21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时
某店销售一种小工艺品。该工艺品每 件进价12元，售价为20元。每周可售 出40件。经调查发现，若把每件工艺 品的售价提高1元，就会少售出2件。 设每件工艺品售价提高x元，请完成下 面问题： 1.填空:每件工艺品售价提高x元后的 利润为___元,每周可售出工艺品___件; 2.若每周的利润达到384元，则每件工 艺品的售价应确定为多少元？
1 8 2 9 3 4 6 7
5
10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
循环类问题
单循环公式（握手、签合同、比赛）
双循环公式（送礼品、比赛）
n(n 1) 2
n(n 1)
生物兴趣小组的同学，将自己 收集的标本向本组其他成员各 赠送一件，•全组共互赠了182 件，如果全组有名同学，则根 据题意列出的方程是
21.3 实际问位 数字与个位数字之和是8. 如果把十位数字与个位数 字调换，所得的两位数与 原来的两位数的乘积为 1855.求原来的两位数。
下表是某月的一张月历，在此月 历上用一个正方形任意画出2×2 个数，它们组成正方形（如2、3、 9、10），如果圈出的4个数中， 最小数与最大数的积为128，求这 四个数的和是多少？
如图,在长方形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P 从点A开始沿线段AB向点B以1cm/s的速度移 动,点Q从点B开始沿线段BC向点C以2cm/s的 速度移动,点P,Q分别从A,B两点同时出发t 秒钟,直至两动点中某一点到达端点后停止 (0＜t≤3.5) (1)经过几秒钟后,PQ的长度等于5cm？ (2)经过几秒钟后,△BPQ的面积等于4cm？
一个小组有若干人，新 年互送贺卡，若全组共 送贺卡72张，这个小组 共有多少人？
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)
达标测评
教科书习题21.3第9题．
回顾前面几节课的学习内容，你能总结一
下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？
需要注意哪些问题？
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业：教科书复习题21第8题．
十、课后反思
利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决问题．
展示目标
学习目标：
1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；
2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
二、学情分析
学生对列方程解应用题的一般步骤已经熟悉，适合由特殊到一般的探究方式。
九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观能动性，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识和技能目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并求解检验。
课题
21.3实际问题与一元二次方程---面积问题（第3课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识，在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，所以本节课对学生来说并不陌生。本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中面积问题。通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习二次函数解决实际问题的基础。因此，它具有承上启下的作用。
21.3 实际问题第3课时 降价促销问题-九年级数学上册课件(人教版)
某商城在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接” 十一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件童装降价4元，那么平 均每天就可多售出8件.要想平均每天盈利1200元,那么每件童装应该降价多少元? 解：设每件童装应降价x元，每件童装的利润 (40- x）元，每天销售的童装件数（20+2x) 件，根据题意，得
单件利润
原来 变化
销量
总利润
原来 变化
单件利润
原来 变化
销量
总利润
原来 变化
知识要点1 降价促销问题数量关系：
(原有利润 -变化利润)(原有销量 +变化销量)=总利润；
典例讲解
例1 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．经 调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商 场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得 (40 − x)(20 + 2x) = 1200，
整理得，x2 − 30x + 200 = 0. 解方程得，x1 = 10，x2 = 20. 因为要尽快减少库存，所以应取 x = 20. 答：每件衬衫应降价 20 元.
例2 某超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500 kg. 经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10 kg. 要使得 月销售利润达到8 000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价多少元 ？解：设销售单价应涨价 x元，由题意，得
21.3 实际问题与一元二次方程(3) 教学设计
21.3 实际问题与一元二次方程（3）教学设计学习目标：1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．（重点）2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．（重点）3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．（难点）一、复习引入问题1 我们学习了哪些基本几何图形？问题2 怎样求他们的面积呢？有哪些计算公式？教师引导，同学们回答，用口述的形式进行.二、新知探究引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？教师引导同学们一起审题、分析问题，找准等量关系，解决问题.法一解：设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽为7 x cm.(27−18x)(21−14x)=34×27×21解得：x1=6+3√34（舍去）， x2=6−3√34左、右的边衬的宽为：6−3√34×7=42−21√34≈1.4上、下的边衬的宽为：6−3√34×9=54−27√34≈1.8法二解：设正中央的矩形两边分别为9x cm，7x cm，列方程得：解得：上、下的边衬的宽为：左、右的边衬的宽为：在几何图形的面积问题中：规则图形：面积公式.不规则图形：割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.三、典例分析例如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？方法一：解：设道路的宽为x m.则方法二：解：设道路的宽为x m. 则(32 −x)(20 −x) = 540.整理，得x2 − 52x + 100 = 0.解得 : x1= 2，x2 = 50.当x = 50 时，32 −x = −18，不合题意，舍去.∴取x = 2.答：道路的宽为2 m.学生自己动手解答，教师总结、归纳.四、小试牛刀改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？解：设小路的宽应为x m.根据题意得：(16 - 2x)(9 -x) = 12，解得：x1 = 1，x2 = 16 (舍去).答：小路的宽应1 m.五、课堂小结本节课，你学到了什么数学知识？学会了哪些学习方法？六、布置作业见精准作业单七、板书设计。
21.3 实际问题与一元二次方程 三课时 优秀教案
第1课时文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。
Word精品文档，可以编辑修改，放心下载教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课问题1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300x yx y+-=⎧⎨+=⎩解得1000(1500(xy=⎧⎨=⎩股)股)答：（略）二、新课教学上面这道题是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1＋x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1＋x）＋（1＋x）x＝（1＋x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31.去括号，得1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31．整理，得x2＋3x－0.31＝0．解得：x＝10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．例某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x，则200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950．整理，得x2＋3x－1.75＝0．解得：x＝50%答：所求的增长率为50%．三、巩固练习1．填空题．（1）某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．（2）某糖厂2002年食糖产量为a t，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．（3）我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，•某种药品在2009年涨价30%•后，2011年降价70%•至a•元，则这种药品在2009年涨价前价格是__________．参考答案（1）6(1＋x) 6(1＋x)26＋6(1＋x)＋6(1＋x)2（2）A(1＋x)2t（3）100 39a2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·8%)x·80%＝1320整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0解得：x1＝－2（不符，舍去），x2＝18＝0.125＝12.5%答：所求的年利率是12.5%．四、课堂小结本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．五、布置作业习题21.3 第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标1．掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教学过程一、导入新课问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?分析：总利润＝每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应x×100）．是（0.3-x）元，总件数应是（500＋0.1解：设每张贺年卡应降价x元，则x)＝120.(0.3－x)(500＋1000.1解得：x＝0.1.答：每张贺年卡应降价0.1元．我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．二、新课教学例1 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从上面可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元， 则：（0.75－y ）（200＋0.25y×34）＝120． 即（34－y ）（200＋136y ）＝120 整理：得68y 2＋49y -15＝0y ＝49268-±⨯∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去） y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．例2 两年前生产1 t 甲种药品的成本是5 000元，生产1 t 乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t 甲种药品的成本是3 000元，生产1 t 乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析和解答见教材第20页． 三、巩固练习 1．填空．（1）一个产品原价为a 元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．（2）甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．（3）一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体x L ，则列出的方程是________．参考答案：（1）2 （2）1 （3）(1－63x )2＝28632．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg ．（2）销售利润y ＝(销售单价x －销售成本40)×销售量[500－10(x －50)] （3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040＝250kg ，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500－5×10＝450（kg ）；销售利润：450×(55－40)＝450×15＝6 750元． （2）y ＝(x －40)[500－10(x －50)]＝－10x 2＋1 400x －40 000（3）由于水产品不超过10 000÷40＝250kg ，定价为x 元，则(x －400)[500－10(x －50)]＝8 000．解得：x1＝80，x2＝60．当x1＝80时，进货500－10(80－50)＝200kg<250kg，满足题意．当x2＝60时，进货500－10(60－50)＝400kg>250kg，（舍去）．四、课堂小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．五、布置作业习题21.3 第7题．第3课时教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（3）：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教学过程一、导入新课教师引导学生复习三角形、正方形、长方形、梯形、菱形、平行四边形和圆的面积公式，导入新课的教学．现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．二、新课教学例某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m，则上口宽为x＋2，渠底为x ＋0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为x m，则渠底为（x＋0.4）m，上口宽为（x＋2）m．依题意，得12(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6．整理，得5x2＋6x－8＝0．解得：x1＝45＝0.8m，x2＝－2（不合题意，舍去）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048＝25天．答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．三、巩固练习1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．参考答案：1．2．32cm3．20m和7.5m或15m和10m四、课堂小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．五、布置作业习题21.3 第8、9题．可以编辑的试卷（可以删除）。
21.3实际问题与一元二次方程的应用(3)--上课用
二.例题讲解：4.销售问题
练习 . 某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，
第一个月以单价 80 元 / 件销售，售出了 200 件；第二个月 如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售 量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可 多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月 结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时 的单价为40元/件，设第二个月单价降低x元． (1)填表(不需化简)：
二.例题讲解：4.销售问题
例2．某精品店购进甲、乙两种小礼品，已知
1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进
2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（1）求甲礼品的进价；
二.例题讲解：4.销售问题
例2．某精品店购进甲、乙两种小礼品，已知
1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进
2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，当甲礼品的售价定为多
少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？
二.例题讲解：4.销售问题
练习．有一批图形计算器，原售价为每台800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法 促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均 再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一 律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计 算器： （ 1 ）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家 公司购买花费较少；
（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元/件销售，
则每天可卖 40 件；若按 5 元 / 件销售，则每天可卖
九年级数学上册教学课件《实际问题与一元二次方程 (第3课时)》
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
基础巩固题
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使
整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，
那么x满足的方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
拓广探索题
如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两
竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原
来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,
2x
2x
20
20-2x
32-2x
32
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下
的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，
且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽
为多少？
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程
小路所占面积是矩形
面积的四分之一
一下，使列方程容易些（目的是求出结果，
至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.
巩固练习
21.3 实际问题与一元二次方程
如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽
的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕
地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为
570平方米,问:道路宽为多少米?
整理得：x²-17x+52=0.
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时 几何图形问题)习
阴影矩形的面积相等，而阴影矩形的长﹑
宽分别为（32-2x）m﹑（20-2x）m，根
据矩形的面积公式就可以列出方程，解方
32
程即可.
20-2x x
20
第3课时 几何图形问题
解：设小道的宽为xm. 依题意，得（32-2x）（20-2x）=504.
整理，得x²-36x+68=0. 解得 x1 =2，x2 =34（不合题意，舍去）.
=9（3-a）：7（3-a）
=9:7
第3课时 几何图形问题
解:设上下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm，则
中央的矩形长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.中央的矩形的
面积是封面面积的四分之三.于是可列方程
（27-18x）（21-14x）= 43×27×21
方程的哪个根
整理，得 16x²-48x+9=0
答：小道的宽为2m.
①若是规则图形，则套用面积公式； ②若是不规则图形，通过割补平移的方法转换为 规则图形，再根据面积间的和﹑差关系求解.
第3课时 几何图形问题
例2 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是 封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
×27×21
解得
x1
3
3 2
,
x2
3 3 （舍去）
2
所以上下边衬的宽度为 27 9x 1.8
2
左右边衬的宽度为
21 7 x 1.4 2
第3课时 几何图形问题
例3 要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面 积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长 分别是多少米？
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时) 人教版数学九年级上册同步习题(含答案)
.
答：2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 元.
则依题意，得：（40- ）（20+2 ）=1200，
整理，得
，解得:
.
∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 元时，商场平均每天赢利最多为 y，
则 y=（40- ）（20+2 ）=
◆典例分析
一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后 停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度
∴ （20-4 ）=15,整理得：
,
解方程：得 =
,∴ ≈4.08（不合题意，舍去）， ≈0.9（s）.
∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s.
◆课下作业
●拓展提高
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的
人均约为
提高到
若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
Q
AP
B
3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢
利
40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发
现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件．
（1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
《实际问题与一元二次方程》教学设计(第3课时)
《实际问题与一元二次方程》教学设计（第3课时）一、内容和内容解析1.内容用一元二次方程解决“封面设计问题”.2.内容解析本节课是21.3 实际问题与一元二次方程的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决那个具体问题，而且是通过那个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处.在现实世界中，有许多能够用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型.探究3以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度.在探究过程中正确建立方程模型依旧是本节课的重点.二、目标和目标解析1.教学目标(1)会用一元二次方程解决“封面设计问题”;(2)经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的差不多能力.2.目标解析(1)能依照具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出能够作为列方程依据的要紧等量关系，并依照它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能依照实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果;(2)完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积存数学活动体会，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”.三、教学问题诊断分析探究3与往常的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情形也更接近，关于如此的综合性问题，学生缺乏解决问题的体会，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感受无从下手.学生一样能够意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐藏的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在.由于探究3的问题中，方程的两个根差不多上正数，但它们并不差不多上问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案关于学生来说也是一个难点.四、教学过程设计1.弄清题意问题1如何明白得“应如何设计边衬的宽度”这句话?师生活动教师提问，学生摸索、回答.依照学生的回答情形，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数?哪几个，什么缘故?”加以引导.一样情形下，学生都能依照“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数(上面的边衬宽度和左面的边衬宽度)”.【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系.问题2题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在如何样的数量关系?师生活动学生读题，摸索，能够适当讨论.依照学生的回答情形，教师可通过追问加以引导.如：如何明白得“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话?“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么?学生通过摸索、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7 ，长宽之积为.【设计意图】培养学生读题、审题能力.2.实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换问题3如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言?师生活动学生摸索并回答问题.那个地点要让学生充分表达自己的观点，教师可依照学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系.设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm.把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：.教师追问：四个未知数、、、，它们之间还存在如何样的数量关系?这是这节课的一个难点，要给学生充分的时刻独立摸索，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么?把“图形语言”翻译成数学符号语言可得：.【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题制造条件.3.解决问题问题4如何解决“封面设计问题”?师生活动教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论.前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：，.教师引导学生发觉，这确实是一个以、、、为未知数的四元方程组，找到那个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了.【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想.问题5请你解那个方程组，并与同学交流一下你的解法.师生活动学生独立摸索、解题，并与同学交流.教师请同学展现解法并进行点评.学生可能的解法：(1)，(2)，(3)，(4).方法一：由(1)、(2)求出x、y的值，分别代入(3)、(4)求出a、b的值.说明1：在由(1)、(2)求、的过程中，能够依据，设简化运算.说明2：实际解题时，能够简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度.方法二：由(3)、(4)变形得，把(5)、(6)分别代入(1)、(2)可得关于、的二元方程组，解那个方程组求出、的值.说明：把(5)、(6)代入(2)化简可得，能够依据，设，把代入(5)、(6)得到，再把(7)、(8)代入(1)求出值，进而求出、的值.【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化运算，优化解题形式.问题6你求出的、的值差不多上实际问题的解吗?师生活动教师提出问题，学生通过运算得出结论.【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解.4.回忆反思问题7通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收成和体会?师生活动请学生回忆“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：(1)探究解题的过程大致包含哪几个步骤?(2)在“封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的?【设计意图】更好地体会建模思想，明白得建模的一样步骤和方法.5.布置作业教科书习题21.3第5，8，9题.五、目标检测设计1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为().A.B.C.D.【设计意图】发觉几何图形中隐藏的相等关系.2.(2021年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上打算新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.(1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校打算新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.要练说，得练看。
21.3实际问题与一元二次方程（第三课时）导学案含答案解析
21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）导学探究:阅读教材P20-21，回答下列问题：1、探究3中有哪些数量关系？2、是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，这个比是多少？上、下边衬与左、右边衬宽度之比是多少？3.教科书是根据什么选取未知数的?又是利用怎样的数量关系列出方程的?4.如果根据正的长方形的长、宽比为9，7，设正长方形的长、宽，并利用“长方形面积=封面面积的四分之三”列方程，间接求上、下边衬与左、右边衬宽可以吗?若可以，你试一试.归纳梳理1.列方程解应用题，一般直接设元，即问什么就设什么; 有时为了好理解，也采用间接设未知数的方法，列方程求解.2.利用一元二次方程分析解决几何图形问题，要抓住图形的特征(如面积关系、图形性质等)，在分析题意的基础上建立方程，通过解方程来解决实际问题.3一元二次方程解决实际问题，要回到实际问题中进行解释和________，看求出的解是否符合__________.典例探究【例1】（·广西百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m 长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？总结：解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．练1:（•番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米.练2．（•金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．（2）怎样围能得到面积最大的草坪？夯实基础1、（•槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（）A．7 B．6 C．5 D．42、（•东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为m．3．（•红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？4、（春•昆明校级期末）如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为_______米．5．（•长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．6．（•赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有28 块，白色瓷砖有42 块；（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？7．光明小区要修建一个圆形花坛，平面设计图如图．（1）花坛的直径为10m，在它周围要铺一条2m宽的鹅卵石环形小路，这条小路的面积是多少平方米？（2）要在花坛中最大的正方形区域里种植花卉，种植花卉的面积有多大？（3）花坛内其余的部分用来种植草坪，种植草坪的面积有多大？典例探究答案【例1】（·广西百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m 长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可；（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．【解答】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20-x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）．规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）．因为8250＞7680，所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
21.3 实际问题与一元二次方程 21.3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
21．3 实际问题与一元二次方程
21．3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
武汉专版·九年级上册
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多
10 m，设绿地的宽为x m，根据题意，可列方程为B( )
A．x(x－10)＝900
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝9பைடு நூலகம்0
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
2．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出局部区域栽种鲜花(如图中阴影局部)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正 方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，那么可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 6．将外表积为550 cm2的包装盒剪开铺平，纸样如下图，包装盒的高为15 cm，求出包装盒底面的长与宽．
x2－6x＋8＝0，解得
x1
＝2，x2＝4，都符合题意，∴经过 2 s 或 4 s，△PBQ 的面积为 8 cm2
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草 坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
10．要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小 颖的设计方案．
小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2 300 m2.
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
九上数学新人教版213实际问题与一元二次方程课时3
课堂小结
几何
图形
与一
元二
次方
程问
题
等量关系
几何图形面积公式
课本封面问题
类型
小路宽度问题
围墙问题
动态几何问题
常采用图形平移，
聚零为整方便列
方程.
对接中考
1.在长为 160 m ，宽为 100 m的矩形地
面上修筑同样宽的道路，余下的部分
1
依题意得 ×6×(16-3x+2x)=33，解得
2
x=5，
所以经过 5 s 时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2.
(2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm，
依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，
整理得 25y2-160y+192=0，
解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，
未知数，如探究中的第一种设法.
间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量
用含未知数的代数式表示,如探究中的第二种设法.
新知探究 跟踪训练
例1 如图，某小区有一块长为 30 m，宽为 24 m 的矩形
空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的
面积之和为480 m2 ，两块绿地之间及周边有宽度相等
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识回顾
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
1.审清题意
2.设未知数
3.列方程
4.解方程验根
5.作答
学习目标
1.会用面积法建立一元二次方程数学模型.
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
知识点1：一般图形的面积问题 1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃 的长为( C ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长 方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B ) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两 2cm，7cm 条直角边长分别为______________ ．
11 ． 如图 ， 已知点 A 是一次函数 y ＝ x － 4 图象上的一点 ， 且矩形 (3，－1)或(1，－3) ． ABOC的面积等于3，则点A的坐标为___________________ 12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的 四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息 亭等宽的观光大道 ， 其余部分 ( 图中阴影部分 ) 种植的是不同花 草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正 方形观光休息亭的边长为多少米？ 解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x) ＝3600，整理得x2－75x ＋350 ＝0 ，解得x1＝5 ， x2＝70 ，∵x2＝70 ＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光 休息亭的边长为5米
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝ 4，解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7， 此方程无解，所以不能
人教版2021年九年级上数学21.3实际问题与一元二次方程课时3几何图形面积问题
人教版2021年九年级上数学21.3实际问题与一元二次方程课时3几何图形面积问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（）A．x（x﹣10）=375 B．x（x+10）=375 C．2x（2x﹣10）=375D．2x（2x+10）=3752．在半径为R的圆形钢板上，挖去四个半径都为r的小圆.若R＝16.8，剩余部分的面积为272π，则r的值是（）A．3.2B．2.4C．1.6D．0.83．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝04．某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为2144m（如图），则甬路的宽为（）A．3m B．4m C．2m D．5m5．如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是9502cm，则x的值是（）A ．3B ．4C ．4.8D ．5二、填空题 6．一个直角三角形三边长是三个连续整数，则它的周长为_______，面积为______． 7．现要在一个长为40m,宽为26m 的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m 2,那么小道的宽度应是____m.8．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）三、解答题9．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x 的值.10．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？11．如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB （墙长18米）围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？晓华的解题过程如下：（解）设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(382)x -米．依题意得(382)120x x -=，整理得219600x x -+=，解得1215,4x x ==．当15x =时，3828x -=；当4x =时，38230x -=．答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米或4米、30米．请问晓华的解题过程正确吗？如果不正确，给出正确的解题过程．12．在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m ．小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同．（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；（2）请你帮助小颖求出图中的x （结果保留根号和）；13．如图，已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿B C D →→方向向点D 运动且不与点D 重合，动点Q 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A B →方向向点B 运动且不与点B 重合，若P ，Q 两点同时出发，运动时间为s t ．（1）连接,,PD PQ DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为27cm ．（2）当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】由题意得，x （x ﹣10）=375，所以选A.2．C【分析】根据大圆面积-4个小圆面积=272π，即可求出r 的值.【详解】由题意得，16.82π-4πr 2=272π解得r 2=2.56r=1.6或r=-1.6（不合题意，舍去）故答案为C【点睛】本题考查列方程解应用题，根据题意找出等量关系是解题的关键.3．C【详解】解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（18﹣3x ）（6﹣2x ）=60，化简整理得，x 2﹣9x+8=0．故选C ．4．C【分析】设小路的宽为xm ，那么小路所占面积为（40x+2×26x-2x 2），于是六块草坪的面积为[40×26-（40x+2×26x-2x 2）]，根据面积之间的关系可列方程40×26-（40x+2×26x-2x 2）=144×6，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为m x ．根据题意得()240264022621446x x x⨯-+⨯-=⨯，整理得246880x x -+=，解得1244,2x x ==，当44x =时不符合题意，故舍去，所以2x =．故选C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用以及矩形面积计算公式，难度一般．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．D【分析】 观察图形可知阴影部分小长方形的长为402()2x x cm -+，再根据去除阴影部分的面积为9502cm ，列一元二次方程求解即可．【详解】解：由图可得出， 2402403022()9502x x x x整理，得，2201250x x 解得，125,25x x （不合题意，舍去）．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．6．12 6【分析】先根据题意设该直角三角形较长的直角边长为x ，则另外两边长分别为1,1x x -+，再根据勾股定理得出方程，从而得出三角形的周长和面积【详解】解：设该直角三角形较长的直角边长为x ，则另外两边长分别为1,1x x -+．依题意，得222(1)(1)x x x -+=+，解得10x =（舍去），24x =，∴直角三角形的三边长分别为3，4，5，∴三角形的周长为34512++=，三角形的面积为13462⨯⨯=． 故答案为：12，6【点睛】本题考查了勾股定理、解一元二次方程以及三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识是解题的关键7．2【分析】根据图形可知剩余的长为(40-2x)m ，剩余的宽为(26-x)m ，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.【详解】解：设小道的宽为x 米，依题意得(40-2x)(26-x)=864，解之得x 1=44（舍去）,x 2=2.故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m 2找到正确的等量关系并列出方程.8．②．【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【详解】解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x=．故答案为②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．9．x的值为4.【详解】由题意得（x+1）2-1=24，整理得：（x+1）2=25即：x+1=5或x+1=-5，∴x=4或x=-6.∵x＞0，∴x=-6不合题意，舍去.∴x的值是4．10．当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【详解】解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm．根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14．所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．根据题意，得（12x﹣2）•（x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．11．不正确，这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米，见解析【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(382)x-米，根据题意，列出方程，即可求出x的值，然后根据实际意义取舍即可．【详解】解：晓华的解题过程不正确，正确解题过程如下：设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(382)x -米．依题意得(382)120x x -=，整理得219600x x -+=，解得1215,4x x ==．当15x =时，3828x -=；当4x =时，3823018x -=>，不合题意，舍去．答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是解方程的实际应用题时，要注意根是否符合实际意义，如本题中，需分析两个取值是否符合实际情况．12．（1）小明的结果正确；（2）x =【分析】（1）设小路宽为y 米，列方程求解就可判断小明的结果是否正确；（2）由题意可知四个扇形刚好可以合成一个半径为x 米的圆，由此可列出方程求解；【详解】解：（1）小明的结果正确. 理由如下：设小路的宽为y m ，则由题意可得： 1(162)(122)16122y y --=⨯⨯， 解得：12212y y ，==（不合题意，舍去）∴2y =，故小明的结果正确；（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，根据题意可得：2116122x π=⨯⨯，解得x =13．（1）1或9s 4；（2）存在， 43t =或4 【分析】 （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）分当PD DQ =时和当PD PQ =时，进行讨论．【详解】解：（1）∵正方形ABCD 的边长为4cm ，∴4AB BC CD AD ====，当点P 在BC 边上,4,2,42AQ t QB t BP t PC t ==-==-．1111642(4)4(42)7222PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S t t t t =---=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-=正方形∴ 2210t t -+=，解得121t t ==．当点P 在CD 边上时，182,(82)472PQD DP t S t ∆=-=-⨯=， 解得94t =． 当t 为1或9s 4时，PQD △的面积为27cm ． （2）存在．理由如下：①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +-=+, 解得124,43t t ==（不符合题意，舍去）． ②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +-=-+，解得124,4t t ==-（不符合题意，舍去）．所以存在43t =或4时，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．。
实际问题与一元二次方程(第3课循环问题)九年级数学上册(人教版)
人教版数学九年级上册
第21.3实际问题与一元二次方程 （第3课时循环问题）
学习目标
人教版数学九年级上册
1.会分析实际问题（循环问题）中的数量关系并会列一元 二次方程. 2.正确分析问题（循环问题）中的数量关系. 3.会找出问题（循环问题）中的相等关系并建模解决问题.
情境引入
人教版数学九年级上册
2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，
全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是
( B)
A. x(x+1)=182
B. x(x-1)=182
C. 2x(x+1)=182
D. x(1-x)=182×2
小试牛刀
人教版数学九年级上册
3.某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参赛的 每两个人之间都要比赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场 地和时间等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共有 多少学生参加了冬运会乒乓球赛？
谢谢聆听
人教版数学九年级上册
课堂小结
人教版数学九年级上册
“单循环”问题： 例如甲、乙之间只需要一次（握手、签合同、比赛等）. 公式：0.5x(x-1)=m.
“双循环”问题： 例如甲、乙之间需要两次（比赛、互送礼物等）. 公式：x(x-1)=m.
课后作业
人教版数学九年级上册
1.在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包， 该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有__1_0__人． 2.九年级（7）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书， 每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互 赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的 方程是_x_(_x_−__1_)_＝__1_3_2__．
初中九年级初三数学课件 实际问题与一元二次方程(第3课时)
21
2．动脑思考，解决问题
问题2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？
分析：封面的长宽之比是
解:相设等每关盆系花:苗增平加均的单株株数盈为利x株×,株则数每=盆10花元苗有_(_x_+_3__)株,平均单 株盈利为__(_3_-_0_._5_x_)_元. 由题意,得
(x+3)(3-0.5x)=10 化简，整理，得 x2-3x+2=0
经检验，x1=1,x2=2解都这是个方方程程的,解得，:x且1=1符, x合2=题2 意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得
x (1+x) =190×2 X2＋ X －380＝0
解得X1＝19， X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
补充练习：
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依题意得：60- 2x40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40 经检验, x2 40不合题意,应舍去.
x 10
答：截去正方形的边长为10厘米。
例1 在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的
九年级 上册
21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）
人教九年级数学上册- 实际问题与一元二次方程(几何图形问题)(附习题)
当x=7时，小正方形周长为28cm.
∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不 小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
课堂小结
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是 将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出 来，这样的图形主要有三角形、四边形等，涉及到三 角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的 计算、勾股定理等。
平行四边形的 面积等于与它同底等高的 矩形的面积.
分析:设小道进出口的宽度 为x m，将两条纵向小道向 左平移，横向小道向上平 移，可得到一个长为.( 162x )m,宽为( 10-x) m的矩形, 其面积即为126m2，根据 矩形的面积公式列方程求 解.
长宽之比也是27∶21=9∶7，那你知道上、下边衬与 左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推：
设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.由此
得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
1 (27 9a)∶1 (21 7a)
2
2
9(3 a)∶7(3 a) 9∶7
②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x
推进新课
知识点 用一元二次方程解决图形的面积问题 如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为
21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 . 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面 面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 （结果保留小数点后一位）？
21.3.3 实际问题与一元二次方程(三)面积与周长问题
21.3.3 实际问题与一元二次方程（三）几何图形面积与周长问题【自主导学】1. 如图，长方形的长为x，周长为24，则宽为2. 如图，在一个长5，宽为4的矩形土地中修两条宽度为x的道路，用x的式子表示剩余土地的面积为【易错点睛】如图，用48米长的篱笆在一个25米长的墙边靠墙围成一个面积是300平方米的长方形鸡场，鸡场有一个2米的门，求鸡场的长与宽.2mA 夯实基础知识点一圈形面积类问题1．(2016兰州改)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7m B．8m C．9m D．l0m2．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为602米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2+9x-8= 0 B.x2 -9x-8=0 C. x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=018m 6m3．【教材变式】（P25第8题改）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为2002m的矩形场地，求矩形的长和宽。
4．【教材变式】（P22第8题改）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．知识点二 围墙类问题5．有40米的篱笆在一个25米长的墙边靠墙围成一面积是200平方米的矩形场地，则此矩形场地的长宽分别是 米、 米．6．要用一条长24cm 的铁丝围成一个斜边是l0cm 的直角三角形，则两条直角边分别是6 cm.， 8 cm ．B 综合运用7. 如图，甲、乙两人分别从正方形场地ABCD 的顶点C ，B 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min ，乙的速度为2km/min,若正方形场地的周长为40km ，则2分钟后，两人首次相距102km.DC BA 甲乙8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm （x ＞0），求这两段铁丝的总长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21
1．创设情境，导入新知
解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面 积可以表示为（ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 方法二 3 （ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 27 21 4 利用未知数表示边长，通过面 积之间的等量关系建立方程解决问 题． 27
21
3．动脑思考，巩固训练
教科书习题 21.3
第 9 题．
4．归纳小结
问题3 回顾前面几节课的学习内容，你能总结一 下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？ 需要注意哪些问题？
5．布置作业
教科书复习题 21 第 8 题．
九年级
上册
21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）
课件说明
• 列一元二次方程解决有关“面积问题”的实际问题．
课件说明
• 学习目标： 1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二 次方程； 2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应 用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提 高数学应用意识． • 学习重点： 利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实 际问题．
2．动脑思考，解决问题
问题2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？ 分析：封面的长宽之比是 9∶7，中央的矩形的长宽之比也 应是 9∶7． 9a 27 设中央的矩形的长和宽分别 是 9a cm和 7a cm，由此得上、下 边衬与左、右边衬的宽度之比是 1 1 7a （ 27 - 9a） ∶ （21 - 7a ） = 9∶7. 21 2 2
2．动脑思考，解决问题
解法二：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm， 依题意得 3 9 x ·7 x 27 21 4 3 3 3 3 解得： x1 ，x2 （不合题意，舍去）． 2 2 故上、下边衬的宽度为： 27 9 x 3 3 54 27 3 ） 2 （27 9 ≈1.8 cm， 2 2 4 左、右边衬的宽度为： 21 7 x 3 3 42 21 3 ） （21 7 2 ≈1.4 cm． 2 2 4
2．动脑思考，解决问题
解法一：设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边 衬宽均为 7y cm，依题意得 3 （ 27 - 18y ） （21 - 14y） 27 21 4 整理得：16y 2 - 48y + 9 = 0． 63 3 解方程得 y 4 方程的哪个根合乎实际意义？为什么？ 63 3 y 4 54 27 3 44 cm． 4 4
1．创设情境，导入新知
问题1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占 面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度？
27
21
1．创设情境，导入新知
解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面 积可以表示为（ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 方法一 1 27 21 （ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 27 21 4 还有其他方法列出方程吗？