高中数学人教版选修1-1课件：第二章2-3-2-3-2抛物线的简单几何性质

解析：抛物线 y ＝ax(a≠0)的焦点坐标
2
a F4，0，则
a a 直线 l 的方程为 y＝2x－4， 它与 y 轴的交点为 A0，－2，
1aa 所以△OAF 的面积为 42＝4， 解得 a＝± 8.所以抛物线 2 方程为 y2＝± 8x. 答案：B
类型 2 [典例 2]
抛物线的焦点弦问题(互动探究) 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 作直线与抛物线
交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，求线段 AB 的长． 解： 由题意得 p＝2， 故抛物线的准线方程是 x＝－1， 因为过抛物线 y ＝ 4x 的焦点作直线与抛物线交于
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py (p＞0) (p＞0) (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
范围 对称 轴 顶点 离心 率
x≥0，y x≤0，y∈ x∈R， y≥ x∈R，y≤ ∈R x轴 R x轴 0 y轴 (0，0) e＝ 1 0 y轴
性 质
2.焦点弦 直线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线交 于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF| p p ＝x1＋ ，|BF|＝x2＋ ，故|AB|＝x1＋x2＋p． 2 2
(4)抛物线 x2＝4y，y2＝4x 的 x，y 的范围是不同的， 但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相 同．( )
解析：(1)抛物线不是中心对称图形，故(1)错误；(2)p 为焦点到其准线的距离，故(2)错误；(3)抛物线的类型一 共有 4 种， 经过第一象限的抛物线有 2 种， 故满足条件的 抛物线有 2 条，故此种说法错误．
(4)抛物线 x2＝4y 的范围是 x∈R，y≥0，焦点到准线 的距离是 2，离心率为 1；抛物线 y2＝4x 的范围是 y∈R， x≥0，焦点到准线的距离是 2，离心率为 1.故此种说法正 确． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2． 以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与 x 轴 垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方 程为( ) B．y2＝－8x D．x2＝8y 或 x2＝－8y
2 2 x y 4. 若抛物线 y2＝mx 与椭圆 ＋ ＝1 有一个共同的 9 5
焦点，则 m＝________． 解析：椭圆的焦点为(± 2，0)，当抛物线焦点为(2，0) 时，m＝8；当抛物线焦点为(－2，0)时，m＝－8. 答案：± 8
5．抛物线 4y＋5x2＝0 的焦点与准线之间的距离是 ______． 4＝ ，得 5 5
2
2 2 p＝ ，于是焦点与准线之间的距离是 . 5 5 2 答案： 5
类型 1 [典例 1]
抛物线的几何性质(自主研析) 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆
9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离 为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． [自主解答] x2 y2 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 4 9
其短轴在 x 轴上，
所以 抛物线的对称轴为 x 轴， 所以 设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)． 因为抛物线的焦点到顶点的距离为 3. p 即 ＝3，所以 p＝6. 2 所以 抛物线的标准方程为 y2＝12x 或 y2＝－12x， 其准线方程分别为 x＝－3 和 x＝3.
第二章
圆锥曲线与方程
2.3 2．3.2
抛物线
抛物线的简单几何 性质
[学习目标]
1.理解抛物线的几何性质(包括范围、对 2.能根据抛物线的几何性 3.进一步体会数形
称性、顶点、离心率)(重点)．
质解决与抛物线有关的问题(难点)． 结合思想．
[知识提炼· 梳理] 1．抛物线的几何性质
标准 方程 图形
3．直线与抛物线的位置关系 直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p＞0)的交点个数决 定于关于 x 的方程 k2x2 ＋ 2(kb － p)x ＋ b2 ＝ 0 的解的个 数．当 k≠0 时，若Δ ＞0，则直线与抛物线有两个不同的 公共点；当Δ ＝0，直线与抛物线有一个公共点；当Δ ＜0 时，直线与抛物线的对称轴没有公共点．当 k＝0 时，直 线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有 一个公共点．
A．y2＝8x C．y2＝8x 或 y2＝－8x
解析：设抛物线 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)，p＝4. 答案：C
3． 斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F， 且和 y 轴交于点 A， 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4， 则抛物线方程为( A．y2＝± 4x C．y2＝4x ) B．y2＝± 8x D．y2＝8x
归纳升华 1．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终 在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点， 抛物线的准线始终与对称轴垂直， 抛物线的准线与对称轴 的交点和焦点关于物线的顶点对称．
2．解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中， 通过定义的运用， 实现两个距离之间的转化， 简化解题过 程．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 抛 物 线 既 是 中 心 对 称 图 形 ， 又 是 轴 对 称 图 形．( )
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)中，p 为焦点到其顶点的距 离．( )
(3)顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3，2)的抛 物线有 4 条．( )
[变式训练]已知正三角形的一个顶点位于坐标原点， 另外两个顶点 A，B 在抛物线 y2＝4x 上，则这个正三角 形的边长为________． 解析：不妨设点 A 在 x 轴上方．由正三角形和抛物 线的对称性可知，∠AOx＝∠BOx＝30°. 3 故直线 OA 的斜率 k＝tan30°＝ ， 3
3 y＝ x， 3 3 其方程为 y＝ x.由 得 A(12，4 3)． 3 y2＝4x 故正三角形的边长为|OA|＝ 答案：8 3 122＋（4 3）2＝8 3.