数字控制器的直接设计方法

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差分算子： z为前向差分算子， zX(z) = x(k + 1) z为后向差分算子， z-1 X(z) = x(k − 1)
陈家琪：数字控制器的直接设计方法
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已知D(s)求D(z)：
查z变换表
对象模型的变换（G(s)→G(z)）
uk U(z) D/A u(t)
K(1 − e1 ) z −1 K 若 G( s) = ， 则 G( z) = ，其中 e1 = e −T T1 −1 T1s + 1 1 − e1 z
因此
D( z ) =
−1
1 − e1z −1 z −1 U( z ) ⋅ = −1 −1 E( z) K(1 − e1 ) z 1 − z
1 − e1z −1 (1 − z ) U( z ) = E( z) K(1 − e1 ) e1 1 u( k ) = e( k ) e( k − 1) + u( k − 1) K(1 − e1 ) K(1 − e1 )
例：设被控对象： G( s) =
1 e − TdS 1.44 s + 1 0.5 z − N −1 ,（ T = 1, e1 = e −T T1 = 0.5 ） 其广义脉冲传递函数 G( z) = −1 1 − 0.5z 1 e − TdS 期望的闭环响应为： M( s) = 1.44 s + 1 ① 若 Td = 1 ，设计Dahlin调节器；
② 若 Td = 0 ，设计PI调节器。 解： ① ∵ M ( s) = G ( s) ∴ M( z ) = G ( z ) ∴ N = INT (Td T) = 1 ∵ Td = 1, T = 1
D( z ) = 1 M( z) 1 ⋅ = G( z) 1 − M( z) 1 − M( z)
1 1 − 0.5z −1 U( z ) = = = 1 2 − − 0.5 E( z ) 1− z −2 1 − 0.5z − 0.5z −1 1 − 0.5z u( k ) = 0.5u( k − 1) + 0.5u( k − 2) + e( k ) − 0.5e( k − 1)
∴ D( z) =
（1）一阶自衡对象
G( s) = K e − TdS T1 s + 1
→
G( z) =
K(1 − e1 ) − N −1 z 1 − e1 z −1
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调节器： D( z) =
(1 − e1 z −1 )(1 − e b ) K(1 − e1 )[1 − e b z −1 + (1 − e b ) z − N −1 ]
K
例：
K → T1 s + 1 (T1 s + 1) Y( s) = K U( s) dy T1 + y = Ku → dt 若 u = 1 ， y = K(1 − e −t T1 ) → G( s) =
K
y(t) t
y(k) t u(k)
T1 u(t) 1
1 t T 2T 3T t
1 参数最优化的低阶控制算法
二、程序流程
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开始 计算调节器参数α,i β i 设置初值e(k-i)=0,i=1,2 u(k-i)=u o, i=1,…，N+2 A/D 被 控 对 象 D/A 检测y(k) 计算偏差e(k)=w(k)-y(k) 计算控制量u(k) 输出控制量u(k) e(k-i-1)=e(k-i), i=1,0 u(k-i-1)=u(k-i), i=N+1,…,0
若 w( t ) = w ⋅ 1(t ) ，则， W( z ) =
闭环传递函数 M( z) = 求 D( z) =? ∵ M( z) = ∴ D( z) =
Y( z) = z −1 W( z )
Y( z ) D( z ) G( z ) = W( z ) 1 + D( z) G( z) 1 1 M( z) z −1 ⋅ = ⋅ G( z) 1 − M( z) G( z ) 1 − z −1
1 M( z) ⋅ G( z ) 1 − M( z ) 1 e − TdS ， Tb s + 1
Td
Tb
t
Tb=闭环时常、Td=过程时滞
由此综合而得到的控制算法，称Dahlin算法。 闭环
1- e -TS 1 − eb − N −1 M( z ) = Z M( s) = z −1 s 1 − eb z 其中 N = INT (Td T) ，T—采样周期， e b = e -T Tb (1 − e b ) z − N −1 1 ⋅ G( z) 1 − e b z −1 − (1 − e b ) z − N −1
结论：若已知 G( z) 和 M( z) ，就可求出 D( z) 。 注意： M( z) 的形式与输入信号类型有关。
M( z ) = 1 − (1 − z −1 ) m
其中： m 1 2 3
输入信号类型 阶跃 速度 加速度
输入信号函数
w( t ) = w ⋅ 1(t ) w( t ) = w ⋅ t w( t ) = 1 w⋅t2 2
u( k ) = u( k − 1) + e( k ) − 0.5e( k − 1)
（2）二阶自衡对象
G( s) = K e − TdS (T1 s + 1)(T2 s + 1)
→ G( z) =
K(c1 + c2 z −1 ) z − N −1 −1 −1 (1 − e1 z )(1 − e2 z )
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连续系统：
设定值 偏差量 调节器 控制量 对象 被控量
w W(s)
e + －E(s)
D(s)
u U(s)
G(s)
y Y(s)
计算机控制系统：
G(z)
设定值 w (t) 偏差量 调节器 控制量 对象
W(s)
wk ek T W(z) + －E(z)
D(z) yk Y(z) T
uk U(z)
② ∵ Td = 0
∴ N = INT (Td T) = 0
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D( z ) = =
1 1 M( z) ⋅ = G( z ) 1 − M( z) 1 − M( z) 1 1 − 0.5z −1 U( z ) = = −1 0.5 E( z ) −1 1 − z 1− z −1 1 − 0.5z
随动系统： 系统的输出值尽快地跟踪给定值的变化。 最小拍控制：系统的输出值在最少个采样周期内达到给定值。
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wk W(z)
ek + －E(z)
D(z)
uk U(z)
y G(z) yk Y(z) w
0
T
2T 3T
t
1 w ，参见z变换表 1 − z −1 要求系统响应 y(t ) 一拍跟上 w(t ) 。 1 则， y (t ) = w ⋅ 1(t − T) ，即 Y( z ) = z −1 w 1 − z −1
wk W(z) ek + －E(z) D(z) uk U(z) G(z) yk Y(z)
∵闭环
M( z) =
Y( z ) D( z ) G( z ) = W( z ) 1 + D( z) G( z)
Dahlin期望的闭环响应 y(t)
w
∴调节器 D( z) = Dahlin选取 其中：
M( s) =
T1 = T2
(1 − e1 z −1 )(1 − e 2 z −1 )(1 − e b ) 调节器： D( z) = K(c1 + c2 z −1 )[1 − e b z −1 + (1 − e b ) z − N −1 ]
控制算法：
u( k ) = β 1u( k − 1) + β 2 u( k − 2) + β N +1u( k − N − 1) + β N + 2 u( k − N − 2) + α 0 e( k ) + α 1e( k − 1) + α 2 e( k − 2)
其中：
e1 = e − T T1 ， e 2 = e −T T2 T1 ≠ T2 1 c = 1 + (T1e1 − T2 e 2 ) 1 T2 − T1 1 c 2 = e1e 2 + (T1e 2 − T2 e1 ) T2 − T1 c1 = 1 − e1 (1 + T T1 ) 2 c 2 = e1 - e1 (1 − T T1 )
其中
β 1 = eb − c2 c1 ， β 2 = eb ⋅ c2 c1 β N +1 = 1 − eb , β N +1 = 1 − β 1 − β 2 − β N +1 β α 0 = N +1 , α 1 = −α 0 (e1 + e 2 ) , α 2 = −α 0 ⋅ e1 ⋅ e 2 K ⋅ c1
控制算法： u( k ) = β 1u( k − 1) + β N +1u( k − N − 1) + α 0 e( k ) + α 1e( k − 1) 其中
β 1 = eb α0 = β N +1 K(1- e1 )
， β N +1 = 1 − β 1 ,
α 1 = −α 0 e1
若 Td = 0 ，即 N = INT (Td T) = 0 ，
对象
G(s)
y (t)
A/D