2.3 第一课时直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)

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第2章 2.3.3 直线与圆的位置关系-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义

2.3.3直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养．早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r判定方法代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )[答案] (1)√ (2)√2．(教材P 110练习A ①改编)直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径为1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．]3．直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是． 0＜a ＜2－1 [由题意得圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0的距离大于半径a ，即|a －1|2＞a ，解得－2－1＜a ＜2－1，又a ＞0，∴0＜a ＜2－1．]4．直线3x ＋y －23＝0，截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长是． 2 [圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|3＋1＝3．所以弦长l ＝2R 2－d 2＝24－3＝2．]直线与圆位置关系的判定【例1】只有一个公共点？没有公共点？[思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．[解] 法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ②得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b )2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)． (1)当－2＜b ＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． (2)当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．(3)当b ＜－2或b ＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．法二：圆的半径r ＝2，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |2．当d ＜r ，即－2＜b ＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．当d ＝r ，|b |＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点．当d ＞r ，|b |＞2，即b ＜－2或b ＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知圆的方程x 2＋(y －1)2＝2，直线y ＝x －b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？[解] 法一：由⎩⎨⎧y ＝x －b ，x 2＋(y －1)2＝2得2x 2－2(1＋b )x ＋b 2＋2b －1＝0，① 其判别式Δ＝4(1＋b )2－8(b 2＋2b －1)＝－4(b ＋3)(b －1)，当－3＜b ＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；当b ＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；当b ＜－3或b ＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点．法二：圆心(0,1)到直线y ＝x －b 距离d ＝|1＋b |2，圆半径r ＝2．当d ＜r ，即－3＜b ＜1时，直线与圆相交，有两个公共点；当d ＝r ，即b ＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点；当d ＞r ，即b ＜－3或b ＞1时，直线与圆相离，无公共点．直线与圆相切的有关问题【例2】 [思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A 在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158．所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0． (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4．综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4．过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x ＝x 0或y ＝y 0．(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求出k ，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程． [解] 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心C (－2,0)，设过原点的直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径．即|－2k |k 2＋1＝1，∴3k 2＝1， k 2＝13，解得k ＝±33． ∵切点在第三象限，∴k ＞0， ∴所求直线方程为y ＝33x ．直线截圆所得弦长问题[探究问题]1．已知直线l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r 、圆心到直线的距离为d ，如何求弦长？[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l ＝2r 2－d 2．【例3】直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程．[思路探究] 设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r 、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求．[解] 据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，与圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，法一：联立方程组⎩⎨⎧y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25.消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0．由Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0，解得k ＞0．又x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1，由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ＝45．两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2符合题意．故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．法二：如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半．在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12×45＝25，则|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5． ∴|5(1－k )|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2．∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．(变条件)直线l 经过点P (2，－1)且被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l 方程．[解] 圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心C (3,1)．因为|CP |＝(3－2)2＋(1＋1)2＝5＜5，所以点P 在圆内．当CP ⊥l 时，弦长最短．又k CP ＝1＋13－2＝2．所以k l ＝－12，所以直线l 的方程为y ＋1＝－12(x －2)，即x ＋2y ＝0．直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，则|AB |＝2r 2－d 2．图1 图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在且不为0)．1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．提醒：能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x ．(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 B [圆心到直线的距离d ＝112＋(－1)2＝22＜1．又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)．∴直线与圆相交但不过圆心．]2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33 D ．±3 C [设l ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0．又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1．∴k ＝±33．] 3．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为．4 [圆的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，所以弦长为25－1＝4．]4．若直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，则m 的取值范围是． m ＜－2或m ＞2 [因为直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，所以|－m |12＋12＞2，解得m ＜－2或m ＞2．]5．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．[解] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ．设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离 d ＝|2k －1－2|1＋k 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22．解得k ＝1或k ＝177．所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0．。

2.3 第一课时直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)

12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)．即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
|6k＋4| ∵圆心到直线的距离为 2，∴ ＝ 2， 1＋k2 7 即17k ＋24k＋7＝0.∴k＝－1或k＝－17.
2
∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0.
[一点通]
求弦长的常用方法
(1)代数法： ①将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长． ②设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d＝ 1＋k2|x2－x1|.
3 5 B. 5 6 5 D. 5
(
)
解析：圆心为(1,0)，半径为
2 ，圆心到直线的距离d＝ 1 6 2－5＝5 5.
|2－0－1| 1 ＝，弦长l＝2 r2－d2＝2 5 5
答案：D
7．(2012· 安徽重点中学统考)设直线ax－y＋3＝0与圆 (x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，则 a＝________.

高中数学必修二-直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。

高一数学直线与圆的位置关系2

4.比较△与0的大小关系：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．
直线与圆的位置关系的判定（几何法）
1.把直线方程化为一般式，并求出圆的圆心坐标和半径r； 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；
3.比较d与r的大小关系：
若d＞r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d＜r，则直线与圆相交．
典例剖析
例1. 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求两个交点的距离．
典例剖析
例2.过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦长为4 5 ，求直线l的方程.
y A C M B
o
巧用平面几何性 x 质简化计算过程
2 2
知识回顾
2.在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？我们怎样判断直线与圆的位置关系？
d r d r r
d
d <r
d =r
d >r
知识探究 1、直线与圆的位置关系的判定
相离
相切
相交
d>r
dr
dr
有两个公共点
没有公共点有一个公共点
r
d
dr
r d
问题提出
已知直线和圆方程，如何判断它们之间的位置关系？
y
M 注意:
x
o
(1)过圆外一点可作两条切线; (2)注意斜率不存在的切线.
思考4:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2 外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？ M y A x0x+y0y=r2

高中数学必修2直线与圆的位置关系2

把直线方程与圆的方程联立成方程组
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4

直线与圆的位置关系(第1课时)(教学课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)

把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
因此 =
= 10.
1−2
2
+ 3−0
2
判断直线与圆位置关系的方法：
(1) 代数法：
在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0
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的位置关系, 可以联立它们的方程,
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作室数学精
宋老师数学精品工作室
第 2 章直线和圆的方程
品工作
2.5.1直线与圆的位置关系
室
（第1课时）
目
录
01判断直线与圆的位置关系
02求圆的切线方程
宋老
学习目标
师数
学精
品工宋老师
1. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
作室数学精
∴
2+3−3
2 +1
=3,解得 =
4
−3.
品工作
所求直线l的方程为4 + 3 + 21 = 0
室
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-3，
此时，圆心到直线l的距离为3，符合题意.
综上所述，所求直线l的方程为:4 + 3 + 21 = 0或 = −3.
y
M
.O .
x
E
F
课本练习
位置关系
新知学习
直线与圆的位置关系:
位置关系
图形
d与r的关系

人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件

•直径的圆的方已程知，两并点判P断1(M4(,69,)9和)、P2(Q6(,53,)3，)是求在以圆P1上P2？为
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。

新教材高中数学第二章平面解析几何3圆及其方程3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册

= 2 2 − 2 = 8 ⇒ 25 − 2 = 4 ⇒= 3，当直线的斜率不存
已知圆E经过点(−1,2), (6,3)，且_____________
（i）求圆的方程；
（ii）已知直线经过点(-2,2)，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线
的方程.
（i）设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，依题意有
5 − + 2 + = 0,
易知圆心到直线y=x的距离 =
所以切线长的最小值为
2
3 2
，
2
− 2
=
3 2 2
( )
2
−(
2)2
=
10
，故选C.
2
探究点三直线和圆相交
例
（1）求直线: 3 + − 6 = 0被圆: 2 + 2 − 2 − 4 = 0截得的弦的长.
3 + − 6 = 0
2 − 3 + 2 = 0，解得交点
D. 相离
[解析] 圆 2 + 2 = 1的圆心为(0,0)，半径 = 1.
因为圆心(0,0)到直线 − 2 − 1 = 0的距离 =
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
|0−0−1|
12 +(−2)2
=
5
＜1，
5
（2）（多选）已知圆: ( + cos)2 + ( − sin)2 = 1，直线: = .下
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，
则切线方程为 + 3 = ( − 4)，即 − − 4 − 3 = 0.
设圆的圆心为，则(3,1)，因为圆心到切线的距离等于半径1，

2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件第二章§2.3第一课时

程．
栏目导引
第二章
解析几何初步
互动探究
1 3 2．本例中，若将“P(1， 2＋1)”变为“P( ， )”，其 2 2 他条件不变，结论又会如何？
1 3 解：易知点 P( ， )在圆 x2＋ y2＝1 上． 2 2 3 ∵kOP＝ 3，∴所求切线的斜率为 k＝－ . 3 3 3 1 由点斜式得 y－＝－ (x－ )， 2 3 2 整理得 3x＋3y－ 2 3＝ 0，即所求直线方程为 3x＋ 3y－2 3＝0.
(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？
栏目导引
第二章
解析几何初步
【解】法一：圆心 O(0,0)到直线 y＝x＋b 的距离为 d＝ |b| ，圆的半径 r＝ 2. 2 (1)当 d＜ r，即－ 2＜ b＜ 2 时，直线与圆相交，有两个公共点． (2)当 d＝ r，即 b＝ 2，或 b＝－ 2 时，直线与圆相切，有一个公共点． (3)当 d＞ r，即 b＞ 2，或 b＜－ 2 时，直线与圆相离，无公共点．
第二章
解析几何初步
2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第一课时直线与圆的位置关系
栏目导引
第二章
解析几何初步
学习导航
学习目标直线与圆的位置掌握实例 ― ― → 关系的几何特征 ― ― →
理解
直线与圆的位置关系的判断方法及应用重点难点重点：直线与圆的位置关系的判断方法及应用．难点：直线与圆的位置关系的应用．
栏目导引
第二章
解析几何初步
x ＋ y ＝2，法二：由得 2x2＋2bx＋b2－ 2＝ 0， y＝ x＋ b，
2
2
Δ＝ 4b2－8(b2－2)＝－ 4b2＋16. (1)当 Δ＞ 0，即－ 2＜ b＜ 2 时，直线与圆相交，有两个公共点． (2)当 Δ＝0，即 b＝ 2，或 b＝－ 2 时，直线与圆相切，有一个公共点． (3)当 Δ＜0，即 b＞ 2，或 b＜－ 2 时，直线与圆相离，无公共点．

直线和圆的位置关系(第2课时)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
O C
即∠ OBC= 1 ∠ABC ∠OCB=1 ∠ACB
2
2
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ 1 ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
2
1.下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
探索&交流
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠Biblioteka . 当l 绕点 A 旋转时，
B
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距 l 离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
Od α
A
l l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
练习&巩固
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，
那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已
知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
第三章圆
6.2 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下册
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）

2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3.2圆与圆的位置关系课件北师大版必修2

半径为 3 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，求此圆的方程．
解：因为所求圆的半径为 3，且与 x 轴相切，所以设圆心坐标为(a，－3)或(a,3)．又因为所求圆与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，所以 a2＋4＝4 或 a2＋16＝4，即 a＝±2 3或 a＝0.所以所求圆的方程为(x±2 3)2＋(y－3)2 ＝9 或 x2＋(y＋3)2＝9.
【解】设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则
a－12＋b2＝r＋1，
ba＋－33＝ 3，
|a＋ 2
3b|＝r，
a＝4，解得b＝0，
r＝2，
a＝0，或b＝－4 3，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
规律方法处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和两圆外切两种情况讨论；其次，根据两圆相切，列出两圆的圆心距与两圆半径之间的关系式．
规律方法判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法比较直观，容易理解．设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 的半径为 r2，则有如下关系：
(1)相交⇔|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2；
(2)相切内外切切⇔⇔||OO11OO22||＝＝r|r11＋－rr22；|， (3)外离⇔|O1O2|>r1＋r2； (4)内含⇔|O1O2|<|r1－r2|.
(1)已知两圆的方程分别为圆 C1：x2＋y2＝81 和圆 C2：x2＋ y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( C )
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
解析：圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径长 r1＝9；圆 C2 的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为 C2(3,4)，半径长 r2 ＝4，故|C1C2|＝ 3－02＋4－02＝5.又 r1－r2＝5，∴|C1C2|＝r1 －r2，∴圆 C1 和圆 C2 内切．故选 C.

圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

化简得 x +y
2
2
2-2
2+10 8+24
+ x+
y=0,
+1
+1
+1
所以圆心坐标为
-1 +5
- +1 ,- +1
.
又圆心在直线 x-y+1=0 上,
-1
所以-+1
+
+5
+1=0,解得
+1
λ=-7.
所以所求圆的方程为 x +y
2
8
2 16
+ x+ y- =0.
3
3 3
2
(4)若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切.( × )
合作探究释疑解惑
探究一
两圆位置关系的判定
【例1】当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x14y+k=0相交、外切、内切、外离、内含?
解:将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,
圆 C2 的方程 x2+y2+2x+2y-8=0 可化为(x+1)2+(y+1)2=10,则圆 C1 的圆心为
C1(1,-5),半径 r1=5√2,
圆 C2 的圆心为 C2(-1,-1),半径 r2=√10.
又|C1C2|= (-1-1)2 + [-1-(-5)]2 =2√5∈(5√2 − √10,5√2 + √10),所以两圆相
弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距

人教课标版(B版)高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教学课件2

4(b 2)(b 2)
当-2<b<2时， >0,方程组有两组不同实数解，直线与圆有两个公共点。
当b=2或b=-2时， =0，方程组有两组相同实数解，直线与圆只有一个公共点。
当b<-2或b>2时， <0,方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点。
以上就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D_2_+__E_2_-___
4F>0) ( D , E )
圆心为 2 半2径为
1 D2 E2 4F 2
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点；
圆心坐标是（１，０），半径长 r=1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d
|
3
0
2
|
1
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2 y2－2y 4 0 试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r= 5 ，圆心
的距离d= | 0 0 50 | = 10 5
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。
圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=
3x
4y
，
0
得
x 8
y
6
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2 y2－2x 0 的

2.2.3.2 圆与圆的位置关系课件(北师大必修2)

联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)． ∵所求圆以AB为直径， ∴圆心是线段AB的中点M(2，－2)， 1 圆的半径为r＝ |AB|＝5. 2 于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
[研一题] [例3] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋
6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋
12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
x2＋y2－12x－2y－13＝0，解：联立两圆方程 2 2 x ＋y ＋12x＋16y－25＝0.
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
4x＋3y－2＝0，再由 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0.
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线．
[通一类]
2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－
6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为 10 ，圆
心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的
方程．
解：设圆 C1 与圆 C2 交于 A，B 两点，由两圆的方程相减，得 x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦 AB 所在的直线方程．由已知，圆 C 的圆心 C 在两圆圆心连线的垂直平分线上，即在直线 AB 上，设 C(a，b)，则 a＋3b－10＝0①，又由|CO|＝ 10，得 a2＋b2＝10②， ①②联立，解得 a＝1，b＝3. 所以，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
1 1 7 解得 a＝，故圆心为( ，－ )， 2 2 2 半径为 1 7 2 ＋1 ＋－－32＝ 2 2 89 . 2

高中数学北师大版必修2一课三测：2.2.3.1 直线与圆的位置关系

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系填一填1.直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d<r d＝r d>r判断方法代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0判一判1.2．过一点作圆的切线有一条．(×)3．如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心．(√)4．直线ax＋y＝1与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系与a有关．(×)5．若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(×)6．若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(√)7．若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a相切，则a等于4.(×)8．若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于该圆的半径．(√)想一想1.提示：(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系．(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算．2．直线与圆的位置关系的判定有哪两种方法？提示：(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．3．过一点的圆的切线方程的求法？提示：(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．4．求弦长常用的方法有哪些？圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋⎝⎛⎭⎫l22解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2) [(x1＋x2)2－4x1x2]练一练1.圆(x－1)2＋(y－1)2A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案：C2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B. 2C. 3 D．2答案：D3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0答案：D4．若经过P(－1,0)的直线与圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则该直线在y轴上的截距是________．答案：15．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案：23知识点一直线与圆位置关系的判断1.0000 ①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切 ②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离 ③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交 ④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确．故选A.答案：A2．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析：由题意，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝1a 2＋b2<1，所以有a 2＋b 2>1，即点P (a ，b )在圆C 外．答案：知识点二直线与圆相切问题3.若圆C 方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，由a >0，所以a ＝2.故选B.答案：B4．已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)过点P (2，2)作圆O 的切线，求切线l 的方程； (2)过点Q (2,4)作圆O 的切线，求切线l 的方程．解析：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设切线方程为y －2＝k (x －2)即kx －y －2k ＋2＝0，由题意得，圆心到该切线的距离d ＝|－2k ＋2|1＋k 2＝2，得k ＝－1.故所求的切线方程为x ＋y －22＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.由题意得d ＝|4－2k |k 2＋1＝2，得k ＝34.所以直线l 的方程为y －4＝34(x －2)即3x －4y ＋10＝0.5.是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心(1,0)及点P (0,1)，故直线方程是x ＋y －1＝0.答案：C6．直线x －y ＋3＝0被圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝2截得的弦长等于( )A.62B. 3 C ．2 3 D. 6解析：圆心(－2,2)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝22，圆的半径r ＝2，解直角三角形得，半弦长为62，所以弦长等于 6.答案：7.这条直线与已知圆：(1)相交； (2)相切； (3)相离．并写出过点P 的切线方程．解析：设过点P 的直线的斜率为k (由已知k 存在)，则方程为y ＝k (x －4)．方法一由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 2＋y 2＝8，消去y ，得x 2＋k 2(x －4)2＝8，即(k 2＋1)x 2－8k 2x ＋16k 2－8＝0，Δ＝(－8k 2)2－4(1＋k 2)(16k 2－8)＝32(1－k 2)． (1)令Δ>0，即32(1－k 2)>0，得－1<k <1.所以当k 的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交． (2)令Δ＝0，即32(1－k 2)＝0，得k ＝±1. 所以当k ＝±1时直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (3)令Δ<0，即32(1－k 2)<0，得k >1或k <－1.所以当k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离．方法二设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2.(1)当d <r ，即4|k |1＋k2<8，所以k 2<1，即－1<k <1.所以，当k 的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交．(2)d ＝r ，即4|k |1＋k2＝8，所以k 2＝1，即k ＝±1.所以，当k ＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0.(3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，所以k 2>1，即k >1或k <－1. 所以，当k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离． 8．设有一条光线从P (－2,43)射出，并且经x 轴上一点Q (2,0)反射． (1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l 1，l 2)；(2)设动直线l ：x ＝my －23，当点M (0，－6)到l 的距离最大时，求l ，l 1，l 2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程．解析：(1)因为k PQ ＝－3，所以l 1：y ＝－3(x －2)，因为l 1，l 2关于x 轴对称，所以l 2：y ＝3(x －2)． (2)因为l 恒过点N (－23，0)，当MN ⊥l 时，M 到l 的距离最大，因为k MN ＝－3，所以m ＝3，所以l 的方程为x ＝3y －23，设所求方程为(x －2)2＋(y －t )2＝r 2，所以r ＝|t |2＝|3t －23－2|2，得t ＝2，所以所求方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1.基础达标一、选择题1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相切B ．相交但不过圆心C ．过圆心D ．相离解析：由于圆心(0,0)不满足直线方程，所以直线不过圆心，又圆心到直线的距离d ＝|1|2＝22<1，所以直线与圆相交，但不过圆心，故选B. 答案：B2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3解析：直线方程为3x －y ＝0，圆的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆心到直线的距离为d ＝|－2|2＝1，所以所截弦长为222－12＝23，故选D.答案：D3．过原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相切的直线方程是( )A ．y ＝34xB ．y ＝34x 或y ＝0C ．y ＝34x 或x ＝0D ．y ＝43x 或x ＝0解析：设切线方程为kx －y ＝0，由圆心(2，－1)到直线的距离等于半径2，得k ＝34，因此一条切线方程为y ＝34x ；画图可知，y 轴是符合条件的切线，方程为x ＝0，故选C.答案：C4．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若|AB |＝22，则实数m 的值等于( )A ．－7或－1B ．1或7C ．－1或7D ．－7或1解析：圆心(0,3)到直线l 的距离d ＝|0－3＋m |3＋1＝|m －3|2，故(m －3)24＋2＝6，解得：m ＝－1或m ＝7，故选C.答案：C5．曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个交点时，实数k 取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，34C.⎝⎛⎦⎤13，34D.⎝⎛⎭⎫0，512 解析：曲线y ＝1＋4－x 2，因为x ∈[－2,2]，y ＝1＋4－x 2≥1，所以x 2＋(y －1)2＝4，表示圆心为M (0,1)，半径r ＝2的圆的上半部分．直线y ＝k (x －2)＋4表示过定点P (2,4)的直线，当直线与圆相切时，由圆心到直线kx －y ＋4－2k ＝0的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线经过点B (－2,1)时，直线PB 的斜率为k ＝34.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有512<k ≤34.即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34. 答案：A6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0解析：设圆的圆心是O ，由题意知，直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.故选B.答案：B7．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线距离为5，所以|－2a －3|a 2＋b2＝5，整理得a 2－12a ＋5b 2－9＝0且直线过P (－1,2)，代入得2b －a －3＝0，两式联立，得a ＝1，b ＝2，所以ab ＝2，故选C.答案：C 二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555.答案：25559．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析：由条件易知直线l 的斜率必存在，设为k .圆心(1,1)到直线y ＋2＝k (x ＋1)的距离为|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，即所求直线的斜率为1或177.答案：1或17710．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为________________．解析：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C (0,3)到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. 答案：x ＝－1或4x －3y ＋4＝011．若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，则a 的值为________．解析：圆x 2＋(y －a )2＝1的圆心坐标为(0，a )，半径为1，又直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，所以圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝r ，即|a |2＝1，解得a ＝±2.答案：±212．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________．解析：如图所示，圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2(C 为圆心，r 为圆的半径)，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35 三、解答题13．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解析：方法一依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径长r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝2 2. 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.方法二设所求圆的半径长为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.14．已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．解析：(1)方法一 (几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线AB 的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. 因为圆心为(0,0)，所以|OC |＝|－1|2＝22.因为r ＝22，所以|BC |＝8－⎝⎛⎭⎫222＝302，所以|AB |＝2|BC |＝30.方法二 (代数法) 当α＝135°时，直接AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0.所以x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时， OP ⊥AB ，因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.能力提升15.已知圆C ：(x －1)2＋(y 1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1)证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值．解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0(m ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过点M (3,1)．又M 到圆心C (1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5， ∴点M (3,1)在圆内，∴不论m 取什么值，直线l 与圆C 恒交于两点．(2)∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径长r 构成直角三角形，∴当d ＝5时，半弦长的最小值为52－(5)2＝25， ∴弦长|AB |的最小值|AB |min ＝45，此时，k CM ＝1－23－1＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，直线l 被圆C 截得的线段最短，且最短长度为4 5.16．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解析：方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4. (1)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径长2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值．如图(2)，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．此时圆心C (3,3)到切线x ＋y＝b 的距离等于圆的半径长2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.由Ruize收集整理。

高中数学必修2直线与圆的位置关系1

高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ；圆心),(b a ，半径为r ；圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心)2,2(ED --，半径为F E D 42122-+；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外222)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内222)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上222)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔； ②两圆外切2121||r r O O +=⇔；③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔； ④两圆内切||||1221r r O O -=⇔； ⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。

2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)

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