高考文科数学向量专题讲解与高考真题精选含答案资料全
高考平面向量及其应用专题及答案百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 6．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 7．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．32OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为768．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =-D ．3BG GD =9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5-B ．23C ．23-D ．5 10．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=12．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个13．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 15．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同二、平面向量及其应用选择题16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)17．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是)+∞.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心21．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 22．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+ D ．1(62)2+ 24．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =，则边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 25．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-26．题目文件丢失！27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．102B ．106C ．103D ．1028．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33(,)22B ．3(,3)2 C ．3(,3]2D ．3(,3)229．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．330．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5B ．10C ．4D ．531．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 32．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A 3B 2C 31- D 2134．题目文件丢失！35．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4B ．72C ．258D ．259【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．4．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.6．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴132392sin sin603aRA===︒，393R=，D错．故选：AB．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．7．BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点，则CE AB⊥，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123 (0,0),(1,0),(1,0),3),(,)33E A B C D-，设123(0,),3),(1,),(,3O y y BO y DO y∈==-，BO∥DO，所以2313y y=-，解得：32y=，即O是CE中点，0OE OC+=，所以选项B正确；322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；1(3ED =，(1,BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确. 故选：BCD【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.8．AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有 ∴，即C 错误同理，解析：AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系9．AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.B==±.因此，cos3故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 10．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若a b=，则a与b平行，A选项合乎题意；=，但a与b的方向不确定，则a与b不一定平行，B选项不合乎题对于B选项，若a b意；对于C选项，若a与b的方向相反，则a与b平行，C选项合乎题意；对于D选项，a与b都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a与b不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.11．ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查解析：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.12．BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确． 若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．13．AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+，∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=，∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.14．AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．15．ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.17．B【分析】由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确；②可得A B =或2A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确；④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠所以sin 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即)b ∈，故④错误. 故选：B【点睛】 本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.18．A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+， 整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形．故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．19．D【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．20．B【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．D【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==，∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得k =∴tan 3B k ==B ＝3π． 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键22．D【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 23．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°4=，△ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴12AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．24．A【分析】 根据题意得出tan tan tan A B C a b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长.【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a b OC OA OB c c∴=--， 同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C b B cC ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B C a b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C ==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin 2a R A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A.【点睛】 本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.25．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．无27．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD =可得，BC=10sin 45sin 303x ==.则；所以塔AB 的高是106米； 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 28．A 【分析】 先化简已知()()()23a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C +3sin()3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】 由()()(23)a b c a c b ac +++-=+可得22()(23)a c b ac +-=+，即2223a c b ac +-=，所以2223cos 2a c b B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-5533cos sin cos cos sin cos sin 3sin()6623A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以333sin()62A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为33(,)2．故选A ． 【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.29．D 【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！30．B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =，令()'0f x =，得x =∴当0x << ()'0f x >x << ()'0f x <， ∴当2x =时， ()f x 取得最大值f =⎝⎭，故选B. 【点睛】 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 31．C 【分析】 利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第30讲 平面向量的概念及线性运算 含答案
1．平面向量(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．(2)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(3)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．(5)了解平面向量的基本定理及其意义．(6)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(7)会用坐标表示平面向量的线性运算(加、减与数乘)．(8)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(9)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(10)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(11)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(12)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(13)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．复数(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，了解复数的代数表示法及其几何意义．(2)会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况续表2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况第2题复数的乘法运算向量和复数是每年高考的必考内容，从近5年高考全国卷Ⅰ和卷Ⅱ来看，直接考查向量的试题每年1道，占5分，复数每年1道，占5分，本部分共10分．平面向量在高考中，主要考查平面向量的基本定理，向量的基本运算，包括向量的线性运算和数量积运算，计算向量的模，向量的共线、垂直等．重点是向量数量积的运算，试题难度一般是易或偏易，主要分布在填空题第1、2题(全卷第13、14题)的位置，有时也在选择题第2至3题的位置．复数主要考查复数的概念(如实部、虚部、模、共轭等)，复数的几何意义，重点是考查复数的运算(主要是乘法、除法)．试题多为容易题，主要分布在试题的第2至3题的位置．向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学的一个重要交汇点．在高考中，主要考查向量有关的基础知识，突出向量的工具作用．在复习时应注意高考考查的层次，分层次进行复习．第一层次：要充分理解平面向量的相关概念和掌握向量的线性运算(向量的加法、减法及数乘向量的几何意义)、坐标运算、数量积运算，掌握两向量的共线、垂直的充要条件．第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定理以及数量积的应用．第三层次：平面向量与平面几何、三角函数、解析几何等知识相联系的综合问题．通过对向量的学习，进一步体会数形结合思想、方程思想在解题中的运用．对复数的复习应掌握好以下几个方面：1．掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．2．熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则．在运算过程中要注意复数运算与实数运算法则的区别．3．重视复数相等的充要条件，注意利用复数相等将复数问题化归为实数问题进行处理．第30讲平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模)，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝|λ||a|；(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一实数λ，使b＝λa.1．在平行四边形中，如图：(1)若a ，b 为不共线的两个向量，则a ＋b ，a －b 为以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)AO →＝12(a ＋b )． (3)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC 中：(1)PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)(向量式) ⇔G 是△ABC 的重心．(2)G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.(3)λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线(即∠BAC 的平分线所在直线)过△ABC 的内心．3．共线的有关结论：①A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．②OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ②重力有大小和方向，所以重力是向量； ③若|a|>|b|，则a>b ； ④若|a|＝|b|，则a ＝b. 其中真命题的个数是(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假； ②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假； ④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假． 由以上分析知，真命题的个数是1. 2．下列命题中：①零向量的长度为0； ②零向量的方向任意； ③单位向量都相等；④与非零向量a 共线的单位向量为±a|a|.其中真命题的个数是(C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题． 3．下列命题中：①平行向量方向一定相同； ②共线向量一定相等；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①假，平行向量方向不一定相同． ②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB →与CD →是共线向量，AB 与CD 所在的直线不一定共线，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线． ④假，当b ＝0时，a 与c 可以是任意向量．4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝(A) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →(方法一：向量的加法)CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.(方法二：向量的减法)CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ 12 .因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.向量的线性运算(经典真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →因为D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →， 所以B ，C ，D 三点共线，且D 在BC 的延长线上，如图：(方法一)在△ABD 中利用向量的加法： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD → ＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法二)在△ACD 中利用向量的加法： AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法三)在△ABD 中利用向量的减法： AD →＝BD →－BA →＝43BC →－BA →＝43(AC →－AB →)＋AB →＝－13AB →＋43AC →.A(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝(A) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →作出示意图如图所示，(方法一：在△EBD 中运用向量的加法)EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. (方法二：在△ABE 中运用向量的减法) EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 又a ，b 是不共线的两个非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b ＝λa (a 为非零向量)，则a 与b 共线．(3)三点共线等价关系：A ，B ，P 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0) ⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，t ∈R ) ⇔OP →＝x ·OA →＋y ·OB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．(2018·吉林期中)在△ABC 中，N 是AC 上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为 13.因为B ，P ，N 三点在同一直线上， 所以AP →＝λAB →＋μAN →，λ＋μ＝1. 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，所以m ＋23＝1, 所以m ＝13.向量的线性运算的综合问题平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点， 则有DM →＝12a ，BN →＝12b ，在△ABN 和△ADM 中可得：⎩⎨⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，所以AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝(B) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以M 是△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．所以AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，比较得m ＝3.1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB 与CD 平行，可先证明AB →∥CD →，再证明AB 与CD 不共线．3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．。
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量文(含解析)
专题06平面向量历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3），则向量（﹣7，﹣4）；故选：A．4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴（）+（）（），故选：A．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3），（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设（x，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ，故选：C．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝．【解答】解：∵向量（﹣1，2），（m，1），∴（﹣1+m，3），∵向量与垂直，∴（）•（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．故答案为：7．7．【2016年新课标1文科13】设向量（x，x+1），（1，2），且⊥，则x＝．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）＝0；∴．故答案为：．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：310．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量与向量k垂直，则k＝．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k＝1故答案为：1考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，，，若，则（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】 因为，所以点D 是BC 的中点，又因为，所以点E 是AD 的中点，所以有：，因此，故本题选D.2．已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以，即，即，又因为，当且仅当2a b =时，取等号；所以，即2a b ≤；因此，.即a b ⋅的最大值为1. 故选B3．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||3a b +=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则；因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||3a b +=”； 若||3a b +=，则，解得1cos ,2a b =，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||3a b +=”不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||3a b +=”的既不充分也不必要条件. 故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.∴.故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足，若2AB =，则（ ）A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =，则3AO =，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r在AO 方向上的投影为AO ， 因此.故选C6．已知向量，且()a a b ⊥-，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】 因为，所以，因为()a a b ⊥-，则，解得3m =所以答案选B.7．已知向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ， 因为向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1+， 则有，变形可得：，即，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A ．8．在矩形ABCD 中，与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=（ ）A ．725B ．14425C ．125D ．1225【答案】B 【解析】 如图：由3AB =，4=AD 得：，又AE BD ⊥又本题正确选项：B9．已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若，则实数m=（ ）A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【解析】联立221y x m x y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m 或m ＜，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵+y 12-y 1y 2=1+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m= 故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．23 D ．52【答案】B 【解析】 由题意可得：，且：，故，解得：2λ=.11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED =，那么EB EC ⋅的值为（ ） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：，又所以所以故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为，则BC =( )A ．5B ．C ．29D ．【答案】C 【解析】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-，∴．① ∵3ABC S ∆=，∴，∴．②由①②得tan1A=-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴．在ABC∆中，由余弦定理得，∴BC=故选C．13．在△ABC中，，则λμ+=（）A．1-3B．13C．1-2D．12【答案】A【解析】因为所以P为ABC∆的重心，所以, 所以,所以因为，所以故选：A14．在ABC∆中，，则（）A．9:7:8B．C．6:8:7D．【答案】B【解析】设所以，所以，所以，得所以故选：B15．在平行四边形ABCD中，若则ADC∠=( )A．56πB．34πC．23πD．2π【答案】C【解析】如图所示,平行四边形ABCD中, ,，，,因为,所以, ，所以，故选C.16．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2 B．34-C．2-D．2512-【答案】D【解析】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当16a =时，的最小值为2512-． 故选：D ．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A ．a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．23a b +【答案】C 【解析】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =， 所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以， 则根据圆的性质，又因为在Rt ABC ∆中，，所以四边形ABDO 为菱形，所以．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=， ()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则，所以.由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且，若，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ有（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ；2λ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=cos θsin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中；易知λ+μ=+cos θsin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2]20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ） A ．13B ．12CD ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0）， 由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC的距离为12tan 3BCπ=即圆心为(0,6，半径为.所以点A 的轨迹方程为：，则213x ≤，则，由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得：AQ 在BC 方向上投影为|DP|=|x|， 则AQ 在BC方向上投影的最大值是3， 故选：C ． 21．已知圆的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为______．【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵，根据圆的性质可知，1AB k =-， ∴AB 所在直线方程为，即22gR r，联立方程可得，，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则，令0y =可得(0,0)P ，，故答案为：-5． 22．已知向量，若，则λ=______．【答案】12【解析】 解：；；；；解得12λ=．故答案为：12． 23．向量()1,2a =-，()1,0b =-，若，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-，()1,0b =-， 所以，又因为， 所以，即，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e 的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -与2e 的夹角为_____． 【答案】6π 【解析】又∴向量21e e -与2e 的夹角为：6π 本题正确结果：6π 25．已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =r，，则当m n -=_____，则m 与n 的夹角最大．【解析】设a ，m ，n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =，(,)m x y =，则，4a m x ⋅=，由可得，即，∴m 的终点M 在以(2,0)为半径的圆上，同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m ，n 的夹角最大．设圆心为A ，则AM =，，∴， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴.26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则P C P A ⋅的最小值为_______．【答案】5﹣【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得.取AC 中点M ，由题得, 两方程平方相减得，要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=,所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为：5﹣27．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，A ，则(2,0)BC =，，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =，其中01t ≤≤，则，所以(21,0)D t -；又，所以，因此， 所以，，故，因为(0,1]m ∈，所以，又01t ≤≤， 所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅取得最大值，即，整理得，解得12m =或8m =（舍） 故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.【答案】3【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列， 所以，即， 所以，由正弦定理可得， 又由余弦定理可得，所以，故， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为， 所以，即，解c =.即AB29．如图，在平面四边形ABCD 中，，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若 (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝，AD ＝×tan30°＝3，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝3sin45°＝，所以D（3-，3）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为， 所以，（2,2）＝λ（）+μ（2,1）， 所以，，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ30．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______． 【答案】32【解析】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sin θ，cos θ），则，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴，又，∴，其中，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]， ∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32． 故答案为：32．。
专题12平面向量-2019届高三文科数学三年高考（2016-2018）分类汇编Word版含解析
专题12平面向量-2019届高三文科数学三年高考（2016-2018）分类汇编Word版含解析专题12 平面向量考纲解读明方向分析解读1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.分析解读1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.分析解读1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是A. ?1B. +1C. 2D. 2?【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（?1,m）,若，则m=_________. 【答案】点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②. 4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2017年高考全景展示1.【2017北京，文7】设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若，那么是的充分不必要，同时是的必要不充分条件，若，那互为充要条件，若，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若,若，那么是的充分必要条件，同时是的必要不充分条件，若，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.2.【2017课标II，文4】设非零向量，满足则A.⊥B.C. ∥D.【答案】A【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：，(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC 与BD交于点O，记，，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以选C．【考点】平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求，，进而解得．4.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=,若a||b,则.【答案】【解析】【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b ＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.5.【2017北京，文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．【答案】6【解析】试题分析：所以最大值是6. 【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若最大，即向量在方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果.6.【2017课标3，文13】已知向量，且，则m= .【答案】2【解析】由题意可得：.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，。
北师大文科数学高考总复习教师用书：平面向量基本定理及坐标表示 含答案
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知 识 梳 理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)在△ABC 中，设AB→＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( )解析 (1)共线向量不可以作为基底． (2)同一向量在不同基底下的表示不相同．(4)若b ＝(0,0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义．(5)向量a 与b 的夹角为∠ABC 的补角． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．(2017·福建三明月考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9) 解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D. 答案 D3．(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)解析 根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A4．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6. 答案 －65．(必修4P88例3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎨⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1,5)考点一 平面向量基本定理及其应用 【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A.AD→ B.12AD → C.12BC → D.BC → (2)(2017·西安调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP→＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析 (1)如图所示，EB→＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →)＝EC→＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →. (2)设BP→＝kBN →，k ∈R .因为AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB→＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案 (1)A (2)311规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD→＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E为线段AO的中点．若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析(1)AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.(2)由题意可得BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋14BD→，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案(1)14a＋34b(2)34考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝() A．(－23，－12) B．(23,12)C．(7,0) D．(－7,0)(2)(2017·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．1 B．2 C．3 D．4解析(1)3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.答案(1)A(2)D规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用．(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题． 【训练2】 (1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)． 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.(2)由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案 (1)D (2)－3考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(教材改编)已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________．解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP→＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3).解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)． 答案 (1)(－4，－8) (2)(8，－15)规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【训练3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 解析 (1)AB→＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. (2)AB→＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54. 答案 (1)A (2)－54[思想方法]1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式．2．向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. [易错防范]1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．.2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(教材改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B2．(2016·上饶质监)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12)解析 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)，故选B. 答案 B3．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.4．如右图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2解析 以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)，＝(x －y ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案 B5．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.答案 A6．(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D.7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC→等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2)，∵Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)． 答案 B8．(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE→，则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB → D.16AC →＋32AB → 解析 如图，∵EC→＝2AE →， ∴EM→＝EC →＋CM →＝23AC →＋ 12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C 二、填空题9．(2017·广州综测)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________. 解析 因为(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎨⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3. 答案 －310．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 1211．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 答案 1212．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2)表示． 解析 如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC → ＝－14AC →＋23(AC →－AB →) ＝－14e 2＋23(e 2－e 1) ＝－23e 1＋512e 2. 答案 －23e 1＋512e 2能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．(2017·合肥调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2 P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A→－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →， 以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )． ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3，故选C.答案 C15．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)． 答案 (－2，－4) 16．(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP→|＝1，PM→＝MC →，则|BM →|2的最大值是________． 解析 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 494特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十四讲向量的应用答案
专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案部分2019年1.解析 因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.解析 因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3.解析 ()8264⋅⨯-+⨯=-a b =2，==a10==b，cos ,==a b ． 4.解析 因为⊥a b ，所以()4630m ⋅=-⨯+⨯=a b ，得8m =.5.解析 因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=o ，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=o ，又AB =，所以25BE AD =-u u u r u u ur .因为AE u u u r 25AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r .又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r ，所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2272cos 55AB AB AD A AD-+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u ur 72125251525-+⨯⨯-⨯=-. 6.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r ，所以3AB AC =. 7.解析：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u ur u u u r ，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++,由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=2，3，4，5，取遍1±，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为52010-2018年1．A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =u u u r a ，(,)OB x y ==u u u rb ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||1CA CB -=-u u u r u u u ra b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =u u u r b ，OE =u u u r e ，3OF =u u u r e ，所以EB -=u u u r b e ，3FB -u u u r b e =，所以0EB FB ⋅=u u u r u u u r，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =u u u r a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||1CA BC ---=-u u u r u u u ra e eb ．故选A ．2．C 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=o ，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos 0OB CA AOB ∠<u u u r u u u r，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．EB3．B【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则((0,3)B C A ，则点P 的轨迹方程为22(3)1x y +-=．设(,)P x y ，00(,)M x y ，则02x x =，02y y =，代入圆的方程得220031(()24x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为2231(()24x y -+-=， 它表示以3)2为圆心，以12为半径的圆，所以max 17||22BM ==u u u u r ，所以2max 49||4BM =u u u u r ．4．A 【解析】由(3,1)AC AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r ，得(2,1)(3,1)5AD AC ⋅=⋅-=u u u r u u u r．5．B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，已知B为(1,0)-时，4PB +u u u r取得最大值7，故选B ．6．A 【解析】设(1,0),(0,1)a b ==r r，则(cos ,sin )OP θθ=u u u r ，(2,2)OQ =u u u r所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ =u u u r，∴13r R <<<．7．C 【解析】因为120BAD?o ，所以cos1202AB ADAB AD ?鬃=-o u u u r u u u ru u u r u u u r .因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+u u u r u u u r u u u r ，AF AB AD m =+u u u r u u u r u u u r.因为1AE AF?u u u r u u u r ，所以()()1AB AD ABAD l m +?=u u u r u u u r u u u ru u u r ，即3222l m l m +-=①同理可得23l m l m --=- ②，①+②得56l m +=. 8．B 【解析】如图，设,AB b AC c ==u u u r r u u u r r，CBQP则1,2,0b c b c ==•=r r r r，又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-u u u r u u u r u u u r r r ，CP CA AP c b λ=+=-+u u u r u u u r u u u r r r，由2-=•CP BQ 得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-•-+=--=--=-r r r r r r ，即32,23==λλ，选B.9．A 【解析】方法一 设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==u u u r则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-u u u r ．方法二 将向量(6,8)OP =u u u r 按逆时针旋转32π后，可知Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-，∴34QOP π∠=． 10．C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b o和b a o 的范围如下：∵(0,)4πθ∈，∴cos 12θ<<，而||cos ||θ⋅==⋅o b a b b a a a a ， 且||||0>…a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ，又∵∈o b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ， 从而||1||2cos θ=b a ，∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅o a b a a b b b b ，所以12<<o a b ， 且a b o 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=o a b ． 11．D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d+=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈．若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=．此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤，此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==，根据定义，,C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则112c d +<，与112c d+=矛盾， 若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d +=矛盾，若1c >，0d <，则11c<，10d <，此时111c d +<，与112c d+=矛盾，故选项D 的说法是正确的． 12．3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±u u u r u u u rAE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅u u u r u u u r取得最小值3-．13．6【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值是6． 14．4,,a b r r的夹角为θ，由余弦定理有：a b -==r ra b +==r r则：a b a b ++-=r r r r，令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin4a b a ba b a b++-==++-==r r r rr r r r，即a b a b ++-r r r r的最小值是4，最大值是15．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．16．7【解析】由1⋅=a b ，||1,||2==a b 可得两向量的夹角为60o，建立平面直角坐标，可设(1,0)=a ，(1,3)=b ，(cos ,sin )θθ=e ， 则|||||cos ||cos 3sin |θθθ⋅+⋅=++≤a e b e|cos ||cos |3|sin |3|sin ||cos |7θθθθθ++=+≤，所以||||⋅+⋅a e b e 的最大值为7． 17．32【解析】在平面直角坐标系xOy 中，作出圆221x y +=及其切线,PA PB ，如图所示，连结,OA OP ，由图可得||||1OA OB ==，||2OP =，||||3PA PB ==u u u r u u u r， 6APO BPO π∠=∠=，则,PA PB u u u r u u u r 的夹角为3π，所以3||||cos 32PA PB PA PB πu u u r u u u r u u u r u u u r ⋅==．18．3-【解析】由题意得：29,282,5,3m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-． 19．2918【解析】在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=o， 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ，1AB AD ⋅=u u u r u u u r ，12DC AB=u u u r u u u r ，所以()()AE AF AB BE AD DF⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21312AB BC AD AB u u ur u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221131218AB AD BC AD AB BC AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⋅+⋅++⋅111291331818=++-=．20．①④⑤【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2, 2AB =u u u ra ＝＝21=⇒,故①正确；∵+=+=2 ∴2=⇒=，故②错误，④正确；由于2AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则a 与b 的夹角为ο120，故③错误；又∵21(4)(4)4|412()402BC +⋅=+⋅=⋅=⨯⨯⨯-+=u u u r a b a b b a b+|b∴(4)BC +⊥u u u ra b ，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤.21．2【解析】因为120BAD?o，菱形的边长为2，所以2AB AD?-u u u r u u u r.因为113AE AFAB AD AD AB λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur 骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫，由1AE AF?u u u r u u u r ，所以4412(1)133λλ+-+=，解得2λ=.22．1+(,)D x y ，由||1CD =u u u r ，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r(1,x y =-+，故||OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=23．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为，y 轴建立直角坐标系，BAC E则B (2,0),E (2,1)，D (0,2)，C (2，2)．设(,2)F x (0≤≤2)，由1AB AF x ⋅=⇒=u u u r u u u r ，∴(1,2)F ，AE BF u u u r u u u rg =()1,2(1–2,2)=2．24．(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作轴的垂线，垂足为E ，过C 作y 轴的垂线，垂足为A ，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，∴2PCD ∠=，可知22PCB π∠=-，此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ， 即)2cos 1,2sin 2(--=OP .25．14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u v u u u v1()2AB AC +⋅u u u r u u u r （23AC AB -u u u r u u u r ）=1211(1)2334AB AC --⋅=-u u u r u u u r ． 26．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-． 又[0,]x π∈，所以56x π=． （2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-27．【解析】（Ⅰ）因为m ∥n ,所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=又sin 0B ≠，从而tan A =0<A <π，所以A =3π． （Ⅱ）解法一 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-， 而a，b =2，A =3π，得2742c c =+-，即2230c c --=， 因为0c >，所以 3c =．故ΔABC的面积为1sin =22bc A ． 解法二由正弦定理，得2sin sin3Bπ=，从而sin B=7，又由a b >，知A >B ，所以cos B=7， 故sin C =sin()A B +=sin +3B π⎛⎫⎪⎝⎭=sin coscos sin33B B ππ+． 所以ΔABC的面积为1sin 2ab C =． 28．【解析】（Ⅰ）由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ) ．又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅u u u r u u u r ＝－1，于是2222112b ca abc ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得a ＝2，b．所以椭圆E 方程为22142x y +=． （Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+． A ，B 的坐标分别为(1，y 1)，(2，y 2)，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(22＋1)2＋4－2＝0， 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>， 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，从而12121211=[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅+++--u u u r u u u r u u u r u u u r21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++＝22(24)(21)21k k λλ--+--+＝－21221k λλ---+所以，当1λ=时，－212321k λλ----=-+， 此时，3OA OB PA PB λ⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ．此时213OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 故存在常数1λ=-，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r为定值－3．29．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f Θ过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴121222m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈， 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ．30．【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==•===u u u r u u u r ，且222cos 2a c b B ac+-=，∴c 6,5a a c =+=，∵a c >，∴解得3,2a c ==．所以3,2a c ==．（Ⅱ）∵1cos 3B =，∴sin 3B =，∵3,3,2a b c ===，2227cos 29a b c C ab +-==，sin C =，∴23cos()cos cos sin sin 27B C B C B C -=+=，故23cos()27B C -=． 31．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：1cos()2αβ-=-．所以，αβ-＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π．所以，α＝65π，β＝6π．32．【解析】由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12py k x =+．由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则1x 、2x 是上述方程的两个实数根．从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+．所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk =u u u u r ．同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk =u u u r ．于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+u u u u r u u u r ．由题设，有1＋2＝2，1>0，2>0，1≠2， 所以212120()12k k k k +<<=． 故222(11)2FM FN p p ⋅<+=u u u u r u u u r ．(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+，2||2p FB y =+， 所以2121||22AB y y p pk p =++=+， 从而圆M 的半径211r pk p =+．故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+． 化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=．又2－1≠0，1＋2＝2，则l 的方程为＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时，d．＝5，解得8p=．故所求的抛物线E的方程为216x y=．33．【解析】（I）由2222)(sin)4sinx x x=+=a，222(cos)(sin)1x x=+=b，及2,4sin1x==得a b又1[0,],sin22x xπ∈=从而，所以6xπ=.（II）2()cos sinf x x x x=⋅=⋅+a b1112cos2sin(2)2262x x xπ-+=-+.当[0.]sin2 1.326x xπππ=∈-时，（）取最大值所以3().2f x的最大值为34．【解析】（1）由(2,1)MA x y=---u u u r，(2,1)MB x y=--u u u r，MA MB+=u u u r u u u r()(,)(0,2)2OM OA OB x y y⋅+=⋅=u u u u r u u u r u u u r，22y+．化简得曲线C的方程：24x y=．（2）假设存在点(0,)(0)P t t>满足条件，则直线PA的方程是12ty x t-=+，PB的方程是12ty x t-=+．曲线C在Q处的切线l的方程是20024x xy x=-，它与y轴的交点为2(0,)4xF-由于22x-<<，因此0112x-<<．①当10t-<<时，11122t--<<-，存在(2,2)x∈-，使得0122x t-=．即l与直线PA 平行，故当10t-<<时不符合题意．②1t-„时，011,22xt--<„01122xt->…，所以l与直线,PA PB一定相交．分别联立方程组21224ty x txxy x-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,D E的横坐标分别是20042(1)D x t x x t +=+-，20042(1)E x t x x t +=+-，则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--， 又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=， 于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t ⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++， 对任意0(2,2)x ∈-，要使QAB PDES S ∆∆为常数，即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t ⎧---=⎨-=⎩，解得1t =-，此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2．35．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r所以|||AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r故所求的两条对角线的长分别为、（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=（2）由题设知：OC u u u r =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++u u u r u u u r．由(t -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-． 或者：2· AB OC tOC =u u u r u u u r u u u r ，(3,5),AB =u u u r2115||AB OC t OC ⋅==-u u u r u u u r u u u r ．。
高考平面向量及其应用专题及答案doc
一、多选题1．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒6．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-7．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 8．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)10．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-13．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形 14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（ ）A ．35 B ．107C ．57D ．1417．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是)+∞.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定20．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．12D ．23．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形24．下列命题中正确的是（ ）A ．若a b ，则a 在b 上的投影为aB ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角25．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．8326．题目文件丢失！27．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A ．7B ．3C ．11D ．1928．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2329．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1-B ．12-C ．2-D ．32-30．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．531．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-432．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．332C ．33D 333．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A 13+ B ．13C 23+ D ．2334．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4B ．72C ．258D ．259【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形.【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．4．AD 【分析】设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：解析：AD 【分析】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，1212PPPP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭， 当点P 靠近点2P 时，122PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩， 解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.6．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.7．AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.8．ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.9．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误； 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.11．AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.12．CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确.故选：CD【点睛】解析：CD【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<， 对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 14．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．C【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．【详解】 解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A =，34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．sin C∴=由正弦定理可得：sin sinb cB C=，∴1sin5sin7c BbC===．故选：C．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．D【分析】先根据cos cosb A a B=得到,A B之间的关系，再根据B是,A C的等差中项计算出B的大小，由此再判断ABC的形状.【详解】因为cos cosb A a B=，所以sin cos sin cos=B A A B，所以()sin0B A-=，所以A B=，又因为2B A C Bπ=+=-，所以3Bπ=，所以3A Bπ==，所以ABC是等边三角形.故选：D.【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b是,a c的等差中项，则有2b a c=+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．B【分析】由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确；②可得A B=或2A Bπ+=，ABC是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；③由正弦定理可得sin cos sin cos sinA B B A C-=，结合()sin sin sin cos sin cosC A B A B B A=+=+可知cos sin0=A B，因为sin0B≠，所以cos0A=，因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确； ④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠所以sin 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即)b ∈，故④错误. 故选：B【点睛】 本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.19．B【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.20．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解.【详解】在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C=，所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．D【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．A 【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=≤⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值23．D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】 解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．C【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.25．B【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==/秒）． 故选B ．【点睛】 本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 26．无27．A【分析】 根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.28．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得34λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．B【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12λμ+=-. 故选：B.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．30．A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 31．D 【分析】 将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3m OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D CD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=得：12333m OA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线 3OD m m CD ∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.32．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11333sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.33．B【分析】由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.【详解】解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，平方得22242a c b ac +=-，① 又ABC 的面积为32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342ac ==，解得6ac =，代入①式可得222412a c b +=-， 由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，2224123122612b b b ---===⨯，解得24b =+，∴1b =+故选：B .【点睛】本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 34．A【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-= ， ∴22222a a c b c ac+-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．35．C【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==， 由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===，。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编(文科) 平面向量(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）平面向量（精解精析）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=． A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意；D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力．2．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)在平面内，A ．B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-， 从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+， 结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 故选：A ．【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知向量()()2,3,3,2a b ==，则a b -= ( )A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以2||(1)a b -=-=A【点评】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 4．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为() ( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】 ||2||b a =，且b b a ⊥-)(，∴0)(=⋅-b b a ，有0||2=-⋅b b a ，设a 与b 的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-⋅b b a θ，即0||cos ||222=-b b θ，0)1cos 2(||2=-θb ， 0||≠b ，∴21cos =θ，3πθ=，故a 与b的夹角为3π.5．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长0.618≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】B 【解析】 方法一：设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-215，根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DF AD ，故t DF λλ1+=；所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.0215≈-=λ代入可得t h 24.4≈.根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；即26<t λ，1051>+t λλ，将618.0215≈-=λ代入可得4240<<t ，所以08.1786.169<<h . 方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近.6．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-，则2(22213a a b a a b ⋅-=-⋅=+=），故选B ．7．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 【答案】A解析：如图所示EB ED DB =+，11()24ED AD AC AB ==+，11()22DB CB AB AC ==-， 111131442244EB AC AB AB AC AB AC ∴=++-=-．8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)设非零向量满足则 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】 A【解析】方法一:本题考查平面向量的运算．由题意得．,所以:,即．故选A ．方法二:由平面向量加减法的几何意义知:分别是以和为邻边所作平行四边形的两对角线,,所以该平行四边形为矩形,邻边垂直,即．【考点】向量的数量积【点评】应用平面几何性质以及向量的平行四边形法则可得:非零向量 ．9．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知向量1=22BA ⎛ ⎝⎭，，31=22BC ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A 【解析】由题意，易知1122222BA BC ⋅=⨯+=， 112BA ⎛== ，1BA ⎛== ABCDE,a b a b a b +=- a b ⊥a b = a b //a b >()()22a b a b a ba b +=-⇒+=-222222a b a b a b a b++⋅=+-⋅0a b ⋅=a b⊥,a b a b +-a b a b a b +=-a b ⊥,a b a b a b +=-a b ⇔⊥∴32cos 112BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．10．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算．11．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ( )A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)【答案】A分析：∵=（3,1），∴=(-7,-4)，故选A ． 考点：向量运算12．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设向量a ,b 满足||=10a b +，||=6a b -，则a b ⋅= ( )Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．5【答案】A解析：∵||10||=6a b a b ⎧+=⎪⎨-⎪⎩，∴2222210 12= 6 2a b a b a b a b ⎧++⋅=⎪⎨+-⋅⎪⎩◯◯．∴①﹣②：1a b ⋅=．∴选A ．考点：（１）向量的模的公式的应用；（２）向量的数量积运算。
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一、多选题1．题目文件丢失！2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 5．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 6．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C =B ．若sin 2sin 2A B =，则a b =C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C8．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +9．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为7610．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 11．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)13．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±14．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=15．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-二、平面向量及其应用选择题16．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．30017．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形19．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4321．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ． 外心22．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A 23B 3C 33D 4323．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且303aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°25．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+D ．1(62)2+26．题目文件丢失！27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形29．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1430．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．431．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8332．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ） A ．(,32⎤-∞+⎦B ．)32,⎡++∞⎣C ．(,32⎤-∞-⎦D ．)32,⎡-+∞⎣33．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．54B ．2C ．174D ．434．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 35．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．123B ．3C ．12D ．183【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．无 2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．5．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题.【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.6．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()223B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．7．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断.对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 8．AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确； 222222b =+=，故B 错误；22222cos ,21022a ba b a b ⋅<>===⋅+⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误.故选：AC【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.9．BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ，所以13y y =-，解得：y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误； 1(3ED =，(1,BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确. 故选：BCD【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.10．ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD【分析】 利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD .故选：ABD .【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.11．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意； 对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.12．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.13．ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误； 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.14．AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.15．CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确.故选：CD【点睛】解析：CD【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．【详解】解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13A =，所以1||||sin 302AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．17．C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．D【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=， 所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形.故选：D.本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．B【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a -⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.20．A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2C ，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-， 又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---，【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．21．D【分析】 根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】 ()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项：D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.22．A【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】AB =3==，222cos22AB BC AC B AB BC +-∴===⋅， 又因为角B 是三角形的内角，所以6B π=，90BAC ∴∠=，sin 7BAD ∠=，cos 7BAD ∴∠==，sin cos DAC BAD ∴∠=∠=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ⋅=∠， 在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C AD DAC⋅=∠，()1DC DC ⨯=，解得：DC =. 故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.23．C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．24．D【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=⎩,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=,所以GA GB GC =--, 代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以00b a a -=⎧-=,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角25．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴124AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．26．无27．D【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AMmAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n =，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.28．D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A AB B B B B B AB===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．29．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.30．B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=，所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2.故选：B .【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.31．C【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=， 同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 32．A【分析】 不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解.【详解】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形, (.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-= 因为a c b d T -+-≥恒成立， +=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM - 三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为2的一个圆. 又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离32MN 232T NM故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 33．C【分析】不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可.【详解】根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =， 则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，由()()20c a c b ⋅--=可得2220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，因为关于y 的方程有解，所以22sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥， 令cos (11)t t α=-≤≤，则2244(2)810x x t t t -+++-≤， 254254t t t t x +--++-≤≤ 54(13)t m m -=≤≤2254(2)178t t m ++---+=， 当2m =2254(2)171788t t m ++---+==，所以178x ≤，所以174b c ⋅≤， 所以b c ⋅的最大值为174， 故选：C.【点睛】 思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：（1）先根据题意，设出向量的坐标；（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.34．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.35．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】。
高考数学 试题解析分项之专题07 平面向量学生 文 试题
2021年高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题07 平面向量--学生版创作人：荧多莘日期：二O二二年1月17日一、选择题:1. (2021年高考卷文科3)假设向量AB=〔1,2〕，BC=〔3,4〕，那么AC=〔〕A 〔4,6〕B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)3.〔2021年高考卷文科1〕向量a = (1,—1)，b = (2,x).假设a ·b = 1,那么x =〔〕(A) —1 (B) —12(C)12(D)14. (2021年高考卷文科7)设a，b是两个非零向量〔〕|a+b|=|a|-|b|，那么a⊥b⊥b，那么|a+b|=|a|-|b||a+b|=|a|-|b|，那么存在实数λ，使得b=λaλ，使得b=λa，那么|a+b|=|a|-|b|7. (2021年高考卷文科3)向量a=〔x-1,2〕，b=〔2,1〕，那么a ⊥b 的充要条件是〔 〕 A.x=-12 B.x=-1 C.x=5 D.x=0 8.(2021年高考全国卷文科9)ABC ∆中，AB 边的高为CD ，假设CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，那么AD =〔 〕 〔A 〕1133a b - 〔B 〕2233a b - 〔C 〕3355a b - 〔D 〕4455a b - 二、填空题:11.〔2021年高考新课标全国卷文科15〕向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；那么_____b =12.〔2021年高考卷文科11〕设向量(1,2),(1,1),(2,).a m b m c m a c ==+=+若（）⊥b ,那么a =____________.13．(2021年高考卷文科13)正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么CB DE ⋅的值是________，DC DE ⋅的最大值为______。
16. (2021年高考卷文科15)如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .17. (2021年高考卷文科13)向量a =〔1,0〕，b =〔1,1〕，那么〔Ⅰ〕与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________；〔Ⅱ〕向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案
专题5.1 平面向量(全国卷文科数学专用)-5年高考真题与优质模拟题(原卷版+解析版)
专题5.1 平面向量A 组 5年高考真题1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A. BC B ．12AD C ． AD D ． 12BC 2．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= )AB ．2C ．D ．503．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 4．（2020全国Ⅱ文5）已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （）A ．b a 2+B ．b a +2C ．b a 2-D ．b a -25．（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 6．（2017•新课标Ⅱ，文4）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-则( ) A ．a b ⊥B ．||||a b =C ．//a bD ．||||a b >7．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________． 8．（2020全国Ⅰ文14）设向量()(),,,11124m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =． 9．（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos a <，b >= ．10．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____． 11．（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =． 12．（2017•新课标Ⅰ，文13）已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 13．（2017•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,3)a =-，(3,)b m =，且a b ⊥，则m = ． 14．(2016新课标，理13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =． 15．（2016•新课标Ⅰ，文13）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x = ．B 组 能力提升16．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）在平行四边形中，若交于点，则( )A ．B ．C ．D ．17．（2020届安徽省皖南八校高三第三次联考）在中，，是直线上一点，且，若则( )A ．B ．C ．D ．18．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知平面向量，满足，，且，则（ ） A ．3BC ．D ． 519．（2020届甘肃省兰州市高三诊断）已知非零向量，给定，使得，，则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．（2020届广东省东莞市高三模拟）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则（ ）A B ．C ．1D ．21．（2020届广东省汕头市高三第一次模拟）已知四边形ABCD 为平行四边形，，M 为CD 中点，，则（ ） A ．B ．C ．1D ．22．（2020届广东省湛江市模拟）已知，，则向量在方向上的投影为（ ）．A ．B ．CDABCD ,=DE EC AE BD F AF =2133AB AD +2133AB AD -1323AB AD -1233AB AD +ABC 5AC AD =E BD 2BE BD =AE mAB nAC =+m n +=2525-3535a b ()1,2a =-()3,b t =-()a ab ⊥+b =a b :p R λ∃∈λa b :q a b a b +=+p q a b a (1,1)b =a b +=3+32AB =3AD =2BN NC =AN MN ⋅=132343(2,6)a =-(3,1)b =a b +b 6-23．（2020届陕西省汉中市高三质检）在直角中，，，，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．24．（2020届湖南省怀化市高三第一次模拟）已知向量，，，则等于（ ） AB ．C ． 5D ．2525．（2020届江西省九江市高三第二次模拟）已知向量，满足，，，则与的夹角为________.专题5.1 平面向量A 组 5年高考真题1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB B. BC B ． 12AD C ． AD D ． 12BC 【答案】C【解析】=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= ) A B ．2 C ． D ．50【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ． 3．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】AABC ∆2C π∠=4AB =2AC =32AD AB =CD CB ⋅=18--18(1,2)a =5a b →→⋅=||a b →→-=||b →a b 1a =2b =()a ab ⊥-a b【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．4．（2020全国Ⅱ文5）已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （）A ．b a 2+B ．b a +2C ．b a 2-D ．b a -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ． A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意； B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．5．（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】()a b b -⊥，∴2()a b b a b b -=-2||||cos ,0a b a b b =<>-=，∴2||cos ,||||b a b a b <>=22||122||b b ==，,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=，故选B ．6．（2017•新课标Ⅱ，文4）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-则( ) A ．a b ⊥ B ．||||a b = C ．//a b D ．||||a b >【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，∴22()()a b a b +=-，即222222a b ab a b ab ++=+-，∴0a b =，∴a b ⊥，故选A ．7．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________． 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．8．（2020全国Ⅰ文14）设向量()(),,,11124m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =． 【答案】5【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果． 【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又∵(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， ∴1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5．9．（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos a <，b >= ．【答案】 【解析】由题知，2(8)264a b =⨯-+⨯=-，22||2222a =+=，22||(8)610b =-+=，cos a <，b >== 10．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____． 【答案】2【解析】b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 11．（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =． 【答案】2【解析】AE BD =1()()2AD AB AD AB +•-=221||||2AD AB -=4-2=2． 12．（2017•新课标Ⅰ，文13）已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 【答案】7【解析】向量(1,2)a =-，(,1)b m =，∴(1,3)a b m +=-+，向量a b +与a 垂直，()(1)(1)320a b a m ∴+=-+⨯-+⨯=，解得7m =．13．（2017•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,3)a =-，(3,)b m =，且a b ⊥，则m = ． 【答案】2【解析】向量(2,3)a =-，(3,)b m =，且a b ⊥，∴630a b m =-+=，解得2m =． 14．(2016新课标，理13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =．【答案】-2【解析】由|a +b |2=|a |2+|b |2得，b a •=0，所以02=+m ，解得2-=m ．15．（2016•新课标Ⅰ，文13）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x = ． 【答案】23- 【解析】a b ⊥，∴0a b =，即2(1)0x x ++=，∴23x =-．B 组 能力提升16．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）在平行四边形中，若交于点，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，∵，∴E 为CD 的中点， 设，且B ，F ，D 三点共线， ∴，解得， ∴． 故选D 。
专题03 平面向量-2023年高考数学真题题源解密(全国卷)(解析版)
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题03 平面向量目录一览①2023真题展现考向一平面向量的数量积的运算考向二平面向量的夹角②真题考查解读③近年真题对比考向一平面向量的数量积的运算考向二平面向量的模长考向三两个向量的垂直问题考向四两个向量的平行（共线）问题④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一平面向量的数量积的运算2．（2023·全国乙卷理数第12题）已知O e B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则A ．122+C ．12+【答案】A【详解】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知当点,A D 位于直线PO 同侧时，设则：PA PD ⋅ =||||cos PA PD α⎛⋅ ⎝ 2cos sin cos ααα=+1cos 22α+=考向二 平面向量的夹角由题知,1,OA OB OC ==AB 边上的高2,2OD AD =所以2CD CO OD =+=cos ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠ 【命题意图】【考查要点】【得分要点】考向一平面向量的数量积的运算考向二平面向量的模长考向三两个向量的垂直问题考向四两个向量的平行（共线）问题12．（2023·河南安阳三模）已知正方形故选：13．（2023·河南安阳三模）的动点，则DE DO ⋅的最小值为（A ．1B ．【答案】C所以，()(12DE DO λAB AD AB ⋅=-⋅ 11111121,2333333λλλ⎛⎫⎡⎤=--+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦二、填空题已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．。
高考平面向量及其应用专题及答案
一、多选题1．题目文件丢失！2．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，32sin a c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是23，则该三角形外接圆半径为4 4．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,236A a c π===,则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ．8+33 B ．83161+C ．8﹣33D ．83161-6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．2OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为-7．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e9．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等10．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-12．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-13．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-14．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 15．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-二、平面向量及其应用选择题16．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1619．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对21．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m的最小值为（）A．M B．N C．22D．122．在三角形ABC中，若三个内角,,A B C的对边分别是,,a b c，1a=，42c=，45B=︒，则sin C的值等于（）A．441B．45C．425D．4414123．已知点O是ABC内部一点，并且满足2350OA OB OC++=，OAC的面积为1S，ABC的面积为2S，则12SS=A．310B．38C．25D．42124．已知ABC所在平面内的一点P满足20PA PB PC++=，则::PAB PAC PBCS S S=△△△（）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶225．在ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确．．．的是（）A．23BG BE=B．2CG GF=C．12DG AG=D．0GA GB GC++=26．奔驰定理：已知O是ABC∆内的一点，BOC∆，AOC∆，AOB∆的面积分别为AS，BS，CS，则0A B CS OA S OB S OC⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC∆内的一点，A，B，C是ABC∆的三个内角，且点O满足OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅，则必有（）A．sin sin sin0A OAB OBC OC⋅+⋅+⋅=B．cos cos cos0A OAB OBC OC⋅+⋅+⋅=C．tan tan tan0A OAB OBC OC⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=27．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A．B ．63C ．12D．28．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心29．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．(8，－1)30．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 31．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形32．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1333．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）A ．3B ．3C ．2D 34．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 35．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A 23B 3C 33D 43【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．3．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin cos 22B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =， 由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．4．BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】 由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ sin sin c C A a ==而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.5．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.6．AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于解析：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos42A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．7．ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三解析：ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.8．ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.9．BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.10．ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 12．AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项对于C 选项，解析：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 13．CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确.故选：CD 【点睛】解析：CD【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.故选：BC【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.15．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．17．D【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=， 所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形.故选：D.【点睛】 本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．C【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可.【详解】 ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.19．D【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．20．B【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.21．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥， 所以()22++222M a b b c a c ==+=≥（当且仅当a b =时，取等号）， 当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号）， 当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.22．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a=，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a=，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =，由正弦定理得：sin sin b c B C=，所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．A【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON =， ∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 24．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
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一、多选题1．题目文件丢失！2．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 3．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥4．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-7．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=D ．0PA PB PC ++=8．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C9．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 11．在ABC 中，若30B =︒，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为2-13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 15．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同二、平面向量及其应用选择题16．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心21．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定22．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对23．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）A ．sin sin AB >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)226．题目文件丢失！27．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒=，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A 239B 2633C 833D ．2328．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．1029．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．430．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆83③ABC ∆的周长为43+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．432．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B 33C ．33D 333．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A ．12B ．1C ．22+ D ．234．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 35．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.3．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．4．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．ABD 【分析】A.根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.8．ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD.本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.10．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．11．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12．AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于解析：AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos42A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||42AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13．ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，解析：ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.14．AB 【分析】若，则反向，从而； 若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 17．C 【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 18．C 【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．D 【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=，所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形.故选：D. 【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．B 【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2||b ta -的最小值也为1，即222min244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=，所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 22．B 【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 23．C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 24．C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦ ()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．25．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE 62=-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA 2=BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°624=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒， ∴1622AE =+，∴AE 62=）， 故选:A ．【点睛】 本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．27．A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =， 又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin 3a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.28．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD = 可得，BC=10sin 45sin 303x ==. 则；所以塔AB 的高是米；故选B ．本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．29．D【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．30．C【分析】 由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．【详解】4c =，3C π∠=，可得42sin 3sin 3c R C π===，可得ABC ∆外接圆半径R =④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π=，3C π=，6B π=，可得2a b =，①可能成立；由4c =可得a =，b =4+；面积为12bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，可得a =，b =则三角形的周长为4a b c ++=+11sin sin 223S ab C π=== 则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C ．【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.31．B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=，所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．综上可得，正确的命题个数为2.故选：B .【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.33．B【分析】由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.【详解】解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，平方得22242a c b ac +=-，①又ABC 的面积为32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342ac ==，解得6ac =，代入①式可得222412a c b +=-， 由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=， 22241231232612b b b ---===⨯， 解得2423b =+， ∴13b =+.故选：B .【点睛】 本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 34．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.35．B【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 本题正确选项：B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.。
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向 量1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++r ra b b a +=+r r r r()()a b c a b c ++=++r r r r r rAC BC AB =+向量的 减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--r r()a b a b -=+-r r r rAB BA =-u u u r u u u r,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λr是一个向量,满足:||||||a a λλ=r r2.λ>0时, a a λr r与同向;λ<0时, a a λr r与异向;λ=0时,0a λ=r r . (,)a x y λλλ=r()()a a λμλμ=r r()a a a λμλμ+=+r r r ()a b a b λλλ+=+r r r r//a b a b λ⇔=r r r r 向 量 的 数 量 积a b •r r是一个数1.00a b ==r r r r或时， 0a b •=r r.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时， 1212a b x x y y •=+r ra b b a •=•r r r r()()()a b a b a b λλλ•=•=•r r r r r r()a b c a c b c +•=•+•r r r r r r r 2222||||=a a a x y =+r r u r即||||||a b a b •≤r r r r⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r ．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ．4.向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．5.向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr． ①a a λλ=r r；②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．6.向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r共线．7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
）1=λ 9.平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o or r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0．b ra rCBAa b C C -=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，a b a b ⋅=r r r r ；当a r 与b r反向时，a b a b ⋅=-r r r r ；22a a a a ⋅==r r r r或a =r ．③a b a b ⋅≤r r r r ．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ⋅=+rr ．若(),a x y =r ，则222a x y =+r ，或a =r ． 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=rr ．设a r、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，则cos a ba b θ⋅==rr r r ．⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）设 P 1P ρ=λPP 2ρ（或P 2P =λ1P P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则121211y y y x x x λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222y y y x x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 推广2λ=MB则λλ++=1（λ对应终点向量）．三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件．⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a ρ=()k h ,平移到P ‘()'',y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ky y h x x ''4．（1）正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则R CcB b A a 2sin sin sin ===． （2）余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 （3）正切定理：2tan 2tan B A B A b a b a -+=-+ （4）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r ．B①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c②S △=Pr③S △=abc/4R④S △=1/2sin C·ab=1/2ac·sin B=1/2cb·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b [注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr ，图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a图1 图2 图3 图4附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点．外心：三角形三边垂直平分线相交于一点． 内心：三角形三内角的平分线相交于一点． 垂心：三角形三边上的高相交于一点．旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．（5）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++]，则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ）②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）． 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =cb a abc b a ++=-+2（如图3）． （6）在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++．证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！（7）在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222．证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有ΛB BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=①BIABC DEF IABCDE Fr ar ar ab caa bc CDACB图5在△ABC 中，由余弦定理有ΛBCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简可得，DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222（斯德瓦定理）①若AD 是BC 上的中线，2222221a cb m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a -⋅+=2，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长．（8）△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B＞2π 附：证明：abc b a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C πππ+⇔-+⇔（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．)2=09-13高考真题09.7. 函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于 A.(,2)6π- B.(,2)6π C.(,2)6π-- D.(,2)6π- 【答案】D09.1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A. 3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b 【答案】B10.8. 已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r .若存在实m 使得AM AC mAM +=u u u u r u u u r u u u u r成立，则m =BA.2B.3C.4D.511.2． 若向量)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则b a +2与b a -的夹角等于A ．4π-B ．6π C ．4π D ．43π【详细解析】 分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出a ，b ，带入公式求夹角。