陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》4任意角的正弦函数、余弦函数的定义导学案北师大版必修4

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中职数学任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念

8
数定义域的生对函数
余弦函数：y=cos 定义域为 R
正切函数：y=tan
一般方法探定义域的索正弦、余掌握情况。弦和正切函
定义域为
{x|x≠(π /2)+kπ ,k∈Z}
对于任意角的三角函数而言，其实大数的定义家只需要记住当角的终边落在 y 轴上的域。话，正切值是不存在的。
教学环节与主要内容
教学表现行为目标
1、从学生已
课堂教学评价
1、评价学
一、知识回顾在初中，我们学习了锐角三角函数，它有的知识出们是在直角三角形中定义的。如图 5-13 所发，导入新示，在直角∆ABC 中，定义生对锐角

的正
B
课，提高学生参与课堂
弦、余弦和正切定义的识记情况。
对于每一个确定的也是确定的那么比值也是确定的也就是说一个角它的正弦函数对应一个比值余弦函数对应一个比值正切函数也对应着一个比值一个变量对应着一个变量变量与变量之间是一一对应的
《任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念》
礼县王坝农业中学
教学对象高一年级
罗奎奎
授课学时 1 课时
1、理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；会用角终边上任意一点坐标表示的正弦、余弦和正切值. 教学目标 2、掌握正弦、余弦、正切的定义域 3、运用研究函数的一般方法，经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，体验数形结合、类比等思想方法. 教学重点重点：任意角的三角函数定义及其定义域。与难点难点：对任意角的三角函数定义的理解。教学方法启发、引导、演示法、练习法.
11
课堂小结引导学生根据自己的学习收获进行总结：
解。

北师大版高中数学必修四陕西省西安育才第一章余弦函数教案

§5 余弦函数（2课时）教学目标：知识与技能（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。

情感态度与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。

难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。

三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。

用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时余弦函数的概念和诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝斜边邻边。

同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。

下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31. 【探究新知】 1．余弦函数的定义在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P （a ，b ）, 那么点P 的横坐标a 叫做角α余弦函数，记作：a ＝cos α(α∈R).通常我们用x ，y为y ＝cosx(x∈R).如图，有向线段OM 称为角α的余弦线。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式(1)导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式（1）导学案北师大版必修4【学习目标】1. 借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导角αππαα-±-,,的正、余弦函数的诱导公式，并会用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简.2. 通过诱导公式的推导，进一步培养用几何法研究代数问题的方法，体会周期性、对称性在研究问题中的价值.【自主学习】1. 锐角α的终边与α-的终边位置关系如何？任意角α与α-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角α-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为 ____.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与α-的正、余弦函数之间的关系吗？2. 锐角α的终边与πα±的终边位置关系如何？任意角α与πα±呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角πα±的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与πα±的正、余弦函数之间的关系吗？3.锐角α的终边与απ-的终边位置关系如何？任意角α与απ-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角απ-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与απ-的正、余弦函数之间的关系吗？4. 求下列函数值：（1）ο150cos ；（2）)45sin(π-；（3）)1320cos(ο-.【合作探究】1. 在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点)1312,135(-P ，写出点P 关于x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标，并分别求出角απαπααπ-+--2,,,的正弦函数值、余弦函数值.2.化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ-----+.3. 利用单位圆，求适合下列条件的角的集合.（1）22cos -=α；（2）21sin ≤α.【课堂检测】 1.下列各式不正确的是（）A. ααsin )180sin(-=+οB. )cos()cos(βαβα--=+-C. ααsin )360sin(-=--οD. )cos()cos(βαβα+=-- 2.已知)30(31)sin(πααπ<<-=+，求)sin(απ-的值.3. 化简：)5sin()4sin()2sin()sin()3sin()sin(απαππαπααπαπ+----+--.【课堂小结】【课后训练】。

任意角的正弦函数、余弦函数的定义

周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数，它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数呈现出波形变化的特点，即随着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用，例如在信号处理和振动分析等领域。

陕西省西安市育才中学高中数学必修4第一章函数的图像教案2

第二课时 y ＝sinx 和y ＝sin ωx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像一、教学思路【创设情境，揭示课题】上一节课，我们已过y ＝sinx 和y ＝Asinx 的图像，y ＝sinx 和 y ＝sin （x ＋φ）的图像间的关系，请与y ＝Asin(ωx ＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？【探究新知】例一．画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin 21x x ∈R 的图象（简图）。

解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图令t=2x 则x=2t从而sint=sin2x列表：x函数y=sin 2x周期T=4π ∴在[0, 4π]上作图列表配套练习：函数y ＝sin 32x的图像与函数y ＝sinx 的图像有什么关系？引导, 观察启发与y=sinx 的图象作比较，结论：1．函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。

由上例和练习可以看出：在函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)中，ω决定了函数的周期T ＝ωπ2，通常称周期的倒数f ＝T 1＝πω2为频率。

例二．画出函数y=3sin(2x+3π) x ∈R 的图象。

解：设-1小结平移法过程（步骤）两种方法殊途同归【巩固深化，发展思维】教材P58练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业:教材P62习题2、3、4四、课后反思。

北师大版高中数学必修四陕西省西安育才第一章正弦函数教案(1)

第二课时§4.3正弦函数y＝sinx的图像一、教学思路【创设情境，揭示课题】三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

今天我们来学正弦函数y＝sinx 的图像的做法。

在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

【探究新知】正弦函数线MP下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题①线段MP的长度可以用什么来表示?②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计一种方法加以解决?引出有向线段的概念．有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，y＞0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在一、二象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴同向)．y ＜0时，把MP 看作与y 轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴反向)．师生归纳：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M →P ，而PM 则是从P →M 。

②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sin α＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。

演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sin α＝0。

2．作图的步骤边作边讲（几何画法）y=sinx x ∈[0,2π]作单位圆，把⊙O 十二等分（当然分得越细，图像越精确）十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π,…2π等角，并作出相应的正弦线，将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形”取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合描图（连接）得y=sinx x ∈[0,2π]（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x ∈[2k π，2(k+1)π] （k ∈Z ，k ≠0）与函数y=sinx x ∈[0,2π]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长。

高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总高中数学各章节知识点汇总名目第一章集合与命题 (1)一、集合 (1)二、四种命题的形式 (2)三、充分条件与必要条件 (2)第二章别等式 (1)第三章函数的基本性质 (2)第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3)一、幂函数 (3)二、指数函数 (3)三、对数 (3)四、反函数 (4)五、对数函数 (4)六、指数方程和对数方程 (4)第五章三角比 (5)一、任意角的三角比 (5)二、三角恒等式 (5)三、解歪三角形 (7)第六章三角函数的图像与性质 (8)一、周期性 (8)第七章数列与数学归纳法 (9)一、数列 (9)二、数学归纳法 (10)第八章平面向量的坐标表示 (12)第九章矩阵和行列式初步 (14)一、矩阵 (14)二、行列式 (14)第十章算法初步 (16)第十一章坐标平面上的直线 (17)第十二章圆锥曲线 (19)第十三章复数 (21)第一章集合与命题一、集合1.1 集合及其表示办法集合的概念1、把可以确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集2、集合中的各个对象叫做那个集合的元素3、假如a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A”4、假如a别是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a别属于A”5、数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N别包括零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R-6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极7、空集是指别用含有任何元素的集合，记作?集合的表示办法1、在大括号内先写出那个集合的元素的普通形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示办法叫做描述法1.2 集合之间的关系子集1、关于两个集合A和B，假如集合A中任何一具元素都属于集合B，这么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A”2、空集包含于任何一具集合，空集是任何集合的子集3、用平面区域来表示集合之间关系的办法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图相等的集合1、关于两个集合A和B，假如A?B，且B?A，这么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，假如两个集合所含元素彻底相同，这么这两个集合相等1.3 集合的运算交集1、由交集A和交集B的所有公共元素的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B并集1、由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B 的并集，记作A∪B，读作A并B补集1、在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，那个确定的集合叫做全集2、U是全集，A是U的子集。

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

陕西省榆林市育才中学高中数学数系概念的扩展习题北

陕西省榆林市育才中学高中数学数系概念的扩展习题北师大版选修1-2学习目标1．了解数的概念的扩展和复数的有关概念及分类．2．理解两个复数相等的充要条件．3．了解复数与复平面内点的对应关系、复数的几何意义及向量表示.一、自主学习实数系、数系的扩充脉络是：→→→，用集合符号表示为：⊆⊆⊆1．复数的概念(1)复数的概念：把形如a＋bi的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)．复数通常表示为_____________ ,规定i2＝－1.(2)对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用_______与_______表示，即a＝________，b＝________.(3)复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C，显然R____C.2．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)中，当______时，z为实数；当_____时，z为虚数；当______且_______时，z为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)，当且仅当______且_______.4．复平面当用直角坐标平面内的点表示复数时，我们称这个直角坐标平面为_____ _，___轴称为实轴，_____轴称为虚轴．5．复数的两种几何意义6．复数的模设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的____________，记作|z|，显然|z|＝a2＋b2.一、基础检测1． “复数a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．复数3－2i 的虚部是( )A ．3B ．2C ．－2 D.－2i3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5IC ．2＋i D.5＋5i4. 若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________．5．复数z ＝a2－1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则|z|＝______.二、能力提升6．求实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m2)i 的点:(1)位于虚轴上； (2)位于第三象限．7．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m2＋m －3m ＋3＋(m2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．三、探究与拓展8. 复数z ＝log3(x2－3x －3)＋ilog2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？9．在复平面内，若复数z ＝(m2－m －2)＋(m2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z.10.当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．。

高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义学案

1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义学习目标重点难点1.记住任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．准确把握任意角的不同三角函数的定义方法．3．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值．4．记住三角函数值在各个象限的符号并会灵活解题.重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义(包括这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)．难点：已知角α终边上一点，求角α的各三角函数值．疑点：三角函数的正弦线、余弦线的作法.1．单位圆在直角坐标系中，以______为圆心，以________为半径的圆，称为单位圆． 2．任意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的____v 叫作角α的正弦函数，记作________；点P 的______u 叫作角α的余弦函数，记作______．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y ＝sin x 和y ＝cos x ，它们的定义域为________________，值域为______．预习交流1在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)．怎样用x ，y ，r 表示sin α，cos α？预习交流2(1)已知角α的终边经过P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则sin α＝__________，cos α＝__________. (2)若点P (－3，－1)是角A 终边上的一点，则sin A ＝__________，cos A ＝__________. 3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号预习交流3(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？(2)填空(比较大小)：sin 195°____0，cos 140°____0.答案：1．原点单位长2．纵坐标 v ＝sin α 横坐标 u ＝cos α 全体实数 [－1,1]预习交流1：提示：sin α＝y r ，cos α＝x r. 预习交流2：(1)12 32(2)－1010 －31010解析：x ＝－3，y ＝－1，r ＝10， ∴sin A ＝－110＝－1010， cos A ＝－310＝－31010.3．＋＋－－＋－－＋预习交流3：(1)提示：由三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．(2)＜＜1．利用定义求任意角的正弦、余弦值已知角α的终边在射线y ＝2x (x ＞0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．思路分析：解答本题可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助于三角函数的定义加以解决．在直角坐标系的单位圆中，α＝6. (1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标．(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b 2.(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．2．判断三角函数值的符号及角所在的象限判断符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限．思路分析：依据正弦函数、余弦函数在各个象限的符号作出判断．(1)如果sin α＞0，且cos α＜0，则α是第______象限角； (2)如果cos α＞0，且sin α＜0，则α是第______象限角； (3)如果sin αcos α＞0，则α是第__________象限角； (4)如果sin αcos α＜0，则α是第__________象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．(2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3．三角函数的定义域问题求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x sin x；(2)y ＝lg sin 2x ＋9－x 2.思路分析：考虑分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根号下不为负，建立不等式(组)，解之即可．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )． A ．(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k ＋1π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k ＋1π(k ∈Z )D ．[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )求解三角函数定义域的解题策略求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即通过列不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴来解决．答案：活动与探究1：解：方法一：设α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则y ＝2x (x ＞0)．又因为x 2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255.于是sin α＝y ＝255，cos α＝x ＝55.方法二：在角α终边上任取一点P (x ，y )(x ＞0)，则|OP |＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |. 又x ＞0，所以|OP |＝5x .所以sin α＝y x 2＋y 2＝y 5x ＝255，cos α＝x x 2＋y2＝x5x＝55. 迁移与应用：解：(1)如图所示．(2)∵sin α=12，cos α，∴角α的终边与单位圆的交点坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，如图所示．活动与探究2：解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0.∴sin 340°cos 265°＞0. (2)∵sin 2α＞0，∴2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π＜α＜2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π＜α＜2m π＋3π2(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α＜0，可知α为第三象限角．迁移与应用：(1)二 (2)四 (3)一或三 (4)二或四活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需sin x ≠0， ∴x ≠k π.∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0.由sin 2x ＞0得2k π＜2x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即k π＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．①由9－x 2≥0得－3≤x ≤3.②由式①②得－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.故函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3≤x <－π2或0<x <π2.迁移与应用：B 解析：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .1．已知sin α＝－12，cos α＝32，则角α终边所在的象限是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．角α的终边经过点P (0，b )，则( )． A ．sin α＝0 B ．sin α＝1C ．sin α＝－1D ．sin α＝±1 3．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．－24．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是__________．5．若点P (－4a,3a )(a ≠0)为角α终边上一点，求sin α，cos α.答案：1．D 解析：sin α＝－12＜0，∴α在第三或第四象限；cos α＝32＞0，∴α在第一或第四象限． ∴α终边所在的象限是第四象限． 2．D 解析：r ＝|b |，∴sin α＝b r ＝b|b |＝±1. 3．A 解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1＋1＝0.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：由题意知，cos x ≥0， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 5．解：r ＝|OP |＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，α角在第二象限，故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.当a ＜0时，r ＝－5a ，α角在第四象限，故sin α＝－35，cos α＝45.。

陕西省榆林市育才中学高中数学命题习题新人教A版选修1-1

陕西省榆林市育才中学高中数学 2、命题习题新人教A版选修1-1课时目标1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解命题的结构，会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.3.了解一个命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系．1．命题的概念(1)命题：可以____________、用________________表述的语句叫作命题．(2)命题的真假：判断为______的语句叫作真命题；判断为______的语句叫作假命题．2．命题的条件和结论(1)一般地，一个命题由________和________两部分组成．(2)命题可以表示为“若p，则q”的形式，其中的p叫作命题的________，q叫作命题的________．3．四种命题(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互为逆命题，其中一个命题叫作原命题，那么另外一个叫作原命题的__________．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的________________和________________，那么我们把这样的两个命题叫作互为否命题，其中一个命题叫作原命题，那么另外一个叫作原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的______________和____________，那么我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题，其中一个命题叫作原命题，那么另外一个叫作原命题的逆否命题．一、选择题1．下列命题中，是真命题的是( )A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数2．在空间中，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．44．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是( )A．若A∪B≠A，则A⊇B B．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠A D．若A⊇B，则A∩B≠A5．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是( )A．它的逆命题是真命题 B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题 D．它的否命题是假命题6．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题是( )A．①② B．②③ C．①③ D．③④二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的否命题是_________；逆命题是_____________________；逆否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数。

高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必

一、预习教材·问题导入 1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终边在第一、三象限．
考点三利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》三角函数小结导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》三角函数小结导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角：（2）弧度与角度的互化：（3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数（1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域值域周期性奇偶性单调性对称性【合作探究】1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ；（2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域：（1）)34cos(32π--=x y ；（2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值的集合.2. 判断下列函数的奇偶性：（1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π；（2）)2037cos(ο-和ο852cos ；（3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。

单位圆与任意角的正余弦函数定义

点P的_横___坐__标__u叫作角α的余弦函数，记作_u_＝_ cosα_．
【探究4】正弦、余弦函数值在各象限的符号
上正弦右余弦
【知识梳理】
正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余弦函数在各象限的符号
三角函数
象限第一象限第二象限第三象限第四象限
sin α cos α
+
+
—
—
+
—
—
+
【应用】特殊角的正、余弦函数值
若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
sin y y y
r1
cos x x x
r1
【探究2】单位圆与锐角正、余弦函数的关系
y
1 P(u,v)
sin v v
1
O
x
cos u u
1
【探究3】单位圆与任意角正、余弦函数的定义
任给角
终边OP
点P
y
P
v
uO
x
v sin
解： sin 0
cos -1
y
-1
O
x
【作业】求特殊角的正、余弦函数值(课本第16页表格）
0 2 5 7 4 3 5 11 2
6 4 32 36
6 32 3 6
sin
cos
思维导图
锐角的正、余弦函数
r O
P(x,y)
任意角的正、余弦函数
v sin
u cos
上正弦右余弦
A
α
C
【探究1】用坐标来表示锐角的正弦函数和余弦函数
角α的正弦、余弦分别等于什么？
sin y
r
cos x

4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

课题4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义编写屈永军审核使用时间学习目标1. 借助单位圆理解任意角的正弦，余弦函数的定义。

2. 如何求任意角的正弦，余弦值及其在各象限的符号。

重点任意角的正弦，余弦函数的定义。

难点用角的终边上的点刻画正弦函数与余弦函数。

预习案教材助读同学们看课本13-14页，回答下列问题：1．单位圆的定义：______________________________________2．如图，我们利用单位圆来进一步研究锐角α的正弦函数、余弦函数。

注意：给定的锐角α，要使角α的_____与_____重合，_____与_________重合，____与单位圆交于点_____则点P的______是角α的_______点P的______是角α的________3．现在角的概念推广之后，角的大小在弧度制中可以取任意实数，那么如何通过直角坐标系来定义任意角的三角函数呢？(1)一般地，在直角坐标系中，给定_____,对于任意角α，使角α的_____与原点重合，_____与___________重合，____与单位圆交于点______,那么点P______叫做角α的_______,记作_______;点P_______叫作角α的________,记作__________.(注意：此种情况点P必须是角α与单位圆的交点)（2）当点P（，）是角α终边上任一点时，我们如何求正弦值和余弦值呢？Sinα =Cosα =4．通常，我们用____表示自变量，即x表示________,用_____表示函数值，这样我们定义了任意角三角函数_________和______,它们的定义域为_____________,值域为_____________预习自1．观察课本14页的图1-19，小组合作讨论：当角α的终边分别在第一，第二，第三，第四象限时，角α的正弦函数值，余弦函数值得正负情况，并把课本中的表格填好。

再在下图中画出正负号测正弦函数值正负余弦函数值正负探究案基础知识探究1（对应课本14页例1）在直角坐标系的单位圆中，α=，（1）画出角α（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标（3）求出角α的正弦函数值，余弦函数值知识应用探究（对应课本15页例2）已知角α终边上一点P（3，,－2），求角α的正弦函数值，余弦函数值。