1.2.1极坐标系的概念
极坐标知识点总结
极坐标知识点总结一、极坐标的基本概念1.1 极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它由距离和角度两个参数来确定点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，则是用半径和角度来表示。
对于一个点P(x, y)，可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是点P到原点O的距离，θ是OP与x轴正方向的夹角。
1.2 极坐标系的基本元素极坐标系包括极轴、极角、极径等基本要素。
极轴是平面上一条射线，通常取x轴的正半轴作为极轴，记作θ=0。
点P到极轴的距离r称为极径，点P与极轴的夹角θ称为极角。
1.3 极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
在直角坐标系中，点P(x, y)可以转换为极坐标(r, θ)的形式，其中r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
反之，极坐标(r, θ)也可以转换为直角坐标(x, y)的形式，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
二、极坐标的表示方法2.1 极坐标系的图示表示极坐标系通常用极轴和极角的方式进行图示表示，极轴通常取x轴的正半轴，极角从极轴正半轴开始逆时针旋转。
2.2 极坐标的参数表达对于一个点P(r, θ)，通常用参数方程的形式来表示，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种表示方法可以方便地描绘出曲线在极坐标系中的形状。
2.3 极坐标的极径范围在极坐标系中，极径r可以取任意实数，而极角θ通常取一个区间，通常是[0, 2π)，表示半平面θ的取值范围。
三、极坐标的转换方法3.1 极坐标到直角坐标的转换对于一个点P(r, θ)，可以通过r*cosθ和r*sinθ来转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种转换方法可以帮助我们在直角坐标系中描绘出极坐标中的曲线。
3.2 直角坐标到极坐标的转换对于一个点P(x, y)，可以通过√(x²+y²)和tan^(-1)(y/x)来转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，即r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标的概念
（一）极坐标概念确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。
极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。
1.1极坐标系定义在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。
其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。
1.2平面内的点与极坐标系的关系平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极角不固定。
（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。
ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。
∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。
故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.∴或故选B 。
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。
极坐标系的概念教案.docx
课题: 选修 4-4 《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27 ）班执教时间： 2016 年 06 月 18 日一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。
2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置.3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。
三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。
三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境 1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。
二、讲解新课：1、合作探究，概念形成。
（1）学生阅读教材 P8-P10 页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示 PPT 对极坐标的概念作深入分析。
极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。
）强调 : 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。
2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M ，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点 M 的，叫做点 M 的，有序数对( , )就叫做 M 的.强调 : 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥ 0，θ可取任意实数．特别地，当点 M在极点时，它的极坐标为 (0 ，θ) ，θ可以取任意实数．3、典型例题例 1 写出下图中各点的一个极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）【反思感悟】(1) 写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．变式训练 . 在极坐标系里描出下列各点A(3,0), B(6,2 ), C (3,) , D (5, 4), E(3,5) , F (4 ,),G (6 ,5)23634、思考：通过例子，对比平面直角坐标系，平面上的点与极坐标有何关系？（1）. 平面上一点的极坐标是否惟一？若不惟一，那有多少种表示方法？（2）. 坐标不惟一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标 ( ρ，θ ) 与____________________表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0 ，θ )( θ∈ R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．（3）想一想：我们是否能限制一些条件使得平面上的点与极坐标一一对应呢？（如果限定：＞0,0＜2，那么除了极点外，平面内的点就和极坐标一一对应了！）（1）探究：极坐标是否对应惟一的一点答：规律总结：建立极坐标系后，给定( ρ，θ ) ，就可以在平面内唯一确定一点M；巩固练习1、已知极坐标M54，下列所给出的不能表示点 M的极坐标的是（）（，）310A（.5，）32B（.5，-）C（.5，-）38D.(5,)四、课堂小结，反思感悟。
极坐标运动学-概述说明以及解释
极坐标运动学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。
极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。
相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。
在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。
通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。
极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。
本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。
我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。
然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。
接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。
最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。
通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。
这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。
本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。
通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。
1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。
包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。
通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。
1.2.3 探讨极坐标运动学的应用：本节将介绍一些重要的极坐标运动学的应用场景。
极坐标系定义及互化
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点
M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4
O [2]在OP的反向延长
线上取一点M，使
M
OM= 3
P = /4
X
3、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成 是旋转 ，因此，所谓“负 极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致， 用“负”表示“反向 ”。
1
点Q的极坐标为 (4, 2 ) ，其直角坐
标如何表示？
3
Q
Q(2,2 3)
O
X
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y)
y
极坐标是 (ρ,θ)
θ
O
x
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
极角的确定：由正切值找角，由象限位置定角
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
不做特殊说明时,≥0,∈R
当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值。
例：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
1.2.1极坐标系
实验楼 D
图书馆 C
120m
45
0
60 0
60m
A, B, C, D, E, F的极坐标分别为：
A 教学楼
B 体育馆
3 0,0, 60,0, 120 , , 60 3, , 50, . 3 2 4
练习： 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合 6 的点是( A ) 13 A.(3, ) B. (3, － 6 )
O
M
X
二、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标（,）,就 可以在极坐标平面内确定 唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，却 有无数个极坐标与之对应。
P M O (ρ,θ)… X
原因在于：极角有无数个。
二、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
O
X
一、极坐标系的建立： 极坐标系内点的极坐标定义： 设M是平面内一点
①极点O与点M的距离︱OM︱叫做点M的极径，记为
②以极轴ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角，记为. M 有序数对（，）叫做点M的极坐 标,记为M(，)
注：不作特殊说明时，我们认为 ≥0， 可取任意实数. 特别强调：表示线段OM的长度， 即点M到极点O的距离；表示从 OX到OM的角度，即以OX（极轴） 为始边，OM 为终边的角。
1.2.1
极坐标系
以321国道为X轴 以红星路为Y轴...
请问：去博物馆 怎么走？
情 境 引 入
以321国道为X轴 以红星路为Y轴...
脑子 进水了？
从这向西南 走2000米。
请问：去博物馆 怎么走？
请分析下面这句话，他告诉了问路人什么？
坐标系的概念
坐标系的概念坐标系是数学中常用的一种工具，用于描述和表示空间中的点的位置。
它是通过一组数值，将点与参考系之间建立起一种对应关系。
在几何学、物理学、工程学和计算机科学等领域，坐标系被广泛应用。
本文将介绍坐标系的概念、种类以及使用方法。
一、坐标系的概念坐标系是一种描述空间中点位置的方式。
它以参考对象为基准，选取几个互相垂直的线作为参照，通过在这些线上标注数值，来表示点的位置。
一般来说，坐标系由原点和坐标轴组成。
原点是参考对象上的一个点，用于确定坐标轴的位置。
坐标轴是以原点为中心的直线，垂直交叉形成的一组直角线。
二、坐标系的种类1. 二维直角坐标系（笛卡尔坐标系）二维直角坐标系是最常见的坐标系。
它有两个相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
x轴是水平方向的坐标轴，y轴是垂直方向的坐标轴。
坐标系中的点可以通过两个数值（x，y）来表示，即横坐标和纵坐标。
2. 三维直角坐标系三维直角坐标系是在二维直角坐标系的基础上加上了一条垂直于xy 平面的z轴。
该坐标轴与xy平面相交于原点。
在三维直角坐标系中，点的位置需要通过三个数值（x，y，z）来确定。
3. 极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来表示点的位置的坐标系。
它将点的位置与参考点（原点）的距离和与参考方向的角度联系起来。
极径表示点到原点的距离，极角表示与参考方向的夹角。
极坐标系适用于描述圆形和对称图形。
三、坐标系的使用方法1. 确定坐标系类型在使用坐标系之前，需要确定所使用的坐标系类型，根据实际情况选择二维直角坐标系、三维直角坐标系或极坐标系。
2. 标注坐标轴在坐标系中，需要标注坐标轴。
一般来说，x轴通常水平方向，y 轴通常垂直方向。
对于三维直角坐标系，还需要添加垂直于xy平面的z轴。
3. 确定原点在坐标系中，需要确定原点的位置。
原点是坐标轴的交点，通常作为参考对象的起点。
4. 描述点的位置使用坐标系时，需要通过数值来描述点的位置。
在二维直角坐标系中，点的位置通过横坐标和纵坐标来表示。
高中数学人教A版选修4-4课件：1.2极坐标系
-10-
二 极坐标系
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
-11-
二 极坐标系
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
-4-
二 极坐标系
12
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
-5-
二 极坐标系
12
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
-12-
二 极坐标系
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
-13-
二 极坐标系
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12345
-19-
二 极坐标系
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
极坐标系的概念
【作业表单3：单元学习目标与活动设计及检验提示单】单元学习主题极坐标系的概念单元学习目标1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
单元学习活动一、导入1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。
有时用别的坐标系比较方便。
还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：（投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。
）2.在以上问题中，位置是用什么方法确定的？3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
二、探究新知问题：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立极坐标系？（学生思考，抽生回答，并补充，最后教师总结。
）1.极坐标系的概念(1)概念:在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
(2)点的极坐标的规定:如图：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边5海里（1）距离：5 海里（2）方向：东偏北30º.O x拯救船30º发现走私走私船在拯救船的什么位置呢？距离40 kmxO方向：4π敌机敌机在坦克的什么位置?。
1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )． 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边， 求正六边形各顶点坐标．
解： 由点的极坐标的定义可知， 正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).
极坐标与参数方程知识点总结
第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,点M直角坐标()y x ,极坐标()θρ,互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ()0tan 222≠=+=x xyy x θρ 在一般情况下,由θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆()πθρ20<≤=r圆心为()0,r ,半径为r 的圆⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=222πθπρr圆心为⎪⎭⎫⎝⎛2,πr ,半径为r 的圆()πθθρ<≤=0sin 2r过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R ∈+=∈=ραπθραθ或(2) ()()00≥+=≥=ραπθραθ或过点()0,a ,与极轴垂直的直线⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22cos πθπθρa过点⎪⎭⎫⎝⎛2,πa ,与极轴平行的直线()πθθρ<<=0sin a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2
2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能提升演练
教材超级链接
名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的 位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐 标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
知能提升演练
教材超级链接
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离 极径 ，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记 极角 ，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能提升演练
教材超级链接
【变式1】 写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ， ， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
极坐标系 课件
A322，－322，B(－1，－ 3)，C－ 23，0，D(0，－4)．
(2)根据
ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝yx得
A2
3，116π，
B 35，π2，C4，23π.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．把直角坐标化为极坐标的注意事项 设点 M 的直角坐标为(x，y)，极坐标是(ρ，θ)． (1)由于 ρ≥0，解得 ρ＝ x2＋y2. (2)tan θ＝yx(x≠0)，当 x＝0 时，点 M(x，y)在 y 轴上， 当 y>0 时，点 M 的极角可取π2；当 y＝0 时，点 M 的极角可 取 0；当 y<0 时，点 M 的极角可取32π. 当 x≠0 时，由 tan θ 的值确定 θ，要注意点 M 所在的象限．
极坐标系
1．极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 __极__坐__标__系____．设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM| 叫做点 M 的_极___径__，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终 边的角 xOM 叫做点 M 的__极__角__，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．
要点一 点的极坐标 1.求点 M 的极坐标的方法 (1)根据图形求点 M 到极点 O 的距离|OM|； (2)根据图形确定∠xOM 的一个值(一般取极轴 Ox 按逆时针 方向旋转到与 OM 重合时转过的角，即在[0,2π)内的一个角； (3)得点 M 的极坐标．
2．由极坐标确定点的位置的方法步骤
问题探究 1：极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联 系？
极坐标系任意两条线的夹角-概述说明以及解释
极坐标系任意两条线的夹角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标系是一种常用的坐标系，通常用来描述平面上的点的位置。
在极坐标系中，点的位置由距离原点的距离（即极径）和与参考方向的夹角（即极角）来确定。
在本文中，我们将探讨极坐标系下任意两条线之间的夹角计算方法。
通过计算任意两条线之间的夹角，我们可以更好地理解这两条线之间的关系，从而应用到各种实际问题中。
本文将介绍如何在极坐标系下计算任意两条线的夹角，并通过实际应用举例来展示其实用性和重要性。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地了解极坐标系及其在几何问题中的应用，为进一步研究和实践提供基础和指导。
1.2 文章结构本文将首先介绍极坐标系的基本概念和特点，包括极坐标系的定义、极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优势和应用场景。
接着，将详细探讨如何计算极坐标系中任意两条线的夹角，包括相关的数学推导和计算方法。
通过具体的例子和运算过程，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
最后，将通过实际的应用举例，展示极坐标系任意两条线夹角的计算方法在实际问题中的应用和意义。
通过案例分析，加深读者对该知识点的理解和掌握，同时拓展了思维和应用能力。
通过以上内容的呈现，读者将能够全面了解极坐标系任意两条线夹角的计算方法及其实际应用，从而更好地理解和运用这一数学概念。
1.3 目的本文旨在探讨极坐标系中任意两条线的夹角计算方法，通过简洁明了的说明和实际应用举例，帮助读者深入了解极坐标系的特点和计算方式。
通过深入研究和解析，希望读者可以掌握计算任意两条线夹角的技巧，从而应用于实际问题中。
同时，也希望通过本文的阐述，拓展读者对极坐标系的认识，为进一步的学习和研究奠定基础。
2.正文2.1 极坐标系简介极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它是以点到原点的距离和点与正方向的夹角来确定点的位置。
在极坐标系中，点的位置由两个数值表示，即极径和极角。
极径表示点到原点的距离，通常用字母r表示，可以是正值也可以是零值，但不能为负值。
八年级数学人教版
八年级数学人教版第九册第一章极坐标系一、极坐标系的概念1.1 极坐标系极坐标系是用极轴和极角表示一个点的定位系统，它的坐标系轴是极轴，把极轴从原点（0，0）指向一个点，绕极轴顺时针旋转带向的射线的角度叫极角，该点的极坐标为（极距，极角），极距指从原点出发到该点的距离，极角指从正极轴正向按顺时针旋转到指向该点经过的角度。
1.2 极坐标系的图形由极坐标系可以描绘出任意形状和角度的图形，比如圆、椭圆、曲线等。
用极坐标系表示一个几何图形，只需要列出极坐标参数组，便可完整表示出该几何图形，而不必求出它的标准方程。
二、极坐标的算术运算2.1 加法与减法极坐标可以直接运用加法和减法，比如两个点A（2，150°），B （3，270°），则A+B=（5，180°），A-B=（-1，30°）。
2.2 乘法与除法极坐标可以用乘法和除法。
乘法时，将极距乘以相应的数字，也可以将极角乘以所得的倍数；除法时则相反，将极距除以相应的数字，也可以将极角除以所得的子数。
三、极坐标与直角坐标的相互转换通过求解极坐标点与直角坐标系之间的转换关系，可实现极坐标与直角坐标的相互转换，换言之，可以将直角坐标系中的点，转换为极坐标，或将极坐标系中的点，转换为直角坐标。
3.1 极坐标到直角坐标若给定极坐标系中的点P（极距a，极角度θ），转换为直角坐标系中的点P（x,y），则有x=a*cosθ；y=a*sinθ。
3.2 直角坐标到极坐标若给定直角坐标系中的点P（x,y），转换为极坐标系中的点P （极距a，极角度θ），则有a=√(x^2+y^2)；θ=tan^(-1)(y/x)；四、极坐标的几何意义4.1 内角：若给定极坐标系中以点O(0,0)为中心，以OP(a,θ)为圆心，则OP 与正极轴正向之间的角度θ叫做此圆的内角，其绝对值等于此圆心的极角。
4.2 外角：若给定极坐标系中以点O(0,0)为中心，以PT(a,θ)为圆外某一点，则PT与正极轴正向之间的角度θ叫做此圆的外角，其绝对值等于此圆外点的极角。
极坐标系的概念和应用
极坐标系的概念和应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r 代表该点到原点的距离，θ代表该点与参考线的夹角。
极坐标系能够简洁地描述圆形、对称图形以及其他一些具有旋转特性的图形，因此在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系统，它与直角坐标系密切相关。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为(x,y)的形式，其中x为该点与x轴的水平距离，y为该点与y轴的垂直距离。
而在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与参考线的夹角。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一种转换关系，通过这种关系可以实现坐标系的相互转换。
具体而言，对于给定的极坐标(r,θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，对于给定的直角坐标(x,y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这种转换关系使得在不同的应用场景中能够灵活地使用极坐标系和直角坐标系。
三、极坐标系的应用1. 圆的极坐标方程在极坐标系中，圆可以用简洁的形式进行表示。
对于圆心在原点，半径为a的圆，其极坐标方程为：r = a通过这个方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质。
2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，某些曲线的方程可以用极坐标表示。
例如，对于给定的极坐标方程r = f(θ)，其中f(θ)是一个与θ有关的函数，我们可以通过描绘不同θ值对应的r值来绘制出相应的曲线。
3. 极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中有着重要的应用。
例如，极坐标系可以用来描述某些旋转对称的物理问题，比如自转的刚体、天体运动等。
通过使用极坐标系，可以更加简洁地描述物体在旋转过程中的运动规律。
极坐标的概念
极坐标的概念极坐标是一种二维坐标系，它使用角度和半径来表示平面上的点的位置。
在极坐标系中，原点是极点，向外的射线被称为极轴。
一个点的位置由它的极径和极角给出，极径是从原点到点的距离，极角是从极轴相对应的点开始顺时针旋转到该点的角度。
在使用极坐标的时候，我们可以用公式来计算一个点的位置。
该公式如下：x = rcos(θ) y = rsin(θ)。
其中，x和y分别是点在平面直角坐标系中的坐标，r是该点到极点的距离，θ是该点与极轴的夹角。
这个公式可以帮助我们从直角坐标系转换到极坐标系。
极坐标可以方便地表示一些圆形或者圆弧上的点的位置。
比如，我们可以用一个点的极径和极角来描述一个圆上的点。
同样，我们也可以用极坐标来表示一些图形的方程，例如：r = a + bcos(θ)代表着一个以 (a,0) 为中心，半径为 b 的圆与极轴相切。
使用极坐标可以将复杂的问题简化为简单的计算。
举个例子，我们可以使用极坐标计算通过一定半径内的任意形状的面积，只需要将该图形转换为极坐标，然后以相应的角度为上限和下限来计算积分。
总之，极坐标是一种非常重要的数学工具，它可以被用来描述和计算一些复杂的平面几何问题。
在应用中，我们需要将直角坐标系的点精确地转换到极坐标系的点，以便更好地进行计算和分析。
使用极坐标计算常见问题：1. 计算一个圆的面积圆可以表示为r = a的方程，只需要计算以半径a的圆形所围成的面积S即可，公式如下：S = ∫[0,2π] ∫[0,a] r dr dθ = πa²2. 计算一个椭圆的面积问题可以简化为计算a,b为长轴和短轴的椭圆面积，椭圆可以表示为r=a·(1-e²)/1-e·cos(θ)，其中e=√(1-b²/a²)，即椭圆的离心率。
椭圆的面积为S=πab。
3. 给定两点，计算它们的距离假设有两个点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，则它们的距离根据勾股定理可以表示为：d = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²]。
极坐标系的概念
极坐标系的概念
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用
来表示“反向” 特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
极坐标系的概念
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标
P
M
[1]极径是正的时候：
3， 2k O
X
极径相同，不同的是极角。
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统极坐标一系的概表念 达式： 4 ，2 k π +
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
4
[2]极径用“-3” （3， 2k)
4
极坐标系的概念
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]首先，给定极坐标M（，）
P
M
在平面上可以确定唯一的一点。
[2]反过来，给定平面上一
点，却有无数正有负；极
M
角有无数个。
但是，有统一表达式两个。 O
X
P
极坐标系的概念
如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
极坐标系的概念
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3)
设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
极坐标系的概念
四、4、正、负极径时，点的确定过程比较
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
把负极径时点的确定过程，与正极径时 点的确定过程相比较，看看有什么相同，有 什么不同？
4、负极径的实质 从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射线 OP“反向延长”。
而反向延长也可以说成旋 转 ，因此，所谓“负极径” 实质是管方向的。这与数学中 通常的习惯一致，用“负”表 示“反向 ”。如：直角坐标系 中点的坐标是负的~；两个向量 对应的复数一正一负，方向也 相反。
狭义极坐标系
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数种，因为极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有 （ρ，2kπ+θ）（ρ>0，极点除外）
布置作业 1、书面作业：课本P18习题1— 2A组第1,2题（做在书上，下节 课前由课代表检查） 2、检查作业：选修系列4—4
《步步高分层训练》
课后反思：本节课开始探讨极坐标系，它是 现实生活中有着广泛应用的又一种坐标系， 本节内容简单，学生容易接受，故只用了不 到40分钟，建议增加例3. 注：例3为课后增加
6、已知点A( 1 ,1 ), B( 2 , 2 )的极坐标满 足条件1＋ 2＝0且1＋ 2＝，则A与B 的位置关系是什么？
P M O P O X X
M
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
P
O
X
五、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正 的。现在所说的“负极径”中的“负”到底 是什么意思？ 有比较才能有鉴别！
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定一想？
5月30日 星期一
从这向南 2000米。
请问：去西北 大学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）.
X
这样就建立了一个极坐标系.
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
M 如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4， 本题点M的极坐标统一表达式： 4
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些 必要情况下，极径也可以取负值。（？） 对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= M
解： 1＋ 2＝0， 1＝－ 2 即A( 1 , 1 ), B( 1 , 2 ) B( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) 又 2 1 , B的极坐标为 ( 1 , 2 ) ( 1 ,2 1 ) 即B( 1 ,1 ), A, B两点关于极轴对称
2
5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M O (ρ,θ)… X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.