8.1 一元二次方程(1)

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初中数学_一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思

第八章一元二次方程8．1 一元二次方程（1）【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。

2、能力培养：能根据具体情景应用知识。

3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。

【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。

【学习过程】一、前置准备：1．单项式和多项式统称为整式．2．含有未知数的等式叫做方程．3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。

自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为为 m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；这样的方程叫做。

其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。

1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）四、典例分析：1、下列方程哪些是一元二次方程?（1）(1)7x2－6x＝0 （2）2x2+－5xy＋6y＝0（3）13122-+x x ＝0 （4）22y =0 （5）x 2+2x-3=0五、能力提升：1、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

初中数学同步练习-简单难度-二元一次方程组

8.1二元一次方程组（第1课时）1.两个数的和为8，两个数的差为6，求这两个数.设这两个数为x 、y.根据题意，列出两个二元一次方程： ______________=18 ______________=6 2.下面三对数值：x 0,y 2,⎧=⎨=-⎩ x 2,y 3,⎧=⎨=-⎩ x 1,y 5.⎧=⎨=-⎩(1)满足方程2x-y=7的是_______________；(2)满足方程x+2y=-4的是_______________； (3)同时满足方程2x-y=7，x+2y=-4的是_____________. 3.下面三对数值：x 1,y 1,⎧=⎨=-⎩ x 2,y 1,⎧=⎨=⎩ x 4,y 5.⎧=⎨=⎩ (1)是二元一次方程组2x y 33x 4y 10⎧-=⎨+=⎩的解的是_______________； (2)是二元一次方程组y 2x 34x 3y 1⎧=-⎨-=⎩的解的是_______________.4.找一找，二元一次方程组x y 6x y 2⎧+=⎨-=⎩的解是______________.8.2消元——二元一次方程组的解法（第1课时） 1.完成下面的解题过程：解方程组①②y 2x 3, 3x 2y 8.⎧=-⎨+=⎩ 解：把①代入②，得___________________.解这个方程，得x=______.把x=______代入①，得y=______. 所以这个方程组的解是x ____,y ____.⎧=⎨=⎩2.解方程组①②2x y 12, y 3x 2 .⎧+=⎨=+⎩3.解方程组①②x 12y, 2x 3y 2.⎧=-⎨+=-⎩8.2消元——二元一次方程组的解法（第2课时） 1.填空：(1)由y+2x=1，得y=__________； (2)由x+2y=1，得x=__________； (3)由2x-y=1，得y=__________； (4)由2y-x=1，得x=__________. 2.完成下面的解题过程：用代入法解方程组2x 3y 2, ①x 12y.②⎧+=-⎨=-⎩解：把②代入①，得____________________.解这个方程，得y=____. 把y=____代入②得x=____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩（组，这种解法的关键是通过代入消去一个未知3.完成下面的解题过程：用代入法解方程组：①②2x y 5 , 3x 4y 2.⎧-=⎨+=⎩解：由①，得y=____________.③把③代入_____，得____________________.解这个方程,得x=_____.把x=_____代入_____，得y=_____. 所以这个方程组的解是x ____,y ____.⎧=⎨=⎩4.用代入法解方程组①②2x y 5, 5x y 9. ⎧+=⎨-=⎩5.辨析题：扎西在解方程组①②x y 3 5x y 9 ⎧-=⎨-=⎩时，先由①得x=y+3 ③.然后把③代入①，得到y+3-y=3.解到这里，扎西解不下去了.请你帮扎西分析分析，他在哪里出错了？为什么？8.2消元——二元一次方程组的解法（第3课时） 1.填空：(1)由3x+4y=1，得y=______________； (2)由3x+4y=1，得x=______________；(3)由5x-2y+12=0，得y=________________； (4)由5x-2y+12=0，得x=________________. 2.完成下面的解题过程：用代入法解方程组x 3y 2, ①3x 4y 50.②⎧-=⎨--=⎩解：由①，得x=____________.③把③代入②，得_______________________.解这个方程，得y=_____.把y=_____代入_____，得x=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩3.完成下面的解题过程：用代入法解方程组：①②4x 9y 8, 2x 3y 1.⎧-=⎨+=-⎩解法一：由①，得x=____________.③把③代入②，得_______________________.解这个方程，得y=_____.把y=____代入，_____得x=____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩解法二：由②，得y=____________.③把③代入①，得_______________________.解这个方程，得x=_____.把x=_____代入_____，得y=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩8.2消元——二元一次方程组的解法（第4课时） 1.完成下面的解题过程：用加减法解方程组①②3x 7y 9 , 4x 7y 5.⎧+=⎨-=⎩解：①+②，得__________________.解这个方程，得x=____.把x=____代入____，得_______________， y=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩2.辨析题：在学习例1的时候，卓玛有一个地方不明白：x+2y=7的左边加上3x-2y=5的左边，为什么等于x+2y=7的右边加上3x-2y=5的右边？你明白其中的道理吗？3.解方程组①②3x 7y 9 , 4x 7y 5.⎧+=⎨+=⎩解法一（用代入法解）：解法二（不用代入法解）：4.比较上题解法一和解法二，你认为哪一种解法简单？8.2消元——二元一次方程组的解法（第5课时） 1.完成下面的解题过程：用加减法解方程组①②3x 2y 4 , 3x 3y 10.⎧+=⎨+=⎩解：①-②，得__________________.解这个方程，得y=_____.把y=_____代入_____，得_______________， x=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩2.用加减法解方程组①②3x y 5 , 2x 3y 7. ⎧-=⎨+=⎩3.完成下面的解题过程：用加减法解方程组①②3x 4y 16 , 5x 6y 33.⎧+=⎨-=⎩解：①×5，得 ___________________. ③②×3，得 ___________________. ④ ③-④，得 _______________. 解这个方程，得y=_____. 把y=_____代入_____，得_________________，x=______.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩4.比较例2与上题的解题过程，你认为哪个更简单？原因在哪里?5.用加减法解方程组①②2x 3y 6 , 3x 2y 2.⎧+=⎨-=-⎩8.2消元——二元一次方程组的解法（第6课时） 1.填空：(1)化简解方程组3(x 1)y 55(y 1)3(x 5)⎧-=+⎨-=+⎩得_________________________；(2)化简解方程组x3y20 34x3y314312⎧-++=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩得_________________________.2.用加减法解方程x y1,353(x y)2(x3y)15.⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩8.3实际问题与二元一次方程组（第1课时）1.填空：某校组织198名毕业学生到林卡玩，一部分学生坐在草地上唱歌，另一部分学生在河边散步，唱歌的学生是散步学生的2倍还多10人.问唱歌、散步的学生各有多少人？设唱歌的学生有x人，散步的学生有y人.根据题意列二元一次方程组，得____________________________. 2.填空：某班师生56人到某旅游景点参观，教师每张门票8元，学生每门票5元，共付304元.问教师学生各多少人？设教师x人，学生y人.根据题意列二元一次方程组，得____________________________.3.列方程组解应用题：篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜负场数分别是多少？8.3实际问题与二元一次方程组（第2课时）1.填空：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？这些图书共有多少本？设这个班有x名学生，这些图书共有y本.根据题意列方程组，得___________________________.2.完成下面的解题过程：某藏药厂生产的珍珠70丸有大小盒两种包装，2大盒5小盒共装50粒，3大盒4小盒共装54粒.大盒与小盒每盒各装多少粒？解：设大盒装x粒，小盒装y粒.根据题意列方程组，得_____________________.解方程组，得____________.答:大盒装______粒，小盒装______粒.3.（选做题）填空：5辆卡车和4辆拖拉机2次能运货68吨；3辆卡车和2辆拖拉机3次能运货60吨.问一辆卡车和一辆拖拉机一次各运货多少吨？设一辆卡车一次运x吨，一辆拖拉机一次运货y吨.根据题意列方程组，得______________________.8.3实际问题与二元一次方程组（第3课时）1.填“×”或“÷”：路程=速度_____时间，速度=路程_____时间，时间=路程____速度.2.哥哥行走的速度是每秒x米，弟弟行走的速度是每秒y米，则：(1)走了16秒，哥哥走了_______米，弟弟走了_______米，哥哥和弟弟一共走了_____________ __________米；(2)走了2分钟,哥哥走了_______米，弟弟走了_______米，哥哥比弟弟多走了_______________米.3.填空：运动场的跑道一圈长400米.甲练习骑自行车，乙练习跑步，两人从同一处同时出发，4分钟后两人碰上了；碰上后两人改为反向出发，40秒后又碰上了.问两人的速度各是多少？设甲的速度为每分钟x米，乙的速度为每分钟y米.根据题意列方程组，得____________________________.8.3实际问题与二元一次方程组（第4课时）1.填空：某市现在的城镇人口为x万，农村人口为y万.计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，则：(1)这个市现有总人口是___________万；(2)计划一年后城镇人口增加___________万；(3)计划一年后农村人口增加___________万；(4)计划一年后全市人口增加____________________________万.2.列二元一次方程组解应用题：扎西把含糖为6%和12%的两种饮料倒在一起，配成了含糖8%的混合饮料240克.问两种饮料各用了多少克？8.3实际问题与二元一次方程组（第5课时）1.完成下面的探究过程：打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花多少钱？设打折前买1件A商品需要x元，买1件B商品需要y元.根据题意列方程组，得______________________ ,______________________.⎧⎨⎩解方程组，得x________ ,y________.⎧=⎨=⎩这就是说，打折前，买1件A商品需要______元，买1件B商品需要______元.因此,打折前,买500件A商品和500件B商品需要_________元.因此，买500件A商品和500件B商品，打折后比打折前可以少花_______元.第八章二元一次方程组复习（第1、2课时）1.填空：（以下内容是本章的基础知识,是需要你真正理解的.你最好直接填，想不起来再在课本中找，请用铅笔填）(1)含有_____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是_____，像这样的方程叫做二元一次方程.(2)把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个______________________. (3)既满足第一个二元一次方程,又满足第二个二元一次方程的两个未知数的值,叫做________ ________________.(4)二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的_______________方程，我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做_________思想.(5)把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做_______________法，简称________法.(6)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做______________法，简称________法.(7)用二元一次方程组解应用题一般有五步：________、设未知数、___________、解方程组、答. 2.填空：在x 2y 2⎧=-⎨=⎩与x 1y 1⎧=⎨=-⎩两组值中，是二元一次方程组x y 02x y 3⎧+=⎨-=⎩的解的是=y=_____.x _____ ,⎧⎨⎩ 3.完成下面的解题过程：用代入法解方程组①②x y 4, 4x 2y 1.⎧-=⎨+=-⎩解：由①，得x=________________.③把③代入②，得_____________________.解这个方程,得y=_____.把y=_____代入③，得x=_____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩4.用代入法解方程组5x y 110,9y x 110.⎧-=⎨-=⎩5.完成下面的解题过程：用加减法解方程组①②5x 2y 9, 2x 6y 7.⎧+=⎨-=⎩解：①×3，得___________________.③②+③，得_________________________.x=______.把x=______代入____，得_______________， y=______. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩6.用加减法解方程组0.6x 0.4y 1.1,0.2x 0.4y 2.3.⎧-=⎨-=⎩7.解方程组2(x y)x y1,346(x y)4(2x y)16.⎧-+-=-⎪⎨⎪+--=⎩8.填空：已知二元一次方程组x my4nx3y2⎧+=⎨+=⎩的解是x1y3⎧=⎨=-⎩，则m=_____，n=_____.9.填空：某班学生共40人，男生比女生少3人，问男女生各多少人？设男生x人，女生y人.根据题意列方程组，得_________________ , _________________.⎧⎨⎩10.填空：2本练习本及3支铅笔的价格为3.2元，4本练习本和5支铅笔的价格为5.8元.问一本练习本和一支铅笔的价格各为多少？设一本练习本的价格为x元，一支铅笔的价格为y元.根据题意列方程组，得_________________ ,_________________.⎧⎨⎩11.填空：某班上数学课的时候，准备分组讨论.如果每组7人，则余下3人；如果每组8人，则又不足5人.问全班有多少人？要分几组？设全班有x人，要分y组.根据题意列方程组，得_________________ ,_________________.⎧⎨⎩12.填空：某家存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为2.4%，乙种存款的年利率为4.6%，该家一年共得利息7800元.求甲、乙两种存款各是多少万元？设甲、乙两种存款各是x万元、y万元.根据题意列方程组，得_______________________ ,_______________________.⎧⎨⎩13.列二元一次方程组解应用题：根据市场调查，常觉大盒装（每盒10粒）和小盒装（每盒6粒）两种产品的销售量（按盒计算）比为2:5.某藏药厂每天生产常觉7000粒，问应分装大、小盒两种产品各多少盒？。

八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合

第8讲一元二次方程求根公式及解法综合知识框架一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．8.1 一元二次方程求根公式1. 公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b aca -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2. 求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3. 用公式法解一元二次方程一般步骤①一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【例2】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【例3】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【例4】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【例5】用公式法解方程：21)30x x ++-．【例6】用公式法解关于x 的方程：20x px q ++=．【例7】用公式法解关于x 的方程：222240x mx n m --+=．【例8】观察求根公式x =，求出12x x +的值，并用得到的结果求解：设a 、b 是方程220130x x +-=的两个实数根，求22a a b ++的值．8.2 一元二次方程解法综合一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b acax bx c a x x a a a a--++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【例9】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【例10】用因式分解法解下列方程：（1）212193x x +=-；（2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【例11】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=；（4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【例12】用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【例13】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【例14】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【例15】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【例16】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【例17】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【例18】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=；（2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【例19】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【例20】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b *=+试解方程：2(2)210x x *+*=．【例21】已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【例22】如果x 满足2710x x -+=，求1x x-的值．【例23】用因式分解法和公式法2种方法解关于x 的方程：2222222()2()()0p q x p q x p q -+++-=，（其中p 、q 为常数，且00p q p q +≠-≠，）．【例24】已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【例25】阅读材料，回答问题材料：为解方程4260x x --=，可将方程变形为222()60x x --=，然后设2x y =，则222()x y =，原方程化为260y y --=①解得12y =-、23y =当2y =-时，22x =-无意义，舍去；当3y =时，23x =，x =∴原方程的解为1x =2x =问题：（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用法达到了降次的目的，将关于x 的一元高次方程转化为关于y 的一元二次方程．（2）解方程：①222()4()120x x x x ----=；②422(1)9x x -+=．【例26】已知a 是实数，方程230x x a -+=的一个解的相反数是方程230x x a +-=的一个解，求方程230x x a -+=的解．【例27】对任意实数k ，方程2(1)3()40k x k m x kn +-++=，总有一根为1，求m 、n 的值，并解此方程．【例28】关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数，求整数m 的值．8.3 课堂检测1. 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）（A ）22()24b b x +=；（B ）224()24b b cx -+=；（C ）224()24b b cx +-=；（D ）224()24b b cx --=．2. 用适当方法解下列方程：（1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=；（3）2(4)5(4)x x +=+；（4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(210x x +=．3. 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？4. 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．5. 已知k 是方程210x x --=的一个根，求代数式3220162k k -+的值．6. 解关于x 的方程：22222()4m n x mnx m n --=-（0mn ≠）．7. 解下列方程：（1）42163290x x --=；（2）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=．8. 已知关于x 的方程：22112()1x x x x +++=，求11x x++的值．8.4 课后作业1. 按照要求解下列关于x 的一元二次方程：（1）2650x x +-=（用配方法）；（2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）；（4）20-=（用公式法）．2. 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．3. 用适当方法解下列关于x 的方程：（1）23)12-=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=；（6）2(21)10x -+=；（7）2(1)1)10x x -+--=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．4. 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值．5. 解关于x 的方程：222()0 (0,0)abx a b x ab a b -++=≠≠．6. 已知202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．。

8.1 二元一次方程组1

2 m 3 5 n 9
每块饼干的质量是x克，每颗糖果的质量是y克，小明拿拿了一个等臂天平，在左边秤盘放两块饼干，右边秤盘放三颗糖果，结果天平两臂平衡，可列出怎样的一个方程？解：2x=3y或2x-3y=0
把下列各对数代入二元一次方程 3x+4y=19。
X=0 Y=1 X=1 Y=4 X=5 Y=1
1.下列方程中是二元一次方程的有哪些？
1 ① 3x＋xy=1 ② y =3x ③x ＋ =3; y y 1 ④ x＋ = 6 ; ⑤ x - 2y2=2; ⑥ 3x＋4y . 4
根据下列语句,列出二元一次方程:
1.甲数比乙数大3.设甲数为x,乙数为y; x-y=3 2.一个长方形的周长是２０cm.设这个长方形的长是xcm，宽是ycm; 2(x+y)=20 3.甲、乙两人各工作５天，共生产零件８０件．设甲每天生产零件x件，乙每天生产零件y件． 5x+5y=80
2
解:设篮球队胜了
x场，负了 y 场,得: x y 22
2 x y 40
满足方程 x y 22 且符合实际意义的x，y的值有哪些？ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112131415 16171819202122 y 22 21201918171615141312 1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 上表中哪对x,y的值既是方程 x y 22 的解，又是方程 2 x y 40 的解 ?
你会了吗?
分析
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负, 每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40 分,那么这个队胜负场数应分别是多少？
解:设篮球队胜了场，负了 y 场,得:

人教版七年级数学下册第八章 8.1 二元一次方程组教案(表格式)

教学设计定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．探究活动：满足x ＋y=35的值有哪些？教师启发：（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？（2）你能模仿一元一次方程解给二元一次方程的解下定义吗？（3）它与一元一次方程的解有什么区别？定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解，记为目标导学二：二元一次方程组及其解的定义例2：有下列方程组：①x ＋y ＝2；xy ＝1，②＋y ＝1；1③；1④＝7；y⑤x －y ＝1，x ＋π＝3，其中二元一次方程组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy 的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.方法总结：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.例3:用库存化肥给麦田追肥，如果每亩施肥6公斤，就缺少200公斤，如果每亩施肥5公斤，就剩余300公斤，问有多少亩麦田？库存化肥有多少？分析：本题有两上未知数：麦田的亩数和库存化肥的数量。

相等关系：1、每亩施肥6公斤所需化肥量=库存化肥量+200公斤。

2、每亩施肥5公斤，所需化肥量=库存化肥量-300公斤小组讨论，解答。

四、课堂总结我们学习二元一次方程和方程组，要结合一元一次方程来理解。

1、方程mx−2y=3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的值范围是( )A．m≠0 B．m≠−2 C．m≠3 D．m≠42、已知是方程3x-my=1的一个解，则m=__________。

3、已知方程，若x==6，则y=_____；若y=0，则x=_____；当x=____时，y=4.4、写出二元一次方程3x-5y=1的一个正整数解______.5、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A、B、C、D、。

人教版七年级数学下册8.1二元一次方程组导学案（集体备课）

集体备课导学案学段初中年级七年级学科数学单元第8单元课题8.1二元一次方程组课型新授主备学校初审人终审人主备人合作H日队课标依据掌握二元一次方程的概念。

教学目标1、使学生了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

教学重点1、二元一次方程（组）的含义；2、检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解。

教学难点检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解。

导学环节课堂流程时间任务驱动问题导学学法指导知识链接呈现目标2分小黑板呈现目标自主学习温故知新5分认真阅读课本88-89页，理解掌握以下概念1、一元一次方程：只含有___未知数，且未知数的次数都是___的方程。

ax=b（a#O）2、方程的解：能使方程等号两边相等的的值。

3、二元一次方程：方程中含有______未知数，并且_____________的次数都是—O一般式：ax+by二c（a乂0,b尹0）4、二元一次方程组：把具有__________的______二元一次方程用______合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

5、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的——未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程有个解。

6、二元一次方程组的解：一般地，二元一次让学生认真阅读方程的概念，一元次方程的概念及一元次方程解的概念。

方程组的两个方程的________,叫做二元一次方程组的解。

（能使方程组中两个方程等号两边都相等两个未知数的值。

）二元一次方程组有________个解。

互助释疑3分我的疑难问题。

小组内互相帮助解决.探究出招8分1、课本89业“探究”2、二元一次方程的一般式：ax+by=c（a尹0,b#0）用含x的式子表示y,y=_____________用含y的式子表示x,x=3、方程3x+2y=6,有_一个未知数，且未知数都是—次，因此这个方程是____元_____次方程。

8.1.1认识一元二次方程 (1)

解：设小路的宽为x米，依题意列方程得
（18-x）(8-x)=96 即 x2 ＋26 x +48 ＝0.
小结拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般
形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
(5) －y22＝0
(6)(m 2)2 1
(7)(2x 3)(x 1) 2 x2
解: (1)、 (5) 、（6）
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0
是关于x的一元二次方程.
m 1
独立
知识的升华
作业
圈出一个竖列上相邻的三个日期,把它们的平
方和告诉我,我能马上知
日一二三四五六道这三天分别是几号.
12 3 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 即 x2 -100 ＝0.
x2＋2x－3＝1＋x2
即 2x -4 = 0 .
上面的方程都是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并
且都可以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形

8.1 一元二次方程第一课时教学设计-2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

一元二次方程（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效地数学模型。

随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要，它既与现实生活密切联系,又贯穿于整个初中阶段数学的学习。

在初中数学中占有重要地位。

本节课选自鲁教版八年级数学下册第八章第一节《一元二次方程》的第1课时，本章内容共需要14个课时完成。

在前几册中，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感知了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，并能解决相关的实际问题。

本节课的一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。

这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。

本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。

为接下来的学习起到很好的铺垫作用。

2、教学目标及确立目标的依据:九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。

知识技能目标：1）理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。

正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.2）会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。

过程性目标：经历“观察--尝试--解决--归纳”的全过程，体会一元二次方程在实际问题中的应用.情感态度目标：1）通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心.2）体会一元二次方程在实际生活中的应用.体会特殊与一般的关系，渗透方程的思想.德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。

核心素养目标：培养学生勤于思考、勇于探索、钻研创新的品质。

人教版数学七年级下册8.1 二元一次方程组课件(共26张PPT)

第八章二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.经历根据实际问题列二元一次方程（组）的过程,让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的数学模型. 2.通过复习类比一元一次方程,探究掌握二元一次方程（组）及其解的概念. 3.培养学生的数学类比思想,感受方程组的实际应用价值.
学习重点：二元一次方程(组)以及解的概念. 学习难点：二元一次方程组的解的概念.
写出二元一次方程3x+2y=19的正整数解. 解：ቊyx==81；, ቊyx==53；, ቊxy==25.,
例3 二元一次方程组ቊxx−+yy==180, 的解是（ C ）
A.ቊxy==35,
B.ቊxy==111,
C.ቊyx==−91,
D.ቊxy==16..55,
下列各组值中是二元一次方程组ቊxx−+yy==35,的解的是（ C ）
我们已经学习了一元一次方程，并学会了用它解决实际问题。一元一次方程中只含有一个未知数，下面我们来看下这些问题含有几个未知数？
篮球比赛不仅出现在奥运赛场上，在生活中也随处可见,请同学们看下面这个问题：在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到 16分，那么这个队胜负场数分别是多少呢？
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
分析：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=
总积分.
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
解:设这个队胜的场数为x场,负的场数为y场. 依据题意,得x+y=10,2x+y=16.
学生活动一【一起探究】

鲁教版五四制八年级下册数学第八章一元二次方程一元二次方程

C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4
D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
夯实基础
10．若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，则不等式kx－2k＋6≤0的解集为___x_≥_4_________．
错解：x≤0或x≥4 诊断：当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题就是忽视了二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解．
经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入200美元，2017年年人
均收入达到1 000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平
均增长率为x，可列方程为( )
A．200(1＋2x)＝1 000
B
B．200(1＋x)2＝1 000
C．200(1＋x2)＝1 000
D．200＋2x＝1 000
夯实基础
8．【中考·白银】如图，某小区计划在一块长为32 m，宽
为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空
地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2，若设道路的宽
为x m，则下面所列方程正确的是( )
A．(32－2x)(20－x)＝570

B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
夯实基础
5．若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次
项，则m等于( B ) A．0 B．4 C．－4
D．±4
夯实基础
6．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于( ) B
A．1 B．－1
C．1或－1
D．0

一元二次方程(经典例题)

班级小组姓名成绩（成绩150）一、认识一元二次方程（一）一元二次方程定义（本组10分，共4小题，每题2.5分）例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）.A.210x += B.21y x += C.210x += D.211x x+=例1变式1.下列方程中不是一元二次方程的是（）A.2270x += B.2210x ++= C.2540x y ++= D.)23110x x +++=例1.变式2.下列方程中一定是一元二次方程的有（）.①23x =；②253(1)x x =-；③20ax bx c ++=；④2154x =；⑤()()252521x x x x -=+-；⑥24510x x-+=.A.2个 B.3个 C.4个 D.5个例1.变式3.若()2110a x --=是一元二次方程，则不等式20a -<的解集为（）A.11a a <≠或 B.21a a <≠或 C.2a ≠ D.2a <（二）一元二次方程一般形式（本组10分，共4小题，每题2.5分）例2.把一元二次方程x x x 425)3(22-=-+化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.例2.变式1.若关于x 的方程()()()0ax b d cx mac +-=≠的二次项系数是ac ，则常数项为（）A.mB.bd- C.bd m- D.()bd m --例2.变式2.若方程014)2=++-mx x m m（是关于x 的一元二次方程，则=m .例2.变式3.当=m 时，关于x 的一元二次方程()()223920m x m x m +--++=的一次项系数为0.（三）一元二次方程的应用（本组10分，共4小题，每题2.5分）例3.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（）A.()24381389x += B.()23891438x += C.()38912438x += D.()43812389x +=例3.变式1.小明将500元压岁钱存入银行,参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x ，则列方程为.例3.变式2.园丁用86米长的篱笆围了一块面积为432平方米的矩形园地，设园地的长为x 米，则宽为米,可列方程，化为一般形式为.例3.变式3.如下图所示,将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x 的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为.(化简为一般形式)（四）一元二次方程的解（本组10分，共4小题，每题2.5分）例4.已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值为（）A.3-B.3C.0D.03或例4.变式1.已知关于x 的方程20x bx a ++=一个根为()0a a -≠,则a b -的值为（）A.1-B.0C.1D.2例4.变式2.用22cm 长的铁丝,折成一个面积为15cm ²的矩形，设矩形一边长为x cm ，则x 的大致范围为（）A.0x > B.01x << C.12x << D.23x <<例4.变式3.某大学为改善校园环境，计划在一块长80m 、宽60m 的长方形场地的中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500m ²，四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道的宽为x m.（1）你能列出相应的方程吗?（2）x 可能小于0吗?说说你的理由;（3）x 可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由;（4）你知道人行走道的宽x 是多少吗?二、用配方法求解一元二次方程（一）直接开平方法（本组10分，共4小题，每题2.5分）例5.用直接开平法解方程（1）223)8x +=（（2）()()22142x x +=-例5.变式1.一元二次方程()212x -=的解是（）.A.1211x x =--=-+ B.1211x x =-=+ C.123,1x x ==- D.121,3x x ==-例5.变式2.若为a 方程(2100x -=的一根，b 为方程()2417y -=的一根，且,a b 都是正数，则a b -的值为（）.A.5B.6C. D.10-例5.变式3.如果方程()2230x m +-=有一个解是7x =，那么它的另一个解是.（二）完全平方式（本组10分，共4小题，每题2.5分）例6.如果多项式2121x mx ++能分解成一个二项式的平方的形式，那么m 的值为（）A.11B.22C.11± D.22±例6.变式1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.()2229901100x x x --=-=化为B.()22890425x x x ++=+=化为C.227812740416t t t ⎛⎫--=-=⎪⎝⎭化为D.22210342039x x x ⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭化为例6.变式2.用配方法解下列方程时，配方正确的是（）A.方程2650x x --=，可化为()234x -=B.方程2220150y y --=，可化为()212015y -=C.方程2890a a ++=，可化为()2425a +=D.方程22670x x --=，可化为232324x ⎛⎫-=⎪⎝⎭例6.变式3.已知方程2260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么2262x x q -+=可以配方成下列的（）A.()25x p -= B.()29x p -= C.()229x p -+= D.()225x p -+=（三）配方法解一元二次方程（本组10分，共4小题，每题2.5分）例7.完成下列的解题过程：用配方法解方程：()22149x x -=+.解：整理，得；移项，得；二次项系数化为1，得；配方，得；开平方，得；1x =，2x =.例7.变式1.用配方法解一元二次方程（1）01992=+-x x （2）6)3)(1(=-+x x 例7.变式2.用配方法解一元二次方程（1）241210x x --=（2）2213x x+=例7.变式3.用配方法解关于x 的方程20x mx n ++=.（四）配方法的应用（本组10分，共4小题，每题2.5分）例8.某大学为了把一个长100m 、宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600m 的大型水上综合运动场，把游泳池的长增加x m ，那么x 等于多少时，运动场的面积为20000m ²？例8.变式1.用配方法说明161232-+-x x 的值恒小于0；例8.变式2.试证明：无论x 取何实数值，代数式18822+-x x 的值不小于10.例8.变式3.已知直角三角形的三边,,a b c ，且两直角边,a b 满足等式()()222222150a b a b +-+-=，求斜边c 的值.三、用公式法求解一元二次方程（一）用公式法求解一元二次方程（本组10分，共4小题，每题2.5分）例9.方程2215x x -=的24b ac -的值为（）A.39- B.33- C.17- D.33例9.变式1.()230c +=，试求方程20ax x c -+=的根.例9.变式2.用公式法解一元二次方程（1）2380x x --=（2）1)3(4532-+=+x x x x （3）22810y y +-=例9.变式3.先化简，再求值：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根.（二）利用求根公式判断方程根的情况（本组10分，共4小题，每题2.5分）例10.用24b ac -的值判别一元二次方程根的情况.（1）2540x x --=（2）2476x x +=（3）2230x -+=例10.变式1.如果2112x +与2435x x --互为相反数，求x 的值.例10.变式2.关于x 的一元二次方程0432=+-x mx 有实数根，求m 的取值范围.例10.变式3.关于x 的方程0432=+-x mx 有实数根，求m 的取值范围.四、用因式分解法求解一元二次方程（本组10分，共4小题，每题2.5分）例11.用分解因式法解下列方程.（1）()()231213y y -=-（2）()()22419210x x +--=例11.变式1.用适当的方法解方程.（1）2315210x x x+=--（2）221290x x -+=例11.变式2.下列方程中不适合用因式分解法求解的是（）A.()22210x x --= B.()88x x += C.()233x x x -=- D.254x x=例11.变式3.若一个三角形的边长均满足方程()()240x x --=，求此三角形的周长.五、一元二次方程根与系数的关系（1）一元二次方程根与系数的关系（本组10分，共4小题，每题2.5分）例12.一元二次方程230x kx +-=的一个根为1x =，则另一个根为（）A.3B.1- C.3- D.2-例12.变式1.已知方程220x mx --=的两根互为相反数，则=m .例12.变式2.有两个不相等的实数根，且两根异号，其中正根绝对值大的方程是（）A.2430x -= B.23548x x -+-= C.20.5430x x --= D.220x +-=例12.变式3.已知m 与n 是方程22630x x -+=的两根，（1）填空：m n +=；mn =；（2）计算11m n+的值.（2）根与系数的关系的综合运用（本组10分，共4小题，每题2.5分）例13.已知关于x 的方程()2223410x k x k k --+--=.（1）若这个方程有实数根求k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值.例13.变式1.已知方程22210x kx k +-+=的两个实数根的平方和是294，求k 的值.例13.变式2.已知斜边长为5的直角三角形的两直角边,a b 的长是关于的一元二次方程()()221410x m x m --+-=的两个根，求m 的值.例13.变式3.关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数根是1x 和2x .（注：12b x x a +=-，12cx x a=）（1）求k 的取值范围；（2）如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值.六、应用一元二次方程（一）用一元二次方程解决代数问题（本组10分，共4小题，每题2.5分）例14.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x ，则方程为（）A.()()2241044x x x x +-=-+-B.()2241044x x x x ++=+--C.()()2241044x x x x ++=++-D.()()2241044x x x x ++=+--例14.变式1.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。

七年级上册数学一元二次方程

七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。

不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。

其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。

一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。

解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。

2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。

3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。

希望这些简单的介绍对你有所帮助。

如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。

8.1一元二次方程(1)

3.如图8-2，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子底端向外滑动多少米？
思考:设梯子底端向外滑动xm,则地面上直角三角的水平边的长为______________________. 根据勾股定理可列方程： ________元二次方程.
像这样，等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2的方程叫做一元二次方程.
一般地, 一元二次方程都可以化为
ax bx c 0
2
(a ≠ 0)
的形式, 称为一元二次方程的一般形式.
a x 2+ b x + c = 0
二
次一次项
常
数
项
项
下列方程中哪些是一元二次方程？
(1) x 2 x 5 0
2
(2)4 x 3 y 1 0
2
(3)ax bx c 0
2
(4) x( x 1) 2 0
1 (5)a 0 a
2
(6)(m 2) 1
2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
2.观察等式：102+112+122=132+142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？思考:设五个连续整数中的第一个数为x，则其余四个数可表示为_________________________。根据题意得：
即 _________________________。
注意：二次项系数、一次项系数和常数项要带前面的符号.

8.1_二元一次方程组(公开课)--第一节课

★在一个方程组中，共有两个未知数，并且每个方程都是一次方程，这样的方程组是二元一次方程组。
X Y 22 2 X Y 40
(1) (2)
有哪些值满足方程（1）且符合问题的实际意义呢？
x
y
0
22
1
12
2
20……源自184… 22… 0
X+y
22
22
22
…
22
… 22
X Y 22
（4）2x2-x+1=0
变式：
若 x m-3
(5)2(x+y)-3(x-y)=1
-
8y n+2 = 0是关于x,y的二元一次方程, 则m=____,n=_______. ３－２
例题分析
例3 根据市场调查，某消毒液的大瓶装 (500g)和小瓶装(250g)，两种产品的销售数量的比(按瓶计算)是2:5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
0.5 3 , n=______ 则m=_____
连一连
把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来：
y=3-x
X=1
y=2 X=3 y=-2 X=2 y=1
3x+2y=8
y=2x X+y=3 y=1-x 3x+2y=5
1、已知2x+3y=4，当x=y 时，x、y 4 的值为_____ ，当 x+y=0 , 5 -4 4 x=_____，y=______ ；
使二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程的解。 X Y
二元一次方程有无穷个解
X Y 22 (1) x 18 (2) 2 X Y 40 y 4 在满足方程（1）的解中有哪些值满足方程（2）呢？

8.1二元一次方程组教学设计人教版数学七年级下册

《8．1 二元一次方程组》教学设计教材分析二元一次方程组是第八章第一节的内容，在此之前，学生已学习了一元一次方程，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用．本节内容主要学习和二元一次方程组有关的几个概念．本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的准备知识，占据重要的地位，是学生新的方程建模的基础课，为今后学习一次函数以及其他学科(如：物理)的学习奠定基础，同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本节课具有承上启下的作用．备课素材一、新知导入【情景导入】古老的“鸡兔同笼问题”“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”方法一：算数方法把兔子都看成鸡，则多出94—35×2＝24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，由此可先求出兔子有24÷2＝12(只)，进而求出鸡有35—12＝23(只)．方法二：列一元一次方程求解设有x只鸡，则有(35—x)只兔子．根据题意，得2x＋4(35—x)＝94.问题：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？【说明与建议】说明：以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学生学习数学的兴趣．能用方法一来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏．方法二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好了铺垫．建议：教师利用课件出示问题，学生思考，自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，通过讨论给出各种解决方案．【置疑导入】播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片．已知姚明比刘翔高37 cm，刘翔身高的2倍比姚明高152 cm，则他们的身高分别是多少？假设姚明的身高为x cm，刘翔的身高为y cm，你能得到怎样的方程？能列几个？【说明与建议】说明：由同学们熟悉的姚明和刘翔的身高，为新课的引入做准备，还可以调节气氛，给学生以轻松的感觉，以对话的形式再次引出方程问题，让学生再次经历建模的同时，以相对轻松的状态进入后面的学习．建议：引导学生回答问题，小组合作完成题目，教师参与并指导．二、命题热点命题角度1 认识二元一次方程(组) 1．下列方程中，为二元一次方程的是(D)A ．2x ＋3＝0B ．3x －y ＝2zC ．x 2＝3D ．2x －y ＝52．若关于x ，y 的方程7x |m|＋(m －1)y ＝6是二元一次方程，则m 的值为(A) A ．－1 B ．0 C ． 1 D ．2 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是(D)A.⎩⎨⎧3x －y ＝52y －z ＝6B.⎩⎨⎧x ＋3＝1y ＝x 2C.⎩⎨⎧5x ＋2y ＝1xy ＝－1D.⎩⎨⎧x ＋y ＝2y －2x ＝4命题角度2 二元一次方程(组)的解4．在下列各组数中，是方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝－8，x ＋2y ＝3的解的是(D)A.⎩⎨⎧x ＝2y ＝4B.⎩⎨⎧x ＝－3y ＝1C.⎩⎨⎧x ＝1y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝－1y ＝25．已知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1是关于x ，y 的二元一次方程x －ay ＝3的一个解，则a 的值是1．命题角度3 建立二元一次方程(组)模型6．“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？(改编自《缉古算经》)”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍x 间，小圈舍y 间，则列二元一次方程为6x ＋4y ＝50．7．某公司要购买办公桌，A 型办公桌每张500元，B 型办公桌每张300元，购买10张办公桌共花费4 200元．设购买A 型办公桌x 张，B 型办公桌y 张，则根据题意可列方程组为⎩⎨⎧x ＋y ＝10500x ＋300y ＝4 200．教学设计授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.方程2x－3＝1是一元一次方程，其解是x＝2，有1个解．2．下列方程中，解为x＝4的方程是(C)A．x－1＝4 B．4x＝1C．4x－1＝3x＋3 D．2(x－1)＝1师生活动：学生独立完成，班内统一答案．师生共同回顾一元一次方程及其解.通过简单的提问，帮助学生回顾一元一次方程，为学习新课做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】活动一：对话老牛喘着气吃力地说：“累死我了！”小马说：“你还累？这么大的个，才比我多驮了2个．”老牛气喘吁吁地说：“哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！”小马天真而不信地说：“真的？”它们各驮了多少包裹呢？设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？问题1：老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此你能得到怎样的方程？问题2：若老牛从小马背上拿来1个包裹，老牛的包裹数就是小马的包裹数的2倍，由此你又能得到怎样的方程？活动二：多媒体展示公园门票问题，学生认真观看图片，部分学生开始在练习本上计算．设他们中有x个成人，y个儿童，由此你能得到怎样的方程？根据学生的生活实际和认知实际，创设具体的问题情境，让学生经历建模的同时，调节心情，以相对轻松的状态进入后面的学习.活动二：【探究新知】习，抓住二元一次A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2 例5 某旅店一共有70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，480个学生刚好住满．设大房间有x 个，小房间有y 个，则列出方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝708x ＋6y ＝480. 【变式训练】1．若(a －1)x ＋4y |a|＝3是二元一次方程，则a ＝－1．2．小明在解题时发现二元一次方程□x－y ＝3中，x 的系数已经模糊不清(用“□”表示)，但查看答案发现⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5是这个方程的一组解，则“□”表示的数为－4．师生活动：学生先独立思考并作答，然后分小组交流讨论，派学生代表进行讲解，教师最后进行完善. 活动四：课堂检测【课堂检测】1.下列各组数中，不是x ＋y ＝5的解的是(B)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝6C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝7D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝5 2．在方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝3z ＋1；⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，3y －x ＝1；⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，3x －y ＝5；⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x ＋2y ＝3；⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1y ＝1，x ＋y ＝1中，是二元一次方程组的有(A)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列各组数是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解的是(A)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－24．如图，设他们中有x 个成人，y 个儿童，根据图中的对话可得方程组(C)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3030x ＋15y ＝195B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19530x ＋15y ＝8 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.。

人教版数学七年级下册第8章 8.1二元一次方程组同步测试试题(一)

二元一次方程组同步测试试题（一）一．选择题1．方程4x+5y＝98的正整数解的个数是（）A．4B．5C．6D．72．已知是方程ax﹣5y＝15的一个解，则a的值为（）A．a＝5B．a＝﹣5C．a＝10D．a＝﹣103．已知关于x，y的二元一次方程3mx﹣y＝﹣1有一组解是，则m的值是（）A．1B．0C．2D．﹣14．x＝﹣1是下列哪个方程的解（）A．x﹣1＝0B．（x+1）2＝0C．＝﹣2D．2x+y＝15．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．x﹣4＝0B．2x﹣y＝0C．3xy﹣5＝0D．+y＝6．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．7．已知和都是方程ax+b﹣y＝0的解，则a的值是（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝2D．a＝﹣28．下列等式：①2x+y＝4；②3xy＝7；③x2+2y＝0；④﹣2＝y；⑤2x+y+z＝1，二元一次方程的个数是（）A．1B．2C．3D．49．方程x+y＝4与2x﹣3y＝3的公共解是（）A．B．C．D．10．下列方程组中不是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．二．填空题11．﹣x+y﹣1＝﹣x﹣（）．12．若2x a+2b﹣3﹣y a+b＝3是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）2020＝．13．已知方程5x+3y＝1，改写成用含x的式子表示y的形式．14．如果是方程2x﹣3ay＝16的一组解，则a＝．15．若是方程mx﹣y＝3的解，则m＝．三．解答题16．求方程5x+3y＝22的所有正整数解．17．已知关于x、y的二元一次方程y＝kx+b（k、b为常数）的部分解如下表所示：y＝kx+b x﹣1.503y85﹣1（1）求k和b的值；（2）求出此二元一次方程的所有正整数解（x，y都是正整数）．18．把x＝ax+b（其中a、b是常数，x是未知数）这样的方程称为“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程x＝ax+b”的x的值称为“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”x＝2x﹣1，其“卓越值”为x＝1．（1）x＝2是“中雅一元一次方程”x＝3x﹣k的“卓越值”，求k的值；（2）“中雅一元一次方程”x＝sx+t﹣1（s，t为常数）存在“卓越值”吗？若存在，请求出其“卓越值”，若不存在，请说明理由；（3）若关于x的“中雅一元一次方程”x＝2x﹣mn+（6﹣m）的“卓越值”是关于x 的方程3x﹣mn＝﹣5（6﹣m）的解，求此时符合要求的正整数m，n的值．19．在平面直角坐标系中，我们不妨把横纵坐标相等的点称为“梦之点”，如（﹣1，﹣1），（0，0），（，）…都是梦之点．（1）若点P（32x+4，27x）是“梦之点”，请求出x的值；（2）若n为正整数，点M（x4n，4）是“梦之点”，求（x3n）2﹣4（x2）5n的值；（3）若点A（x，y）的坐标满足方程y＝3kx+s﹣1（k，s是常数），请问点A能否成为“梦之点”若能，请求出此时点A的坐标，若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：方程4x+5y＝98，解得：y＝，当x＝2时，y＝18；当x＝7时，y＝14；当x＝12时，y＝10；当x＝17时，y＝6；当x ＝22时，y＝2；则方程的正整数解有5对．故选：B．2．【解答】解：把代入方程ax﹣5y＝15，得2a+5＝15，解得a＝5．故选：A．3．【解答】解：把代入方程3mx﹣y＝﹣1中得：3m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1．故选：D．4．【解答】解：将x＝﹣1分别代入A、B、C、D四个选项中A、左边＝﹣2≠0＝右边，故本选项不合题意；B、左边＝0＝右边，故本选项符合题意；C、左边＝2≠﹣2＝右边，故本选项不合题意；D、左边﹣2+y≠1＝右边，故本选项不合题意；故选：B．5．【解答】解：A．x﹣4＝0属于一元一次方程，不合题意；B.2x﹣y＝0属于二元一次方程，符合题意；C.3xy﹣5＝0属于二元二次方程，不合题意；D.不是整式方程，属于分式方程，不合题意；故选：B．6．【解答】解：A．是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C．是分式方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；D．是二元一次方程组，故本选项符合题意；故选：D．7．【解答】解：∵和都是方程ax+b﹣y＝0的解，∴，解得：a＝1，故选：A．8．【解答】解：①2x+y＝4是二元一次方程；②3xy＝7是二元二次方程；③x2+2y＝0是二元二次方程；④﹣2＝y是分式方程；⑤2x+y+z＝1是三元一次方程，故选：A．9．【解答】解：联立得：，①×3+②得：5x＝15，解得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝1，则方程组的解为．故选：B．10．【解答】解：A．符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；B．不符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；C．符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；D．符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：﹣x+y﹣1＝﹣x﹣（﹣y+1），故答案为﹣y+1．12．【解答】解：∵2x a+2b﹣3﹣y a+b＝3是关于x、y的二元一次方程，∴，解得：a＝﹣2，b＝3，∴（a+b）2020＝（﹣2+3）2020＝1，故答案为：1．13．【解答】解：5x+3y＝1，3y＝1﹣5x，y＝．故答案为：y＝．14．【解答】解：把代入方程得：6﹣6a＝16，解得：a＝﹣．故答案为：﹣．15．【解答】解：∵是二元一次方程mx﹣y＝3的一个解，∴m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2．故答案为：2．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）方程13x+30y＝4，解得：x＝＝﹣2y，设＝k，则y＝﹣13k+1，所以x＝30k﹣2，所以（k为整数）是方程组的解；（2）方程5x+3y＝22，解得y＝＝7﹣x+，所方程5x+3y＝22的正整数解为x＝2，y＝4．17．【解答】解：（1）根据表格中的数据，把（0，5）和（3，﹣1）代入y＝kx+b得：，解得：；（2）此二元一次方程为y＝﹣2x+5，当x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝1，则方程的正整数解为，．18．【解答】解：（1）∵x＝2是“中雅一元一次方程”x＝3x﹣k的“卓越值”，∴2＝3×2﹣k，解得k＝4；（2）由x＝sx+t﹣1，得x＝，∴①当s≠1时，中雅一元一次方程”x＝sx+t﹣1（s，t为常数）存在“卓越值”，②当s＝1时，x＝无意义，所以中雅一元一次方程”x＝sx+t﹣1（s，t为常数）不存在“卓越值”；（3）由x＝2x﹣mn+（6﹣m），得x＝，由3x﹣mn＝﹣5（6﹣m），得x＝﹣10++，由题意可得，＝﹣10，解得：m＝，∵m＞0，n＞0，∴n+2＞0，∴n＝1，m＝4；n＝2，m＝3；n＝4，m＝2；n＝10，m＝1．19．【解答】解：（1）根据题意得：32x+4＝27x，∴32x+4＝33x，∴2x+4＝3x，解得，x＝4；（2）∵点M（x4n，4）是“梦之点”，∴x4n＝4，即（x2n）2＝4，∵n是正整数，∴2n是偶数，∴x2n＝2，∴（x3n）2﹣4（x2）5n＝（x2n）3﹣4（x2n）5，＝23﹣4×25＝8﹣128＝﹣120；（3）假设函数y＝3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有y＝3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x＝1﹣s，当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x＝；∴A（，）；当3k﹣1＝0，1﹣s＝0，即k＝，s＝1时，x有无穷多解；当3k﹣1＝0，1﹣s≠0，即k＝，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为A（，）；当k＝，s＝1时，“梦之点”有无数个；当k＝，s≠1时，不存在“梦之点”．。

数学八年级下册大单元教学一元二次方程教学单元整体设计

一元二次方程大单元整体备课一、课标分析“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。

本章的具体要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次的根与系数的关系；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性。

二、教材分析本单元属于“数与代数”中方程与不等式的内容，是鲁教版八年级下册第八章，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一.本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数的基础.因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。

单元数学要素六年级上册第三章整式及其加减中的代数式六年级上册第四章一元一次方程七年级上册第四章实数七年级下册第七章二元一次方程组八年级上册第一章因式分解八年级下册第七章二次根式九年级上册第三章二次函数三、教材的呈现方式本章在呈现方式上：1、通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。

2、在第二至四节探索方程解法的过程中，并未单纯地进行解方程的训练，而是适当设计一些应用题，并在三种解法之后又安排了有关的应用内容。

3、三、学习目标1.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.理解一元二次方程及其相关概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。