【精品】2020中考数学复习点拨34讲专题22 正方形(学生版)

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2020中考数学复习点拨34讲专题12 二次函数(学生版)

专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像与性质（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a --（3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a -=-+已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）5．二次函数与一元二次方程的关系专题知识回顾抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

广东省中考数学第22节正方形课件

•考点2 正方形的判定（★★） •母题集训 •1. 已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且 AF=BP=CQ=DE．求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．
•解析：（1）由四边形ABCD是正方形， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD ，又由AF=BP=CQ=DE，即可得 DF=CE=BQ=AP，然后利用SAS即可证得 △APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得 EF=FP=PQ=QE；（2）由EF=FP=PQ=QE，可判定四边形 EFPQ是菱形，又由△APF≌△BPQ，易得 ∠FPQ=90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．
（1）线段BE的长（2）四边形BCFE的面积．
•解析：（1）由折叠的性质可得CF=HF， BE=GE，设BE=GE=x，则AE=4-x，在 Rt△AEG中利用勾股定理求出x的值；（2）四边形BCFE是梯形，要求其面积需要得出CF的长，可通过求出FH的长度，进行求解．
•答案：解：（1）由题意，点C与点H，点B 与点G分别关于直线EF对称， ∴CF=HF，BE=GE，设BE=GE=x，则AE=4-x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，∴AE2+AG2=EG2，
广东省中考数学第22节正方形课件
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考纲要 1.掌握正方形的概念和性质、掌握四边形是正方形
求
的条件.
考点年份题型分值近五年广州市高频考点分析
考试内容
1. 正方 2014 选择 3
正方形的性质在近五年广州市
形的性
题
中考，本节考查质的 Nhomakorabea点是正方形
2. 正方
未考

数学20版初中新课标全程复习方略人教课时22图形的认识初步

1 ∠AOB= 1 ×90°=45°,
2
2
∠COF=∠BOF= 1 ∠BOC,
2
∵∠BOF=∠EOF-∠BOE=60°-45°=15°,
∴∠BOC=2∠BOF=30°;
∠AOC=∠BOC+∠AOB=30°+90°=120°.
考点四余角与补角
【主干必备】
互余与互补若两个角的和等于___9_0_°____,
2.角的有关概念及性质
定义1
有公共端点的两条___射__线____ 组成的图形
角的定义
一条___射__线____绕着它的端点
定义2 由一个位置旋转到另一个位置
所形成的图形角平分线在点 __,角_射把_的_角___分_线_内成__两__个部_,_以_相_角_等_的_顶__点的为角端的
3.角的四种表示方法 (1)用___三__个____大写的英文字母可表示任何角,表示顶点的字母写在中间. (2)用___一__个____大写的英文字母可表示一个独立的角. (3)用一个___阿__拉__伯__数__字____加弧线表示单独一个角. (4)用一个___小__写__的__希__腊__字__母____加弧线表示单独一个角.
【微点警示】正方体表面展开图的常见两种错误: 一线不过四、田凹应弃之.
【核心突破】
【例1】(2019·山西中考)某正方
体的每个面上都有一个汉字,如图
是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“点”字所
在面相对的面上的汉字是 ( B )
A.青
B.春
C.梦
D.想
【明·技法】
正方体的展开图找邻面或对面的两种方法
B.8,16
C.15,30
D.28,56

2020年浙江数学中考复习第五单元四边形之第22课时矩形、菱形、正方形

第22课时矩形、菱形、正方形
浙江近6年中考真题精选
目
考点特训营
录
中考试题中的核心素养
第22课时矩形、菱形、正方形
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浙江近6年中考真题精选
命题点 1 与矩形有关的证明及计算（杭州3考，2次结合折叠；
温州2考；台州3考，1次结合折叠；绍兴3考）
1.(2019丽水、金华、义乌8题3分)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，
5. (2019台州8题4分)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC
＝FG＝8 cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，
且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于( D )
A. 1
B. 1
C. 8
D. 8
4
2
17
15
第5题图
EAP= FAQ

A
B
=
A
D
，
A E P = A F Q
∴△AEP≌△AFQ(ASA)， ∴AP＝AQ；
第19题图
第22课时矩形、菱形、正方形
返回目录
(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①：请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).
第22课时矩形、菱形、正方形
14. (2016丽水15题4分)如图，在菱形ABCD中，过点B作
BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，
使得DG＝BD，连接EG，FG.若AE＝DE，则 EG＝
7
AB
______2_______.
15. (2016台州15题5分)如图，把一个菱形绕着它的对角线

2020春冀教版八年级数学下册第22章【说课稿】正方形及其性质点拨习题

正方形及其性质教材分析一、教材的地位与作用《正方形》这节课是冀教版数学教材八年级下册第22章第6节的内容。

在现实生活中随处可见，应用非常广泛，它是学生非常熟悉的一种图形。

《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作、推理和证明等活动经验的基础上出现的。

目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理、证明的数学方法。

这一节课是前面所学知识的延伸和概括，充分体现了平行四边形、菱形、矩形、正方形这些概念之间的联系、区别和从属关系，同时又是高中阶段继续学习正方体、正六面体必备的知识。

二、教学目标1知识技能①、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。

②、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。

2、数学思想渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想。

3、过程与方法①、通过本节课的学习培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力。

②、培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握证明的方法。

3、情感态度①、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。

②、培养学生相互讨论、相互帮助、团结协作的团队精神。

三、教材的重点难点重点：正方形的概念和性质。

难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和应用。

《教法分析》教法设想以“学—导—练”三步为主线，以“先学后教、当堂训练”的教学模式，来进行本节课的教学。

在整个教学过程中加强学生自学方法的指导。

以问题“引”自学，以自测“显”问题，以优生“带”差生，以点拨“疏”疑点，以训练“巩”新知运用教学方法：以导学稿为载体，引导、探究、合作、点拔、评价学法指导自学猜测、交流讨论、分析推理、归纳总结教学程序一、出示目标了解新知学习目标（1分钟）1、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。

第二十二讲正方形

5.（1）证明：∵OD 平分∠AOC，OF 平分∠COB（已知）， ∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF， ∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°， ∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°； ∵OA=OC，OD 平分∠AOC（已知）， ∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO=90°， ∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°∴四边形 CDOF 是矩形；（2）当∠AOC=90°时，四边形 CDOF 是正方形；理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC， ∴OD=DC；又由（1）知四边形 CDOF 是矩形，则四边形 CDOF 是正方形；因此，当∠AOC=90°时，四边形 CDOF 是正方形．
★考点梳理★
1.定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. 矩形、菱形的一切性质. 2.性质：正方形具有 3.判别方法：四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形形；邻边相等的矩形是正方形；对角线有一个角是直角的菱形是正方平行四边形、
互相垂直平分且相等
的四边形是正方形.
★课堂精讲★
，﹣2
1006
）
．
思路点拨：首先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9 的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点 B2012 的坐标．
3.（2012•宁夏）正方形 ABCD 的边长为 3，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且 ∠EDF=45°．将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当 AE=1 时，求 EF 的长．
பைடு நூலகம்
2012?深圳如图rtabc中c90以斜边ab为边向外作正方形abde且正方形对角线交于点o连接oc已知ac5oc6则另一直角边bc垂直于bc再过a作am垂直于of由四边形abde为正方形得到oaobaob为直角可得出两个角互余再由am垂直于mo得到aom为直角三角形其两个锐角互余利用同角的余角相等可得出一对角相等再由一对直角相等oaob利用aas可得出aom与bof全等由全等三角形的对应边相等可得出amofomfb由三个角为直角的四边形为矩形得到acfm为矩形根据矩形的对边相等可得出acmfamcf等量代换可得出cfof即cof为等腰直角三角形由斜边oc的长利用勾股定理求出of与cf的长根据ofmf求出om的长即为fb的长由cffb即可求出bc2

2024中考数学复习全套精讲细练第22讲多边形与平行四边形(课件)

2024年中考数学一轮复习讲练测
第22讲多边形与平行四边形
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
考情分析
知识建构
03
考点精讲
第一部分
考情分析
考点要求
多边形的相关
概念
新课标要求
➢ 了解多边形的概念及多边形的顶点、
边、内角、外角与对角线.
➢ 探索并掌握多边形内角和与外角和
公式.
为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并
B．5
C．4
）
D．3
【对点训练 1】（2022·江苏盐城·统考一模）下列多边形中，内角和最大的是（
A．
B．
C．
）
D．
【对点训练 2】（2022·河北石家庄·统考一模）如图，四边形 ABCD 中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D 的度为
（
）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【解题技巧】
1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；
②已知多边形的内角和求边数；
③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
考点一多边形的相关概念
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行
四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的
平行四边形的 ➢ 探索并证明平行四边形的性质定理.
性质与判定

2024年九年级中考数学专题复习：正方形

2024年九年级中考数学专题复习：正方形一、选择题（本大题共10道小题）1. (2023•安徽模拟)如图,点E,F 分别为正方形ABCD 的边AB,BC 的中点,AF,BE 相交于G,则GF AG 的值为( ) A.32B.53C.22D.45 2. (2023·贵州黔东南)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E,F 分别在CD,AC 上,BF ⊥EF,CE=1,则AF 的长是( )A.22B.322C.423D.5243. (2023绵阳)如图,在边长为3的正方形ABCD 中,∠CDE ＝30°,DE ⊥CF,则BF 的长是( )A.1B. 2C. 3D.24. (2023•河池)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E,F 分别在CD,AC 上,BF ⊥EF,CE ＝1,则AF 的长是( )A. B. C. D.5. (2023·贵州黔东南)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 、F 分别为BC 、CD 的中点,点P 是对角线BD 上的动点,则四边形PECF 周长的最小值为( )A.4B.422+C.8D.442+6. (2023·湖南常德)如图,已知点F,E 分别是正方形ABCD 的边AB 与BC 的中点,AE 与DF 交于点P.则下列结论成立的是( )A.BE ＝12AEB.PC ＝PDC.∠EAF ＋∠AFD ＝90°D.PE ＝EC 7. (2023·广西玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a →c →d;②b →d →c;③a →b →c 则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③8. (2023·安徽·无为三中一模)如图,在正方形ABCD 中,△BPC 是等边三角形,BP 、CP 的延长线分别交AD 于点EF,连接BD 、DP,BD 与CF 相交于点H.给出下列结论:①AE ＝12FC;②∠PDE ＝15°;③12DHCBHC S S △△;④DE 2＝PF •FC.其中正确的为( )A.①②③B.①③C.②③④D.①②④9. (2023•港南区四模)如图,正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合,展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G,连接GF,下列结论:①∠ADG ＝22.5°;②S △AGD ＝S △OGD ;③四边形AEFG 是菱形;④BE ＝2OG;⑤若S △OGF ＝1,则正方形ABCD 的面积是6+42.正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个10. (2023八上·无为)如图,有两个正方形纸板A,B,纸板A 与B 的面积之和为34.现将纸板B 按甲方式放在纸板A 的内部,阴影部分的面积为4.若将纸板A,B 按乙方式并列放置后,构造新的正方形,则阴影部分的面积为( )A.30B.32C.34D.36二、填空题（本大题共8道小题）11. (2023春•西城区校级期中)正方形ABCD的顶点B,C都在平面直角坐标系的x轴上,若点A的坐标是(1,3),则点C的坐标为.12. [2023·天津]如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE交CD于点H,连接GH,则GH的长为.13. (2023·贵州铜仁)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点,满足AE=BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为________.14. (2023•威海)如图,在正方形ABCD中,AB＝2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE 和AF交于点G,连接BG.若AE＝BF,则BG的最小值为.15. (2023•攀枝花)如图,在正方形ABCD中,点M、N分别为边CD、BC上的点,且DM＝CN,AM 与DN交于点P,连接AN,点Q为AN的中点,连接PQ,BQ,若AB＝8,DM＝2,给出以下结论:①AM ⊥DN;②∠MAN＝∠BAN;③△PQN≌△BQN;④PQ＝5.其中正确的结论有(填上所有正确结论的序号)16. (2023•鞍山)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,F是线段OD上的动点(点F不与点O,D重合),连接CF,过点F作FG⊥CF分别交AC,AB于点H,G,连接CG交BD于点M,作OE∥CD交CG于点E,EF交AC于点N.有下列结论:①当BG＝BM时,AG＝BG;②＝;③当GM＝HF时,CF2＝CN•BC;④CN2＝BM2+DF2.其中正确的是(填序号即可).17. 如图,在正方形ABCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D作DE的垂线交AE于点P,若DE ＝DP＝1,PC＝ 6.下列结论:①△APD≌△CED;②AE⊥CE;③点C到直线DE的距离为3;④S正方形ABCD＝5＋2 2.其中正确结论的序号为________.18. [2023·广元]如图,在正方形ABCD中,点O是对角线BD的中点,点P在线段OD上,连接AP并延长交CD于点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF,EF,AF交BD于G.现有以下结论:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB-PD=BF;④S△AEF为定值;⑤S四边形PEFG=S△APG.以上结论正确的有(填入正确的序号即可).三、解答题（本大题共6道小题）19. (2023·贵州贵阳)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF//AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.20. (2023·湖南衡阳)如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB＝90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于点H.(1)试判定四边形AFHE的形状,并说明理由;(2)已知BH＝7,BC＝13,求DH的长.21. (2023·福建中考)如图,在正方形ABCD中,E,F为边AB上的两个三等分点,点A关于DE 的对称点为A′,AA′的延长线交BC于点G.(1)求证:DE∥A′F;(2)求∠GA′B的大小;(3)求证:A′C＝2A′B.22. (2023八上·通州)如图为4×4方格,每个小正方形的边长都为1.(1)图1中阴影正方形的面积为,边长为;(2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形,并求出所画正方形的边长.要求所画正方形满足以下条件:①正方形的边长为无理数②正方形的四个顶点均在网格格点处.23. (2023•朝阳区二模)在正方形ABCD中,将线段DA绕点D旋转得到线段DP(不与BC平行),直线DP与直线BC相交于点E,直线AP与直线DC相交于点F.(1)如图1,当点P在正方形内部,且∠ADP＝60°时,求证:DE+CE＝DF;(2)当线段DP运动到图2位置时,依题意补全图2,用等式表示线段DE,CE,DF之间的数量关系,并证明.24. (2023春•西城区校级期中)已知正方形ABCD,点E是直线BC上一点(不与B,C重合),∠AEF＝90°,EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F.(1)如图1,当点E在线段BC上时,①请补全图形,并直接写出AE,EF满足的数量关系;②用等式表示CD,CE,CF满足的数量关系,并证明.(2)当点E在直线BC上,用等式表示线段CD,CE,CF之间的数量关系(直接写出即可).。

2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题(含答案)

2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题1．(2019天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE732．(2019白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM ≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°， ∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°， ∴E 、C 1、N 1三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，111111111111A B EB A B M EB MM B M B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ）， ∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4， ∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°， ∴∠A 1M 1N 1=180°﹣90°=90°． 3．(2019江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.解：（1）①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确；③123,,y y y 与1y =交点（除了点C ）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭，即：n P 顶点满足关系式21y x =+. ②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=．C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=．∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1， ∴C n C n –1=21k +. ③n n C A 与11n n C A --不平行．理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++，(),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D （–k –n ，1），E （–k –n +1，1）. 在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nkk n A D n k n k---++===+----，在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk kk n A E n k n k-----+++-===+--+---+，∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1， ∴n n C A 与11n n C A --不平行．4．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②–①得2S–S=S=22019–1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②–①得2S–S=S=210–1，∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②–①得2S=311–1，所以S=1131 2-，即3+32+33+34+ (310)1131 2-；故答案为：1131 2-；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②–①得：（a –1）S =a n +1–1，a =1时，不能直接除以a –1，此时原式等于n +1；a ≠1时，a –1才能做分母，所以S =111n a a +--，即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--.5．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m +n ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a +10b +c ．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x +3x =45，则x =__________； ②若7y –8y =26，则y =__________； ③若93t +58t =131t ，则t =__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn +nm 一定能被__________整除，mn –nm 一定能被__________整除，mn •nm –mn 一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．解：（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算， 972–279=693， 963–369=594， 954–459=495， 954–459=495，… 故答案为：495．②当任选的三位数为abc 时，第一次运算后得：100a +10b +c –（100c +10b +a ）=99（a –c ），结果为99的倍数，由于a ＞b ＞c ，故a ≥b +1≥c +2， ∴a –c ≥2，又9≥a ＞c ≥0， ∴a –c ≤9，∴a –c =2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．6．（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x 3a c +=，y 3b d+=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x 143-+==1，y ()823+-==2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）∵17 3 +﹣=2，573+=4，∴点C（2，4）是点A、B的融合点；（2）①由融合点定义知x13=（t+3），y13=（2t+3），则t=3x﹣3，则y13=（6x﹣6+3）=2x﹣1；②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当∠DHT=90°时，如图1所示，设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），由点T是点D，E的融合点得：m32302133m mm+++=-=或，解得：m32=，即点E（32，6）；（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在；综上所述，符合题意的点为（32，6）或（6，15）．7．（2019济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．证明：设0<x1<x2，f（x1）–f（x2）=()212112121266666x xx xx x x x x x---==．∵0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．∴()21126x xx x-＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．∴f （x 1）＞f （x 2），∴函数f （x ）═6x （x ＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f （x ）=21x+x （x <0）， f （–1）=21(1)-+（–1）=0，f （–2）=21(2)-+（–2）=–74．（1）计算：f （–3）=__________，f （–4）=__________；（2）猜想：函数f （x ）=21x+x （x <0）是__________函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．解：（1）∵f （x ）=21x +x （x <0）， ∴f （–3）=21(3)-–3=–269，f （–4）=21(4)-–4=–6316，故答案为：–269，–6316；（2）∵–4<–3，f （–4）＞f （–3），∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数，故答案为：增；（3）设x 1<x 2<0，∵f （x 1）–f （x 2）=12221211x x x x +--=（x 1–x 2）（1–122212x x x x +） ∵x 1<x 2<0，∴x 1–x 2<0，x 1+x 2<0，∴f （x 1）–f （x 2）<0，∴f （x 1）<f （x 2），∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数． 8．（2019宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点．求证：四边形ABEF 是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．解：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形ABEF即为所求；（3）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE，∴CE=CD+DE=5BE，∵∠EDF=90°，M为EF中点，∴DM=ME．∴∠MDE=∠MED，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴3 5QB BDNC CE==，∵QB=3，∴NC=5，∵AN=CN，∴AC=2CN=10，∴AB=AC=10．9．（2019枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．解：（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；（2）根据题中的新定义化简得：2241x yx y-=⎨+=-⎧⎩①②，①+②得：3x+3y=1，则x+y=13．10．（2019河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7．则（1）用含x 的式子表示m =__________；（2）当y =–2时，n 的值为__________．解：（1）根据约定的方法可得：m =x +2x =3x ；故答案为：3x ；（2）根据约定的方法即可得x +2x +2x +3=m +n =y ．当y =–2时，5x +3=–2．解得x =–1．∴n =2x +3=–2+3=1．11．（2019白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A =80°，则它的特征值k =__________．解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：218080︒-︒=50°， ∴特征值k =808505︒=︒； ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，∴特征值k =208014︒=︒；综上所述，特征值k 为85或14； 12．（2019湘西）阅读材料：设a r =（x 1，y 1），b r =（x 2，y 2），如果a r ∥b r ，则x 1•y 2=x 2•y 1，根据该材料填空，已知a r =（4，3），b r =（8，m ），且a r ∥b r ，则m =__________．解：∵a r =（4，3），b r =（8，m ），且a r ∥b r ，∴4m =3×8，∴m =6．。

2024年中考数学复习课件第22讲矩形、菱形、正方形

小锦囊连接，利用面积法求解.
图55
提示：如图55，
图8
证明：四边形是菱形，，， .又，，即，，四边形是平行四边形. ，，即四边形是矩形.又，四边形是正方形.
图8
提分练
图9
10.（2023·东营改编）如图9，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形（点与点重合），则点的坐标是____________.
图1
证明：四边形是平行四边形，，为线段的中点， .在和中，四边形是平行四边形.又，四边形是矩形.
图1
（2）若，，求四边形的面积．
思路点拨观察图形知, ，易求矩形的面积，只要找出和的面积与矩形的面积之间的关系，就可求得结果.
2.证明正方形的一般思路：
图7
例3 如图7，点是正方形的对角线上的一点，，，垂足分别为点， .求证：．
思路点拨
图29
证明：如图29，连接四边形是正方形，，，．在和中，，，，，四边形是矩形．．
证明：四边形是正方形，，．， . , 即 .又，，
图9
（2）当点运动到的中点时（其他条件保持不变），求证：四边形是正方形．
证明：点为的中点，，，．又，，，四边形是平行四边形.又，，四边形是正方形．
第22讲矩形、菱形、正方形
要点梳理
1.矩形
矩形_
定义
有一个角是____角的平行四边形叫作矩形
性质
①边：对边______且______.即，；，

通用版2020中考数学第1轮复习第5章第22讲正方形课件(50张)

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7．下列命题中，真命题是( C ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
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8．下列命题是假命题的是( C ) A．正五边形的内角和为 540° B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．圆内接四边形的对角互补
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(2)当 AF 的长为多少时，四边形 EFBG 是正方形？解：若要四边形 EFBG 是正方形，只需 EF＝BF. ∵AF＝EF，∴AF＝BF. ∴当 AF＝5 cm 时，四边形 EFBG 是正方形．
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13．在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E， F 满足 BE＝DF，连接 AE，AF，CE，CF，如图所示．
11
6．定理：通过推理证实得到的真命题叫做定理．
12
7．证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．
13
6．下列关于图形对称性的命题，正确的是( A ) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
3
1．正方形的一条对角线长为 2 2，则正方形的边长是2 ．
4
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B )
A．四个角都是直角
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
5
3．如图，在正方形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，OA＝1，下列判断错．误．的是( D )
A．OA＝OB＝OC＝OD＝1 B．正方形 ABCD 的周长为 4 2 C．正方形 ABCD 的面积为 2 D．图中有 8 个 45°角，有 4 个直角

2020-2021学年九年级数学专家点拨：22相似的综合提高

一、考点突破相似是中考考查的重点内容，在选择题和填空题中，多为考查图形相似的性质、相似三角形的性质和判定、位似图形的性质，题目难度一般不大；在解答题中，常与方程、函数、圆等内容相结合，综合性强，难度较大。

在中考中主要考查以下几点：（1）相似图形的特点以及相似比的意义；（2）用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算题；（3）综合利用相似三角形的判定定理和性质解决问题；（4）位似图形的定义、作图及在平面直角坐标系中点的坐标的变化规律。

二、重难点提示重点：相似三角形的性质和判定定理的应用，位似图形的应用。

难点：利用图形的相似解决实际问题。

能力提升类例1手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）一点通：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案。

解：A：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；B：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；C：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但边的比不对应相等，故选项正确；故选D。

点评：本题考查的是相似图形的定义，图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形。

全等形是相似形的一个特例。

例2 如图所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（－1，1），点C 的坐标为（－4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是。

一点通：两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行。

则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可。

解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点，设直线CF 的解析式为y=k x ＋b ，将点C （－4，2），F （－1，1）代入，得421k b k b 解得1323k b 即1233y x ，令y=0得x=2，∴位似中心的坐标是（2，0）；②当位似中心在两个正方形之间时，可求直线OC 的解析式为12y x ，直线DE 的解析式为114y x ，联立 12114y x y x ，解得4323x y，即位似中心的坐标为（34，32）。