平行四边形的性质3
平行四边形的性质及判定
平行四边形1.平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.1.平行四边形的性质一.填空题.1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.FED CBA图4.1-12.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A图4.1-2二.选择题.7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直三. 解答题12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.ODCBA图4.1-313. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.GFEDCBA图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.F E DCBA图4.1-5五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?H GFEDCBA图4.1-616. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?请说明理由.DCB A图4.1-72. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.HGFED CBA图4.2-1GFEDCB A图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形.F EDCB A图4.2-3F E DCBA图4.2-4二. 选择题6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线 三. 解答题11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.OMNDCBA图4.2-512. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?NMDCBA图4.2-6 四. 应用题13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?NMQP DCBA图4.2-714. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G FE D CBA图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.DCBA图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?图4.2-103.平行四边形性质和判定综合。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是几何学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质，并深入了解这个几何形状的特点和规律。
首先，让我们来了解一下平行四边形的定义。
平行四边形是一个具有两对对边分别平行的四边形。
这意味着平行四边形的相对边是平行的，并且相对角是相等的。
这个定义为我们后续讨论平行四边形的性质奠定了基础。
第一条性质是关于对角线的。
平行四边形的对角线互相等长，并且互相平分。
也就是说，平行四边形的对角线相交于一个点，并且这个点将对角线等分。
这个性质可以用来证明平行四边形的各种定理和推论。
第二条性质是关于对边和对角的关系。
在平行四边形中，对边是平行的，并且对角是相等的。
这意味着平行四边形的相对边是相等的，相对角也是相等的。
这个性质使得我们可以通过已知的边和角来推导出其他未知的边和角。
第三条性质是关于边和角的关系。
在平行四边形中，相邻的内角互补，也就是说相邻的内角的和为180度。
这个性质可以用来求解平行四边形内角的大小，以及证明平行四边形的各种定理。
第四条性质是关于对角的关系。
在平行四边形中，相对角是相等的。
这个性质使得我们可以通过已知的角来推导出其他未知的角，从而更好地理解平行四边形的结构和性质。
第五条性质是关于边的关系。
在平行四边形中，相对边是相等的。
这个性质使得我们可以通过已知的边来推导出其他未知的边，从而更好地理解平行四边形的结构和性质。
第六条性质是关于面积的关系。
在平行四边形中，对角线的长度乘积等于平行四边形的面积。
这个性质可以用来计算平行四边形的面积，从而更好地理解平行四边形的大小和形状。
总的来说，平行四边形具有许多独特的性质和特征，这些性质和特征使得我们能够更好地理解和运用平行四边形的相关知识。
通过深入了解平行四边形的性质，我们可以更好地解决与平行四边形相关的问题，并且更好地应用平行四边形的知识。
希望本文对大家有所帮助，能够更好地理解和运用平行四边形的知识。
平行四边形的认识
平行四边形的认识
平行四边形是初中数学中十分基础的一个概念，它广泛应用于各类
几何问题，因此对平行四边形的认识至关重要。
本文将从平行四边形
的定义、性质以及相关的定理三个方面来介绍平行四边形，让读者对
平行四边形有一个更深入的了解。
一、平行四边形的定义
所谓平行四边形，就是具有两对对边分别平行的四边形。
其中，两
条相邻的边不互相平行，两角相邻的两边不互相垂直。
二、平行四边形的性质
1. 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。
2. 对角线长度：平行四边形的对角线长度相等。
3. 同底异侧角相等：平行四边形的同底异侧角相等。
4. 邻角互补：平行四边形的邻角互补，即相邻的两个角的和为180°。
5. 对边相等：平行四边形的对边相等。
以上五个性质是初中数学中比较重要的平行四边形性质，也是学习
平行四边形时需要掌握的基本知识点。
三、平行四边形相关定理
1. 平行四边形的基本性质：平行四边形的四个角都是直角，则该四
边形是正方形；若一个角是钝角，则该四边形是菱形。
2. 平行四边形的面积公式：平行四边形的面积等于底边长乘以高。
3. 平行四边形的中线定理：平行四边形中位线长度等于底边长度的一半。
以上三个定理是初中数学中常用的平行四边形定理，也是在解决各类平行四边形问题时需要灵活应用的定理。
综上所述，平行四边形是初中数学中非常基础的一个几何概念，它有着广泛的应用。
熟练掌握平行四边形的定义、性质以及相关定理，可以在学习初中数学时事半功倍，也可以在解决各类几何问题时游刃有余。
18.1.1平行四边形的性质判定3
定义
两组对边分别平行的四边形是 平行四边形
4.8㎝ B
⑶ A
说一说
已知:AB=DC=EF AD=BC DE=CF，则图 中有哪些互相平行的线段？
A
D
解：AD∥BC DE∥CF AB∥DC∥EF
E
B C F
判定一个四边形是平行四边形应具备几个条件？
判定一个四边形是平行四边形应具备 两个条件. 既可以从位置关系证明， 也可以从数量关系证明.
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，并且 AO=CO，BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：在△AOB和△COD中
A O 数学语言表示为： ∴ △AOB ≌ △COD (SAS) ∵ AO=OC，BO=OD ∴AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四 边形 同理 : AD=CB ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边 分别相等的四 边形是平行四边形。） B C D
是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是（ (A)AD=BC (B)CD=BF ）
(C)∠A=∠C
(D)∠F=∠CDE
【解析】选D.∵∠F=∠CDE,∠FEB=∠DEC,BE=CE, ∴△BEF≌△CED,∴CD=BF,
则AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是
平行四边形的判定(1)
A
D
平行四边形具有哪些 性质？
边： 平行四边形的对边平行. 平行四边形的对边相等. 角： 平行四边形的对角相等.
B
C
对角线： 平行四边形的对角线互相平分.
通过前面的学习，我们知 道，平行四边形对边相等、对 角相等、对角线互相平分。那 么反过来，对边相等或对角相 等或对角线互相平分的四边形 是不是平行四边形呢？
(完整版)平行四边形性质定理
四边性质定理总结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。
判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形的另一个面积计算公式：对角线乘积的一半。
判定：（1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等四边形是菱形。
正方形定义：既是矩形又是菱形的四边形是正方形性质：正方形具有矩形的性质又具有菱形的性质；（1）边：四条边相等，邻边相等，对边平行；（2）角：四个角都是直角；对角线：相等且互相垂直平分;每一条对角线平分一组对角；正方形一条对角线上的一点到另一条对角线的两端相等；判定：判定是一个四边形是正方形的顺序：（1）先证明是平行四边形；（2）再证明是矩形（菱形）；（3）最后证明是菱形（或矩形）；梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底；梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰；梯形的高：梯形两底的距离；梯形的分类：一般梯形；特殊的梯形（1）等腰梯形（两腰相等的梯形）；(2)直角梯形（有一个角是直角的梯形）；等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形同底上的两个角相等；（3）等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；(2)在同底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等梯形是等腰梯形；。
平行四边形的性质
四边形的性质探索平行四边形的性质：1.平行四边形的对边平行。
2.平行四边形的对边相等。
3.平行四边形的对角相等。
4.平行四边形的对角线互相平分。
5.平行四边形平行线间的距离相等。
平行四边形的判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等有的四边形是平行四边形。
4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形菱形的性质：1.菱形的四条边都相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直平分。
3.菱形的每条对角线平分一组对角。
菱形的判定：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边都相等的四边形是菱形。
矩形的性质：1.矩形的两条对角线相等。
2.矩形的四个角都是直角。
矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.两条对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
正方形的性质：1.正方形的四条边都相等。
2.正方形的四个角都是直角。
3.正方形的两条对角线相等垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。
正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形。
2.对角线互相垂直的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
4.对角线相等的菱形是正方形。
等腰梯形的性质：1.等腰梯形同底上的两个内角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
等腰梯形的判定：1.两腰相等的梯形是等腰梯形。
2.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
3.对角线相等的梯形是等腰梯形。
多边形的公式：1.n边形的内角和等于（n-2）.180°2.n边形的所有外角和为360°3.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线4.从n边形的一个顶点分成（n-2）个三角形5.n边共有（n-3）/2条对角线。
平行四边形的性质与分类
平行四边形的性质与分类平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，其四条边两两平行。
本文将介绍平行四边形的性质和分类。
1. 基本性质平行四边形的基本性质包括以下几点：- 两对对边分别平行- 两对对边相等- 对角线互相平分- 对角线相等以上性质是平行四边形的重要特点，可以通过这些性质来判断一个四边形是否为平行四边形。
2. 分类平行四边形可以根据其边长和角度分类。
2.1 边长分类根据边长的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四边不等长- 矩形：四边相等，四个角都为直角- 正方形：四边相等，四个角都为直角，边长相等- 菱形：四边相等，没有角为直角2.2 角度分类根据角度的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四个角都不为直角- 矩形：四个角都为直角- 菱形：四个角都相等，但不为直角- 平行四边形的角度之和为360度，而不论其是什么形状。
3. 性质运用平行四边形的性质常常用于解决几何问题。
以下是一些常见的应用场景：3.1 面积计算平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高其中，底边长为任意一条边的长度，高为这条边到其它平行边的垂直距离。
通过这个公式，我们可以方便地计算平行四边形的面积。
3.2 判断是否为平行四边形通过观察四边形的边长和角度可以判断其是否为平行四边形。
如果四边形的对边平行且对角线相等，则可以确定为平行四边形。
3.3 构造平行四边形利用平行四边形的性质，我们可以通过一些已知条件来构造平行四边形。
例如，已知一个四边形的两对对边相等和平行，我们可以通过画出对角线使得其互相平分来得到一个平行四边形。
综上所述，平行四边形具有独特的性质和分类。
通过对平行四边形的性质的了解，我们可以更好地理解和解决与平行四边形相关的几何问题。
《平行四边形的性质(3)》教学设计修订建议稿
《初二下18.1 平行四边形的性质（第3课时）》教学设计石狮联中 刘宏志一、教学目标1.探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质；能运用平行四边形的性质解决有关问题.2.在平行四边形性质的探究及应用过程中，渗透“运动变化”、“转化化归”等数学思想，发展学生的合情推理和演绎推理能力.3.通过“大胆猜想—实验探索—推理论证—综合应用”的课堂活动模式，营造自主、合作、探究的氛围，让学生在学习中体会解决问题策略的多样性，获得愉快的数学体验.二、教学重点探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．三、教学难点综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关问题．四、教具多媒体课件.五．教学过程 1．知识链接如图，□ABCD 有哪些性质？ 从边看： ；从角看： ．2．探究新猜想参阅书本第73页图18.1.3，从对角线看，平行四边形还有什么性质？猜想： ．3．验证新性质（教师引导、学生讲解）（1）实验探索（课件展示）平行四边形是中心对称图形.，将平行四边形绕对角线的交点O 旋转180°后的图形与原来图形重合，可观察到OA ＝OC,OB=OD ．通过运用图形的变化探索平行四边形对角线的性质．（2）推理论证如图，□ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ，求证：OA ＝OC,OB=OD ．A DCB4．巩固新知识（1）由上得到平行四边形的又一个性质为：“平行四边形的对角线互相平分”．可运用已学到的平行四边形的性质解决有关问题．（2）例（练习）题1）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=10cm ，BD=18cm ，则OA= ；OD= ．2）如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ⊥AB ，AB=12cm ，BD=26cm ， ①请直接填空, OA= ；②求AC 的长．3）如图，□ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，AB=10，求对角线AC 与BD 的和．4）如图，□ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ．求证：OE ＝OF ．5．拓展提升1）在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=3cm ，AC=8cm ，BD=10cm 则△AOB 是 三角形．2）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC+BD=18，BC=6，求△AOD 的周长．E D C O B FA3）一位饱经苍桑的老人，经过 一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他的分法如下图所示．当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的土地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么呢？6．归纳小结这节课我们学习了什么？（提问学生）归纳：本节课，我们用不同的方法，从不同的角度，通过实验、推理得到了平行四边形对角线互相平分的性质，它为我们得到线段相等提供了新的方法和依据，运用平行四边形的性质可以解决有关问题.7．分层作业A 层：1）下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）.A.对角互补B. 对角线互相平分C.对角相等D.对边相等2）已知,在□ABCD 中，O 是□ABCD 的对角线的交点，AC=10cm ，BD=18cm ，AD=12cm ，则△BOC 的周长是 .3）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ⊥AC ，DF ⊥AC,垂足分别为点E 、F ，求证：OE=OF .老大 老四 老二老三A C DB F E OB 层：1) 如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，且与边AB 、CD 分别相交于点E 、F ，AB=4，AD=3，OF=1.3。
初中数学 平行四边形有哪些全等性质
初中数学平行四边形有哪些全等性质平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些全等性质。
以下是关于平行四边形全等性质的详细解释：1. 边边边（SSS）全等性质：如果两个平行四边形的对应边分别相等，则这两个平行四边形全等。
也就是说，如果平行四边形ABCD的边长等于平行四边形EFGH的边长，即AB = EF，BC = FG，CD = GH，DA = HE，那么平行四边形ABCD和平行四边形EFGH全等。
如果已知两个平行四边形的对应边长相等，那么它们满足SSS全等性质，可以判断它们全等。
2. 边角边（SAS）全等性质：如果两个平行四边形的一对对边和夹角分别相等，则这两个平行四边形全等。
也就是说，如果平行四边形ABCD的边长AB = EF，AD = EH，且∠BAD = ∠FEH，那么平行四边形ABCD和平行四边形EFGH全等。
如果已知两个平行四边形的一对对边和夹角相等，那么它们满足SAS全等性质，可以判断它们全等。
3. 对角全等性质：如果两个平行四边形的对角线互相相等，则这两个平行四边形全等。
也就是说，如果平行四边形ABCD的对角线AC = EG，BD = FH，那么平行四边形ABCD和平行四边形EFGH全等。
如果已知两个平行四边形的对角线相等，那么它们满足对角全等性质，可以判断它们全等。
根据上述全等性质，我们可以根据给定的条件来逐一比较平行四边形的对应边长、夹角和对角线长度是否满足全等性质。
如果这些条件都满足，就可以断定这两个平行四边形全等。
需要注意的是，判断两个平行四边形全等时，要确保给定的条件准确无误，并且提供了足够的信息。
有时候可能需要使用多个全等性质来判断全等关系。
同时，绘制图形可以帮助我们更好地理解和比较平行四边形的各个部分。
总结起来，我们可以根据平行四边形的边长、夹角和对角线长度来判断两个平行四边形是否全等。
根据边边边全等性质、边角边全等性质和对角全等性质，我们可以逐一比较平行四边形的对应边长、夹角和对角线长度是否相等，从而判断两个平行四边形是否全等。
平行四边形的性质有哪些
平行四边形的性质有哪些平行四边形的性质有哪些呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“平行四边形的性质有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
平行四边形的性质(1)边的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对边平行(2)角的性质：平行四边形的对角相等(3)对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分(4)平行四边形是中心对称图形平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(注意： 必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
‚有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形)。
拓展阅读：特殊的平行四边形1.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，(即长方形)。
矩形还有以下性质：① 矩形的四个角都是直角。
② 矩形的对角线相等。
根据矩形的性质，得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理 :① 对角线相等的平行四边形是矩形。
② 有三个角是直角的四边形是矩形。
③ 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形还有以下性质 :① 菱形的四条边都相等。
② 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
③ 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理 :① 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
② 四条边相等的四边形是菱形。
③ 有一组临边相等的平行四边形是菱形。
3.正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
平行四边形的性质及判定
平行四边形性质及判定
知识点一、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．知识点二、平行四边形的性质
平行四边形性质1：两组对边分别平行．（边）
平行四边形性质2：平行四边形的对边相等．（边）
平行四边形性质3：平行四边形的对角相等．（角）
平行四边形性质4：平行四边形的邻角互补．（角）
平行四边形性质5：平行四边形的对角线互相平分.（对角线）
知识点三、平行四边形的判定
判定、1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定、2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定、3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
判定、4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
判定、5：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．。
平行四边形的性质及相关问题
平行四边形的性质及相关问题平行四边形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有独特的性质和特点。
掌握平行四边形的性质对于解题和理解几何知识都是至关重要的。
本文将围绕平行四边形的性质展开讨论，并结合实例进行说明，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
1. 平行四边形的定义和特点平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这一定义，我们可以得出平行四边形的几个重要特点：首先，平行四边形的对边相等。
也就是说，平行四边形的对边长度相等，例如AB=CD，AD=BC。
其次，平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的对角线AC和BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。
再次，平行四边形的内角和为180度。
平行四边形的内角A、B、C、D满足A+B+C+D=180度。
最后，平行四边形的相邻角互补。
平行四边形的相邻角A和B满足A+B=180度，相邻角C和D同理。
2. 平行四边形的应用举例2.1. 证明平行四边形的方法在解题过程中，经常需要证明一个四边形是平行四边形。
有两种常见的方法可以进行证明。
一种是利用已知条件，通过推理和运用几何定理来得出结论。
例如，已知AB//CD，AC与BD相交于点O，需要证明四边形ABCD是平行四边形。
可以利用平行线的性质，推导出对边相等和对角线互相平分的关系，从而得出结论。
另一种方法是通过构造辅助线来简化问题。
例如，已知ABCD是一个四边形，AB=CD，AC与BD相交于点O，需要证明ABCD是平行四边形。
可以通过构造辅助线AD和BC，然后利用三角形的性质和平行线的性质来进行推导，最终得出结论。
2.2. 平行四边形的面积计算计算平行四边形的面积是一个常见的问题。
平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算。
例如，已知平行四边形ABCD的底边为AB，高为h，需要计算其面积。
可以使用公式S = AB * h来求解。
另外，如果已知平行四边形的两条对边长度分别为a和b，夹角为θ，也可以通过公式S = a * b * sinθ来计算面积。
平行四边形的性质(3)
课题：平行四边形的性质（2）本节课设计思想：1、采用一种自然过渡的方式引入，这既是一种常用的引入方法，也体现了学习的一般顺序：从已知出发提出新的问题，再进行深入地探究。
针对同一个概念，从不同的角度（从平行四边形的边、角，到平行四边形的对角线）去提出问题，加以研究。
2、“实验—猜想（归纳）—验证—应用”是本节课的设计主线，它对于培养学生严谨的学风、务实的态度是不可或缺的。
3、重视信息的反馈和对学生的评价。
课堂上越是把学习的主动权交给学生，反馈得到的信息就越真实，教师进行的矫正或弥补也就越有效。
一、教学目标：1、理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质。
2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题。
3、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力。
二、重点、难点重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用。
难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算。
三、例题的意图分析本节课安排了一个例题和五个练习题。
例1是教材P44的例2，这道题综合运用了平行四边形的性质、复习巩固小学学过的平行四边形面积计算。
其中需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算。
在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意引导学生掌握其方法。
例1后面是一组练习题，通过练习，使学生进一步熟悉平行四边形的性质，对解答复杂问题是很有帮助的。
四、课堂引入1、复习提问：（1）平行四边形的定义。
（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边对边相等（对边平行）。
②角：平行四边形的对角相等（邻角互补）。
2、知识回顾：用符号语言叙述平行四边形的性质。
问：还有其它性质吗？3、以“老人分地”问题引入新课：你来评一评：老人分地合理吗？设置悬念，引入课程。
4、【新知探究】：看课本P44图18.1-7，猜一猜：让学生猜想线段OA、OB、OC和OD的长度有什么关系？③试一试：（让学生看屏幕，教师操作）有两个全等的ABCD，连接对角线AC、BD，设它们交于点O，把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还和下面的ABCD 重合吗？你能从中发现平行四边形的什么性质吗？实验得出结论：平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形与正方形的性质
平行四边形与正方形的性质平行四边形和正方形都是平面几何中常见的图形，并且具有一些特殊的性质。
本文将探讨平行四边形和正方形的性质以及它们之间的关系。
一、平行四边形的性质平行四边形是具有两对对边平行的四边形。
根据平行四边形的定义，我们可以得出以下性质：1. 对角线平行四边形的两条对角线相等，并且相互平分。
2. 对边平行四边形的对边长度相等。
3. 对角线的中点连线平行四边形的对角线的中点连线互相垂直且等于对角线的一半。
二、正方形的性质正方形是一种特殊的平行四边形，它具有以下独特的性质：1. 边长和角度正方形的四条边长度相等，并且四个内角都是直角，即每个内角为90度。
2. 对角线正方形的对角线相等且垂直相交，对角线长度等于边长的√2倍。
3. 周长和面积正方形的周长等于4倍边长，面积等于边长的平方。
三、平行四边形和正方形的关系正方形是平行四边形的一种特殊情况，因此正方形也具备平行四边形的所有性质。
但是平行四边形并不一定是正方形，它可能具有不同长度的边和不同大小的角。
根据平行四边形和正方形的性质，我们可以推导出一些结论：1. 如果一个四边形的四条边长度相等且每个内角为90度，那么这个四边形一定是正方形。
2. 如果一个四边形的两对对边长度相等且对角线相等且垂直相交，那么这个四边形一定是正方形。
3. 如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，但不垂直相交，那么这个四边形是平行四边形但不是正方形。
综上所述，平行四边形和正方形都是重要的几何图形，在解决几何问题时经常会用到它们的性质。
理解平行四边形和正方形的性质以及它们之间的关系，有助于我们更好地应用几何知识解决问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
平行四边形及特殊的平行四边形的性质及判定知识要点
平行四边形及特殊的平行四边形的性质及判定知识要点一、平行四边形1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（4）平行四边形的对角线互相平分。
（5）平行四边形是中心对称图形。
4、平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。
）二、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
2、矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
3、矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
4、矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。
（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
4、菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
四、正方形1、正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。
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AB、CD 分别相交于点 E、F． 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 证明：在 ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ABCD 中，AB∥CD，
∠1＝∠2．∠3＝∠4． OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， △AOE≌△COF（ASA）． OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）． AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形 与平行四边形的关系是： （2）平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质（内角和是 360 ）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． ③边：平行四边形的对边相等． 第二步：探究新知： 【探究】： 请学生在纸上画两个全等的 ABCD 和 EFGH，并连接对角 线 AC、BD 和 EG、HF，设它们分别交于点 O．把这两个平行四 边形落在一起， 在点 O 处钉一个图钉， 将 ABCD 绕点 O 旋转 180 ， 观察它还和 EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？
3．在平行四边形 ABCD 中，已知 AB、BC、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和 16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝ 15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路 BC，CD，OC 的长，并算出绿地的面积．
7cm 的 3． ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成 5cm ，
两条线段，则 ABCD 的周长是__
___ cm ．
第四步：课后练习 1．判断对错 （1）在 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，则 AO=OB=OC=OD． （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （4）平行四边形是轴对称图形． 2．在 ABCD 中，AC＝6、BD＝4，则 AB 的范围是__ （ （ （ （ ______． ） ） ） ）
平行四边形的面积等于它的底和高的积，即 S ABCD ＝a· h．（其中 a 可以是平行四边形的任 何一边，h 必须是 a 边与其对边的距离，即对应的高） 注意：如图（1）．要避免学生发生如图（2）的错误．为了区别，有时也可以把高记成 ha 、
h AB ，表明它们所对应的底是 a 或 AB．
第二步：应用举例： 例 1（补充） 已知：如图 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与
课后小结与反思：
※【引申】若例 1 中的条件都不变，将 EF 转动到图 b 的位置，那么例 1 的结论是否 成立？若将 EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图 c 和图 d），例 1 的结论是否成立，说明你的理由．
解略
例2 （教材 P94 的例 2） 已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求 BC、CD、AC、OA 的 长以及 ABCD 的面积． 分析：由平行四边形的对边相等，可得 BC、CD 的长，在 Rt△ABC 中，由勾股定理 可得 AC 的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得 OA 的长，根据平行四边形的面 积计算公式： 平行四边形的面积=底× 高（高为此底上的高），可求得 ABCD 的面积． （平 行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以 作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算 解略（参看教材 P94）． 第三步：随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于 48， ① 已知一边长 12，求各边的长 ② 已知 AB=2BC，求各边的长 ③ 已知对角线 AC、BD 交于点 O，△AOD 与△AOB 的周长的差是 10，求各边的长 2．如图， ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60° ，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC 的周 长是____ ___cm．
教 学 目 标
情感态度与价值观 重点 难点
理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性． 1、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题． 2、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 教 学 过 程
备注 第一步：课堂引入 1．复习提问：
教学设计
与
师生互动
18.1 平行四边形的性质
1． 理解平行四边形中心对称的特征， 掌握平行四边形对角线互 相平分的性质． 知识与技能 2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算 问题，和简单的证明题． 3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 过程与方法 经历探索平行四边形的有关概念和性质的过程， 发展学生的探究意 识和合情推理的能力。 培养学生严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的 实际应用价值。
进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？ 【结论】： （1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的高：在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足 间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底 的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．