江西省宜市奉新一中高考数学模拟试卷 文(含解析)
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题(含解析)
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。
江西省宜春市奉新一中2015届高三模拟考试数学(文)试卷(Word版含答案)
奉新一中2015届高三模拟考试文科数学试卷2015.5.24注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、已知集合{1,0,1,2,3},{2,0}M N =-=-，则下列结论正确的是 （ ）A ．N M ⊆B ．M N N =C ．M N M =D ．{}0MN =2、复数z=所对应的点位于复平面内（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3、已知角α的终边上一点P 落在直线x y 2=上，则=α2sin （ ）A ． 25B ．25． 45- D ． 45 4、双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y =，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 2C ． 4D ．35、已知数列,29,2317,11,5⋅⋅⋅则55是它的第（ ）项.A.19B.20C.21D.22 6、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12B.24C.30D.487、若向量b a ,满足2,1==b a 且322=+b a，则向量b a ,的夹角为（ ）A.32πB.2πC.3πD.6π8、以下四个命题中①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥； ③“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的必要不充分条件； ④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1.俯视图左视图正视图3245其中真命题的个数为 =2y x 2912、已知函数()323(12)f x ax x b a =-+<<只有两个零点，则实数log 2log 2a b +的最小值是 ( )A ．B ．32-． D ．32+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分.）13、若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ． 14、已知等差数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若24,a a 是方程2650x x -+=的两个根，则6S 的值为15V ABC -的外接球的球心为O ，满足0OA OB OC ++=,则三棱锥外接球的体积为 ． 16、对于函数()f x ，若存在区间[](){},,A m n y y f x x A A ==∈=，使得，则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②()21f x x =-；③()21f x x =-；④()f x =log ()21x -.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_____________（请写出所有正确的序号） 三、解答题：（本大题共8小题，考生作答6小题，共70分。
奉新高考数学试卷答案解析
一、选择题解析1. 答案：C解析：本题考查了指数函数的单调性。
根据指数函数的性质，当底数大于1时，函数单调递增；当底数小于1时，函数单调递减。
因此，正确答案为C。
2. 答案：D解析：本题考查了函数的奇偶性。
由题意可知，f(x) = x^3 - 3x，定义域为实数集R。
计算f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x，发现f(-x) = -f(x)，即函数f(x)为奇函数。
因此，正确答案为D。
3. 答案：B解析：本题考查了数列的通项公式。
由题意可知，数列{an}是一个等差数列，且首项a1=2，公差d=3。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可得an = 2 + (n-1)×3 = 3n-1。
因此，正确答案为B。
4. 答案：A解析：本题考查了向量的数量积。
由题意可知，向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)。
根据向量的数量积公式a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。
计算可得a·b = 1×2 + 2×3 = 8，|a| = √(1^2 + 2^2) =√5，|b| =√(2^2 + 3^2) = √13，cosθ = (a·b) / (|a||b|) = 8 / (√5×√13) ≈0.99。
因此，正确答案为A。
5. 答案：C解析：本题考查了复数的运算。
由题意可知，复数z = a + bi，其中a、b为实数，i为虚数单位。
根据复数的乘法法则，z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi。
因此，正确答案为C。
二、填空题解析1. 答案：3解析：本题考查了等差数列的求和公式。
由题意可知，数列{an}是一个等差数列，且首项a1=1，公差d=2。
根据等差数列的求和公式S_n = n(a1 + an) / 2，可得S_10 = 10(1 + 19) / 2 = 10×20 / 2 = 100。
奉新高考数学试卷答案详解
解析：由题意知，a、b、c为等差数列，所以a+c=2b。
又因为a+b+c=12，代入a+c=2b得3b=12，解得b=4。
因此，a+c=8。
故选D。
2. 【答案】C解析：由题意知，f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减。
因此，当x<0时，f(x)>0；当x>0时，f(x)<0。
又因为f(-2)=-2，f(2)=2，所以f(-2)×f(2)<0。
故选C。
3. 【答案】A解析：设等比数列的公比为q，由题意知q≠1。
又因为a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=24，所以a3+a4=6。
又因为a3=a1q^2，a4=a1q^3，所以a1q^2+a1q^3=6。
化简得a1q^2(1+q)=6。
又因为a1+a2+a3+a4=42，所以a1q^2+a1q^3+a1+a2=42。
代入a1q^2(1+q)=6得a1q^2(1+q)+a1q^2=42。
化简得a1q^2=36。
因为q≠1，所以q^2=36/a1。
代入a1q^2+a1q^3=6得36/a1+a1q=6。
解得a1=3，q=2。
因此，a2=a1q=6。
故选A。
4. 【答案】B解析：设等差数列的公差为d，由题意知d>0。
又因为a1+a4=5，a2+a5=10，所以a3+a6=15。
又因为a3=a1+2d，a6=a1+5d，所以a1+7d=15。
又因为a1+a1+3d=15，所以a1+3d=15/2。
代入a1+7d=15得d=1/2。
因此，a1=11/2。
故选B。
5. 【答案】C解析：由题意知，数列{an}为等比数列，且公比为q。
又因为a1+a2+a3=27，a2+a3+a4=40，所以a3+a4=13。
又因为a3=a1q^2，a4=a1q^3，所以a1q^2+a1q^3=13。
化简得a1q^2(1+q)=13。
又因为a1+a2+a3+a4=63，所以a1q^2+a1q^3+a1+a2=63。
江西省宜春市奉新一中2021届高三数学5月模拟考试试题 文 (1)
奉新一中2021届高三5月模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求）1. 设i 是虚数单位，假设复数z 知足32zi i =-，那么z =( ).A. 32z i =+B. 23z i =-C. 23z i =--D. 23z i =-+ 2.已知1sin cos ,3αα-=则2cos ()4πα-= （ ） A.181 B.91 C.92 D.18173. 月底，某商场想通过抽取发票的10％来估量该月的销售总额。
先将该月的全数销售发票存根进行了编号：1，2，3，…，然后拟采纳系统抽样的方式获取一个样本．假设从编号为1,2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方式依编号顺序逐次产生第二张、第三张、第四张、…，那么抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是（ ） A ．19B ．17C ．23D ．134. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边别离是,,a b c ，假设22a b -=，sin C B =，则A =（ ）．A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5.已知函数()()()x x f x x f -'+=ln 22，那么()1f '= （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中必然能推出m ⊥β的是（ ）A ．α⊥β且α⊂mB ．α⊥β且α//mC ．n m //且n ⊥βD ．m ⊥n 且βα//7. 已知0>a 且1≠a ，那么1>ba 是0)1(>-b a 的 （ ）A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件8. 关于实数a 和b ，概念运算b a *，运算原理如右图所示，那么式子1321()ln 4e -*的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，假设直线m x a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称，那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10项和=( ) A ．109 B ． 1110 C ． 98D ．210.如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11．已知向量()()4,,2,1-==m b a ，且a ∥b ，那么=+⋅)(b a a ________.12．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，那么该几何体的上底面面积是13. 已知离心率为2的双曲线221x y m n+=()R n m ∈,的右核心 与抛物线x y 42=的核心重合，那么mn=____________ . 14．已知()()m x x x f ++=cos tan 为奇函数，且m 知足不等式()0192≤--m m m ，那么实数m 的值为______.15. 已知集合(){}3M=ln 23,x y x x x R =-+-∈，{}N=14,x x x a x R ---<∈若MN φ≠,那么实数a 的取值范围是____________ .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明进程或演算步骤） 16.（本小题总分值12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边别离为a 、b 、c ，且5sincos 22CC =+。
江西省九江市奉新第一中学高二数学理模拟试卷含解析
江西省九江市奉新第一中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中,分别是角的对边，,则此三角形解的情况是A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解参考答案：B略2. 等差数列前项和为，若．则当取最小值时，（）A 6B 7C 8D 9参考答案：A3. 抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上}，则A与B关系是（）A . 互斥事件 B.对立事件 C. 相互独立事件 D .不相互独立事件参考答案：C4. 入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x被直线反射后的光线所在的方程是( )A．x+2y﹣3=0 B．x+2y+3=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y+3=0参考答案：C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】光线关于直线对称，y=x是对称轴，直线x﹣2y+3=0在x、y轴上的截距互换，即可求解．【解答】解：∵入射光线与反射光线关于直线l：y=x对称∴反射光线的方程为y﹣2x+3=0，即2x﹣y﹣3=0故选C．【点评】光线关于直线对称，一般用到直线到直线的角的公式，和求直线的交点坐标，解答即可．本题是一种简洁解法．5. 在数学归纳法的递推性证明中由假设时成立,推导时成立时增加的项数是（）A.1B.C.D.参考答案：D略6. 下列四个图中，哪个可能是函数的图象（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断．【解答】解：∵是奇函数，向左平移一个单位得，∴图象关于（﹣1，0）中心对称，故排除A、D，当x＜﹣2时，y＜0恒成立，排除B．故选：C7. 函数的图像大致为（ ）参考答案： B8. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A. 61.5万元B. 62.5万元C. 63.5万元D. 65.0万元参考答案：C 【分析】先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据回归直线经过样本中心点，求出，得到线性回归方程，把代入即可求出答案。
江西省奉新县第一中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
江西省奉新县第一中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()B ．()C ．()D ．()3．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．244．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或85．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-6．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．153D ．10310．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2211．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省宜春市奉新一中高考数学模拟试卷 文(含解析)
江西省宜春市奉新一中2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y=2x上，则sin2α=（）A．B．C．D．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程式y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．226．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．30 D．487．（5分）若向量满足且，则向量的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；③“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？10．（5分）已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．411．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+b（1＜a＜2）只有两个零点，则实数log a2+log b2的最小值是（）A．B．C．2D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分1，3，5.）13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．14．（5分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为．15．（5分）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：（本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△AB C的面积S．18．（12分）为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n名工人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]），其中产量在[20，25）的工人有6名．（Ⅰ）求这一天产量不小于25的工人人数；（Ⅱ）工厂规定从产量低于20件的工人中随机的选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一组的概率．19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．江西省宜春市奉新一中2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用已知条件求出结合的交集，判断即可．解答：解：集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，M∩N={﹣1，0，1，2，3}∩{﹣2，0}={0}．故选：D．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得到复数对应点的坐标即可．解答：解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基础题．3．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y=2x上，则sin2α=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：角的终边是射线，分两种情况讨论角的终边所在的象限，对于各种情况在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出sinα、cosα的值，即可求出sin2α．解答：解：∵角α的终边落在直线y=2x上当角α的终边在第一象限时，在α终边上任意取一点（1，2），则该点到原点的距离为，∴sinα=，cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=；当角α的终边在第三象限时，在α终边上任意取一点（﹣1，﹣2），则该点到原点的距离为，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=．故选：D．点评：已知角的终边求三角函数的值，在终边上任意取一点利用三角函数的定义求出三角函数值，注意终边在一条直线上时要分两种情况．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程式y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±x，可得=，利用双曲线的离心率e==，即可得出结论．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±x，∴=，∴双曲线的离心率e===2．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定=是关键．5．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令a n=，解方程即可解答：解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选C点评：本题考察了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．30 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知其直观图，从而求其体积．解答：解：由三视图可知其直观图如下所示，其由三棱柱截去一个三棱锥所得，三棱柱的体积V=×4×3×5=30，三棱锥的体积V1=××4×3×3=6，故该几何体的体积为24；故选B ．点评： 本题考查了学生的空间想象力与作图计算的能力，属于基础题．7．（5分）若向量满足且，则向量的夹角为（）A ．B ．C ．D ．考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 专题： 平面向量及应用． 分析： 将平方得到两个向量的数量积，利用数量积公式解答． 解答： 解：因为向量满足且，所以（22=12，展开得到4+4+4=12，解得，所以向量的夹角的余弦值为，所以向量的夹角为：；故选C ．点评： 本题考查了向量的平方等于其模的平方以及利用数量积公式求向量的夹角． 8．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0．则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0； ③“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1． 其中真命题的个数为（） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．分析： 由抽样和命题的知识以及相关系数逐个选项判断即可．解答： 解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，而是系统抽样，故错误；②对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0．则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0， 由特称命题的否定规律可知正确；③“x≠1或y≠2”不能推出“x+y≠3”，“x+y≠3”能推出“x≠1或y≠2”， 故应是必要不充分条件，正确；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故错误．故选：B点评：本题考查命题真假的判定，涉及抽样和命题的知识以及相关系数，属中档题．9．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=S+2*i，是偶数执行S=S+i，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．解答：解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=i+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜12．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．10．（5分）已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据面积为2求出m值，又z==1+，设k=，利用k的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，其中A（0，2），B（2，0），则△OAB的面积S=，即m=0又z==1+，设k=，其中的几何意义是可行域内的点与点D（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．由图象可知DB的斜率最小，此时k==，则的最小值1+=．故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+b（1＜a＜2）只有两个零点，则实数log a2+log b2的最小值是（）A．B．C．2D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），从而可得f（）=0，从而可得2log2a+log2b=2，化简log a2+log b2═1++（+）；再利用基本不等式即可．解答：解：∵f（x）=ax3﹣3x2+b，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），∴令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0得，x=0或x=；∵f（0）=b＞0，故f（）=0，即a2b=4；∴2log2a+log2b=2，∴log a2+log b2=+=（+）（log2a+log2b）=1++（+）≥+；（当且仅当=，即log2a=2﹣，log2b=2﹣2时，等号成立）．故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分1，3，5.）13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解解答：解：记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有种，因此共有=4种站法∴=故答案为：点评：本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题．14．（5分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为24．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求．解答：解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，得，由已知得a4＞a2，∴解得a2=1，a4=5，∴d=，则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1，∴．故答案为：24．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题．15．（5分）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．解答：解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：底面三角形ABC的边长为：R正三棱锥的体积为：××（R）2×R=解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为=．故答案为：．点评：本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．16．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解答：解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：（本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA 的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．18．（12分）为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n名工人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]），其中产量在[20，25）的工人有6名．（Ⅰ）求这一天产量不小于25的工人人数；（Ⅱ）工厂规定从产量低于20件的工人中随机的选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据概率公式得出0.06×5=0.3求解得出n==20，即可得出这一天产量不小于25的工人人数为（0.05+0.03）×5×20=8（Ⅱ）设出字母列出事件：从产量低于20件的工人中选取2名工人的结果为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共有15种结果，其中2名工人不在同一组的结果为（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），共8种．运用古典概率公式求解即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得，产量为[20，25）的概率为0.06×5=0.3∴n==20，∴这一天产量不小于25的工人人数20．∴这一天产量不小于25的工人人数为（0.05+0.03）×5×20=8（Ⅱ）由题意得，产量为[10，15）工人人数为20×0.02×5=2，即他们分别是A，B，产量在[15，20）工人人数为20×0.04×5=4，即他们分别为是，a，b，c，d．则从产量低于20件的工人中选取2名工人的结果为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共有15种结果，其中2名工人不在同一组的结果为（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），共8种．故这2名工人不在同一组的概率为：点评：本题考查了古典概率的求解，列举方法判断事件个数，根据公式求解即可，属于中档题．19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，运用判定定理可判断．（2）运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，（3）CM⊥平面ABEF，V E﹣BCF=V C﹣BEF得出体积即可判断．解答：解：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2∵AD=2，AB=4．∴AC=2，CM=2，BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，∵CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB=A，∴CM⊥平面ABEF，∴V E﹣BCF=V C﹣BEF==×2×4×2．点评：本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，△PF1F2面积最大，再根据椭圆的离心率为可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时||+||=14，当直线AC存在斜率k 且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设k2+1=t，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知，当P是椭圆的上下顶点时△PF1F2的面积取最大值；∴；即①；由离心率为得：②；∴联立①②解得a=4，c=2，b2=12；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0）；∵，∴AC⊥BD；（1）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，；（2）当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0；若设A（x1，y1），B（x2，y2），则：；∴=；直线BD的方程为y=，同理可得；∴=；令k2+1=t，t＞1；∴==；设f（t）=，（t＞1），f′（t）=；∴t∈（1，2）时，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0；∴t=2时，f（t）取最大值，又f（t）＞0；∴；∴；∴综上得的取值范围为．点评：考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，根据导数求函数最值的方法．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．解答：解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．解答：解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）把直线的参数方程参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，根据|AB|=|x1﹣x2|，运算求得结果．（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1，由t的几何意义可得点P到M的距离，运算求得结果．解答：解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，消去y整理得：2x2+12x+11=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣6，x1•x2=．…（3分）所以|AB|=|x1﹣x2|=2=2．…（5分）（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1．…（8分）所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…（10分）点评：本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）若a=0，则f（x）=，分 x＜﹣1时、当﹣1≤x＜0时、当x≥0 时，三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）设u（x）=|x+1|﹣|x|，由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|=，∴当 x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣．综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）=|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和 y=x的图象如右图：由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，属于中档题．。
2022年江西省宜春市高考数学模拟试卷(文科)(解析版)
2022年江西省宜春市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝，集合B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．R B．∅C．[1，2]D．[1，2）2．若复数z满足iz＝1﹣i（其中i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝21，a2＝5，则公差为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．已知p：m＜﹣4，q：方程x2+mx+4＝0有两个不相等的实数根，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则不等式f（2x）+f（x2﹣x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（﹣3，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）6．古希腊数学家毕达哥拉斯利用如图证明了勾股定理．此图将4个全等的直角三角形拼成边长为a+b的正方形ABCD，使中间留下一个正方形洞EFGH．已知a＝3，b＝4，在正方形ABCD内随机取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝，则＝（）A．﹣B．﹣C．﹣+D．+8．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入的n＝2022，v＝0，x＝2，则输出的v值为（）A．31B．63C．127D．2559．函数f（x）＝2cos（x﹣φ）（﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是（）A．[4k﹣，4k﹣]（k∈Z）B．[4k﹣2，4k]（k∈Z）C．[4k﹣，4k+]（k∈Z）D．[4k，4k+2]（k∈Z）10．在三棱锥P﹣ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分别是PA，BC的中点，若，则异面直线AC，PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．12．已知实数x，y，z∈R，且满足＝＝﹣，y＞1，则x，y，z大小关系为（）A．y＞x＞z B．x＞z＞y C．y＞z＞x D．x＞y＞z二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y﹣2022的最大值为．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a6＝9，则log3a1+log3a2+…+log3a7的值为．15．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P﹣ABCD的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.16．某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A、B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：分数区间频数[50，60）2[60，70）312[70，80）18[80，90）15[90，100]（1）在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；（2）从对B员工的评分在[50，70）范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[60，70）范围内的概率；（3）该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？17．如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EF ∥AD，点H为线段AD的中点，且AB＝AD＝4，∠FAB＝30°，点G为线段CE上一动点．（1）试确定点G的位置，使DG∥平面CFH，并给予证明；（2）求三棱锥E﹣CFH的体积．18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①cos A（c cos B+b cos C）+a sin A＝0；②cos B＝；③tan A+tan B+tan C tan B tan C＝0．已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．____．（1）求A；（2）设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2﹣8x+6＝0的两根，求线段AD的长度．19．已知函数f（x）＝xe x﹣x﹣1．（1）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）不等式a[f（x）+x+1]＞lnx+x﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．20．已知点T是圆A：（x﹣1）2+y2﹣8＝0上的动点，点B（﹣1，0），线段BT的垂直平分线交线段AT于点S，记点S的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过B（﹣1，0）作曲线C的两条弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若＝0，求△BPQ面积的最大值．[选做题]21．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+12＝0．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）点P是曲线C1上的动点，过点P作直线l与曲线C2有唯一公共点Q，求|PQ|的最大值．[选做题]22．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2ax+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若对任意的x∈[1，4]，|f（x）+|ax﹣1||＝4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝，集合B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．R B．∅C．[1，2]D．[1，2）【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝＝{x|x≥1}，集合B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1，2）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z满足iz＝1﹣i（其中i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先对已知复数进行化简，然后结合共轭复数的概念及复数的几何意义可求．解：由题意得，Z＝＝＝﹣1﹣i，复数＝﹣1+i在复平面内所对应的点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查了复数的概念及复数的四则运算，复数的几何意义的应用，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝21，a2＝5，则公差为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，列出方程组求解即可．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝21，a2＝5，∴，∴d＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，是基础题．4．已知p：m＜﹣4，q：方程x2+mx+4＝0有两个不相等的实数根，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据一元二次方程根的个数与△的关系，求出参数m的取值范围，根据逻辑关系进行判断即可．解：方程x2+mx+4＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝m2﹣4＞0，解得：m＜﹣2或m＞2，由{m|m＜﹣4}⊂{m|m＜﹣2或m＞2}，故由p能够推出q，由q不能够推出p，故p是q的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充要条件的判断，一元二次方程根的个数与△的关系，属于基础题．5．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则不等式f（2x）+f（x2﹣x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（﹣3，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：因为f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在R上单调递增，由f（2x）+f（x2﹣x）＞0得f（x2﹣x）＞﹣f（2x）＝f（﹣2x），所以x2﹣x＞﹣2x，即x2+x＞0，解得x＞0或x＜﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6．古希腊数学家毕达哥拉斯利用如图证明了勾股定理．此图将4个全等的直角三角形拼成边长为a+b的正方形ABCD，使中间留下一个正方形洞EFGH．已知a＝3，b＝4，在正方形ABCD内随机取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知求出直角三角形的面积，和正方形的面积，由测度比是面积比得答案．解：∵a＝3，b＝4，∴正方形ABCD的面积为49，阴影部分的面积为×3×4×4＝24，∴该点恰好取自阴影部分的概率为，故选：B．【点评】本题考查几何概型，求出正方形的面积与阴影部分的面积是关键，是基础题．7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝，则＝（）A．﹣B．﹣C．﹣+D．+【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算化简即可．解：由题意知，＝＝（+），故＝﹣＝﹣+，故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．8．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入的n＝2022，v＝0，x＝2，则输出的v值为（）A．31B．63C．127D．255【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i＝﹣1时，不满足条件跳出循环即可得解．解：模拟程序到运行，可得：n＝2022，v＝0，x＝2，i＝7，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝1，i＝6，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝3，i＝5，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝7，i＝4，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝15，i＝3，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝31，i＝2，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝63，i＝1，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝127，i＝0，满足判断框内的条件i≥0，执行循环体，v＝255，i＝﹣1，此时，不满足判断框内的条件i≥0，退出循环，输出v的值为255．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．9．函数f（x）＝2cos（x﹣φ）（﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是（）A．[4k﹣，4k﹣]（k∈Z）B．[4k﹣2，4k]（k∈Z）C．[4k﹣，4k+]（k∈Z）D．[4k，4k+2]（k∈Z）【分析】由题意利用函数图象得f（0）＝2cos（﹣φ）＝1，可求cosφ＝，结合范围﹣＜φ＜0，可求φ的值，进而可得函数解析式为f（x）＝2cos（x+），根据余弦函数的单调性即可求解．解：由函数图象，得f（0）＝2cos（﹣φ）＝1，得cosφ＝，因为﹣＜φ＜0，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（x+），令2kπ﹣π≤x+≤2kπ，（k∈Z），得4k﹣≤x≤4k﹣，（k∈Z），故函数f（x）的单调递增区间是[4k﹣，4k﹣]，（k∈Z）．故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A cos（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了余弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．10．在三棱锥P﹣ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分别是PA，BC的中点，若，则异面直线AC，PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取AB中点Q，连接QM．QN，∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，通过解三角形求解即可．解：取AB（或PC）中点Q，连接QM．QN，Q是AB中点，N是BC中点，⇒QN∥AC，QN＝AC＝，同理，可得QM∥BP，QM＝PB＝1，所以∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，在△MQN中，QM＝1，QN＝，MN＝，cos∠MQN＝＝，∴异面直线AC，PB所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力，是中档题．11．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的下焦点坐标和渐近线方程，再根据下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，求得a2，b2，即可得出答案．解：双曲线的下焦点坐标为（0，﹣c），渐近线方程为，即ax±by＝0，则下焦点到渐近线的距离为，又离心率，所以a2＝3，所以该双曲线的标准方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，圆锥曲线的实际应用等知识，属于中等题．12．已知实数x，y，z∈R，且满足＝＝﹣，y＞1，则x，y，z大小关系为（）A．y＞x＞z B．x＞z＞y C．y＞z＞x D．x＞y＞z【分析】根据给定条件，可得x＞1，z＜0，构造函数，借助函数单调性比较大小即得．解：因，y＞1，则lnx＞0，﹣z＞0，即x＞1，z＜0，令f（x）＝x﹣lnx，x＞1，则f′（x）＝1﹣＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，有f（x）＞f（1）＝1＞0，即lnx＜x，从而当x＞1，y＞1时，，令g（t）＝＞1，t＞1，g′（t）＝＜0，g（t）在（1．+∞）上单调递减，则由x＞1，y＞1，得y＞x＞1，所以y＞x＞z．故选：A【点评】本题考查了运用函数的单调性比较大小，解题关键在于利用不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，是中档题．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y﹣2022的最大值为﹣2022．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，由z＝2x+y﹣2022，得y＝﹣2x+z+2022，由图可知，当直线y＝﹣2x+z+2022过O时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣2022．故答案为：﹣2022．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a6＝9，则log3a1+log3a2+…+log3a7的值为7．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a1a7＝a2a6＝a3a5＝a42＝9＝32，进而由对数的运算性质可得log3a1+log3a2+…+log3a7＝log3（a1a2a3a4a5a6a7）＝log337，变形可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，若a2a6＝9，则a1a7＝a2a6＝a3a5＝a42＝9＝32，则log3a1+log3a2+…+log3a7＝log3（a1a2a3a4a5a6a7）＝log337＝7，故答案为：7【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算性质，注意利用等比数列的性质进行分析，属于基础题．15．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P﹣ABCD的体积为．【分析】设正方形的边长为a，通过已知可以求出圆锥底面的半径，圆锥的高，利用勾股定理可以求出母线长，利用圆锥的侧面积公式可以求出a，利用棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积．解：设正方形的边长为a，所以圆锥底面的半径为a，由题意可知圆锥的高PO＝a，由勾股定理可知PA2＝PO2+OA2，可得PA＝a，已知侧面积为π，所以π•a•a＝π，解得a＝，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为a2•a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆锥的侧面积公式及四棱锥的体积公式，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.16．某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A、B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：分数区间频数[50，60）2[60，70）312[70，80）18[80，90）15[90，100]（1）在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；（2）从对B员工的评分在[50，70）范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[60，70）范围内的概率；（3）该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？【分析】（1）由A员工的评分的频率分布直方图能求出a，由此能求出对A员工的评分不低于80分的概率，从而能求出对A员工的评分不低于80分的人数．（2）对B员工的评分在[50，70）范围内的有2人，设为A，B，对B员工的评分在[60，70）范围内的有3人，设为1，2，3，从这6人中选出2人，利用列举法能求出2人评分均在[60，70）范围内的概率．（3）由A员工的评分频率分布直方图得A员工的评分在[50，100）的频率为0.6，从而A员工的评分的中位数小于80，设B员工的评分的中位数为t，则0.4+（t﹣80）×0.035＝0.5，解得t＝82.9，由此得到B员工作为后备干部人选．解：（1）由甲员工评分的频率分布直方图，得a＝0.1﹣0.004﹣0.006﹣0.036﹣0.024＝0.03，所以对甲员工的评分不低于80分的人数为（0.03+0.024）×10×50＝27（人）．（2）对乙员工的评分在[50，60）范围内的有2人，设为A，B；对乙员工的评分在[60，70）范围内的有3人，设为1，2，3，从这5人中随机选出2人的情况为：（A，B），（A，1），（A，2），（A，3），（B，1），（B，2），（B，3），（1，2），（1，3），（2，3），共10种，其中2人评分均在[60，70）范围内的情况为：（1，2）．（1，3），（2，3），共3种，故2人评分均在[60，70）范围内的概率为P＝；（3）由甲员工分数的频率分布直方图，得（0.004+0.006+0.036）×10＝0.46＜0.5，（0.004+0.006+0.036+0.03）×10＝0.76＞0.5，所以甲员工评分的中位数在[80，90）之间，设为m，所以0.46+（m﹣80）×0.03＝0.5，解得m≈81.3＜82．由乙员工的频率分布表，得0.04+0.06+0.24＝0.34＜0.5，0.04+0.06+0.24+0.36＝0.7＞0.5，所以乙员工评分的中位数在[80，90）之间，设为n，所以0.34+（n﹣80）×0.036＝0.5，解得n≈84.4＞82．所以评审团将推荐乙员工作为后备干部人选．【点评】本题考查频数、频率、概率、中位数的求法及应用，考查频率分布直方图、频数分布表的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EF ∥AD，点H为线段AD的中点，且AB＝AD＝4，∠FAB＝30°，点G为线段CE上一动点．（1）试确定点G的位置，使DG∥平面CFH，并给予证明；（2）求三棱锥E﹣CFH的体积．【分析】（1）当点G为CE的中点，取CF的中点M，证明HM∥DG，再利用线面平行的判定定理推理作答；（2）根据给定条件，证得AD∥平面CEF，可得点H到平面CEF的距离与DE的长相等，再结合等体积法即可求出三棱锥的体积．解：（1）当点G为CE的中点吋，DG∥平面CFH．证明：取CF的中点M，连接HM，MG．因为G，M分別为CE，CF的中点，所以GM∥EF，且GM＝EF．又H为AD的中点，所以GM∥DH，GM＝DH，所以四边形GMHD是平行四边形，所以HM∥DG，又HM⊂平面CFH，DG⊄平面CFH，所以DG∥平面CFH．（2）由题设可知AB是该半圆柱底面半圆的一条直径，所以AF⊥BF，所以AF＝AB cos30°＝2，BF＝AB sin30°＝2，因为DE⊥CE，DE⊥EF，CE∩EF＝E，所以DE⊥平面CEF．又AD∥EF，AD⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以AD∥平面CEF，所以点H到平面CEF的距离与DE的长相等．所以V E﹣CFH＝V H﹣CEF＝××CE×EF×DE＝×BF×EF×AF＝×2×4×2＝，即三棱锥E﹣CFH的体积为．【点评】本题主要考查线面平行的判断，棱锥体积的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①cos A（c cos B+b cos C）+a sin A＝0；②cos B＝；③tan A+tan B+tan C tan B tan C＝0．已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．____．（1）求A；（2）设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2﹣8x+6＝0的两根，求线段AD的长度．【分析】（1）选①，由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知等式，结合sin A≠0，可得tan A＝，结合A∈（0，π），可求A的值．选②，利用正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos A的值，结合A∈（0，π），可得A的值．选③，两角和的正切公式可得tan A的值，结合A∈（0，π），可得A的值．（2）由已知解一元二次方程，进而根据三角形的面积公式利用等面积法即可求解AD的值．解：（1）选择条件①，cos A（c cos B+b cos C）+a sin A＝0，由正弦定理可得cos A（sin C cos B+sin B cos C）+sin2A＝0，即cos A sin（B+C）+sin2A＝0，即cos A sin A+sin2A＝0，因为sin A≠0，所以cos A＝﹣sin A，即tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．选择条件②，cos B＝，由正弦定理可得cos B＝，即2cos B sin A＝2sin C+sin B，即2cos B sin A＝2sin（A+B）+sin B＝2sin A cos B+2cos A sin B+sin B，所以2cos A sin B＝﹣sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．选择条件③，tan A+tan B+tan C tan B tan C＝0，因为tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣，所以﹣tan A﹣tan B tan C＝tan B+tan C，所以tan A tan B tan C＝tan B tan C，因为tan B tan C≠0，所以tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）因为边b，c的长度是方程x2﹣8x+6＝0的两根，可得x1＝4+，x2＝4﹣，因为A＝，AD是△ABC的内角平分线，可得∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝，由等面积法可得：S△ABC＝S△BAD+S△DAC，所以bc sin A＝AD sin+sin，可得（4+）（4﹣）＝（4+）AD+（4﹣）AD，整理解得AD＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理、三角函数恒等变换、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知函数f（x）＝xe x﹣x﹣1．（1）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）不等式a[f（x）+x+1]＞lnx+x﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对函数求导令其导函数大于0，从而判断函数单调性进行求解．（2）先将原不等式进行参变分离，从而构造函数进行最值求解．解：（1）f′（x）＝e x（x+1）﹣1，，当x∈[0，1]时，e x≥1，（x+1）≥1，故当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，故f（x）在[0，1]单调递增，故f（x）在x＝0取得最小值f（0）＝﹣1；（2）由已知有：a•xe x＞lnx+x﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，故＝，令x+lnx＝k，k∈R，故，构造，，令＞0，解得k＜3，故g（k）在（﹣∞，3）递增，（3，+∞）递减，故g（k）在k＝3时取最大值g（3）＝，故．【点评】本题主要考查利用导函数求最值，及构造函数研究参数范围，属于较难题目．20．已知点T是圆A：（x﹣1）2+y2﹣8＝0上的动点，点B（﹣1，0），线段BT的垂直平分线交线段AT于点S，记点S的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过B（﹣1，0）作曲线C的两条弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若＝0，求△BPQ面积的最大值．【分析】（1）根据给定条件可得|SB|＝|ST|，进而得出，由此确定轨迹形状即可求解作答．（2）设出直线DE，MN方程，再与曲线C的方程联立求出P，Q的坐标，列出面积的函数关系求出最大值作答．解：（1）圆A：（x﹣1）2+y2＝8的圆心A（1，0），半径，依题意，|SB|＝|ST|，，即点S的轨迹是以B，A为左右焦点，长轴长为的椭圆，短半轴长，所以曲线C的方程为．（2）由知，DE⊥MN，直线DE，MN不垂直坐标轴，否则点P，Q之一与点B 重合，不能构成三角形，即直线DE的斜率存在且不为0，设直线DE方程为：y＝k（x+1），由消去y并整理得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），DE中点P（x P，y P），则有，，，因此，，直线MN的斜率为，同理可得，△BPQ面积，令，当且仅当|k|＝1时取′′＝''，则，函数在[2，+∞）上单调递增，即当t＝2时，，所以当t＝2，即k＝±1时，，所以△BPQ面积的最大值是．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．[选做题]21．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+12＝0．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）点P是曲线C1上的动点，过点P作直线l与曲线C2有唯一公共点Q，求|PQ|的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用两点间的距离公式和二次函数的性质及勾股定理的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为；曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+12＝0，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣8y+12＝0，整理得x2+（y﹣4）2＝4；（2）设点P（3cos t，sin t），曲线C2的圆心为（0，4），所以＝，当sin t＝﹣时，|PC2|max＝27，故．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式，二次函数性质的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．[选做题]22．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2ax+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若对任意的x∈[1，4]，|f（x）+|ax﹣1||＝4恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+2|，再分类讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，即可求解．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+2|，由f（x）≥﹣1，则或或，解得﹣4≤x＜﹣1或﹣1≤x≤0或∅，故原不等式的解集为[﹣4，0]．（2）∵对任意的x∈[1，4]，|f（x）+|ax﹣1||＝4恒成立，∴|f（x）+|ax﹣1||＝||2ax﹣2|﹣|2ax+2||＝||2﹣2ax|﹣|2ax+2||≤|2﹣2ax+2+2ax|＝4，当且仅当（2﹣2ax）（2+2ax）≤0时，等号成立，由此可得，a2x2≥1，即，当x＝1时，取得最大值1，即a2≥1，解得a≥1或a≤﹣1，故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
江西省宜春市奉新第一中学高一数学理模拟试卷含解析
江西省宜春市奉新第一中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）A、是奇函数B、的周期是C、的图像关于直线对称D、的图像关于点对称参考答案：D2. （）A． B． C． D．参考答案：C略3. 函数的图像恒过定点为（）。
A. B. C. D.参考答案：C4. 数列{a n}中，对于任意，恒有，若，则等于( )A. B. C. D.参考答案：D因为,所以,.选D.5. 已知集合，则实数x满足的条件是（）A. B.C. D.参考答案：B略6. 已知球的表面积为64π，则它的体积为（）A．16πB．πC．36πD．π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，然后计算球的体积即可．【解答】解：设球的半径为r，∵球的表面积为64π，∴4πr2=64π，即r2=16，解得r=4，∴球的体积为=．故选B．7. 设f (x)是定义在 (-?，+?)上的偶函数，且它在[0，+?)上单调递增，若，，，则a,b,c的大小关系是（）高考资源网A. B. C. D .参考答案：C8. 在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。
让我们来看看下面这个例子：算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现。
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江西省宜春市奉新一中2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y=2x上，则sin2α=（）A．B．C．D．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程式y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．226．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．30 D．487．（5分）若向量满足且，则向量的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；③“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？10．（5分）已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．411．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+b（1＜a＜2）只有两个零点，则实数log a2+log b2的最小值是（）A．B．C．2D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分1，3，5.）13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．14．（5分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为．15．（5分）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：（本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．18．（12分）为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n名工人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]），其中产量在[20，25）的工人有6名．（Ⅰ）求这一天产量不小于25的工人人数；（Ⅱ）工厂规定从产量低于20件的工人中随机的选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一组的概率．19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BC E；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．江西省宜春市奉新一中2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用已知条件求出结合的交集，判断即可．解答：解：集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，M∩N={﹣1，0，1，2，3}∩{﹣2，0}={0}．故选：D．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得到复数对应点的坐标即可．解答：解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基础题．3．（5分）已知角α的终边上一点P落在直线y=2x上，则sin2α=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：角的终边是射线，分两种情况讨论角的终边所在的象限，对于各种情况在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出sinα、cosα的值，即可求出sin2α．解答：解：∵角α的终边落在直线y=2x上当角α的终边在第一象限时，在α终边上任意取一点（1，2），则该点到原点的距离为，∴sinα=，cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=；当角α的终边在第三象限时，在α终边上任意取一点（﹣1，﹣2），则该点到原点的距离为，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=．故选：D．点评：已知角的终边求三角函数的值，在终边上任意取一点利用三角函数的定义求出三角函数值，注意终边在一条直线上时要分两种情况．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程式y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±x，可得=，利用双曲线的离心率e==，即可得出结论．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±x，∴=，∴双曲线的离心率e===2．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定=是关键．5．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令a n=，解方程即可解答：解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选C点评：本题考察了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．24 C．30 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知其直观图，从而求其体积．解答：解：由三视图可知其直观图如下所示，其由三棱柱截去一个三棱锥所得，三棱柱的体积V=×4×3×5=30，三棱锥的体积V1=××4×3×3=6，故该几何体的体积为24；故选B．点评：本题考查了学生的空间想象力与作图计算的能力，属于基础题．7．（5分）若向量满足且，则向量的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：将平方得到两个向量的数量积，利用数量积公式解答．解答：解：因为向量满足且，所以（22=12，展开得到4+4+4=12，解得，所以向量的夹角的余弦值为，所以向量的夹角为：；故选C．点评：本题考查了向量的平方等于其模的平方以及利用数量积公式求向量的夹角．8．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；③“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由抽样和命题的知识以及相关系数逐个选项判断即可．解答：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，而是系统抽样，故错误；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，由特称命题的否定规律可知正确；③“x≠1或y≠2”不能推出“x+y≠3”，“x+y≠3”能推出“x≠1或y≠2”，故应是必要不充分条件，正确；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故错误．故选：B点评：本题考查命题真假的判定，涉及抽样和命题的知识以及相关系数，属中档题．9．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=S+2*i，是偶数执行S=S+i，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．解答：解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=i+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜12．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．10．（5分）已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据面积为2求出m值，又z==1+，设k=，利用k的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，其中A（0，2），B（2，0），则△OAB的面积S=，即m=0又z==1+，设k=，其中的几何意义是可行域内的点与点D（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．由图象可知DB的斜率最小，此时k==，则的最小值1+=．故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+b（1＜a＜2）只有两个零点，则实数log a2+log b2的最小值是（）A．B．C．2D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），从而可得f（）=0，从而可得2log2a+log2b=2，化简log a2+log b2═1++（+）；再利用基本不等式即可．解答：解：∵f（x）=ax3﹣3x2+b，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），∴令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0得，x=0或x=；∵f（0）=b＞0，故f（）=0，即a2b=4；∴2log2a+log2b=2，∴log a2+log b2=+=（+）（log2a+log2b）=1++（+）≥+；（当且仅当=，即log2a=2﹣，log2b=2﹣2时，等号成立）．故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分1，3，5.）13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解解答：解：记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有种，因此共有=4种站法∴=故答案为：点评：本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题．14．（5分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，则S6的值为24．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a2，a4，进一步求出公差和首项，则答案可求．解答：解：由a2，a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根，得，由已知得a4＞a2，∴解得a2=1，a4=5，∴d=，则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1，∴．故答案为：24．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题．15．（5分）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．解答：解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：底面三角形ABC的边长为：R正三棱锥的体积为：××（R）2×R=解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为=．故答案为：．点评：本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．16．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f （x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解答：解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：（本大题共5小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA 的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．18．（12分）为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n名工人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]），其中产量在[20，25）的工人有6名．（Ⅰ）求这一天产量不小于25的工人人数；（Ⅱ）工厂规定从产量低于20件的工人中随机的选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据概率公式得出0.06×5=0.3求解得出n==20，即可得出这一天产量不小于25的工人人数为（0.05+0.03）×5×20=8（Ⅱ）设出字母列出事件：从产量低于20件的工人中选取2名工人的结果为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共有15种结果，其中2名工人不在同一组的结果为（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），共8种．运用古典概率公式求解即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得，产量为[20，25）的概率为0.06×5=0.3∴n==20，∴这一天产量不小于25的工人人数20．∴这一天产量不小于25的工人人数为（0.05+0.03）×5×20=8（Ⅱ）由题意得，产量为[10，15）工人人数为20×0.02×5=2，即他们分别是A，B，产量在[15，20）工人人数为20×0.04×5=4，即他们分别为是，a，b，c，d．则从产量低于20件的工人中选取2名工人的结果为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共有15种结果，其中2名工人不在同一组的结果为（A，a），（A，b），（A，c）（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）（B，d），共8种．故这2名工人不在同一组的概率为：点评：本题考查了古典概率的求解，列举方法判断事件个数，根据公式求解即可，属于中档题．19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，运用判定定理可判断．（2）运用勾股定理可判断AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，（3）CM⊥平面ABEF，V E﹣BCF=V C﹣BEF得出体积即可判断．解答：解：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2∵AD=2，AB=4．∴AC=2，CM=2，BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，∵CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB=A，∴CM⊥平面ABEF，∴V E﹣BCF=V C﹣BEF==×2×4×2．点评：本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，△PF1F2面积最大，再根据椭圆的离心率为可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时||+||=14，当直线AC存在斜率k 且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设k2+1=t，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知，当P是椭圆的上下顶点时△PF1F2的面积取最大值；∴；即①；由离心率为得：②；∴联立①②解得a=4，c=2，b2=12；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0）；∵，∴AC⊥BD；（1）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，；（2）当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0；若设A（x1，y1），B（x2，y2），则：；∴=；直线BD的方程为y=，同理可得；∴=；令k2+1=t，t＞1；∴==；设f（t）=，（t＞1），f′（t）=；∴t∈（1，2）时，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0；∴t=2时，f（t）取最大值，又f（t）＞0；∴；∴；∴综上得的取值范围为．点评：考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，根据导数求函数最值的方法．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．解答：解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．解答：解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）把直线的参数方程参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，根据|AB|=|x1﹣x2|，运算求得结果．（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1，由t的几何意义可得点P到M的距离，运算求得结果．解答：解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，消去y整理得：2x2+12x+11=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣6，x1•x2=．…（3分）所以|AB|=|x1﹣x2|=2=2．…（5分）（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1．…（8分）所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…（10分）点评：本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）若a=0，则f（x）=，分 x＜﹣1时、当﹣1≤x＜0时、当x≥0 时，三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）设u（x）=|x+1|﹣|x|，由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|=，∴当 x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣．综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）=|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和 y=x的图象如右图：由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，属于中档题．。