2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟新题重组：单元检测六 数列 含答案 精品
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟
单元检测五 平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018届邯郸摸底考试)在△ABC 中，若AB →＋AC →＝4AP →，则PB →等于( ) A.34AB →－14AC → B ．－34AB →＋14AC →C ．－14AB →＋34AC →D.14AB →－34AC → 2．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．菱形 B ．邻边不等的平行四边形 C ．梯形D ．不能构成平行四边形3．(2017·重庆调研测试)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(1，3), 若a ⊥b ，则|a |等于( ) A. 2 B. 3C ．2D ．44．(2018届周口摸底考试)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(λ，－3)，若a ∥b ，则实数λ的值为( ) A ．－32 B.32C ．6D ．－65．(2017·池州联考)已知向量a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝2，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π66．(2017·石嘴山三模)已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0 ，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.12 B.33C.32D.237．(2017·高台检测)已知平面向量a ，b ，满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.328．(2018·长春调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ＝－b9．(2017·遂宁三诊)已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ＝(3，－4)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( )A ．221B ．7C.61 D ．6110．(2017·西城区二模)设a ，b 是平面上的两个单位向量，a ·b ＝35.若m ∈R ，则|a ＋m b |的最小值是( )A.34B.43C.45D.5411．在直角△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB →，则λ的最大值是( ) A ．1 B.2－22C.22D. 212．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．化简：AB →＋CD →＋BC →＝________.14．已知△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝__________.15．在Rt △AOB 中，OA →·OB →＝0，|OA →|＝5，|OB →|＝25，AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若OE →·EA →＝34，则向量EA →在向量OD →上的射影为________．16．(2018届湖南益阳、湘潭调研)已知非零向量a ，b 满足：a·b ＝0，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为π3，则t 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)． (1)求a －2b 的坐标；(2)当k 为何值时，k a ＋b 与a －2b 共线．18．(12分)(2018·合肥调研)已知在△ABC 中，点A 的坐标为(1,5)，边BC 所在直线方程为x －2y ＝0，边BA 所在直线方程为2x －y ＋m ＝0.(1)求点B 的坐标；(2)求向量BA →在向量BC →方向上的射影．19.(12分)(2018·安庆模拟)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.20．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝OA →＋OB →，证明：四边形OACB 为菱形； (2)当两个向量4a ＋b 与a －4b 的模相等时，求角α.21.(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．22．(12分)(2018·马鞍山调研)在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM →与CN →交于点P ，且AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，求x ＋y 的值．答案精析1．A 2.B 3.C 4.C 5.C6．B [因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以OA →＋OB →＝－OC →，所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积为△ABC 面积的13，因为AB →·AC →＝2，所以|AB →|·|AC→|cos ∠BAC ＝2，因为∠BAC ＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝4， △ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为33，故选B.] 7．D 8.D 9.C10．C [依题意， |a |＝|b |＝1，则|a ＋m b |＝a 2＋2m a ·b ＋m 2b 2 ＝m 2＋65m ＋1＝⎝⎛⎭⎫m ＋352＋1625，所以当m ＝－35时，|a ＋m b |有最小值1625＝45，故选C.] 11．A [因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →， 故由CP →·AB →≥P A →·PB →可得2λ－1≥－2λ(1－λ)， 即2λ－1≥－2λ＋2λ2，即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ， 所以1－22≤λ≤1，故选A.] 12．A [由2OP →＝xOA →＋yOB →，得OP →＝x 2OA →＋y 2OB →，由P A →＝λAB →(λ∈R )得P ，A ，B 三点共线，所以x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0，故选A.]13.AD →解析 AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.14．－12解析由图可知，CE →＝12(CD →＋CA →)＝12⎝⎛⎭⎫23CB →－AC → ＝13(AB →－AC →)－12AC → ＝13AB →＋⎝⎛⎭⎫－56AC →. ∴m ＋n ＝13－56＝－12.15.12或32解析 由等面积法求得OD ＝2，设|ED →|＝x ，则|OE →|＝2－x ，因为OD ⊥AB ，所以OE →·AD →＝0，所以OE →·EA →＝OE →·(ED →＋DA →)＝OE →·ED →＝(2－|ED →|)|ED →|＝x (2－x )＝34，所以x ＝12或32.16.233解析 因为a·b ＝0，所以(a ＋b )2＝(a －b )2， 即|a ＋b |＝|a －b |.又|a ＋b |＝t |a |， 所以|a ＋b |＝|a －b |＝t |a |. 因为a ＋b 与a －b 的夹角为π3，所以(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝cos π3.整理得，|a |2－|b |2t 2|a |2＝12，即(2－t 2)|a |2＝2|b |2.又|a ＋b |＝t |a |，平方得，|a |2＋|b |2＝t 2|a |2. 所以|a |2＋(2－t 2)|a |22＝t 2|a |2，解得t 2＝43.由t >0，所以t ＝233.17．解 (1)a －2b ＝(1,2)－2(－3,2)＝(7，－2)， (2)k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －2b ＝(1,2)－2(－3,2)＝(7，－2)，∵k a ＋b 与a －2b 共线，∴7(2k ＋2)＝－2(k －3)，∴k ＝－12.18．解 (1)∵BA 所在直线2x －y ＋m ＝0过点A (1,5)， ∴2－5＋m ＝0即m ＝3，∴BA 所在直线方程为2x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，2x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，∴点B 坐标为(－2，－1)． (2)由几何关系得，设BA 所在直线倾斜角为α，BC 所在直线倾斜角为β，则tan α＝2，tan β＝12，tan ∠ABC ＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－121＋2×12＝34，∴cos ∠ABC ＝45.∴向量BA →在向量BC →方向上的射影为|BA →|cos ∠ABC ＝(－2－1)2＋(－1－5)2×45＝1255.19．解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.即a 与b 的夹角θ为π.20．(1)证明 ∵OC →＝OA →＋OB →，∴四边形OACB 为平行四边形， 又|OA →|＝|OB →|＝1，∴四边形OACB 为菱形．(2)解 由题意|4a ＋b |＝|a －4b |，得(4a ＋b )2＝(a －4b )2. 又由(1)知，a 2－b 2＝0，∴a·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，得tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或7π6.21．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )， c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.22．解 (1)在△ABC 中，AM →＝34AB →＋14AC →，4AM →＝3AB →＋AC →，3(AM →－AB →)＝AC →－AM →，即3BM →＝MC →，即点M 是线段BC 靠近B 点的四等分点. 故△ABM 与△ABC 的面积之比为14.(2)因为AM →＝34AB →＋14AC →，AM →∥AP →，AP →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，所以x ＝3y, 因为N 为AB 的中点，所以NP →＝AP →－AN →＝xAB →＋yAC →－12AB →＝⎝⎛⎭⎫x －12AB →＋yAC →， CP →＝AP →－AC →＝xAB →＋yAC →－AC → ＝xAB →＋(y －1)AC →，因为NP →∥CP →，所以⎝⎛⎭⎫x －12(y －1)＝xy ， 即2x ＋y ＝1，又x ＝3y ， 所以x ＝37，y ＝17，所以x ＋y ＝47.。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测六+数 列+Word版含答案
单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( )A ．138 B. 95 C ．23 D. 1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．4 2 B ．6 C ．7 D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( )A ．2n －1B.12n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N *)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35 C. 32 D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1(n ∈N *)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N *)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12na ，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N *.(1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4，a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10，又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52， 故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0，a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.] 7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d .所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d ＋1，因为d ，n ∈N *，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N *)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为单调减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ， S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a ()2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋4. (3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N *. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)21 ＝(4n－5)·2n＋2＋20－6n2－3n.2。
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟
单元检测七 不等式考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}2．不等式3＋5x －2x 2>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，3 C ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(3，＋∞) 3．(2018·开封模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则a ＋b 等于( ) A ．－6 B ．6C ．－25D ．254．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．25．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1或x >3}B ．{x |－3<x <－1或x >2}C ．{x |x <－3或－1<x <2}D ．{x |x <－3或x >2}6．(2018届永州一模)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD ⊥AB 于点C ，设AC ＝a ，BC ＝b ，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为( )A ．b ＋m a ＋m >b a (b >a >0，m >0)B ．a 2＋b 2≥22(a ＋b )(a >0，b >0) C ．2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D ．a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)7．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，238．(2018·烟台模拟)已知a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8 B ．4C ．2D ．19．(2017·黔东南州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( ) A ．43 B ．522C ．73D ．3 210．(2018届山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．611．若x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( ) A ．22B ． 2C ．2D ．1212．已知k ≥－1，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k ，且y ＋1x的最小值为k ，则k 的值为( ) A ．2－25B ．2±25C ．3－52D ．3±52第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2017·广东七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2，若目标函数z ＝x －y 的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b ＝________. 14．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y ≤x ，|x |＋|y |≤1，则z ＝x ＋y 的最大值为________．15．(2017·深圳调研)若函数f (x )＝x ＋mx －1(m 为大于0的常数)在(1，＋∞)上的最小值为3，则实数m 的值为________．16．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC→|AC →|，则△PBC 面积的最小值为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．18．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．19.(12分)(2018届河北衡水中学测试)已知函数f (x )＝log 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤116，4的值域是集合A ，关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x(a ∈R )的解集为B ，集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5－x x ＋1≥0，集合D ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}(m >0)．(1)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围； (2)若D ⊆C ，求实数m 的取值范围．20．(12分)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N ＋)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21.(12分)(2018届贵阳普通高中摸底)已知函数f (x )＝x ＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥6的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若a ，b 是正实数，且a ＋b ＝m ，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．22．(12分)(2017·衡水中学模拟)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ(弧度)的扇形景观水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1 000元．(1)当r 和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值； (2)若要求步道长为105米，则可设计出水池的最大面积是多少？答案精析1．B [原不等式化为|x |2－|x |－2>0， 因式分解得(|x |－2)(|x |＋1)>0，因为|x |＋1>0恒成立，所以|x |－2>0即|x |>2， 解得x <－2或x >2.]2．B [∵3＋5x －2x 2>0，∴2x 2－5x －3<0， 即(x －3)(2x ＋1)<0，解得－12<x <3.故选B.]3．D [∵ax 2－5x ＋b >0 的解集为{x |－3<x <2}，∴ax 2－5x ＋b ＝0的根为－3,2，且a <0， 即－3＋2＝5a ，－3×2＝ba，解得a ＝－5，b ＝30，a ＋b ＝25.故选D.] 4．C [作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x＋3y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，所以点A 的坐标为(4，－1)，所以z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C.]5．B [由不等式x 2＋x －6x ＋1>0得(x 2＋x －6)(x ＋1)>0，即(x －2)(x ＋1)(x ＋3)>0，则相应方程的根为－3，－1,2，由穿根法可得原不等式的解集为{x |－3<x <－1或x >2}．故选B.] 6．D [∵OD 是半圆的半径，AB ＝a ＋b 为圆的直径，∴OD ＝a ＋b2，由△ACD ∽△DCB 可知，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab .在Rt △ODC 中，OD >CD ，即a ＋b 2>ab ，当O 与C 重合时，a ＋b 2＝ab ，所以a ＋b2≥ab ，故选D.] 7．A [因为f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以要求f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的解集，等价于求解f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪13的解集， 等价于求|2x －1|<13的解集，解得13<x <23，故选A.]8．B [令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ， 因为y 1＝a x 与y 2＝log a x 的图像关于直线y ＝x 对称， 所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称， 则m ＋n ＝4，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4.]9．C [先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3画出可行域，而z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离|OP |，点P 为阴影中的动点，在点B 处时|OP |最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0， 可得B (3,8)，当在点B (3,8)时，z 最大，最大值为32＋82＝73，故选C.]10．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ＋1，y ≤3－x ，根据题意画出可行域，△ABC 区域及其边界为满足不等式组的所有点的集合，由z ＝|x －3y |得⎩⎨⎧y ＝13x ＋13z ，y >13x或⎩⎨⎧y ＝13x －13z ，y ≤13x ，平移直线y ＝13x ，结合图像可知当直线经过B 点或A 点时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ＝x ＋1，y ＝3－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即(1,2)为点B 的坐标，代入得z ＝|x －3y |＝5，又A 点坐标为(3,0)，此时z ＝|x －3y |＝3.故选C.]11．B [由题意x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，故有x ＋y ＋2xy ≤a 2(x ＋y )，即a 2－1≥2xy x ＋y ，由于2xy x ＋y ≤x ＋y x ＋y ＝1(当且仅当x ＝y 时，取等号)，即a 2－1≥1，解得a ≥2，则a 的最小值是2，故选B.] 12．C [画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k表示的平面区域如图，因为y ＋1x ＝y －(－1)x －0的几何意义是平面区域内的动点P (x ，y )与A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，3x －2y ＝6，得C ⎝⎛⎭⎫145，65，由平面区域的存在可得－1≤k <65， 所以结合图形可以看出点B (4－k ，k )与定点A (0，－1)连线的斜率最小，其最小值为⎝⎛⎭⎫y ＋1x min＝k －(－1)4－k ＝k ＋14－k＝k ， 解得k ＝3－52或3＋52(舍)，所以⎝⎛⎭⎫y ＋1x min＝3－52，故选C.]13．1解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，可知当直线y ＝x －z 经过点B (0,1)时，直线在y 轴的截距最大，z 最小，即b ＝0－1＝－1；当直线y ＝x －z 经过点A (2,0)时，直线在y 轴的截距最小，z 最大，即a ＝2－0＝2，所以a ＋b ＝1. 14．1解析 作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线y ＝－x 可得，目标函数在线段AB 上取得最大值，故目标函数的最大值为z ＝12＋12＝1.15．1解析 由x >1，可得x －1>0， 因为f (x )＝x －1＋mx －1＋1≥2m ＋1，当且仅当x －1＝mx －1，即x ＝1＋m 处取得最小值，且为1＋2m .所以2m ＋1＝3，即m ＝1. 16.32解析 以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则P (1,4)，C (t,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，1t ， 直线BC ：xt ＋ty ＝1，即直线BC ：x ＋t 2y －t ＝0，又点P 到直线BC 的距离d ＝|1＋4t 2－t |1＋t 4，所以S △PBC ＝12×|1＋4t 2－t |1＋t 4×t 2＋1t2＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时“＝”成立，所以△PBC 面积的最小值为32.17．解 设f (x )的最小值为g (a )，对称轴为x ＝－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时解集为∅；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥0，得－6≤a ≤2， 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围是[－7,2]．18．解 (1)因为不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)的解集为 {x |x <－3或x >－2}，所以x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0(k ≠0)的两根，所以k ＝－25.(2)若不等式的解集为R ，即kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，所以k <－66， 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－66. 19．解 (1)因为4>1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤116，4上是增加的， 所以f (x )min ＝log 4116＝－2，f (x )max ＝log 44＝1， 所以A ＝[－2,1]． 由⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x (a ∈R )， 可得2－(3x ＋a )>2x ，即－3x －a >x ，所以x <－a 4，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4. 又因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B .所以－a 4>1，解得a <－4， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－4)．(2)由5－x x ＋1≥0，解得－1<x ≤5，所以C ＝(－1,5]． 因为D ⊆C ，①当m ＋1≥2m －1，即0<m ≤2时，D ＝∅，满足D ⊆C ； ②当m ＋1<2m －1，即m >2时，D ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，2m －1≤5，解得－2<m ≤3， 又因为m >2，所以2<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为(0,3]．20．解 (1)由题意得10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000， 即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500，即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )⎝⎛⎭⎫1＋x 500万元，则 10⎝⎛⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )⎝⎛⎫1＋x 500， 所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －x 2500， 所以ax ≤x 2250＋1 000＋x ， 即a ≤x 250＋1 000x＋1恒成立， 因为x 250＋1 000x≥2x 250×1 000x ＝4， 当且仅当x 250＝1 000x，即x ＝500时等号成立， 所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．21．解 (1)f (x )≥6，即为x ＋|x ＋2|≥6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，x －x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x ＋x ＋2≥6， 解得x ≥2，∴M ＝{x |x ≥2}．(2)由(1)知m ＝2，即a ＋b ＝2，且a ，b 是正实数， ∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2a ＋1⎝⎛⎭⎫a ＋b 2b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋32⎝⎛⎭⎫a 2b ＋32＝52＋34⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥52＋34×2b a ×a b ＝4， 当且仅当a b ＝b a，即a ＝b ＝1时， ⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1取得最小值4. 22．解 (1)由题意，得弧长AB 为θr ，扇形面积为S ＝12θr 2， 则400×12θr 2＋1 000(2r ＋θr )≤24×104， 即θr 2＋5(2r ＋θr )≤1 200，因为θr ＋2r ≥22θr 2，所以θr 2＋102θr 2≤1 200， 令t ＝2θr 2，t >0，则t 22＋10t ≤1 200，解得0<t ≤40， 所以当且仅当θr ＝2r ＝40，即θ＝2，r ＝20时面积S ＝12θr 2的最大值为400. (2)由θr ＋2r ＝105，得θ＝105r－2<2π， θr ＝105－2r 代入可得(105－2r )r ＋5×105≤1 200，即2r 2－105r ＋675≥0，解得r ≤152或r ≥45， 又S ＝12θr 2＝12(105－2r )r ＝－r 2＋1052r ＝－⎝⎛⎭⎫r －10542＋105216，当r ≤152时，θ＝105r －2≥105152－2＝12>2π，与θ<2π不符， 因为S 在[45，＋∞)上是减少的，所以当r ＝45时，S max ＝337.5，此时θ＝13.。
高考数学考前提分仿真试题(六)理(最新整理)
2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2019届高考名校考前提分仿真卷理 科 数 学（六）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效.3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·柳州模拟]已知集合(){},1A x y y x ==-，(){},25B x y y x ==-+,则A B =（ ） A ．(){}2,1B ．{}2,1C ．(){}1,2D ．{}1,5-2．［2019·合肥一中］设1i1iz +=-,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅=（ ）A ．1-B ．iC ．1D ．43．[2019·皖江名校]2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%,该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少； ③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．［2019·河南联考]已知2cos α=，则()cos π2α-=（ ） A ．32-B ．34-C ．32D ．345．［2019·汕头期末]已知x ,y 满足的束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则22z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．［2019·广大附中］已知函数()()()()sin 2cos 20πf x x a x ϕϕϕ=+++<<的最大值为2，且满足()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π37．[2019·马鞍山一模］函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．［2019·自贡一诊]如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为63,36，则输出的a =（ ）A ．3B ．6C ．9D ．189．[2019·河南联考]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ,且与直线1BD 垂直,平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A ．3B ．6 C ．13D ．2210．［2019·东莞期末] 圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32B ．8:27C ．9:22D ．9:2811．［2019·衡水金卷］已知点(),4P n 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，如12PF F △的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为( ）A ．57B ．23C ．35D ．4512．[2019·吕梁一模］函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2212a -<≤- B ．21a -<≤- C ．31a -<≤-D ．ln3ln 23232a -<≤-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·九江一模]已知1=a ，()+⊥a b a ，则⋅=a b ______．14．[2019·常州期末］已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________．15．［2019·广州外国语]已知ABC △的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ,c ，若π3A =，7a =且ABC △的面积为33，则ABC △的周长为______． 16．［2019·宿州调研]设函数()22f x ax x=-,若对任意()1,0x ∈-∞，总存在[)22,x ∈+∞,使得()()21f x f x ≤，则实数a 的取值范围_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)[2019·河南一诊］已知数列{}n a 满足13212122222n n n a a a a +-++++=-()*n ∈N ，4log n n b a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）[2019·马鞍山一模］田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:田忌的马获胜概率公子的马上等马中等马下等马上等马 0.5 0.81中等马 0.2 0.50.9下等马0.05 0.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；(2)如果比赛约定,只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．19．（12分）[2019·济南期末］如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ,E 为AD 的中点，AC 交BE 于点F ，G 为PCD △的重心．（1）求证：FG∥平面PAD；（2）若PA AD=,点H在线段PD上，且2PH HD=,求二面角H FG C--的余弦值．20．（12分）［2019·永州二模］已知抛物线()2:20E x py p=>的焦点为F,点P在抛物线E 上，点P的纵坐标为8，且9PF=．（1）求抛物线E的方程；（2）若点M是抛物线E准线上的任意一点，过点M作直线n与抛物线E相切于点N，证明：FM FN⊥．21．（12分）[2019·茂名一模］已知函数()()1lnf x x aax=+∈R在1x=处的切线与直线210x y-+=平行．（1）求实数a的值,并判断函数()f x的单调性；(2）若函数()f x m=有两个零点1x，2x，且12x x<，求证：121x x+>．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】[2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值．23．(10分）【选修4—5：不等式选讲】 ［2019·石室中学］已知函数()21f x x a =++， （1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2)若存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得不等式()22f x b x a ≥++的解集非空，求b 的取值范围．绝密 ★ 启用前【最后十套】2019届高考名校考前提分仿真卷理科数学答案(六）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】由题意125y x y x =-⎧⎨=-+⎩,解得2x =,1y =,故(){}2,1AB =．故选A ．2．【答案】C【解析】()()()21i 1ii 1i 1i 1i z ++===--+,则i z =-，故()i i 1z z ⋅=⋅-=,故选C ．3．【答案】B【解析】2017年的快递业务总数为242.49489.61200++=万件， 故2018年的快递业务总数为1200 1.251500⨯=万件，故①正确．由此2018年9~12月同城业务量完成件数为150020%300⨯=万件，比2017年提升，故②错误．2018年9～12月国际及港澳台业务量1500 1.4%21⨯=万件，219.6 2.1875÷=, 故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%．故③正确． 综上所述，正确的个数为2个，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意，利用诱导公式求得()2223cos π2cos212cos 124ααα⎛⎫-=-=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,故选D ． 5．【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线22z x y =-+过点()1,0A 时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值4．故选D ． 6．【答案】D【解析】∵函数()()()()sin 2cos 20πf x x a x ϕϕϕ=+++<<的最大值为2,212a +，∴3a =，∴()()()πsin 2322sin 23f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+±+=+± ⎪⎝⎭,又∵()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π4x =是函数()f x 的一条对称轴， ∴()πππ2π432k k ϕ⨯+±=+∈Z ，∴()ππ3k k ϕ=±+∈Z , 又∵0πϕ<<，∴π3ϕ=或2π3．故选D ． 7．【答案】D【解析】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==,则0x →时，sin 1xx→,()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【答案】C【解析】由63a =，36b =，满足a b >，则a 变为633627-=，由a b <，则b 变为36279-=，由b a <，则27918a =-=，由b a <，则1899b =-=， 由9a b ==，退出循环，则输出的a 的值为9．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知,点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，∴直线m 与1A C 所成角即为直线AC 与直线1A C 所成的角，即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角, 在直角1ACA △中，11126cos 3AA ACA A C ∠===,即m 与1A C 所成角的余弦值为6，故选B ． 10．【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ,圆锥母线长为l , 则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lrr ==， 则母线2l r =，圆锥的高为223h l r r =-=，则圆锥的体积为2313ππ3r h r =， 设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，3OD h R r R =-=-,BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+, 即)2223R r r R =+-，展开整理得3R =，∴外接球的体积为33344ππ333393R =333933293r=．故选A ． 11．【答案】C【解析】由椭圆的定义可知12PF F △的周长为22a c +，设三角形12PF F △内切圆半径为r ，∴12PF F △的面积()1122222P S a c r y c =+=⋅，整理得()P a c r y c +⋅=⋅,又4P y =，32r =，故得53c a =,∴椭圆C 的离心率为35c e a ==，故选C ． 12．【答案】D【解析】函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解,即ln xa x x≤-恰有两个整数解,令()ln x g x x x =-，得()221ln x x g x x--'=，令()21ln h x x x =--,易知()h x 为减函数． 当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减．()11g =-，()ln 2222g =-，()ln3333g =-． 由题意可得：()()32g a g <≤，∴ln3ln 23232a -<≤-．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1-【解析】由()+⊥a b a 得()0+⋅=a b a ，得20+⋅=a a b ,∴1⋅=-a b ，故答案为1-． 14．【答案】3y x =±【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,2ca =，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，可得2c =，∴1a =， 由2223b c a =-=，则3b =,又双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线C 的渐近线方程为3y x =±．故答案为3y x =±． 15．【答案】57+【解析】∵π3A =，7a =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：227b c bc =+-； 又ABC △的面积为33，∴133sin 2bc A =，∴6bc =,∴5b c +=，∴周长为5a b c ++=．故答案为5 16．【答案】[]0,1【解析】由题意,对任意()1,0x ∈-∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()21f x f x ≤， 即当任意()1,0x ∈-∞，总存在[)22,x ∈+∞,使得()()21min min f x f x ≤, 当0a =时,()2f x x =,当()1,0x ∈-∞时，函数()()1120,f x x =-∈+∞， 当[)22,x ∈+∞,此时()(]2220,1f x x =∈,符合题意; 当0a <时，0x <时，()220f x ax x=-≥，此时最小值为0, 而当2x ≥时，()22f x ax x =-的导数为()3222222ax f x ax x x--=--=',可得x 为极小值点，可得()f x 的最小值为()214f a =-或f ,均大于0，不满足题意;当0a >时，0x >时，()22f x ax x =-的最小值为0或()214f a =-，当0x <时,()22f x ax x =-+的导数为()3222222ax f x ax x x ='+=+，可得x =,且为最小值点,可得()fx的最小值为f ⎛= ⎝，由题意可得14a -，解得01a <≤， 综上可得实数a 的范围是[]0,1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）212n n a -=；（2）421n nT n =+．【解析】(1）∵13121221++222222n n n n n a a a a a +---+++=-,∴()312122+222222nn n a a a a n --+++=-≥，两式相减得112222n n n n n a+-=-=，∴()2122n n a n -=≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴()21*2n n a n -=∈N ．∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=．（2)由（1）得21421log 22n n n b --==，∴()()11411221212121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴1223111111111213352121n n n T b b b b b b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14212121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 18．【答案】（1）0.72；（2）见解析．【解析】(1)记事件A ：按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜，对于事件A ，三场比赛中，由于第三场必输,则前两次比赛中田忌都胜， 因此，()0.80.90.72P A =⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ， 则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ,则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=． 随机变量ξ的分布列如下表所示：∴119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 19．【答案】（1）见解析;（2)． 【解析】（1)证明：∵AE BC ∥，∴AEF CBF △∽△， ∵E 为AD 中点,∴2CF AF =，连接CG 并延长，交PD 于M ，连接AM ,∵G 为PCD △的重心，∴M 为PD 的中点，且2CG GM =，∴FG AM ∥， ∵AM ⊂平面PAD ，FG ⊄平面PAD ，∴FG ∥平面PAD ．(2）分别以AB ,AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设3PA AD ==,则()3,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ，()1,1,0F ， ∵2PH HD =，∴()0,2,1H ,∵G 为PCD △的重心,∴()1,2,1G ，设平面FGC 的法向量()1111,,x y z =n ,()2,2,0FC =，()0,1,1FG =， 则1100FC FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴2200x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y =-，1z =，∴()11,1,1=-n ．设平面FGH 的法向量()2222,,x y z =n ，()1,1,1FH =-，则2200FH FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴00x y z y z -++=⎧⎨+=⎩，则0x =，取1y =，则1z =-，∴()20,1,1=-n ． ∴1212126,cos ⋅==n n n n n n 由图可知，该二面角为钝角，∴二面角H FG C --的余弦值为6． 20．【答案】（1)24x y =;（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为2py =-,又点P 的纵坐标为8，且9PF =,于是892p+=，∴2p =,故抛物线E 的方程为24x y =．（2）设点(),1M m -,()00,N x y ，00x ≠，∵214y x =，∴1'2y x =, 切线方程为()00012y y x x x -=-，即2001124y x x x =-,令1y =-，可解得20042x m x -=，∴2004,12x M x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭, 又()0,1F ，∴200422x FM x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()00,1FN x y =- ∴222000000442220222x x x FM FN x y x --⋅=⋅-+=-+=．∴FM FN ⊥． 21．【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；（2）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a=-='，解得2a =，∴()1ln 2f x x x =+，∴()22112122x f x x x x-='=-，令()0f x '<，解得102x <<,故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；令()0f x '>,解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增．(2)由1x ，2x 为函数()f x m =的两个零点，得111ln 2x m x +=,221ln 2x m x +=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=, 即112212ln 2x x xx x x -=，1212122ln x x x x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=,2121212lnxx x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<．则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=,2019年高考数学考前提分仿真试题（六）理构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<， 则()()22211210t h t tt t -=+-=>',∴函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t ->．故命题121x x +>得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．22．【答案】（1)2212x y +=;（2）1122MA MB +=．【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+,即222sin 2ρρθ+=， ∵222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=．（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=,∴1222cos 1sin t t αα+=-+，12211sin t t α-⋅=+, ∴121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-+===⋅⋅-⋅, ∵()()2212121222224cos 42241sin 1sin 1sin t t t t t t αααα-=+-=+=+++，∴2222111sin 2211sin MA MBαα++==+． 23．【答案】（1)133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；（2）13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】当2a =时，函数()221f x x =++，解不等式()2f x x +<化为2212x x +++<,即221x x +<-，∴1221x x x -<+<-，解得133x -<<-,∴不等式的解集为133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．由()22f x b x a ≥++，得2221b x a x a ≤+-++，设()2221g x x a x a =+-++，则不等式的解集非空，等价于()max b g x ≤； 由()()()222211g x x a x a a a ≤+-++=-+，∴21b a a ≤-+；由题意知存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得上式成立； 而函数()21h a a a =-+在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为11339h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴139b ≤；即b 的取值范围是13,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦．。
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟
单元检测九 平面解析几何考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α等于( )A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |等于( ) A ．895B ．175C ．135D ．1153．(2018·中山模拟)当θ变化时，直线x cos θ＋y sin θ＝6所具有的性质是( ) A ．斜率不变 B ．恒过定点 C ．与定圆相切D ．不能确定4．(2017·菏泽期末)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为( ) A ．－45B ．12C ．85D ．155．(2017·河北衡水中学调研)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为( )A ．3B ．2C ． 5D ． 36．M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若|MF |＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO 等于( ) A ．15° B ．30° C ．45°D ．60°7．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( ) A ．6π B ．36π C ．7πD ．49π8．(2017·安徽江淮十校联考)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A ．1e 1＋1e 2＝2B ．1e 1－1e 2＝2C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝29．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( ) A ．13 B ．23C ．223D ．2310．(2017·广西柳州、钦州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左焦点作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫12，2D ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 11．(2017·吉林省实验中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，32 B ．(1,2) C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 等于( ) A ．22 B ．32C ．23 D ．33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．动点P 到直线x ＋4＝0的距离减去它到点M (2,0)的距离之差等于2，则点P 的轨迹是__________． 14．直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长等于________．15．(2017·黄山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________．16．(2017·宜宾诊断)设直线l ：3x ＋4y ＋4＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则r 的取值范围是____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于点B ，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．18．(12分)(2018·河北衡水中学模拟)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．19.(12分)(2017·安徽巢湖柘皋中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线．20．(12分)(2018·安徽江淮十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆C ′：x 26＋y 25＝1的一个焦点重合，点A (x 0，2)在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点． (1)求抛物线C 的方程及|AF |的值；(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF →＝λFN →，|BM |2＋|BN |2＝40，求实数λ的值．21.(12分)(2018·石家庄质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．22．(12分)(2017·武汉武昌区调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点． (1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．答案精析1．C [因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3， 即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3，故选C.]2．C [直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25.∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25. ∴|AB |＝ (－1－0)2＋⎝⎛⎭⎫25＋22＝135.故选C.]3．C [直线x cos θ＋y sin θ＝6到原点(0,0)的距离d ＝6cos 2θ＋sin 2θ＝6，则直线x cos θ＋y sin θ＝6必与圆x 2＋y 2＝36相切．故选C.]4．C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*)联立直线和圆的方程，消去y 得 5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85.]5．B [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1， 即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝ca ＝1＋31＝2，故选B.]6．C [设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于|MN |＝|MF |＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°，故选C.]7．A [由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)， ∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形， ∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为 R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7，∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π. 故选A.]8．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c10－2c ，所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]9．C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)， 由|AF |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，②x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223，故选C.]10．D [根据题意过双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <|AB |＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a >|AB |＝4，并且2a <4，解得0<a <12.综上，故选D.] 11．D [AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a ，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)，故选D.]12．A [设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以ab a 2＋b2＝63c . 又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，所以e ＝22，故选A.]13．抛物线解析 由题意知，动点P 到点M (2,0)的距离等于该点到直线x ＝－2的距离，因此动点P 的轨迹是抛物线． 14．4 5解析 由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5. 15．4 5解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2，0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得：x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455，所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5.16．[2，＋∞)解析 由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2， 所以r 的取值范围是[2，＋∞)．17．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)， 因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3， 所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )， 因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， 所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，② 由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝|CA |＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9. 综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0， 圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)， 即⎩⎨⎧y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3，解得⎩⎨⎧x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小， 故|PB |＋|PQ |的最小值为|B ′C |－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12，故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.18．(1)解 设点M 的坐标为(x ，y )， 点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02，因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，(*)把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程(*)，得x 24＋y 2＝1， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 方法一 由题意知直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34.所以k 1k 2＝－34为定值．方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 易知Δ＝48k 2＋16>0， x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34， 所以k 1k 2＝－34为定值．19．(1)解 由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22，所以12＋12b 2＝1，解得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0， 所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率． 所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2，又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．20．解 (1)由题意，椭圆C ′：x 26＋y 25＝1中，a 2＝6，b 2＝5，故c 2＝a 2－b 2＝1，故F (1,0)，故p2＝1，则2p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .将A (x 0,2)代入y 2＝4x ，解得x 0＝1，故|AF |＝1＋p2＝2.(2)设l ：x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，①且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1， 又MF →＝λFN →，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即y 1＝－λy 2，代入①得⎩⎪⎨⎪⎧－λy 22＝－4，(1－λ)y 2＝4m ，消去y 2得4m 2＝λ＋1λ－2，B (－1,0)，则BM →＝(x 1＋1，y 1)，BN →＝(x 2＋1，y 2)， 则|BM →|2＋|BN →|2＝BM →2＋BN →2＝(x 1＋1)2＋y 21＋(x 2＋1)2＋y 22 ＝x 21＋x 22＋2(x 1＋x 2)＋2＋y 21＋y 22＝(my 1＋1)2＋(my 2＋1)2＋2(my 1＋my 2＋2)＋2＋y 21＋y 22＝(m 2＋1)(y 21＋y 22)＋4m (y 1＋y 2)＋8＝(m 2＋1)(16m 2＋8)＋4m ·4m ＋8＝16m 4＋40m 2＋16，令16m 4＋40m 2＋16＝40，解得m 2＝12，故λ＝2±3. 21．解 (1)设T (x ，y )，则直线TA 的斜率为k 1＝y x ＋4， 直线TB 的斜率为k 2＝y x －4. 于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34， 整理得x 216＋y 212＝1. (2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0，Δ＝(16k )2－4(4k 2＋3)×(－32)>0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3， 从而OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3， 所以－20<QP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523(当k ＝0时取等号)， 当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20.综上所述，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为 ⎣⎡⎦⎤－20，－523.22.解 (1)由题意，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2， y ＝kx (k >0)，如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2， x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2， 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2， 由点D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝38或k ＝23. (2)根据点到直线的距离公式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)， 又|AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12×5×4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2＝21＋114k ＋k ≤22， 当且仅当4k 2＝1，即k ＝12时，上式取等号， 所以S 的最大值为2 2.。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测一+集合与常用逻辑用语
单元检测一 集合与常用逻辑用语考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．[－1,1]D ．{1}2．(2018届吉林省百校联盟联考)已知集合A ＝{x |3x 2－4x ＋1≤0}，B ＝{x |y ＝4x －3}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎦⎤34，1 B.⎣⎡⎦⎤34，1 C.⎣⎡⎦⎤13，34D.⎣⎡⎭⎫13，343．已知原命题：已知ab >0，若a >b ，则1a <1b ，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．44．(2018·青岛模拟)已知集合M ＝{x |1≤x ≤2}，N ＝{x |x >a ＋3或x <a ＋1}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．(2018届遵义中学月考)“a ≤1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[4，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件7．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．a <2 B ．a ≤2 C ．a >2D ．a ≥28．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则 p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤19．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]10．(2018·泰安模拟)已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i ，则下列为真命题的是( )A ．(p )∧(q )B ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．p ∧q11．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)12．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则 p ：对∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018届冀州中学月考)用列举法表示集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z ＝________.14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是________．15．已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若命题q 是命题p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______． 16．下列4个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是sin A >12的充分不必要条件；④∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0. 其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018届山西省夏县中学月考)已知A ＝{x |x 2≥9}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －7x ＋1≤0，C ＝{x ||x －2|<4}． (1)求A ∪C ；(2)若U ＝R ，求A ∩∁U (B ∩C )．18．(12分)设全集U ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁U M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁U M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．19.(12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x ＋1＝0无实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．20．(12分)命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)甲，乙命题至少有一个是真命题；(2)甲，乙命题中有且只有一个是真命题．21.(12分)已知命题：“∃x0∈{x|－1<x<1}，使等式x20－x0－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．22．(12分)已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．(1)若(P∪S)⊆P，求实数m的取值范围；(2)是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.B 9.B 10．C [z ＝5－i＋i ＝6i ，所以命题p 为真； 复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，虚部为－15，所以命题q 为假．故(p )∧(q )为假；(p )∧q 为假； p ∧(q )为真；p ∧q 为假，故选C.]11．B [集合A ＝{x |x <－3或x >1}，设f (x )＝x 2－2ax －1≤0 (a >0)，则由题意得，f (2)≤0且f (3)>0，即4－4a －1≤0，且9－6a －1>0，∴34≤a <43，∴实数a 的取值范围是34≤a <43.]12．D [由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22等价于4xy ≥(x ＋y )2等价于4xy ≥x 2＋y 2＋2xy 等价于(x －y )2≤0等价于x ＝y 知C 正确；对于D ，命题p 或q 为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．] 13．{－3，－2,0,1} 14．3解析 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．15．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 q 是p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意，得p ：－1≤x ≤4，q ：(x －3＋m )·(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤－1，3＋m >4，解得m ≥4；当m <0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋m <－1，3－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≤－1，3－m >4，解得m ≤－4. 综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 16．②④解析 当φ＝π2时，f (x )＝tan(x ＋φ)是奇函数，所以①是假命题；②中命题是“如果x 2＋x －6<0，则x ≤2”，是真命题；在△ABC 中，若A ＝160°，sin A <12，所以③是假命题；当x 0＝2时，x 20＋x 0－2>0成立，所以④是真命题．故真命题的序号是②④. 17．解 A ＝{x |x ≥3或x ≤－3}，B ＝{x |－1<x ≤7}． 又由|x －2|<4，得－2<x <6，∴C ＝{x |－2<x <6}． (1)A ∪C ＝{x |x ≤－3或x >－2}． (2)∵U ＝R ，B ∩C ＝{x |－1<x <6}， ∴∁U (B ∩C )＝{x |x ≤－1或x ≥6}， ∴A ∩∁U (B ∩C )＝{x |x ≥6或x ≤－3}． 18．解 (1)因为M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，所以∁U M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，所以(∁U M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁U M )∩N ＝{2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 所以B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，由a －1>5－a ，解得a >3；当B ＝{2}时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}． 19．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2. 即p 为真时，m >2，p 为假时，m ≤2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3. 即q 为真时，1<m <3，q 为假时，m ≤1或m ≥3. ∵p ∨q 为真，∴p ，q 至少有一个为真． 又∵p ∧q 为假，∴p ，q 至少有一个为假． ∴p ，q 两命题为一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得1<m ≤2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m ≤2}． 20．解 当命题甲为真命题时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0， 即a >13或a <－1.当命题乙为真命题时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)当甲，乙两个命题中至少有一个是真命题时， a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a <－12或a >13. (2)甲，乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，13<a ≤1；甲假乙真时，－1≤a <－12.所以甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a ≤1或－1≤a <－12. 21．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解， 因为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域是⎣⎡⎭⎫－14，2， 所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－14≤m <2. (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则2－a <－14且a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ， 此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则a <－14且2－a ≥2，解得a <－14.综上，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >94或a <－14. 22．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝[－2,10]． 由|x －1|≤m ，得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m,1＋m ]．(1)要使(P ∪S )⊆P ，则S ⊆P . ①若S ＝∅，则m <0； ②若S ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.综合①②可知，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (2)由“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，知S ＝P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，此方程组无解，所以这样的实数m 不存在．。
2019版高考数学浙江专版单元提分练集全国各地市模拟新
滚动检测六考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共扼复数，若z ＝1－2i ，则复数z ＋i·z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．向量a ＝(m,1)，b ＝(n,1)，则mn ＝1是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝26，sin 2A ＝sin B ，则c 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．2或44．(2018届温州一模)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )5．已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( ) A.25 5 B ．2 C. 5D ．2 56．已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．48＋4πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．72＋6π8．(2018届温州“十五校联合体”联考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是( ) A ．m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ⇒m ∥n B ．α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β C ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n D ．m ∥α，n ⊂α⇒m ∥n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p (S n －4n )≤3成立，则实数p 的取值范围是( ) A ．(2,3) B ．[2,3] C.⎣⎡⎦⎤2，92 D.⎣⎡⎭⎫2，92 10．已知函数f (x )＝(ax ＋ln x )(x －ln x )－x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3的值为( )A ．1－aB ．a －1C ．－1D ．1第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2017·金华十校模拟)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,3,5}，T ＝{2,3,6}，则S ∩(∁U T )＝__________，集合S 共有__________个子集．12．(2018届浙江省91高中联盟联考)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (2)＝__________，函数g (x )＝f (x )－ax ＋2a 过定点________．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝__________，S 7＝__________. 14．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则ω＝__________，φ＝__________.15．(2017·宁波考试)已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长是________．16．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．17．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M －ABC 中，MA ⊥平面ABC ，MA ＝AB ＝BC ＝2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为________． 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c ＝cos B cos C .(1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．19.(15分)(2017·温州十校联考)某种空气清洁剂在实验效果时，发现空气含剂量y (μg/m 3)与时间x 之间存在函数关系，其变化的图象如图所示．其中的曲线部分是某函数y ＝log 12(x ＋b )的图象(虚线部分为曲线的延展)．图中表明，喷洒1 h 后，空气含剂量最高，达到3μg/m 3，以后逐步减小．(1)求出空气含剂量y 关于时间x 的函数表达式及定义域；(2)实验证明，当空气含剂量不低于2μg/m 3时，空气清洁的效果最佳．求一次喷洒的“最佳效果”持续时间．20．(15分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB 1⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝AB 1＝2.(1)证明：平面C 1CBB 1⊥平面A 1ABB 1；(2)若点P 为A 1C 1的中点，求直线BP 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值．21.(15分)已知a≠0，f(x)＝a ln x＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．22．(15分)已知数列{a n}满足a1＝2，点(a n，a n＋1)在直线y＝3x＋2上．数列{b n}满足b1＝2，b n＋1 a n＋1＝1a1＋1a2＋…＋1a n.(1)求b2的值；(2)求证数列{a n＋1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(3)求证：2－12·3n－1≤⎝⎛⎭⎫1＋1b1⎝⎛⎭⎫1＋1b2…⎝⎛⎭⎫1＋1b n<3316.答案精析1．C [因为z ＋i·z ＝1－2i ＋i(1＋2i)＝1－2i －2＋i ＝－1－i ，故其对应点在第三象限．] 2．A [若mn ＝1，则m ＝n ，则由向量相等的定义显然有a ＝b ；若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，不能推出mn＝1，故选A.]3．D [由sin 2A ＝sin B ，得2sin A cos A ＝sin B ， 由正弦定理得2×4cos A ＝26，所以cos A ＝64， 再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得c ＝2或c ＝4，故选D.]4．C [由导函数的图象可知，函数y ＝f (x )先减再增，可排除选项A ，B ，又知f ′(x )＝0的根为正，即y ＝f (x )的极值点为正，所以可排除D ，故选C.]5．C [显然B ，D 在以AC 为直径的圆上，所以以B 为原点，BA ，BC 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，可知|BD |最大值为直径，所以|BD |max ＝5，故选C.] 6．B [原式可化为(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值2.故选B.] 7．D [根据三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱，如图所示：则该几何体的表面积为14×2π×2×4＋2×2×4＋2×4×4＋⎝⎛⎭⎫14π×22＋4×4－2×2×2＝6π＋72.故选D.]8．A [对于A ，根据线面平行的性质可知m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ⇒m ∥n ，故A 对； 对于B ，α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β或n ∥β或n ⊂β， 故B 错；对于C ，α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥n 或m ∥n 或m 与n 异面，故C 错； 对于D ，m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故D 错， 故选A.]9．B [S n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－120＋4＋⎝⎛⎭⎫－121＋…＋4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1 ＝4n ＋1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝4n ＋23－23·⎝⎛⎭⎫－12n， 所以1≤p ⎣⎡⎦⎤23－23·⎝⎛⎭⎫－12n ≤3对任意n ∈N *都成立， 当n ＝1时，1≤p ≤3， 当n ＝2时，2≤p ≤6， 当n ＝3时，43≤p ≤4，归纳得2≤p ≤3.]10．D [令f (x )＝0，分离变量可得a ＝x x －ln x －ln xx， 令g (x )＝x x －ln x －ln xx(x >0)，由g ′(x )＝ln x (1－ln x )(2x －ln x )x 2(x －ln x )2＝0，得x ＝1或x ＝e.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，e)时，g ′(x )>0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0.即g (x )在(0,1)，(e ，＋∞)上为减函数，在(1，e)上为增函数， ∴0<x 1<1<x 2<e<x 3，a ＝x x －ln x －ln x x＝11－ln x x －ln x x ，令μ＝ln x x ，则a ＝11－μ－μ，即μ2＋(a －1)μ＋1－a ＝0， μ1＋μ2＝1－a ，μ1μ2＝1－a ， 对于μ＝ln xx ，μ′＝1－ln x x 2，则当0<x <e 时，μ′>0；当x >e 时，μ′<0.而当x >e 时，μ恒大于0.画其简图，如图所示．不妨设μ1<μ2，则μ1＝ln x 1x 1，μ2＝ln x 2x 2＝ln x 3x 3＝μ3，∴⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3 ＝(1－μ1)2(1－μ2)(1－μ3)＝[(1－μ1)(1－μ2)]2＝[1－(1－a )＋(1－a )]2＝1. 故选D.] 11.{1,5} 8解析 ∁U T ＝{1,4,5}，则S ∩(∁U T )＝{1,5}．集合S 的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个． 12．3 (2,3)解析 设f (x )＝x t，则f (4)f (2)＝4t 2t ＝2t＝3，f (2)＝2t ＝3；g (x )＝x t －ax ＋2a ，则当x ＝2时，g (2)＝2t ＝3，所以g (x )过定点(2,3)． 13．8－n 28解析 由题意得，d ＝a 5－a 32＝－1，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝8－n ， S 7＝7(a 1＋a 2)2＝7(a 3＋a 5)2＝7×82＝28. 14．2 －π3解析 由图可知，T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，ω＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2·5π12＋φ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1， 5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又－π<φ<0， 所以φ＝－π3.15.π2解析 如图，区域D 内的弧即为弧AB ， ∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝⎛⎭⎫－131＋12×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4，又圆半径为2，由弧长公式易得π4×2＝π2.16.12解析 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1， 函数f (m )的最小值为32， ∴函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，∴∠ACB ＝2π3，∴CO →2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB → ＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x ) ＝3⎝⎛⎭⎫x －122， 当且仅当x ＝12＝y 时，CO →2取得最小值14，∴|CO →|的最小值为12.17．24π－82π解析 设MC 的中点为O ，如图，由AB ＝BC ＝2，且△ABC 为直角三角形，得∠ABC ＝90°.由MA ⊥平面ABC ，知MA ⊥AC ，MA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，MA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面MAB ，所以BC ⊥MB ，可知MC 为Rt △MAC 和Rt △MBC 的斜边，故点O 到点M ，A ，B ，C 的距离相等，故点O 为鳖臑的外接球的球心，设该鳖臑的外接球的半径与内切球的半 径分别为R ，r ，则由MA 2＋AB 2＋BC 2＝(2R )2， 得4＋4＋4＝4R 2，解得R ＝ 3. 由等体积法，知13(S △ABC＋S △MAC ＋S △MAB ＋S △MBC )r ＝13S △ABC ·MA ， 即13×12(2×2×2＋2×22×2)r ＝13×12×2×2×2， 解得r ＝2－1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 4π(R 2＋r 2)＝4π(3＋3－22)＝24π－82π. 18．解 (1)由2a －b c ＝cos B cos C ，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ，可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos C ＝12， ∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C ＝π3. (2)y ＝sin A ＋sin B＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵A ＋B ＝2π3，0<A <π2，0<B <π2， ∴π6<A <π2， ∴π3<A ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1，∴y ∈⎝⎛⎦⎤32，3. 即函数y ＝sin A ＋sin B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，3. 19．解 (1)当0≤x ≤1时，图象是一条线段，设解析式为y ＝kx ， 将点(1,3)代入得k ＝3，∴y ＝3x ，x ∈[0,1]．对于函数y ＝log 12(x ＋b )，将点(1,3)代入得，log 12(1＋b )＝3，故1＋b ＝⎝⎛⎭⎫123＝18，解得b ＝－78， ∴y ＝log 12⎝⎛⎭⎫x －78，令y ＝0，得 log 12⎝⎛⎭⎫x －78＝0，故x －78＝1，解得x ＝158. ∴函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，0≤x ≤1，log 12⎝⎛⎭⎫x －78，1<x ≤158.(2)当0≤x ≤1时，在y ＝3x 中，令y ＝2得x 1＝23， 当1<x ≤158时，在y ＝log 12⎝⎛⎭⎫x －78中，令y ＝2得log 12⎝⎛⎫x －78＝2，故x －78＝⎝⎛⎫122＝14， 从而x 2＝98，x ＝x 2－x 1＝98－23＝1124， 故最佳效果持续时间为1124h. 20．(1)证明 ∵B 1A ⊥平面ABC ，∴B 1A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，AB ∩B 1A ＝A ，AB ⊂平面A 1ABB 1，B 1A ⊂平面A 1ABB 1，∴BC ⊥平面A 1ABB 1，又∵BC ⊂平面C 1CBB 1，∴平面C 1CBB 1⊥平面A 1ABB 1.(2)解 过B 点作BM ⊥平面ABC ，则BM ⊥BA ，BM ⊥BC ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BM 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，B 1(0,2,2)，∵AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝(0,2,2)，∴A 1(0,4,2)，C 1(2,2,2)，P (1,3,2)，∴AC →＝(2，－2,0)，BP →＝(1,3,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1ACC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AA 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y ＋2z ＝0， 取x ＝1可得n ＝(1,1，－1)，故直线BP 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值为|cos 〈n ，BP →〉|＝|1＋3－2|14×3＝4221. 21．解 (1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. ∴当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x x(x >0)， 当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值．当a <0时，由f ′(x )>0，得x >－a 2， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0，得0<x <－a 2， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减． ∴当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2. 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0.∵a <0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2.∴实数a 的取值范围是[－2,0)．22．(1)解 由已知得a 2＝3a 1＋2＝8，因为b 2a 2＝1a 1，所以b 28＝12，解得b 2＝4. (2)解 由条件得a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＋1＋1a n ＋1＝3a n ＋3a n ＋1＝3， 所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列． 所以a n ＋1＝3·3n －1＝3n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(3)证明 由题设b n ＋1a n ＋1＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，① 知b n a n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1(n ≥2)，② 由①－②，得b n ＋1a n ＋1－b n a n ＝1a n，则b n ＋1a n ＋1＝1＋b n a n ，即1＋b n b n ＋1＝a n a n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，2－12·1＝32，1＋1b 1＝32<3316， 所以原不等式成立；当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫1＋1b 1⎝⎛⎭⎫1＋1b 2…⎝⎛⎭⎫1＋1b n＝1＋b 1b 1·1＋b 2b 2·1＋b 3b 3·…·1＋b n b n＝1b 1·1＋b 1b 2·1＋b 2b 3·…·1＋b n －1b n·(1＋b n ) ＝12·34·a 2a 3·…·a n －1a n·(1＋b n ) ＝38·8a n ·(1＋b n )＝3⎝⎛⎭⎫1＋b n a n ＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋b n a n＝3⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n . 先证明不等式左边，因为1a n ＝13n －1>13n ，当n ≥2时， 所以3⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n >3⎝⎛⎭⎫1a 1＋132＋133＋…＋13n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋19⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13＝2－12·3n －1. 再证明不等式右边，当n ≥2时， 1a n ＝13n －1＝19·3n －2－1≤18·3n －2， 3⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤3⎣⎡⎦⎤1a 1＋18⎝⎛⎭⎫1＋13＋…＋13n －2 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18·1－13n －11－13 ＝3⎣⎡⎦⎤12＋316⎝⎛⎭⎫1－13n －1<3316. 所以2－12·3n －1<⎝⎛⎭⎫1＋1b 1⎝⎛⎭⎫1＋1b 2…⎝⎛⎭⎫1＋1b n <3316成立． 综上所述，不等式成立．。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测十三+Word版含答案
单元检测十三推理与证明、算法、复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A．1 B．－1C. 2 D．－ 22．用反证法证明命题：“已知a，b，c，d∈R，若a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时应假设()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数3．执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为()A．k＜6? B．k≤6?C．k＜7? D．k≤7?4．观察下列等式23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，…，类比上面各式将m3分拆所得到的等式右边的最后一个数是109，则正整数m等于()A ．9B ．10C ．11D ．125．(2017·衡水联考)欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.718 28…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2eπi 3，z 2＝eπi2，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．(2018·安徽十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，满足x 2＋y 2≤1，x ≥0，y ≥0的点P (x ，y )的集合对应的平面图形的面积为π4；类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为( ) A.π8 B.π6 C.π4 D.π37．下列程序语句是求函数y ＝|x －4|＋1的函数值，则①处为( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x －5C ．y ＝5－xD ．y ＝x －38．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥09．定义运算a *b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫sin 5π12*⎝⎛⎭⎫cos 5π12的值为( )A.2－34B.2＋34C.14D.3410．(2017·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( ) A.227 B.6320 C.7825D.1093511．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如10≡4(mod 6)．如图所示的程序框图的算法源于我国古代的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．1312．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法：①若a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 10，则必是第一题答错，其余题均答对； ②若a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 10，则必是第一题答对，其余题均答错； ③有可能a 5＝2a 10. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．0 C ．3 D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是____________．14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝______，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为_______________________． 15．凸函数的性质定理如下：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．16．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n,1≤j ≤n ，i ，j ∈N *)表示位于第i 行第j 列的数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ，若a 11＝12，a 24＝1，a 32＝14，则a ij ＝________.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i ，i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3 的值．18．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且当0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a >c .19．(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20.(12分)设集合A 由全体二元有序实数组组成，在A 上定义一个运算，记为⊙，对于A 中的任意两个元素α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，规定：α⊙β＝(ad ＋bc ，bd －ac )． (1)计算：(2,3)⊙(－1,4)；(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明； (3)若I ∈A ，且对∀α∈A ，都有I ⊙α＝α，求元素I .21．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (a <b <c )在x ＝1处取得极值，且在函数f (x )图象上的一点处的切线的斜率为－a . (1)求证：0≤ba<1；(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，求证：－2<s <t ≤1.22．(12分)(2018·大庆模拟)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立？证明你的结论．答案精析1．B [因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ， 所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )．又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.]2．C [“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”，故应假设a ，b ，c ，d 全都大于等于0.]3．A [依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1，c ＝2，a ＝1，b ＝2；进行第二次循环时，k ＝2，c ＝3，a ＝2，b ＝3；进行第三次循环时，k ＝3，c ＝5，a ＝3，b ＝5；进行第四次循环时，k ＝4，c ＝8，a ＝5，b ＝8；进行第五次循环时，k ＝5，c ＝13，a ＝8，b ＝13；进行第六次循环时，k ＝6，因此当输出的值是13时，判断框内应为k ＜6？.] 4．B [由题意可得，第n 个等式的左边是m 3，右边是m 个连续奇数的和，且m ＝n ＋1. 设第n 个等式的最后一个数为a n ， 则有a 2－a 1＝11－5＝6＝1×2＋4， a 3－a 2＝19－11＝8＝2×2＋4， a 4－a 3＝29－19＝10＝3×2＋4， …，a n －a n －1＝(n －1)×2＋4，以上(n －1)个式子相加可得a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋4(n －1)＝n 2＋3n －4， 故a n ＝n 2＋3n ＋1，令n 2＋3n ＋1＝109， 解得n ＝9(n ＝－12舍去)．故m ＝10.] 5．D [因为z 1＝2e πi 3＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝eπi 2＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限，故选D.]6．B [所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为18×43π×13＝π6，故选B.]7．C [由题意知y ＝|x －4|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥4，5－x ，x <4，故选C.]8．D [要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只要证(a 2－1)(b 2－1)≥0.]9．C [由题意，得该程序框图的功能是求函数S ＝a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ，a ≥b ，b 2，a <b 的值，因为π4<5π12<π2，所以sin5π12>cos 5π12， 则⎝⎛⎭⎫sin 5π12*⎝⎛⎭⎫cos 5π12＝sin 5π12cos 5π12＝12sin 5π6 ＝12sin π6＝14.] 10．A [由题意知，第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715<π<165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<227，故选A.]11．A [当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数为17.]12．C [对于①，若第一题答对，则a 1＝1，a 1≥a 2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k (k ≥2)道题答错，则a k ≤a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则a 1＝0，a 1≤a 2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k (k ≥2)道题答对，则a k ≥a k －1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x 道题，后5道题答对y 道题，则由a 5＝2a 10得x5＝2·x ＋y 10，解得y ＝0，即当后5道题均答错时，a 5＝2a 10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3，故选C.] 13．1＋2i 或－1－2i解析 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以其平方根是1＋2i 或－1－2i.14．3 S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数解析 由等和数列的定义，a n ＋a n ＋1＝5，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ∈N *)，故a 18＝3.当n 为偶数时，S n ＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝52n －12.15.332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A ，B ，C ∈(0，π)， ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.16.j 2i 解析 设第i 行公差为d i ，∵a 21＝12q ，∴a 22＝a 21＋d 2＝12q ＋d 2，∴a 24＝a 21＋3d 2＝q2＋3d 2＝1，∴d 2＝13－q 6，又∵a 32＝a 22q ＝⎝⎛⎭⎫q 2＋d 2q ＝14， ∴⎝⎛⎭⎫q 2＋13－q 6q ＝14，∴q ＝12(舍负)． ∴d 2＝13－q 6＝14，∴a 22＝a 21＋d 2＝12q ＋d 2＝12，又∵a 22＝a 12q ，∴a 12＝12q ＝1，∴d 1＝12，又∵a 31＝12q 2＝18，∴d 3＝18，猜想：d i ＝12i ，又∵a i 1＝12q i －1＝12i ，∴a ij ＝12i ＋(j －1)12i ＝j2i .17．解 (1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，所以t ＝sin 2x －3cos 2x ，又t ＝0，所以sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3.因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)由(1)知，t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π2＝14， 所以－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝14，即cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 18．证明 (1)因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， 所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， 因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， 所以1a 是f (x )＝0的另一个根，即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由当0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0，与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， 所以1a ≥c ，又因为1a ≠c ，所以1a>c .19．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2(n ∈N *)， S n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)．(2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋2(n ∈N *)．假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20．解 (1)(2,3)⊙(－1,4)＝(2×4＋3×(－1)，3×4－2×(－1))＝(5,14)．(2)交换律：α⊙β＝β⊙α.证明如下：设α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，则α⊙β＝(ad ＋bc ，bd －ac )，β⊙α＝(c ，d )⊙(a ，b )＝(cb ＋da ，db －ca )＝(ad ＋bc ，bd －ac )．∴α⊙β＝β⊙α.(3)设A 中的元素I ＝(x ，y )，α＝(a ，b )，由题意得(x ，y )⊙(a ，b )＝(a ，b )，即(bx ＋ay ，by －ax )＝(a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋ay ＝a ，－ax ＋by ＝b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋a (y －1)＝0，－ax ＋b (y －1)＝0， 对任意a ，b ∈R 恒成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴当对∀α∈A 都有I ⊙α＝α成立时，I ＝(0,1)．21．证明 (1)由f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ， 得f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0.又a <b <c ，∴a <0，c >0，b <－a －b ，∴b a >－12，且b a<1. ∵函数f (x )图象上的一点处的切线的斜率为－a ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实数根，∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )≥0，即b 2－4a (－b )≥0，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋4·b a≥0， 解得b a ≥0或b a≤－4. 综上，可得0≤b a<1.则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0在区间(s ，t )上恒成立．∵a <0，c >0，∴b 2－4ac >0，故方程f ′(x )＝0必有两个不相等的实数根，设这两个实数根为x 1，x 2，且x 1<x 2.∵二次函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a， 由(1)得－12<－b 2a≤0， 而f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0，∴x 2＝1.又f ′(－2)＝4a －2b ＋c ＝4a －2b －a －b＝3(a －b )<0，∴x 1>－2.∴若f ′(x )≥0在区间(s ，t )上恒成立，则有x 1≤s <t ≤x 2，∴－2<s <t ≤1.22．解 (1)由题意得a 2＝2，a 3＝2＋1.因为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.所以猜想a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明上式成立．当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝a 2k －2a k ＋2＋1＝(a k －1)2＋1＋1 ＝(k －1)＋1＋1＝(k ＋1)－1＋1，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝(x －1)2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题a 2n <14<a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立． 假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即a 2k <14<a 2k ＋1<1.从而14＝f ⎝⎛⎭⎫14>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>14>a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得14＝f ⎝⎛⎭⎫14<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1， 故14<a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知，存在c ＝14，使a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立．。
2019版高考数学理一轮全国版单元提分练集全国各地市模
单元检测十一 统计与统计案例考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( ) A ．①随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 2．根据如下样本数据得到的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<03．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.254．(2018·大连模拟)某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是()5．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都是s，对变量y的观测数据的平均数都是t，那么下列说法正确的是()A．l1和l2必定平行B．l1与l2必定重合C．l1和l2一定有公共点(s，t)D．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)6．(2017·湖南师大附中月考)为了考察某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，可得出()A．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 7．(2018·湖南四校联考)以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模拟的拟合效果越好；②回归模型中残差是实际值y i 与估计值y ^的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的线性相关系数为－12；④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是( )A ．100B ．110C ．115D ．1209．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.510.某5位工人在某天生产同一种零件，所生产零件个数的茎叶图如图所示，已知他们生产零件的平均数为10，标准差为2，则|x －y |的值为( ) (注：标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)A ．4B ．6C ．7D ．811.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0至9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关12．(2017·武汉调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018·南昌模拟)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为________．14．为了解某市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据绘制成频率分布直方图，记甲、乙、丙调查所得到数据的标准差分别为S 1，S 2，S 3，则它们的大小关系为____________．(用“>”连接)15．变量y 与x 有线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，现在将y ^的单位由cm 变为m ，x 的单位由ms(1 ms ＝1.0×10－3s)变为s ，则在新的线性回归方程y ^＝b *x ＋a *中a *＝________.(用含有a ^ ，b ^的代数式表示)16．甲、乙两厂生产某种产品，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据.当产品中微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，则用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：(1)从所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；(2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以下的人数有多少？35岁以上(含35岁)的人数有多少？18．(12分)(2018·鞍山模拟)某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)对于该班学生，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).19．(12分)某农科所对冬季昼夜温差x (℃)与某反季节新品种大豆种子的发芽数y (颗)之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到的数据如下表所示：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于线性回归方程的检验．(1)请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？如果可靠，请预测温差为14 ℃时种子的发芽数；如果不可靠，请说明理由．20．(12分)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s2甲和s2乙，并由此分析两组技工的加工水平；(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．21．(12分)(2018·邯郸模拟)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图；(2)估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？22．(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(3)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样)，其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X，求X的分布列和均值．答案精析1．B [社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入的差别明显，故①适宜采用分层抽样；而从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都较小，故②适宜采用随机抽样．]2．B [根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b ^<0，a ^>0，故选B.] 3．A [相关指数R 2越大，拟合效果越好，因此模型1的拟合效果最好．]4．A [由频率分布直方图可知：第一组[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，第二组[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，第三组[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，第四组[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，第五组[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，第六组[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，第七组[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，第八组[35,40]的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A.] 5．C [注意到回归直线必经过样本点中心，故选C.] 6．A7．B [根据相关指数的意义可知①正确；由残差的定义和残差图的绘制可以知道②正确；相关系数(r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2)反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2无关，即样本数据的线性相关系数为－1，故③错误；K 2的观测值越小，x 与y 有关系的把握程度越小，故④错误．故选B.]8．C [众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.]9．A [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，代入y ^ ＝0.7x ＋0.35，得y ＝3.5，∴t ＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3，故选A.]10．B [由茎叶图知这5个数为x,9,10,11,10＋y ，根据这组数据的平均数为10，得x ＋y ＝10，即x －10＝－y .又这5个数的标准差为2，所以15[(x －10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(10＋y －10)2]＝2，整理得(x －10)2＋y 2＝8，所以2y 2＝8，解得y ＝2，x ＝8，所以|x －y |＝6.]11．B [去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.故选B.]12．C [由频率分布直方图的知识，得年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z 成等差数列，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.故选C.] 13．5解析 根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x ＝81.该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v 的值为14[(78－81)2＋(80－81)2＋(82－81)2＋(84－81)2]＝5.14．S 1>S 2>S 3解析 根据三个频率分布直方图可知，甲调查所得数据的绝大部分处于两端，偏离平均数远，其方差最大；乙所得数据分布均匀，单峰的每一个小长方形的差别比较小，其方差比甲所得数据的方差小；而丙所得数据绝大部分都在平均数左右，数据最集中，故方差最小．综上可知S 1>S 2>S 3.15．0.01a ^解析 由⎩⎨⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，且y ^的值变为原来的10－2，x 的值变为原来的10－3，可得a *的值应为原来的10－2.16．14解析 乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35，样品中优等品的频率为25，则估计乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.17．解 (1)由题意知6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n ＝40.(2)这5人中，35岁以下的人数为5400＋100×400＝4，35岁以上(含35岁)的人数为5400＋100×100＝1.18．解 (1)根据题中所给数据，得到如下2×2列联表：(2)K 2的观测值k ＝22×(10×7－3×2)212×10×13×9≈6.418，∵3.841<6.418，∴对于该班学生，可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系．19．解 (1)由已知得x ＝11＋13＋123＝12，y ＝25＋30＋263＝27， 则b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以(1)中所得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ^ ＝52×14－3＝32，即当温差为14 ℃时种子的发芽数约为32颗． 20．解 (1)根据题意可知x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，∴m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a ，b ，则所有(a ，b )有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(7,12)，(8,8)，(8,9)，(8,10)，(8,11)，(8,12)，(10,8)，(10,9)，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(13,8)，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共25个，而a ＋b ≤17的基本事件有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,8)，(8,9)，共5个，故满足a ＋b >17的基本事件共有25－5＝20(个)，故该车间“质量合格”的概率为2025＝45.21．解 (1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如图：(2)设中位数为x ，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06＋0.12)×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06＋0.12＋0.20)×2＝0.76， 所以x ∈[4.5,6.5)，则(x －4.5)×0.2＝0.5－0.36， 解得x ＝5.2. 故中位数是5.2.(3)该乡每户平均月均用水量估计为1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14. 5．14×1 200＝6 168.答 上级支援该乡的月调水量约为6 168吨． 22．解 (1)补充频率分布直方图如图．(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨．因为样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，所以要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．(3)由题意可知，居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是45，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，45，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫153＝1125，P (X ＝1)＝C 13×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫15＝48125， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125， 故X 的分布列为E (X )＝3×45＝125.。
2019版高考数学(浙江专版)单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测十一 Word版含答案
单元检测十一 概率、随机变量及其分布考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个概率是( )A.12B.13C.14D.3102．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得球颜色互异的概率是( ) A.14 B.13 C.27 D.3113．两名学生参加考试，随机变量X 代表通过的学生人数，其分布列为那么这两人通过考试的概率中较小值为( )A.16B.13C.12D.234．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫235B ．C 27⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135D ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫2355．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则随机变量η的均值E (η)及方差D (η)分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.66．(2017·湖州质检)若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)产生进位现象，则称n 为“先进数”，例如：4是“先进数”，因为4＋5＋6产生进位现象，2不是“先进数”，因为2＋3＋4不产生进位现象，那么，小于100的自然数是“先进数”的概率为( )A ．0.10B ．0.90C ．0.89D ．0.887．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局ξ的均值E (ξ)为( )A.24181B.26681C.27481D.6702438．(2017·湖州模拟)在10包种子中，有3包白菜种子，4包胡萝卜种子，3包茄子种子，从这10包种子中任取3包，记X 为取到白菜种子的包数，则E (X )等于( )A.910B.45C.710D.359．(2017·舟山质检)已知某射击运动员，每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.75C ．0.8D ．0.819 210．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的均值E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，712 B.⎝⎛⎭⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫12，1第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知m ∈{－1,0,1}，n ∈{－1,1}，若随机选取m ，n ，则直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是__________．12．在G20杭州峰会期间，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为________．13．(2017·台州质检)一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测十一+Word版含答案
单元检测十一 统计与统计案例考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( ) A ．①随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 2．根据如下样本数据得到的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<03．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.254．(2018·大连模拟)某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是()5．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都是s，对变量y的观测数据的平均数都是t，那么下列说法正确的是()A．l1和l2必定平行B．l1与l2必定重合C．l1和l2一定有公共点(s，t)D．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)6．(2017·湖南师大附中月考)为了考察某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，可得出()A．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 7．(2018·湖南四校联考)以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模拟的拟合效果越好；②回归模型中残差是实际值y i 与估计值y ^的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的线性相关系数为－12；④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是( )A ．100B ．110C ．115D ．1209．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.510.某5位工人在某天生产同一种零件，所生产零件个数的茎叶图如图所示，已知他们生产零件的平均数为10，标准差为2，则|x －y |的值为( ) (注：标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)A ．4B ．6C ．7D ．811.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0至9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关12．(2017·武汉调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018·南昌模拟)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为________．14．为了解某市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据绘制成频率分布直方图，记甲、乙、丙调查所得到数据的标准差分别为S 1，S 2，S 3，则它们的大小关系为____________．(用“>”连接)15．变量y 与x 有线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，现在将y ^的单位由cm 变为m ，x 的单位由ms(1 ms ＝1.0×10－3s)变为s ，则在新的线性回归方程y ^＝b *x ＋a *中a *＝________.(用含有a ^，b ^的代数式表示)16．甲、乙两厂生产某种产品，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据.当产品中微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，则用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：(1)从所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；(2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以下的人数有多少？35岁以上(含35岁)的人数有多少？18．(12分)(2018·鞍山模拟)某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)对于该班学生，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).19．(12分)某农科所对冬季昼夜温差x (℃)与某反季节新品种大豆种子的发芽数y (颗)之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到的数据如下表所示：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于线性回归方程的检验．(1)请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？如果可靠，请预测温差为14 ℃时种子的发芽数；如果不可靠，请说明理由．20．(12分)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s2甲和s2乙，并由此分析两组技工的加工水平；(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．21．(12分)(2018·邯郸模拟)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图；(2)估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？22．(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(3)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样)，其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X，求X的分布列和均值．答案精析1．B [社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入的差别明显，故①适宜采用分层抽样；而从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都较小，故②适宜采用随机抽样．]2．B [根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b ^<0，a ^>0，故选B.] 3．A [相关指数R 2越大，拟合效果越好，因此模型1的拟合效果最好．]4．A [由频率分布直方图可知：第一组[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，第二组[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，第三组[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，第四组[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，第五组[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，第六组[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，第七组[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，第八组[35,40]的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A.] 5．C [注意到回归直线必经过样本点中心，故选C.] 6．A7．B [根据相关指数的意义可知①正确；由残差的定义和残差图的绘制可以知道②正确；相关系数(r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2)反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2无关，即样本数据的线性相关系数为－1，故③错误；K 2的观测值越小，x 与y 有关系的把握程度越小，故④错误．故选B.]8．C [众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.]9．A [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，代入y ^＝0.7x ＋0.35，得y ＝3.5，∴t ＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3，故选A.]10．B [由茎叶图知这5个数为x,9,10,11,10＋y ，根据这组数据的平均数为10，得x ＋y ＝10，即x －10＝－y .又这5个数的标准差为2，所以15[(x －10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(10＋y －10)2]＝2，整理得(x －10)2＋y 2＝8，所以2y 2＝8，解得y ＝2，x ＝8，所以|x －y |＝6.]11．B [去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.故选B.]12．C [由频率分布直方图的知识，得年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z 成等差数列，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.故选C.] 13．5解析 根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x ＝81.该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v 的值为14[(78－81)2＋(80－81)2＋(82－81)2＋(84－81)2]＝5.14．S 1>S 2>S 3解析 根据三个频率分布直方图可知，甲调查所得数据的绝大部分处于两端，偏离平均数远，其方差最大；乙所得数据分布均匀，单峰的每一个小长方形的差别比较小，其方差比甲所得数据的方差小；而丙所得数据绝大部分都在平均数左右，数据最集中，故方差最小．综上可知S 1>S 2>S 3.15．0.01a ^解析 由错误!且错误!的值变为原来的10－2，x 的值变为原来的10－3，可得a *的值应为原来的10－2.16．14解析 乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35，样品中优等品的频率为25，则估计乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.17．解 (1)由题意知6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n ＝40.(2)这5人中，35岁以下的人数为5400＋100×400＝4，35岁以上(含35岁)的人数为5400＋100×100＝1.18．解 (1)根据题中所给数据，得到如下2×2列联表：(2)K 2的观测值k ＝22×(10×7－3×2)212×10×13×9≈6.418，∵3.841<6.418，∴对于该班学生，可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系．19．解 (1)由已知得x ＝11＋13＋123＝12，y ＝25＋30＋263＝27， 则b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以(1)中所得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ^＝52×14－3＝32，即当温差为14 ℃时种子的发芽数约为32颗． 20．解 (1)根据题意可知x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，∴m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a ，b ，则所有(a ，b )有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(7,12)，(8,8)，(8,9)，(8,10)，(8,11)，(8,12)，(10,8)，(10,9)，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(13,8)，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共25个，而a ＋b ≤17的基本事件有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,8)，(8,9)，共5个，故满足a ＋b >17的基本事件共有25－5＝20(个)，故该车间“质量合格”的概率为2025＝45.21．解 (1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如图：(2)设中位数为x ，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06＋0.12)×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06＋0.12＋0.20)×2＝0.76， 所以x ∈[4.5,6.5)，则(x －4.5)×0.2＝0.5－0.36， 解得x ＝5.2. 故中位数是5.2.(3)该乡每户平均月均用水量估计为1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14. 5．14×1 200＝6 168.答 上级支援该乡的月调水量约为6 168吨． 22．解 (1)补充频率分布直方图如图．(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨．因为样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，所以要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．(3)由题意可知，居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是45，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，45，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫153＝1125，P (X ＝1)＝C 13×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫15＝48125， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125， 故X 的分布列为E (X )＝3×45＝125.。
2019版高考数学(浙江专版)单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测十 Word版含答案
单元检测十 计数原理考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．282.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．40B ．－80C ．80D ．－403．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂法有( )A.72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种4．若5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种 5．(2017·金华模拟)已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1C ．2D ．±26．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．107．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( ) A ．－20B ．20C ．－15D ．15 8．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有( )A ．15种B ．18种C ．30种D ．36种9．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种10．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“凸”数，现从0,1,2,3,4,5这六个数中任取三个数，组成无重复数字的三位数，其中“凸”数的概率为( ) A.38B.310C.35D.34第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人，若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有________种．12．(2018届嘉兴一中期中考试)在二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为________；系数最大的项为________．13．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________；展开式中常数项是________．14．(2017·舟山模拟)若x (1－mx )4＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，其中a 2＝－6，则实数m ＝________；a 1＋a 3＋a 5＝________.15．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.。
(北师大)2019届高考数学理科一轮复习单元评估检测试卷及答案(9套)
单元评估检测(一) 第1章 集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,2]D ．[0,2] [答案] C2．已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．(－3,3)C ．(1,3)D ．{1,2} [答案] D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：79140402】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉Q[答案] D4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1[答案] C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( )A ．2＜x ＜4B ．－2＜x ＜2C ．x ＜0D ．x ＞2或x ＜－2[答案] A6．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{0,1}D ．∅[答案] C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．48．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列{3a 1a n }为递增数列的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(﹁p )或q ，p 且(﹁q )中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A11．(2018·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ○+N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ○+B 等于( ) 【导学号：79140403】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [答案] C 12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________．[答案] {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． [答案] 4 15．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140404】[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解] A ＝{x |－1＜x ＜1}． (1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12， 所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ，所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ， 所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(本小题满分12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，若“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(本小题满分12分)(2018·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4，所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4，即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}．由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}． 若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使BA ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2.综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：79140405】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． 所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}， 故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(本小题满分12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.[证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根． 当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根， 且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1， 当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 第2章 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数f (x )＝1－3x ＋，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 [答案] A 2．已知函数f (x )＝则f (f (4))的值为( )【导学号：79140406】A ．－19B ．－9 C.19 D ．9[答案] C3．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] D4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3[答案] B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2[答案] D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：件)应为( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10[答案] C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图像大致为( )[答案] D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[答案] D10．(2018·郑州模拟)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，那么⎠⎛12f (x )d x ＝( )A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋2ln 2B ．72＋2ln 2 C ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋ln 2 D ．－(4＋2ln 2)[答案] A11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )【导学号：79140407】A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D12．(2018·岳阳模拟)设函数y ＝ax 2与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1ax 的图像恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33e ，e B.⎝⎛⎭⎪⎫－33e ，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫33e [答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·xm ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．[答案] (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【导学号：79140408】[答案] －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________. [答案] 1816．(2017·长治模拟)对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝________.[答案] 2 016三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．[解] (1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)18．(本小题满分12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x2·log2x2.(1)求实数x 的取值范围；(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x2·log2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14， 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2， 即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图像都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝1，f ′(0)＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝d ＝1，g ′(0)＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x－(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围； (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值.【导学号：79140409】[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x)＝(2x－2－x )2－2m (2x－2－x)＋2. 令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)·ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋ex－x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值． 由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e ax(a ∈R )．(1)当a ＝－2时，求函数g (x )＝x 2f (x )在区间(0，＋∞)内的最大值；(2)若函数h (x )＝x 2f (x )－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，函数f (x )＝e－2x，所以函数g (x )＝x 2e－2x，所以g ′(x )＝2x e －2x＋x 2e－2x·(－2)＝2x (1－x )e－2x，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，g (x )是增函数， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )是减函数， 所以在区间(0，＋∞)内g (x )的最大值是g (1)＝e －2.(2)因为函数h (x )＝x 2f (x )－1＝x 2e －ax－1，所以h ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )，令h ′(x )＝0，因为e －ax＞0，所以－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(a ≠0)．又h (x )在(0,16)内有两个零点， 所以h (x )在(0,16)内不是单调函数， 所以2a ∈(0,16)，解得a ＞18.①又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，16时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数， 所以在(0,16)上h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＝4a2e －2－1.令4a 2e －2－1＞0，解得－2e ＜a ＜2e.② 又⎩⎪⎨⎪⎧h (0)＜0，h (16)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，256e －16a－1＜0，解得a ＞12ln 2.③解①②③组成不等式组，解得12ln 2＜a ＜2e .所以实数a 的取值范围是12ln 2＜a ＜2e.单元评估检测(三) 第3章 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B2．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q ) D ．p 或(﹁q )[答案] B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π－α)＋cos α＝2，则tan α＝( )【导学号：79140410】A.15 B ．－23 C.12 D ．－5 [答案] D4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图像向左平移π18个单位后，得到的图像可能为( )[答案] D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－125B ．512 C.177 D ．－717[答案] D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A.3＋226 B ．3－226C.1＋266D ．1－266[答案] A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B ．2π3 C.4π3 D ．5π3[答案] B8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图31所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图31A ．±223B ．223C ．－223D ．13[答案] C9．(2018·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32 [答案] C10．已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图像关于x ＝π3对称C ．函数f (x )的图像可由g (x )＝2sin 2x －1的图像向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数[答案] C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图32)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图32A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米[答案] B12．已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140411】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. [答案] 014．如图33，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km.图33 图34[答案] 215．如图34，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．[答案] 516．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________． [答案] 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图35，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图35(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求tan(π－θ)cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2sin(2θ－π)的值；(2)求点B 的坐标． [解] (1)34. (2)B ⎝⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232.18．(本小题满分12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)B ＝π6. (2)26＋16.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：79140412】图36(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中(图36)作出函数f (x )在[0，π]上的图像； (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合．[解] (1)ω＝2，φ＝－π3.(2)描点画出图像(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z . 20.(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． [解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)1.(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.21．(本小题满分12分)已知如图37，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图37(1)求△ABC 的面积； (2)若AB ＝5，求AD 的长.【导学号：79140413】[解] (1)1534. (2)192.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)有一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达预测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．[解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626， 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin∠ABCsin(45°－∠ABC )＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt△QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．i [答案] C2．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35I D ．45－35i[答案] D3．若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( )A ．－1B ．－iC ．ID ．1 [答案] A4．复数z ＝－3＋i2＋i的共扼复数是( )【导学号：79140414】A ．2＋IB ．2－iC ．－1＋ID ．－1－i [答案] D5．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9) [答案] D6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] A8．设复数z 1＝2sin θ＋icos θ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2在复平面上对应向量OZ1→，将OZ 1→按顺时针方向旋转34π后得到向量OZ 2→，OZ 2→对应的复数为z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则y x＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1 B ．2tan θ－12tan θ＋1 C.12tan θ＋1D ．12tan θ－1[答案] A9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5,5)，则b ·c ＝( )A ．(－3,4)B ．(3，－4)C ．1D ．－1[答案] C10．如图41，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图41A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →[答案] D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( )A ．3－2iB ．2－3iC ．－3－2iD ．2＋3i[答案] D12．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8 [答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.[答案] 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________.【导学号：79140415】[答案]32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →；(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． [解] (1)D (2,1)或D (－2,3)． (2)AC →＝－AB →＋AD →. (3)AE →＝(－14,2)．18．(本小题满分12分)如图42，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值.【导学号：79140416】图42[解] 78.19．(本小题满分12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω；(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值．[解] (1)1－i. (2)54π.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，－2sin A 2，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)－12. (2)2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m ∥n .【导学号：79140417】(1)求角A 的大小；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m ∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立；因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. (1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →；(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)因为点M 为线段AB 的中点，所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1. 又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 第5章 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( )A ．41B ．48C ．49D ．56[答案] C2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N ＋)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 [答案] C3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )【导学号：79140418】A ．－54B ．54 C.516D ．2516[答案] D4．(2018·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )A.n (n －1)2 B ．(n －1)22C.n (n ＋1)2D ．(n ＋1)22[答案] A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n 3D ．4n－13[答案] B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1则S 3＝7，则S 7＝( )A.1516 B ．78 C.12716D ．638[答案] C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cosn π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120[答案] D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210 B ．129 C.110D ．15[答案] D9．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差， tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错[答案] B10．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n ＝0，n ∈N ＋，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )【导学号：79140419】A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．[答案] 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． [答案] 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺． [答案]162916．如图51所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________.【导学号：79140420】图51[答案]132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n＋2)，n ∈N ＋.【导学号：79140421】(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . [解] (1)a n ＝3n －2，n ∈N ＋. (2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N ＋.18．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)b n ＝23n . (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n. 19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.20．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)a n ＝2n ＋1. (2){b n }的前n 项和T n ＝n3(2n ＋3).21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)a n ＝4－n .(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N＋)．(1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n ＝a n ＋1－12＝2n－1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2，所以c n ·b n ＋3·b n ＋4 ＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2) ＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12(1－2n)1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 第6章 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．1a 2＋b 2≤18[答案] D2．若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,5) C ．(2,5) D ．(2,3)[答案] D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xy [答案] B4．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )【导学号：79140422】A ．10B ．－10C ．14D ．－14 [答案] D5．(2018·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83 C.223 D ．2[答案] B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a或x ＜a [答案] C7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC.n －m d n c mD ．n －md n ·c m[答案] C8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A.114 B ．54 C ．1 D ．14[答案] C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1[答案] D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0[答案] C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为( )【导学号：79140423】A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2[答案] C12．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．[答案] a14．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[答案] 415．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． [答案] 30 12(n ＋1)(n －2)16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． [答案] 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n . (1)证明{a n }是等差数列； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. [证明] (1)因为S n ＝2n 2－n .。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：滚动检测五+Word版含答案
滚动检测五考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·重庆第二外国语学校月考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |1<2x <4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |1<x ≤2} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0≤x <2}2．(2017·沈阳模拟)向量a ＝(m,1)，b ＝(n,1)，则m n ＝1是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<04．(2018届江西省红色七校联考)已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mB ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥αC ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mD ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α5．(2017·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝26，sin 2A ＝sin B ，则c 的长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．2或46．曲线y ＝2x －e x 在x ＝0处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C.π2D.3π47．(2017·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．48＋4πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．72＋6π8．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．(2017·南昌三模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．72B ．48C ．24D ．1610．(2017·辽宁省实验中学模拟)已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．(2017·福建泉州市适应性考试)如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．[－21，21]C ．[－5,5]D ．[－6,6]12．(2018届洛阳联考)已知函数f (x )＝(ax ＋ln x )(x －ln x )－x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3的值为( ) A ．1－a B ．a －1 C ．－1D ．1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，T ＝{x |mx ＋1＝0}，且T ⊆P ，则实数m 的可能值组成的集合是________．14．关于函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，有以下命题：①函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称；④函数f (x )的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 其中正确命题的序号为________．15．(2017·安徽黄山期末)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝90°，若直线AB 1与直线A 1C 的夹角的余弦值是105，则棱AB 的长是________． 16．(2018届衡水联考)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M －ABC 中，MA ⊥平面ABC ，MA ＝AB ＝BC ＝2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届湖南益阳、湘潭调研)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c ＝cos B cos C .(1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．18.(12分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥BC，AB1⊥平面ABC，且AB＝BC＝AB1＝2.(1)证明：平面C1CBB1⊥平面A1ABB1；(2)若点P为A1C1的中点，求直线BP与平面A1ACC1所成角的正弦值．19．(12分)在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝4a n－3n＋1.(1)证明：数列{a n－n}是等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.20．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF；(3)设AB＝a，求三棱锥D－AEF的体积．21.(12分) (2018届贵州贵阳适应性月考)如图，在三棱锥K －ABC 中，D ，E ，F 分别是KA ，KB ，KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，△KBC 是边长为2的正三角形，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面KAC ； (2)求二面角F —BD —E 的余弦值．22．(12分)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝2m ln x －x ，g (x )＝3e x －3x 2(m ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)试讨论函数f (x )的极值情况；(2)证明：当m >1且x >0时，总有g (x )＋3f ′(x )>0.答案精析1．C [由题意可得A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |1≤x <2}．] 2．A [若mn ＝1，则m ＝n ，则由向量相等的定义显然有a ＝b ；若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，不能推出mn＝1，故选A.]3．A [因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易得S m ＝a 1＋a m 2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.]4．C [对于A ，若l ∥α，m ∥α，则l 与m 的位置关系可能为平行、相交或者异面，故A 错误；对于B ，若l ⊥m ，m ∥α，则l 与α平行或者相交或l 在平面α内，故B 错误； 对于C ，若l ⊥α，m ⊥α，利用线面垂直的性质可得l ∥m ，故C 正确； 对于D ，若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α或者m ⊂α，故D 错误，故选C.] 5．D [由sin 2A ＝sin B ，得2sin A cos A ＝sin B ， 由正弦定理得2×4cos A ＝26，所以cos A ＝64， 再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得c ＝2或c ＝4，故选D.]6．B [因为y ＝f (x )＝2x －e x ，所以f ′(x )＝2－e x ，曲线y ＝2x －e x 在x ＝0处的切线的斜率为f ′(0)＝1，曲线y ＝2x －e x 在x ＝0处的切线的倾斜角为π4，故选B.]7．D [根据三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱，如图所示：则该几何体的表面积为14×2π×2×4＋2×2×4＋2×4×4＋⎝⎛⎭⎫14π×22＋4×4－2×2×2＝6π＋72.故选D.]8．C [由导函数的图象可知，函数y ＝f (x )先减再增，可排除选项A ，B ，又知f ′(x )＝0的根为正，即y ＝f (x )的极值点为正，所以可排除D ，故选C.]9．C [由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为2,4、高是6的直角梯形，棱锥的高是4，则该几何体的体积V ＝13×12×(2＋4)×6×4＝24.故选C.]10．B [原式可化为(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值2.故选B.]11．C [如图建立平面直角坐标系，令正三角形的边长为3，则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同时在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5. 故选C.]12．D [令f (x )＝0，分离变量可得a ＝x x －ln x －ln xx， 令g (x )＝x x －ln x －ln xx(x >0)，由g ′(x )＝ln x (1－ln x )(2x －ln x )x 2(x －ln x )2＝0，得x ＝1或x ＝e.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，e)时，g ′(x )>0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0.即g (x )在(0,1)，(e ，＋∞)上为减函数，在(1，e)上为增函数， ∴0<x 1<1<x 2<e<x 3，a ＝x x －ln x －ln x x＝11－ln x x －ln x x ，令μ＝ln x x，则a ＝11－μ－μ，即μ2＋(a －1)μ＋1－a ＝0， μ1＋μ2＝1－a ，μ1μ2＝1－a ， 对于μ＝ln xx ，μ′＝1－ln x x 2，则当0<x <e 时，μ′>0；当x >e 时，μ′<0. 而当x >e 时，μ恒大于0.画其简图，如图所示．不妨设μ1<μ2，则μ1＝ln x 1x 1，μ2＝ln x 2x 2＝ln x 3x 3＝μ3，∴⎝⎛⎭⎫1－ln x 1x 12⎝⎛⎭⎫1－ln x 2x 2⎝⎛⎭⎫1－ln x 3x 3 ＝(1－μ1)2(1－μ2)(1－μ3)＝[(1－μ1)(1－μ2)]2＝[1－(1－a )＋(1－a )]2＝1. 故选D.]13.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，13，0解析 由题意得P ＝{2，－3}，由T ⊆P 易知， 当T ＝∅时，m ＝0； 当T ＝{2}时，m ＝－12；当T ＝{－3}时，m ＝13，则实数m 的可能值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，13，0.14．①③解析 对于①，由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，有x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，所以①是正确的；对于②，由于函数f (x )的定义域不关于原点对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数，②错误；对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫π8＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称；对于④，令k π－π2<2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－π8<x <k π2＋3π8，k ∈Z ， 故单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8， k ∈Z ，所以④是错误的．本题答案为①③. 15．2解析 以A 点为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝x ，则A (0,0,0)，B 1(x,0,2)， A 1(0,0,2)，C (0,1,0)，∴AB 1→＝(x,0,2)，A 1C →＝(0,1，－2)， ∵直线AB 1与直线A 1C 的夹角的余弦值是105， ∴|－4|x 2＋4·5＝105，∴x ＝2. 16．24π－82π解析 设MC 的中点为O ，如图，由AB ＝BC ＝2，且△ABC 为直角三角形，得∠ABC ＝90°.由MA ⊥平面ABC ，知MA ⊥AC ，MA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，MA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面MAB ，所以BC ⊥MB ，可知MC 为Rt △MAC 和Rt △MBC 的斜边，故点O 到点M ，A ，B ，C 的距离相等，故点O 为鳖臑的外接球的球心，设该鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为R ，r ，则由MA 2＋AB 2＋BC 2＝(2R )2， 得4＋4＋4＝4R 2，解得R ＝ 3. 由等体积法，知13(S △ABC ＋S △MAC ＋S △MAB ＋S △MBC )r ＝13S △ABC ·MA ， 即13×12(2×2×2＋2×22×2)r ＝13×12×2×2×2， 解得r ＝2－1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为4π(R 2＋r 2)＝4π(3＋3－22)＝24π－82π. 17．解 (1)由2a －b c ＝cos Bcos C ，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ， 可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C ＝π3. (2)y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵A ＋B ＝2π3，0<A <π2，0<B <π2，∴π6<A <π2，∴π3<A ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1，∴y ∈⎝⎛⎦⎤32，3. 即函数y ＝sin A ＋sin B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，3. 18．(1)证明 ∵B 1A ⊥平面ABC ，∴B 1A ⊥BC ， 又AB ⊥BC ，AB ∩B 1A ＝A ，AB ⊂平面A 1ABB 1，B 1A ⊂平面A 1ABB 1， ∴BC ⊥平面A 1ABB 1， 又∵BC ⊂平面C 1CBB 1， ∴平面C 1CBB 1⊥平面A 1ABB 1. (2)解 过B 点作BM ⊥平面ABC ，则BM ⊥BA ，BM ⊥BC ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BM 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，B 1(0,2,2)，∵AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝(0,2,2)， ∴A 1(0,4,2)，C 1(2,2,2)，P (1,3,2)， ∴AC →＝(2，－2,0)，BP →＝(1,3,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1ACC 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AA 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，2y ＋2z ＝0，取x ＝1可得n ＝(1,1，－1)，故直线BP 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值为 |cos 〈n ，BP →〉|＝|1＋3－2|14×3＝4221.19．(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1可得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，a 1－1＝1≠0，所以a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4，为非零常数，所以数列{a n －n }是以1为首项，4为公比的等比数列． (2)解 由a n －n ＝4n －1，得a n ＝4n －1＋n ，所以S n ＝4n －13＋(n ＋1)n2.20. (1)证明 取AB 的中点O ，连接CO ，DO .∵DO ∥AA 1，DO ＝12AA 1，∴DO ∥CE ，DO ＝CE ， ∴四边形DOCE 为平行四边形，∴DE ∥CO ，又DE ⊄平面ABC ，CO ⊂平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC .(2)证明 在等腰直角△ABC 中，F 为斜边的中点，连接AF ，则AF ⊥BC . 又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AF ⊂平面ABC ，∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，∴AF ⊥B 1F ， 设AB ＝AA 1＝1， ∴B 1F ＝62，EF ＝32，B 1E ＝32， ∴B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，∴B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，AF ，EF ⊂平面AEF ， ∴B 1F ⊥平面AEF .(3)解 由于点D 是线段AB 1的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点B 1到平面AEF 距离的12，B 1F ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， ∴三棱锥D －AEF 的高为64a ，在Rt △AEF 中，EF ＝32a ，AF ＝22a ，∴三棱锥D －AEF 的底面面积为68a 2，故三棱锥D －AEF 的体积为13×68a 2×64a ＝116a 3. 21．(1)证明 如图，以点C 为坐标原点，分别以CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，B (2,0,0)， A (0，－3,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，0，32，建立空间直角坐标系，则K (1,0，3)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32，CK →＝(1,0，3)，CA →＝(0，－3,0)， 由BF →·CK →＝0，得BF ⊥CK ， 由BF →·CA →＝0，得BF ⊥CA ，因为CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC .(2)解 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BDE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． D ⎝⎛⎭⎫12，－32，32，E ⎝⎛⎭⎫32，0，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，BE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，32，因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以⎩⎨⎧－3x 1－3y 1＋3z 1＝0，－3x 1＋3z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝0，z 1＝3，∴m ＝(1,0，3)， 同理可得n ＝(3，－2，3)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝62·4＝34.因为二面角F —BD —E 为锐二面角， 所以二面角F —BD —E 的余弦值为34.22．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2mx －1＝－x －2m x .①当m ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)内单调递减，f (x )无极值； ②当m >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2m ； 令f ′(x )<0，得x >2m .故f (x )在x ＝2m 处取得极大值，且极大值为f (2m )＝2m ln 2m －2m ，f (x )无极小值． (2)证明 方法一 当x >0时，要证g (x )＋3f ′(x )>0， 即证3e x －3x 2＋6mx －3>0，即证3e x －3x 2＋6mx －3>0. 设函数u (x )＝3e x －3x 2＋6mx －3， 则u ′(x )＝3(e x －2x ＋2m )．记v (x )＝e x －2x ＋2m ，则v ′(x )＝e x －2. 当x 变化时，v ′(x )，v (x )的变化情况如下表：由上表可知v (x )≥v (ln 2)， 而v (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2m ＝2－2ln 2＋2m ＝2(m －ln 2＋1)， 由m >1，知m >ln 2－1，所以v (ln 2)>0，所以v (x )>0，即u ′(x )>0.所以u (x )在(0，＋∞)内为单调递增函数． 所以当x >0时，u (x )>u (0)＝0.即当m >1且x >0时，3e x －3x 2＋6mx －3>0. 所以当m >1且x >0时，总有g (x )＋3f ′(x )>0. 方法二 当x >0时，要证g (x )＋3f ′(x )>0， 即证3e x －3x 2＋6mx －3>0，即证3e x －3x 2＋6mx －3>0. 因为m >1且x >0，故只需证e x >x 2－2x ＋1＝(x －1)2. 当0<x <1时，e x >1>(x －1)2成立； 当x ≥1时，由e x >(x －1)2，得e x2>x －1，即证e x2>x －1.令φ(x )＝e x2－x ＋1，则由φ′(x )＝12e x2－1＝0，得x ＝2ln 2.在(1,2ln 2)内，φ′(x )<0； 在(2ln 2，＋∞)内，φ′(x )>0， 所以φ(x )≥φ(2ln 2)＝2－2ln 2＋1>0. 所以e x2>x －1，故当x ≥1时，e x >(x －1)2成立． 综上得原不等式成立．。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：单元检测十二+Word版含答案
单元检测十二 概率、随机变量及其分布考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“出现小于5的偶数点数”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.562．已知离散型随机变量X 的分布列为则随机变量X 的均值为( ) A.23 B.43 C.53 D.763．(2018·太原模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选择一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( ) A.12 B.2－22C.3－33D.2－324．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( ) A.23 B.512 C.79 D.595．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.386．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}a n 满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球， 如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫235B ．C 27⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135C ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135 D ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 7．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤x 2的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.348．(2018·大连模拟)甲、乙两位同学每人有两本书，把这四本书混放在一起，每人随机从中拿回两本，记甲同学拿到自己书的本数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．1 B ．2 C ．0.5 D ．1.59．假设在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%.已知甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A ．0.665 B ．0.56 C ．0.24D ．0.28510．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (－1<ξ<4)＝0.85，则P (0<ξ<5)等于( ) A ．0.15 B ．0.30 C ．0.70D ．0.8511．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 2212．已知甲盒中装有大小相同的3个红球，2个白球；乙盒中装有大小相同的2个红球和1个白球．若分别从甲、乙盒中随机各摸出一个球，看完颜色后放回盒中，连续两次，则至少摸出3个红球的概率等于( ) A.25 B.715 C.23D.815第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若随机变量ξ～N (2,1)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________.14．先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y .设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________.15．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________.第15题图 第16题图16．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)一动点P 从各边长均为一个单位长度的四边形ABCD 的点A 处出发，沿A →B →C →D →A →B →C →D →A →…有规律地移动．(1)若将一枚骰子抛掷一次，其向上的点数为m ，则动点P 移动m 个单位长度，求抛掷骰子一次，P A 的长度等于一个单位长度的概率；(2)若将一枚骰子连续抛掷两次，其两次向上的点数之和为n ，则动点P 移动n 个单位长度，求抛掷骰子两次，点P 返回到点A 的概率．18．(12分)(2018·武汉调研)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和均值．19.(12分)为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”．铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念．某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为μ.以样本估计总体． (1)估计μ的值；(2)在本市老年人或中年人中随机访问3位，其中月骑车次数超过μ的人数记为ξ，求ξ的分布列与均值．20．(12分)(2018·荆州模拟)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组．画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及均值；(3)经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙远的概率．21．(12分)(2018·郑州模拟)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5 500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；(2)若对在[15,25)，[25,35)的被调查的人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及均值．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).22．(12分)(2017·重庆八中适应性考试)某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N*)的函数解析式；(ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率；(2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的均值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？答案精析1．C [因为P (A )＝26＝13，P (B )＝26＝13，所以一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.]2．C [∵P 1＝1－⎝⎛⎭⎫16＋13＋16＝13， ∴E (X )＝0×16＋1×13＋2×16＋3×13＝53.]3．C [当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>1，解得k >33或k <－33，又k ∈[－1,1]，所以－1≤k <－33或33<k ≤1，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为⎝⎛⎭⎫1－33＋⎝⎛⎭⎫－33＋12＝3－33，故选C.]4．D [方法一 由题意，知取出一支好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为59.故选D.方法二 第一支是好晶体管记为事件A ，第二支是好晶体管记为事件B ，则第一、二支均是好晶体管可记为事件AB . P (A )＝610＝35，P (AB )＝C 26C 210＝13，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59.]5．C [所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，其中，所组成的两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率是36＝12.]6．B [据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.]7．B [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4表示的平面区域的面积为2×4＝8，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4，y ≤x2表示的平面区域的面积为ʃ20x 2d x ＝⎪⎪13x 320＝83，故所求的概率为838＝13.]8．A [由题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2，且P (ξ＝0)＝1C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12·C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝1C 24＝16，所以E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.]9．A [记事件A ＝“从市场上买一个甲厂产品”，事件B ＝“甲厂产品为合格产品”，则P (A )＝0.7，P (B )＝0.95，所以P (AB )＝P (A )P (B )＝0.7×0.95＝0.665.]10．D [由随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)知，此正态曲线关于直线ξ＝2对称，所以P (0<ξ<5)＝P (－1<ξ<4)＝0.85.]11．C [依题意，题图中的阴影区域的面积等于2×12＋1121d x x⎰＝1＋ln 112|＝1＋ln 2，因此所求的概率为1＋ln 22，故选C.]12．D [甲盒中有3个红球，2个白球，故从中任取一个球为红球的概率为P 1＝C 13C 15＝35；乙盒中有2个红球和1个白球，故从中任取一个球为红球的概率为P 2＝C 12C 13＝23.记从甲、乙两个盒中连续取两次取得的红球个数分别为x ，y ，则由题意可知，x ～B ⎝⎛⎭⎫2，35，y ～B ⎝⎛⎭⎫2，23. 故所求事件的概率为P (x ＋y ≥3)＝P (x ＝2，y ＝1)＋P (x ＝1，y ＝2)＋P (x ＝y ＝2)＝C 22⎝⎛⎭⎫352×C 12×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋C 12×35×⎝⎛⎭⎫1－35×C 22×⎝⎛⎭⎫232＋C 22⎝⎛⎭⎫352×C 22⎝⎛⎭⎫232＝815.] 13．0.841 3解析 由题意知该正态曲线关于直线ξ＝2对称， 所以P (ξ<1)＝P (ξ>3)＝0.158 7.故P (ξ>1)＝1－P (ξ<1)＝1－0.158 7＝0.841 3. 14.13解析 由题意知P (A )＝P (x 是偶数)·P (y 是偶数)＋P (x 是奇数)·P (y 是奇数)＝12×12＋12×12＝12.记事件AB 表示“x ＋y 为偶数，x ，y 中有偶数，且x ≠y ”，即“x ，y 都是偶数且x ≠y ”，所以P (AB )＝16，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.15.65解析 125个小正方体中有8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，所以从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＋27125×0＝150125＝65. 16．3解析 设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.17．解 (1)连接AC .若AC 的长度等于一个单位长度，当骰子向上的点数m ＝1,2,3,5,6时，P A 的长度等于一个单位长度，此时所求的概率为56.若AC 的长度不等于一个单位长度，当骰子向上的点数m ＝1,3,5时，P A 的长度等于一个单位长度，此时所求的概率为36＝12.(2)若抛掷两次的点数之和n ＝4,8,12，则点P 返回到点A . n ＝4的情况有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种；n ＝8的情况有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5种； n ＝12的情况有：(6,6)，共1种．所以点P 返回到点A 的情况共有3＋5＋1＝9(种)， 又连续抛掷两次的情况数是36， 所以所求概率为936＝14.18．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题中至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎫350×⎝⎛⎭⎫252×15＝4125，P (X ＝1)＝C 12×⎝⎛⎭⎫351×⎝⎛⎭⎫251×15＋C 02×⎝⎛⎭⎫350×⎝⎛⎭⎫252×45＝28125， P (X ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫250×15＋C 12×⎝⎛⎭⎫351×⎝⎛⎭⎫251×45＝57125，P (X ＝3)＝C 22×⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫250×45＝36125.所以X 的分布列为所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.19．解 (1)由已知可得下表则本市一个青年人月骑车的平均次数为μ＝5×10300＋15×20300＋25×40300＋35×60300＋45×80300＋55×90300＝12 000300＝40.(2)由(1)知，μ＝40.本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为19＋11＋5＋5140＋60＝15. ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，15， 故P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫453－k ，k ＝0,1,2,3. 所以ξ的分布列如下所以均值E (ξ)＝3×15＝0.6.20．解 (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴总人数为70.14＝50.由题意知成绩在第4,5,6组的人均进入决赛，人数为 (0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)X 的所有可能取值为0,1,2，进入决赛的概率为3650＝1825，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫2，1825， P (X ＝0)＝C 02⎝⎛⎭⎫7252＝49625， P (X ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎫725⎝⎛⎭⎫1825＝252625， P (X ＝2)＝C 22⎝⎛⎭⎫18252＝324625. 则X 的分布列为E (X )＝2×1825＝3625，两人中进入决赛的人数的均值为3625.(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤10，9.5≤y ≤10.5，事件A “甲比乙远的概率”满足的区域为x >y ，如图所示．∴由几何概型知P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙远的概率为116.21．解 (1)2×2列联表如下：因为K 2≈6.272<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5 500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 24C 25×C 28C 210＝610×2845＝84225，P (ξ＝1)＝C 14C 25×C 28C 210＋C 24C 25×C 18C 12C 210＝410×2845＋610×1645＝104225， P (ξ＝2)＝C 24C 25×C 22C 210＋C 14C 25×C 18C 12C 210＝610×145＋410×1645＝35225， P (ξ＝3)＝C 14C 25×C 22C 210＝410×145＝2225，所以ξ的分布列是所以ξ的均值E (ξ)＝0＋1×104225＋2×35225＋3×2225＝45.22．解 (1)(ⅰ)当n ≥17时，y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850(n ≤16，n ∈N *)，850(n ≥17，n ∈N *). (ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ，由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X 表示当天的利润(单位：元)，则X 的分布列为E (X )＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y 表示当天的利润(单位：元)，Y 的分布列为E(Y)＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E(X)>E(Y)，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。
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单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( ) A ．138 B ．95C ．23D ．1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．42B ．6C ．7D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35C. 32D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1(n ∈N ＋)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．(2017·天津模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N ＋)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4， a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10， 又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52，故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0， a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.]7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项， 即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d＋1， 因为d ，n ∈N ＋，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2， 所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a 2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N ＋，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.(3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)2＝(4n －5)·2n ＋2＋20－6n 2－3n .。