微分方程模型一
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
1初识微分方程建模
三、举例
例3 将室内一支读数为60°的温度计放到室外，10min后 温度计的读数为70°，又过了10min，读数为76°，利用牛顿 冷却定律计算室外温度。 牛顿冷却定律:将温度为T的物体放入处于常温m的介质中 T的变化速率正比与T与周围介质的温度差。 解:由牛顿冷却定律可知：dT/dt与T-m成比例 即 方程的解为： 结合给定的三个条件 计算出A,K,m
y = 0.0624 y0
时的t
将y代入上式解得t=22400yr
三、举例
习题 结合例5，计算C14的半衰期是多少？ （数量衰减到一半的时间） 解 由例5可知
y0 / 2 = y0 e − t / 8000
ln 0.5 = −t / 8000, t ≈ 5600 yr
三、举例
例6 一只装满水的圆柱型桶，底面半径为10ft，高为20ft 底部有一个直径为1ft的孔，问桶流空要多少时间？ 对孔的流速加一个假设：假设时刻t的流速依赖与此刻桶内 水的高度h(t),显然装满水时要比快流空时要快，进一步的假设 无能量损失，那么当少量水流出时，顶部减少的势能须等于 等量的水流出小孔时的动能。即 mgh=1/2mv2， 则可得： v=(2gh)1/2 这是物理中的托利拆里定律，模型这样假设看起来过于简单 但至少速度依赖与高度看来是合理的，接下来进行数学上的分析 解：随着水从小孔流出，桶内水的体积不断的减少， 设A为桶的水平面积，B为孔的水平面积。 则在任意时间间隔dt内，-Adh=Bds,ds为孔dt时间内水流的距离 问题是t=？时h=0。所以要求出h(t)。此时可通过上面的方程求出
四、习题
7、污染物质的含量为2g/L的水以500L/min的速度流过处理 箱。在箱内每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底摇匀。 处理箱可容纳10000L的水，在处理场开张时，箱内装满 纯净水，求流出的水中污染物浓度的函数？ 解 设p(t)=箱内污染物的数量 dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min) -(p(t)g/10000L)(500L/min) -0.02p(t)g/min 解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t) 由t=0时，p=0，得c=1
微分方程的经典模型
模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重 （记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数， 我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律 无限增加，显然与实际不符
微分方程模型——人口模型、传染病模型
µ ~日治愈率日
建模 N [i (t + ∆ t ) − i (t )] = λ Ns (t )i (t ) ∆ t − µ Ni (t ) ∆ t
微分方程模型介绍
微分方程模型
微分方程建模的对象
改变” 变化” 增加” 涉及“改变”、“变化”、“增加”、 “减少”、“衰变”、“边际”、 减少” 衰变” 边际” 速度” 运动” 追赶” “速度”、 “运动”、“追赶”、 逃跑” “逃跑”、、、等等词语的确定性连续问
题。 微分方程建模的基本手段 主要包括下面几种方法， 主要包括下面几种方法，但是大家必须掌握
微分方程模型（2/33） 微分方程模型（ ）
微分方程模型介绍
微分方程建模对于许多实际问题的解决是 一种极有效的数学手段， 一种极有效的数学手段，对于现实世界的 变化，人们关注的往往是其变化速度、 变化，人们关注的往往是其变化速度、加 速度以及所处位置随时间的发展规律， 速度以及所处位置随时间的发展规律，其 规律一般可以用微分方程或方程组表示 微分方程建模适用的领域比较广， 微分方程建模适用的领域比较广，利用它 特别是几何）模型， 可建立纯数学（特别是几何）模型，物理 学（如动力学、电学、核物理学等）模型， 如动力学、电学、核物理学等）模型， 航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型， 火箭、宇宙飞船技术）模型， 考古（鉴定文物年代）模型， 鉴定文物年代）模型，
模型2 模型
i 1 1/2 i0 0 tm
di = λ i (1 − i ) dt i ( 0 ) = i0 i (t ) =
Logistic 模型
1 1 − λt 1 + − 1e i 0
−1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 传染病高潮到来时刻
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型引言微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种现象和规律。
微分方程模型是一类特定形式的微分方程，常用于解决实际问题。
本文将介绍几个常见的微分方程模型，并讨论它们在不同领域中的应用。
1. 简单增长模型简单增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率。
这个模型可以应用于人口增长、细菌繁殖等问题。
例如，在人口学中，我们可以使用简单增长模型来预测未来人口数量的变化趋势。
2. 指数衰减模型指数衰减模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数衰减的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=−rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示衰减率。
这个模型可以应用于放射性元素的衰变、药物的消失等问题。
例如，在医学中，我们可以使用指数衰减模型来预测药物在人体内的浓度随时间的变化。
3. 指数增长模型指数增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数增长的规律。
它可以用以下形式表示：dN dt =rN(1−NK)其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率，K表示系统的容量。
这个模型可以应用于生态学中研究种群数量随时间变化的问题。
例如，在生态学中，我们可以使用指数增长模型来研究某种生物在特定环境下的种群动态。
4. 鱼类生长模型鱼类生长模型描述了鱼类体重随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dW dt =rW(1−WK)其中，W表示鱼类的体重，t表示时间，r表示生长速率，K表示饱和重量。
这个模型可以应用于渔业学中研究鱼类养殖和捕捞的问题。
例如，在渔业学中，我们可以使用鱼类生长模型来预测鱼类的生长轨迹和最优捕捞量。
5. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间变化的规律。
它可以用以下形式表示：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)表示物体在位置x处、时间t时的温度，α表示热扩散系数。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学和工程领域。
它描述了物理现象、社会问题和自然现象的变化规律，能够帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势。
下面将介绍一些常见的微分方程模型。
1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是最简单且常见的微分方程之一。
它可以描述许多实际问题，比如放射性衰变、人口模型等。
一阶线性微分方程的一般形式可以写为dy/dt = f(t) * y + g(t)，其中f(t)和g(t)是已知函数，y是未知函数。
2. 指数衰减模型指数衰减模型是描述某种变化过程的常见微分方程。
它可以用来描述放射性物质的衰变、人口增长的趋势等。
指数衰减模型的一般形式是dy/dt = -ky，其中k是常数。
这个方程表示y的变化速率与y本身成比例，且反向。
3. 扩散方程扩散方程是描述物质或能量传递过程的微分方程。
它可以用来研究热传导、扩散现象等。
扩散方程的一般形式是∂u/∂t = D ∇²u，其中u是未知函数，D是扩散系数，∇²是Laplace算子。
这个方程表示u 的变化率与u的二阶导数成正比。
4. 多体问题多体问题是描述多个物体之间相互作用的微分方程模型。
它可以用来研究天体运动、分子碰撞等问题。
多体问题的方程通常包括牛顿第二定律和对应的初始条件，如F = ma和相关的速度、位置初值条件。
5. 随机微分方程随机微分方程是考虑了随机因素的微分方程模型。
它可以用来研究金融市场的波动、生态系统的不确定性等。
随机微分方程的方程形式通常会引入一个随机项，如dy/dt = f(t, y) dt + g(t, y) dW，其中dW是布朗运动，表示随机项。
以上介绍的是一些常见的微分方程模型，它们在理论和实际应用中都具有重要的地位。
通过研究这些模型，我们可以深入理解各种现象背后的数学规律，并且为实际问题提供解决方案。
微分方程模型不仅有助于推动数学的发展，还在科学研究、工程设计和技术创新等领域中发挥着重要作用。
《微分方程模型》课件
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
微分方程模型-碳定年代法
(1.6)和(1.7)两式相除，得
x(0) x (t )
x0 x(t )
将上式代入(1.5)，得
t
T ln 2
ln
x(0) x(t)
(1.8)
这样由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时体
内14C的蜕变速度 x(0) 和现在时刻t的蜕变速
度x(t) ,就可以求得生物体的死亡时间了，在实
际计算上，都假定现代生物体中14C的蜕变
速度与生物体死亡时代生物体中14C的蜕变
速度相同。
马王堆一号墓年代的确定
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得 出土的木炭标本的14C平均原子蜕变数为 29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中14C 平均 原子蜕变数为38.37/s,又知14C的半衰期为 5568年，这样，我们可以 把 x(0) 38.37 / s, x(t) 29.78/ s ， T=5568 年 代入(1.8)，得
考古、地质学等方面的专家常用 14C测定法（通常称碳定年代法）
来估计文物或化石的年代。
14C的蜕变规律
14C是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使 大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具 有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二 氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又 作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种 动植物体内。
碳定年代法的计算
由（1.4）解得
t T ln x0 ln 2 x(t)
(1.5)
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)作如
下修改.
对(1.2)式两边求导数，得
x(t) x0kekt kx(t) (1.6) 而 x(0) kx(0) kx0 (1.7)
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。
微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。
1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。
它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。
2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。
初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。
这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。
3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。
这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。
这些关系可以通过微分方程进行描述。
4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。
这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。
这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。
微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。
例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。
微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。
解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。
近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。
总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。
它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
微分方程模型案例库
微分方程模型案例库一、经济学模型人口增长模型：人口增长可以用微分方程描述，最简单的模型是人口增长速率与人口数量成正比，即dP/dt=kP。
其中，P是人口数量，t是时间，k是一个常数。
这个模型可以体现人口增长速度与人口数量的关系，可以用来预测未来的人口增长趋势。
供求模型：供求模型是经济学中常用的模型，可以用微分方程描述。
设商品的需求函数为Qd=f(p)（商品需求量与价格的关系），供给函数为Qs=g(p)（商品供给量与价格的关系）。
则供求平衡点满足p和Qs、Qd的交点，即f(p)=g(p)。
通过求解这个方程组，可以得到经济体中的均衡价格和交易量。
二、物理学模型自由落体模型：自由落体是一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体下落的速度为v，物体的质量为m，重力加速度为g，则质量与速度之间的关系为m(dv/dt)=mg。
通过求解这个微分方程，可以得到物体下落的速度随时间的变化。
阻尼振动模型：阻尼振动是另一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体的位移为x，阻尼系数为b，弹簧常数为k，则质量、阻尼和弹簧之间的关系为m(d^2x/dt^2)+b(dx/dt)+kx=0。
通过求解这个微分方程，可以得到物体振动的特性，包括振幅、周期等。
三、生物学模型物种竞争模型：物种竞争是生物学中一个重要的研究问题，也可以用微分方程模型来描述。
设两个物种的数量分别为x和y，它们的增长速率分别为dx/dt和dy/dt，竞争系数为a和b，资源可持续利用的速率为r，则物种数量的变化满足dx/dt=a*x*(1-(x+y)/r)-b*x*y和dy/dt=b*x*y-a*y*(1-(x+y)/r)。
通过求解这个方程组，可以得到两个物种数量随时间的变化，从而研究它们之间的竞争关系。
病毒传播模型：病毒传播是流行病学中的重要问题，也可以用微分方程模型来描述。
设感染者的数量为I，易感者的数量为S，恢复者的数量为R，感染率为β，康复率为γ，则感染者、易感者和恢复者的变化满足dS/dt=-β*S*I，dI/dt=β*S*I-γ*I，dR/dt=γ*I。
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
微分方程模型的优点和不足
微分方程模型是一种用于描述动态系统演化过程的数学模型，它可以预测和分析系统的行为。
微分方程模型的优点和不足如下：
优点：
准确性：微分方程模型可以准确地描述系统的内部规律和事物的内在关系，因此能够提供比较精确的预测结果。
适用性广：微分方程模型适用于多种类型的问题，包括物理、几何、生物、经济等领域。
可解释性强：微分方程模型的建立基于相关原理的因果预测法，因此其解释性比较强，能够提供关于系统行为的深入理解。
不足：
建立困难：微分方程模型的建立需要深厚的数学基础和专业知识，因此对于一些非专业人士来说可能比较困难。
求解困难：微分方程模型的求解过程可能比较复杂，需要使用数值方法或近似方法进行求解，这可能会增加模型的复杂性和计算成本。
局限性：微分方程模型主要适用于连续型问题，对于离散型问题可能不太适用。
此外，微分方程模型的预测结果也可能受到一些假设条件和参数的影响，因此需要注意其适用范围和局限性。
总之，微分方程模型具有优点和不足，需要根据具体问题进行选择和应用。
在使用微分方程模型时，需要注意其适用范围和局限性，并结合实际情况进行模型的建立和改进。
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。
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现有一只兔子，一只狼，兔子位于正北60米处的巢穴跑，
而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且
狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否
安全回到巢穴？
解 首先建立坐标系，兔子在O处，狼在A处。
由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲
线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的
用λ来计算半衰期T:
dt
dN
N
dt
N ( t 0 ) N 0
令 N 1
N0 2
其解为: N(t)N0e(tt0)
与负增长的Malthus模
则型完有全: 一样 T
t
t0
ln 2
常数λ是正的，称为该 物质的衰变常数
许多物质的半衰期已被测 定，如碳14，其T=5568； 轴238，其T=45亿年。
3）(r)~ 烟草的吸收作用
烟草为什么有作用?
r abl1 1 v
(r) 1r/2
l2
Q aMev
1ab1l
b, l1~ 线性作用
2v
结果 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, 分析 a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉
带过滤嘴
aw v l2
解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下 午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能 将张某排除。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0， 则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡 时体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡 的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张 某是否是嫌疑犯。
模型3 香烟过滤嘴的作用
问题 • 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系
• 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪 些因素影响大，哪些因素影响小。
模型 • 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸 分析 烟过程的数学模型。
• 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟， 吸烟方式和外部环境认为是不变的。
模型 假设
等式通常是利用已有的原则或定律。
2、对问题中的特征进行数学刻画
3、用微元法建立微分方程；
4、确定微分方程的定解条件（初边值 条件）；
5、求解或讨论方程（数值解或定性理 论）；
6、模型和结果的讨论与分析。
y
模型1 饿狼追兔问题
B -60
y=f(x)
h
C(x,y)
x
O
A(100,0)
与本问题相关的其他知识:
(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白 铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而 铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）
铀(223)8地-4壳5亿里年几-乎>钍所2有34的-2岩4天石-中>钋均2含34有-6微/5分量-的>铀2。34一-2方57面亿，年铀-> 系钍中的23各0-8种万放年射->性镭物22质6-均16在00不年断->衰氡减22，2-而19另/5一天方->面钋，21铀8-3又分不->断铅 地2衰14减-2，7分补-充>钋着2其14后-<继1s元->铅素2。10各-2种0年放-射>铋性2物10质-5（天除->铀钋以21外0-1）38在天 岩-石>铅中2处06于（放一射种性非平放衡射中性。物根质据）世界各地抽样测量的资料，地 壳注中的：铀时在间铀均系为中半所衰占期平均重量比约为百万分之2.7（一般含量 极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含 量高于2—3%的。
模型2 尸体冷却问题
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于 晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为 32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时， 测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时 内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张 某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5:00时打完电 话后就离开了办公室”。从张某到受害者 家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题 是，张某不在凶案现场的证言能否被采信， 使他排除在嫌疑犯之外。
1）l1~烟草长， l2~过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1
2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟
穿行的数量比是a´:a, a´+a=1
3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的
毒物的(单位时间)吸收率分别是b和
4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃 烧速度是常数u， v >>u
100 x
1 f 2 (x)dx
整理得到下述模型
2xf (x) 1 f 2(x) f (100) 0, f (100) 0
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行
走轨迹 f(x)1x3210x12200
30
3
因 f (0) 2，030所6以0 狼追不上兔子。
历史背景:
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为 真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回 答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制 “在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他 的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后， 他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意， 他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。 这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
b v q(x), 0 x l1
q(x), l x l
v
1
q(0) aH 0
H uw
0
0
1) 求q(x,0)=q(x)
q(x) a aH H 0 0e e b bvv1lx,e(xvl1),
2) 求q(l,t)
0xl1 l1 xl
t时刻，香烟燃至 x=ut H (t)u(w u,tt)
q (l,t) au (u,w tt)e v ev
q(l,t)aau 0ew b v1lev l2 ebvu ta e avb ut
Q 0 l1/uq(l,t)d t a ab 0 w vev l2 1ea'v b1l
QaMevl2(r),
rab1l,(r)1er
v
r
结果 分析
QaMevl2(r),ra'b1l,(r)1er
v
r
1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量
2)
l2
ev
~过滤嘴因素，, l2 ~ 负指数作用
l2
aMe v
是毒物集中在x=l1 处的吸入量
q(x,t) a aH H ((tt))e e b b((lx 1v v u u))tte ,(xvl1),ul1t x x ll1
b(l1 u)t l2
q (l,t)au (u,w tt)e v ev
3) 求w(ut,t)
w (x ,t t) w (x ,t) b q (x ,t) t v
w
b
b(xut)
auw(ut,t)e v
t v
w(x,0) w0
w (u,tt)w a0 1aa e 'b vu ,t a1a
4) 计算 Q
w(u,tt)w a0 1ae a'b v u t
b (l1 u)t l2
原理与模型
测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的 放射性现象。
放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放 射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有 一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射 性与所存在的物质的原子数成正比。
用N(t)表示时间t时存在的原子数,则： dN N
人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节 的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。 假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体
温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即：
dT k(T21.1) dt
dT k(T21.1) dt
分离变量积分得：T(t)21.1aekt
定性分析 Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量
,l2 ,M ,a ,v Q b,l1Q?uQ?
模 t=0, x=0，点燃香烟
q( x) q(xx)
型 q(x,t) ~ 毒物流量
v
建 w(x,t) ~ 毒物密度
立 w(x,0)w0
x xx
1) 求q(x,0)=q(x)
历史背景:
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学
家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有
过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历 经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹， 还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据， 范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监 狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
由T(0)=21.1+a=32.6 得a=11.5；由 T(1)=21.1+ae-k=31.4
得e-k＝115/103，即k=0.11，所以 T(t)=21.1+11.5e-0.11t
当T=37℃时，有t=-2.95 小时＝-2小时57 分，8小时20分－2小时57分＝5小时23分。 即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能 被排除在嫌疑犯之外。