人教A版数学必修一《函数模型的应用实例》(Ⅰ)教案

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高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1-经典通用宝藏文档

函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。

经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。

二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。

5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。

2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。

三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。

分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。

人教版高中数学必修一《函数模型的应用实例》教学设计

《函数模型的应用实例》教学设计一、教学内容普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例.二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2.会利用建立的函数模型解决实际问题；3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点.三、教材分析本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.四、学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.五、教学过程（一）交流成果提出课题学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.（二）分析探究解决实例【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (km )与时间t (h )的函数解析式，并作出相应的图象.【教学活动1】第（1）题：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.【设计意图】利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题, 从而化解难点, 教会学生分析问题的方法.【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s 与t 的函数关系式.由于“汽车里程表读数s ＝2010 ＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v 与t 的图象，得v 是t 的分段函数，从而s 是t 的分段函数.求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t 在0至2小时内变化时，s 与t 的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .(2)据v 与t 的关系图，有这个函数的图象如图2所示.【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.【例2】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？【教学活动】对本例的教学，重点解决如下三个问题：（1）指导学生审题后提炼出题目中的已知条件与要解决的任务.已知：固定成本为200元；每桶水的进价是5元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；任务：定价为多少时利润最大？（2）指导学生分析表格数据，建立日均销售量与销售单价之间的函数模型；从而建立利润与售价之间的函数关系；（3）实际问题中自变量取值范围的确定.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤+<≤+<≤+<≤+=.54,204565,43,200575,32,196090,21,198080,10,201050t t t t t t t t t t s为此我设计了下列问题，引导学生自主探究、讨论交流：①利润与哪些量有关？试用等式表示.利润＝销售的金额－销售成本－固定成本（或利润＝单桶水的销售利润×销售量－固定成本）.②分析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？销售单价在6元基础上每涨价1元销售量就减少40桶.③当销售单价为x元/桶时，销售量为多少？销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).④销售单价x受哪些条件的制约？其取值范围是什么？x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.在解决上述问题后要求学生自主完成本例的解答，再用实物投影仪展示学生的解题作品.考虑到本例的自变量还可以是每桶水在进价基础上的增加量，因而我设置了链接，以达到预设与生成的和谐统一.【设计意图】让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力. 从而初步体验解应用题的规律和方法.通过上述分析，预设学生得出以下两种解法：解法一：设每桶水定价为x元时，日均销售利润为y元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18，所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.易知，当x＝11.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.解法二：设每桶水在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－1)＝520－40x(桶).由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜13，所以y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.易知，当x＝6.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.【设计意图】通过本例的教学，使学生感知提取数表信息、抽象函数关系的思维过程，领悟建立函数模型解决最值问题的基本方法，渗透化归转换的数学思想.（三）反思过程发现规律【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：【设计意图】学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.（四）反馈调控方法迁移【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，且点(t，P)落在图中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量Q(万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：（1）写出这支股票每股的日交易均价P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答.【解析】 (1) 当N t t ∈<≤且,200时,设11b t k P +=,由图象得⎩⎨⎧=+=6202111b k b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==25111b k ，即251+=t P ；同样的方法可求得当N t t ∈≤≤且,3020时，8101+-=t P . 综上可得，).(3020,8101200,251N t t t t t P ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+= (2)设b kt t Q +=)(,由题意知：⎩⎨⎧==30)10(36)4(Q Q ，即⎩⎨⎧=+=+3010364b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=401b k .所以：),300(40)(N t t t t Q ∈≤≤+-=（3）设第t 天的日交易额为f (t )万元，则 )(,3020),40)(8101(,200),40)(251()(N t t t t t t t Q P t f ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-+-<≤+-+=⋅= 即)(,3020,40)60(101,200,125)15(51)(22N t t t t t t f ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤+--=当N t t ∈<≤且,200时，;125)15()(max ==f t f当N t t ∈≤≤且,3020时，;120)20()(max ==f t f所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.（五）归纳小结深化认识引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？（2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.（六）布置作业巩固提高课外作业：必做题：教材P 106练习第1题，P 107习题3.2A 组第3，4题.选做题：P 108习题3.2B 组第2题.【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.。

《函数模型的应用实例》教案

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

人教A版数学必修一教案：函数模型的应用实例(ⅰ)

§3.2.2 函數模型的應用實例（Ⅰ）一、教學目標：1.知識與技能能夠找出簡單實際問題中的函數關係式，初步體會應用一次函數、二次函數模型解決實際問題.2．過程與方法感受運用函數概念建立模型的過程和方法，體會一次函數、二次函數模型在數學和其他學科中的重要性.3．情感、態度、價值觀體會運用函數思想處理現實生活中和社會中的一些簡單問題的實用價值.二、教學重點與難點：1．教學重點：運用一次函數、二次函數模型解決一些實際問題.2.教學難點：將實際問題轉變為數學模型.三、學法與教學用具1.學法：學生自主閱讀教材，採用嘗試、討論方式進行探究.2.教學用具：多媒體四、教學設想（一）創設情景，揭示課題引例：大約在一千五百年前，大數學家孫子在《孫子算經》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔？你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎？你有什麼更好的方法？老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數量與它們頭的數量之差，就是兔子數，即：47－35＝12；雞數就是：35－12＝23.比例激發學生學習興趣，增強其求知欲望.可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.（二）結合實例，探求新知例1.某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發10min開出13km後，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關係式，並求火車離開北京2h內行駛的路程.探索：1）本例所涉及的變數有哪些？它們的取值範圍怎樣；2）所涉及的變數的關係如何？3）寫出本例的解答過程.老師提示：路程S和引數t的取值範圍（即函數的定義域），注意t的實際意義.學生獨立思考，完成解答，並相互討論、交流、評析.例2．某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優惠辦法：1）本例所涉及的變數之間的關係可用何種函數模型來描述？2）本例涉及到幾個函數模型？3）如何理解“更省錢？”；4）寫出具體的解答過程.在學生自主思考，相互討論完成本例題解答之後，老師小結：通過以上兩例，數學模型是用數學語言模擬現實的一種模型，它把實際問題中某些事物的主要特徵和關係抽象出來，並用數學語言來表達，這一過程稱為建模，是解應用題的關鍵。

《函数模型的应用实例》教案

《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。

2. 学会构建函数模型解决实际问题。

3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。

二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。

2. 教学难点：函数模型的评估与优化。

四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。

2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。

3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。

五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。

2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。

4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。

第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。

2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。

4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。

后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。

教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。

注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。

六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。

2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。

高一数学人教新课标A版函数的应用Ⅰ教案

函数的应用(Ⅰ)一、目标认知学习目标：1.通过实例理解有关一次函数和二次函数的有关问题，会解数学模型为一次函数和二次函数的有关应用问题.2.学会独立思考，提高分析问题、解决问题的能力.重点：一次函数和二次函数模型的应用.难点：数学建模.二、知识要点梳理知识点一、一次函数模型的应用1.一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R.知识点二、二次函数模型的应用1.二次函数的一般形式是其定义域为R.2.若，则二次函数在时有最小值；若，则二次函数在时有最大值.3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答.三、规律方法指导1.数学建模的过程:2.数学建模的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：再转译为具体问题作出解答.3. 规律总结(1) 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．(2) 在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．(3) 对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．经典例题透析类型一、一次函数模型的应用1.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若以购买茶杯数为(个)，付款数为(元)，试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法?思路点拨：付款分为两部分，茶壶款和茶杯款，需要分别计算．解：由优惠办法(1)可得函数关系式为；由优惠办法(2)得函数关系式为．当该顾客需购买茶杯40个时，采用优惠办法(1)应付款(元)；采用优惠办法(2)应付款(元)，由于，因此应选择优惠办法(2)．总结升华：注意问题的分配的要抓住本质，本题的实质是一个一次函数问题.2.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?思路点拨：每月所赚的钱＝卖报收入的总价－付给报社的总价．而收入的总数分别为3部分：①在可卖出400份的20天里．收入为；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出．收入为O.5×250×10；③没有卖掉的(x-250)份报纸可退回报社，报社付给(x-250)×O.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．解：设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400．设每月赚y元，得y=O.5·x·20+O.5×250×10+(x-250)×0.08×10-O.35·x·30．=O.3x+1050，x∈[250，400]．因为y=O.3x+1050是定义域上的增函数，所以当x=400时，(元)．可知每天应从报社买400份报纸．获得利润最大，每月可赚1170元．举一反三：【变式1】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?思路点拨：设生产A种(或B种)产品x件，则生产B种(或A种)产品(50-x)件．根据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg．可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的范圃，进而确定x的正整数值．解：(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为件，依题意，得解得30≤x≤32．∵ x是整数，∴只能取30，31，32．∴生产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件，A种32件；B种18件．(2)设生产A种产品为x件，则y=700x+1200(50-x)=-500x+60000．∵，根据一次函数的增减性，∴ y随x的增大而减小．当x=30时，y最大，．∴安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大，最大利润是45000元总结升华：此题的第(1)问是利用一元二次不等式组解决的，第(2)问是利用一次函数的增减性解决问题的，要注意第(2)问与第(1)问的相互联系.3.已知等腰梯形ABCD的两底分别为AB=3，CD=1，腰长为2．一动点P从B开始沿梯形的边BC、CD、DA运动，若P经过路程为x，△ABP面积为y，求y与x之间的函数关系式．思路点拨：如图所示，需分P在BC、CD、DA三段分别计算．解：过P作PE⊥AB于E．(1)当P在BC上时，，，，∴，.(2)当P在CD上时，，∴，.(3)当P在DA上时，，.∴，综上所述：由于ABP为三角形，故P在A、B两端点时不必研究，因此，所以定义域为(0，5).总结升华：对于文字叙述冗长，反映数学关系的事物陌生的应用题，认真、耐心地阅读和理解题意至关重要.有的同学一见应用题文字冗长、应用问题中给出的事物比较陌生，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理.实际上这类问题是对学生心理素质的严峻考验，要树立信心，保持冷静，认真对待，不可随意放弃，等你认真阅读完了，理解清楚题意后这道题可能就迎刃而解了！4.电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据：序号磁钢面积用胶量1 11.0 0.1642 19.4 0.3963 26.2 0.4044 46.6 0.6645 56.6 0.8126 67.2 0.9727 125.2 1.6888 189.0 2.869 247.1 4.07610 443.4 7.332现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．思路点拨：由表中分散的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律，通常的方法是描绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，用数据待定出表达式．解：我们取磁钢粘合面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系，根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6，0.812)，(189.O，2.86)，将它们的坐标代人，得方程组解得≈0.01547，≈-O.06350．这条直线是.总结升华：在解决实际问题中，提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题——代入检验，这是一个完整的过程，作出散点图，观察散点图的形状，是选择函数模型的基础，确定函数模型后，经常需要检验，如果误差较大，就要修正得到的函数模型.类型二、二次函数模型的应用5.某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高?思路点拨：由题设可知，每天客房总的租金y元是房租金的函数．解：设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金总收入为y=(20+2x)(300-10x)，x∈N．这个二次函数图象的对称轴为，当时，．答：将房间租金提高到40元/间时，客房租金总收入最高，每天为8000元．总结升华：求二次函数最值时一般用配方法，这里使用了对称性，简化了计算.举一反三：【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?思路点拨：设销售单价应涨元．则实际销售单价为(10+)元；日销售量为(100-10)个；日销售额为(10+x)(100-10x)元；日销售成本为8(100-10x)元，故利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(x∈N)易得，当=4时，y最大．此时，销售单价为14元．解：设销售单价应涨元，则实际销售价格为元，由题意得利润为 y=(10+)(100-10)-8(100-1O)=-10(-4)2+360(x∈N)．∴当=4时，．此时销售价为10+4=14(元)．总结升华：根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题.求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等.6.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为O.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)O.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为(万元)(0≤≤5)，其中是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得到利润最大?(3)年产量是多少时，工厂才不亏本?思路点拨：对于一些较复杂的应用问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题.要先后或同时构造、利用几个数学模型方可．解：(1)当≤5时，产品能售出台；当＞5时，只能售出5百台．故利润函数为(2)当0≤≤5时，，当时，得万元.当x>5时，L(x)=-0.25x+12<10.75∴生产475台的利润最大.(3)由或得4.75-≤x≤5或5<x<48，∴4.75-≤x＜48，4.75-≈0.1，故产品年产量在10台到4800台时，工厂不赔本，考虑到实际情况，当年产量在10台到500台时工厂不亏本.类型三、综合应用7.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查．提供了两个方面的信息.如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年l万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明，甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由；(3)哪一年的规模最大?说明理由．思路点拨：首先根据图象可知．两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数法求出函数解析式．下面的问题就容易解决了．解：(1)由图可知，直线经过(1，1)和(6，2)，可求得，．∴，同理可得．第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2=31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产鱼总数为20万只．(3)设第年规模最大，即求的最大值．当时，最大．即第二年规模最大，为31.2万只．总结升华：本题首先要读懂图，能够由图象设出函数解析式，用待定系数法求出解析式.其次，要会使用所求得的解析式解决新问题.学习成果测评基础达标一、选择题1.一个旅社有100间客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现了这样一个规律：如果客房定价每天每间160元，入住率为55%；每间定价140元时，入住率为65%；每间定价120元时，入住率为75%；每间定价100元时，入住率为85%；要使每天收入达到最高，每间每天应定价为( )A.160元B.140元C.120元D.100元2.为了改善某地的生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，结果植树总亩数是时间(年数)的一次函数，则这个函数的图象大致是( )3.对某种产品市场产销情况调查如图所示，其中表示产品各年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况；下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行下去；(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格趋跌；(3)产品库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；(4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是( )A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(4)D.(2)(3)4.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物的厚度忽略不计，精确到0.1m)( )A.6.9mB.7.0mC.7.1mD.6.8m5.某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示)，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )A.2mB.3mC.4mD.5m6.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为( )A.92元B.94元C.95元D.88元二、填空题7.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____________.8.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)与运费(元)由图中的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_____________.9.建造一个容积为8000m3深为6m的长方体蓄水池，池壁造价为a元/m2，池底造价为2a元/m2，把总造价y(元)表示为底的一边长x(m)的函数：______________.10．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个__________元．三、解答题11.某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t万件．(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？12. 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？能力提升一、选择题1．商店某种货物的进价下降了8％，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r％增加到(r＋10)％，那么r的值等于( )A．12 B．15 C．25 D．502．如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是( )二、填空题3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成的矩形最大面积为________m2(围墙厚度不计)．4．在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资(分)表示为信重(0＜x≤40)克的函数，其表达式f(x)为________．三、解答题5.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约水的目的．某市用水收费的方法是：水费=基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．月份用量量水费(元)1 9 92 15 193 22 33根据上表中的数据．求，，6. 某商品在近100天内，商品的单价(元)与时间(天)的函数关系式如下：销售量与时间(天)的函数关系式是求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高.答案与解析基础达标一、选择题1.B 设旅社每天按不同定价收入分别为则故选B.2.A 函数解析式为，实际问题取值范围：，故选A.3.D 产量增长大于销售的增长，故选D.4.A 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为.设A点的坐标为(4，-h)，则C(3，3-h).将这两点的坐标代入可得.所以厂门的高为6.9m，故选A.5.B 以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系.则由题设条件知，抛物线的顶点，A点坐标为(0，10).于是可设抛物线方程为.将A点坐标(0，10)代入该方程可求得a的值为.所以抛物线方程为令.所以B点坐标为(3，0)，故OB=3，故选B.6.C 设涨(降)x元，则利润所以当x=5时，y最大，此时售价为90+5=95(元).故选C.二、填空题7.60元解：设涨价x元，销售的利润为y元y=(50+x-45)(50-2x)=-2(x-10)2+450当x=10，即销售价为60元时，y取得最大值.8.19kg解：设，将点(30，330)，(40，630)代入得，令y=0即可.9.解：设底面的另一边长为z(m)，则6xz=8000，即池壁造价为池底造价为故总造价10.解析：设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100-10x)，则利润为y=(10＋x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2＋360(0≤x≤10)．因此x=4，即售价定为每个14元时，利润最大．答案：14.三、解答题11.解析：(1)设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y=250x·t％．依题意，x=40-t．所求的函数关系式为y=250(40-t)t％．(2)依题意，250(40-t)·t％≥600，即t2-25t＋150≤0，∴10≤t≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜．12. 设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，由＞0，且300-10＞0得：0＜＜30设客房租金总收入y元，则有：(0＜＜30)由二次函数性质可知当=10时，max=8000．所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．能力提升一、选择题1.解析：销售利润=×100％．设销售价为y，进价为x，则解之得r=15．答案：B2.解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，当0≤x≤1时，y=·x·1=x；当1＜x≤2时，y=1-(x-1)-(2-x)-=-x＋；当2＜x≤2.5时，y=(-x)×1=-x．则y=图形为A．答案：A二、填空题3.解析：设矩形宽为xm，则矩形长为(200-4x)m，则矩形面积为S=x(200-4x)=-4(x-25)2＋2500(0＜x＜50)，∴x=25时，S有最大值2500m2．答案：25004..三、解答题5. 思路点拨：易知二、三月份的用水量已超过了最低限量，但一月份的用水量是否已超过最低限量，需要进行分类讨论．解：设每月用水量为．支付费用为y元．则由题意知，∴由表知第二、三月份该户水费超过13元．用水量为，均大于最低限量，将，分别代入②中，得∴ b=2，③不妨设一月份用水量也超过最低限量，即，这时将代入②中得，与③矛盾，∴即可知一月份付款方式应选①式，则有．∴，．∴，，．6.解：依题意该商品在近100天内日销售额与时间(天)的函数关系式为(1)若0≤t≤40，Z，则(元).(2)若，Z，则，∵，∴在(40，100)上递减，∴当时，.∵，∴第12天的日销售额最高.。

人教a版高中数学必修一函数的应用(一)教学设计

人教a版高中数学必修一函数的应用(一)教学设计课程名称：高中数学必修一-函数的应用（一）适用对象：高中一年级学生课时数：8课时教学目标：1.理解函数的概念及其应用领域；2.掌握函数的应用方法，解决有关函数的实际问题；3.培养学生解决实际问题的数学建模能力；4.培养学生合作学习和探究精神。

教学重点：1.函数的概念及其应用领域；2.函数应用问题的转化和解决方法。

教学难点：1.实际问题的数学建模，将问题转化为函数应用问题；2.函数应用问题的解决方法及其灵活运用。

教学准备：1.教师准备：教学课件、教学素材、实际问题应用案例；2.学生准备：教材、笔、纸等。

教学过程：第一课时：函数的概念及其应用1.导入新课：教师出示一张世界各国人均寿命表格，引导学生思考：为什么有些国家的人均寿命较短而有些国家的人均寿命较长？这背后是否存在着某种规律或关系？2.介绍函数的概念：-教师简要介绍函数的概念，引导学生了解自变量、因变量和函数值的概念；-学生展示函数的图象，让学生感受函数与图象之间的关系。

3.探究函数的应用领域：-教师列举一些函数的应用领域，如物理学中的速度函数、经济学中的利润函数、人口统计学中的增长函数等；-学生小组讨论一个他们感兴趣的应用领域，并展示出来。

第二课时：函数应用问题的转化1.复习函数的概念与应用领域：老师复习第一课时的内容，让学生能够回答与函数相关的问题。

2.引入实际问题：教师提供一个实际问题，如某电商公司销售额与广告费用的关系问题，带领学生思考如何用函数来描述与解决这个问题。

3.讨论与转化：学生自由讨论如何将实际问题转化为函数应用问题；教师引导学生讨论并总结出问题转化的关键点。

第三课时：函数应用问题的解决方法1.引导学生思考解决问题的方法：教师提问：如何找到函数的解析式？如何求解函数的最值？如何解决在一定条件下的函数问题？2.示范解决实际问题：教师提供一个实际问题，带领学生使用已学方法解决；学生分组完成解决问题的过程。

高中数学 3.2.3函数模型的应用实例(一)全册精品教案新人教A版必修1

函数模型的应用实例〔一〕〔一〕教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.〔二〕教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.〔三〕教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.〔四〕教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 =115(h)，所以115t≤≤.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是11130120(0).5S t t=+≤≤2h内火车行驶的路程11131206S=+⨯=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答以下问题：解应用题用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.假设不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答以下问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2 解答：方法一依题意可列表如下：x y0 300×20 = 60001 (300 –10×1)(20 + 2×1) =63802 (300 –10×2)(20 + 2×2) =67203 (300 –10×3)(20 + 2×3) =70204 (300 –10×4)(20 + 2×4) =72805 (300 –10×5)(20 + 2×5) =75006 (300 –10×6)(20 + 2×6) =76807 (300 –10×7)(20 + 2×7) =78208 (300 – 10×8)(20 + 2×8)=79209 (300 –10×9)(20 + 2×9) =798010 (300 –10×10)(20 + 2×10)= 800011 (300 –10×11)(20 + 2×11)= 798012 (300 –10×12)(20 + 2×12)= 7920首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.13 (300 –10×13)(20 + 2×13)= 7820……由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，那么将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x )= –20x2 + 600x– 200x + 6000= –20(x2–20x+ 100 –100) + 6000 = –20(x– 10)2 + 8000.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如下图.〔1〕求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；〔2〕假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：〔1〕阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.〔2〕根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如下图.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，那么汽车行驶的路程S km与时间t h之间的学生动手实践、体验所学方法，从而提路程为90km ，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h 所行驶的路程.习题2．某食品5kg 价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg 食品的价格是多少元.习题3．有300m 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？f 与打车路程x 之间的函数关系.函数关系为 S = vt . 当t = 1.5时，S = 90，那么v = 60. 因此所求的函数关系为S =60t ，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h 所行驶的路程为180km. 2．设食品的重量为x kg ，那么食品的价格y 元与重量x kg 之间的函数关系式为y =8x ，当x = 8时，y = 64，所以当8kg 食品的价格为64元. 3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm ，那么另一组对边的长为3002x-m ，从而矩形菜地的面积为：21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<< 当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大.4．解：所求函数的关系式为100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩升解应用题的技能. 归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业习题2—3B 第1、3题：教材第71页“思考与讨论〞.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.备选例题例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x X 之间的关系如下图，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？[解析]根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x X 之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩〔1〕当0≤x ≤x =750，得x =200.〔2〕当400≤x ≤x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去).综合〔1〕和〔2〕，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200X.答：当天售出的门票数为200X时盈利额为750元.例2 某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)2投资B种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)1该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).[解析]以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用以下函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用yx表示.设下月投资A种商品x万元，那么投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= –x2x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.[评析]幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x–m)2 + b后发生的变化.。

高中数学必修一(人教新课标A版)教学设计26 函数模型的应用实例(Ⅰ)

原来孙子提出了大胆的设想。（师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。）
由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手，运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解决实际问题呢？
其中表示经过的时间，表示=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
（单位：万人）
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
（单位：万人）
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数
55196
56300
57482
58796
问题一：本题与上一道题相比较，有何特点？
问题二：怎样确定具体函数模型中的两个参数？
（对于r仔细读题后，学生可以自己解决）
（对于y0教师要指出是人为规定，以满足题意）
问题三：对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？
问题四：如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？
问题一:将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？并写出关于自变量的函数解析式。
（写清楚不同速度v相对应的时间t的区间范围）
问题二:图中一个阴影矩形的面积代表什么含义?
问题三:整个阴影部分的面积有什么意义?
(这样本题第一问解决)
问题四:你能得到里程表读数s关于时间t的函数解析是吗?

高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1

高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1课题：§3.2.2函数模型的应用实例（一）教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深刻的认识。

这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。

但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的能力较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。

因此在教学中应该给学我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价．设计意图教师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题．二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2019km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．012345102030405060708090v（km让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立思考后，讨论，教师可以作以下引导首先引导学生写出速度v关于时间t的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型（分段函数）刻画实际问题．培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数551965630574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？认真阅读题目，教师指出本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型rt e yy）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数y与r．学生独立思考后，教师作以下提问1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？５）如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？学生根据教师引导，完成数学模型的确定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测教师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读能力，分析能力三、探索研究引导学生分析例题，进行总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正．设计意图渗透数学思想方法，培养学生读图、分析已知数据、概括、总结等诸多方面的能力。

高中数学新人教版A版精品教案《函数模型的应用举例》

函数模型的应用实例（一）,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数m 与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩程布置作业习题2—3B 第1、3题：教材第71页“思考与讨论”学生练习使学生巩固本节所学知识与方法备选例题例 1 某游艺场每天的盈利额元与售出的门票数张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额元与售出的门票数张之间的函数关系是：（1）当0≤≤400时，由=750，得=2021（2）当400≤≤600时，由 1000 = 750，得 = – 2021舍去综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为2021 答：当天售出的门票数为2021时盈利额为750元例2 某个经营者把开始六个月试销A 、B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 种商品金额万元123456获纯利润万元2投资B 种商品金额万元123456获纯利润万元13.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A 、B 两种商品各多少才最合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润结果保留两位有效数字【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系 = – a – 42 2 a ＞0 ① = b②把 = 1， = 代入①式，得 = – a 1 – 42 2，解得a =故前六个月所获纯利润关于月投资A 商品的金额的函数关系式可近似地用 = – – 42 2表示，再把 = 4， = 1代入②式，得b = ，故前六个月所获利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用 = 表示设下月投资A 种商品万元，则投资B 种商品为12 – 万元，可获纯利润 = – – 42 2 12 – = – ，当≈时，≈故下月分别投资A 、B 两种商品万元和万元，可获最大纯利润万元【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意 = 2变换到 = a – m 2 b 后发生的变化0.952(0.15)x -=⨯-2max4(0.15) 2.60.954(0.15)y ⨯-⨯-=⨯-。

32918_《函数模型的应用实例》说课稿1(人教A版必修1)

3.2.2函数模型的应用实例（1）从容说课我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》主要通过一些实例来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.例1主要根据题意列出相应的表格，通过表中数据的实际意义解决问题.例2涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，主要意图是让学生利用函数模型（分段函数）刻画实际问题.例3中的数学模型y=y0e rt是指数函数模型，它由y0与r这两个参数决定，而y0与r的值不难得到.本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型，并用数学模型解释实际问题.在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力，提高其读图、画图的能力.三维目标一、知识与技能1.能利用给定函数模型解决实际问题.2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合.3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力.二、过程与方法1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型.2.根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.三、情感态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务.教学重点根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.二、例题剖析【例1】某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元.问（1）第几年后开始获利？（2）当总纯收入获利最大时，以8万元出售该鱼船，问总获利为多少？分析：首先要弄清什么是第几年后开始获利.开始获利指哪一年后，总收入大于成本与各种费用的和，就开始获利.从题目条件中可以知道，每年捕鱼收益是一个常量50万元，而各种费用是逐年增加的，并且第n年的各种费用为12+（n－1）4=4n+8，从中可以看出，从某一年开始，捕鱼收益不够支付费用，即要亏本.可以计算出10年以后如不出售该渔船将会亏本（50＜4n+8），因为这里变量都是整数且数据较小，因此仅列表就能得出相应的结论.解：列出下表（1）由表格可以得到，第3年开始获利.（2）到第10年时，总纯收入获利最大为102+8=110.（注意：最后该船是以8万元出售的）【例2】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.师：先用投影仪投影出图一（将原图中的阴影部分隐去），分析这张图可以得到的是一个速度关于时间变化的图象，说明了速度与时间之间的什么关系？生：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；汽车在第2小时内以80 km/h的速度匀速行驶；汽车在第3小时内以90 km/h的速度匀速行驶；汽车在第4小时内以75 km/h的速度匀速行驶；汽车在第5小时内以65 km/h的速度匀速行驶.师：再用投影仪投影图二，（给出一个阴影矩形的面积，通过分析，让学生理解它的意义；我们知道这个阴影部分的面积（S=速度×时间）为50，它表示的是汽车在第1小时内行驶的路程为50 km.以此我们可以得出第2、3、4、5个阴影部分的面积分别为80、90、75、65，它们分别表示的是汽车在第2、3、4、5小时内行驶的路程.因此，整个阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程之和为360 km.对于第2个问题，通过对图形的分析，可以看出：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；所以其行驶的路程与时间的函数关系是s′=50t（0≤t＜1）.因此第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2004=50t+2004（0≤t＜1）.第2小时，该汽车以80 km的速度匀速行驶.因此第2小时内，汽车行驶的路程与时间的函数关系为s′=50+80（t－1）（1≤t＜2）.第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2054=80（t－1）+2054（1≤t＜2）.以此类推，（让学生自主完成）可以得出s =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 例2所涉及的数学模型是确定的，关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题.这里我们得到的是一个分段函数的模型，让学生注意分段函数的表示方法，及其定义域.学时探究：你能根据图一，作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？（1）首先获得路程关于时间变化的函数解析式s =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ （2）根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象，其实这个图象就是将图二向下平移了2004个单位.【例3】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y =y 0e rt ，其中t 表示经过的时间，y 0表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国人口数据资料：（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国人口达到13亿？并根据所得结论，总结说明了什么问题.分析：这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合，然后再利用函数模型解释实际问题，并利用模型进行预测.这里的函数模型y =y 0e rt 是指数型函数模型，它由y 0与r 两个参数决定，实际上，y 0就是1950年的人数，r 是指各年的人口增长率的平均值，比较容易求得.解：（1）设1950～1959年的人口增长率分别为r 1，r 2，…，r 9. 由55196（1+r 1）=56300，可得1951年的人口增长率r 1≈0.0200.同理可得，r 2≈0.0210，r 3≈0.0229，r 4≈0.0250，r 5≈0.0197，r 6≈0.0223，r 7≈0.0276，r 8≈0.0222，r 9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为 r =（r 1+r 2+…+r 9）÷9≈0.0221.由y 0=55196可得我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 y =55196e 0.0221t （t ∈N ）.（请同学们利用计数器作出函数y =55196e 0.0221t （t ∈N ）的图象，再根据表中1950～1959年人口数据，作出散点图（如下图），并进行比较，得出相应的结论）50t ，0≤t ＜1，80（t －1）+50，1≤t ＜2， 90（t －2）+130，2≤t ＜3， 75（t －3）+220，3≤t ＜4， 65（t －4）+295，4≤t ≤5.50t +2004，0≤t ＜1， 80（t －1）+2054，1≤t ＜2， 90（t －2）+2134，2≤t ＜3， 75（t －3）+2224，3≤t ＜4， 65（t －4）+2299，4≤t ≤5.由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.（2）师：根据所得函数模型y =55196e 0.0221t （t ∈N ）预测我国人口大约在哪一年达到13亿，实际上是通过一个对数式55196e 0.0221t =130000来确定t 的近似值.请同学们利用计数器进行计算：即t =22110000（ln130000－ln55196）≈38.76. 因此如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口数就已达到13亿，由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.三、课堂练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？2.以v 0 m/s 的速度竖直向上运动的物体，t s 后的高度h m 满足h =v 0t －4.9t 2，速度v m/s 满足v =v 0－9.8t .现以75 m/s 的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100 m 以上高度的时间是多少秒？在此过程中，子弹速度的范围是多少？答案：1.（1）由y =5e 0.003t 可知，当y =10时，t ≈231，所以1881年世界人口是1650年的2倍.同理可得2003年世界人口是1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 2.由题意有75t －4.9t 2=100，解得t =9.425.6075⨯±.解得t 1≈1.480，t 2≈13.827.所以子弹保持在100 m 以上的时间t =t 2－t 1≈12.35，在此过程中，子弹最大速度v 1=v 0－9.8t =75－9.8×1.48=60.498 m/s.四、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题适用的函数模型，利用计数器或计算机的数据拟和功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.值得注意的是用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对函数模型进行修正.五、布置作业课本P 126页习题3.2A 组第4、6、7题. 板书设计3.2.2函数模型的应用实例（1）例1 例2 例3课堂小结与布置作业。

人教A版高中数学必修一函数模型的应用实例教案新(1)

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1. 教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

数学：3.2.2《函数模型的应用实例(1)》教案(新人教必修1)

3.2.2函数模型的应用实例（1）教学目的：通过一些实例，让学生感受函数模型的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程。

教学重点：两函数模型实例的讲解。

教学难点：通过观察图象，判断问题所适用的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？二、新课例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图象。

解：(1)阴影部分面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km 。

（2）根据图有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s 画出它的函数图象P121。

在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。

本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。

例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长依据。

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝rt e，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，yr表示人口的年平均增长率。

表3－8是1950――1959年我国的人口数据资料（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表3－8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从口增长模型y=55196e0.0221t，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出这个模型与数据是否吻合，用Excel电子表格作出图象展示给学生看。

人教A版数学必修一教案：§3.2.2函数模型的应用实例(ⅰ)

§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、教学目标：1.知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、学法与教学用具1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2.教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。

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