《流变学》 第四章 第二部分

速率型本构方程
• 已知高分子材料本体的线性粘弹行为可 以用一些力学模型，如Maxwell模型、 Voigt模型及它们的恰当组合进行描述。 用三维张量形式描述Maxwell方程 σ+λ1σ=2η0d 式中λ1=η0/G 称为松弛时间，单位为s；σ为应力张量 中的偏应力张量；d为速度梯度张量中的形变率张量； 为应力σ对时间的一般偏微商。 L为速度梯度张量 注意：这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式， 并无深刻的物理意义。式中系数2的出现是由于采用了张量描述 的缘故.
本构方程概念
• 本构方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性 相关的力学响应规律的方程。 • 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：
如理想气体的本构方程为 PV=nRT 牛顿流体的本构方程实质方程为 0
非牛顿流体的本构方程为

Kr
a
a
n
(1 b r ) c

胡克弹性体的本构方程为
需要指出的是，我们必须建立随流坐标系和固定的空间坐标 系中各种物理量之间的转换关系，因为我们所有的实验仪器 都是安装在固定的空间坐标系中，所有对流体性质的测量也 都是在空间坐标系中进行的。只有建立起随流坐标系和固定 的空间坐标系中各种物理量之间的转换关系，我们才能将随 流坐标系中讨论的结果转换到实验室系中加以验证，以确定 本构方程的优劣。
• White-Metzner推广经典的Maxwell模型，其方法就是采 用对应力张量求Oldroyd随流微商代替一般偏微商。 • 为检验White-Metzner模型的说明能力，将该模型用于 描述稳态简单剪切流场： 1 r x2 2 3 0
• 首先考察偏应力张量σ的 Oldroyd随流微商的具体表达式。 由于流动是稳定的，所以式中等号右边第一项 i j 0 t 注意：这儿将偏应力张量分量σij代替了原公式中Tij。又 因为v2=v3=0,偏应力分量σ12沿x1方向无变化，故有
11 12 13 12 22 代入模型得到 21 22 23 1 r 22 0 31 32 33 23 0
0 r/ 2 0 23 0 2 0 r/ 2 0 0 0 0 0 0
空间描述法和物质描述法
物质描述法 空间描述法
观察者的视点集中于一个具体的 流体元及其邻域所发生的事件， 研究它在不同时刻所处的位置， 以及它的速度，加速度等，与通 常力学中集中于一个质点的方法 相同。
拉格朗日描述法 在该方法中一般以流体元在参考 构型中的物质坐标 XR(R=1,2,3) 为自变量，以便区别不同的材料 元。
广义Maxwell模型
White-Metzner模型 • 随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常数，故此采用随 流坐标对流体元的描述为物质描述。 • 随流坐标系中对形变的度量是通过计算在两个时刻(t,t’) 一个材料元中任何两个质点间的距离变化来表示的。这种形 变度量也必须转换到固定的空间坐标系中，而且两个时刻计 算的质点间距离必须与固定的空间坐标系中的同一点相关。
r 11 0 0

r 12 0 0

r 11 r 13 0 0 0 0 i j

r 12 0 0

r 13 0 0 ji

2 12 22 23 r 22 0 0 23 0 0
式中等号右边第一项为
3 D Ti j Ti j k Tij Dt tk xk k 1
• 二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定 坐标系中的某一材料元的应力张量对时间的变化率。 • 第二、三项中含有速度梯度的影响，速度梯度中含 有形变 率张量d和旋转速率张量ω两部分，它描述了材料元对于固 定坐标系的有限形变和旋转运动。
式确定了由物质坐标XR决定 的流体元在时间t的位移。
而采用空间描述时，以x为自变量，则μ是空间坐标x和时间 t的函数，记为：
( x, t ) x(t ) X ( x, t )
式则确定了在时间t占有空 间位置x的流体元在时间t 所经历的位移。
• 进一步考虑速度矢量：流体元的速度矢量定义为其位移矢 量的时间变化率。因为要针对一个具体的流体元求速度， 所以应当采用物质描述, 一个具体流体元的物质坐标XR是 常数，所以速度矢量等于： , t ) dx( X , t ) du ( X

0 2 0


2 0 0
0 0 0
代入式中得到：
1 20 d
0 d 2 0

0



2 0 0
0 0 0
11 12 21 22 31 32
0 r/ 2 0 13 2 0 r/ 2 0 0 23 0 33 0 0
将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得 到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：
1 0 r
2 12 22 23 ij r 22 0 0 t 23 0 0
0 d 2 0



2 0 0
0 0 0
x x( X , t )
反过来，X也可以记成x和时间t的函数： X
X ( x, t )
设在时间t内，流体元的位移矢量为μ有：
( X , x, t ) x(t ) X
采用物质描述时，以X为自变量，将μ当作物质坐标X和时间 , t ) X
• 在随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不 变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。 • Oldrovd随流微商，记作δt。二阶应力张量Tij的Oldrovd 随流微商转换到固定坐标系后的形式为：
j i D Ti j Ti j ( )Tk j ( )Tik t Dt xk xk
观察者的视点集中于坐标空间 某一特殊点及其邻域所发生的 事件，不针对一个具体的流体 元。
欧拉描述法 在该方法中，往往以固定坐标 系Xi (i=1,2,3)的空间坐标为 自变量。
• 例如：设一流体元初始时刻在参考 构型中的位置矢量为X，到t时刻它 运动到即时构型中的位置x. 根据拉 格朗日描述，流体元在某一时刻t到 达空间的位置x即与t有关，也与X有 关，所以x可以写成X和时间t的函数， 记成：
E
a
0
1 k r
m
非线性粘弹性理论
从形式上分，关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两 大类：速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。 • 所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速 率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。 • 所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变 历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的 叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或 多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等 价的。
DTi j Ti j 3 Tij DT T T 或 k Dt t Dt t xk j 1
这实际是九个方程的缩写。
随流坐标
对于物质描述，有两类坐标可以采用。一种是刚性坐标，这 种坐标随材料元平移和转动，另一种是柔性坐标，它相当于 一种嵌入物体的坐标系，坐标框架不但随材料元一起平移和 旋转，而且随同一起形变，这种坐标就是所谓的随流坐标 （或迁移坐标）。
12 21 0 r 23 32 13 31 0 11 22 0 22 33 0

只能描述牛顿型流体的粘 性行为，
高分子液体在剪切速率极 低情况下的流动状态。
• 分析可知，Maxwell模型有限的描述能力与方程的推广方式 有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。 • 式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微 商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中 体系性质无变化的形变行为。对于描述高分子液体在大形 变下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定 义和推广。 • 另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一 点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟 着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位 置）是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材 料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典 Maxwell模型的推广。
.
例1 Maxwell模型用于描述稳态简单剪切流场
简单剪切流场形式如图
速度场方程为： 0
L
0 x 0
0 0
0 0 0
0

简单剪切流场中由于流场是稳定的， 因此该点的应力状态不随时间变化， 故有：
0 t d 对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为
ej
j 1
x j
e1
x1
e2
x2
e3
x3
ej为坐标轴的单位矢量。注意式只是一种记法，展开写应是 三个公式， 分别相关于矢量μ的三个分量，▽uj称作对uj求梯度运算。
• 对流动场中其他与流体元相关的物理量，若用空间描述 法表示其对时间的物质导数，都有类似的形式。 • 例如应力张量的分物质微商可记为：
( X , t)
dt dt
dui ( X R , t ) dxi ( X R , t ) (i 1, 2,3) dt dt
展开来写，可写成分量式：
( X R , t)
这种导数因为是针对具体流体元而求的，所以称为对时间的 物质导数。