复变函数B卷

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复变函数与积分变换试题B==2015

海南大学2015-2016学年度第1学期试卷科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷)学院：专业班级：姓名：学号：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）阅卷教师：年月日考试说明：本课程为闭卷考试。

一、判断题(每题1分，共5分)（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。

）（）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。

（）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。

（）3、如果，则z =0。

（）4、z =0是的一级极点。

（）5、如果在区域D内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。

二、填空题(每题3分，共15分)1、。

2、设f(z)=z cos z ，则。

)('z f =)0()2016(f 0=z e =⎰dz z z 20sin )1sin()(z z f =3、的收敛半径= 。

4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。

5、。

三、计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。

）1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：2、求3、求).31(i Ln -4、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.3,0,31,2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分）1、计算积分 dz z z z z C ⎰++-)4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、利用留数定理计算其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分）3、解微分方程其中，f (t )为已知函数。

(10分)4、设函数 (1)把函数 f(z) 在内展开成洛朗级数。

（10分） (2)求积分（5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数，=⎰+∞∞dt )(-t δnn n z i ∑∞=+0)43(.522i i i -+.)33(31i ++∞<<||1z .)(3||dz z f z ⎰=,1)/1sin()(-=z z z z f ).()()(44t f t y t y dt d =+⎰+-C dz z z z ，)1()1(34(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。

复变函数B试卷标准答案及评分标准

中南民族大学试卷标准答案及评分标准试卷名称复变函数与积分变换（07－08第一学期）（ B 卷共 5 页）一．填空题（每小题2分，共10分）1. 方程5320z +=在复数范围内的全部解为 2(21)5,0,1,2,3,4k iek π+=．2.111()212z dz z z =+=++⎰i π．3. 幂级数(1)n nn i z∞=-∑的收敛半径为1．4、. 2Re [,0]z e s z= 1 ．5、. ()j t f t e -=的付里叶变换为()F ω= 2(1)πδω+二．判断题（每小题2分，共10分，正确打√，错误打⨯．）6. arg(1)4i π-=-． ( )7. 131(3)(3)3Ln i Ln i +=+． ( )8.121zz edz z π==-⎰． ( )9. 设级数(1)nnn cz ∞=+∑当2z =-时收敛，则级数在2z i =时也一定收敛． ( ) 10. 0z =为函数1ze z-的一阶极点． ( )答：6．√ 7．× 8．√ 9．× 10. ×.三．求解下列各题（每小题６分，共18分）：11、将3sin3cos55z i ππ=+写成三角形式解：33,arg 10z z π==， ------------------------------ 3分故333(cossin)1010z i ππ=+．------------------------------ 6分12、函数 22()f z y x i =- 在复平面内何处可导，何处解析，并求(1)f i '+ 解：设2u y =，2v x =-则0,2,2,0x y x yu u y v x v ''''===-=．--------------------------2分在复平面上都连续，由C —R 方程有：y x =．故()f z 仅在直线y x =上可导，在复平面上处处不解析．--------- 4分且 (1)2f i i '+=-．----------------------------- 6分13．已知 223v x y y =-++，求解析函数iv u z f +=)(．解：∵2,23x yv x v y ''=-=+,由于()z f 解析 ∴有()23,(23)23x yu v y u y dx xy x y ψ''==+=+=++⎰ ---------- 2分又2y x u v x ''=-= ，而()2yu x y ψ''=+ ，所以()0y ψ'=． ---------- 4分则()y C ψ= ，从而23u xy x C =++，C 为任意实常数，()zf ()22233xy x c i x y y =+++-++． ---------------------------- 6分四．计算下列积分（每小题7分，共28分）：14、21(3)CI dz z =+⎰，其中C 为圆周：31z +=的左半部分从3z i =-+到3z i =--的一段半圆弧．解：由于21()(3)f z z =+ 在包含半圆周的某区域内解析，从而积分与路径无关，------------------------ 3分有3332311()|2(3)3i ii iI dz i z z -----+-+-===-++⎰．-------------------- 7分15． 2232zz eI dz z z==-⎰．解：()=z f 222zez z-在3z =内有两个奇点0,2z z ==由复合闭路定理有：2232zz eI dz z z==-⎰＝2212zz edz z z=-⎰＋22212zz edz z z-=-⎰．（３分）＝4(1)i e π-． -------------------- 7分16． 222(9)xI dx x +∞-∞=+⎰．解：令222()(9)zf z z =+，则()f z 在上半平面有一个奇点3z i =，且1R e [(),3]12s f z i i=． ------------------- 3分于是 6I π=． -------------------- 7分17． 4522z zI dz z ==+⎰．解：设45()2zf z z =+，则()f z 有5个奇点,1,2,3,4,5,k z k =都在曲线 C ：2z =的内部， ------------ 2分由留数定理，512R e [(),]k k I i s f z z π==∑＝2Re [(),]i s f z π-∞．------------ 4分211R e [(),]R e [(),0]1s f z s f zz∞=-=-，于是2I i π=．------- 7分五．求解下列各题（每小题7分，共14分）：18．将函数21()(1)f z z =-在1z i =-点展开成泰勒级数，并求收敛半径．解：由于1()()1f z z -'=-，而1111111()(1)z i z z i ii i==-+--+--------------- 2分＝11()(1)nn n z i ii ∞=-+-∑＝0()(1)n nn i i z i ∞=--+∑， ----------------------- 4分所以11()()(1)n n n f z i i n z i ∞-==---+∑． ----------------------- 5分且收敛半径为1R i ==． ----------------------- 7分19．将函数 21()9f z z =+ 在区域 63z i <+<+∞ 内展开成洛朗级数．解：1()(3)(3)f z z i z i =-+，当63z i <+<+∞时，111163363(1)3i z iz i iz iz i==-+-+-+ ----------------------- 2分＝16()33nn i z iz i∞=++∑＝11(6)(3)nn n i z i ∞+=+∑ ----------------------- 5分因此21()(6)(3)nn n f z i z i ∞+==+∑． ----------------------- 7分六．求下列函数在付里叶变换下的象函数)(ωF（每小题7分，共14分）：20． ,10;()0,.t t f t -≤≤⎧=⎨⎩其它解：01()()jt j tF f t edt tedt ωωω+∞---∞-==⎰⎰----------------------- 3分1111j tj tt tee dt t j j ωωωω---==+=--⎰----------------------- 5分21(1)j j j eeωωωω=+-. ----------------------- 7分21． 2()cos 2f t t =．解：1()(1cos 4)2f t t =+．由付里叶变换的线性性质有1()[()]2F ft ω==F F [[1]1[c o s 4]2t +F --------- 3分＝()[(4)(4)]2ππδωδωδω+++-． -------------------- 7分七．证明题（６分）：22、设0z 是解析函数()f z 的m 阶零点，证明()()00()0,0,1,,1;()0n m fz n m fz ==-≠ ．证：由于0z 是()f z 的m 阶零点，那么()f z 可表成0()()()mf z z z z ϕ=-． -------------------- 3分其中()z ϕ解析，且0()0z ϕ≠，展开成泰勒级数有12001020()()()()mm m f z c z z c z z c z z ++=-+-+-+，即泰勒级数中前ｍ项的系数都为０，由系数公式可知()()000()0,0,1,,1;()=!()0n m fz n m fz m z ϕ==-≠ 且．----------7分。

复变函数考试题及答案自考

复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

07-08第1学期复变函数与积分变换B卷

第 1 页共 3 页07-08B 浙江科技学院一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设11iz i -=+，则它的幅角主值arg z 为 2．设e z=1i +，则Im z 为；3．设f (z )=zsinz ，则()f z '为；4．不等式0|1|1z <-<所确定的区域为； 5．设C 为正向圆周|z |=1，则d ccos zz z⎰为； 6． z=0是1sin z为奇点（类型）； 7．设幂级数11nn z n∞=∑，则它的收敛半径为； 8．复积分11d |z|z |z |=⎰为； 9．设函数1ze ，则它在奇点处的留数为；10．设函数()at f t e =(a 为复常数),则它的拉普拉斯变换为 .二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 当200620052004,z i zz z =++的值等于（）A iB -iC 1D -12. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处连续的充要条件是（）A. (,)u x y 在00(,)x y 处连续； B (,)v x y 在00(,)x y 处连续；专业班学姓 ………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………第 2 页共 3 页C (,)u x y 和(,)v x y 分别在00(,)x y 处连续；D (,)u x y (,)v x y +在00(,)x y 处连续.3. 已知函数()(1)f z Ln z =-在各个分支的解析区域是（） A 实轴上半平面； B 虚轴的右半平面；C 除掉负实轴和原点的平面；D 除掉实轴上1和1的左边的的平面.4.设幂级数0n n n a z ∞=∑的收敛半径R >0，则它( )A. 在｜z ｜≤R 上收敛B. 在｜z ｜>2R上绝对收敛 C. 在｜z ｜<R 上绝对收敛D. 在｜z ｜≤R 上绝对收敛5. 0z =是2sin ()zf z z=的（） A 可去奇点； B 本性奇点； C 二阶极点； D 以上全不正确 .三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1．计算积分czdz ⎰，其中C 是从点1到i 的直线段;2．指出函数()cos sin x x f z e y ie y =+在整个复平面上的可导性与解析性;3. 计算积分212CI dz z z=+⎰ ，其中C 为正向圆周|z |=34. ;计算积分3||2e d (1)(3)zz z z z =--⎰ ;………………………………………………………………………………浙江科技学院考试试卷第 3 页共 3 页5. 设C 为正向圆周|z |=R(R ≠2)，计算积分I=2(2)C z dz z -⎰ ；6. 求函数1(2)z z -在去心领域01z <<内的罗朗级数展开式；四、综合题（本大题共2小题,第1小题10分,第2小题7分,共17分） 1. 利用留数计算广义积分221dx(x )+∞-∞+⎰;2. 求矩形脉冲函数1,||,()(0)0,||t f t t ≤δ⎧=δ>⎨>δ⎩傅氏变换.专业班级学号姓名 ………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………。

复变函数复习资料

《复变函数》试卷一、单项选择题1．以下命题正确的是[ A ]A ．1z iz i =B ．零的辐角为零C ．3i i <D ．对任意复数z 有sin 1z ≤2．若1(3)153x i y i i++-=++，则[ D ] A ．1,11x y =-=- B ．1,11x y =-=C ．1,11x y ==-D ．1,11x y ==3．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则[ B ]A ．()u v f z i x y ∂∂'=+∂∂B ．()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ C ．()u v f z i y y ∂∂'=+∂∂ D ．()u v f z i y x ∂∂'=+∂∂ 4．下列说法正确的是[ C ]A ．如果0()f z '存在，则()f z 在0z 处解析B ．如果(,)u x y 和(,)v x y 在区域D 内可微，则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析C ．如果()f z 在区域D 内处处可导，则()f z 在区域D 内解析D ．如果()f z 在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内一定不解析5．下列等式中不正确的是[ B ]A ．(1)(21)Ln k i π-=+ （k 为整数）B ．2Lnz Lnz Lnz +=C ．2z k i z e e π+= （k 为整数）D ．22sin cos 1i i +=6．设2222()(2)f z x axy y i bx xy y =+-+++在复平面内处处解析（其中,a b 为常数），则[ C ]A ．2,1a b ==B ．1,2a b ==C ．2,1a b ==-D ．1,2a b =-=7．设Γ为单位圆周1z =，则积分Im zdz Γ⎰的值为[ D ]A ．i πB ．i π-C ．πD ．π-8．级数1!nn n n z n ∞=∑的收敛圆为[ A ] A ．1z e<B ．z e <C ．1z <D ．2e z <9．0z =是函数2()(1)z f z z e =-的[ C ] A ．一级零点 B ．二级零点C ．三级零点D ．四级零点10．设51()sin ,f z z z=则[]Re (),0s f z =[ D ] A ．1 B ．15!C ．1-D ．011.函数2)(z z f =在复平面上 ( C )A.处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点0=z 处可导D.处处连续，仅在点0=z 处解析12.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则ba b a --1的值 ( B ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大13、设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( B )A.i 1+B.iC.1-D.014、设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=⎰dz z z C n ，则整数n 等于 ( D )A.1-B.0C.1D.215、0=z 是21)(ze zf z -=的 ( A ) A.1阶极点 B.2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点二、填空题（每空4分，共20分）11．Arg = 223k ππ-+ 12．若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_____整函数_____。

复变函数论试题库及答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试卷B及答案(评分标准)

《复变函数》考试试卷(B)专业：考试日期：时间120分钟总分100分闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( )。

A.4πB. 4π-C. 3π-D.3π2、在全平面不解析的函数是 ( C )。

A.xyi y x z f 2)(22+-=B.f(z)=sinzC.f(z)=LnzD.f(z)= z e 3、z=0 为f(z)=zzsin 的( )。

A.可去奇点 B.一阶极点 C.本性奇点 D.二阶极点 4、级数nn z n∑∞=021的收敛半经为( )。

A.0 B.1 C.2 D.∞5、函数⎰=-=-21)1(sin z dz z z（）。

A.cos1 B.sin1 C.2πicos1 D. 2πisin1 (每空2分，计18分)1、设复数z=-i ,则z 的三角形式为2、从z 1=0到z 2=1-i 的直线段的参数方程是3、f(z)=zsinz 的导数为4、方程表示的曲线是21=+z5、设z=6)1(i +，则z ＝6、积分⎰==21002)(sin (z z dz z e z7、函数z=11sin -z 的奇点为 8、设f(z)=zz z 212-+,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 9、dz i z i z ⎰=--1221= 三、求下列积分(20分)1、⎰izdz ze 0 2、dz z e z z⎰=-22)1( 3、⎰=++22))(9(z dz i z z z4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(9(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i +的值2、求Ln(-2-2i)的值3、设5335)(--=z z z f ,求)(z f 的导数)('z f .五、级数(每题6分，计12分)(1)、将函数f(z)=)2)(1(1--z z 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数;(2)、求f(z)=z231- 在z=2处的泰勒级数,并指出收敛范围六、(12分)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在全复平面解析,求 d c b a .,,的值.七、(13分)（1）讨论函数z z f =)(的可导性与解析性.(2)验证u=122+-y x 是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi,使 f(0)=i.《复变函数》考试试卷(B)评分标准专业：考试日期：时间120分钟总分100分闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( B )。

(整理)《复变函数与积分变换电信B》试卷答案.

中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《复变函数与积分变换》课程试卷（B ）参考答案及评分标准开课二级学院：理学院_ ，学生专业：，教师：武丹一、选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0，2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解：6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………（1分） y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂，（1）-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂，（2）………………（2分）将（1）式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+，（3） …………………………………（4分）（3）对x 求导，带入（2），2()3x x ϕ'=，得 3()x x c ϕ=+ 于是，23(,)3v x y xy x c =-++，…………………………………………（8分）由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1=c因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………（10分）2、z=3为奇点， …………………………………………（1分）2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ （6分）所以是函数的本性奇点。

………… （8分）《复变函数与积分变换》课程试卷B 参考答案及评分标准第 1 页共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… （10分）六、计算题1、解：当1||0<<z 时，由∑∞==-011n n z z 得 ……………（4分） 21(1)z +＝20(1)n n n z ∞=-∑， )1||0(<<z ………………（8分） 221(1)z z +＝2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑＝220(1)n n n z ∞-=-∑， )1||0(<<z ………………（10分） 2、解： 21111()1211z z z =---+ ，。

《复变函数》-期末试卷及答案(B卷)

实用文档《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页）南昌职业学院2016—2017学年度第一学期期末考试一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。

） 1. 设2i 3)(2-+=z z z f ，则)(z f 的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.32. 设tib t a z sin cos +=（b a >为实常数），则它表示的曲线是( )A.双曲线B.圆C.椭圆D.抛物线3.若i1i 1-+=z 时，则=++5075100z z z ( ) A.i B.i - C.1 D.1- 4. 函数)65(1)(2+-=z z z z f 在下列哪个环域内不能展开成洛朗级数( )A.1z <B.2z 0<<C.32<<zD.3>z5.设C 是正向圆周 1=z ，=⎰dz ze C z( ) A.0 B.1 C.i 2π- D.i 2π6.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则ba ba --1的值 ( )A.大于1B.等于1C.小于1D.无穷大7.设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( )A.i 1+B.iC.1-D.08.设C 是正向圆周 2=z ，则=⎰C z dz2 ( )A.0B.i 2π-C.i πD.i 2π9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-<R R z z 内解析，那么0z 是)(z f 的极点的充要条件是( )A.a z f z z =→)(lim 0（a 为复常数）B.)(lim 0z f z z →不存在 C.∞=→)(lim 0z f z z D.以上都对10. 因为)( !)1(022∞<-=∑∞=-z n z en nnz ，故dz e zz ⎰-02的幂级数展开式是( )A.+∞<+-∑∞=+z z n n n n n,!12)1(012）（ B.+∞<+-∑∞=+z z n n n n n n,!122)1(012）（ C.+∞<+-∑∞=+z z n n n n n ,!12)1(112）（ D.+∞<+-∑∞=+z z n n n n n n ,!122)1(112）（二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分) 11.i 35+=z 的共轭复数=z ________ .12.i1i2+-的指数形式为 ________ . 13.若级数∑∞=1n nz收敛，而级数∑∞=1n nz发散，则称复级数∑∞=1n nz为 ________ .14.设C 是正向圆周1=z ，则=⎰dz z zC 5cos ________ .15.设L 为复平面上由0=z 到i 1+=z 的直线段，则⎰=Lzdz Re ________ .学号和姓名务必正确清楚填写。

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

华北电力大学复变2018-2019-B-试卷及答案

5 2
映射为同心圆环域
2
w
r
，
（1）试求关于圆周
z:
z
1
和 z :
z i
5 2
的一对公共对称点；(5分)
（2）试求该映射及 r 值。(5分)
八、(10 分)求函数 f (t) e|t| ( 0) 的 Fourier 变换，并证明
0
cos(t) 2 2
d
2
e |t|.
华北电力大学 2018-2019 学年第 1 学期考试试卷(B)答案
i)
在圆环域
0
z |1内的 Laurent 展式。
解：当 0 z 1时， 1
1
1
1
z i
i 1 z
i n0
zn
i
n
n0
zn i n1
i1n zn
n0
,
i
------(8 分)
于是
z2
1 zi
i1n zn2 .
n0
-----------------(2 分)
五、计算下列积分（封闭曲线均为正向）（共 25 分, 每小题 5 分）：（评分标准：以下 1--5 小题，过程正确给 4 分，结论正确给 1 分；只是方法正确给 3 分）
z1 0 . z2
-----------------------------------------(4 分)
三、（10 分）已知调和函数 v(x, y) x3 3xy2 ，求解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) ，使
f (0) 2.
解：由于函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 解析，则 u v = 6xy ， x y

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。

西安交通大学复变函数与积分变换试卷B卷及参考答案

解：显然满足，，的分式线性映射 .
可把变成角形域；
而可将该角形域变成上半平面；
而可将变成单位圆盘；
故它们的复合映射
即为满足要求的一个映射.
四、（10分）用留数计算广义积分 .
解：有理函数的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点，；故
=
五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
由，得，而，
故象曲线为；或
.
11、解：[ ]= ，[ ]= ，
所以
=[ ] +[ ]= +
共4页第2页
12、解：[ ]= ，由Laplace变换的微分性质,
L[ ]= ，
所以
L[ ]= ；
L[ ]= .
二、解：在圆环域上的Laurent级数为
；
在圆环域上的Laurent级数为
三、解：显然满足，，的分式线性映射 .
成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换(B卷)
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
1、设是实数，函数在复平面解析，求 .
1、解：Cauchy-Riemann方程，，，解出
， .
2、求，并指出其主值.
解：
；其中；
其主值为 .
3、计算，其中，方向为正向.
2、解：用Cauchy积分公式，
.
4、计算，其中，方向为正向.
解：用高阶导数公式，
5、判别级数的收敛性.
解：，
和的收敛性分别与和的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以

复变函数与积分变换结课试卷B及答案

13．设C为从i到1+i的直线段，则 ____________.
14．设C为正向圆周|z|=2，则 ____________.
15．设f(z)=zez,则 .
得分
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
16.设复数
（1）求z的实部和虚部；
（2）求z的模；
（3）指出z是第几象限的点.
17．设 .将方程表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线.
18.设为解析函数，试确定a,b,c的值.
19．讨论函数w=xy-x+iy2的可导性，并在可导点处求其导数.
20.设C是正向圆周
座号
复变函数结课考试试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
化简为：
它表示为一条抛物线。
18.
设
19．
20．
C.x2+y2+2xyD.x2+y2-2xy
3.设 ,则（）
A． B．
C． D．
4．（）
A． B．
C． D．
5．设D={z||z-i|<1}，则D为（）
A．有界多连通域B．无界单连通域
C．无界多连通域D．有界单连通域
6.设f (z)= u+iv，则使f(z)在区域D内解析的C.-R.条件是（）
期末试卷
2012~ 2013学年第一学期考试时间：100分钟
课程名称复变函数与积分变换B卷□
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九

《复变函数》考试试题与答案各种总结

证明令 f (z) a0 zn 在 C : z R 上时 , 有
a1z n 1
an 1z
(z) a1 Rn 1
an 0 , 取 R an 1 R an
max ( a1
a1
an
,1 , 当 z
a0
an )R n 1 a0 Rn .
由儒歇定理知在圆
f ( z) . z R 内 , 方程 a0 zn a1zn 1
()
6. 若函数 f ( z) 在 z0 解析，则 f ( z) 在 z0 的某个邻域内可导 .
()
an 1z an 0 与 a0z n 0 有相
同个数的根 . 而 a0zn 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .
《复变函数》考试试题（三）
一 . 判断题 . (20 分 ).
1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .
()
2. 若 f ( z) 在 z0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z0 解析z0 处解析，则 f ( z) 在 z0 连续 .
()
4. 若数列 { zn } 收敛，则 {Re zn} 与 {Im zn} 都收敛 .
()
5. 若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区
域 D 内为常数 .
i
的右半圆 .
4. 求
sin z dz
z2
(z
)2
2
.
四 . 证明题 . (20 分 )
1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z) 在

2015复变函数B卷

西昌学院考试试卷__________________学院__________级_______________________专业姓名____________ 学号□□□□□□□□□□………………………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）…………………………………………《复变函数》试卷考试单位：彝语言文化学院命题教师（或单位）：胡鹏学年学期：2015—2016学年第1学期试卷编号：B卷考试对象：数学与应用数学（彝汉）专业13年级1班教研室主任：分管教学领导：答卷说明：本试卷共5页，5个大题，满分100分，120分钟完卷。

题号一二三四五六七八总分评阅总分大题分181********得分一、填空题：(每小题3分，共18分)1．设，则2．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则3． __________________4．函数的周期为___________5．若函数在整个平面上处处解析，则称它是_______6． .得分二、选择题：(每小题3分，共15分)7. 级数的收敛圆为A． B．C． D． [ ]8．设为单位圆周，则积分的值为A． B．C． D． [ ]9．设在区域内解析，则A． B．C． D． [ ]10．设则A． B．C． D． [ ]11．设在复平面内处处解析（其中为常数），则A． B．C． D． [ ]三、判断题：(每小题3分，共9分)得分12.若在的某个邻域内解析，则函数在连续（）13.为复平面内有界函数（）内解析, 则对D内任一简单闭曲线则必有.四、计算题：(每题各10分，共50分)得分15．计算积分：，积分路径为从原点到的直线段.16．求复数的实部与虚部17．将函数在圆环域内展为Laurent级数.18. 计算积分，其中5．算下列积分：求.五、证明题：(共8分)得分证明：讨论函数在区域D内解析，并且，则为常数。