振动和波(北邮版09级)

p
O
x
X

2
x y A co s[ ( t ) ] u
或
y A cos[ t

( x ） ]
2、左行波的波动方程： 如图，已知 P 点的振动方程：
y P A cos(t )
y
px
O
u
X

2
x y A cos[ ( t＋ ) ] u
旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为
x ( t ) A cos( t )
1、2象限 v<0 ;
3、4象限 v>0 。
A2
O
A1
X
O
A1
X O
A1
A2
X
A2
同相
振 反相 动 2 X(m) 例1：一简谐振 比 0.04 振 动曲线如图所 动 示，则以余弦 1 O 函数表示的振 超 动方程什么样？ 前 -0.04
X(t)为质点离开平衡位置的位移；物体
所受合外力为零的位置定为平衡位置。
二.描述简谐振动的三个重要物理量 1. 振幅A(米）：表示质点离开平衡位置的
最大位移的绝对值。
2. 振动的周期﹑频率﹑圆频率
A. 振动周期T（秒）：完成一次全振动所 需时间。
1 B. 频率 （赫兹） ：单位时间内完
x2 (t ) A2 cos( t 2 )
t ) x(t ) x1 (t ) x2 (t ) A cos(
结论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是
同频率的简谐振动。
旋转矢量法方法
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
二、波动方程的物理意义 1、t 一定时的波形图
x y A cos[ (t ) ] u
y
O
u t
x1
u
X
x2
t时刻
t+ t 时刻
2 1 2 ( x2 x1 )
•波线上两质点之间的位相差
•讨论各质点在给定时刻的振动方向
2、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的
3、波速 u ：在波动过程中，某一振动状
T
态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也 称之相速。 u λ
机械波的传播速度完全取决于介质。（决
于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹 性模量和介质的密度。）
第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 一、平面简谐波的波动方程的推导 1、右行波的波动方程
或
2 y A cos （ t x）
照抄已知点的振动方程，再将任一点
振动超前于或落后于已知点振动的位相 补上，就得任一点的振动方程，即为波 动方程。（超前就“ ＋ ” ，落后就 “ － ” 。）
（2）如图，已知 P 点的振动方程：
y P A cos( t ) y u
2 1 2 2
A
A1
A2
X
（ 1 ） 2k
A A1 A2
k 0,1,2,
振动加强
（2） (2k 1)
A | A1 A2 |
k 0,1,2,
振动减弱
A2
A1
A
X
二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成 x2 (t ) A cos( 2t ) x1 (t ) A cos( 1t )
O
X
X(m) 2
例3： 求振动方程
t=1s
1
o
t(s)
O X
t=0
解题思路：作旋转矢量图
3 x 2 cos t (m) 4 4
例 4. 一质点在 x 轴上作简谐振动，振辐 A=4 cm，周期T= 2 s，其平衡位置取作坐标原 点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通 过x = -2 cm处的时刻为 (A) 1 s． (B) (2/3) s． [B] (C) (4/3) s． (D) 2 s．
x(cm)
2 1 5
(1)
0 -0.5 -1
t(s)
(2)
波 第一节
动 学 基 础
机械波的形成和传播
一、机械波的产生
1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的 传播过程。 2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。
波动（或行波)是振动状态的传播，
是能量的传播，而不是质点的传播。
后面质点的振动规律与前面质点的振
1 2 1 解：（1） E kA f max A 2 2
（2）取平衡位置未势能零点，由旋转矢量图，行至一半 时的相位60.
1 2 2 Ek kA sin ( wt ) 2
E p E Ek
第五节
同方向的简谐振动的合成
一、 同方向、同频率的简谐振动的合成
x1 (t ) A1 cos( t 1 )
yo A cos( t ) （1）已知O点振动表达式： y （O点不一定是波源） u
p
O
X
x
x y A cos[ (t ) ] u
将 t 理解为已知点振动了的时间，求
出任一点实际振动的时间，以此代替已知 点振动方程中的 t，就可得到任一点的振 动方程，即为波动方程。
第三节 无阻尼自由振动、谐振子 一、弹簧振子： k f m X ma= = f =-kx o x
d x m 2 kx dt
2
k 2 w (令 ) m
d x 2 w x0 2 dt
2
(简谐振动的动力学方程)
故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。
k ＝ m
m T 2 k
二、微振动的简谐近似 1.单摆
g /l
三. 已知简谐振动的初始条件(x0 A和
、v0)，求
x0 A cos
A x
2 0
V0 A sin
V0 tg x0
V

2 0 2
（最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出 旋转矢量的位置而求出初位相）
第四节、简谐振动的能量
1 1 2 2 动能: E k mv kA sin 2 ( t ) 2 2
或 y A cos[ t ＋

( x ） ]
平面简谐波波动方程的一般形式
x y A cos[ (t ) ] u
或
y A cos[ t
2

x ]
x前为“+”号，表明波向x轴负向传， x前为“-”号，表明波向x轴正向传。
思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度
振动
第一节 振动的一般概念
一. 机械振动：物体在一定位置（平衡位置） 附近作重复往返运动称为机械振动。 二.机械振动的原因：
k
m
o
x
X
物体受到回复力作用以及物体具有惯性。
第二节 简谐振动
一、简谐振动的定义式(或:简谐振动的运动学方程)
m o x
X x ( t ) A cos( t )
1 2 1 2 2 势能: E p kx kA cos ( t ) 2 2
简谐振动能量:
E
1 2 E E k E p kA 2
Ek
E=(1/2)kA2
Ep
E p Ek
t
o
例：弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自 平衡位置移开0.04cm,弹簧拉力为24N，随即释放， 形成简谐振动。计算：（1）弹簧振子的总能； （2）求质点被释放后，行至振幅一半时，振子的 动能和势能。
1
2
t(s)
例2：一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为 2s 。当 t=0 时位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求： （1）初相，(2)在 x=－0.06m 处，且向X轴负方向运动时， 物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需 的时间。 (1)由图可知：
解题思路：
作旋转矢量图
成全振动的次数。
C. 圆频率 2
3. 位相和初位相
：它是反映质点在t时刻
振动状态的物理量。（相同的振动状态对 应相位差为 2 的整数倍。） B. 初位相 ： t＝0 时刻的位相。
三、简谐振动的速度和加速度
1. 速度 dx v A sin( t ) dt
A cos( t v m cos( t ) 2
2
)
其中
v m A 叫速度振幅
•速度的位相比位移超前 2. 加速度
2
dv 2 a A cos( t ) dt 2 A cos( t ) a m cos( t )
解题思路：
2、合振幅最小，两分振动应反相，故 2＝－ 4 A1 3. x 11cos(10t 3 ) cm 4 X
4. x cos(10t - ) cm 4
4 A2
思考题1: 一质点作简谐振动,其运动速度
与时间的曲线如图所示。若质点的振动规 律用余弦函数描述，求其初位相。
C
f mg sin mg （当 sin 时）
d 2 (l ) m mg 2 dt
T
d 2 2 w 0 2 dt
g 2 （令 w ） O l
mg
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频 率,振动的周期分别为：
2 l T 2 g
A
A2
2
A2 sin 2
A1 sin 1 A 2 sin 2 tg A1 cos 1 A 2 cos 2