概率复习案1

一.随机事件与概率
(1)在条件S 下一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件；肯定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件；必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件．
(2) 在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件．一般用大写字母A ，B ，C 等表示随机事件，简称为事件．
(3)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的
次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n
为事件A 出现的频率． (4)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．
(5) 频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．
例1．给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是；②下周一某地的最高气温与最低气温相差；③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击1次，命中靶心；⑤当为实数时，．其中，必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有 ．
变式训练：下列结论正确的是________．(填序号)
① 事件A 的概率为P(A)，则必有0<P(A)<1；
② 事件A 的概率P(A)＝0.999，则事件A 是必然事件；
③ 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%；
④ 某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖．
例2．袋中有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是和，那么黑球共有 个．
变式训练：从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为________．
例3．一个口袋中装有5个白球与3个黑球，从中任意取出一只球．
（1）“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？
（2）“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件，它的概率是多少？
3:110C x 2440x x ++<0.400.35
例4
(1)
(2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
（1
（2）若再用此仪器测量该建筑物一次，求测得资料为70的概率．
例5、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列事件中：
①至少有1个黑球与都是黑球；②至少有1个黑球与至少有1个红球；
③恰有1个黑球与恰有2个黑球；④至少有1个黑球与都是红球。

是互斥事件的有_____________；是对立事件的有_____________．
变式训练：1.一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( )
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有.
①至少有一个红球,都是红球②至少有一个红球,都是白球
③至少有一个红球,至少有一个白球④恰有一个红球,恰有两个红球
3.给出下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②A,B是两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);
③若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则事件A,B 是对立事件.其中所有不正确命题的序号为.
二．古典概型概率
练习：判断下列命题是否正确：
（1）掷两枚硬币，等可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果；
（2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
（3） 从中任取一个数，取到的数小于与不小于的可能性相同；
（4） 分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同；
（5） 五人抽签，甲先抽签，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性不同． 例1、盒子中有大小相同的3只白球，2只红球.
（1）若从中一次取出两球，求至少有一个红球的概率
（2）若从中取出一球，不放回再取一球，求取出两球中恰有一个白球的概率
（3）若从中取出一球，放回后再取一球，求两球都是白球的概率.
例2、在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4、5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
（1） 求事件“取出的两个球上标号为相邻整数”的概率；
（2） 求事件“取出的两个球上标号之和能被3整除”的概率．
变式训练：1.(2014陕西,文6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45 2.(2014课标全国Ⅰ,文13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .
3.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是 .
4,3,2,1,0,1,2----00
4..(2014四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
古典概型的交汇问题
类型一古典概型与平面向量的交汇
例3连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ.则θ∈0,π
2
的概率是( )
A.5
12B.1
2
C.7
12
D.5
6
类型二古典概型与直线、圆的交汇
例4连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2-(y-b)2=4相切的概率为.
类型三古典概型与函数的交汇
例5设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=1
2
ax2+bx+1.
(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;
(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.
变式训练：将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:
(1)两数中至少有一个奇数的概率;
(2)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率.
古典概型与统计的综合问题
例6(2014福建,文20)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP 为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:
(1)
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
变式训练：(2017·成都模拟)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70,85)内，记为B 等；分数在[60,70)内，记为C等；60分以下，记为D等，同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．
(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；
(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．。