2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题001

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间：4月20日上午8：00—10：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx+ny 的最大值为 []A. 2b a +B. abC. 222ba + D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 []A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为答：[] A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 []A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β[] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B =___________________.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =__________(结果要求写成既约分数）.8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为____________. 9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10. 在ABC ∆中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB ，则 222c b a +=______________.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.1 2 0.5 1 xyz12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。

）1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。

解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。

当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。

解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。

3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。

解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。

4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。

解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。

5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷002

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题号一二总成绩13 14 15 16得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得分评卷人本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1. 已知函数2sin y x =，则答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是答：[ ] （A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第1页（共6页）4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是答：[ ]（A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为答：[ ]（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个 6. 已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有答：[ ] （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得分评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则a b +等于 .9. 已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .2页（共6页）10. 30x y -+=的离心率是 .11. 在ABC ∆中，已知tan B =sin 3C =，AC =ABC ∆的面积为 .12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得分评卷人13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第3页（共6页）14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第4页（共6页）15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .B 1BA 1C 1AC全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第5页（共6页）16. 已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第6页（共6页）高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．当0＜k ＜12时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )A.85B.32 C ．4D ．84．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝07．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．10．(·舟山模拟)已知1a ＋1b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．233．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答题栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)A 级1．C2.B3.B4.B5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3，即y ＝12x ＋32，其斜率是12，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.答案：－128．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB|＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理，得7k2－48k －7＝0，解得k1＝7或k2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③ y ′＝3x ＋4y ＋35.④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.B 级1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，则kBB ′·kl ＝－1，即3·b －4a ＝－1.则a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷1

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是（） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a42．函数y ＝3 |log 3x|的图象是（） A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（）A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为（） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________． 9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f(n)有最大值．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是（） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a4解：an ＝1(n －2)2＋1，当n ＝2时，an 取最大值，故选B ．2．函数y ＝3的图象是（）A ．B ．C ．D ．解：由于|log3x|≥0，故y≥1，只有A 满足此条件，故选A ．A B C D Ex Oy x O y x O y xO y3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个解：作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2，则△P1OF 、△P2OF 是直角三角形．对于抛物线上异于O 、P1、P2的点Q ，显然∠QFO≠90˚，∠QOF≠90˚，从而若△QOF 为直角三角形，则只能是∠FQO ＝90˚．设点Q 坐标为(y22p，y)(y≠0，±p)，则有y22p (y22p －p2)＋y2＝0，由y≠0得，y22p ＋3p2＝0，此方程无实解，从而这样的点P 只能2个，选B ．4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（）A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)解：则x1＞－x2，知f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)f(x1)＋f(x2)＜0；同理，f(x2)＋f(x3)＜0，f(x3)＋f(x1)＜0；所以，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0．选B ．5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线．故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x|＝|y|＝|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选C ．6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为（） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)解：作辅助图如右：取高CD ＝a ，则AD ＝2a ，BD ＝3a ，最短边AC ＝5a ；由5a ＝1，得a ＝，故选D ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．解：A∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225． 8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________．解：已知即cos2θ－sin2θ＝,3)cos4θ＋sin4θ－2cos2θsin2θ＝； ① 又，cos2θ＋sin2θ＝1cos4θ＋sin4θ＋2cos2θsin2θ＝1． ② (①＋②)÷2： cos4θ＋sin4θ＝．9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．解：(x －3x2)3＝x3－3x2×3x2＋3x×9x4－27x6．x5 的系数＝27．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．A B D C3a 2a a1321Oyx解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界．其中点(3，0)与原点距离最大，故(x2＋y2)max ＝9．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n＝_________________时，f(n)有最大值．解：由于f(4k)＞0，f(4k ＋1)＞0，(k ∈N*)．f(4k)＝a 4k 1 q2k(4k －1)；f(4k ＋1)＝a 4k ＋11q2k(4k ＋1)．故＝a1q4k ．于是f(12)＞f(13)，且当k≥3时，f(4k ＋1)＜f(4k)；又＝a 31q30，有f(9)＜f(12)；＝a 41q2(8k ＋3)，故f(8)＜f(12)，且k≥3时，f(4k ＋4)＜f(4k)，从而f(12)最大．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．解：设长方体的三度分别为x ，y ，z ，对角线AC ＝d ．则可得x2＋z2＝16，y2＋z2＝9．d2＝x2＋y2＋z2＝25－z2，但0＜z ＜3，从而16＜d2＜254＜d ＜5所求取值范围为(4，5)．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．解：由log 12(3－x)≥－20＜3－x≤4－1≤x ＜3．由≥1(x －a)(x －3a)≤0．① 当a ＞0时，解为a ＜x ＜3a ； ② 当a ＝0时，解为；③ 当a ＜0时，解为3a ＜x ＜a ．若A∩B≠，则当a ＜0时，有a ＞－1－1＜a ＜0；当a ＞0时，有3a ＜30＜a ＜1．所以，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．解法一：已知椭圆的a ＝3，b ＝2，c ＝5，e ＝53，p ＝b2c ＝45．对于椭圆上任一点P ，|FP|＝r ，P 到准线的距离|PH|＝d ，FP 与Ox 正向夹角为θ，则有rcosθ＋d ＝p ，rd＝e ．于是， d(1＋ecosθ)＝p ，1d ＝1p(1＋ecosθ)．pF P OxyH r d所以， S ＝i ＝1∑241di ＝1p i ＝1∑24(1＋ecosθ)＝24p ＋e p i ＝1∑24cosθ＝24p ．故 S2＝242p2＝180．解法二：设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点．则有⎩⎨⎧y ＝k(x －c)， ①4x2＋9y2＝36． ②①代入②： 4x2＋9k2(x －5)2－36＝0．即， (4＋9k2)x2－185xk2＋45k2－36＝0．所以， x1＋x2＝185k24＋9k2，x1x2＝45k2－364＋9k2．而点P 到准线距离d ＝a2c －x ＝9－5x 51d ＝59－5x ，故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59－5x1＋59－5x2＝5[18－5(x1＋x2)]81－95(x1＋x2)＋5x1x2＝5[18－5·185k24＋9k2]81－95·185k24＋9k2＋545k2－364＋9k2＝185(4＋9k2)－905k281(4＋9k2)－810k2＋225k2－180＝725＋725k2144＋144k2＝52．而过焦点且倾斜角θ＝90˚时，两交点到准线的距离＝a2c －c ＝45，故θ＝90˚及270˚的两个点到准线距离倒数和也＝52．所以，S ＝12×52＝65；S2＝180．解法三：令⎩⎨⎧x ＝5＋tcosθ，y ＝tsinθ．代入椭圆方程得，t2(4cos2θ＋9sin2θ)＋85tcosθ－16＝0．同上．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．证明一：延长AE 到F ，使EF ＝AE ，延长AD 到K ，使DK ＝AD ．连FK ，FB ．因FB ∥AC ∠AFB ＝∠EAC ．又BD 垂直平分AK ，故∠AKB ＝∠BAD ，因∠BAD ＝∠EAC ，所以∠AKB ＝∠AFB ．所以A 、F 、K 、B 四点共圆． FK ∥BC ∠FKA ＝90˚．故AF 为该圆直径．E 为此圆圆心．A B C D E FK故EA ＝EB ＝EC ，即点C 在此圆上．此圆为△ABC 的外接圆，BC 为圆的直径．所以∠BAC 为直角．证明二：取△ABC 的外接圆，延长AE 交圆于点F ，连FB ，则∠CBF ＝∠CAF ＝∠BAD ，但∠BAD ＋∠ABD ＝90˚，从而∠FBC ＋∠ABC ＝90˚，即∠ABF ＝90˚．从而AF 为圆的直径．若E 不是圆心，则AF ⊥BC ，AB ＝AC ．与已知矛盾．故E 为外心．从而∠BAC ＝90˚．证明三：作△ABC 的外接圆，作EF ⊥BC ，交外接圆于点F ，连AF ．则EF 是BC 的垂直平分线，故F 为⌒BC 的中点，于是AF 是∠BAC的平分线．由∠BAD ＝∠EAC ，得∠DAF ＝∠EAF ．又，EF ∥AD ，故∠DAF ＝∠EFA ∠EAF ＝∠EFA ．EA ＝EF ．故AF 的垂直平分线经过点E ．由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点，故E 为△ABC 的外心．从而△ABC 为直角三角形，得，∠BAC 为直角．证明四：取AC 中点F ，连DF 、EF ，由EF ∥AB ∠AEF ＝∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAC＋∠DAE ＝∠DAC ，由AD 为高，故∠DAC ＝∠ADF ，所以，∠ADF ＝∠AEF A 、D 、E 、F 四点共圆．于是有∠EFA ＝90˚，从而∠BAC ＝90˚，故证．证明五：以D 为原点，BC 所在直线为x 轴建立坐标系．设点A 、B 、C 的坐标分别为A(0，a)，B(b ，0)，C(0，c)．设AB 到AD 的角为α，则tanα＝－ba ．kAC ＝－a c ，kAE ＝－2ab ＋c ，tan ∠EAC ＝－a c ＋2a b ＋c 1＋2a2c(b ＋c)＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．由tan ∠EAC ＝tanα－ba ＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．化简得a2＝－bc ．即|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．证明六：设BC ＝a ，BD ＝p ，AD ＝h ，则tanB ＝hp ，tan ∠AEB ＝h 12a －p ＝2ha －2p ．FED CBAxyA (0,a )B (b ,0)C (c ,0)D EahpABCEDFD E C B A∠BAE ＝∠DACtan ∠BAE ＝tan ∠DAC ＝a －ph．在△ABE 中，有h p ＋2ha －2p ＋a －p h ＝h p ·2h a －2p ·a －p h ＝2h(a －p)p(a －2p)．即h2(a －2p)＋2ph2＋p(a －p)(a －2p)＝2h2(a －2p)．h2＝p(a －p)．从而|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．得证．证明七：设∠BAD ＝∠EAC ＝α，则AD ＝ABcosα＝ACsinC ， ①∠BAE ＝∠DAC ＝90˚－C ．而S △BAE ＝S △CAE AB·AEsin(90˚－C)＝AC·AEsinαABcosC ＝ACsinα．②①×②：sin2α＝sin2C α＋C ＝90˚或α＝C ．若α＋C ＝90˚，则D 、E 重合，与AC ＞AB 矛盾，α＝C ．则有∠BAC ＝90˚，得证．16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．解 p ＝2时，p2＋71＝75＝3×52，d(75)＝2×3＝6＜10，故p ＝2是本题的解； p ＝3时，p2＋71＝80＝24×5，d(80)＝5×2＝10≤10，故p ＝3是本题的解；若质数p ＞3，则p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8)，故23|p2＋71； p2≡1(mod 3)p2＋71≡0(mod 3)，故3|p2＋71．所以，p2＋71＝2α×3β×t ．其中α、β∈N*，且α≥3．当α＝3，β＝1，t 若有大于3的质因子，则d(p2＋71)≥4×2×2，故t ＝1．此时无质数p 满足题意；当α＝4，β＝1，必有t ＝1，此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p 满足题意；当α≥4，β≥1，且等号不同时成立时，d(p2＋71)＞10．综上可知，解为p ＝2，3．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．25B．23C.3D．13．(·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2B.3C．2D．35．(·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.2B.21 2C．22D．27．(·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．10．(·福州调研)已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(·上海模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(·江西六校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ―→,·PF ―→,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．[答题栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十八)A 级1．C2.B3.C4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l1，l2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.6．选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d ＝5k2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2－1＝2，解得k2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x2＋y2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝⎛⎭⎪⎫c a2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2 3.答案：239．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝ 2.故点P 的坐标是( 2，2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以Q M 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2，化简得x2－2tx ＋y2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2) 则OA ＋OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k. B 级1．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝02302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a ＞0)，将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则PM ,＝(2－x ，－y)，PF ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，以Q 为圆心，m2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.。

2007年高中数学联赛初赛(含答案)

2007年江苏省高中数学联赛初赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数y ＝sin 2x ，则（）.（A ）有最小正周期为2π （B ）有最小正周期为π （C ）有最小正周期为π2 （D ）无最小正周期解：y ＝sin 2x ＝12(1－cos2x )，则最小正周期T ＝π. 故选（B ）．2．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2＜0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（）．（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ）－1解：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2＜0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1. 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设→AB ＝a ＋2b ，→BC ＝－5a ＋6b ，→CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是（）. （A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：→BD ＝→BC ＋→CD ＝2a ＋4b ＝2→AB ，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是（）．（A ）α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n （B ）α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ （C ）α⊥β，β⊥γ，m ⊥α （D ）n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α解：（A ）选项缺少条件m ⊆α；（B ）选项当缺少条件β⊥α，若α∥β，β⊥γ时，m ∥β；（C ）选项由α⊥β，m ⊥α只能得到m ⊆β或m ∥β．不能得到m ⊥β．当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m ＝β∩γ时，m ⊆β；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）．5. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（）．（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1）由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2）由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)＝90种. 故选（C ）．6．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（）.（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个解：由题设知f (x )为偶函数，则考虑在－1≤x ≤1时，恒有f (x )＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007．所以当－1≤a 2－3a ＋2≤1，且－1≤a －1≤1时，恒有f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．由于不等式－1≤a 2－3a ＋2≤1的解集为3－52≤a ≤3＋52，不等式－1≤a －1≤1的解集为0≤a ≤2．因此当3－52≤a ≤2时，恒有f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1). 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝10，S 10＝－5，则公差为d ＝ . 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设得⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝10，10a 1＋45d ＝－5．即 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋9d ＝－1．解之得d ＝－1.8. 设f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象经过点(2，1)，它的反函数的图象经过点(2，8)，则a ＋b 等于 .解：由题设知⎩⎨⎧log a (2＋b )＝1，log a (8＋b )＝2．化简得⎩⎨⎧2＋b ＝a ，8＋b ＝a 2．相减得，a 2－a －6＝0⇒a ＝－2(舍去)，a ＝3．代入解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1．故a ＋b 等于4.9．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则满足f (2x 2－x －1x 2－2x ＋1)f (lg(x 2－6x ＋20))≤0的x 的取值范围为．解：因为lg(x 2－6x ＋20)1，所以f (lg(x 2－6x ＋20))≤0因此f (2x 2－x －1x 2－2x ＋1)≥0．于是，由图象可知，2x 2－x －1x 2－2x ＋1＝2x ＋1x －1≤1(x ≠1)．即x ＋2x －1≤0，解得－2≤x ＜1.故x 的取值范围为x ∈[－2，1)．10．圆锥曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋10－|x －y ＋3|＝0的离心率是．解：原式变形为(x ＋3)2＋(y －1)2＝|x －y ＋3|，即(x ＋3)2＋(y －1)2＝2·|x －y ＋3|2．所以动点(x ，y )到定点(－3，1)的距离与它到直线x －y ＋3＝0的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在∆ABC 中，已知tan B ＝3，sin C ＝223，AC ＝36，则∆ABC 的面积为．解：在∆ABC 中，由tan B ＝3，得B ＝60°．由正弦定理得AB ＝AC sin Csin B ＝8．因为arcsin 223＞60°，所以角C 可取锐角或钝角，从而cos C ＝±13．sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝23±36．故S ∆ABC ＝12AC ·AB sin A ＝83±62． 12. 设命题P :a 2＜a ，命题Q : 对任何x ∈R ，都有x 2＋4ax ＋1＞0. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .解：由a 2＜a 得0＜a ＜1．由x 2＋4ax ＋1＞0对于任何x ∈R 成立，得∆＝16a 2－4＜0，即－12＜a ＜12．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数a 的取值范围是－12＜a ≤0 或12≤a ＜1．三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13. 设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ＞0，x －y ＜0．表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C ．过点F (22，0)的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.原解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点为P (x ，y )，则|x ＋y |2·|x －y |2＝2，即|x 2－y 2|＝4．由P ∈D 知x ＋y ＞0，x －y ＜0，即x 2－y 2＜0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为y 24－x 24＝1(y ＞0)． …………5分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22). 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径r ＝12|AB |＝|x 1＋x 22|，即|AB |＝|x 1＋x 2|． ① …………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|，化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1＜k ＜－33．所以k ＝－2－1． …………………15分又解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 由于直线x ＝0与此圆相切，令x ＝0，代入得y 2－(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＋x 1x 2＝0．故∆＝(y 1＋y 2)2－4(y 1y 2＋x 1x 2)＝0，即(y 1－y 2)2－4x 1x 2＝0．② 因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．且△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4)＝3k 2－1＞0．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．y 1－y 2＝k (x 1－22)－k (x 2－22)＝k (x 1－x 2)．故②式即k 2(x 1－x 2)2－4x 1x 2＝0⇒k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝0．就是，k 2(42k 2k 2－1)2－4(8k 2－4k 2－1)＝0⇒化简得：k 4＋2k 2－1＝0，又由于y ＞0，所以－1＜k ＜－33．所以k ＝－2－1．又解：②式亦可用下法得到：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22).作QT ⊥y 轴于点T (0，y 1＋y 22)，则点T 为切点．于是TA ⊥TB ．故得y 1－y 1＋y 22x 1·y 2－y 1＋y 22x 2＝－1⇒②．14. 如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，面AA 1C 1C 是菱形，∠ACC 1＝60°，侧面ABB 1A 1⊥AA 1C 1C ，A 1B ＝AB ＝AC ＝1.求证：（1）AA 1⊥BC 1；（2）求点A 1到平面ABC 的距离.证：（1）设AA 1中点为D ，连C 1D .因为A 1B ＝AB ，所以BD ⊥AA 1．因为面ABB 1A 1⊥AA 1C 1C ，所以BD ⊥面AA 1C 1C ．又∆ACC 1为正三角形，AC 1＝C 1A 1，所以C 1D ⊥AA 1. 从而BC 1⊥AA 1 ………………6分（2）由（1），有BD ⊥面AA 1C 1C ．设A 1到面ABC 的距离为h ，用两种方法计算三棱锥AA 1CB 的体积．由AA 1＝AC ＝AB ＝A 1B ＝1，⇒BD ＝32，S ∆CAA 1＝34，而CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos120°＝1＋(12)2＋2×1×12×12＝74．从而，BC 2＝BD 2＋CD 2＝104⇒BC ＝102．设∆ABC 的高为AE ，则AE ＝AB 2－BE 2＝1－(104)2＝64． S ∆ABC ＝12BC ·AE ＝12×102×64＝158．由13hS ∆ABC ＝V B －CAA 1＝13BD ·S ∆CAA 1. 所以，34×32＝h ·158⇒h ＝155．………………15分又解：以A 为原点，平面AA 1C 1C 为xOy 平面， AA 1为y 轴建立坐标系，则A 1(0，1，1)，B (0，12，32)，C (32，－12，0)．设AH ⊥平面ABC ，且设→AH ＝(x ，y ，z )，由AH ⊥AB ，知12y ＋32z ＝0⇒y ＝－3z；（第14题）B 1 BA 1C 1AC由AH ⊥AC ，知32x －12y ＝0⇒y ＝3x ．故→AH ＝λ(1，3，－1)．故→AH 的方向向量为→e ＝15(1，3，－1)．所以，|→AH |＝→AA 1·→e ＝(0，1，1)·15(1，3，－1)＝155．即所求距离为155． 15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋3≤a n ＋3，a n ＋2≥a n ＋2. 求a 2007. 原解：由题设，a n ＋2≥a n ＋2，则a 2007≥a 2005＋2≥a 2003＋2×2≥…≥a 1＋2×1003＝2007. ………5分由 a n ＋2≥a n ＋2，得a n ≤a n ＋2－2，则a n ＋2≤a n ＋3≤a n ＋2－2＋3＝a n ＋2＋1(n ≥1). ………………10分于是 a 2007≤a 2006＋1≤a 2005＋1×2≤a 2002＋3＋1×2≤a 1999＋3×2＋1×2≤…≤a 1＋3×668＋1×2＝2007，所以 a 2007=2007．易知数列a 1＝1，a 2＝2，…，a n ＝n 符合本题要求． ………………15分注意：猜得答案a n ＝n 或a 2007＝2007，给2分．又解：由a n ＋3≤a n ＋3可得：a n ＋6≤a n ＋3＋3≤a n ＋3×2； ①由a n ＋2≥a n ＋2可得：a n ＋6≥a n ＋4＋2≥a n ＋2＋2×2≥a n ＋2×3． ② 比较①、②知，两式中所有的等号成立．所以，a n ＋3＝a n ＋3，a n ＋2＝a n ＋2．但a n ＋3＝a n ＋1＋2＝a n ＋3，故a n ＋1＝a n ＋1，所以，a n ＝n 对于一切n ∈N *成立．故a 2007＝2007．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点．证明如下：引理：(海莱定理的一维情形)数轴上的若干条线段，每两条都有公共点，则存在一点被所有线段覆盖．证明：设这些线段是n 个区间：[a i ，b i ]；(i ＝1，2，…，n ，a i ＜b i ) 记 A ＝max{a i }；B ＝min{b i }．则必有 A ≤B ．否则若A ＞B ，设A ＝a k ，B ＝b h ．于是a k ＞b h ，[a h ，b h ]∩[a k ，b k ]＝∅．与已知矛盾．于是[B ，A ]内的点，为所有直线的公共点．再证原命题：任取一条直线l 0，把这10个圆向l 0投影，设第i 个圆在直线l 0上的正投影是线段A i B i (i ＝1，2，…，10)，由于任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有公共点．由引理，则存在一点是这10条线段的公共点，设为P ，过P 作l 0的垂线l ，即为所求与10个圆都相交的直线．原解：如图，先任作一条直线l 0，把这10个圆向l 0投影，设第i 个圆在直线l 0上的正投影是线段A i B i ，其中A i 、B i 分别是线段的左、右端点．因共有10个圆，故得到10条投影线段，有10个左端点，有10个右端点． ………5分A 1 A k A 2B 2B k B m因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分．取10个左端点中在最右边的一个，设为A k．则所有右端点都在A k的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾．………………10分再取右端点中最左边的一个，设为B m，同理所有左端点都必须在B m的左边．A k与B m不重合，(否则相应的两个圆相切)．线段A k B m是任意一条投影线段的一部分，在线段A k A m上任取一点，过这点作直线l0的垂线l，则l与10个圆都相交．………………15分。

2007-2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

⑴ 与都是锐角三角形；⑵ 是锐角三角形，是钝角三角形；
⑶ 是钝角三角形，是锐角三角形；⑷ 与都是钝角三角形．
5．设，是夹角为的异面直线，则满足条件“ ，，且 ”的平面，有对．
6．设集合，，其中符号表示不大于的最大整数，则．
7．同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是
12、已知各项为整数的数列{an}满足a3=－1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求出所有的正整数m，使得am+am+1+am+2=amam+1am+2．
13、如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE⊥AD，垂足H，过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．
14．（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？
（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．
13、如图，半径为的圆上有一定点 , 为圆上的动点.在射线上有一动点 , .线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.
14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及参考答案

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知函数2sin y x =，则答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是答：[ ]（A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是答：[ ] （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为答：[ ]（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个 6. 已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有答：[ ] （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则a b +等于 .9. 已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .10. 圆锥曲线22621030x y x y x y ++-+--+=的离心率是 .11. 在ABC ∆中，已知tan 3B =，22sin C =，36AC =，则ABC ∆的面积为 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点(220)F ，的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1B A 1C 1AC15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16. 已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ）有最小正周期为π2 （B ）有最小正周期为π （C ）有最小正周期为2π（D ）无最小正周期解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（ C ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）． 5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+=7610=+-，故（1）由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2）由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4. 9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解：因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2． 11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为 8362ABC S ∆=±．解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ． 23sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=±．故 sin 83622ABC AC ABS A ∆⋅==±． 12. 设命题:，命题: 对任何R ，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是或 . 解：由得．由对于任何R 成立，得，即．因为命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范围是或．三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13. 设不等式组表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率.解：由题意可知，平面区域如图阴影所示．设动点为，则，即．由知P 2a a <Q x ∈2410x ax ++>P Q a 021≤<-a 121<≤a a a <210<<a 0142>++ax x x ∈04162<-=∆a 2121<<-a P Q a 021≤<-a 121<≤a 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，D D P 0x y +=0x y -=2P C (220)F ，l C A B AB y l D (,)P x y 222x y x y +-⋅=224x y -=P D ∈xyO，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线的方程为 y 24－x 24＝1(y ＞0)．设，，则以线段为直径的圆的圆心为. 因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，即． ① 因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得， k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|，化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－33．所以k ＝－2－114. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，，侧面，.求证：（1）；（2）求点到平面的距离. 证：（1）设中点为，连、.因为，所以．因为面，所以面．又为正三角形，，所以 . 从而．（2）由（1），有，，面．设到面的距离为，则. 因为， 0x y +>C 11(,)A x y 22(,)B x y AB 1212()22x x y y Q ++，AB L y 12122x x r AB +==12AB x x =+111ABC A B C -11AAC C 160ACC ∠=︒11ABB A ⊥11AAC C 11A B AB AC ===1AA ⊥1BC 1A ABC 1AA D C D AB B A =11AA BD ⊥C C AA A ABB 1111⊥⊥BD C C AA 111ACC ∆111A C AC =11AA D C ⊥11AA BC ⊥1BD C D ⊥11BC CC ⊥1CC ⊥1C DB 1A ABC h 1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯（第14题） B 1BA 1C 1AC所以．又，且. 设的高为，则，， . 于是有，即到平面的距离为． ………………15分 15．已知数列中，，，. 求.解：由题设，，则.由，得，则. 于是，所以a 2007=2007．易知数列，，，符合本题要求．注意：猜得答案或，给2分．16．已知平面上个圆，任意两个都相交．是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线，与每个圆都有公共点．证明如下：如图，先作直线，设第个圆在直线上的正投影是线段，其中、分别是线段的左右端点．个圆有个投影线段，有个左端点，有个右端点．因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设是最右边的左端点，则所有右端点都在的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾．再设是最左边的右端点，同理所有左端点都在的左边. 与不重合，线段1C DB ABCS h S ∆∆=1C D BD =432211==⨯=∆BD BD D C S DB C ABC ∆AE 2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC 8325411=⋅-=AE 41583252=⋅=∆ABC S 515153==h 1A ABC 515{}n a 11a =33n n a a +≤+22n n a a +≥+2007a 22n n a a +≥+2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=22n n a a +≥+22n n a a +≤-3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=11a =22a =n a n =n a n =20072007a =10l l 0l i 0l i i A B i A i B 10101010k A k A m B m B k A m B A 1A k A 2B 1B 2 B m是任意一条投影线段的一部分，过线段上某一点作直线的垂线，则与个圆都相交．k m A B k m A B 0l l l 10。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题号一二总成绩13 14 15 16得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得分评卷人本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1. 已知函数2sin y x =，则答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是答：[ ]（A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是答：[ ] （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C）αβ⊥，βγ⊥，mα⊥（D）nα⊥，nβ⊥，mα⊥5. 若m、{}22101010n x x a a a∈=⨯+⨯+，其中{}1234567ia∈，，，，，，，012i=，，，并且636m n+=，则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为答：[ ] （A）60个（B）70个（C）90个（D）120个6. 已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-（x∈R），且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有答：[ ] （A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得分评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7. 设nS为等差数列{}n a的前n项和，若510S=，105S=-，则公差为.8. 设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则a b+等于.9. 已知函数()y f x=的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .10. 30x y-+=的离心率是 . 11. 在ABC∆中，已知tan B=sin3C=，AC=ABC∆的面积为.12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得分评卷人13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1B A 1C 1AC15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16.已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ）有最小正周期为π2 （B ）有最小正周期为π （C ）有最小正周期为2π（D ）无最小正周期解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（ C ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）． 5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+=7610=+-，故（1）由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2）由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解：因为 (2lg 6lg111x x -+>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为 ABC S ∆=．解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ． sin sin()sin cos cos sin 36A B C B C B C =+=+=±．故 sin 2ABC AC ABS A ∆⋅==． 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．三、解答题（本题满分60分，每小题15分） 13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点F 的直线 l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点为(,)P x y2=，即224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为y 24－x24＝1(y ＞0)．…………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 12122x x r AB +==，即12AB x x =+． ① …………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|，化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－ 33．所以k ＝－2－1…………………15分解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2⋅|x －y |2＝2，即|x 2－y 2|＝4．由P ∈D 知：x ＋y ＞0，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)．即曲线C 的方程为y 24－x 24＝1(y ＞0)．…………5分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)．因为以线段AB 为直径的圆与y 轴相切， ∴半径r ＝12|AB |＝|x 1＋x 22|．即|AB |＝|x 1＋x 2|． ① …………………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|，化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－33．所以k ＝－2－1…………………………………………………………………………15分14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D . 因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11．（第14题）B 1BA 1C 1ACB CE 又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥． ………………6分（2）由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯，所以1C DB ABCS h S ∆∆=．又 1C D BD =，且432211==⨯=∆BD BD D C S DB C . 设ABC ∆的高为AE ，则2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ， 41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=. ………5分由 22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥. ………………10分于是 200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以 a 2007=2007．易知数列11a =，22a =，，n a n =符合本题要求． ………………15分注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点．证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左右端点．10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点． ………………5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾． ………………10分再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边. k A 与m B 不重合，线段k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10个圆都相交． ………………15分A k A 2B 1B 2 B m。

2007年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。

不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。

在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。

2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。

由对称性排除C ，从而只有A 正确。

一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。

由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。

2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。

2007年全国各地区高中数学联赛初赛试题

2007年江苏省高中数学联赛初赛试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1．已知函数2sin y x =，则（ B ）A ．有最小正周期为2πB ．有最小正周期为πC ．有最小正周期为2πD ．无最小正周期解: 21sin (1cos 2)2y x x ==-,Tπ=.2．关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（ C ） A ．2B ．1C ．0D ．－1解:方程2220=0xax a --的两根是124,5x a x a =-=,129911x x a a -=≤⇒-≤≤.3．已知向量a 、b ，设2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点为（ A ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 解:242BD BC CD a b AB =+=+=.4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）A ．,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥ (缺少条件m α⊂)B ．,,m αγαγβγ⋂=⊥⊥ (当α∥ββγ⊥时,m ∥β)C ．,,m αββγα⊥⊥⊥ (当,,αβγ两两垂直,m βγ⋂=时,m β⊂)D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥5．若{}2210,1010m n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1,2,3,4,5,6,7i a ∈，0,1,2i =，并且636m n +=，则实数对(),m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）A ．60个B ．70个C ．90个D ．120个解:由6514233=+=+=+及题设知,个位数字的选择有5种.⑴若十位321=+有2种,则百位6514233=+=+=+的选择有5种; ⑵若十位37610=+-有2种,则百位54123=+=+的选择有4种; 于是,符合题设的不同点的个数为5(2524)90⨯⨯+⨯=种. 6．已知()122007122007()f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则a 的值有（ D ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个解:由题设知()f x 为偶函数,则考虑在11x -≤≤时,恒有()20082007f x =⨯,所以当21321a a-≤-+≤,且111a -≤-≤时,恒有2(32)(1)f a a f a -+=-,由于21321a a -≤-+≤的解集为a ,111a -≤-≤的解集为02a ≤≤,因此当2a ≤时,恒有2(32)(1)f a a f a -+=-. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题9分，满分54分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若51010,5S S ==-，则公差为－1.解:1151010110455a d d a d +=⎧⇒=-⎨+=-⎩.8．设()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠且的图象经过点()21，，它的反函数的图象经过点()28，，则a b +等于4. 解:1212log (2)132,log (8)214a ab a a b b b +===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨+===-⎩⎩⎩(舍去).故4a b +=. 9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足()22221lg(620)021x x f f x x x x ⎛⎫--∙-+≤ ⎪-+⎝⎭的x 的取值范围为21x -≤<.解:因为22lg(620)lg((3)11)lg111x x x -+=-+≥>, 由图象知2(lg(620))0f x x -+<,于是2221021x x f x x ⎛⎫--≥ ⎪-+⎝⎭,2221121x x x x --≤-+,解得21x -≤<.故x 的取值范围为[)2,1x ∈-.1030x y -+=解:所以动点(),x y 到定点()3,1-的距离与它到直线30x y -+=,故此动点轨迹为双曲线,.11．在三角形ABC 中，已知tan B sin C AC =则三角形ABC 的面积为解: 在三角形ABC 中，由tan B =60B=.由正弦定理得sin 8sin AC C AB B∙==.因为60>,所以角C 可取锐角或钝角,从而1cos 3C =±.sin sin()A B C =+故sin 2AB AC S A ∙==. 12．设命题2:P aa <，命题:Q 对任何x R ∈，都有2410x ax ++>。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题002

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x =++的最小值是．372．已知函数()e xf x =．若()2f a b +=，则(3)(3)f a f b ⋅的值是．83．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S -=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项n a =．12-=n a n4．若函数2223, 0,()2,0x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥是奇函数，则实数a 的值是．3-5．已知函数10()lg ||3f x x =-．若关于x 的方程2()5()60f x f x --=的实根之和为m ，则()f m 的值是．16．设α、β都是锐角，且cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β等于．2252 7．四面体ABCD 中，3AB =，5CD =，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为．8．若满足3ABC π∠=，3AC =，BC m =的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是．(]{}323,0 9．设集合{}1,2,,8S =，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是．76910．如果正整数m 可以表示为224x y - (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，中“好数”的个数为．881?二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知a ，b ，c 为正实数，xyza b c ==，1110x y z++=，求abc 的值． 12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F =，求双曲线C 的离心率． 13．如图，已知ABC ∆是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE =． 14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2007年全国高中数学联赛试题及详细解析

2007年全国高中数学联赛（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。

9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。

11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。

12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是（） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a42．函数y ＝3 |log 3x|的图象是（） A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（） A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0 B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0 C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为（） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________． 9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f(n)有最大值．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，x O yx O yx O yx O y若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是（） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a4解：an ＝1(n －2)2＋1，当n ＝2时，an 取最大值，故选B ．2．函数y ＝3的图象是（） A ．B ．C ．D ．解：由于|log3x|≥0，故y≥1，只有A 满足此条件，故选A ．3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个解：作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2，则△P1OF 、△P2OF是直角三角形．对于抛物线上异于O 、P1、P2的点Q ，显然∠QFO≠90˚，∠QOF≠90˚，从而若△QOF 为直角三角形，则只能是∠FQO ＝90˚．设点Q 坐标为(y22p，y)(y≠0，±p)，则有y22p (y22p －p2)＋y2＝0，由y≠0得，y22p ＋3p2＝0，此方程无实解，从而这样的点P 只能2个，选B ．4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（）A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)解：则x1＞－x2，知f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)f(x1)＋f(x2)＜0；同理，f(x2)＋f(x3)＜0，f(x3)＋f(x1)＜0；所以，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0．选B ．5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线．故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x|＝|y|＝|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选C ．6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为（） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)解：作辅助图如右：取高CD ＝a ，则AD ＝2a ，BD ＝ A B C D Ex O y x O y x O y x O yABDC3a2aa3a ，最短边AC ＝5a ；由5a ＝1，得a ＝，故选D ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．解：A∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225． 8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________．解：已知即cos2θ－sin2θ＝,3)cos4θ＋sin4θ－2cos2θsin2θ＝； ① 又，cos2θ＋sin2θ＝1cos4θ＋sin 4θ＋2cos2θsin2θ＝1． ② (①＋②)÷2： cos4θ＋sin4θ＝．9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．解：(x －3x2)3＝x3－3x2×3x2＋3x×9x4－27x6．x5 的系数＝27．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界．其中点(3，0)与原点距离最大，故(x2＋y2)max ＝9．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f(n)有最大值．解：由于f(4k)＞0，f(4k ＋1)＞0，(k ∈N*)．f(4k)＝a 4k 1 q2k(4k －1)；f(4k ＋1)＝a 4k ＋11q2k(4k ＋1)．故＝a1q4k ．于是f(12)＞f(13)，且当k≥3时，f(4k ＋1)＜f(4k)；又＝a 31q30，有f(9)＜f(12)；＝a 41q2(8k ＋3)，故f(8)＜f(12)，且k≥3时，f(4k ＋4)＜f(4k)，从而f(12)最大．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．解：设长方体的三度分别为x ，y ，z ，对角线AC ＝d ．则可得x2＋z2＝16，y2＋z2＝9．d2＝x2＋y2＋z2＝25－z2，但0＜z ＜3，从而16＜d2＜254＜d ＜5所求取值范围为(4，5)．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．解：由log 12(3－x)≥－20＜3－x≤4－1≤x ＜3．由≥1(x －a)(x －3a)≤0．1321Oyx① 当a ＞0时，解为a ＜x ＜3a ； ② 当a ＝0时，解为；③ 当a ＜0时，解为3a ＜x ＜a ．若A∩B≠，则当a ＜0时，有a ＞－1－1＜a ＜0；当a ＞0时，有3a ＜30＜a ＜1．所以，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．解法一：已知椭圆的a ＝3，b ＝2，c ＝5，e ＝53，p ＝b2c ＝45．对于椭圆上任一点P ，|FP|＝r ，P 到准线的距离|PH|＝d ，FP 与Ox 正向夹角为θ，则有 rcosθ＋d ＝p ，rd＝e ．于是， d(1＋ecosθ)＝p ，1d ＝1p(1＋ecosθ)．所以， S ＝i ＝1∑241di ＝1p i ＝1∑24(1＋ecosθ)＝24p ＋e p i ＝1∑24co sθ＝24p ．故 S2＝242p2＝180．解法二：设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点．则有⎩⎨⎧y ＝k(x －c)， ①4x2＋9y2＝36． ②①代入②： 4x2＋9k2(x －5)2－36＝0．即， (4＋9k2)x2－185xk2＋45k2－36＝0．所以， x1＋x2＝185k24＋9k2，x1x2＝45k2－364＋9k2．而点P 到准线距离d ＝a2c －x ＝9－5x 51d ＝59－5x ，故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59－5x1＋59－5x2＝5[18－5(x1＋x2)]81－95(x1＋x2)＋5x1x2＝5[18－5·185k24＋9k2]81－95·185k24＋9k2＋545k2－364＋9k2＝185(4＋9k2)－905k281(4＋9k2)－810k2＋225k2－180＝725＋725k2144＋144k2＝52．而过焦点且倾斜角θ＝90˚时，两交点到准线的距离＝a2c －c ＝45，故θ＝90˚及270˚的pθF P OxyH rd两个点到准线距离倒数和也＝52．所以，S ＝12×52＝65；S2＝180．解法三：令⎩⎨⎧x ＝5＋tcosθ，y ＝tsinθ．代入椭圆方程得，t2(4cos 2θ＋9sin2θ)＋85tcosθ－16＝0．同上．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．证明一：延长AE 到F ，使EF ＝AE ，延长AD 到K ，使DK ＝AD ．连FK ，FB ．因FB ∥AC ∠AFB ＝∠EAC ．又BD 垂直平分AK ，故∠AKB ＝∠BAD ，因∠BAD ＝∠EAC ，所以∠AKB ＝∠AFB ．所以A 、F 、K 、B 四点共圆． FK ∥BC ∠FKA ＝90˚．故AF 为该圆直径．E 为此圆圆心．故EA ＝EB ＝EC ，即点C 在此圆上．此圆为△ABC 的外接圆，BC 为圆的直径．所以∠BAC 为直角．证明二：取△ABC 的外接圆，延长AE 交圆于点F ，连FB ，则∠CBF ＝∠CAF ＝∠BAD ，但∠BAD ＋∠ABD ＝90˚，从而∠FBC ＋∠ABC ＝90˚，即∠ABF ＝90˚．从而AF 为圆的直径．若E 不是圆心，则AF ⊥BC ，AB ＝AC ．与已知矛盾．故E 为外心．从而∠BAC ＝90˚．证明三：作△ABC 的外接圆，作EF ⊥BC ，交外接圆于点F ，连AF ．则EF 是BC 的垂直平分线，故F 为⌒BC 的中点，于是AF 是∠BAC的平分线．由∠BAD ＝∠EAC ，得∠DAF ＝∠EAF ．又，EF ∥AD ，故∠DAF ＝∠EFA ∠EAF ＝∠EFA ．EA ＝EF ．故AF 的垂直平分线经过点E ．由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点，故E 为△ABC 的外心．从而△ABC 为直角三角形，得，∠BAC 为直角．证明四：取AC 中点F ，连DF 、EF ，由EF ∥AB ∠AEF ＝∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAC＋∠DAE ＝∠DAC ，由AD 为高，故∠DAC ＝∠ADF ，所以，∠ADF ＝∠AEF A 、D 、E 、F 四点共圆．于是有∠EFA ＝90˚，从而∠BAC ＝90˚，故证．证明五：以D 为原点，BC 所在直线为x 轴建立坐标系．设点A 、B 、C 的坐标分别为A(0，a)，B(b ，0)，C(0，c)．FE D CB AA B C D E FK FD E C B A设AB 到AD 的角为α，则tanα＝－ba ．kAC ＝－a c ，kAE ＝－2ab ＋c ，tan ∠EAC ＝－a c ＋2a b ＋c 1＋2a2c(b ＋c)＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．由tan ∠EAC ＝tanα－ba ＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．化简得a2＝－bc ．即|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．证明六：设BC ＝a ，BD ＝p ，AD ＝h ，则tanB ＝hp ，tan ∠AEB ＝h 12a －p ＝2ha －2p ．∠BAE ＝∠DACtan ∠BAE ＝tan ∠DAC ＝a －ph．在△ABE 中，有h p ＋2ha －2p ＋a －p h ＝h p ·2h a －2p ·a －p h ＝2h(a －p)p(a －2p)．即h2(a －2p)＋2ph2＋p(a －p)(a －2p)＝2h2(a －2p)．h2＝p(a －p)．从而|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．得证．证明七：设∠BAD ＝∠EAC ＝α，则AD ＝ABcosα＝ACsinC ， ①∠BAE ＝∠DAC ＝90˚－C ．而S △BAE ＝S △CAE AB·AEsin(90˚－C)＝AC·AEsinαABcosC ＝ACsinα．②①×②：sin2α＝sin2C α＋C ＝90˚或α＝C ．若α＋C ＝90˚，则D 、E 重合，与AC ＞AB 矛盾，α＝C ．则有∠BAC ＝90˚，得证． 16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．解 p ＝2时，p2＋71＝75＝3×52，d(75)＝2×3＝6＜10，故p ＝2是本题的解； p ＝3时，p2＋71＝80＝24×5，d(80)＝5×2＝10≤10，故p ＝3是本题的解；若质数p ＞3，则p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8)，故23|p2＋71； p2≡1(mod 3)p2＋71≡0(mod 3)，故3|p2＋71．所以，p2＋71＝2α×3β×t ．其中α、β∈N*，且α≥3．当α＝3，β＝1，t 若有大于3的质因子，则d(p2＋71)≥4×2×2，故t ＝1．此时无质数p 满足题意；当α＝4，β＝1，必有t ＝1，此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p 满足题意；当α≥4，β≥1，且等号不同时成立时，d(p2＋71)＞10．综上可知，解为p ＝2，3．xyA (0,a )B (b ,0)C (c ,0)D EahpABCED高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2007年全国高中数学联赛试题及解答

2 3 9．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心，为半径作一个球，则球面与正方 3 体的表面相交所得到的曲线的长等于． 10．已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数．若 a1＝d，b1＝d2， 2 2 a2 1＋a2＋a3 且是正整数，则 q 等于． b1＋b2＋b3
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试试卷
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C．
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试解答
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C． 1 2 D．－ 1 2
A．
B．
C．
D．
选 A．解：设⊙O1、⊙O2 半径分别为 R、r(不妨设 R≥r＞0)，|O1O2|＝d．若两圆内含，d＜R－r，则⊙P 与两圆都内切或与小圆外切与大圆内切，所求轨迹为两个以两圆圆心为焦点的椭圆，当两圆圆心重合时，轨迹为圆；故 C 可以是动圆圆心轨迹；当两圆外离， d＞R＋r，若 R＞r，动圆与两圆都外切或都内切，所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线；与一圆内切与另一圆外切时，轨迹也为以两圆圆心为焦点的双曲线，故 D 可以是动圆圆心轨迹；当 R＝r 时，与两圆都外切或都内切的动圆圆心轨迹为两圆圆心连线的中垂线，与一圆内切与另一圆外切时，轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线，故 B 可以是动圆圆心轨迹． A 中的椭圆与双曲线焦点不同，从而没有动圆圆心轨迹为 A 中情形．事实上，当两圆相交时，若 R＞r，动圆与两圆同时外切或内切，所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线，与一圆内切与另一圆外切，轨迹为椭圆，但双曲线与椭圆的焦点相同；若 R＝r，则轨迹为椭圆及一条直线．当两圆内切时，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的椭圆与经过两圆圆心的直线；当两圆外切时，若 R＞r，动圆与两圆都外切或都内切，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的双曲线，与一圆外切与另一圆内切，轨迹为经过两圆圆心的直线；若 R＝r，轨迹为两条直线；即 A 不能成为动圆圆心轨迹． 6．已知 A 与 B 是集合{1，2，3，„，100}的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A∩B 为空集．若 n∈A 时，总有 2n＋2∈B，则集合 A∪B 的元素个数最多为 A．62 B．66 C．68 D．74 选 B．解：由 2n＋2≤100，知 n≤49．即若 n∈A，则 n≤49．把不超过 49 的数分组：{2k－1，4k}(k＝1，2，„，12 其中 2(2k－1)＋2＝4k≤50)，(12 组，24 个数) {2k－1}(k＝13，14，„，25 其中 50≤4k≤100)，(13 组，13 个数) {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38} (余下 4k－2 型数，配对 4 组，8 个数) {26}，{34}，{42}，{46}(4 组，4 个数) 共有 33 组，若 A 在小于 49 的正整数中取出的数超过 34 个，则必有两个数同组，此时 A∩B≠．故 n ≤33．又取 A＝{2k－1|k∈N*，k≤25}∪{2，10，14，18，26，34，42，46}，B＝{2n＋2|n∈A}，满足题意，此时|A∪B|＝66．二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7．在平面直角坐标系内，有四个定点 A(－3，0)，B(1，－1)，C(0，3)，D(－1， y 3)及一个动点 P，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的最小值为．填 3 2＋2 5．解：显然，如图可知，|PA|＋|PC|≥|AC|，|PB|＋|PD|≥|BD|，于是|PA|＋|PB|＋|PC| ＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝3 2＋2 5． → → 8．在∆ABC 和∆AEF 中， B 是 EF 中点， AB＝EF＝1， BC＝6， CA＝ 33，若 AB · AE

2007年全国高中数学联赛一、二试试题及答案.

2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C的平面角的余弦值为（） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（） A. 21- B. 21 C. −1 D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是（） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a42．函数y ＝3 |log 3x|的图象是（） A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（） A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0 B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0 C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为（） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________． 9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f(n)有最大值．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，x O yx O yx O yx O y若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是（） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a4解：an ＝1(n －2)2＋1，当n ＝2时，an 取最大值，故选B ．2．函数y ＝3的图象是（） A ．B ．C ．D ．解：由于|log3x|≥0，故y≥1，只有A 满足此条件，故选A ．3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个解：作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2，则△P1OF 、△P2OF是直角三角形．对于抛物线上异于O 、P1、P2的点Q ，显然∠QFO≠90˚，∠QOF≠90˚，从而若△QOF 为直角三角形，则只能是∠FQO ＝90˚．设点Q 坐标为(y22p，y)(y≠0，±p)，则有y22p (y22p －p2)＋y2＝0，由y≠0得，y22p ＋3p2＝0，此方程无实解，从而这样的点P 只能2个，选B ．4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（）A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)解：则x1＞－x2，知f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)f(x1)＋f(x2)＜0；同理，f(x2)＋f(x3)＜0，f(x3)＋f(x1)＜0；所以，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0．选B ．5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线．故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x|＝|y|＝|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选C ．6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为（） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)解：作辅助图如右：取高CD ＝a ，则AD ＝2a ，BD ＝ A B C D Ex O y x O y x O y x O yABDC3a2aa3a ，最短边AC ＝5a ；由5a ＝1，得a ＝，故选D ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．解：A∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225． 8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________．解：已知即cos2θ－sin2θ＝,3)cos4θ＋sin4θ－2cos2θsin2θ＝； ① 又，cos2θ＋sin2θ＝1cos4θ＋sin 4θ＋2cos2θsin2θ＝1． ② (①＋②)÷2： cos4θ＋sin4θ＝．9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．解：(x －3x2)3＝x3－3x2×3x2＋3x×9x4－27x6．x5 的系数＝27．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界．其中点(3，0)与原点距离最大，故(x2＋y2)max ＝9．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f(n)有最大值．解：由于f(4k)＞0，f(4k ＋1)＞0，(k ∈N*)．f(4k)＝a 4k 1 q2k(4k －1)；f(4k ＋1)＝a 4k ＋11q2k(4k ＋1)．故＝a1q4k ．于是f(12)＞f(13)，且当k≥3时，f(4k ＋1)＜f(4k)；又＝a 31q30，有f(9)＜f(12)；＝a 41q2(8k ＋3)，故f(8)＜f(12)，且k≥3时，f(4k ＋4)＜f(4k)，从而f(12)最大．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．解：设长方体的三度分别为x ，y ，z ，对角线AC ＝d ．则可得x2＋z2＝16，y2＋z2＝9．d2＝x2＋y2＋z2＝25－z2，但0＜z ＜3，从而16＜d2＜254＜d ＜5所求取值范围为(4，5)．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．解：由log 12(3－x)≥－20＜3－x≤4－1≤x ＜3．由≥1(x －a)(x －3a)≤0．1321Oyx① 当a ＞0时，解为a ＜x ＜3a ； ② 当a ＝0时，解为；③ 当a ＜0时，解为3a ＜x ＜a ．若A∩B≠，则当a ＜0时，有a ＞－1－1＜a ＜0；当a ＞0时，有3a ＜30＜a ＜1．所以，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．解法一：已知椭圆的a ＝3，b ＝2，c ＝5，e ＝53，p ＝b2c ＝45．对于椭圆上任一点P ，|FP|＝r ，P 到准线的距离|PH|＝d ，FP 与Ox 正向夹角为θ，则有 rcosθ＋d ＝p ，rd＝e ．于是， d(1＋ecosθ)＝p ，1d ＝1p(1＋ecosθ)．所以， S ＝i ＝1∑241di ＝1p i ＝1∑24(1＋ecosθ)＝24p ＋e p i ＝1∑24co sθ＝24p ．故 S2＝242p2＝180．解法二：设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点．则有⎩⎨⎧y ＝k(x －c)， ①4x2＋9y2＝36． ②①代入②： 4x2＋9k2(x －5)2－36＝0．即， (4＋9k2)x2－185xk2＋45k2－36＝0．所以， x1＋x2＝185k24＋9k2，x1x2＝45k2－364＋9k2．而点P 到准线距离d ＝a2c －x ＝9－5x 51d ＝59－5x ，故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59－5x1＋59－5x2＝5[18－5(x1＋x2)]81－95(x1＋x2)＋5x1x2＝5[18－5·185k24＋9k2]81－95·185k24＋9k2＋545k2－364＋9k2＝185(4＋9k2)－905k281(4＋9k2)－810k2＋225k2－180＝725＋725k2144＋144k2＝52．而过焦点且倾斜角θ＝90˚时，两交点到准线的距离＝a2c －c ＝45，故θ＝90˚及270˚的pθF P OxyH rd两个点到准线距离倒数和也＝52．所以，S ＝12×52＝65；S2＝180．解法三：令⎩⎨⎧x ＝5＋tcosθ，y ＝tsinθ．代入椭圆方程得，t2(4cos 2θ＋9sin2θ)＋85tcosθ－16＝0．同上．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．证明一：延长AE 到F ，使EF ＝AE ，延长AD 到K ，使DK ＝AD ．连FK ，FB ．因FB ∥AC ∠AFB ＝∠EAC ．又BD 垂直平分AK ，故∠AKB ＝∠BAD ，因∠BAD ＝∠EAC ，所以∠AKB ＝∠AFB ．所以A 、F 、K 、B 四点共圆． FK ∥BC ∠FKA ＝90˚．故AF 为该圆直径．E 为此圆圆心．故EA ＝EB ＝EC ，即点C 在此圆上．此圆为△ABC 的外接圆，BC 为圆的直径．所以∠BAC 为直角．证明二：取△ABC 的外接圆，延长AE 交圆于点F ，连FB ，则∠CBF ＝∠CAF ＝∠BAD ，但∠BAD ＋∠ABD ＝90˚，从而∠FBC ＋∠ABC ＝90˚，即∠ABF ＝90˚．从而AF 为圆的直径．若E 不是圆心，则AF ⊥BC ，AB ＝AC ．与已知矛盾．故E 为外心．从而∠BAC ＝90˚．证明三：作△ABC 的外接圆，作EF ⊥BC ，交外接圆于点F ，连AF ．则EF 是BC 的垂直平分线，故F 为⌒BC 的中点，于是AF 是∠BAC的平分线．由∠BAD ＝∠EAC ，得∠DAF ＝∠EAF ．又，EF ∥AD ，故∠DAF ＝∠EFA ∠EAF ＝∠EFA ．EA ＝EF ．故AF 的垂直平分线经过点E ．由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点，故E 为△ABC 的外心．从而△ABC 为直角三角形，得，∠BAC 为直角．证明四：取AC 中点F ，连DF 、EF ，由EF ∥AB ∠AEF ＝∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAC＋∠DAE ＝∠DAC ，由AD 为高，故∠DAC ＝∠ADF ，所以，∠ADF ＝∠AEF A 、D 、E 、F 四点共圆．于是有∠EFA ＝90˚，从而∠BAC ＝90˚，故证．证明五：以D 为原点，BC 所在直线为x 轴建立坐标系．设点A 、B 、C 的坐标分别为A(0，a)，B(b ，0)，C(0，c)．FE D CB AA B C D E FK FD E C B A设AB 到AD 的角为α，则tanα＝－ba ．kAC ＝－a c ，kAE ＝－2ab ＋c ，tan ∠EAC ＝－a c ＋2a b ＋c 1＋2a2c(b ＋c)＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．由tan ∠EAC ＝tanα－ba ＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．化简得a2＝－bc ．即|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．证明六：设BC ＝a ，BD ＝p ，AD ＝h ，则tanB ＝hp ，tan ∠AEB ＝h 12a －p ＝2ha －2p ．∠BAE ＝∠DACtan ∠BAE ＝tan ∠DAC ＝a －ph．在△ABE 中，有h p ＋2ha －2p ＋a －p h ＝h p ·2h a －2p ·a －p h ＝2h(a －p)p(a －2p)．即h2(a －2p)＋2ph2＋p(a －p)(a －2p)＝2h2(a －2p)．h2＝p(a －p)．从而|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．得证．证明七：设∠BAD ＝∠EAC ＝α，则AD ＝ABcosα＝ACsinC ， ①∠BAE ＝∠DAC ＝90˚－C ．而S △BAE ＝S △CAE AB·AEsin(90˚－C)＝AC·AEsinαABcosC ＝ACsinα．②①×②：sin2α＝sin2C α＋C ＝90˚或α＝C ．若α＋C ＝90˚，则D 、E 重合，与AC ＞AB 矛盾，α＝C ．则有∠BAC ＝90˚，得证． 16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．解 p ＝2时，p2＋71＝75＝3×52，d(75)＝2×3＝6＜10，故p ＝2是本题的解； p ＝3时，p2＋71＝80＝24×5，d(80)＝5×2＝10≤10，故p ＝3是本题的解；若质数p ＞3，则p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8)，故23|p2＋71； p2≡1(mod 3)p2＋71≡0(mod 3)，故3|p2＋71．所以，p2＋71＝2α×3β×t ．其中α、β∈N*，且α≥3．当α＝3，β＝1，t 若有大于3的质因子，则d(p2＋71)≥4×2×2，故t ＝1．此时无质数p 满足题意；当α＝4，β＝1，必有t ＝1，此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p 满足题意；当α≥4，β≥1，且等号不同时成立时，d(p2＋71)＞10．综上可知，解为p ＝2，3．xyA (0,a )B (b ,0)C (c ,0)D EahpABCED高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。