高等代数北大版课程教案-第5章二次型
高等代数北大版教案-第5章二次型
高等代数北大版教案-
第5章二次型
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
４８
第五章 二次型
§1 二次型的矩阵表示
一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示
二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性
替换和矩阵的合同.
三 教学重点：矩阵表示二次型
四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：
定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式
++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(
+++n n x x a x a 2222222 (2)
n nn x a + (3)
称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.
例如：2
3
322231212
13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.
定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n
n n
n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)
称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.
二次型的矩阵表示：
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
a1k
Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11
a1k
2) Pk det A(1, 2, , k)
ak1
akk
称为A的第k阶顺序主子式.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
3） k 级行列式
ai1i1 Qk ai2i1
ai1i2 ai2i2
a a iki1 iki2
ai1ik ai2ik
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
1）实二次型 X AX 正定
X Rn ,若X 0,则X AX 0
2）设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2
f 正定 di 0,i 1, 2, , n
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
X0 (0,
,0, 1 ,0, (i)
正定.
取
Xi (0,
,0, 1 ,0, 第i个
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2
令 C1 P 2, j ，则
C1 AC1 P 2, j AP 2, j bij Pnn
其中 b12 b21 a1 j , b11 a11 0, b22 a jj 0.
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
1 1 0 0
1 1 0 0
再令 C2 0 0 1
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互 换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
令
C3
0 0
1 0
2 1
,
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
1 0 0 2 0 2 1 0 0
A3
C3 A2C3
0 0
1 2
0 1
0 2
2 4
4 2
0 0
1 0
2 1
2 0 0
0 0
2 0
0 6
为对角矩阵.
1 1 01 0 11 0 0
令
C
C1C2C3
1 0
1 0
0 1
0 0
y1
y2
,
yn
它是非退化的，
高等代数第五章
f ( x1 , x2 , x3 )
1 1 2 2 x x1 x2 x1 x3 x2 x1 2 x2 3 x2 x 3 x3 x1 3 x 3 x2 4 x3 2 2 1 1 1 / 2 x1 x1 , x2 , x3 1 2 3 x 2 1 / 2 3 4 x 3
a33 x3 2a3 n x3 xn
2
①
2 ann xn
称为数域P上的一个n元二次型．
6
例如： f ( x, y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
2 则二次型为 f ( x1 , x2 , x3 ) x2 2 x1 x3
16
例1
f ax 2 2bxy cy 2 1）实数域R上的2元二次型
2） 实数域R上的3元二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 3 x2 x3 7 x3
3
问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
高等代数第5章习题参考答案
第五章 二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结
果。
1）
4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3；
4)
8x 1x 4 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4 ；
5)
x 1x 2 x 1x 3 x 1x 4 x 2x 3 x 2x 4 x 3x 4
；
解
1 )已知
f x 1,x 2,x 3 4x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3，
先作非退化线性替换
x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 ( 1)
x 3 y 3
则
f x 1,x 2,x 3 4y 12
4y 22
4y 1y 3
2
2 2 2
4y 1 4y 1 y 3 y 3 y 3
4y 2
2y 1 y 3 3
y 32
4y 22
，
再作非退化线性替换
1
1 y 1
z 1
21
2
y 2 z 2
y 3 z 3
则原二次型的标准形为
最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为
2) x 12 2x 1 x 2 2x 22
4x 2x 3 4x 32
；
3) x 12
3x 22
2x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3；
6) x 12 2x 22 x 42
4x 1x 2 4x 1x 3
2x 1x 4
2x 2x 3 2x 2 x 4 2x 3x 4；
7) x 12 x 22 x 32
2
x 4
2x 1x 2 2x 2x 3
2x
3 x
4 。
x 1,x 2,x 3
2 z
12
4z 22
3)
x 1
x 2
1
2z 1 1 2z 1
z 2
z 2
1 2z 3 1 2z 3
x 3
1 0
1
11 0
2
2 T11
00 1 0
第五章 二次型
f ( x1 , x2 ,..., xn ) = X ′AX 完全由对称矩阵 决定.) 完全由对称矩阵A决定 决定
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
f = ax 2 + 2bxy + cy 2 例2 (1) 实数域R上的2元二次型
的矩阵是 a b
(b c);
2 3 2
(2) 实数域R上的3元二次型
即B为对称矩阵. ∴ Y ′BY = g ( y1 , y2 ,..., yn ) 是一个 y1 , y2 ,L , yn 二次型.
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义5 定义5 设 A, B ∈ P
n×n
C ∈ P n×n , ，若存在可逆矩阵
则称A与 合同 合同. 使 B = C ′AC ，则称 与B合同 ）合同是矩阵之间的一个关系。 注: 1）合同是矩阵之间的一个关系。具有 反身性: A = E ′AE 反身性 对称性： 对称性： B = C ′AC ,| C |≠ 0 ⇒ A = (C −1 )′ B(C −1 ) 传递性: B = C ′1 AC 1, D = C ′ 2 BC 2,| C 1 |≠ 0,| C 2 |≠ 0 传递性:
高等代数
东北大学秦皇岛分校
第五章 二次型
1.二次型及其矩阵表示 1.二次型及其矩阵表示 一、n元二次型
高等代数教学大纲
高等代数课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质：
高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。
高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、课程教学目的要求
（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答
一、线性方程组
1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算
1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换
1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型
1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射
1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量
1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
高等代数 课程教学方案
《高等代数》课程教学大纲
授课学时：总学分：作者：
课程类型：专业必修课
适用专业：数学与应用数学专业本科
一、课程性质、地位和任务
高等代数是数学系各专业开设的一门基础课，它不仅是应用学科的重要工具课，而且在抽象代数理论中也是一门很重要的理论基础课，特别是随着当今电子科技的发展，更加显示出高等代数的作用。
二、课程主要内容概述及教学基本要求
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里得空间。
通过对这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻的了解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。培养学生的独立思维能力和解决实际问题的能力。
三、课程内容
第一章多项式
基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法、辗转相除法、因式分解定理、复系数与实系数多项式的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论。
教学重点：多项式的整除性理论和有理系数多项式，分解定理及复数域，实数域上分解形式。有理根检验，Eisenstein判别法之使用，有理多项式分解归纳为整系数多项式分解。
教学难点：辗转相除法和有理系数多项式为。分解定理及复数域，实数域上分解形式。
第二章行列式
基本要求：通过本章的学习，使学生深刻理解行列式定义及性质并能用其计算简单行列式
熟练掌握行列式的性质、按行（列）展开定理并在计算行列式时有思路。会运用Cramer法则求线性方程组的解。
教学重点：行列式的定义、行列式按行（列）展开公式、Vandermonde行列式和Cramer法则
高等代数 第5章二次型 5.5 实二次型的分类与应用
实二次型的分类与应用
1．定义
设n元二次型
f ( x1 , x2 ,
nn , xn ) X AX , A A R ,
若对任意一组不全为零的实数 ① ② ③ ④
c1 , c2 ,
, cn , 都有
f (c1 , c2 ,
f (c1 , c2 , f (c1 , c2 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
负定二次型 f . ,则 cn )称为 0,
f . , cn ) 0 半正定二次型 ，则 称为
，则 ,c
n
) 称为 0半负定二次型 f .
称为
f既不是半正定，也不是半负定，则
f
不定二次型.
注：
相应于二次型的分类，n 级实对称矩阵可分类为： ①正定矩阵 ②负定矩阵 ③半正定矩阵
④半负定矩阵
⑤不定矩阵
2、判定
1）实二次型 正定 f ( x1 , x2 ,
② 秩
f = 秩(A) = p（正惯性指数）；
, d i 0, i 1,2, dn
（习题14）
③ A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使
d1 C AC
,n
nn C R ④ 存在 ，使 A C C ;
由此可得， A半正定 A 0
⑤ A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）
高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-；
2）2
3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212
2216223x x x x x x x x -+--；
4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；
6）4342324131212
422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212
4232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=33
212211y
x y y x y y x （1）
则
()312
221321444,,y y y y x x x f ++-=
2
223233121444y y y y y y ++-+-=
()2
2
233
3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==+=3
3223112121z
y z y z z y （2）
则原二次型的标准形为
()2
322213214,,z z z x x x f ++-=，
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=+-=++=333212321
北京大学数学系《高等代数》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣才出品】
第5章二次型
5.1复习笔记
一、二次型及其矩阵表示
1．二次型定义
设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式
称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．
2．线性替换与二次型矩阵
（1）线性替换定义
设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．
（2）二次型的矩阵
令
由于
所以二次型可以写成
其中的系数排成一个n×n 矩阵
它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以
A＝A'
二次型的矩阵都是对称的．
3．合同矩阵
（1）定义
数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使
B C AC
¢=（2）性质
①反身性：A＝E'AE ；
②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；
③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得
经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．
二、标准形
1．定义
数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
2221122n n
d x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．
注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．
2．定理
在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都
可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢
成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．
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第五章 二次型
§1 二次型的矩阵表示
一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示
二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性
替换和矩阵的合同.
三 教学重点：矩阵表示二次型
四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：
定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式
n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(
n n x x a x a 2222222 (2)
n nn x a (3)
称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.
例如：2
3
322231212
13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型.
定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
n nn n n n n
n n
n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)
称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.
二次型的矩阵表示：
令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为
n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(
n n x x a x a x x a 2222221221 …+2
2211n nn n n n n x a x x a x x a
n i n
j j i ij x x a 11
(5)
把(5)的系数排成一个n n 矩阵
nn n n n n a a a a a a a a a A
21
22221
112
11
它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以
A A .
我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.
令
n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，
n x x x AX X
2
1
nn n n n n a a a a a a a a a
21
22221
11211
n x x x 21
n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x
221
122221
21121211121
n
i n
j j i ij x x a 11.
故 AX X x x x f n ),,,(21 .
显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型
BX X AX X x x x f n ),,,(21
且 B B A A ,，则，B A 线性替换的矩阵表示
令
nn n n n n c c c c c c c c c C
21
22221
112
11,
n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， n x x x 21 nn n n n n c c c c c c c c c
21
22221112
11
n y y y 21
或者CY X .
显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.
设 AX X x x x f n ),,,(21 ，A A ， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换
CY X (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y .
现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有
AX X x x x f n ),,,(21 ACY C Y CY A CY )()(BY Y Y AC C Y )(.
容易看出，矩阵AC C 也是对称的，事实上，
AC C C A C AC C )(.
由此，即得
AC C B .
定义2 数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的
n n 矩阵C ，使
AC C B .
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有
(1)反身性 AE E A .
(2)对称性 由 AC C B ，即得)()(11 C B C A .
(3)传递性 由111AC C A ，2122C A C A
，即得)()(21212C C A C C A . 因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
§2 标准形
一 授课内容：§2 标准形
二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.
四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示. 五 教学过程：
I 导入
可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型
2222211n n x d x d x d (1)
II 讲授新课
定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.
2
222211n n x d x d x d = n x x x 21
n d d d
00000021
n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.
定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.