《直线的倾斜角和斜率》课件4 (北师大版必修2)

l1∥l2 k1＝k2.
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
y l2 l1
α1
α2 x
O
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且 分别为k1、k2，则有
l1⊥l2 k1k2=-1.
例题讲解 1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并 证明你的结论。

Q( x1 , y2 )
P2 ( x2 , y2 )

x
o
(4)
x
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2

即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )

P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1
o
一、直线的倾斜 角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
P2
P1 P1
P2
思考？
2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
0

y
P ( x1, y1 ) 1
P2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
x1 o
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，K=0
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
a
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： a 180 0
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y y y
a
锐角 直角
x x o o o x
a
x
o
零度角
钝角
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
例题分析
例2、在平面直角坐标系中， 画出经过原点且斜率分别 为1，-1，2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量 坡度 前进量
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
k AC BC AB BD
tan
k AD
AB
tan
A

前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 条直线的斜率。 用小写字母 k 表示，即：
3.1直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系 里
点用坐标表示: 直线如何表示呢？
y
y
p ( x, y )
l
x
o
思考？
一条直线的位置由 哪些条件确定呢？
x
o
直线的位 置
y
我们知道，两点确定一条直线。
一点能确定一条 直线的位置吗？
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度
x
y A3 A1 O A2 A4
l3
l1
x
l2
l4
例3,已知三点A(a,２），Ｂ（５，１），
Ｃ（－４，２a）在同一直线上，求a的值
3.1.2 定
y
两条直线平行与垂直的判
设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
l1 l2
α1
α2
O
x
结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有
tan 在RtP2QP中 1 P2Q y2 y1 tan x1 x2 PQ 1
0
思考？
1、当
p1 p 2 的位置对调时， k
值又如何呢？
y
P ( x1 , y1 ) 1
o
(3)
y
P ( x1 , y1 ) 1
Q( x1 , y2 )
P2 ( x2 , y2 )
5.对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、 k2，有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
6.对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2， 有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
作业：
P89 A组 3,
5
倾斜程度 倾斜角
倾斜角相同能确 定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3
y
l 2 l1
o
x
4、如何才能确定直线位置？
y
l
a
x o
过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
二、直线的的斜 率
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
o

x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角时， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180

Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o

x2
x1
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
90 , tan90 (不存在)

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
y2 y1 k x2 x1
o
x
答：不成立， 因为分母为0。
B 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 (b1 , b2 ) ，运 用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、 B的顺序有关吗？
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明。
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a 的正切值叫做这
k tan a

例如： 3 a 30 k tan30 3

a 45 k tan45 1 a 60 k tan60 3
当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)
b2 a2 k AB b1 a1
ห้องสมุดไป่ตู้

a2 b2 kBA a1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
y
o
l
y p
o
l
y
p o
y

p x
x
x
p o
l x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
k不存在
90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k<0
k=0
例 1
、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1