方程与不等式
数学中的代数方程与不等式
数学中的代数方程与不等式在数学领域中，代数方程和不等式是研究数与数之间关系的重要工具。
它们在解决实际问题、推导数学定理以及促进数学发展方面发挥着重要作用。
本文将对代数方程和不等式的概念、性质和解法进行介绍和探讨。
一、代数方程代数方程是指未知数与常数之间通过运算和等号相连的数学表达式。
一般形式为：\(f(x) = 0\)，其中\(f(x)\)是一个多项式函数，而\(x\)是未知数。
代数方程的解即为能使等式成立的未知数的取值。
1. 一元代数方程一元代数方程是指只含有一个未知数的代数方程。
最简单的一元代数方程是线性方程，形如：\(ax + b = 0\)，其中\(a\)和\(b\)是已知常数，\(x\)是未知数。
解线性方程只需将未知数的系数代入公式进行运算即可得到解。
2. 多元代数方程多元代数方程是指含有多个未知数的代数方程。
与一元代数方程相比，多元代数方程的求解相对复杂。
常见的多元代数方程包括二元、三元甚至更多变量的方程。
解多元代数方程的方法通常是利用方程之间的关系，通过代入、消元、代换等运算来确定未知数的取值。
二、不等式不等式是代数运算中比较数字大小关系的表示。
不等式通过符号（<、>、≤、≥）来描述数之间的大小关系。
与代数方程相比，不等式不要求等号成立，因此可以表示范围、区间等数学关系。
1. 一元不等式一元不等式是指只含有一个未知数的不等式。
与一元代数方程类似，一元不等式也包括线性和非线性不等式。
解一元不等式的方法通常是根据不等式的性质和符号进行推导和计算。
2. 多元不等式多元不等式是指含有多个未知数的不等式。
多元不等式的求解相对复杂，需要考虑不同未知数之间的关系。
通过引入辅助变量、化简、代入等方法，可以将多元不等式转化成一元不等式，从而求解出未知数的取值范围。
三、解代数方程与不等式的常用方法解代数方程和不等式的方法有很多，常用的包括以下几种：1. 图示法通过在坐标平面上绘制图形，来表示代数方程和不等式的解集。
方程与不等式知识结构图
方程(组)与不等式(组) 知识结构表方程: 含有未知数的等式叫做方程．方程的解:能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程: 求方程的解的过程叫做解方程．定义: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.(1) 一元一次方程 解法: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．定义: 含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．由这样的几个方(2) 二元一次方程(组) 程所组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．分类 解法: 基本思想是消元，基本方法是代入消元法、加减消元法．方程(组) 定义:只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (0≠a ).(3)一元二次方程 解法; 直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．根的判别式(ac b 42-=∆):当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0<∆时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立.方 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程．程 (4)分式方程 解法：其基本思想是将分式方程转化为整式方程，其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解与 分式方程必须要验根．有时也可采用换元法．不 应用: 一般步骤:①审清题意，找出等量关系；②设未知数；③列出方程(组)；④解方程(组)；⑤检验方程(组)的根；⑥作答． 等式 不等式:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．不等式的解: 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．有关概念 不等式的解集:一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．解不等式:求不等式的解集的过程，叫做解不等式．性质1: 如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ．不等式的性质 性质2: 如果a ＞b ，并且c ＞0，那么ac ＞bc ．性质3: 如果a ＞b ，并且c ＜0，那么ac ＜bc ．: 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式．不等式（组） 一元一次不等式 解法: 基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．特别要注意当系数化为1时, 不等式两边同乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向必须改变．分类 定义: 几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．一元一次不等式组 解法: 求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出解集的公共部分．解集有如下规律: 同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解．应用: 解不等式(组)在实际问题中的应用，关键是使学生能从实际问题中抽象出数量关系，列出不等式（组），建立不等式模型，通过转化为纯数学问题来解决实际应用问题．在列不等式时还要密切关注题中的不等关系，如“至少”，“至多”，“不大于”，“不小于”等等．。
方程不等式
方程不等式方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们在解决实际问题以及理论研究中都有广泛的应用。
接下来我们将从定义、性质、解法以及应用等方面全面介绍方程和不等式。
一、方程和不等式的定义方程是用等号连接的数学式子，其中包含有未知数。
而不等式是用不等号连接的数学式子，其中也包含有未知数。
两者的区别在于方程中的未知量的值是相等的，而不等式中的未知量的值是不相等的。
例如，方程3x+2=11中的未知数是x，可以得到x的值为3；而不等式3x+2>11中的未知数也是x，但是它的值可以大于3，也可以小于3。
二、方程和不等式的性质1. 一元一次方程的解具有唯一性，即只有一个解。
2. 一元二次方程的解可能有两个解、一个解或者没有解。
3. 线性不等式组有唯一解，非线性不等式组有多个解或者无解。
4. 不等式的解集是不稳定的，增加、减少或者改变不等式的符号都可能影响解集。
5. 不等式加减乘除改变方向时需要对解集做相应的调整。
三、方程和不等式的解法1. 方程的解法包括代数法、图像法和数值解法等，其中代数法是最基本的解法。
2. 不等式的解法包括图像法、区间法和代数法等，代数法是解决不等式问题必不可少的方法。
3. 将方程和不等式转化为最简形式往往是解题的关键。
四、方程和不等式的应用方程和不等式在生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 经济学家使用方程和不等式来分析市场供求关系和价格变化等问题。
2. 工程师在设计各种机械和电子设备时需要运用方程和不等式的解法。
3. 医学工作者利用方程和不等式来研究疾病的发生、症状和治疗等问题。
4. 方程和不等式也被广泛应用于物理、化学、生物、计算机科学等多个领域。
总之，方程和不等式是数学中最基础、最重要的知识点之一。
它们不仅有理论研究价值，更有着广泛的实际应用价值。
希望大家在学习方程和不等式的过程中，能够掌握基本的解法和应用技巧，并在实际问题中灵活运用它们。
数学解方程与不等式的方法总结
数学解方程与不等式的方法总结数学是一门既有趣又充满挑战的学科，其中解方程和不等式是数学学习的重要内容。
通过解方程和不等式，我们可以找到问题的解答，并且在数学建模和实际应用中起到重要的作用。
本文将总结数学解方程和不等式的方法，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、一元一次方程的解法在解一元一次方程时，我们可以通过移项和化简的方式将方程转化为基本形式：ax + b = 0。
然后，根据方程的系数a和b的值的不同情况，采用以下几种解法：1. 直接求解：当系数a为非零实数时，方程的解即为x = -b/a。
2. 分类讨论：当系数a为0时，方程变为bx + c = 0，此时根据常数b和c的值的不同进行分类讨论，并求解方程。
3. 变量迁移法：当方程出现分式、开方等复杂形式时，我们可以通过变量的迁移，将方程化简为一元一次方程，从而求解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程解法相对复杂一些，可以通过以下几种方法求解：1. 因式分解法：当方程可以因式分解时，我们可以通过对方程进行因式分解，找到方程的根。
2. 公式法：一元二次方程有求根公式，即x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。
通过代入系数a、b、c的值，计算根的近似值。
3. 完全平方法：当方程能够表示为完全平方时，我们可以通过完全平方公式进行求解。
4. 图像法：借助二次函数的图像，我们可以通过观察方程和函数图像的交点来求解方程。
三、不等式的解法不等式是比较两个数大小关系的数学表达式。
对于不等式的解法，有以下几种方法：1. 图像法：将不等式表示为函数图像，通过观察图像的区域来得到解的范围。
2. 分类讨论法：将不等式中的变量与常数进行分类讨论，根据不同情况确定解的范围。
3. 同向消元法：对不等式两边同时加上或减去相同的数，保持不等式的方向不变，从而逐步消去变量。
4. 化简法：对不等式进行化简，将不等式转化为一般形式，并通过变量的取值范围判断解的范围。
方程与不等式总结与经典例题
方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。
在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。
一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac≥0)。
（注意符号问题）2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。
3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1= ,x2= ；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=- ；当Δ<0时，方程没有实数根。
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=- , x1x2= 。
（注意两根的和是的相反数）。
以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。
5. 不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。
不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：二、例题分析： 例1.解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。
注意除以负数时，改变不等号的方向。
解：解不等式3(x-2)+8>2x ，得x>-2解不等式 ≥x- ,得 x ≤-1。
所以不等式组的解集是 -2<x ≤-1。
它在数轴上表示如右图所示。
例2.解不等式组 ，并写出不等式组的整数解。
说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。
解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。
解不等式≥，得x≥-2。
所以不等式组的解集是：-2≤x<1。
五年级数学技巧之解方程与不等式
五年级数学技巧之解方程与不等式解方程是数学学习中的重要内容之一，它涉及到数学思维和推理能力的培养。
在五年级的数学学习中，解方程的技巧将为学生打开一扇探索数学世界的大门。
本文将介绍解一元一次方程和不等式的基本方法和技巧。
1. 解一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：（1）将方程左侧和右侧的项按照次序排列；（2）将方程两侧的常数项（即不带未知数的项）整理到一边，将带有未知数的项整理到另一边；（3）根据等式两边的性质，通过运算简化表达式；（4）将方程两侧同除以未知数前面的系数，得到未知数的解。
举个例子来说明：例题1：解方程3x + 5 = 14。
解：将方程两侧的项重新排列，得到3x = 14 - 5。
化简得3x = 9。
最后，将方程两侧同除以3，得到x = 3。
因此，方程3x + 5 = 14的解为x = 3。
2. 解不等式解不等式是数学学习中的另一个重要内容。
不等式表示两个数之间的大小关系，解不等式就是找到使不等式成立的数的范围。
在五年级，我们主要解一元一次不等式。
解一元一次不等式的基本方法如下：（1）将不等式两侧的项按照次序排列；（2）根据不等式的性质，通过加减乘除等运算简化表达式；（3）根据不等式的要求，确定未知数的取值范围。
举个例子来说明：例题2：解不等式2x + 3 > 7。
解：将不等式两侧的项重新排列，得到2x > 7 - 3。
化简得2x > 4。
最后，将方程两侧同除以2，得到x > 2。
因此，不等式2x + 3 > 7的解为x > 2。
3. 解方程与不等式的实际应用解方程和不等式不仅仅只是数学课本中的练习题，它们也可以应用于实际生活中的问题。
举个例子来说明：例题3：小明买了一些文具，总共花费了30元，其中铅笔每支2元，橡皮每个0.5元。
问小明买了多少支铅笔和多少个橡皮？解：设小明买了x支铅笔，y个橡皮。
行测数学运算：方程与不等式
行测数学运算：方程与不等式、基本方程思想方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。
尽管数学运算的绝大部分问题不需要也不应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大家大量的精力，但仍然有相当一部分的问题（例如盈亏问题、鸡兔同笼问题、牛吃草问题等）采用方程法才是最简单的，并且还有很多问题（例如比例问题、年龄问题、行程问题、等差数列问题、经济利润相关问题等）中的相当一部分也是需要利用方程来求解的。
因此，作为重要的数学基础，“列方程”与“解方程”都是我们备考的时候不能忽视与懈怠的！基本方程原则一、设未知数原则1.以便于理解为准，所设的未知数要便于列方程。
2.在上一条的基础上，尽量设题目所求的量为未知量。
3.有时候为了方便理解，可以设有意义的汉字为未知数。
二、消未知数原则1.方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其他未知量。
2.未知数系数倍数关系较明显时，优先考虑通过“加减消元法”解题。
3.未知数系数代入关系较明显时，优先考虑通过“代入消元法”解题。
【例1】（北京应届2008-17）某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50双，要比原计划晚3天完成；如果每天加工60双，要比原计划提前2天完成。
这一订单共需加工（）双旅游鞋。
A. 1200B. 1300C. 1400D. 1500［答案］D［解析］设这一订单共需加工旅游鞋x双，则：x50-x60=5 x=1500。
【例2】（浙江2009-42）已知a－b＝46，a÷b÷c＝2，a÷b－c＝12，问a＋b 的值是（）。
A. 50B. 60C. 70D. 80［答案］A［解析］题目欲求a+b，因此先把c消掉：a-b=46a÷b÷c=2a÷b-c=12 a÷b=24 a=48b=2 a+b=50【例3】（国家2009-114）某公司，甲、乙两个营业部共有50人，其中，32人为男性，甲营业部男女比例为5∶3，乙为2∶1，问甲营业部有多少名女职员？（）A. 18B. 16C. 12D. 9［答案］C［解析］甲营业部男女比例为5∶3，设甲营业部男职员5x人，女职员3x人；乙营业部男女比例为2∶1，设乙营业部男职员2y人，女职员y人；8x+3y=505x+2y=32 x=4,y=6，代入即得：甲营业部女职员12人。
初中数学复习解方程与不等式的常见方法
初中数学复习解方程与不等式的常见方法一、方程的解法在初中数学中，解方程是一个重要的内容。
解方程的基本思想是通过找到未知数的取值，使得等式两边成立。
下面介绍几种常见的解方程方法。
1.1 代入法代入法是解一元一次方程的简单有效方法。
首先将方程中的一边用已知数值替代，然后求解未知数的值。
例题：求解方程2x + 3 = 7。
解法：将7代入方程，得到2x + 3 = 7，然后解得x = 2。
1.2 消元法消元法是解一元一次方程的常用方法。
通过加减或乘除等运算，将方程中的未知数系数相消，最终求得未知数的值。
例题：求解方程3x + 2 = 5x - 1。
解法：将5x-1减去3x+2，得到2x=-3，然后解得x=-1.5。
1.3 因式分解法因式分解法适用于一些特殊的多项式方程。
通过因式分解，将方程化简为两个乘积等于零的方程，然后求解未知数的值。
例题：求解方程x^2 - 4 = 0。
解法：将方程进行因式分解，得到(x+2)(x-2) = 0，然后解得x=-2或x=2。
二、不等式的解法解不等式与解方程类似，不同之处在于不等式的解集通常是一个区间。
下面介绍几种常见的解不等式方法。
2.1 图解法图解法是解不等式的直观方法。
首先画出不等式的图像，然后确定满足不等式条件的区域。
例题：求解不等式2x + 3 > 5。
解法：将不等式化简，得到2x > 2，然后画出2x=2的直线，由于不等式为大于号，所以直线右侧的区域满足条件。
因此，解集为x>1。
2.2 代入法代入法也可以用于解不等式。
通过代入不同的数值，确定满足不等式条件的数值范围。
例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 <= 0。
解法：将不等式中的不等号改为等号，得到x^2 - 4x + 3 = 0，然后解得x=1或x=3。
代入数值x=2，得到2^2 - 4*2 + 3 = -1；代入数值x=0，得到0^2 - 4*0 + 3 = 3。
由于题目要求的是小于等于0的解，所以解集为x<=1或x>=3。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
方程与不等式的关系与转化
方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。
方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。
知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。
不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。
二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。
方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。
知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。
方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。
三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。
例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。
知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。
例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。
知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。
例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。
相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。
四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。
例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。
知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。
例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。
《等式的性质与方程的解集》等式与不等式
解法的应用与推广
应用
二元一次方程组是数学中常见的方程之一，它在实际生活中也有广泛的应用，比如在物理、化学、经 济等领域中都可以遇到。通过学习二元一次方程组的解法，可以更好地理解和解决这些问题。
推广
学习二元一次方程组的解法还可以为学习更复杂的方程组打下基础，比如三元一次方程组、高次方程 组等。同时，解法中涉及的数学思想和方法也可以应用于其他数学问题的解决中。
传递性
加法单调性
乘法单调性
同号得正
奇偶性
若a>b，b>c，则a>c。
即若a>b，c为任意实数 或整式，则a+c>b+c。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若f(x)为奇函数，则对于 定义域内的任意x，都有 f(-x)=-f(x)。若f(x)为偶 函数，则对于定义域内 的任意x，都有f(x)=f(x)。
一元一次方程的解法举例
例子1
解方程 2x + 4 = 10。
去分母
2x + 4 = 10。
去括号
2x + 4 = 10。
一元一次方程的解法举例
移项
01
2x = 6。
合并同类项
02
2x = 6。
化简
03
x = 3。
一元一次方程的解法举例
例子2
解方程 3(x - 2) = 5(x - 1)。
去分母
05
方程的解集与根的判别式
方程的解集的概念与性质
方程的解集的定义
方程的所有解组成的集合称为方程的解 集。
第2讲 方程（组）与不等式（组）
第2讲 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m ＝3n ，那么下列等式不一定成立的是（ ） A ．m ﹣3＝n ﹣3 B ．2m +3＝3n +2C ．5+m ＝5+nD ．m −3=n −3例2解方程：（1）2﹣3（x ﹣1）＝2（x ﹣2）； （2）．例3若方程12﹣3（x +1）＝7﹣x 的解与关于x 的方程6﹣2k ＝2（x +3）的解相同，求k 的值．例4若方程2（2x ﹣1）＝3x +1与关于x 的方程2ax ＝（a +1）x ﹣6的解互为倒数，求a 的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？ （1）两车的速度各是多少？ （2）两车出发几小时后相距20km ？【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝62．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）； （2）﹣1．3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10．（1）求a 的值； （2）求方程正确的解．4．已知关于x 的方程2（x ﹣1）＝3m ﹣1与3x ﹣2＝﹣4的解相同，求m 的值．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量 单价（元）不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分m +1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m 的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值．()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例2解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．例3用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为cm，宽为cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 ．2．解方程： （1）＝；（2）﹣3．3．若关于x 的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4例2解方程组：（1）；（2）．例3已知方程组与有相同的解，求m 和n 值．例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型 甲 乙 运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（ ） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝42．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（ ）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−53．解方程组：．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答） （1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．a +c ＞b +c B ．ac ＜bcC ．ac 2＞bc 2D ．ac +1＞bc +1例2解不等式10−x 3≤2x +1，并在数轴上将解集表示出来．例3解不等式组{2x −2≤xx +2＞−12x −1，并把解集在数轴上表示出来．例4已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？例5为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？【随堂练习】1．若a ＞﹣1，则下列各式中错误的是（ ） A ．6a ＞﹣6 B ．a 2＞−12C ．a +1＞0D ．﹣5a ＜﹣52．解不等式： （1）x +1＞2x ﹣4； （2）−2x−13＞4．3．解不等式组﹣2≤7x−53+2＜5，并在数轴上表示出它的解集．4．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务．若每一个小区安排4人，那么还剩下78人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．求这个街道共选派了多少名志愿者？5．“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？综合运用1．若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．解方程： （1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元）小聪3109小明61817.4（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。
第7讲 方程与不等式(原卷版)
第7讲 方程与不等式一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性.一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤： ①.将含x 的式子用y 来表示，构建一个一元二次函数；②.令这个函数中的y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零点；③.利用图象开口与零点画出对应函数的草图； ④观察草图，得出不等式所对应的解集.高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．【典型例题】已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【变式训练】解方程组：【能力提升】解方程组：高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx ＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．【典型例题】解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；【变式训练】求不等式()()2460x x --≤的解．【能力提升】解下列不等式：（1）0622≥+--x x ； （2）012>++x x ； （3）(31)(1)4x x -+>．专题验收测试题1．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x 天精加工，y 天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ） A ．14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩2．点P （﹣3，m+1）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝11a b +，根据这个规则x ☆（x+1）＝32的解为（ ）A ．x ＝23B ．x ＝1C ．x ＝﹣23或1 D ．x ＝23或﹣1 4．若x ＝﹣1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1＝0的一个解．则m 的值是（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．25．不等式组31220x x ->⎧⎨-≥⎩ 的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若不等式组11322x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（ ）A ．m ≤4B ．m ＜4C ．m ≥4D ．m ＞47．如果x ay b =⎧⎨=⎩是方程x ﹣3y=﹣3的一组解，那么代数式5﹣a+3b 的值是（ ）A ．8B ．5C ．2D ．08．若方程22()mx m x +=-的解满足方程112x -=，则m 的值是（ ） A ．10 B ．25C ．10或25D ．10-或259．已知()()2222112a b ab +++=，那么22a b +的值是（ ）A ．3B ．-4C ．3或-4D ．-3或410．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩无解，则不等式组33x ax b>-⎧⎨<-⎩的解集是（ ）A ．3x a >-B ．3x b <-C ．33a x b -<<-D ．无解12．甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解，甲正确地求出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩，乙把ax -by =7看成ax -by =1，求得一个解为12x y =⎧⎨=⎩，则a ，b 的值分别为( )A ．25a b =⎧⎨=⎩B ．52a b =⎧⎨=⎩C ．35a b =⎧⎨=⎩D ．53a b =⎧⎨=⎩13．已知13ax b ≤+<的解集为23x ≤<，则()113a x b ≤-+<的解集为（ ） A ．23x ≤<B ．23x <≤C ．21x -≤<-D ．21x -<≤-14．如果关于x 的方程2(3)410a x x -+-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x-+=--有整数解，则符合条件的整数a 的和为（ ） A ．1B ．2C ．6D ．715．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩（其中a ，b 是常数）的解为34x y =⎧⎨=⎩，则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩的解为（ ） A ．34x y =⎧⎨=⎩B ．71x y =⎧⎨=-⎩C ． 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩D ． 3.50.5x y =⎧⎨=⎩16．已知关于x 的分式方程23(3)(6)36mx x x x x +=----无解，关于y 的不等式组21(42)44y yy m ≥⎧⎪⎨--<⎪⎩的整数解之和恰好为10，则符合条件的所有m 的和为（ ）A ．92B ．72 C ．52 D ．32 17．若关于x 的分式方程21111x mx x +-=--的解是负数，则m 的取值范围是_____． 18．a 2b 53a b 34x 2y 8+----=是二元一次方程，那么a ﹣b= ．19．关于t 的分式方程m 5t 22t+--=1的解为负数，则m 的取值范围是______． 20．已知直线y ＝kx ＋2与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝3x相交于B ，C 两点，若AB ＝3AC ，则k 的值为______．21．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n---=，则nm的值等于____．22．不等式组1x x m-⎧⎨⎩＞＜有2个整数解，则m 的取值范围是___23．如图，已知正方形ABCD 的边长为24厘米．甲、乙两动点同时从顶点A 出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是______厘米．24．关于,x y 的二元一次方程组3234x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足2x y，则a 的范围为_____．25．解方程： （1）33122x x x-+=--； （2）242111x x x++=---． 26．解不等式组：10231103x x x -<⎧⎪-⎨-≥⎪⎩． 27．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？28．对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为7，百位与个位上的数字之和也为7，那么称n 为“上进数”．(1)写出最小和最大的“上进数”；(2)一个“上进数”abcd ，若2b a =，且使一元二次方程240x x a -+=有两个不相等的实数根，求这个“上进数”．29．九二班计划购买A 、B 两种相册共42册作为毕业礼品，已知A 种相册的单价比B 种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同．（1）求A、B两种相册的单价分别是多少元？（2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25，如果设买A种相册x册．①有多少种不同的购买方案？②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．30．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元．（1）求x、y的值；（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？。
第2章方程与不等式
x2-3x+5=x2-3x+（3 ）2+5-（3 ）2
2
2
=（x- 3 ）2+ 11
2
4
解: x2+2x－2
= x2+2x+1-1-2
= (x+1)2 -3 ∵(x+1)2≥0
2.当x取何值时,x2+2x－2有 最小值? 并求出最小值.
∴(x+1)2-3≥-3
∴原式的最小值为-3,这时x=-1
3、请你用配方的方法说明，无论x取何值：
第2章 方程与不等式
2.1 配方法和一元二次方程 2.2 不等式的基本性质和区间 2.3 一元二次不等式及其解法 2.4 不等式组和含绝对值的不等式
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2.1用配方法解一元二次方程
1.用配方法解方程步骤是什么？ 2.用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0 (2)x2+3x-2=0
想一想：
的解集是（ ）
A. (b,)
B. (, a)
B.C. (a, b)
D. (, a) (b,)
答案：D
不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。 如：
什么是绝对值：
绝对值是指一个数在数轴上所对应点 到原点的距离，用“|x |”来表示
2.4 含绝对值的不等式
概念
绝对值符号内含有未知数的不等式叫做含绝对值的不等式.
不等式的解法
一般地，不等式 x a(a 0) 的解集为
(, a) (a, ) ，不等式 x a(a 0) 的解集为
(a, a) .
ax b c 或 ax b c(c 0) 型不等式转化为 x a 或
不等式与方程的区别
不等式与方程的区别不等式和方程是数学中常见的两个概念，它们虽然有一些相似之处，但在一些方面又有明显的区别。
下面将会从几个方面详细介绍不等式和方程的区别。
1.定义和含义：方程是一个数学等式，其中包含一个或多个未知数，要求找到这些未知数的取值，使等式成立。
方程通常用于求解问题，通过求解方程，可以得到未知数的具体解。
不等式是一个数学不等式，其中包含一个或多个未知数，并要求找到这些未知数的取值，使不等式成立。
不等式通常用于描述多个变量之间的关系，通过求解不等式，可以确定变量的取值范围。
2.解的性质：方程有两种解：一元方程有且只有一个解，多元方程可能有多个解。
解是使等式成立的未知数的具体取值。
例如，解方程2x+3=7，可以得到x=2，这是一个解。
不等式有多个解：一元不等式可以有无限多个解，且以不等号的方向为界，解集可能是半开半闭区间或无穷区间。
多元不等式的解可以用集合的形式表示，表示多组满足不等式条件的变量取值。
3.约束条件：方程的解是使等式成立的解，因此在一个方程中，解的取值是受到严格约束的，即只有符合等式的解才是方程的解。
不等式是在描述不同变量之间的关系，因此在一个不等式中，解的取值范围是非常广泛的，不等式的解集可能是一个区间、一个点或无数不连续的点。
4.解的表示：方程的解通常以一个具体的数值表示，如x=2、方程的解是唯一确定的，对于一元方程而言，可能只有一个解，也可能没有解。
对于多元方程而言，可能有无数个解。
不等式的解通常以一组数值或区间的形式表示，如x>2、不等式的解是由一组满足不等式的数值组成的集合。
对于一元不等式而言，解是一个区间或几个区间的并集，对于多元不等式而言，解是多个区域的交集。
综上所述，不等式和方程在定义和含义、解的性质、约束条件和解的表示等方面存在着明显的区别。
不等式描述了变量之间的关系，是多个解的集合；而方程要求等式成立，是一个或若干个解的具体数值。
数学中的不等式与方程组
数学中的不等式与方程组一、不等式的定义与性质数学中的不等式是指数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等。
不等式可以用来描述实际问题中的约束关系，常见于数学、物理、经济等领域的建模与求解过程中。
不等式的定义：设a和b为实数，则a不等于b可以表示为a≠b，a 大于b可以表示为a>b，a小于b可以表示为a<b，a大于等于b可以表示为a≥b，a小于等于b可以表示为a≤b。
不等式的性质包括传递性、对称性、加法性、乘法性等。
传递性指若a>b，b>c，则a>c；对称性指若a>b，则b<a；加法性指若a>b，则a+c>b+c，乘法性指若a>b，且c>0，则ac>bc。
这些性质在不等式的推导与解答过程中起到关键作用。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的不等式。
解一元一次不等式的基本思路是找到未知数的取值范围使不等式成立。
对于形式为ax+b>0的不等式，可按以下步骤求解：1. 若a>0，则不等式解集为(-∞, -b/a)；2. 若a<0，则不等式解集为(-b/a, +∞)；3. 若a=0且b>0，则不等式无解；4. 若a=0且b≤0，则不等式解集为(-∞,+∞)。
对于形式为ax+b<0的不等式，求解步骤与以上类似，只需将“>”号替换为“<”号即可。
类似地，对于形式为ax+b≥0和ax+b≤0的不等式，只需将“>”号替换为“≥”，“<”号替换为“≤”即可得到解集。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指未知数的最高次数为二的不等式。
解一元二次不等式的方法可以归结为求解一元二次方程的方法，即先化简不等式为二次方程，然后通过判别式和根的位置关系来确定不等式的解集。
对于形式为ax²+bx+c>0的一元二次不等式，可按以下步骤求解：1. 求出对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac；2. 若Δ>0，则方程有两个不相等的实根x₁和x₂，此时不等式的解集为(-∞, x₁)∪(x₂, +∞)；3. 若Δ=0，则方程有两个相等的实根x₁=x₂，此时不等式的解集为(-∞, x₁)∪(x₁, +∞)；4. 若Δ<0，则方程无实根，此时不等式的解集为空集。
研究方程与不等式的变化规律
研究方程与不等式的变化规律方程与不等式是数学中常见的概念，它们描述了数值之间的关系。
研究方程与不等式的变化规律，可以帮助我们更好地理解数学的本质，并在实际问题中应用数学知识。
本文将探讨方程与不等式的变化规律，从数学的角度深入剖析。
一、方程的变化规律方程是数学中最基本的表达式，它描述了两个量之间的平衡关系。
在研究方程的变化规律时，我们需要关注方程中各个元素的变化对整个方程的影响。
首先，我们来看一元一次方程的变化规律。
一元一次方程的一般形式是ax+b=0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
我们可以通过改变a和b的值来观察方程的解的变化。
当a=0时，方程变为bx=0，此时方程的解为x=0，即方程只有一个解。
而当b=0时，方程变为ax=0，此时方程的解为x=0，同样只有一个解。
如果a和b都不为0，那么方程的解为x=-b/a，此时方程有唯一的解。
接下来，我们来考虑一元二次方程的变化规律。
一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
我们可以通过改变a、b和c的值来观察方程的解的变化。
当a=0时，方程变为一元一次方程，其解的变化规律与上述一元一次方程相同。
而当a不为0时，方程的解的变化规律则更加复杂。
首先，我们可以通过判别式Δ=b^2-4ac的正负来判断方程的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
二、不等式的变化规律不等式是描述数值大小关系的数学工具，它在实际问题中具有广泛的应用。
研究不等式的变化规律可以帮助我们解决实际问题，并优化决策。
首先，我们来看一元一次不等式的变化规律。
一元一次不等式的一般形式是ax+b>0（或<0），其中a和b为已知常数，x为未知数。
我们可以通过改变a和b的值来观察不等式的解的变化。
当a>0时，不等式的解为x>-b/a（或x<-b/a）；当a<0时，不等式的解为x<-b/a（或x>-b/a）。
中学数学方程与不等式解法技巧
中学数学方程与不等式解法技巧方程和不等式是中学数学中重要的概念和解题方法。
掌握方程和不等式的解法技巧，有助于学生在数学学习中提高解题能力和解题速度。
本文将介绍几种常见的方程和不等式的解法技巧，帮助中学生更好地应对数学考试。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是最基础、最简单的方程形式，通常表示为：ax + b = 0。
解一元一次方程的方法主要有倒数法和积法。
1.倒数法：将方程中的未知数系数与常数互换位置并变号，然后将常数除以未知数系数，得到方程的解。
例如，对于方程2x - 3 = 0，可以使用倒数法解得：x = 3/2。
2.积法：可以通过两个等式的乘法来求解方程。
例如，对于方程3(x - 2) = 6，可以使用积法解得：x = 4。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是中学数学中比较常见的方程形式，通常表示为：ax^2 + bx + c = 0。
解一元二次方程的方法主要有公式法和因式分解法。
1.公式法：一元二次方程的解根可以通过求解韦达定理得到。
韦达定理公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别是一元二次方程中x的系数。
例如，对于方程x^2 - 2x - 3 = 0，可以使用公式法解得：x = (-(-2) ±√((-2)^2 - 4*1*(-3))) / (2*1)，化简得：x = (2 ± √(4 + 12)) / 2，再化简可得：x = (2 ± √16) / 2，最终得到两个解：x = 3或x = -1。
2.因式分解法：对于一元二次方程，如果可以将其因式分解，就可以很容易地求解方程。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，根据乘法原理可得：x + 2 = 0或x + 3 = 0，即x = -2或x = -3。
三、简单不等式的解法在数学中，不等式用来描述数之间的大小关系。