(新高考)2020版高考数学二轮复习专题强化训练(七)逻辑、算法理

合集下载

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(创新版)文档：题型1 第2讲集合与常用逻辑用语 Word版含解析

第2讲集合与常用逻辑用语[考情分析] 集合是高考的必考考点之一，多为选择题，试题比较简单，题型比较固定，为高考送分试题，经常以不等式解集，函数的定义域、值域为背景考查集合的概念及基本运算，有时也会出现一些集合的新定义问题；常用逻辑用语是高考命题的热点，考查题型也比较固定，考向主要分为四个部分：四种命题及其之间的关系，充分、必要条件的判断方法，含有量词的命题的否定与真假判断，含逻辑联结词的命题的真假判断.热点题型分析热点1 集合的基本概念利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析由题意知，0∈{1，a ＋b ，a }，又a ≠0，故a ＋b ＝0，得ba ＝－1，则集合{1,0，a }＝{0，－1，b }，可得a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2.故选C ．两集合相等的条件是集合中的元素分别相同，本题易忽视ba 本身所包含的a ≠0这一条件，而错误的得出：a ＋b ＝0或a ＝0；还需注意集合中元素的互异性这一特性：由a ＋b ＝0，可得a ＝1，b ＝－1或a ＝－1，b ＝1，显然a ＝1时，左、右两边集合中的两个元素是重复的，故舍弃.热点2 集合的基本运算先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，集合运算中的常用方法：(1)若给定的集合是无限、连续数集，不等式的解集，常借助数轴求解；(2)若给定的集合是点集，常借助函数的图象或方程的曲线求解；(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解.1.已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝9－x2}，则M∩N＝()A．{x|1<x≤3} B．{x|1≤x<3}C．{x|1≤x≤3} D．{x|1<x<4}答案 C解析M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{x|y＝9－x2}＝{x|9－x2≥0}＝{x|－3≤x≤3}，在数轴上表示出集合M，N，如图所示，则M∩N为图中阴影部分，所以M∩N＝{x|1≤x≤3}．故选C．2.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N ＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案 C解析由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C．3.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，∴A中元素共有9个，故选A．(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么，如第1题中，集合M中的元素是y，所求集合为函数的值域，集合N中元素为x，所求集合为函数的定义域；第2题中，集合中的元素是x，所求集合为不等式解集；第3题中，集合中的元素是(x，y)，所求集合为函数图象上的点集.(2)在集合化简时，要注意正确求解代表元素的取值范围，再借助数轴图或函数图进行运算解决.热点3以集合为载体的创新题以考查探究能力和创新能力为目的，使用已有的数学知识去分析和解决问题.(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()A．15 B．16 C．20 D．21答案 D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x ＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．本题中x1∈A，x2∈B，忽视任何一个条件，都会导致失误丢分！热点4四种命题及其之间的关系1.由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.2.两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，当一个命题判断不易时，可转化为判断其逆否命题的真假.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个答案 C解析若c＝0，则原命题不成立，由等价命题同真假知其逆否命题也为假；逆命题：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”．由ac2>bc2知c2>0，由不等式的基本性质得a>b，所以逆命题为真，由等价命题同真假知否命题也为真，所以真命题共有2个．故选C．写一个命题的其他三种命题形式时，若命题有大前提，需保留大前提不变，只改变条件和结论．判断命题真假时，要注意原命题与逆否命题同真假，故四个命题中真、假命题必有偶数个．本题中“设a，b，c∈R”是大前提，在原命题的判断中易忽略c＝0的特殊情况而得出真命题，从而错选D．热点5充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的三种方法：(1)利用定义判断.(2)利用集合间的包含关系判断.(3)利用等价转换法判断利用p⇒q与綈q⇒綈p，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系进行判断，对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法．1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若∃λ＜0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是π，那么m ·n ＝|m ||n |cosπ＝－|m ||n |＜0，反过来，若m ·n ＜0，那么两向量的夹角为⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件，故选A ．2．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [9，＋∞)解析解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x <－2或x >10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q 对应的集合为{x |x <1－m 或x >1＋m }(m >0)．设A ＝{x |x <－2或x >10}，B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m }(m >0)， ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴BA ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，即p 是q 的充分而不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}，由p 是q 的充分而不必要条件知NM ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．(1)第1题误区有两个方面：①由“存在负数λ，使得m ＝λn ”不能得出向量反向，由“m·n ＜0”，不能得出θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π；②由向量m 与n 反向能得出m·n <0，而认为m ·n <0也能得出m 与n 反向．(2)对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．但第2题中由NM ，易误解为⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m >10，得m >9.热点6 简单的逻辑联结词、全称命题与特称命题1．含有逻辑联结词的命题的真假判断步骤确定复合命题的构成形式⇨判断其中简单命题的真假⇨根据真值表判断复合命题的真假2．全(特)称命题的否定及真假的判断方法(1)含有全称量词的全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；含有存在量词的特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．(2)有些全称(或特称)命题省略了全称(或存在)量词，否定时要先理解其含义，再进行否定．1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B解析当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B ．2．(2019·福州质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0，故选C ．判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．真题自检感悟1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案 B解析解不等式x 2－x －2>0得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，所以可以求得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B ．2.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ．∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C ．3.(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，∴－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A ．4.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R ).对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题.对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题.对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z －2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题.对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z －＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B ．5.(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC→|>|BC →|”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC→＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →||AC →|·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC→的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C ．专题作业一、选择题1.(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝()A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}答案 B解析由题意可得，∁R B ＝{x |x <1}，结合交集的定义可得，A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}．故选B ．2.(2019·焦作模拟)命题p ：cos θ＝22，命题q ：tan θ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析由cos θ＝22，得θ＝±π4＋2k π，k ∈Z ，则tan θ＝±1，故p ⇒/q ，p 是q 的不充分条件；由tan θ＝1，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，则cos θ＝±22，故q ⇒/p ，p 是q 的不必要条件；所以p 是q 的既不充分也不必要条件．故选D ．3.(2019·海南联考)已知集合A ＝{x |3x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |log 2(2x －1)≤0}，则A ∩B 等于( )A ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤23B ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤1 C ．{x |－1≤x ≤1} D ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜x ≤23答案 D解析由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴A ∩B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜x ≤23，故选D ．4.(2019·郑州质测)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βC ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分也不必要条件答案 B解析当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，所以A 是假命题；若α＝3π4，β＝－π4，则cos(α＋β)＝cos α＋cos β，所以B 是真命题；|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝－21＝－2，即a 在b 方向上的投影为－2，所以C 是假命题；“|x |≤1⇔－1≤x ≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件，所以D 是假命题，故选B ．5.(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析绝对值不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12⇔－12<x －12<12⇔0<x <1，由x 3<1⇔x <1.据此可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12是x 3<1的充分而不必要条件．故选A ． 6.(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以若“m ∥n ”，则“m ∥α”；当“m ∥α”时，m 不一定与n 平行，所以“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．7.已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1] 答案 B解析由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．8.命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”成立的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≥4 D ．a >4答案 D解析命题成立的充要条件是∀x ∈[1,2)，a ≥x 2恒成立，即a ≥4.∴命题成立的一个充分不必要条件可以是a >4.故选D ．9.下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x 0>0，x 0∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“ab ＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，所以C不正确；当a >1，b >1时，显然ab >1，故D 正确. 10.已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题p 和q 都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，－1)答案 C解析对于p 成立，a ≥(e x )max ，∴a ≥e.对于q 成立，知x 20＋4x 0＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，解得a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.故选C ．11.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30答案 C解析当x 1＝0时，y 1∈{－1,0,1}，而x 2，y 2∈{－2，－1,0,1,2}，此时x 1＋x 2∈{－2，－1,0,1,2}，y 1＋y 2∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以A ⊕B 中元素的个数为5×7＝35.当x 1＝±1时，y 1＝0，而x 2，y 2∈{－2，－1,0,1,2}，此时x 1＋x 2∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，y 1＋y 2∈{－2，－1,0,1,2}．由于当x 1＋x 2∈{－2，－1,0,1,2}，y 1＋y 2∈{－2，－1，0,1,2}时，A ⊕B 中的元素与x 1＝0时有重复的元素，此时不重复的元素个数为2×5＝10，所以A ⊕B 中元素的个数为35＋10＝45.故选C ．12.给出下列四个命题：①“若x 0为y ＝f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件为“a ·b <0”； ③若命题p ：1x －1<0，则綈p ：1x －1≥0； ④命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”. 其中不正确命题的编号是( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③答案 D解析对于①，“若x 0为y ＝f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0”的逆命题为“若f ′(x 0)＝0，则x 0为y ＝f (x )的极值点”，不正确，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝0，可得x 0＝0，但x 0＝0不是极值点，故①错误；对于②，“平面向量a ，b 的夹角是钝角”等价于“a ·b <0，且a·b 不共线”，则“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b <0”，故②错误；对于③，若命题p ：1x －1<0，则綈p ：1x －1≥0或x ＝1，故③错误；对于④，命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故④正确．故选D ．二、填空题13.已知全集U ＝R ，集合A ，B 满足A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅.若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的取值范围是________.答案 (2,4]解析 ∁U A ＝{x |x <－2或x >7}，∵B ≠∅，∴m ＋1<2m －1，得m >2；∵(∁U A )∩B ＝∅，∴B ⊆A ，∴m ＋1≥－2 且2m －1≤7，得m ≤4且m ≥－3，∴m ∈(2,4].14.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则m ≥tan π4＝1，于是实数m的最小值为1.15.(2019·山东济南一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43解析解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.16.已知集合A ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2，得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∵x ＋m 2≥2，即x ≥2－m 2，又由题意知A ⊆B ， ∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516.∴m ≥54或m ≤－54.。

2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.7.2常用逻辑用语Word版含答案

常用逻辑用语一、选择题1．命题“存在 x 0∈ R, 2x 0≤0”的否认是 ()A ．不存在 x 0∈ R, 2x 0>0B ．存在 x 0∈ R, 2x 0>0 xC ．对随意 x ∈ R, 2 ≤0D ．对随意 x ∈ R, 2x >0分析：此题主要考察全称命题与特称命题．x由题意知，原命题的否认为“对随意 x ∈ R, 2 >0”．答案： D2．以下命题中的假命题是 ()A ． ? x ∈ R ， e x >0B. ? x ∈ R ， x 2≥0 C ． ? x 0∈ R ，sin x 0＝ 2D.? x 0∈R,2 x 0> 02x分析：此题考察命题真假的判断． ? x ∈R ， sin x ≤1<2，所以 C 选项是假命题．答案： C3．命题“若 x >1，则 x >0”的否命题是 ( )A ．若 x ≤1，则 x ≤0 B. 若 x ≤1，则 x >0 C ．若 x >1，则 x ≤0D.若 x <1，则 x <0分析：此题考察否命题的观点．依题意，命题“若x >1，则 x >0”的否命题是“若 x ≤1，则x ≤0”．答案： A4． l 1， l 2 表示空间中的两条直线，若 p ： l 1 ， l 2 是异面直线， q ： l 1，l 2 不订交，则 ()A ． p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必需条件B ． p 是 q 的必需条件，但不是 q 的充分条件C ． p 是 q 的充分必需条件D ． p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必需条件分析：两直线异面，则两直线必定无交点，即两直线必定不订交；而两直线不订交，有可能是平行，不必定异面，故两直线异面是两直线不订交的充分不用要条件．答案：A5．“ sinα ＝ cosα”是“ cos 2α＝0”的 ()A ．充分不用要条件B. 必需不充分条件C ．充分必需条件D.既不充分也不用要条件分析：∵cos 2 α＝ cos 2α－ sin 2α ，∴当sinα＝ cosα时， cos 2α＝ 0，充分性建立；当 cos 2 α ＝ 0时，∵ cos 2α－ sin2α＝ 0，∴ cosα＝ sinα或cosα＝－ sinα，必需性不建立．答案： A6．已知 p ： x ≤1， q ： x 2－ x >0，则 p 是?q 的 ()A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件分析：此题考察充要条件的判断．依题意，?q ： x 2－x ≤0，即 0≤ x ≤1；由 x ≤1 不可以得悉0≤ x ≤1；反过来，由 0≤ x ≤1可得 x ≤1. 所以， p 是?q 建立的必需不充分条件．答案： B7．若 a >0， b >0，则“ a ＋ b ≤4”是“ ab ≤4”的 ()A ．充分不用要条件B. 必需不充分条件C ．充分必需条件D.既不充分也不用要条件分析：∵a >0，b >0 且 4≥ a ＋ b ≥2ab ，∴ 2≥ab ，∴ ab ≤4，即a ＋b ≤4?ab ≤4，若a ＝ 4，11b ＝ 4，则 ab ＝1≤4，但 a ＋ b ＝ 4＋ 4>4，即 ab ≤4推不出 a ＋ b ≤4，∴ a ＋ b ≤4是 ab ≤4的充分不用要条件．答案： A8．(2019 ·赣州检测 ) 已知命题：存在 0<0， 1≤1，命题：对随意 x∈R ， 2－＋1≥0，px2xqxx以下命题为真命题的是 ( )A ．?qB. p 且 q C ．或?D.? p 且qpq1 x2分析：因为当 x <0 时，函数 y ＝ 2 >1，故命题 p 为假命题；当 x ∈R 时，函数 y ＝ x －x ＋ 1＝ 1 2 3 3x －＋ ≥ ，故命题 q 为真命题．2 4 4 答案： D9．(2019 ·临沂三模 ) 以下命题中：①若命题 p ： ? x ∈ R ，x 2 － x2≤0，则?p ： ? x ∈R ， x－ x>0；②将 y ＝ sin 2 x 的图象沿 x 轴向右平移πy ＝sinπ ；个单位，获得的图象对应函数为2x －661③“ x >0”是“ x ＋ x ≥2”的充分必需条件；2222④已知 M ( x ，y ) 为圆 x ＋y ＝ R 内异于圆心的一点，则直线 x x ＋ y y ＝ R 与该圆订交．此中正确的个数是 ( )A ． 4B.3C.2D.1分析：关于①若命题 p ： ? x22∈ R ， x － x ≤0，则?p ： ? x ∈ R ， x － x>0，故正确．②将 y ＝ sin 2 x 的图象沿 x 轴向右平移 π个单位，获得的图象对应函数为y ＝sin 2x － π，6 3故错误．1③“ x >0”是“ x ＋ x ≥2”的充分必需条件，故正确．222222④已知 M ( x 0，y 0) 为圆 x ＋ y ＝ R 内异于圆心的一点，则 x 0 ＋ y 0 <R ，所以圆心 (0,0) 到直线 x 0x ＋y 0y ＝ R 2 的距离 d ＝ | R 2| >R ，所以该直线与该圆相离，故错误．x220＋ y 0 答案： C10．已知会合 A ＝ x 1x<8，B ＝ { x | － 1<x <m ＋ 1} ，若 x ∈ B 建立的一个充分不用要的条<2 2件是 x ∈ ，则实数的取值范围是 ()A mA ． m ≥2B. m ≤2 C ． >2D. <2mm分析：A ＝ x 1 x＝ { x | －1<x <3 } ，因为 x ∈ B 建立的一个充分不用要的条件是x ∈ A ，<2 <82所以 A B ，故 m ＋ 1>3，即 m >2. 答案： C11．(2019 ·深圳模拟 ) 以下说法正确的选项是 ( )A ．命题“若 x 2－ 3x － 4＝ 0，则 x ＝4”的否命题是“若 x 2－ 3x － 4＝ 0，则 x ≠4”B ． a >0 是函数 y ＝ x a 在定义域上单一递加的充分不用要条件C ． ? x 0∈ ( －∞， 0) ，2 018 x 0<2 019 x 0D ．若命题： ? ∈N, 3n >2018，则? ： ? 0∈ N ， 3 0≤2 018pnp n n分析：命题“若 x 2－3x － 4＝ 0，则 x ＝4”的否命题是“若 x 2－ 3x －4≠0，则 x ≠4”，故 A 错；当＝2时， y ＝ x 2 在定义域上不但一，充分性不建立，故B 错．a? x ∈ ( －∞， 0) 时， 2 018x>2 019 x ，故 C错；n∈ N, 3n命题 p ： ? n ∈ N, 3 >2 018 ，则?p ： ? n ≤2 018 ，故 D 对．答案： D 12．以下说法错误的选项是 ( )A ．命题：“若 x 2－ 5x ＋6＝ 0，则 x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则 x 2－ 5x ＋6≠0”22B ．若命题 p ：存在 x 0∈R ， x 0＋ x 0＋ 1＜ 0，则?p ：对随意 x ∈ R ， x ＋ x ＋1≥0C ．若 x ， y ∈ R ，则“ x ＝ y ”是“ xy ≥x ＋y 2”的充要条件2D ．已知命题p和，若“ p 或 q ”为假命题，则命题p 与 q 中必一真一假q分析：由逆否命题的定义知 A 正确；由特称命题的否认知 x ＋ y2B 正确；由 xy ≥? 4xy ≥(x2222xy ? ( x － 2≤0? x ＝ y 知 C 正确；关于 D ，命题 p 或 q 为假命题，则＋y ) ? 4xy ≥x ＋ y ＋ 2 y ) 命题 p ， q 均为假命题，所以 D 不正确．答案： D 二、填空题13．已知命题 p ： ? x 0∈R ， sin x 0>a ，若?p 是真命题，则实数 a 的取值范围为.分析：依题意得， ? x ∈ R ， sin x ≤ a 恒建立，于是有 a ≥1. 答案： [1 ，＋∞)14．记不等式 x 2＋ x － 6<0 的解集为会合 A ，函数 y ＝ lg( x － a ) 的定义域为会合 B . 若“ x ∈ A ” 是“ x ∈ B ”的充分条件，则实数 a 的取值范围为.分析：不等式x 2＋－ 6<0 的解集为＝ ( －3,2) ，函数 y ＝lg( x － ) 的定义域为＝( ，＋x Aa B a∞) ．由“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分条件，得实数 a 的取值范围为 ( －∞，－ 3] ．答案： ( －∞，－ 3]15．已知命题 p ： ? x 0∈R ， e x 0－ mx 0＝0， q ： ? x ∈ R ， x 2＋ mx ＋1≥0，若 p ∨?q 为假命题，则实数 m 的取值范围是.分析：因为 p ∨? 为假命题，故p 假， q 真．q当命题 p 为假时，方程 e x － mx ＝0 无解，在同一坐标系内分别作出函数y ＝ e x ，y ＝ mx 的图象，当直线 y ＝mx 与函数 y ＝ e x 的图象相切时，利用导数易得 m ＝ e. 故当 0≤ m ＜ e 时，方程无解，即命题p 为假命题．当命题q 为真时， 2 －4≤0，解得－ 2≤ ≤2. 综上可知 0≤ ≤2时，命m m m题 p ∨(? q ) 为假命题．答案： [0,2]16．以下四个结论：①若 x >0，则 x >sin x 恒建立；②命题“若 x － sin x ＝ 0，则 x ＝0”的抗命题为“若x ≠0，则 x － sin x ≠0”；③命题“若 x 2－ x ＝ 0，则 x ＝ 0 或 x ＝1”的否命题为“若 x 2－x ≠0，则 x ≠0且 x ≠1”；④命题“ ? x ∈ R ， x －ln x >0”的否认是“ ? x ∈ R ，x － ln x ≤0”．此中正确的结论是.分析：记f ( x) ＝－ sin ， >0，则 f ′( ) ＝ 1－ cos x ≥0，函数 f ( x ) 在(0，＋∞ ) 上是增x x x x函数，所以当 x >0 时， f ( x )> f (0) ，即 x － sin x >0， x >sin x ，①正确；命题“若x － sin x＝0，则＝0”的抗命题为“若x ＝ 0，则 x － sin x ＝0”，②不正确；命题“若x 2－＝0，x x 则 x ＝ 0 或 x ＝1”的否命题为“若 x 2－ x ≠0，则 x ≠0且 x ≠1”， ③正确；命题“ ? x ∈ R ，x－l n x>0”的否认是“ ? x0∈ R，x0－ ln x0≤0”，④正确．综上所述，此中正确的结论是①③④ .答案：①③④。

专题七数学建模 2023高考数学二轮复习课件

目录
角度一指数、对数运算模型
【例1】某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝

2020年高考数学(文)二轮复习命题考点串讲系列-专题17 算法、复数、推理与证明(含答案解析)

2020年高考数学（文）二轮复习命题考点串讲系列-专题17 算法、复数、推理与证明1、考情解读1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．2、重点知识梳理一、算法框图与复数 1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种． (2)三种基本的算法结构①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构． ③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构． 2．复数(1)复数的相关概念及分类①定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足i 2＝－1.②分类：设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )z ∈R ⇔b ＝0；z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎨⎧a ＝0b ≠0.③共轭复数：复数a ＋b i 的共轭复数为a －b i. ④复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a 、b 、c 、d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a 、b ∈R )． (3)运算法则①加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. ②乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. ③除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd＋bc －ad ic 2＋d 2.(4)复数加减法的几何意义①加法：若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②减法：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向OZ 1→的终点的向量对应的复数．二、推理与证明 1.合情推理 (1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 2．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．3、高频考点突破考点1 程序框图例1．【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤ 【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =n=n +1输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n 开始【答案】C【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B. 32C ．－12 D.12 【答案】D【解析】每次循环的结果依次为： k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin 5π6＝12.选D. 考点2 复数的概念例2．【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．【变式探究】【2016高考新课标3文数】若i 12z =+，则4i1zz =-（） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ．【变式探究】(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B考点3 复数的四则运算例3．【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【2016高考天津文数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．【变式探究】(2015·北京，1)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i【解析】i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 【答案】A 考点4 类比推理例4、【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【变式探究】在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则1h21＝1CA2＋1CB2；类比此性质，如图，在四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为________．【答案】1h2＝1P A2＋1PB2＋1PC2【解析】本题考查了合情推理的能力．连接CO并延长交AB于点D，连接PD，由已知可得PC⊥PD，在直角三角形PDC中，DC·h＝PD·PC，则PD2＋PC2·h＝PD·PC，所以1h2＝PD2＋PC2PD2·PC2＝1PC2＋1PD2.容易知道AB⊥平面PDC，所以AB⊥PD，在直角三角形APB中，AB·PD＝P A·PB，所以P A2＋PB2·PD＝P A·PB，1PD 2＝P A 2＋PB 2P A 2·PB 2＝1P A 2＋1PB 2，故1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)．【变式探究】在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a 、b 、c 、p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，一同学已正确算出OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a )y ＝0，则OF 的方程为：(________)x ＋(1p －1a )y ＝0.【答案】1c －1b【解题分析】观察E ，F 两点可以发现，E 、F 两点的特征类似，E 是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．y p ＝1，两式相减得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．考点5 直接证明与间接证明例5、若数列a n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称a n 为E 数列．记S (a n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个满足a 1＝a 5＝0，且S (A 5)>0的E 数列A 5；(2)若a 1＝12，n ＝2000，证明：E 数列a n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011.【解题分析】解答这类新定义题型，一定要先弄清新定义的含义，由条件知E 数列{a n }任意两邻两项相差1，故可据此任意构造E 数列，同时，E 数列{a n }递增⇔a n ＋1－a n ＝1. 学@科网【变式探究】已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【解析】(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，假设数列{b n }中存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1.两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． ∴假设不成立．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列． 4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．【考点】复数运算，复数基本概念 2.【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i + 【答案】B 【解析】由题意，故选B.3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算4.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B5.【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【考点】复数的运算6. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】Bx=时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【解析】由题意得4【考点】程序框图7.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n，那么在和A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【答案】D8.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.【考点】循环结构流程图9.【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D 【考点】推理10. 【2017课标II ，文10】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】阅读流程图，初始化数值.循环结果执行如下：【考点】循环结构流程图11.【2017北京，文3】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C.【考点】循环结构12.【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a aii i i-----+-+===-++-为实数，13.【2017北京，文14】某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】6,12【考点】1.不等式的性质；2.推理.14.【2017江苏，2】已知复数(1i)(12i),z=++其中i是虚数单位，则z的模是.10【解析】(1)(12)1122510z i i i i=++=++==10【考点】复数的模15.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x的值为116,则输出的y的值是.【答案】-2【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为-2． 1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n 开始【答案】C2.【2016高考新课标3文数】执行下图的程序框图，如果输入的46，，那么a b==输出的n=（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B3.【2016年高考四川文数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B4.【2016高考新课标2文数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C5.【2016年高考北京文数】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】输入1=a ，则0=k ，1=b ；进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B.6.【2016高考山东文数】执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】37.【2016高考天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B【解析】依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B. 8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 .【答案】91.【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 【答案】B【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B. 2.【2016高考新课标3文数】若i 12z =+，则4i1zz =-（）(A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 3.【2016高考新课标2文数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，【答案】A【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.4.【2016年高考北京文数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_____.【答案】－1【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：－15.【2016高考山东文数】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B【解析】设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B. 6.【2016高考天津文数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为___.【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．7.【2016高考江苏卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是______. 【答案】5【解析】(12)(3)55=+-=+，故z的实部是5z i i i1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)【答案】B【解析】第一次循环：S＝1－1＝0，t＝1＋1＝2；x＝0，y＝2，k＝1；第二次循环：S＝0－2＝－2，t＝0＋2＝2，x＝－2，y＝2，k＝2；第三次循环：S＝－2－2＝－4，t＝－2＋2＝0，x＝－4，y＝0，k＝3.输出(－4，0)．2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A．2 B．1 C．0 D．－1【答案】C3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A．s≤34B．s≤56C．s≤1112D．s≤2524【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此s＝12＋14＋16＝1112(此时k＝6)还必须计算一次，因此可填s≤1112，选C.4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________.【答案】116【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.6．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7．(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i【答案】D【解析】因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D. 8．(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( ) A ．－i B ．－3i C ．i D ．3i 【答案】C【解析】i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i.选C. 9．(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i【答案】A 【解析】∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 10．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( ) A ．1 B . 2 C. 3 D ．2 【答案】A 【解析】由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i＝i ，∴|z |＝|i|＝1. 11．(2015·重庆，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________．【答案】3【解析】由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 1. 【2014高考安徽卷文第1题】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则zi z i+⋅=（） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2 【答案】C【解析】由题意21(1)(1)1112z i i ii z i i i i i i i i+++⋅=+-=++=-++=，故选C. 【考点定位】复数的运算、共轭复数.2. 【2014高考北京版文第9题】复数21()1i i+=- .【答案】1-【解析】i i i i i i i ==+-+=-+22)1)(1()1(112，所以1)11(22-==-+i ii . 【考点定位】复数的运算3. 【2014高考福建卷第1题】复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i + 【答案】C【解析】依题意可得32,23z i z i =+∴=-.故选C.【考点定位】复数的运算.4. 【2014高考广东卷文第2题】已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（） A.34i - B.34i + C.34i -- D.34i -+ 【答案】A【考点定位】复数的四则运算5. 【2014高考湖北卷文第1题】 i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （）A. 1-B. 1C. i -D.i 【答案】A【解析】因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选A.【考点定位】复数的运算6. 【2014高考湖南卷第1题】满足i ziz =+（i 是虚数单位）的复数=z （） A.i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121-- 【答案】B 【解析】由题可得()()()()111111122i i z i i i z i zi z i i z i z i i i -++-=⇒+=⇒-=-⇒===---+, 故选B.【考点定位】复数运算7. 【2014高考江苏卷第2题】已知复数2(52)Z i =-（i 为虚数单位），则复数Z 的实部是 .【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21．【考点定位】复数的概念8. 【2014江西高考文第1题】z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （）A.i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 【答案】D【解析】设,(,)z a bi a b R =+∈，则,z a bi =-由2=+z z 得：1a =，由2)(=-i z z 得：1b =-，所以1,z i =-选D.【考点定位】共轭复数9. 【2014辽宁高考文第2题】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【答案】A 【解析】因为5223(2)z i z i i =+∴=+-，故选A. 【考点定位】复数的运算.10. 【2014全国1高考理第2题】=-+23)1()1(i i （） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D【解析】由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．【考点定位】复数的运算11. 【2014全国2高考文第2题】设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i 【答案】A【解析】由题意知：22z i =-+，所以12z z =-5，故选A 。

专题09算法-2020年高考数学(理)二轮专项复习

专题09算法算法是高中数学课程中的新增内容，是中国数学课程内容的一个新特点．“算法”过程是指机械式地依照某种确立的步骤行事，经过一系列小的简单计算操作达成复杂计算的过程．算法的学习内容大概可分为三个步骤：用自然语言描绘算法；精准刻画算法(程序框图 )；计算机实现履行算法(程序语言的描绘过程)．算法思想贯串高中数学课程的有关部分．【知识重点】1．算法：算法能够理解为由基本运算及规定的运算次序所组成的完好的解题步骤，或许当作依照要求设计好的有限确实切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．现代意义上的“算法”往常是指能够用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤．2．程序框图(程序框图程序框图：用一些通用的符号组成一张图来表示算法，这类图称为程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形 )．用框图表示算法步骤的一些常用的图形符号：程序框名称功能终端框 (起止框 )表示一个算法的开端和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息办理框 (履行框 )赋值、计算判断某一条件能否建立，建即刻在出口处判断框注明“是”，不建即刻注明“否”↓→流程线 (指向线 )引导流程图的方向连结点连结另一页或另一部分的框图程序框图的三种基本逻辑构造：次序构造：描绘的是最简单的算法构造，语句与语句之间、框与框之间按从上到下的次序进行 (如图 9－ 1)．图 9－1条件分支构造：依照指定条件选择履行不一样指令的控制构造(如图 9－ 2)．图 9－2循环构造：依据指定条件决定能否重复履行一条或多条指令的控制构造(如图 9－ 3)．图 9－33．几种基本算法语句任何一个程序设计语言中，都包含五种基本的算法语句，即输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句．输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息、输出结果的功能；赋值语句是用来表示赋给某一个变量一个详细确实定值的语句；条件语句是办理条件分支逻辑构造的算法语句；循环语句是用来办理算法中的循环构造的语句．4．中国古代算法事例：更相减损之术、展转相除法：求两个正数的最大公因数的方法．展转相除法算法步骤：第一步：用两数中较大数除以较小数，求商和余数．第二步：用除数除以余数．第三步：重复第二步，直到余数为0．第四步，得出两数的最大条约数，即余数 0 以前的余数．更相减损术算法步骤：第一步：用较大数减去较小数，获得差．第二步：比较减数与差的大小，再用较大数减去较小数．第三步：重复第二步，直到差与减数相等为止．第四步：相等数即为最大条约数．割圆术：用正多边形的面积渐渐迫近圆面积的算法求圆周率．秦九韶算法：求一元多项式的值的一种方法，递推关系为v0a n(k 1,2,, n)v k v k 1x a n k【复习要求】1．认识算法的含义，认识算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑构造：次序构造、条件分支构造、循环构造．3．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【例题剖析】例 1 如图 (图 9－ 4)所示，将一系列指令用框图的形式表示，箭头指向下一步的操作．请依照框图回答以下问题：图 9－4(1)这个框图表示了如何的算法?(2)输出的数是多少?【剖析】由框中的文字及形符号表示的操作内容可知：此算法是“求 1 到 50 的和”，由此能够算出出的数．解： (1)此框表示的算法：求1＋2＋ 3＋⋯＋ 50 的和；(2)易知所乞降1275．【析】程序框主要包含三部分：表示相操作的框，箭的流程和框外必需的明．框要从三个方面研究，流程反应了命令行的先后序，主要看箭方向，框及内外的文字明表示了操作内容．常用种方式观察算法的理解和用．例 2 (1)如 9－5 所示的是一个算法的程序框，已知a1＝3，出的果7， a2的 ______．9－ 5(2)如 9－ 6 所示的是某个函数求的程序框，足程序的函数分析式_____．9－ 6(3)如 9－ 7 所示的是求某个数列和的程序框，此程序出的果_____．9－ 7【剖析】三个小的重点在于懂框． (1) 只含有序构， (2)含有条件分支构，表示函数的定域 R ，当 x＜ 0 ，遵照分析式 f(x)＝ 3x－ 1，否 (即当 x≥ 0 )，遵照分析式 f( x)＝ 2－5x； (3)中有两个循量S、I， S 是累加量， I 是数量；此外要判断 I 的奇偶性，以此决定是加是减．解： (1) a23x1( x0) 11；(2)f (x)5x( x；20)(3)S＝ 12－ 22＋ 32－ 42＋⋯＋ 992－ 1002＝－ 5050 ．【析】 (1) ，只含有序构，所表示的算法比，只要依照框箭方向挨次出即可． (2) 含有条件分支构，是一个与分段函数有关的算法，框中含有判断框．包含有判断框的框，要特重判断框内的条件和框外的文字明，的下一步操作会依条件不一样而改． (3) 含有循构，当解决一些有律的科学算，尤其是累加和累乘，常常能够利用循构来算法．循构有两种，包含有循构的框，除关注判断框内外的明外，一般要从开始依序做几次循，察量的化律来帮助懂算法的含．例 3 (1)已知平面上的一点 P0(x0，y0)和直 l： Ax＋By＋ C＝ 0，求点 P0到直 l 的距离 d，并画出程序框．(2)用条件分支构写“已知三个数a、 b、 c，找出此中最大数”的算法及框．(3)写出求1111的和的算法，画出程序框，并写出相程序(做 )．23n【剖析】正确剖析“算理” ，才能选择合适的算法构造，有条理的表达算法． (1)在已知点到直线距离公式的前提下，适适用次序构造表示； (2)波及比大小，一定用到条件分支构造； (3) 中分母有规律的递加，能够引入累加变量 S 和计数变量 i，且 S＝ S＋ 1/i 是频频进行的，能够用循环构造表示．解： (1)算法及框图为：S1 输入 x0， y0； A，B， C；S2 计算 m＝A2＋ B2；S3 计算 n＝ Ax0＋By0＋ C；S4 计算d | n |；mS5 输出 d；(2)算法及框图为：S1 输入 a， b，c；S2 令 x＝ a；S3 若 b＞ x，则令 x＝ b；不然，履行S4；S4 若 c＞ x，则令 x＝ c；不然，履行S5；S5 输出 x；(3)算法及框图为：S1 输入 i ＝1， S＝ 0；1S2 当 i ≤ n 时，S S,ii＝ i ＋1；不然履行S3；S3 输出 S；程序以下；S＝ 0For i＝ 1:1:nS＝ S＋ 1/ii＝ i ＋1endprint( ％ io(2) ，S)【评析】书写算法时，一步一步的程序化步骤，即“算则”诚然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用，“算理，，是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现．这三道小题因为算理不一样，所包含的算法构造也不一样．经过实例，模拟、操作、探究，经历经过设计程序框图表达解决问题的过程，能够更好的理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，领会和理解算法的含义，认识算法语言的基本组成．本例中波及的 “利用公式求点到直线的距离” 、“实数排序求最值问题” 、“求数列的和或积的问题” ，还包含“二分法求函数零点” 、“质数的判断” ，“求的近似值”等等，都是算法的典型事例，学习时要赐予充足的重视．一般算法的表示方法其实不独一．不一样的算法语言的书写形式是有差其他．值语句、输入输出语句、 if 语句、 while 和示的算法过程．for本书所采纳的是 Scilab 语言，学习时要认识赋语句的基本含义及表达方式，能够读懂语句表例4(1)用展转相除法计算56 和264 的最大条约数时，需要做的除法次数是______．(2)用更相减损术求56 和98 的最大条约数时，操作以下： (98，56)(56，42)(42 ，14)(28 ，14)(14 ， 14)，由此可知两数的最大条约数为______ ．(3)用秦九韶算法求得多项式f(x)＝x 6－2x 5＋ 3x 3＋ 4x 2－ 6x ＋ 5当 x ＝ 2 时函数值为 ______．264 4 56 4056 1 40 16 解： (1)因此最大条约数为 8，需做的除法次数是 4；40 216816 2 8 0(2)最大条约数为 14；(3)33．【评析】书上所波及的古代基本算法事例包含：更相减损术与展转相除法、秦九韶算法、割圆术．展转相除法与更相减损术都是求最大条约数的方法，展转相除法又叫欧几里得方法，计算上以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上，前者相对较少，特别是两个整数相差较大时差异特别显然；展转相除法以余数为0 结束，更相减损术则以减数与差相等结束．秦九韶算法的特点是把求n 次多项式的值转变为求n 个一次多项式的值，运算时只有加法和乘法，并且运算的次数比较少，求一个n 次多项式的值最多需要进行n 次加法、 n 次乘法．割圆术是由中国古代数学家刘徽提出的，是当时计算圆周率比较先进的算法， “算理”明确，即用圆内接正多边形和外切正多边形迫近圆周率，重点是确立递推关系．例 5 (09 辽宁 )某店一个月的收入和支出总合记录了N 个数据，此中收入记为正数，出记为负数．该店用下面的程序框图计算月总收入S 和月净盈余 V ．那么在图中空白的判断框和办理框中，应分别填入以下四个选项中的 ( )支A．A＞0，V＝S－T B．A＜0，V＝S－TC．A＞ 0，V＝ S＋T D ． A＜ 0， V＝ S＋ T【剖析】此题要注意三点： a k有正有负； S 为总收入，是全部正数的和； T 为总支出，是全部非正数的和．答案为 C【评析】此题联合实质背景，重申算法的应用价值，是一种比较新的题型，应惹起关注．练习 9一、选择题1．任何一个算法都一定有的基本构造是()A ．次序构造B ．条件分支构造C．循环构造 D ．以上三个都要有2．下面给出对程序框图的几种说法：①任何一个程序框图都一定有起止框；②判断框有一个进口，有不只一个出口；③关于一个算法来说，判断框内的条件表达方式是独一的；此中正确的有()A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个3．在算法的逻辑构造中，要求进行逻辑判断并依据结果进行不一样办理的是哪一种构造()A ．次序构造B ．条件分支构造和循环构造C．次序构造和条件分支构造 D ．次序构造和循环构造4．算法：S1 输入 n；S2 判断 n 是不是 2；若 n＝ 2，则 n 知足条件，若 n＞2，则履行 S3；S3 挨次从 2 到 n－ 1 查验可否整除n，若都不可以整除，则n 知足条件；知足上述算法的n 是 ()A ．奇数B ．偶数C．质数 D ．合数二、填空题5．阅读下面两个程序框图，框图 1 输出的结果为______；框图 2 输出的结果为______．框1框26．(08 广 )9－ 8 的程序框，若入 m＝ 4，n＝ 6，出 a＝ ______ ，i＝ ______．9－ 89－97．9－ 9 的程序框，若入的n 是 100，出的量S 和 T 的挨次是 ______ ．8．“ x＝ 3*5 ”和“ x＝x＋1”是某个程序中的先后相两个句，以下法中①“ x＝3*5 ”是将数15x，而不是一般运算“x＝3*5 ＝ 15”；②“ x＝3*5 ”能够写成“3*5＝ x”③ 句“ x＝x＋ 1”在行，“＝”右x15，“＝”左x16；正确的有 ______ ．三、解答9．分用相除法和更相减求189 和 81 的最大公数．10．用循句写求1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n＞ 1000 的最小自然数 n 的算法，画出程序框，并写出相的程序 (做 )．11． (09 宁夏 )为了丈量两山顶MN 间的距离，飞机沿水平方向在AB 两点进行丈量，MN 在同一个铅垂平面内(如图 )．飞机能够丈量的数占有俯角和AB 间的距离，请你设计一个方案，包含：指出需要丈量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算 MN 间距离的步骤．专题 09算法参照答案练习 9一、选择题1．A2．C3． B4．C二、填空题5． 27， 216． 12， 37． 2550，25008．①③．三、解答题189 81 2 279．解：展转相除法：，因此最大条约数为27．81 27 30更相减损术：189－ 81＝ 108， 108－81＝ 27，81－ 27＝54， 54－ 27＝ 27，因此最大条约数为27．10．解：S1 输入 S＝ 0， i ＝1；S2 S＝ S＋ i ， i＝ i＋ 1；S3 若 S≤ 1000，重复履行S2；若 S＞ 1000 ，输出 i ．S＝ 0， i＝ 1；While S≤ 1000S＝ S＋ i；i＝ i＋ 1；endprint （ %io（ 2）， i ）11．解：如图 (1)需要丈量的数占有： A 点到 M、N 的俯角1，1；B点到M 、 N 的俯角2，2；A、B的距离d．d sin1(2)第一步：计算BM ，由正弦定理BM sin( 1 2 )；第二步：计算BN，由正弦定理BN d sin1；)sin( 2 1第三步：计算MN，由余弦定理MNBM2BN 22BM BN cos( 12 ) ．。

2020届高考数学命题猜想及专题练习--算法、推理证明(含解析)

2020届高考数学命题猜想算法、推理证明【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.【变式探究】(1)观察下列各式： C01＝40； C03＋C13＝41； C05＋C15＋C25＝42； C07＋C17＋C27＋C37＝43； ……照此规律，当n ∈N*时，C02n －1＋C12n －1＋C22n －1＋…＋Cn －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n－1 （2）x－2y＋3z－6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cosπ5cos2π5＝14，cosπ7cos2π7·cos3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n（n∈N*）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】Bx 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【解析】由题意得4【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎜⎛01x1dx ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎜⎛01x2dx ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116专题练习1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11【解析】选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．233．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)【解析】选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16B．k＜8C．k＜16D．k≥89．如图所示的程序框图中，输出S＝( )A．45 B．－55C．－66 D．66【解析】选B.由程序框图知，第一次运行T＝(－1)2·12＝1，S＝0＋1＝1，n＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．411．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【解析】选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.12．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【解析】选B.对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误，故选B.13．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的i的值为( )A．3 B．4C．5 D．614．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23【解析】选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.15．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)【解析】选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．16．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S417．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16 B．k＜8C．k＜16 D．k≥8【解析】选A.根据框图的循环结构依次可得S＝0＋1＝1，k＝2×1＝2；S＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S＝3＋4＝7，k＝2×4＝8；S＝7＋8＝15，k＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S＝15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确．18．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的值的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】选C.由题意，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－1，x ≤2，log2x ，x ＞2.当x ≤2时，由x2－1＝3，得x2＝4，解得x ＝±2.当x ＞2时，由log2x ＝3，得x ＝8.所以可输入的实数x 的值的个数为3.19．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜2020．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.21．如图(1)是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写( )A．i＜6? B．i＜7?C．i＜8? D．i＜9?【解析】选C.统计身高在160～180 cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．22．对于函数f(x)，若存在非零常数a，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)23．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________．【解析】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋122＋…＋1n＋12，不等式的右边为2n＋1 n＋1.【答案】1＋122＋…＋1n＋12＜2n＋1n＋124．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．【答案】425．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________.【解析】由程序框图知，S可看成一个数列{an}的前2 015项和，其中an＝1n n＋1(n ∈N*，n≤2 015)，∴S＝11×2＋12×3＋…＋12 015×2 016＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016.故输出的是2 0152 016.【答案】2 0152 01626．观察下列等式：1＝1,1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16，……，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.【解析】∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，……，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.【答案】n227．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．28．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．。

(新高考)高考数学二轮复习专题强化训练(七)逻辑、算法理-人教版高三全册数学试题

专题强化训练(七) 逻辑、算法一、选择题1．命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是( )A．∃x<0，xx－1≤0B．∃x>0,0≤x≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0,0≤x≤1解析：∵xx－1>0，∴x<0或x>1，∴原命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”，故选B.答案：B2．已知命题p：“∃x∈R，e x－x－1≤0”，则綈p为( )A．∃x∈R，e x－x－1≥0B．∃x∈R，e x－x－1>0C．∀x∈R，e x－x－1>0D．∀x∈R，e x－x－1≥0解析：特称命题的否定是全称命题，所以綈p：∀x∈R，e x－x－1>0.故选C.答案：C3．[2019·某某模拟]命题“∃x0∈R，x20＋ax0＋1<0”为假命题，则实数a的取值X围是( )A．[－2,2]B．(－2,2)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：“∃x0∈R，x20＋ax0＋1<0”为假命题，则“∀x∈R，x2＋ax＋1≥0”为真命题，∴a2－4≤0，∴－2≤a≤2，∴实数a的取值X围是[－2,2]．答案：A4．[2019·某某调研]下列有关命题的说法错误的是( )A．若“p∨q”为假命题，则p与q均为假命题B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件C．若p：∃x0∈R，x20≥0，则綈p：∀x∈R，x2<0D ．“sin x ＝12”的必要不充分条件是“x ＝π6”解析：当x ＝π6时，sin x ＝12成立，所以满足充分条件；当sin x ＝12时，x 不一定为π6，所以必要条件不成立．故D 错误，选D.答案：D5．[2019·某某调研]下列命题中，为真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，≤0B ．∀x ∈R,2x>x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1解析：因为e x>0恒成立，所以选项A 错误．取x ＝2，则2x＝x 2，所以选项B 错误．当a ＋b ＝0时，若b ＝0，则a ＝0，此时a b 无意义，所以也不可能推出a b ＝－1；当a b＝－1时，变形得a ＝－b ，所以a ＋b ＝0.故a ＋b ＝0的充分不必要条件是a b＝－1，故选项C 错误．假设x ≤1且y ≤1，则x ＋y ≤2，这显然与已知x ＋y >2矛盾，所以假设错误，所以x ，y 中至少有一个大于1，故选项D 正确．综上，选D.答案：D6．[2019·某某五校质检二]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若S n 的最大值为S 8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 8≥0a 9≤0；若⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 9<0.所以“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的必要不充分条件，故选B.答案：B7．[2019·某某质量抽测一]给出下列说法： ①“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30； ③命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x＞2”．其中正确说法的个数( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由x ＝π4，得tan x ＝1，但有tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x＋b 是偶函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5在[－5,5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x＜2”，所以命题③是错误的．故正确说法的个数为2，故选C.答案：C8．[2019·某某四校联考]运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为－21，则判断框中可以填( )A ．a ＜64?B ．a ≤64?C ．a ＜128?D ．a ≤128?解析：执行程序框图，S ＝1，a ＝－2；S ＝－1，a ＝4；S ＝3，a ＝－8；S ＝－5，a ＝16；S ＝11，a ＝－32；S ＝－21，a ＝64.此时退出循环，所以判断框中可以填“a ＜64？”，故选A.答案：A9．[2019·某某摸底]已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A ．求1＋13＋15＋17＋…＋121的值B ．求1＋13＋15＋17＋…＋119的值C ．求1－13＋15－17＋…－119的值D ．求1－13＋15－17＋…＋121的值解析：通解：执行程序框图，S ＝1，a ＝－1，n ＝3；S ＝1－13，a ＝1，n ＝5；S ＝1－13＋15，a ＝－1，n ＝7；…；S ＝1－13＋15－17＋…－119，a ＝1，n ＝21>19满足条件，退出循环，输出S .故该程序框图的功能是求S ＝1－13＋15－17＋…－119的值，故选C.优解：根据a 正负相间取值，不难排除A ，B ，根据循环的次数，排除D 选项，故选C. 答案：C10．[2019·某某五校联考]已知a >1，b >1，且log a b ＋log b a ＝103，a b ＝b a，则执行如图所示的程序框图，输出的S ＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：由log a b ＋log b a ＝103，得(log a b )2－103log a b ＋1＝0，即3(log a b )2－10log a b ＋3＝0，解得log a b ＝3或log a b ＝13.由a b ＝b a，两边同时取以a 为底的对数，得b ＝a log a b ，log a b＝b a .当log a b ＝3时，得a 3＝b ，且b a ＝3，解得a ＝3，b ＝33；当log a b ＝13时，得a ＝b 3，且b a ＝13，解得a ＝33，b ＝ 3.又程序框图的功能是“取较小值”，即输出a 与b 中较小的那一个，所以输出的S ＝ 3.答案：C11．[2019·某某九校联考]执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1,2,4，输出的M ＝158，那么判断框中应填入的条件为( )A ．n <k?B ．n ≥k?C ．n <k ＋1?D ．n ≥k ＋1?解析：由于输入的a ＝1，b ＝2，k ＝4，所以当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，此时a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，此时a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，与输出的M 值一致，故循环需终止．此时n ＝4，而输入的k ＝4，故结合选项知，判断框中应填入n ＜k ？.故选A.答案：A12．[2019·某某五校质检二]中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“◇”处应填( )A.a －221∈Z? B.a －215∈Z?C.a －27∈Z? D.a －23∈Z?解析：根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a ：a ＝3k ＋2，a ＝5n ＋3，a ＝7m ＋2，k ，n ，m ∈Z ，根据程序框图可知，数a 已经满足a ＝5n ＋3，n ∈Z ，所以还要满足a ＝3k ＋2，k ∈Z 和a ＝7m ＋2，m ∈Z ，并且还要用一个条件给出，即a －2既能被3整除又能被7整除，所以a －2能被21整除，故在“◇”处应填入a －221∈Z ？，选A.答案：A13．[2019·某某四校一模]执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析：n ＝1时，a ＝f (2)＝1－12＝12；n ＝2时，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1；n ＝3时，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2；n ＝4时，a ＝f (2)＝1－12＝12……则a 的取值呈周期为3的方式出现，由循环语句，知当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时跳出循环，执行输出，此时a ＝－1.故选B.答案：B14．[2019·某某质检一]执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为( )A ．63B ．47C ．23D ．7解析：执行程序框图，得n ＝7，i ＝1；n ＝15，i ＝2；n ＝11，i ＝3；n ＝23，i ＝4，此时满足i >3，结束循环，输出的n ＝23，故选C.答案：C15．[2019·某某、某某联考]执行如图所示的程序框图，则输出的M 的值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：执行程序框图，x ＝2，M ＝143，不满足M ∈N *；x ＝3，M ＝327，不满足M ∈N *；x ＝4，M ＝8615，不满足M ∈N *；x ＝5，M ＝8，满足M ∈N *，此时退出循环，所以输出的M ＝8，故选A.答案：A16．[2019·某某统考二]下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．62B ．59C ．53D ．50解析：通解：m 1＝112，m 2＝120，m 3＝105，n ＝2×112＋4×120＋5×105＝1 229,1 229>168，n ＝1 229－168＝1 061；1 061>168，n ＝1 061－168＝893；…；n ＝221>168，n ＝221－168＝53,53<168，所以输出的n ＝53，故选C.优解：∵m 1＝112，m 2＝120，m 3＝105，∴n ＝2×112＋4×120＋5×105＝1 229，由程序框图及题设中的“中国剩余定理”得此程序的算法功能是“1 229被168除的余数是多少？”∵1 229＝7×168＋53，∴输出的n ＝53，故选C.答案：C17．[2019·某某质量预测二]南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f (x )＝2019x2018＋2018x2017＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是求f (x 0)的值，在M 处应填的执行语句是( )A．n＝2018－i B．n＝2019－iC．n＝i＋1 D．n＝i＋2解析：根据程序框图的功能，若在M处填n＝2 019－i，执行程序框图，i＝1，n＝2 019，S＝2 019，i＝1≤2 018成立，S＝2 019x0，n＝2 019－1＝2 018，S＝2 019x0＋2 018，i ＝2≤2 018成立，S＝(2 019x0＋2 018)x0＝2 019x20＋2 018x0，n＝2 019－2＝2 017，S＝2 019x20＋2 018x0＋2 017，i＝3≤2 018成立，…，由此可判断，在M处应填的执行语句是n ＝2 019－i.故选B.答案：B二、填空题18．已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值X围为________．解析：将两个命题化简得，命题p：x<m或x>m＋3，命题q：－4<x<1.因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m的取值X围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)19．[2019·武昌调研]已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值X围是________．解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)20．[2019·某某武邑中学模拟]给出下列四个命题：①若x∈A∩B，则x∈A或x∈B；②∀x∈(2，＋∞)，x2>2x；③若a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件；④“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”．其中真命题的序号是________．解析：①若x∈A∩B，则x∈A且x∈B，所以①为假命题；②当x＝4时，x2＝2x，所以②为假命题；③取a＝0，b＝－1，则a>b，但a2<b2；取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，但a<b，故若a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；④“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以④为真命题．答案：④。

高考数学重点知识点

高考数学重点知识点1一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A?B，则p是q的充分条件。

若A?B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

高考数学重点知识点2考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。

重点考查集合间关系的理解和认识。

近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。

在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。

简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

通用版2020版高考数学大二轮复习考前强化练7解答题组合练C理

考前强化练7 解答题组合练C1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f (x )=√32sin 2x-cos 2x-12.(1)求f (x )的最小正周期;(2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c=√3,f (C )=0,若sin B=2sin A ,求a ,b 的值.2.已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满足a n =2S S22SS -1(n ≥2).(1)求证:数列{1S S}是等差数列;(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <32.3.(2019辽宁葫芦岛高三二模,理18)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中点,BC=3.(1)求证:AF⊥BD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值;的值;若不存在,请说明理由. (3)线段BD上是否存在点N,使得直线CE∥平面AFN?若存在,求SSSS4.(2019山东淄博部分学校高三三模,理19)已知正方形的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,以EF 为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角,点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点,连直线MF,由A,D,E三点所确定平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD∥平面EMC;(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°;若存在,求此时二面角M-EC-F的余弦值,若不存在,说明理由.5.已知椭圆C:S2S2+S2S2=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D(1,32)在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:直线l恒过定点;(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.参考答案考前强化练7 解答题组合练C1.解(1)f (x )=√32sin2x-cos 2x-12=√32sin2x-1+cos2S2−12=√32sin2x-12cos2x-1=sin 2x-π6-1.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (C )=0,得sin 2C-π6=1.因为0<C<π,所以-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,C=π3.又sin B=2sin A ,由正弦定理得SS =2.①由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3,即a 2+b 2-ab=3. ②由①②解得a=1,b=2.2.解(1)当n ≥2时,S n -S n-1=2S S22SS -1,S n-1-S n =2S n S n-1,1S S−1S S -1=2,从而{1S S}构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1S S=1S 1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12S -1,∴当n ≥2时,1S S n =1S (2S -1)<1S (2S -2)=121S -1−1S , 从而S 1+12S 2+13S 3+…+1S S n <1+121-12+12−13+…+1S -1−1S =32−12S <32. 3.(1)证明因为ADEF 为正方形, 所以AF ⊥AD.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,且平面ADEF ∩平面ABCD=AD , 所以AF ⊥平面ABCD. 所以AF ⊥BD.(2)解取AD 中点O ,EF 中点K ,连接OB ,OK.在△ABD 中,OB ⊥OD ,在正方形ADEF 中,OK ⊥OD , 又平面ADEF ⊥平面ABCD ,故OB ⊥平面ADEF ,进而OB ⊥OK ,即OB ,OD ,OK 两两垂直,分别以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图).于是,B√32,0,0,D 0,12,0,C√32,3,0,E 0,12,1,M√34,14,0,F 0,-12,1,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√34,-34,1,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设平面CDE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,即{-√32·S -52·S =0,S =0,令x=-5,则y=√3,则n =(-5,√3,0). 设直线MF 与平面CDE 所成角为θ,sin θ=|cos <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||S |=√314. (3)解要使直线CE ∥平面AFN ,只需AN ∥CD ,设SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =SSS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],设N (x n ,y n ,z n ),则x n -√32,y n ,z n =λ-√32,12,0,得x n =√32−√32S ,y n =12S ,z n =0,N √32−√32S ,12S ,0,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32−√32S ,12S +12,0.又SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,由SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得√32-√32S -√32=12S +12-52,解得λ=23∈[0,1].所以线段BD上存在点N,使得直线CE∥平面AFN,且SSSS =23.4.解(1)因为直线MF⊂平面ABFE,故点O在平面ABFE内也在平面ADE内,所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线EA上,如图所示.因为AO∥BF,M为AB的中点,所以△OAM≌△FBM.所以OM=MF,AO=BF.所以点O在EA的延长线上,且AO=2.连接DF,交EC于点N,因为四边形CDEF为矩形,所以N是EC的中点.连接MN,因为MN为△DOF的中位线,所以MN∥OD.又因为MN⊂平面EMC,所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得,EF⊥AE,EF⊥DE,所以EF⊥平面ADE,所以平面ABFE⊥平面ODE,取AE的中点H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以E(-1,0,0),D(0,0,√3),C(0,4,√3),F(-1,4,0),所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,√3), 设M (1,t ,0)(0≤t ≤4),则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,t ,0). 设平面EMC 的法向量m =(x ,y ,z ),则{S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2S +SS =0,S +4S +√3S =0,取y=-2,则x=t ,z=√3,所以m =t ,-2,8-S √3.DE 与平面EMC 所成的角为60°,所以2√S 2+4+(8-S )23=√32. 所以√3√=√32. 所以t 2-4t+3=0,解得t=1或t=3.所以存在点M ,使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°.取ED 的中点Q ,则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面CEF 的法向量,因为Q -12,0,√32,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32,0,-√32,m =t ,-2,8-S √3,设二面角M-EC-F 的大小为θ,所以|cos θ|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|S |=√3×√S 2+4+(8-S )23=√.因为当t=2时,cos θ=0,平面EMC ⊥平面CDEF ,所以当t=1时,θ为钝角,所以cos θ=-14.当t=3时,θ为锐角,所以cos θ=14.5.解(1)由题意得{S =√3S ,1S2+94S2=1,S 2=S 2+S 2,解得a 2=4,b 2=3,故椭圆C 的方程为S 24+S 23=1.(2)假设存在这样的直线l :y=kx+m ,∴M (0,m ),N (-SS ,0), ∵|PM|=|MN|,∴P (SS ,2S ),Q (SS ,-2S ), ∴直线QM 的方程为y=-3kx+m.设A (x 1,y 1),由{S =SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-3)=0,∴x 1+S S =-8SS3+4S 2,∴x 1=-3S (1+4S 2)S (3+4S 2).设B (x 2,y 2),由{S =-3SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+36k 2)x 2-24kmx+4(m 2-3)=0,∴x 2+S S =8SS1+12S 2,∴x 2=-S (1+4S 2)S (1+12S 2). ∵点N 平分线段A 1B 1,∴x 1+x 2=-2SS ,∴-3S (1+4S 2)S (3+4S 2)−S (1+4S 2)S (1+12S 2)=-2SS ,∴k=±12,∴P (±2m ,2m ),∴4S 24+4S 23=1,解得m=±√217, ∵|m|=√217<b=√3,∴Δ>0,符合题意,∴直线l 的方程为y=±12x±√217. 6.(1)解抛物线C :y 2=2px (p>0),其准线方程为x=-S2,∵点P (1,a )在此抛物线上,|PF|=2,∴点P 到准线的距离等于|PF|,即1+S2=2,得p=2, ∴所求抛物线方程为y 2=4x.(2)证明①当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m ,易知k ≠0,m ≠0.联立方程组得{S 2=4S ,S =SS +S ,从而可得方程k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0,由题意可知Δ=(2km-4)2-4k 2m 2>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=4SS . 因为以AB 为直径的圆M 过坐标原点, 所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0,所以S 2S 2+4SS=0,所以m=-4k.所以直线l 的方程为y=kx-4k ,即y=k (x-4),所以直线l 恒过定点(4,0).②当直线l 的斜率不存在时,易求得点A ,B 坐标分别为(4,4),(4,-4),直线l 也过点(4,0).综合①②可知,直线l 恒过定点(4,0).(3)解由题意可知直线l 斜率存在,设线段AB 中点坐标为(x 0,2),由(2)中所得x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S2,则y 1+y 2=k (x 1-4)+k (x 2-4)=k (x 1+x 2)-8k=4S ,所以{2+4S 2S 2=S 0,2S=2,解得{S =1,S 0=6,所以直线l 的方程为y=x-4.因为线段AB 中点坐标为(6,2),即为圆M 的圆心坐标. 设圆M :(x-6)2+(y-2)2=r 2.将点(0,0)代入,得r 2=40, 所以圆M 的方程为(x-6)2+(y-2)2=40.。

2020版新高考复习理科数学教学案：逻辑、算法含答案

C．∀x∈R,3x≥x3D．∃x0∈R,3x0≥x
解析：因为特称命的否定为全称命题.所以綈p：∀x∈R,3x≥x3.故选C.
答案：C
3．[20xx·安徽示范高中考试]已知下列两个命题.
p1：存在正数a.使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；
p2：函数y＝sinx＋cosx＋无零点．
则在命题q1：p1∨p2.q2：p1∧p2.q3：(綈p1)∨p2.q4：p1∧(綈p2)中.真命题是( )
(3)直到型循环结构的结果输出问题．
考查题型多为选择题.有时也以填空题形式考查.难度相对较小.属中低档题．
复习时.不管面对含什么结构的程序框图.首先要做的就是弄清程序框图想要实现的最终功能．对于条件结构.要根据条件进行判断.弄清程序的流向；对于循环结构.要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么.要特别注意循环终止时各变量的当前值．
答案：B
2．[20xx·浙江卷]设a>0.b>0.则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：通解：因为a>0.b>0.所以a＋b≥2 .由a＋b≤4可得2 ≤4.解得ab≤4.所以充分性成立；当ab≤4时.取a＝8.b＝ .满足ab≤4.但a＋b>4.所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
(3)若p⇒q且q⇒p.则p是q的充要条件．
(4)若p q且q p.则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充要条件的判断方法
方法
解读
适合题型
1
定义法
第一步.分清条件和结论：分清哪是条件.哪是结论；第二步.找推判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；第三步.下结论：根据推式及定义下结论

(新课标)天津市新2020年高考数学二轮复习专题能力训练4算法与推理理【下载】

专题能力训练 4 算法与推理一、能力突破训练1.在一次国际学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上,为了使他们能够自由交谈,事先了解到的情况如下:甲是中国人,还会说英语;乙是法国人,还会说日语;丙是英国人,还会说法语;丁是日本人,还会说汉语;戊是法国人,还会说德语.则这五位代表的座位顺序应为()A.甲、丙、丁、戊、乙B.甲、丁、丙、乙、戊C.甲、乙、丙、丁、戊D.甲、丙、戊、乙、丁2.已知执行如图所示的程序框图,输出的S=485,则判断框内的条件可以是()A.k<5?B.k>7?C.k≤5?D.k≤6?3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)4.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为4,则图中判断框内①处应填()A.2B.3C.4D.55.执行下面的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x6.(2018北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A. B. C. D.7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()A.7B.9C.10D.118.执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A.0,0B.1,1C.0,1D.1,09.观察等式:f+f=1;f+f+f;f+f+f+f=2;f+f+f+f+f;……由以上几个等式的规律可猜想f+f+f+…+f+f= .10.某程序框图如图所示,当输入n=50时,该程序运行后输出的结果是.11.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.12.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为a i,j(i,j∈N*),则①a9,9= ;②表中的数82共出现次.2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………二、思维提升训练13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是()A.n=6?B.n<6?C.n≤6?D.n≤8?14.执行如图所示的程序框图,输出的S为()A.3B.C.D.-215.执行如图所示的一个程序框图,若f(x)在[-1,a]上的值域为[0,2],则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[1,]C.[1,2]D.[,2]16.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩17.如下是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为()20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24……A.27+213=8 320B.27+214=16 512C.28+214=16 640D.28+213=8 44818.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为.19.在计算“１×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项,k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),……n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“１×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果是(结果写成关于n的一次因式的积的形式).专题能力训练4算法与推理一、能力突破训练1.D解析这道题实际上是一个逻辑游戏,首先要明确解题要点:甲、乙、丙、丁、戊5个人首尾相接,而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流,而且4个备选答案都是从甲开始的,因此,我们从甲开始推理.思路一:正常的思路,根据题干来作答.甲会说汉语和英语,则甲的相邻座位一定是会说汉语或者英语的,以此类推,得出答案.思路二:根据题干和答案综合考虑,运用排除法来解决.观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流,戊不能和甲交流,因此,选项B,C 错误,乙不能和甲交流,选项A错误,故选项D正确.2.C解析第一次运行,S=3×1+2=5,k=2;第二次运行,S=3×5+2=17,k=3;第三次运行,S=3×17+2=53,k=4;第四次运行,S=3×53+2=161,k=5;第五次运行,S=3×161+2=485,k=6.此时要输出485,即判断框内的条件不成立,由于6≤５不成立,故选C.3.D解析由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).4.A解析当a=1时,b=1,不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;当a=2时,b=2,不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4,满足输出条件,故应退出循环,故判断框内①处应填2.5.C解析由题图可知,x=0,y=1,n=1,执行如下循环:x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;x=+1=,y=6,退出循环,输出x=,y=6,验证可知,C正确.6.B解析k=1,s=1,s=1+(-1)1=1-;k=2,s=+(-1)2;k=3,此时满足k≥３.输出的s为7.B解析先读出程序框图的功能,再结合对数运算求解.i=1,S=0,S=0+lg=lg>-1;i=3,S=lg+lg=lg>-1;i=5,S=lg+lg=lg>-1;i=7,S=lg+lg=lg>-1;i=9,S=lg+lg=lg<-1,满足条件,输出i=9.8.D解析若输入x=7,则b=2(b2<x,且x不能被b整除)→b=3(b2>x)→输出a=1;若输入x=9,则b=2(b2<x,且x不能被b整除)→b=3(b2=x,但x能被b整除)→输出a=0.故选D.9.1 009解析从所给四个等式看:等式右边依次为1,,2,,将其变为,可以得到右边是一个分数,分母为2,分子与左边最后一项中自变量的分子相同,所以f+f+f+…+f=1 009.10.6解析输入n=50,由于S=0,i=1,则:第一次运行,S=2×0+1=1,i=1+1=2;第二次运行,S=2×1+2=4,i=2+1=3;第三次运行,S=2×4+3=11,i=3+1=4;第四次运行,S=2×11+4=26,i=4+1=5;第五次运行,S=2×26+5=57,i=5+1=6,57>50,终止循环,故输出i=6.11.1和3解析由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“１和2”或“１和3”.若丙的卡片上的数字是“１和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“２和3”,甲的卡片上的数字是“１和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“１和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“２和3”,甲的卡片上的数字是“１和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“１和3”.12.825解析①由题知,第9行第1个数是10,公差为9,因此第9行的第9个数为a9,9=10+9×(9-1)=82;②因为每行每列都成等差数列,所以a1,j=2+1×(j-1)=j+1,a i,j=j+1+(i-1)×j=ij+1,令a i,j=ij+1=82,得ij=1×81=3×27=9×9=27×3=81×1,所以数82共出现5次.二、思维提升训练13.C解析第一次循环S=0+,n=4;第二次循环S=,n=6;第三次循环S=,n=8.由于输出的S为,此时要结束循环,所以判断框中填写的内容为选项C.14.C解析第1次循环:S=2-,k=k+1=2,此时满足条件,继续循环;第2次循环:S=2-,k=k+1=3,此时满足条件,继续循环;第3次循环:S=2-=-2,k=k+1=4,此时满足条件,继续循环;第4次循环:S=2-=3,k=k+1=5,此时满足条件,继续循环;第5次循环:S=2-,k=k+1=6,此时满足条件,继续循环;……可知此循环是以4为周期反复循环,由2 014=4×503+2,可知第2 014次循环:S=2-,k=k+1=2 015,此时不满足条件,结束循环,所以输出的S为15.B解析由程序框图可知,f(x)=当a<0时,f(x)=log2(1-x)+1在区间[-1,a]上为减函数,f(-1)=2,f(a)=0?1-a=,a=,不符合题意;当a≥０时,f'(x)=3x2-3>0?x>1或x<-1,∴函数在区间[0,1]上单调递减,又f(1)=0,∴a≥1;又函数在区间[1,a]上单调递增,∴f(a)=a3-3a+2≤２?a故实数a的取值范围是[1,].16.D解析因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.17.B解析依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置,即是27+214=16 512,故选 B.18.4解析当a=1,n=1时,进入循环,a=1+,n=2;此时|a-1.414|≥０.005,继续循环,a=1+=1+,n=3;此时|a-1.414|≥０.005,继续循环,a=1+=1+,n=4;此时|a-1.414|≈０.003<0.005,退出循环,因此n的值为4.19n(n+1)(n+2)(n+3)解析先改写第k项:k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…，n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)·(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).。

2020高考数学二轮备考策略及注意事项

模拟试题商榷点1——核心知识考查不均衡
模拟试题商榷点2——核心知识考查不均衡
三角函数的图象与性质零考查
模拟试题商榷点2——核心知识考查不均衡
数学文化、五育并举零考查
概率知识零考查
模拟试题商榷点3——关键条件漏注
n N
模拟试题商榷点4——条件标错位置
模拟试题商榷点5——知识超标
模拟试题商榷点6——选择题压轴压不住
措施二：结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ际，制定策略
二轮备考怎么复习？
主干知识
专题思想方法
答题模板
题型分类
考题方法技巧
刷题突破
专题整合类
专题划分
知识整合
对点训练
考点精讲
题型突破
思维升华
专题整合类
重构了知识体系，尤其是主干知识体系构优点建的很牢固，方法系统归纳，有利于中等
生成绩的提升
（1）注重通性通法的考查，淡化了特殊的解题技巧，以全国Ⅰ卷理科为例： 1,2,3,5,7,8,9,10,13,14等都是很常规的考法，注重基础知识的积累与应用；
（2）增加了很多开放性和探索性问题设问，考查学生的学科素养，例如：全国Ⅰ卷理科T4，T21；Ⅱ卷理科T4、T13、T21；Ⅲ卷理科T3、T17、T20等
一、选择题、填空题的命题特点
(一)考查排列、组合的应用,以考查两个计数原理和排列、组合的应用为主, 难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.
(二)考查二项式定理的应用,以考查运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.
(三)考查随机事件的概率,以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,难度中等,常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现,随机事件的频率与概率题目往往以解答题的形式出现,互斥事件、对立事件的概念及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.

2020浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题一 1 第1讲集合、常用逻辑用语 Word版含解析

专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1，且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，正方体的体对角线BD 1＝3，设B 到平面ACB 1的距离为h ，则V B AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′，则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动，所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}，所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}．答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________．解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )，所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________．解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅；②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}．所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}．答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}， f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁R A)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选 D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ，所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3，当a ＝1时，a ＋b ＝0或4，当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}．答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________．解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＝sin 2 C ，则△ABC 为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2，则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确．故正确的命题为：②③.答案：②③。

2023年新高考数学创新题型微专题07 数列专题(数学文化)(解析版)

专题07 数列专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（）． A ．一尺五寸 B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸【答案】B【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列{}n a ，利用等差数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长．【详解】由题意知：∴从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{}n a ，设公差为d ，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，∴147191393159898552a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1135a =，10d =−， ∴芒种日影长为12111135111025a a d =+=−⨯=（寸）2=尺5寸．故选：B2．（2022秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（） A ．1016 B ．512 C ．128 D ．1024【答案】A【分析】设从上到下第()N ,17n n n *∈≤≤层的浮雕像个数为n a ，分析可知数列{}n a 为等比数列，且公比为2，根据已知条件求出1a 的值，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设从上到下第()N ,17n n n *∈≤≤层的浮雕像个数为n a ，由题意可知，数列{}n a 为等比数列，且该数列的公比为2，由已知可得3222216a a a a −=−=，可得216a =，故2182a a ==，因此，该洞窟的浮雕像的总个数为()78128127101612−=⨯=−.故选：A.3．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的13是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．5 B ．10 C ．15 D ．30【答案】B【分析】设五个人所分得的面包为2a d −，a d −，a ，a d +，2a d +，（其中0d >），则由总和为100可求得20a =，再由较大的三份之和的13是较小的两份之和，可得123d a =，从而可求出d ，进而可求出2a d −【详解】设五个人所分得的面包为2a d −，a d −，a ，a d +，2a d +，（其中0d >），则有()()()()225100a d a d a a d a d a −+−+++++==， ∴20a =，由()232a a d a d a d a d ++++=−+−，得()33323a d a d +=−； ∴123d a =， ∴5d =．∴最少的一份为2201010a d −=−=. 故选：B4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有2块筒瓦，以下每一层均比上一层多2块筒瓦，如果侧面共有11层筒瓦且顶部4个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（）A ．440B ．484C ．528D ．572【答案】C【分析】由题意知每层筒瓦数构成等差数列{}n a，由等差数列求和公式可求得每一面的筒瓦总数，由此可得四个侧面筒瓦总数.【详解】一个侧面中，第一层筒瓦数记为2，自上而下，由于下面每一层比上一层多2块筒瓦，∴每层筒瓦数构成等差数列{}n a，其中12a=，2d=.一个侧面中共有11层筒瓦，∴一个侧面筒瓦总数是()1111111221322⨯−⨯+⨯=，∴顶层四个侧面筒瓦数总和为1324528⨯=.故选：C.5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，2n放置在n行n列()3n≥的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）图1 图2A．91B．169C．175D．180【答案】C【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至2n 累加除以n 即可得结果. 【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为12 (49)1757+++=.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N −−=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】B【分析】根据题意推出2121a a a =，222321a a a a a =−，L ，211m m m m m a a a a a +−=−，利用累加法可得211mi m m i a a a +==∑，即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121a a a =，因为12n n n a a a −−=−，得222312321()a a a a a a a a =−=−，233423432()a a a a a a a a =−=−，L ，21111()m m m m m m m m a a a a a a a a +−+−=−=−，累加，得222121m m m a a a a a ++++=，因为22212m ma a a a +++是该数列的第100项，即1m a +是该数列的第100项，所以99m =. 故选：B.7．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第50层球的个数为（）A ．1255B ．1265C ．1275D ．1285【答案】C【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的个数与层数的关系，得到(1)2n n n a +=，进而求解结论．【详解】解：设各层球的个数构成数列{}n a ，由题意可知，11a =，21212a a =+=+，323123a a =+=++，⋯，1123n n a a n n −=+=+++⋯+，故(1)1232n n n a n +=+++⋯+=， 50505112752a ⨯∴==，故选：C ．8．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,]3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第n 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是13n⎛⎫⎪⎝⎭，根据规律即可求出20212022属于1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而根据不等式可求解.【详解】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n步，剩下的最后一个区间为1113n⎡⎤⎛⎫−⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n⎛⎫⎛⎫−⨯<<−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223nn⎧>⎨<⎩，解得7n=故选:A9．（2022春·江苏南通·高二统考期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．333B．335C．337D．341【答案】B【分析】根据给定条件，求出230的全部整数和，再求出2到30的全部素数和即可计算作答.【详解】2到30的全部整数和123029464 2S+=⨯=，2到30的全部素数和22357111317192329129S=+++++++++=，所以剔除的所有数的和为464129335−=.故选：B10．（2022·全国·高三专题练习）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数113⨯、135⨯、157⨯、L、120212023⨯的和是（）A．20222023B．20232022C．10112023D．20231011【答案】C【分析】利用裂项相消法可求得结果.【详解】当N n *∈时，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=− ⎪−+−+⎝⎭，因此，11111111111111335572021202323355720212023⎛⎫++++=−+−+−++− ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1110111220232023⎛⎫=−=⎪⎝⎭. 故选：C.11．（2022春·四川资阳·高一统考期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传．据此，前五个孩子共分得的棉花斤数为（） A ．362 B ．430 C ．495 D ．645【答案】C【分析】设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{}n a ，由题设求得其首项与公差，即可求得结果．【详解】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{}n a ，由题意知：公差17d =，又12381878179962a a a a a ⨯+++⋯+=+⨯=，解得165a =，故412351545455651749522a a a a a d a ⨯⨯++=+=⨯⨯=+++. 故选：C ．12．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（） A ．壬午年 B ．辛丑年C ．己亥年D ．戊戌年【答案】A【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷=，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案.【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为壬，由于1001284÷=，余数为4，故100年后地支为午，综上：100年后的2122年为壬午年.故选：A13．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，……则该数列的第8项为（）A．99B．131C．139D．141【答案】D【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：根据规律补全：由图可得341295yx y−=⎧⎨−=⎩，则14146xy=⎧⎨=⎩.故选：D14．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（）斗．A ．35B ．95C ．3D ．215【答案】B【分析】转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比猪主人多赔偿了斗数. 【详解】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2，设猪的主人赔偿的粟斗数为x ，则2489x x x x +++=，解得：35x =，故马主人赔偿的粟斗数为1245x =，所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为1239555−=. 故选：B15．（2021秋·河南商丘·高二校联考期中）《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军2由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军80由旬到达地方城市.下列说法正确的是（） A ．前四天共行1877由旬 B ．最后三天共行53由旬C ．从第二天起，每天比前一天多行的路程为237由旬 D ．第三天行了587由旬【答案】D【分析】由题意，每天行军的路程{}n a 为等差数列，且12a =，780S =，利用基本量1,a d 表示可得227d =，依次分析，即得解【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列{}n a ，则12a =又以后每天均比前一天多行相同的路程，故{}n a 构成一个等差数列，不妨设公差为d 七天一共行军80由旬，即780S = 故71767802S a d ⨯=+=，解得227d =4143188427S a d ⨯=+=，A 错误；567741883728077a a a S S ++=−=−=，B 错误；由于227d =，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为227由旬，C 错误；31225822277a a d =+=+⨯=，D 正确故选：D16．（2022·全国·高三专题练习）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫− ⎪⎝⎭万元，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解. 【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为293()10⨯万元，……，第n 层货物总价为19()10n n −⨯万元.设这堆货物总价为y 万元，则21999123()()101010n y n −=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 23999992()3()()1010101010n y n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减，得2311999991+()()()()101010101010n n y n −=+++⋅⋅⋅+−⨯，即91()199910()1010()()910101010110nn n n y n n −=−⋅=−⨯−⋅−，则999100100()10()=100(10010)()101010n n ny n n =−⨯−⋅−+⨯，令99100(10010)()=100200()1010n ny n =−+⨯−⨯，得10n =. 故选：B.17．（2021秋·吉林松原·高二长岭县第三中学校考阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则当42m =时，则使1n a =需要的雹程步数为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B1n a =使得需要多少步雹程.【详解】解：根据题意，当42m =，根据上述运算法则得出42→21→64→32→16→8→4→2→1，所以共需经过8个步骤变成1，故使1n a =需要的雹程步数为8. 故选：B18．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=−C ．1352121n n a a a a a −++++=−D ．()121)4(3n n n n c c a n a π−−+−≥=⋅【答案】C【分析】A 选项由前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形即可判断；B 选项由()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N 结合累加法即可判断；C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出221111,44n n n n c a c a ππ−−==，作差即可判断. 【详解】由题意知：前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形，其面积为()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，A 正确；32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+，以上各式相加得，()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++，化简得2212n n a a a a a +−=+++，即1221n n a a a a ++++=−，B 正确；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠−=，C 错误；易知221111,44n n n n c a c a ππ−−==，()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ−−−−−+∴−=−=−+=≥，D 正确.故选：C.19．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2022n S >恒成立，则n 的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第n 代“勾股树”中所有正方形的个数，即n a ，从而得到n S 求解.【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为11321+=−，第2代“勾股树”中，正方形的个数为21721+=−，…，以此类推，第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为121n +−，即121n n a +=−，所以()24122412n n n S n n +−=−=−−−，因为0n a >，所以数列{}n S 为递增数列，又810122022S =<，920352022S =>，所以n 的最小值为9．故选：C ．20．（2022·海南省直辖县级单位·“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉引用、n 维空间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1维最简几何图形线段它有2个0维的端点、1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的三角形区域；……如下表所示.从1维到6维最简几何图形中，所有1维线段数的和是（）A ．56B ．70C ．84D ．28【答案】A【分析】根据题意可得1n n a a n −−=，可求得()12n a n n +=，即可求解. 【详解】设从1维到n 维最简几何图形的1维线段数构成数列{}n a ，由题意可得21312a a −=−=，32633a a −=−=，431064a a −=−=，…，以此类推，可得1n n a a n −−=，所以()()()121321n n n a a a a a a a a −=+−+−++−()11232n n n +=++++=，所以12345613610152156a a a a a a +++++=+++++=. 故选：A.21．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧−⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若把这个数列{}n a 排成下侧形状，并记),A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则()9,5A 的值为（）A ．2520B ．2312C ．2450D ．2380【答案】D【分析】确定()9,5A 在数列{}n a 中的项数，结合数列{}n a 的通项公式可求得结果.【详解】由题可知，设数阵第n 行的项数为n b ，则数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列，数列{}n b的前8项和为87182642⨯⨯+⨯=，所以，()9,5A 是数列{}n a 的第64569+=项，因此，()26919,523802A −==.故选：D.22．（2022·全国·高三专题练习）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列{}()N n a n *∈中，其前n 项和不可能为1028的数列是（） (参考公式：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=)A ．1028n a n =+B ．2744125n a n n =−+C ．127(1)45n n a n +=−−D ．1122n n a −=+【答案】A【分析】利用等差数列、等比数列的前n 项和公式以及参考公式求数列{}n a 前n 项和n S ，令1028n S =，看是否有正整数解即可判定选项A 、B 、D 的正确性；通过分类讨论分别求出2k S 和21k S −，然后可得到20k S <，令211028k S −=，看是否有正整数解即可选项C 的正确性．【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于A ：由等差数列的前n 项和公式，得： 1()(533)10282n n n a a S n n +==+=，因为方程无正整数解，即选项A 错误；对于B ：不妨令24n b n =，74125n c n =−+，数列{}n b 和{}n c 的前n 项和分别为n T 和n Q ，则n n n a b c =+，n n n S T Q =+，由参考公式和等差数列的前n 项和公式，得： 22(1)(21)4(123)3n n n n T n ++=++++=，21()44625n n n c C Q n n +==−+，所以22(1)(21)446102835n n n n n n S T Q n n ++=+=−+=，解得*10N n =∈，即选项B 正确；对于C ：①当*N )2(n k k =∈时， 222222271234(21)(2)245n k S S k k k ==−+−++−−−⨯ 14(3741)045kk =−+++−−<，故此时1028n S ≠； ②当()*21N n k k =−∈时， 22222222171234(23)(22)(21)(21)45n k S S k k k k −==−+−++−−−+−−− 27(3745)(21)(21)45k k k =−++⋅⋅⋅+−+−−− 2(1)(345)7(21)(21)245k k k k −+−=−+−−−27232(21)45k k k =−+−− 令27232(21)102845k k k −+−−=，解得23k =，即223145n =⨯−=时，1028n S =，即选项C 正确；对于D ：由等比数列的前n 项和公式可知，1(12)112110281222n n n S n n ⨯−=+=+−=−，解得*10N n =∈，即选项D 故选：A ．23．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（） A ．200 B ．210C ．220D ．242【答案】C【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有22221357113151710,4,12,24,2222a a a a −−−−========⋯故其奇数项上的通项公式为21,2n n a −=故221211=2202a −=，故选：C24．（2022春·云南红河·高二弥勒市一中校考阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（） A ．5052022B ．2522022C ．5042022 D ．14【答案】A【分析】依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论.【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，202225286=⨯+，所以数列的前2022项中能被3整除的项有25221505⨯+=，所求概率为5052022P =，故选A ．25．（2022·高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n n a ，则6a =（）A ．55B ．58C ．60D ．62【答案】A【分析】n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，由题意可得112,n n n n n n a a b b a b ++=+=+，根据初始值，由此递推，不难得出所求.【详解】已知n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴112,n n n n n n a a b b a b ++=+=+，又∵110,1a b ==; 221,1a b ==;332113112a b =⨯+==+=，; 442328,325a b =⨯+==+=;5528521,8513a b =⨯+==+=; 62211355a =⨯+=,故选：A.26．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（N n ∈，从左数第1根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线:1l y x =+交于点n A （n x ，n y ）和n B （n x '，n y '），则200n nn y y ='=∑( ) 参考数据：取221.18.14=.A ．814B ．900C ．914D ．1000【答案】C【分析】求出n n y y '、，用错位相减法求和即可.【详解】由条件可得()2020011920011.11 1.12 1.120 1.121 1.1n n nn n y y n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑①，所以2012202101.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn y y ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑②，－②得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.121 1.121 1.11 1.1=−'−⨯=+++−⨯=−⨯−∑n nn y y ，2121221 1.10.121 1.11 1.118.1491.40.10.10.1−+⨯⨯++====−−−−，所以20914n nn y y ='=∑. 故选：C.27．（2022秋·陕西渭南·高二校考期中）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA '，BB '，CC '，DD '是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中1DD ，1CC ，1BB ，1AA 是举，1OD ，1DC ，1CB ，1BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为110.5DD OD =，111CC k DC =，121BBk CB =，131AA k BA =，已知1k ，2k ，3k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则2k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】B【分析】设1111OD DC CB BA ===，则可得关于2k 的方程，求出其解后可得正确的选项【详解】设11111OD DC CB BA ====，则10.5,DD =111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有21230.1,0.1k k k k −=+=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以20.530.7254k +=，故20.8k =，故选：B28．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（） A ．170里 B ．180里C ．185里D ．176里【答案】D【分析】根据题意，可知此马每天走的路程形成等比数列，利用等比数列的前n 项和公式求得基本量，从而得解.【详解】由题意得，设这匹马的第n 天走的路程为n a ，则有112n n a a +=，7700S =，所以数列{}n a 是12q =的等比数列，故71112700112a ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=−，解得1350128127a ⨯=，所以21175128176.4127a a q =⨯=≈．故选：D.29．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第n 行有n 个数且两端的数均为()12n n≥，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如111111111,,1222363412=+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则第8行第4个数（从左往右数）为（）A ．1280B ．1168C ．1140D ．1105【答案】A【分析】利用“莱布尼兹调和三角形”的性质，依次运算即可. 【详解】设第n 行第m 个数为(),a n m ，则()15,15a =，()16,16a =，()17,17a =，()18,18a =，故()()()16,25,16,130a a a =−=，()()()17,26,17,142a a a =−=，()()()18,27,18,156a a a =−=，()()()17,36,27,2105a a a =−=，()()()18,37,28,2168a a a =−=，()()()18,47,38,3280a a a =−=，故选：A.二、多选题30．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（） A ．将这1864人派谴完需要16天 B ．第十天派往筑堤的人数为134 C ．官府前6天共发放1467升大米D ．官府前6天比后6天少发放1260升大米【答案】ACD【分析】记数列{}n a 为第n 天派遣的人数，数列{}n b 为第n 天获得的大米升数，依题意可得{}n a 是以64为首项，7为公差的等差数列，{}n b 是以192为首项，21为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；【详解】解：记数列{}n a 为第n 天派遣的人数，数列{}n b 为第n 天获得的大米升数，则{}n a 是以64为首项，7为公差的等差数列，即757n a n =+，{}n b 是以192为首项，21为公差的等差数列，即21171n b n =+，所以106479127a =+⨯=，B 不正确.设第k 天派遣完这1864人，则()716418642k k k −+=，解得16k =（负值舍去），A 正确；官府前6天共发放6519262114672⨯⨯+⨯=升大米，C 正确，官府前6天比后6天少发放211061260⨯⨯=升大米，D 正确. 故选：ACD31．（2022秋·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）若正整数m ．n 只有1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，ϕ（k ）是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数ϕ（k ）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()21ϕ=，(3)2ϕ=，(6)2ϕ=，(8)4ϕ=．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么()()()mn m n ϕϕϕ=，例如：(6)(2)(3)ϕϕϕ=，则（） A ．(5)(8)ϕϕ=B ．数列(){}2n ϕ是等比数列 C ．数列(){}6nϕ不是递增数列D ．数列()16nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于35【答案】ABD【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】(5)4,(8)4,(5)(8)ϕϕϕϕ==∴=，A 对；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为12n −， ∴()11222=2ϕ−−−=nnn n 为等比数列，B 对；∵与3n 互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,,32,3 1.−−n n共有11(31)323n n −−−⋅=⋅个，∴1(3)23,ϕ−=⋅n n又∵()6=(2)(3)ϕϕϕn n n =126−⋅n ，∴()6ϕn一定是单调增数列，C 错；()1626nn ϕ−=⋅，()16nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为 111263131156516nn n S ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==−<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦−，D 对. 故选：ABD ．32．（2022·全国·高三专题练习）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走970.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（） A ．长安与齐国两地相距1530里 B ．3天后，两马之间的距离为328.5里 C ．良马从第6天开始返回迎接驽马 D ．8天后，两马之间的距离为377.5里【答案】AB【分析】A, 设良马第n 天行走的路程里数为n a ，驽马第n 天行走的路程里数为n b ，求出良马和驽马各自走的路程即得A 正确；B ，计算得到3天后，两马之间的距离为328.5里，即可判断B 正确； C,计算得到良马前6天共行走了1353里1530<里，故C 不正确；D ，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D 不正确.【详解】解：设良马第n 天行走的路程里数为n a ，驽马第n 天行走的路程里数为n b ，则。