山东九年级月考)如图：P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点．若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，求证：BP PC ⋅CQ QA ⋅ARRB=1．证明：如图，由三角形面积的性质，有AR RB =S △AMC S △BMC ，BP PC =S △AMB S △AMC ，CQ QA =S △BMC S △AMB ．以上三式相乘，得BP PC ⋅CQ QA ⋅ARRB=1．8(2023.浙江九年级期中)如图，在锐角△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：∠EDH =∠FDH 。

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲综述素材新人教A版选修41

第一讲相似三角形的判定及有关性质
本讲综述
在本讲中主要学习平行线分线段成比例定理及其推论，相似三角形、相似比等概念，相似三角形的判定定理和性质定理，直角三角形中的射影定理等，通过这些定理的学习，把握数学中的转化思想，提高逻辑思维能力.
本讲的重点是相似三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形中的射影定理，难点是证明相似三角形时如何寻求相似的条件，利用射影定理探讨线段之间的关系.
在本讲的探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序模式.通过具体问题的解决，训练自己的逻辑推理技能，提高逻辑思维能力，进一步形成对数学的浓厚兴趣，发展对数学的深层认识.
学习本讲内容之前，需要回顾平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质，通过类比，理解平行线分线段成比例定理及其推论，理解相似三角形的判定定理和性质定理，事实上，全等是相似比为1的相似.
学习好本讲的关键是在三角形中寻找相似的条件，通常先找两个角对应相等，再找一个角对应相等，夹这个角的两边对应成比例；或找三边对应成比例.
学习本讲可以采用类比的方法，将相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质对比，这将有助于知识的理解与记忆.从特殊到一般的思考方法及化归的思想方法是本讲研究数学问题的重要方法，学习中要注意体会.
学习本讲时应注意特别强调证明，从问题的特殊性发现一般性结论后，必须对结论进行严格的证明，在证明过程中形成逻辑推理技能，提高逻辑思维能力；在发现和证明问题的过程中提高解决问题的能力.
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