3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)

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[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
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1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是 ( ) x2 y2 A.36＋35＝1 y2 x2 x2 y2 B. 6 ＋ ＝1 或 6 ＋ ＝1 35 35 x2 C.36＋y2＝1 x2 y2 y2 x2 D.36＋35＝1 或36＋35＝1 x2 y2 解析：椭圆的焦点在 x 轴上时，方程为36＋35＝1，在 y
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即|PF2|＝4－|PF1|. 6 将②代入①解得|PF1|＝5，
②
1 1 6 3 3 3 ∴S△ PF1F2＝2|PF1|· 1F2|· 120° 2× × 2 ＝ 5 . |F sin ＝ 5 2× 3 因此所求△ PF1F2 的面积是5 3.
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[一点通]
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的
a2＝15， 解得 2 b ＝5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a a b ＞b＞0)．依题意有 －22 32 2 ＋ 2 ＝1， b a 2 1 －2 3 a2＋ b2 ＝1，
形问题的常用方法．
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[例 2]
如图所示， 已知椭圆的方程
x2 y2 为 4 ＋ 3 ＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120° ， 求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解． 返回
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1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位 置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，1(A>0，B>0，A≠B)求解．
2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的 方程的解是否都在曲线上． 3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出 |PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角
y2 x2 轴上时，方程为36＋35＝1.
答案：D 返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程．
x2 y2 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2， 解得 a＝4.
解得 a2＝4，b2＝1.
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y2 x2 若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为 a2＋ b2 ＝1(a>b>0)，同理
a2＝1， 2 b ＝4，
这与 a>b 矛盾．
x2 2 故所求椭圆方程为 4 ＋y ＝1.
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法二：设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 4m＝1， 将 A，B 坐标代入得 3 m＋4n＝1， 1 m＝ ， x2 2 4 解得 故所求椭圆方程为 4 ＋y ＝1. n＝1，
焦距
集合语言
两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞|F |}
2
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在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)， D(0，－2)． 问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方 程是什么？ x2 y2 提示：9 ＋ 5 ＝1. 问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨 迹方程是什么？ y 2 x2 提示： 9 ＋ 5 ＝1. 返回
[精解详析]
由已知 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2， 在△ PF1F2 中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|· 1F2|· 120° |F cos ， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， ①
∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4， ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4，由椭圆定义知 B 点的轨迹为椭圆，其中 a′＝2，c′＝1. ∴b′2＝3. 又∵A、B、C 三点共线时不能构成三角形， x2 y2 ∴顶点 B 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1(y≠0)．
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8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2
2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于
含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．
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[例 1]
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)． [思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝16.
答案：B 返回
x2 2 6．点 P 在椭圆 4 ＋y ＝1 上，且 PF1⊥PF2，求 S△ PF1F2. 解：∵点 P 在椭圆上∴|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16， 又 PF1⊥PF2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12， ∴|PF1||PF2|＝2， 1 ∴S△ PF1F2＝2|PF1||PF2|＝1.
又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12， x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为16＋12＝1.
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3．求焦点在坐标轴上，且过点 A(2,0)和 准方程．
B1，
3 的椭圆的标 2
x2 y2 解： 法一： 若焦点在 x 轴上， 设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 4 a2＝1， 依题意，有 12＋ 3 2＝1， a 4b
a2＝5， 解得 2 b ＝15.
舍去，
x2 y2 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 15 5
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法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0， 且 m≠n)． 1 3m＋4n＝1， m＝15， 依题意有 解得 12m＋n＝1， n＝1. 5 x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 15 5
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4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为
定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
)
解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹
提示：相同．
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问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定
大于两焦点间的距离．
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椭圆的定义
定义
焦点
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点
a＋b＝8， (2) 2 a －b2＝16 a＋b＝8， ⇒ a－b＝2 a＋b＝8， ⇒ a＋ba－b＝16 a＝5， ⇒ b＝3.
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x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，或 ＋ ＝1. 25 9 25 9 (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0)． a2 b2 32 －22 2 ＋ 2 ＝1， b a 依题意有 2 －2 3 1 a2 ＋b2＝1，
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[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
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[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
椭圆的标准方程 焦点在x轴上 标准方程 焦点坐标 a、b、c
x y a2＋b2＝1(a>b>0)
2 2
焦点在y轴上
y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)
(±c,0) a2－b2＝c2
(0，±c)
的关系
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1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a， 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解： 设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C， 由|MA|＝|MC|得|MA| ＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心 M 到两定点 A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径， ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆， 且 2a＝8,2c＝6，b＝ a2－c2＝ 7， x2 y2 ∴M 的轨迹方程是16＋ 7 ＝1.
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设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲 设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快 速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点， 用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度． 问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点 再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？