专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法b1高二12数学
复数的加法与减法 (1)相反数：a＋bi 的相反数为__－__a_－__b_i _； (2)复数的加法与减法 ①复数的加法与减法运算法则 两个复数相加(减)，就是把__实__部__与__实_部___、___虚__部__与_虚__部__分别相 加(减)． 即(a＋bi)＋(c＋di)＝___(a_＋__c_)＋__(_b_＋_d_)_i ； (a＋bi)－(c＋di)＝___(_a_－_c_)_＋_(_b_－__d_)i_．(其中 a，b，c，d∈R)
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法二：作出 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2，使O→Z1＋O→Z2＝O→Z， 因为|z1|＝|z2|＝1，又O→Z1、O→Z2 不共线(若O→Z1、O→Z2 共线，则|z1 ＋z2|＝2 或 0 与题设矛盾)， 所以平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形． 又|z1＋z2|＝ 2， 所以∠Z1OZ2＝90°，即 OZ1ZZ2 为正方形， 故|z1－z2|＝ 2.1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． 2．不要错用复数减法的几何意义．如|z＋1＋2i|表示复数 z 对应 的点与(－1，－2)的距离，而不是与(1，2)的距离．
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内容 总结 (nèiróng)
第三章 数系的扩充与复数(fùshù)的引入。第三章 数系的扩充与复数(fùshù)的引入。－a－bi。(a＋ c)＋(b＋d)i。按ESC键退出全屏播放
数系的扩充和复数的概念 课件
【答案】 B
(2)因为 x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数， 所以由复数相等的条件得xx＋ －23yy－ ＋14＝ ＝1－0， 5， 解得xy＝ ＝34， .
所以 x＝3，y＝4.
1．复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中 a，b，c，d∈R，则 z1＝z2⇔a＝c 且 b＝d.
【思路探究】 根据复数相等的充要条件求解．
【自主解答】 (1)命题①，②中未明确 a，b，x，y 是否 为实数，从而 a，x 不一定为复数的实部，b，y 不一定是复数 的虚部，故命题①②错；命题③中，y∈R，从而 y2－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得
y2－1＝0， －y－1＝0，
∴y＝1，故③正确．
1．解答本题的着眼点是复数的分类标准，但需注意对应 实、虚部的变量取值范围．
2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)当且仅当 a＝0，b≠0 时，z 为ห้องสมุดไป่ตู้虚数，在求解时，易忽略“b≠0”这一条件．
若将本例(1)中的“纯虚数”改为“虚数”，结论又如 何？
【解】 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是虚数，则 x2＋3x＋ 2≠0，
(1)复数的定义： 把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b ∈R)的数叫做复数．其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝ －1 . (2)复数的代数形式： 复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表 示形式叫做复数的代数形式，a 与 b 分别叫做复数 z 的实部 与 虚部 ． (3)复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集．记作 C ＝ {a＋bi|a，b∈R} .
实数 b＝0 ，
(a，b∈R)虚数 b≠0
纯虚数 a＝0 ， 非纯虚数 a≠0 .
2010～2019十年高考文科数学分类汇编专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算答案
专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算答案部分 2019年1. 解析：22i i 12i z =+=−+，12i z =−−.故选D. 2.解析 ()()222i 2i 2i 415z z ⋅=+−=−=+=.故选D.3.解析 因为(2i)(1i)(2)(2)i a a a ++=−++的实部为0，所以20a −=，即2a =．4.解法一：依题意可得，()()()()3i 12i 3i17i 12i 12i 12i 55z −−−===−++−，所以z ==6.解析：11i1i 2z −==+，2z ==. 7.解析 由(1i)2i z +=，得2i 2i(1i)1i 1i 2z −===++．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+−−+，其共轭复数为11i 22−，对应的点为11(,)22−，故选D ． 2．C 【解析】因为21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)−−=++=−+=++−z ，所以|z |1=，故选C ． 3．D 【解析】()i 23i 32i +=−+，故选D ．4．D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +−=−+−=+．故选D ．5．B 【解析】因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+−−+，所以复数21i−的共轭复数为1i −．故选B ． 6．C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．7．B 【解析】由复数的运算法则，2(1i)(2i)123i i 13i ++=⨯++=+，选B ．8．C 【解析】∵i(2i)12i z =−+=−−，∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z −−，位于第三象限，选C ．9．A 【解析】由i 1i z =+，得1i1i iz +==−，22(1i)2i z =−=−，选A ． 10．B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =−+=++−，因为对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨−>⎩，解得1a <−，故选B.11．A 【解析】因为(12i)(i)a ++=(2)(21)i a a −++，由已知的221a a −=+，解得3a =−．故选A ．12．C 【解析】由i 3i z +=−得，32z i =−，所以32z i =+，故选C ． 13．D 【解析】43||55z i z ==−，故选D ． 14．A 【解析】由题意知1z i zi ，21(1)1(1)(1)i i zi i i i ，所以|z |1．15．A 【解析】∵23z i ，所以23z i ．16．B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +−+===−+−−+，其对应的点坐标为(1,1)−，位于第二象限，故选B ．17．A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =−=−+=+=−． 18．C 【解析】32222i ii i i i i i ． 19．A 【解析】i i i i −=⋅=⨯31514607,选 B.20．D 【解析】由题意得，i iii i z −−=+−=+−=1121)1(2，故选D ．21．B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==．22．D 【解析】32(1)(1)i i +−=13322122i i ii i i −+−−+==−−−−．23．A 【解析】22z i =−+，∴12z z =(2)(2)5i i +−+=−． 24．B 【解析】131ii+=−12i −+． 25．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 26．D 【解析】由(34)25i z +=得2525(34)(34)3425i z i i −===−+，选D ． 27．C 【解析】1(1)(1)(1)2z ii z i i i i i i++⋅=+⋅−=−−++= 28．C 【解析】∵(32)z i i =−=23i +，∴23z i =−．29．A 【解析】73472525134343425i i ii i ii i.30．B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，选B ．31．D 【解析】由题知z =|43|34i i +−=3455i +，故z 的虚部为45，故选D ．32．A 【解析】()()()2122211112i i i iz i i i i +−+====−+−−+ 33．D 【解析】()()325z i −−=，得535,52z i z i i=+=+=−− 34．A 【解析】设z a bi =+，则z a bi =−，由22z zi z ⋅+=得，()()()222222a bi a bi i a b i a bi +−+=++=+i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22,所以选A35．C 【解析】2442iz i i+==−对应的点的坐标是()4,2−,故选C ． 36．C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，所以4z i =−． 37．D 【解析】211iz i i==++，1z i ∴=−。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2-3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修1-2
但 z1≠z2≠0.
_
_
(3)对．设 z＝a＋bi，z＝a－bi(b≠0，a∈R)，则 z－z
＝2bi 为纯虚数．(4)对．复数代数形式的运算要先乘除、
后加减． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
3．若
z＝1＋i 2i，则复数
_ z
等于(
)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
_ 的常规思路为设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝a－bi，代入所
给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.
1．复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式， 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配 律． (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除 法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭 复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
第三章 数系的扩充与复数的引入
[知识提炼·梳理]
1．复数的乘法 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2 ＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
解析：(1)错．两个复数互为共轭复数是它们的模相
等的充分条件．(2)错．如 z1＝1，z2＝i，满足 z21＋z22＝0，
1＋2i （1＋2i）（－i） 解析：z＝ i ＝ i·（－i） ＝2－i，
所以 z 的共轭复数为 2＋i.
答案：D
类型 1 复数的乘法运算(自主研析)
[典例 1] (1)已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y
＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( )
A．2
B．－2i
C．－4
高考数学一轮总复习 专题13 数系的扩充与复数的引入 13 数系的扩充与复数的引入课件
1i 1i
7.复数z=a+bi(a,b∈R)的模,也就是向量 OZ 的模,即有向线段 OZ 的长度, 计算公式:|a+bi|= a2 b2 . 当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|= a2 .这与以前关于实 数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对 值概念的扩充. 8.共轭复数及其运算性质
方法技巧
方法1 复数有关概念的解题方法
掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件,两个复数互为共轭复
数的充要条件,两个复数相等的充要条件.明确复数问题实数化是解决
复数问题的最基本的思想方法.
例1 (2018浙江杭州第一学期教学质检,11)设复数z= 25 i (其中i为虚数
单位),则复数z的实部为
2 3i
i
= (2 i23i)i
= 2i 3
1
=3-2i,则其虚部为-2,模为 32
(2)2
= 13
.
答案 -2; 13
考向二 复数的运算 例2 (2018浙江嘉兴第一学期期末,2)若复数z=2-i,i为虚数单位,则(1+z) (1-z)= ( ) A.2+4i B.-2+4i C.-2-4i D.-4 解析 由z=2-i,得(1+z)(1-z)=(3-i)(-1+i)=-3+3i+i-i2=-2+4i,故选B. 答案 B
z=a+bi与 z =a-bi(a,b∈R)互为共轭复数,且z+ z =2a,z- z =2bi,z· z =|z|2=| z |2,运
数系的扩充与复数的引入教师版
（A） （B） （C） （D）
【解题指南】用复数的运算法则实行计算.
【解析】选A.因为 ，所以
.
4.（2012·江西高考文科·Ｔ1）若复数z=1+i(i为虚数单位) 是z的共轭复数，则 + ²的虚部为（）
（A）0（B）-1（C）1（D）-2
【解题指南】先求得 ，然后化简 + ²，最终得到虚部.
[答案](1)A(2)C
例7：
(1)(2012·山西四校联考)设复数z的共轭复数为 ，若z＝1－i(i为虚数单位)，则 ＋z2的值为()
A．－3iB．－2i
C．iD．－i
解析：(1)依题意得 ＋z2＝ ＋(1－i)2＝ －2i＝i－2i＝－i.
拔高强化
1.（2012·天津高考理科·Ｔ1） 是虚数单位，复数 =（）
10.（2012·辽宁高考文科·Ｔ3）复数 ()
(A) (B) (C) (D)
【解题指南】复数代数形式的运算，将复数实行分母实数化.
【解析】选A. .
11.（2012·陕西高考文科·Ｔ4）与（2012·陕西高考理科·Ｔ3）相同
设 R,i是虚数单位,则“ ”是“复数 为纯虚数”的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(1)(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()
A．3＋5iB．3－5i
C．－3＋5iD．－3－5i
(2)(2011·重庆高考)复数 ＝()
A．－ － iB．－ ＋ i
C. － iD. ＋ i
[自主解答](1)z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i.
(2) ＝ ＝
＝ ＝ ＝ － i.
【解析】选A.因为 ，所以 ， ，
专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算答案
专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算答案部分1．D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,)22-，故选D ． 2．C 【解析】因为21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，所以|z |1=，故选C ． 3．D 【解析】()i 23i 32i +=-+，故选D ．4．D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ．5．B 【解析】因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，所以复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 6．C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．7．B 【解析】由复数的运算法则，2(1i)(2i)123i i 13i ++=⨯++=+，选B ．8．C 【解析】∵i(2i)12i z =-+=--，∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z --，位于第三象限，选C ．9．A 【解析】由i 1i z =+，得1i 1i iz +==-，22(1i)2i z =-=-，选A ． 10．B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-，故选B. 11．A 【解析】因为(12i)(i)a ++=(2)(21)i a a -++，由已知的221a a -=+，解得3a =-．故选A ．12．C 【解析】由i 3i z +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C ．13．D 【解析】43||55z i z ==-，故选D ． 14．A 【解析】由题意知1z i zi ，21(1)1(1)(1)i i z i i i i ，所以|z |1．15．A 【解析】∵23z i ，所以23z i ． 16．B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B ．17．A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．18．C 【解析】32222i i i i i i i i ． 19．A 【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B.20．D 【解析】由题意得，i ii i i z --=+-=+-=1121)1(2，故选D ．21．B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==． 22．D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i i i i i-+--+==----． 23．A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-．24．B 【解析】131i i+=-12i -+． 25．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 26．D 【解析】由(34)25i z +=得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，选D ． 27．C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++= 28．C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．29．A 【解析】73472525134343425i i i i i i i i .30．B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，选B ．31．D 【解析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D ． 32．A 【解析】()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+33．D 【解析】()()325z i --=，得535,52z i z i i=+=+=-- 34．A 【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，由22z zi z ⋅+=得，()()()222222a bi a bi i a b i a bi +-+=++=+i z b a a +=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22,所以选A 35．C 【解析】2442i z i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 36．C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，所以4z i =-．37．D 【解析】211i z i i==++，1z i ∴=-。
数系的扩充与复数的引入 课件
3x＋2y
－y
i
i ，求实数x，y的值．
分析 理解运算的定义，利用运算的定义转化为两个复
数相等求解．
解 由运算的定义知，
3x＋2y
－y
1i ＝(3x＋2y)＋yi，
∴(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi.
∵x，y为实数，由复数相等，
得xx＋ ＋y3＝＝3yx. ＋2y， 解得xy＝＝－2. 1， ∴x＝－的概念． (1)复数与复数集 形如__________的数叫做复数，其中i叫做__________， 全体复数所成的集合叫做__________，用字母__________表 示.
(2)复数的代数形式 复数通常用z表示，z＝__________叫做复数的代数形 式，其中a叫做复数z的__________，b叫做复数z的 __________． 2．复数的分类． (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当__________时，z为 实数．当__________时，z为虚数，当__________时，z为纯 虚数．
答案 (1)1或2 (2)－12
题型三 复数相等的充要条件的应用 例3 若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，求x，y的 值． 分析 由实部、虚部分别对应相等，列出关于x，y的方 程组，解方程组得解．
解 由(1＋i)x＋(1－i)y＝2，得 (x＋y)＋(x－y)i＝2， 依复数相等的充要条件有
(3)数集扩充后有 实数b＝0
复数z虚数纯非虚纯数虚数a＝0，b≠0 2．复数的代数形式 复数a＋bi(a，b∈R)中应注意以下几点： (1)a，b∈R必须注明，否则不是代数形式.
(2)z是实数⇔b＝0. (3)z为纯虚数⇔z＝bi(b≠0，b∈R)． (4)z为虚数⇔z＝a＋bi(b≠0，b∈R)． (5)z为复数⇔z＝a＋bi(a，b∈R)． 3．两个复数相等的充要条件 若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R) 则z1＝z2⇔c＝a，且b＝d.
高中数学数系的扩充和复数的引入数系的扩充与复数的概念数系的扩充和复数的概念数学.doc
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做02四则运算，且原有的加、乘运算虚数单位；(2)i可与实数进行□律仍然成立．2．复数的相关概念集合C＝{a＋b i|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R) 03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做的数叫做□05复数集．□复数通用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与叫做□虚部．3．复数的分类对于复数z＝a＋b i，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当09a＝b＝0时，它是实数0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11□a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d ∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．【跟踪训练1】下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A．① B．② C．③ D．④答案D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6m i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围．【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2. 拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( )A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D.2＋2i答案A解析3i－2的虚部为3,3i2＋2i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．答案±2，5解析由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±2，b＝5.4．设复数z＝1m＋5＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．答案3解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
第十三章 数系的扩充与复数的引入.pptx
方法技巧
方法 1 复数的有关概念与几何意义
实数(b 0)
1.复数(a+bi)的分类
虚数(b
0)
纯虚数(a 0) 非纯虚数(a
0)
2.处理有关复数概念的问题,首先要找准复数的实部与虚部(若复数为
非标准的代数形式,则应通过代数运算化为标准的代数形式),然后根据
定义解题.
例1 (2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模,1)已知i为虚数单
高考文数
第十三章 数系的扩充与复数的引入
知识清单
考点一 复数的概念与几何意义 1.复数的有关概念
2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复 平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.
其中,a,b∈R.
考点二 复数代数形式的四则运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则
1 i
的共轭复数 z = ( A ) A.1+3i B.1-3i
C.3+i D.3-i
解析 z(2+i)= 10⇒z= = 10=1-3i⇒10=1+3i.故选z A.
1 i (2 i)(1 i) 1 3i
复数的四则运算中,加减法相当于“合并同类项”,乘法相当于“多项 式乘多项式”,除法采用的方法是“分母实数化”,即分子、分母同乘 分母的共轭复数,类似于“分母有理化”的方法,可类比记忆.此外,一要 注意出现i2时用-1代替,二要注意“复数问题实数化”是解决复数问题 的最基本的思想方法. 例2 (2017湖北黄石调研,3)若复数z满足z(2+i)= 10(i为虚数单位),则z
位,若复数z=1 (aai ∈R)的实部为-3,则|z|= ( D )
数系的扩充和复数的概念 课件
得
解得m=2.
2
+ -2 = 4,
综上可知实数 m 的值为 1 或 2.
复数的分类
【例 3】 当实数 m 为何值时,复数 z=
m2 +m-6
+ (m2 − 2m)i
m
为: (1)
实数; (2)虚数; (3)纯虚数?
分析:根据复数的分类标准→列出方程(不等式)组→解出 m→
由复数相等的充要条件,
= 4,
2-1 + = 0,
3
得
解得
-1 = 3.
=- ,
3
2
2
所以 x=− , y = 4i.
反思在解决此类问题时,首先要明确条件中的字母所代表的意义.
不明确时,一定要注意设出相关的复数形式,满足复数相等的前提
条件后,再根据复数相等的充要条件建立方程(组)求解.
此列出方程或不等式(组)即可.
(3)准确把握复数集中各子集间的关系,有利于对复数概念的理解.
复数的概念和性质
【例1】 判断下列说法是否正确:
(1)当z∈C时,z2≥0;
(2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
(3)若a>b,则a+i>b+i.
分析:解答本题要严格按照复数的有关概念和性质进行判断.
解:(1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立.
和 3-y 不是复数(2x-1)+(3-y)i 的实部和虚部,不能直接利用复数相等
的充要条件来解,需要先把复数的实部和虚部分离出来,再利用复数
相等的充要条件化复数问题为实数问题进行求解.
解得
正解:由 y 是纯虚数,可设 y=bi(b∈R,且 b≠0),
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A 版选修22123003101．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解] 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1. ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c2＋b ＋d2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 解法二：设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
专题十三数系的扩充与复数的引入第三十三讲复数的计算
专题十三数系的扩充与复数的引入第三十三讲复数的计算在前面的学习中，我们已经了解了复数的定义和表示方法。
接下来，我们将学习如何进行复数的计算。
首先，我们来看一下复数的加法和减法。
设有两个复数A和B，分别表示为A=a+bi，B=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
那么复数A和B的加法为：A +B = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i复数A和B的减法为：A -B = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i复数的加法和减法与实数的运算法则是类似的。
接下来，我们来看一下复数的乘法。
设有两个复数A和B，分别表示为A=a+bi，B=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
那么复数A和B的乘法为：A *B = (a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数的乘法遵循交换律和分配律，与实数的乘法类似。
最后，我们来看一下复数的除法。
设有两个复数A和B，分别表示为A=a+bi，B=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
A /B = (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)] = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2 + d^2)需要注意的是，当分母等于零时，上述除法是无定义的，因为在实数范围内无法除以零。
所以，在复数的除法中，我们需要避免除数等于零的情况。
通过以上的解释，我们可以看到，复数的计算与实数的计算是类似的，只不过多了一个虚部的运算。
复数的计算可以通过实部和虚部的运算来进行，我们可以将复数的实部和虚部分开计算，最后再合成为一个复数。
除了基本的复数计算，还可以进行一些其他的复数运算，比如复数的乘方和复数的开方。
复数的乘方可以通过将复数连乘n次来计算，而复数的开方可以通过利用已知的平方根来计算。
综上所述，我们已经了解了复数的计算。
复数的计算与实数的计算类似，只是多了虚部的计算。
高中数学课件第三章 数系的扩充与复数的引入 2.1《复数的加减运算》
2．复数减法的几何意义 复数 z2－z1 是指连结向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向被减数 的向量Z→1Z2所对应的复数．
3．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何 图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复 数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中．
解法二：∵|z－i|＝|3＋4i|＝ 9＋16＝5， ∴复数 z 与复数 z1＝i 两点间的距离为常数 5，根据圆的 定义知，复数 z 的轨迹是圆．故应选 C.
∴另一条对角线的长|z1－z2|＝ 2.
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的
轨迹是
()
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
[答案] C
[解析] 解法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 总结： 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化 则由已知|z－i|＝|3＋4i|， 虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复 数模得的|问x＋题(y，－可1)以i|＝转|3化＋为4i复|，平面内两点间的距离解决． ∴ x2＋(y－1)2＝ 9＋16， 即 x2＋(y－1)2＝25. 故复数 z 在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5 为 半径的圆．
4.学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义， 应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外， 还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简 单化了．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2
，
与z1－z2对应的向量是
.
实战演练 [例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
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专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算2019年1.（2019全国II 文2）设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i2.（2019北京文2）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A（B （C ）3（D ）53.（2019江苏2）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 .4.（2019全国1文1）设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．15.（2019天津文9）i 是虚数单位，则的值51ii-+的值为__________. 6.（2019浙江11）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =___________. 7.(2019全国III 文2）若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i2010-2018年一、选择题1．(2018北京)在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2018全国卷Ⅰ)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 3．(2018全国卷Ⅱ)()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+4．(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5．(2018浙江)复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --6．（2017新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 7．（2017新课标Ⅱ）(1)(2)i i ++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 8．（2017新课标Ⅲ）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．（2017山东）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =A ．-2iB ．2iC ．-2D ．210．（2017北京）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞11．（2016年全国I 卷）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=A ．−3B ．−2C ．2D ．3 12．（2016年全国II 卷）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 13．（2016年全国III 卷）若43i z =+，则||zz = A ．1B ．1-C ．43i 55+ D ．43i 55- 14．（2015新课标1）设复数z 满足11zi z+=-，则||z =A ．1BCD ．2 15．（2015广东）若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i - 16．（2015安徽）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17．（2015山东）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 18．（2015四川）设i 是虚数单位，则复数32i i-= A ．i - B ．3i - C ．i D ．3i 19．（2015湖北）i 为虚数单位，607i的共轭复数为A ．iB ．i -C ．1D ．1-20．（2015湖南）已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 21．（2014新课标1）设i iz ++=11，则=||z A ．21B ． 22C ． 23D ． 222．（2014新课标1）32(1)(1)i i +-=A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --23．（2014新课标2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．5-B ．5C ．4i -+D ．4i -- 24．（2014新课标2）131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．1-2i D ．1-2i -25．（2014山东）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+ 26．（2014广东）已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =A ． 34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 27．（2014安徽）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i 28．（2014福建）复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于A ．23i --B ．23i -+C ．23i -D ．23i + 29．（2014天津）i 是虚数单位，复数734ii+=+A ．1i -B ．1i -+C ．17312525i + D ．172577i -+ 30．（2014重庆）实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 31．（2013新课标1）若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为A ．－4B ．－45C ．4D ．4532．（2013新课标2）设复数z 满足()12i z i -=，则z =A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -33．（2013山东）复数z 满足()()325z i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为A ．2+iB ．2-iC ． 5+iD ．5-i34．（2013安徽）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+=，则z =A ．1+iB ．1i -C ．1+i -D ．1-i -35．（2013广东）若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是A ．()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,236．（2013江西）已知集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{4}M N ⋂=，则复数z =A ．-2iB ．2iC ．-4iD ．4i 37．（2013湖北）在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 38．（2013北京）在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 39．如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是xA ． AB ．BC ．CD ．D 40．（2013辽宁）复数的11z i =-模为 A ．12BC D ．241．（2012新课标）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 42．（2012北京）在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ．（1,3） B ．（3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，） 43．（2012广东）设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 44．（2012辽宁）复数2-=2+iiA ．34-55iB ．34+55iC ．41-5iD ．31+5i45．（2012湖南）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 46．（2012天津）i 是虚数单位，复数73ii-+= A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 47．（2012浙江）已知i 是虚数单位，则31ii+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i +48．（2012江西）若复数1z i =+(i 为虚数单位)z 是z 的共轭复数 ， 则22z z +的虚部为A ．0B ．－1C ．1D ．－249．（2012山东）若复数z 满足()i i z 7112+=-（i 为虚数单位），则z 为(A)i 53+ (B) i 53- (C) i 53+- (D) i 53-- 50．（2012陕西）设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 51．（2011山东）复数z =22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限52．（2011安徽）设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 A ．2 B ．-2 C ．1-2 D ．1253．(2011新课标)复数212ii+-的共轭复数是A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i 54．（2011湖南）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 55．（2011广东）设复数z 满足(1+i )z =2，其中i 为虚数单位，则z =A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i 56．（2011辽宁）i 为虚数单位，=+++7531111i i i i A ．0 B ．2i C ．i 2- D ．4i57．（2011福建）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈ C ． 3i S ∈ D ．2S i∈ 58．（2011浙江）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3－iB ．3+iC ．1+3iD ．359．（2010新课标）已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A.14 B.12C.1D.260．(2010安徽)i=A ．1412- B ．1412+ C ．126i + D ．126- 二、填空题61．(2018天津)i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 62．(2018上海)已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z = ． 63．(2018江苏)若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 64．（2017天津）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 65．（2017浙江）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 66．（2017江苏）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______． 67．（2015天津）i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．68．（2015重庆）设复数(,R)a bi a b +∈，则()()a bi a bi +-＝ ． 69．(2014江苏)已知复数2(52)z i =+ (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 70．（2014浙江）已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -+＝________．71．（2014北京）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________．72．（2014湖南）复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________． 73．（2013重庆）已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则_________z = 74．（2013天津）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a + i )(1 + i ) = bi ，则a + bi = ． 75．（2012湖北）若31bii+-=a bi +（,a b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=____________. 76．（2011江苏）设复数ｚ满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是___．。