期末复习不等式1

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不等式1

不等式1一、单选题1.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m， a n使得=4a1，则+ 的最小值为（）A. B.C. D.2.不等式x2﹣4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A. （1，4）B. （﹣4，﹣1）C. （﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）D. （﹣∞，1）∪（4，+∞）3.关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A. （﹣2，1）B. （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D. （﹣1，2）4.已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1， x2，且 0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是（）A. B. C.D.5.已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f（a），若f（a）≥﹣，则实数a的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.如果实数x，y满足约束条件，则z= 的最大值为（）A. B. C. 2 D. 38.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A. B.C. D. 29.已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y的最小值为（）A. 1B.C.D.10.设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A. B. [1，12] C. D. [2，12]11.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A. （﹣1，+∞）B. （﹣∞，﹣1）C. （1，+∞）D. （﹣∞，1）12.已知函数f（x）=ax2﹣bx+1，点（a，b）是平面区域内的任意一点，若f（2）﹣f（1）的最小值为﹣6，则m的值为（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 213.已知x，y满足，则（x﹣1）2+（y﹣1）2的取值范围是（）A. [5，25]B. [1，25]C.D.二、填空题14.已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+ 的最小值________．15.设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为：________．16.已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为________．17.已知ab= ，a，b∈（0，1），则+ 的最小值为________．18.已知不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是________．19.已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是________．20.若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=________．21.已知O是坐标原点，点A（-2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是________．22.已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为________．三、解答题23.解含参数a的一元二次不等式：（a﹣2）x2+（2a﹣1）x+6＞0．24.已知a∈R，解关于x的不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0．25.若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，求不等式cx2﹣bx﹣a＜0的解集．26.已知函数f（x）= x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a= 时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．四、综合题27.已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，求a，b的值；（3）若关于x的不等式f（x）≤0的解集是P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=∅，求实数a的取值范围．28.已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．29.设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A．（1）对任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．（2）若a+b=1，a，b∈R+，求+ 的最小值，并指出取得最小值时a的值．30.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若且直线与函数的图象可以围成一个三角形，求的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】基本不等式，等比数列的通项公式【解析】【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足 a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当= 时，等号成立．故的最小值等于，故选A．【分析】由 a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：不等式x2﹣4x＞2ax+a变形为 x2﹣（4+2a）x﹣a＞0，该不等式对一切实数x恒成立，∴△＜0，即（4+2a）2﹣4•（﹣a）＜0；化简得a2+5a+4＜0，解得﹣4＜a＜﹣1；∴实数a的取值范围是（﹣4，﹣1）．故答案为：B．【分析】把不等式x2﹣4x＞2ax+a化为x2﹣（4+2a）x﹣a＞0，根据不等式恒成立时△＜0，求出a的取值范围．3.【答案】B【考点】一元二次不等式的应用【解析】【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根∴∴a=﹣1，b=1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故答案为：B．【分析】根据不等式的解集可得出﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根，代入可解得a，b的值，从而得出不等式的解集.4.【答案】D【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】【解答】解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案为：D．【分析】由题意可得，根据一元二次方程根的分布与系数的关系以及三个二次之间的关系，分析的几何意义利用线性规划在直角坐标系中作出满足条件的可行域求得。

(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解

不等式的概念及其基本性质一、知识点复习：1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c>；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果)0(<>c b a ，那么bc ac <，cb c a <；（4）如果a b >，那么b a <；（5）如果a b >，b c >，那么a c >。

二、经典题型分类讲解：题型1：考察不等式的概念1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。

其中不等式有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个题型2：考察不等式的性质2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（）A 、22b a , a b ab +< , 11a b<,其中正确的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．下列说法不一定成立的是（）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若a c b c +>+，则a b >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b >5.（2016秋太仓市校级期末）如果10<<x ，则下列不等式成立的是（）A 、x x x 12<-x a 两边都除以a -1，得ax -<12，试化简：21++-a a 。

不等式知识点及题型总结

不等式一、知识点：1. 实数的性质:0>-⇔>b a b a ；0<-⇔⇔<，a b b a <⇔>．传递性 a b >且b c a c >⇒>．加法性质 a b a c b c >⇒+>+;a b >且c d a c b d >⇒+>+．乘法性质 ,0a b c ac bc >>⇒>；0a b >>，且00c d ac bd >>⇒>>．乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈⇒>；0,n n a b n N a b *>>∈⇒>．倒数性质11,0a b ab a b>>⇒<．3. 常用基本不等式：条件结论等号成立的条件a R ∈20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 222a b ab +≥，2()2a b ab +≤，222()22a b a b ++≥ a b =0,0>>b a基本不等式： 2a b ab +≥常见变式：2≥+b a a b ; 21≥+aa ab =0,0>>b a2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+ ab =4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a,b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.命题2:已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s时，积ab 有最大值42s .注意:运用重要不等式求值时，要注意三个条件:一“正"二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值,取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0，x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2,则有结论：ax 2+bx+c 〉0⇔2040a ab ac >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c 〈0⇔2040a ab ac <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式（1）|x ｜＜a(a ＞0）的解集为：｛x|－a ＜x ＜a}； |x ｜＞a （a ＞0）的解集为：｛x|x ＞a 或x ＜－a}。

完整版的不等式知识点和基本题型

完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。

以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。

- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。

- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。

- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。

- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。

3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。

- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。

4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。

4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。

4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。

- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。

4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

不等式的期末复习(关键知识点)

不等式的复习易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变．另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ．不等式的传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c ．一、不等式的基本概念【例1】不等号的关键词．（1）正数（2）非负数（3）超过（4）不超过（5）最多（6）至少（7）不大于（8）不小于【例2】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；【例3】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立 ( )A ． 22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ． 22a bc c>【例4】若x y x y +>-，y x y ->，那么下列式子正确的是 ( )A ． 0x y +>B ． 0y x -<C ． 0xy <D ． 0yx>【例5】如果0b a <<，则下列哪个不等式是正确的( )A ．2b ab C ．22b a >D ．22b a ->-二、不等式的解集不等式的解集在数轴上表示的示意图x a >xax a <xax a ≥xax a ≤a x【例1】不等式215x +≥的解集在数轴上表示正确的是 ( )DCBA4204206420420-2【例2】解不等式：3(2)61x x +<-【例3】解不等式：342163x x --≤；【例4】不等式132x x +>的负整数解是_______．【例5】已知12(3)(21)3a a -<-，求关于x 的不等式(4)5a x x a ->-的解集．【例6】已知m 、n 为实数，若不等式(2)340m n x m n -+-<的解集为49x >，求不等式(4)230m n x m n -+->的解集．【例7】关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <-，则系数a （）A.是负数B.是大于1-的负数C.是小于1-的负数D.是不存在的【例8】若不等式ax a <的解集是1x >，则a 的取值范围是______．三、不等式组的解集不等式图示解集 x ax b >⎧⎨>⎩b ax a >(同大取大数)x ax b <⎧⎨<⎩abx b <(同小取小数)x ax b<⎧⎨>⎩ abb x a <<(大小交叉中间找)x ax b >⎧⎨<⎩ab无解(大大小小没有解)【例1】不等式组10,2x x ->⎧⎨<⎩的解集是A ．x ＞1B ．x ＜2C ．1＜x ＜2D ．0＜x ＜2【例2】求不等式组2(2)43,251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．【例3】不等式组331482x x x +>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1【例4】不等式322x -<-<的正整数解为__________．1、讨论一次不等式组中的字母系数【例5】不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，求m 的取值范围．【例6】已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，求a 的取值范围．【例7】解下列不等式：53xx-<-；【例8】523xx-> -2、一元一次不等式组与方程的结合【例9】若方程组4143x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解满足条件01x y<+<，求k的取值范围．【例10】已知关于x、y的方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y>>，化简3a a+-．【例11】已知关于,x y的方程组2743x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解为正数．(1)求m的取值范围； (2)化简325m m+--．四、不等式组的解集【例1】某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人？【例2】2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B，两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：(1)共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱？【例3】某饮料厂开发了A B，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B，两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：⑴有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；⑵如是A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？原料名称甲乙饮料名称Ａ20克40克Ｂ30克20克【例4】某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请选择最省钱的租车方案．。

不等式的性质(1)

针对练习
加上5 加上 (1)如果x 5>4， (1)如果x-5>4，那么两边都如果到x>9 (2)如果在-7<8的两边都加上9 (2)如果在-7<8的两边都加上9可得到如果在的两边都加上 (3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a (3)如果在5>- 的两边都加上a+2可得到如果在5> a+2 (4)如果在-3>- 的两边都乘以7 (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28 如果在 (5)如果在8>0的两边都乘以8 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到如果在8>0的两边都乘以可得
2、判断、
Q a < b∴ a − b 0 ∴ a > 0
Q −a < −3 ∴ a < 3
（×）（×）
我是最棒的 ☞
例１：利用不等式的性质解下列不等式，列不等式，并在数轴上表示解集．示解集．
2 ( 4 ) x > 50 3
2 解：为了使不等式 x > 50中不等号的一边变为 x，根据不等式 3 3 的性质 2，不等式两边都乘，不等号的方向不变，得 2
x > 75
这个不等式的解集在数轴的表示是
０
75
5x +1 x−5 −2 > 6 4
解：不等式两边同时乘以12，得不等式两边同时乘以12， 12 2(5x+1)2(5x+1)-2×12>3(x-5) 12>3(x去分母 10x+2-24>3x10x+2-24>3x-15 去括号 10x-3x>2410x-3x>24-2-15 7x>7 X>1

不等式知识点总结

不等式知识点总结一、不等式的基本概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。

2. 不等式的解与解集。

- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。

- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。

3. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。

例如5>3，那么3 < 5。

2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如7>5，5>3，那么7>3。

3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。

例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。

- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。

例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。

4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。

例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。

不等式知识点

不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。

它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。

了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。

1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。

其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。

例如：3 > 2，x + 1 < 5等。

在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。

2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。

例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。

（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。

例如：若a < b，则a + c < b + c。

（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。

例如：若a < b，则-a > -b。

但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。

例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。

（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。

例如：若a < b，则b > a。

3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。

（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。

（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。

例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。

（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。

4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。

高三不等式练习1(详答版)

∴ d | M (a2 1) a2 1| | a | ，平方化简得 1 M 2 (a2 1)2 a2 1 2 4 ，
1 M 2
(1 M )2
a2
a2
∴1 M 2 4M 2 8M 4 ，解得 4 7 M 4 7
3
3
方法二：判别式法，化简为关于 a 的方程， (M 1)a2 (M cos sin )a (M 1) 0 ，
12.
已知 M
a2 a2
a sin a cos
1 1
（
a,
R，
a
0
），则
M
的取值范围是
二. 选择题（4×5=20 分）
a b 2 13. 设 a,b R ，则“ ab 1 ”是“ a 1且 b 1”的（
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分也非必要
14. 已知函数 f (x) x3 x 10 ，实数 x1 、 x2 、 x3 满足 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）
2
3. [3, 2] ，当 k 0 ，集合 A 中的元素有无数个，∴ k 0 ，∴[x (k 6 )](x 4) 0 ， k
∵ k 6 0 ，∴ k 6 x 4 ，∵ k 0 ，∴ k 6 2 6 4.9 ，要使集合 A 元素个
k
k
k
数最少， k 6 5 ，∴ k 2 6 5k ，解得 3 k 2 k
4. 1 ， (a 4b)2 1 a2 16b2 8ab 1 8ab 8ab 1 16ab 1 8 ，
4
ab
ab
ab
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高一数学不等式知识点总结及例题

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

高三数学不等式知识点

高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。

高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。

良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

不等式的知识点

不等式的知识点不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。

下面就让我们一起来深入了解一下不等式的知识点。

首先，不等式的定义很简单，它是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个表达式的式子。

例如，2x ＋ 3 ＞ 5 就是一个不等式。

不等式的性质是解决不等式问题的基础。

性质 1：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

也就是说，给不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变。

性质 2：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果a ＞b 且c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。

这意味着，不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

在解不等式时，我们通常会运用这些性质将不等式进行变形，最终求出未知数的取值范围。

比如，解不等式 3x 5 ＜ 16 ，我们先将 5 移到右边得到 3x ＜ 21 ，然后两边同时除以 3 ，得到 x ＜ 7 。

一元一次不等式是最简单的不等式类型之一。

它的一般形式是 ax＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式性质的正确运用。

一元二次不等式则稍微复杂一些。

以 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 （a ＞ 0 ）为例，我们需要先求出对应的二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。

如果方程有两个不同的根x₁和 x₂（x₁＜ x₂），那么不等式的解集就是 x ＜ x₁或 x ＞ x₂；如果方程有两个相同的根 x₀，那么不等式的解集就是x ≠ x₀；如果方程没有实数根，那么不等式的解集就是全体实数。

绝对值不等式也是常见的类型。

对于｜x| ＜ a （a ＞ 0 ），其解集是 a ＜ x ＜ a ；对于｜x| ＞ a （a ＞ 0 ），其解集是 x ＜ a 或 x ＞ a 。

高一上期末数学复习---不等式

高一期末数学复习---不等式一、知识点突破1．比较两个实数大小的方法2．不等式的性质3（1）()0,2≥+≤b a b a ab ；（2）R b a ab b a ∈≥+,,222；（3）0,2>≥+ab ba ab ；（4）R b a b a ab ∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤,,22；（5）R b a b a b a ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+,,22222．当且仅当b a =时等号成立． 4．算术平均数与几何平均数设0>a ，0>b ，则a ，b 的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 5．利用基本不等式求最值问题已知0>x ，0>y ，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时，x ＋y 有最小值是p 2．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是42p ．(简记：和定积最大)6．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象一元二次方程()002>=++a c bx ax 的根有两个相异实根1x ，()212x x x <有两个相等实根ab x x 221-== 没有实数根一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集 {1x x x <或}2x x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集{}21x x xx <<φ φ对于0<二、题型突破题型一比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知实a ，b ，c ，满足2346a a c b +-=+，244a a b c +-=-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >≥B ．b c a ≥>C ．a b c >>D ．b c a >> (2)已知1≥a ，试比较a a M -+=1与1--=a a N 的大小．巩固训练：1．已知R p ∈，()()312-+=p p M ，()()1036++-=p p N ，则M 、N 的大小关系为________．题型二不等式的性质【例2】（1）若0<+；②11->-b a ；③ba b a 111>>+，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 (2)(多选题)下列命题中不正确的是( )A ．若b a >，则22bc ac > B ．若b a >，d c <，则db c a > C ．若b a >，d c >，则d b c a ->- D ．若0>ab ，b a >，则b a 11<【例3】(1)若106<<a ，a b a22≤≤，b a c +=，则c 的取值范围是( ) A ．[]18,9 B ．()30,15 C ．[]30,9 D ．()30,9(2)已知41<<-x ，32<<y ，则y x -的取值范围是________，y x 23+的取值范围是________．巩固训练：1．(多选题)若0<B ．ab a >2C.b a 11> D.ab a 11>- 2．若41<+<-y x ，32<-<y x ，则y x 23+的取值范围为________．题型三利用基本不等式求最值【例4】（1）函数()1122>-+=x x x y 的最小值为________．（2）已知两个正数x ，y 满足xy y x 82=+，则y x 24+的最小值为( ) A ．47 B ．2 C ．49 D ．25 （3）已知正实数a ，b 满足01=+-b ab ，则b a41+的最小值是________．巩固训练： 1．若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,51C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-51,D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-51,2．已知函数()22>-+=x x mx y 的最小值为6，则正数m 的值为________． 3．若0>a ，0>b ，ab b a =+，则b a +的最小值为________． 4．已知0>a ，0>b ，且1=ab ，则ba b a +++82121的最小值为________．题型四一元二次不等式的解法【例5】（1）已知全集R U =，集合{}0232≥+-=x x x A ，则∁A R 等于( )A ．()2,1B ．[]2,1C ．(][)+∞⋃∞-,21,D ．()()+∞⋃∞-,21, （2）不等式1512-≥-+x x 的解集为________．（3）已知不等式02>++c bx ax 的解集是{}()0><<αβαx x ，则不等式02<++a bx cx 的解集是( )A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛αβ1,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ C ．()βα, D ．()()+∞⋃∞-,,βα 巩固训练： 1．解下列不等式：（1）08232≥+--x x ；（2）4202≤--<x x ．2．已知不等式052>+-b x ax 的解集为{}23-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<3121x x x 或 C ．{}23<<-x x D ．{3-<x x 或}2>x 题型五含参数的一元二次不等式的解法[例6] 解关于x 的不等式()()00112><++-a x a ax ．巩固训练：1．解关于x 的不等式()()012132>+++-a a x a x ．题型六一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例7] （1）若不等式012>+-kx x 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________．（2）设函数()012≠--=m mx mx y ，若对于[]3,1∈x ，5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．（3）若不等式342-+>+p x px x ，当40≤≤p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[]3,1- B ．(]1,-∞- C ．[)+∞,3 D ．()()+∞⋃-∞-,31, 巩固训练：1．设函数()012≠--=m mx mx y ，若存在[]3,1∈x ，使得5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．2．对任意的[]1,1-∈k ，函数()k x k x y 2442-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围为________．三、反馈练习一、单项选择题1．若a b <<0,0<<c d ,则下列正确的是( ) A .ac bd C .d b c a ->-D .d b c a +>+ 2．已知函数x x x y 122+-=，则y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的最小值为（）A ．21 B ．34C ．1-D ．03．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数.设计师将某手机的屏幕面积与整机面积同时增加相同的数值,作为一款新手机的“屏占比”,则新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比 ( )A .不变B .变小C .变大D .不确定4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式313m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A ．9 B ．12 C ．18 D ．245．若关于x 的不等式012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则b a +的值为 ( )A .41-B .0C .21D .1 6．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+ 7．已知,,(,0)a b c ∈-∞，则下列三个数1a b +，4b c+，9c a +（） A ．都不大于-4 B ．至少有一个不大于-4 C ．都不小于-4 D ．至少有一个不小于-4 8．为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD (阴影部分)和四周的绿化带组成. 规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ,绿化带的宽分别为m 2和m 5(如图所示). 当长方形1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为( ) A .m 20 B .m 50 C .m 1010 D .m 100 二、多项选择题9.关于函数542+--=m x mx y 的零点，以下说法正确的是 ( )A .当0=m 时，该函数只有一个零点B .当1=m 时，该函数只有一个零点C .当1-=m 时，该函数没有零点D .当2=m 时，该函数有两个零点 10.对任意实数x ，若不等式k x x >--+12在R 上恒成立，则k 的取值可以是（） A .6- B .5- C .4- D .3-11.已知命题p :R x ∈∀，042>++ax x ，则命题p 成立的一个充分条件可以是( ) A .[]1,1-∈a B .()4,4-∈a C .[]4,4-∈a D .{}0∈a12．十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 若R c b a ∈,,，则下列命题正确的是 ( )A .若0>>b a ，则22bc ac > B .若0<a ，0>b ，则b a b a a b +≥+22 三、填空题13.若关于x 的不等式0132<+-ax x 的解集为φ，则实数a 的取值范围是 . 14.已知实数x ，y 满足14-≤-≤-y x ，541≤-≤-y x ，则y x +3的最大值为 . 15.设集合{}5120≤-≤=x x A ，{}02<+=a x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围为 . 16.已知0>x ，0>y ，且111=+y x ，则yyx x -+-1419的最大值为 . 四、解答题17.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往. 甲车队说:“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 18.（1）若正实数x ，y 满足xy y x =++62，求xy 的最小值；（2）若实数x ，y 满足122=++xy y x ，求y x +的最大值. 19.已知集合R U =，{}112>-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=2153x x x B ，求B A ， A ∁U B .20.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . (1)若不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,23，求实数k 的值； (2)若不等式对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 21．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=023x x xA ，{}042<-=x x B ．（1）求∁()B A R ⋃；（2）已知函数12+-=kx x y ，从()+∞∈∀,0x ，都有0≥y 成立，[]2,1∈∃x ，使得0<y 成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答．问题：记p ∈k ∁()B A R ⋃，q ：________，若p 为假，q 为真，求实数k 的范围．若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分22.在，，∁A R ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式0232>+-x ax 的解集为{1<=x x A 或}b x >，关于x 的不等式()02<++-bm x b am ax 的解集为B （其中R m ∈）（1）求a ，b 的值；（2）求集合B ；（3）是否存在实数m ，使得___________（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.。

完整版)不等式知识点归纳大全

完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。

不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

2.解分式不等式f(x)。

a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。

3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。

4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。

按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。

二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。

2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。

三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。

2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。

不等式的知识点总结

稿子一：嘿，亲！今天咱们来聊聊不等式这个有趣的家伙。

你知道不，不等式就是表示两个数或者表达式大小关系的一种式子。

比如说，大于号“>”，小于号“”，大于等于号“≥”，小于等于号“≤”，它们都是不等式的标志哦。

解不等式的时候，和方程有点像，但也有不同。

就像移项，还是把未知数放一边，常数放另一边。

不过要注意啦，如果在不等式两边乘或者除以一个负数，不等号的方向就得反过来哟！这可是个容易出错的小陷阱。

还有不等式组，就是好几个不等式凑在一起。

要找到它们的公共解集，那就得一个一个地解出来，然后找它们的交集。

比如说，x + 2 > 5 且 2x 8 ，咱们先解第一个，x > 3 ，再解第二个，x 4 ，那公共解集就是 3 x 4 。

不等式在生活中用处可大啦！像买东西算预算，安排工作算时间，都能用到它。

不等式虽然有点调皮，但只要咱们认真对待，就能把它拿下！稿子二：亲，咱们一起来瞅瞅不等式的那些事儿。

不等式呀，就像生活中的比较，谁多谁少，谁大谁小。

比如说，3x > 6 ，这就是个简单的不等式，咱们得求出 x 的范围。

两边同时除以 3 ，就得到 x > 2 。

还有那种一边是多项式的，像 2x + 5 11 ，先把 5 移过去变成2x 6 ，再除以 2 ，x 3 。

要是遇到不等式组，也别怕。

一个一个解，然后把它们的解集合起来。

比如说，x 1 > 0 ，x + 3 7 ，解第一个是 x > 1 ，解第二个是 x 4 ，所以解集就是 1 x 4 。

不等式的应用可广啦！比如说，你去买糖果，手里就 20 块钱，糖果单价 5 块一包，那设能买 x 包，就有5x ≤ 20 ，算出x ≤ 4 ，知道最多能买 4 包。

呢，不等式就像个小机灵鬼，有时候会捉弄你一下，但只要咱们细心，就能和它成为好朋友，轻松搞定它！。

不等式知识点归纳

不等式知识点归纳不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数量的大小关系。

它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。

一、不等式的基本概念不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。

通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。

其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。

例如，a b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。

二、不等式的性质1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果a > b，b > c，则可以推出 a > c。

2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c b，则 a ± c > b ± c。

其中，c 是常数。

3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。

注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。

4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。

注意，当a 或b 为0时，倒数性不成立。

三、不等式的解法解一个不等式，就是找出使得不等式成立的数的范围。

常见的解不等式的方法有以下几种。

1. 加减法：将不等式中的项移项，使得不等式变为一个与变量 x 有关的代数式 f(x)，然后通过分析 f(x) 的符号变化来确定不等式的解集。

不等式专题整理

不等式专题整理1. 一次不等式：- 加减法：- 如果 a>b，则 a+c > b+c （c为任意实数）- 如果 a>b，则 a-c > b-c （c为任意实数）- 乘法：- 如果 a>b 且 c>0，则 ac > bc- 如果 a>b 且 c<0，则 ac < bc- 除法：- 如果 a>b 且 c>0，则 a/c > b/c- 如果 a>b 且 c<0，则 a/c < b/c- 平方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则 a^2 > b^2- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则 a^2 > b^2- 开方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则√a > √b- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则√a < √b2. 二次不等式：- 求根：- 如果 ax^2+bx+c > 0 且 a>0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 如果 ax^2+bx+c < 0 且 a<0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 判别式：- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac > 0 时，该二次函数有两个不相等的实根。

- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac = 0 时，该二次函数有两个相等的实根。

- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac < 0 时，该二次函数无实根。

3. 绝对值不等式：- 绝对值大于等于某个数：- 如果|a| ≥ b，则a ≥ b 或a ≤ -b （b为非负实数）- 绝对值小于等于某个数：- 如果|a| ≤ b，则 -b ≤ a ≤ b （b为非负实数）4. 分式不等式：- 分式大于等于某个数：- 如果f(x) ≥ a，则分别对 f(x)-a ≥ 0 进行相应的不等式变形和求解。