2.2.2对数函数及其性质课件 1

2．2.2 对数函数及其性质
• 一、某种细胞分裂时，每分裂一次，由一 个细胞分裂为2个，分裂x次后，得到的细 胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数表 y＝2x .反过来，如果要求这种细胞 达式为 经过多少次分裂，大约可以得到1万个， 10万个„„细胞，那么，分裂次数x就是 要得到的细胞个数y的函数，这个函数的 表达式为 x＝log2y .
1 1 (2)由logm5.4>logn5.4，可得log m>log n， 5.4 5.4 ∵y＝log5.4x是增函数，故有：
(1)m>1，n>1时，log5.4m>0，log5.4n>0， 1 1 ∵log m>log n，∴log5.4m<log5.4n，∴m<n. 5.4 5.4 (2)0<m<1,0<n<1时，log5.4m<0，log5.4n<0， 1 1 由log m>log n可得log5.4m<log5.4n，∴m<n. 5.4 5.4 (3)m>1,0<n<1时，log5.4m>0，log5.4n<0，则 1 > 恒成立，∴m>n. log5.4n 1 log5.4m
∴－ 2<a<－1或1<a< 2.
• (3)已知0<a<1，logam<logan<0，则 ( ) • A．1<n<m B．1<m<n • C．m<n<1 D．n<m<1 • [答案] A • [解析] 由0<a<1知，函数y＝logax为减函 数． • 又 由 logam<logan<loga1 ， 得 m>n>1 ， 故 应 选A.
• (2)考查对数函数y＝log2x和y＝log7x的图象， 如下图
• 当x>1时，y＝log2x的图象在y＝log7x图象 上方． • ∴当x＝5时，∴log25>log75.(此题也可用换 底公式来解．)
•
总结评述：(1)是利用对数函数的单调 性比较两个数的大小，底数范围未明确指 定时，要对底数进行讨论来比较两个对数 的大小，例如比较loga3和loga2的大小，要 讨论a>1和0<a<1两种情况． • 对于(3)就不能直接利用对数函数的单调性 比较大小，这时可在两个数中间插入一个 已知数(如1或0等)间接比较两个对数的大 小．
• 5．已知f(x)＝lg(x2－4)的定义域是集合M， g(x)＝lg(x＋2)＋lg(x－2)的定义域为集合N， 则M、N关系为 ( )
• • • •
[答案] B [解析] M＝{x|x2－4>0}＝{x|x>2或x<－2} N＝{x|x>2且x>－2}＝{x|x>2} 故NM，选B.
• 6．函数f(x)＝logax(0<a≠1)对于任意正实数 x、y都有 ( ) • A．f(xy)＝f(x)f(y) • B．f(xy)＝f(x)＋f(y) • C．f(x＋y)＝f(x)f(y) • D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y) • [答案] B
• 1．要牢记对数函数定义域的限制．
• 2．有关对数型数值的大小比较问题：
②真数相同时，(如 log32 与 log22)可利用图象比 • ①同底时(如log35与log34)用单调性． 3 较，或先判断符号．由正负区分大小，同号的再利用 logab 与 logba 互为倒数转化为同底的进行比较．
2
的单增区间为[－1,1)单减区间为(－3，－1]，值域为[－2， ＋∞)．
• 求函数y＝log2(3－2x－x2)的单调区间和值 域． • [ 解 析 ] y ＝ log2t 在 (0,4] 上 为 增 函 数 ， ∴y≤2. • 又当x∈(－3，－1]时，t＝3－2x－x2 为增 函数，x∈[－1,1)时，t＝3－2x－x2为减函 数， • ∴函数y＝log2(3－2x－x2)的增区间为(－3， －1]，减区间为[－1,1)； • 值域为(－∞，2]．
• [例1] 若指数函数y＝ax当x<0时有0<y<1， 那么在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y ＝logax的图象是 ( )
• 如右图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx， ③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、 c、d与1的大小关系是 ( ) • A．a>b>1>c>d • B．b>a>1>d>c • C．1>a>b>c>d • D．a>b>1>d>c
• [答案] B • [解析] 方法1：对数函数的图象分布与底 数a的关系是第一象限内逆时针a值由大到 小，故b>a>d>c，∴选B. • 方法2：在上图中画出直线y＝1，分别与 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ 交 于 A(a,1) 、 B(b,1) 、 C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b. • [点评] 两个单调性相同的对数函数，它 们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是 “底大图低”.
[例 5]
求函数 y＝
的定义域．
[错解]
要使函数有意义，应有 log1x－1≥0，
2
∴log1x≥1，
2
1 ∵y＝log x 为减函数，∴x≤ ， 2 2
1
1 ∴函数的定义域为(－∞， ]． 2
• [辨析] 解决有关对数式的问题时，一定要 牢记真数大于0，底数大于0且不等于1的限 制条件，本题中，若logx有意义应有x>0.
2 故所求的定义域为(3，1)∪(1，＋∞)．
• 求下列函数的定义域： • (1)y＝log2(x－1)2；
(2)y＝
.
[解析]
(1)要使函数有意义，须(x－1)2>0，
∴x≠1，∴定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
1－3x>0， (2)要使函数有意义，须 1－3x≠1.
，
1 ∴x< 且x≠0， 3 1 ∴定义域为{x∈R|x<3且x≠0}.
(4)y＝ log0.5(4x－3). (5)y＝log(x＋1)(16－4x)．
[解析] {x∈R|x≠0}
(1)由x2>0知x≠0，故原函数的定义域是
(2)由9－x2>0知9>x2，即－3<x<3，故原函数的定义 域是{x|－3<x<3}．
log x≠0 2 (3)由 x>0 x≠1 得 x>0.
• 二、阅读教材P70～71，回答下列问题： • 1．对数函数 • 形如 y＝logax(a>0且a≠1，x>0) 的函数叫做对数 函数．
4．当a>1时，y＝logax的图象是上升的，即函数为增函 数． 当0<a<1时，y＝logax的图象是下降的，即函数为减函 数．
[解析]
由条件知0<a2－1<1.∴1<a2<2，
• • • •
[例3] 比较下列各数的大小 (1)log0.52.7与log0.52.8； (2)log25与log75； (3)log35与log64.
• [分析] 对于(1)，由于底数相同，可用对 数函数单调性比较．对于(2)可根据在同一 坐标系中y＝log2x与y＝log3x的图象比较大 小．对于(3)，由于底数、真数都不相等， 就不能利用函数的单调性和图象比较大小， 这时可化同底或同真，也可借助中间量比 较大小． • [解析] (1)考查函数y＝log0.5x，因为它的 底数0<0.5<1，所以它在(0，＋∞)上是减函 数，于是：log0.52.7>log0.52.8.
• • • • •
二、填空题 7．求下列各式中a的取值范围： (1)loga3<logaπ，则a∈________； (2)log5π<log5a，则a∈________. [答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)
• • • •
三、解答题 8．求下列函数的定义域． 1 2； (1)y＝logax； (3)y＝log x 2 (2)y＝loga(9－x2)；
[解析]
由 3－2x－x2>0 得－3<x<1.
令 t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4∈(0,4]． (1)y＝log1t 在(0,4]上为减函数，∴y≥－2，
2
又当 x∈(－3， －1]时， t＝3－2x－x2 为增函数， x∈[－ 1,1)时， t＝3－2x－x2 为减函数， ∴函数 y＝log1(3－2x－x2)
• [例2] 求下列函数的定义域：
(2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
1 y＝ ； log2(x＋1)－3
[解析]
(1)要使函数有意义，则有 即x>－1且x≠7.
x＋1>0， log2(x＋1)－3≠0，
故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)． 3x－2>0， (2)要使函数有意义，则有2x－1>0， 2x－1≠1， 解得 2 x>3且x≠1.
• (2)比较下列各组值的大小，用“<”或“>” 号填空．< • ①log20.1> log20.3 < • ②log0.32 log0.33 • ③lg > lg • ④ln1.2 > lg • ⑤log23 log43
• 本节重点：对数函数的图象和性质，结合 函数图象认识、理解、记忆和运用对数函 数的性质． • 本节难点：理解和掌握对数函数的概念， 图象特征，区分0<a<1和a>1不同条件下的 性质．
[答案]
[解析]
A
∵0<x≤8，∴log1x≥－3，故选 A.