2019-2020学年高中数学 3.1.1数系的扩充与复数的概念练习新人教A版选修2-2

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部编版2020学年高中数学第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念课时达标训练新人教A版选修20

3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课时达标训练
1.下列命题中:
①两个复数不能比较大小;②若z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当a=0且b≠0时,z为纯虚数;③(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;④x+yi=1+i⇔x=y=1(x,y∈R);⑤若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.根据对复数相等的充要条件的认识及复数概念判断此题.
2.“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”是“a=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a+bi(a,b∈R)为纯虚数时,则a=0,b≠0,但当a=0时,a+bi不一定是纯虚数,因为
时,a+bi=0为实数.
3.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为( )
A.1
B.0
C.-1
D.-1或1
【解析】选B.因为m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,所以解得m=0.
4.已知a,b∈R,i为虚数单位,若a-i=2+bi,则a+b=________.
【解析】因为a-i=2+bi,a,b∈R,所以a=2,b=-1,所以a+b=1.
答案:1
5.设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足
(1)z是实数.
(2)z是纯虚数.
【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零虚部不为零.
【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.
(2)由解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念练习(含解析)新人教A版

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3.1.1数系的扩充和复数的概念一、选择题1．下列命题中：①若a∈R，则（a＋1)i是纯虚数；②若a、b∈R且a>b，则a＋i3〉b＋i2；③若(x2－1）＋(x2＋3x＋2）i是纯虚数,则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中,正确命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】对于复数a＋b i(a,b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1,则（a ＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i,b ＋i2＝b－1,复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 2．(2014·白鹭洲中学期中）复数z＝(m2＋m)＋m i（m∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（）A．0或－1 B．0 C．1 D．－1【答案】D【解析】∵z为纯虚数，∴错误!∴m＝－1，故选D。

3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4a i相等，则实数a的值为( )A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4【答案】C【解析】由复数相等的充要条件得错误!解得：a＝－4。

2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习新人教A版选修1_2

3-1-1 数系的扩充和复数的概念[综合提升案·核心素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．有下列四个命题：①方程2x －5＝0在自然数集N 中无解．②方程2x 2＋9x －5＝0在整数集Z 中有一解，在有理数Q 中有两解．③x ＝i 是方程x 2＋1＝0在复数集C 中的一个解．④x 4＝1在R 中有两解，在C 中也有两解．其中正确命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析由数系扩充的意义和虚数单位i ，易判断④是错误的，因为(±i)4＝1. 答案 C2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5i D.5＋5i答案 A3．已知x ，y ∈R ，且(x ＋y )＋2i ＝4x ＋(x －y )i ，则A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3 解析由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x ，2＝x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3.答案 C4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得：x ＝－1.答案 A5．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析 a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴由两复数相等的充要条件得，a ＝1，b ＝－1.答案 D6．复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i ，若z >0，则实数a 的值是 A. 3 B ．1C ．－1D ．－ 3解析因为z >0，所以z ∈R，故a 2－3＝0，解得a ＝±3，当a ＝－3时，z <0，故a ＝ 3.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________．解析设y ＝b i(b ≠0，b ∈R)，则2x －1＋2i ＝b i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝02＝b 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12b ＝2∴x ＝12，y ＝2i. 答案 122i 8．若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R)是实数，则a ＝______．解析 (a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R)为实数的充要条件是a 2－1＝0，∴a ＝±1. 答案 ±19．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R)，且z ＜0，则k ＝________．解析因为z ＜0，所以z ∈R，故虚部k 2－5k ＋6＝0，(k －2)(k －3)＝0，所以k ＝2或k ＝3，但k ＝3时，z ＝0，故k ＝2.答案 2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(11分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 取何值时．(1)z 为实数.(2)z 是纯虚数．解析 (1)∵z 为实数，∴m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，∴m ＝－1或m ＝－2.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0m 2＋3m ＋2≠0解得m ＝3. 11．(12分)已知P ＝{－1，1，4i}，M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}．若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解析因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.12．(12分)设关于x 的方程是x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.(1)若方程有实根，求锐角θ和实数根.(2)证明：对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根．解析 (1)设实根是α，则α2－(tan θ＋i)α－(2＋i)＝0，即α2－tan θ·α－2－(α＋1)i ＝0，∵α·tan θ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧α2－tan θ·α－2＝0，α＋1＝0，∴α＝－1且tan θ＝1，又0＜θ＜π2，∴θ＝π4，α＝－1. (2)证明若方程存在纯虚数根，设为x ＝b i(b ∈R，b ≠0)，则(b i)2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2＋b －2＝0b tan θ＋1＝0此方程组无实数解，所以对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根．。

2019-2020年高中数学3.1数系的扩充和复数的概念课后练习题附答案

2019-2020年高中数学3.1数系的扩充和复数的概念课后练习题
附答案
一．选择题：
1.复数-2i的实部与虚部是（ D ）
（A）0,2 （B）0，0 （C）-2,0 （D）0,-2
2．以2i-5的虚部为实部，以5i+2的实部为虚部的新复数是（ A ）（A）2+2i （B）2+i
（C）- 5+5i （D）5+5i
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m满足（ D ）
（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6
(D) m≠－1且m≠6
4．如果（x+y）i=x-1,则实数x，y的值为（ A ）
（A）1，-1（B）0，-1 (C) 1,0 (D) 0，0
5.下列命题中，假命题是( C )
（A）两个复数不可以比较大小
（ B）两个实数可以比较大小
（ C ）两个虚数不可以比较大小
（ D ）一虚数和一实数不可以比较大小
二．填空题：
6.化简：2i4 = 2 i2=-1
i3= -i
7．若x是实数，y是纯虚数，且2x-1+2i=y，则x，y的值为__x=1/2
y=2i___.
8．实数集，虚数集，纯虚数集，复数集，的关系用图形表示是
9．设复数Z取何值时
（1）Z是实数；（2）Z是纯虚数；
解：（1）m2+3m+2=(m+2)(m+1)=0 解得m=-1或-2
(2) m2-m-2=(m-2)(m+1)=0 解得m=-1（舍）或2。

2019-2020学年高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课后习题新人教A版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课后习题新人教A版选修2-2课时演练·促提升A组1.若复数2-b i(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()A.-2B.C.-D.2解析:复数2-b i的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.答案:D2.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.B.2 C.0 D. 1解析:由复数相等的充要条件知,解得故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()A.M∪R=IB.(∁I M)∪R=IC.(∁I M)∩R=RD.M∩(∁I R)=⌀解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.所以应有:M∪R⫋I,(∁ I M)∪R=∁I M,M∩(∁I R)≠⌀,故A,B,D三项均错,只有C项正确.答案:C4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则即x2+y2=4且x≠y.由可解得故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).答案:D6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号). 解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sin π=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④7.满足x2+2x+3i=m+x i(x,m∈R)的m的值为.解析:由已知可得所以m=15.答案:158.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?(2)当实数m为何值时,z是实数?解:(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数,所以解得m=1±,所以当m=1±时,z是纯虚数.(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,所以解得m=-2,所以当m=-2时,z是实数.9.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.解:由定义运算=ad-bc,可得=3x+2y+y i.即(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+y i.由复数相等的充要条件得解得B组1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.±3解析:依题意应有解得m=3.答案:B2.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是. 解析:∵z为虚数,∴m-sin θ-cos θ≠0,即m≠sin θ+cos θ.∵sin θ+cos θ=sin∈[-],∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(,+∞)3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为. 解析:由z1>z2,得解得a=0.答案:04.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.解析:若复数为纯虚数,则有即故a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数.从而有由①,得m=0或m=3.当m=0时,代入②,得0<n<2,又m+n>0,所以n=1;当m=3时,代入②,得n<-1,与n是自然数矛盾.综上可得,m=0,n=1.6.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:∵M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 得解得m=2.综上可知m=1或m=2.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A版选修1211

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________．解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值．解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________．解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意；当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意．所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意．所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。

2020版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习(含解析)新人教A版选修2_2

3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1.已知C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=CB.∁U A=BC.A∩(∁U B)=⌀D.B∪(∁U B)=C答案:D2.若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1解析:∵z是纯虚数,解得∴m=-1.故选B.答案:B3.以2 的虚部为实部以-2的实部为虚部的复数是()A.2+iB.2-2iC解析:2 的虚部为2-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.答案:B4.若a-2i=1+b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2=()A.0B.2C.25D.5 解析:由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,所以a2+b2=1+(-2)2=5.答案:D5.若4-3a-a2i=a2+4a i,则实数a= .解析:由--得a=-4.答案:-46.已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R).若z是纯虚数,则m= .解析:∵z为纯虚数,------m=-1.答案:-17.已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),则当m= 时,z为实数;当m= 时,z为纯虚数.解析:当z为实数时,由m2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z为纯虚数时,由----得m=6.答案:3或-1 68.若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.分析:由于题目中两个复数能比较大小,因此它们都是实数,由此列出关于m的方程组,求出m的值.解:由题意,得--即或或故实数m的值为3.9.若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m∈R,且z1>z2,求实数m的取值集合.解:依题意有--解得或-或-或或因此m=0,故实数m的取值集合为{0}.能力提升1.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},则实数m的值为()A.-1B.-1或4C.6D.6或-1解析:∵M∩P={3},∴(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.∴m=-1.故选A.答案:A2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是()A.|a|=|b|B.a<0,且a=-bC.a>0,且a≠bD.a≤解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤ .答案:D3.在下列命题中,真命题的个数是()①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R,且a>b,则a+i2>b+i2;③若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3解析:解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.①因为x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题;②因为i2=-1,且a>b,所以a+i2>b+i2成立,故②是真命题;③当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故③是假命题.答案:B4.已知复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+θ.若z1=z2,则θ等于()A.kπ(k∈Z)B.2k k∈Z)C.2k k∈Z)D.2k k∈Z)解析:由复数相等的充要条件可知∴cosθsinθ∴θkπ(k∈Z),故选D.答案:D5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a≠-1,且a≠2C.a≠-1D.a≠2解析:①当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1,且a≠2.②当a2-a-2=0,且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得-或或故a=2.综上,可知当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.答案:C6.★已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.解析:∵z1=z2,∴λ=4-cosθ.又- ≤ θ≤∴ ≤ -cosθ≤ .∴λ∈[3,5].答案:[3,5]7.是否存在实数m,使复数z=(m2-m-6--为纯虚数若存在求出m的值;否则,请说明理由.分析:先假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解:不存在.理由如下:假设存在实数m使z是纯虚数,则 ①②由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立,故不存在实数m使z是纯虚数.。

2019_2020学年高中数学3.1.1数系的扩充和复数的概念课时作业(含解析)新人教A版选修1_2

课时作业8 数系的扩充和复数的概念知识点一复数的概念 1.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2 B ．－32C ．2－32D ．0答案 C解析由复数定义知C 正确．2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C答案 D解析集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．知识点二复数的分类 3.下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若复数z ＝－5i ，则复数z 的实部为0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若复数z ＝3i 2，则它的虚部是3. 其中正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．②③ D ．②③④ 答案 B解析在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，而是实数，故①错误．在②中－5i 为纯虚数，故②正确．在③中，若x ＝－1，则(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，故③错误．在④中z ＝3i 2＝－3，故它的虚部为0，故④错误，所以选B.4．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4. 知识点三复数相等的充要条件5.已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0求实数x ，y 的值．解由复数相等的条件得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0， ②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0，解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－ 2.所以x 1＝y 1＋2＝1＋2，x 2＝y 2＋2＝1－2，即⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1＋2或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝－1－ 2.易错点对纯虚数的概念把握不准6.设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.易错分析复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可，本题易忽视“纯虚数虚部不为0”这一条件而致误．答案－2解析复数m 2＋m －2＋(m2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2.故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数．一、选择题1．下列各数中，纯虚数的个数是( ) 3＋7，23i,0i,8＋3i ，(2＋3)i,0.618A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析根据纯虚数的定义知，23i ，(2＋3)i 是纯虚数．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－5＋5i D.5＋5i答案 A解析－5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) 答案 B解析由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．二、填空题5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1.故复数不是纯虚数时a ≠－1.6．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．答案 0 解析由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.7．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 答案 94 32解析 ∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.三、解答题8．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数．解设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得 (2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ，即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y 1，求实数x ，y 的值．解由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.。

高中数学 3.1《数系的扩充和复数的概念》测试新人教A版选修1—2

3.1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1．设z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ A ） A.3 B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______________________________________.解：0)1(2tan 2=+---i x x x θ原方程可化为， 4,10102tan 2ππθθ+=-=⎩⎨⎧=+=--k x x x x 解得 3．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数；（2）Z 是纯虚数；（3）Z 对应的点位于复平面的第一象限解：是实数时，或－。

即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++>--。

是纯虚数时，。

即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩⎪⎨⎧≠++--。

时，－或。

即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象限。

练习:一．选择题：1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是（）（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足（）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠63．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小（ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小（ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：4．复数2(2)(11)()a a a ia R --+--∈不是纯虚数，则有__________________. 5．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =三．解答题：6．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。

高中数学3.1.1数系的扩充和复数的概念练习新人教A版选修1-2

3.1.1数系的扩充和复数的概念一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B ．23 C ．－23D ．2[答案] D[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.2．(2015·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．3．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0[答案] A[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．4．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x 、y ∈R )是实数，则x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a 、b ∈R )不是实数 [答案] A[解析] 两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A 正确；B 中当a ＝0时，a i 是实数0；C 中若x ＋y i 是实数，则y ＝0就可以了；D 中当b ＝0时，复数a ＋b i 为实数．5．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0[答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 6．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i[答案] C[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ，所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝______，y ＝______ [答案] 141[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________. [答案] 2＋3，0.618，i 2[解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 9．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________. [答案] －1[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0①且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6，解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6，解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．一、选择题1．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(0∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋πk(k ∈Z )C ．2k π±πk(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin2θ＝cos θcos θ＝3sin θ，∴cos θ＝32，sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D ．2．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[答案] D[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 3．若复数m ＋1＋(m －1)i 是实数，则实数m 满足( ) A ．m ≠1 B ．m ≠＝－1 C ．m ＝1 D ．m ＝－1[答案] C[解析] ∵复数m ＋1＋(m －1)i 为实数，m ∈R ，∴m －1＝0，∴m ＝1. 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4[答案] C[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a2－a 2＝4a，解得a ＝－4.二、填空题5．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________. [答案] 2k π＋π2(k ∈Z )．[解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝01＋sin θ≠0，所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．6．若x 是实数，y 是纯虚数，且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________. [答案] 122i[解析] 设y ＝b i(b ∈R, 且b ≠0)，则2x －1＋2i ＝b i ，再利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝02＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12b ＝2.∴x ＝12，y ＝2i.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎨⎧m＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．8．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．。

(新课程)高中数学3.1.1数系的扩充和复数的概念评估训练新人教A版选修1-2

第三章数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案－26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1，代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案－410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －，log 2x 2＋2x ＋＝0，∴x ＝－2.答案－211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？解当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0，此时z 1与z 2同时为实数，此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。

2019-2020学年度高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充课后导练

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充课后导练______年______月______日____________________部门课后导练基础达标1．复数1-i的虚部是（）A.1B.-1C.iD.-i解析：由虚部定义可知B正确.答案：B2．设全集I={复数}，R={实数}，M={}，则（）A.M∪R=IB.C. D.解析：∵={实部不为0的虚数}∪R，∴∩R=R.答案：C3．以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是（）2 2A.3-3iB.3+IC.- +ID. +i2 222解析：3i-的虚部为3，3i2+i的实部为-3.22∴以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是3-3i.2 2答案：A4．i2+i是（）A.实数B.虚数C.0D.1解析：∵i2=-1,∴i2+i=-1+i. 答案：B5．若a 、b 、c ∈C,则(a-b)2+(b-c)2=0是a=b=c 的（） A.充要条件B.充分但不必要条件C.必要但不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：取a=2+i,b=2,c=1,则(a-b)2+(b-c)2=(2+i-2)2+(2-1)2=i2+1=-1+1=0.显然a≠b≠c. ∴充分性不成立，必要性显然成立. 答案：C6．若x 是实数,y 是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=_________,y=_________.解析：由x 是实数，y 是纯虚数得⎩⎨⎧==-.2,012y i x∴⎪⎩⎪⎨⎧==iy x 2,21 答案： 2i 217．若log2（x2-3x-2）+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x 的值（或范围）是_________.解析：∵log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++>--.0)12(log ,1)23(log 2222x x x x∴x=-2. 答案：-28．（20xx 上海高考，理5）若复数z 同时满足z-=2i, =iz(i 为虚数单位)，则z=_________.z z解析：设z=x+yi(x,y∈R)，则⎩⎨⎧+=-=--+),(,2)()(yi x i yi x i yi x yi x即 ∴⎩⎨⎧-=-=.,22y xi yi x i yi ⎩⎨⎧-=-==.1,1y x y ∴z=-1+i. 答案：-1+i9．若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数，求实数m 的值. 解：∵log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,∴∴m=4.⎩⎨⎧≠-=--.0)2(log ,0)33(log 222m m m故当m=4时，log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)是纯虚数.10．已知+(x2-2x-3)i=0(x ∈R),求x 的值.1x 6x x 2+--解：由复数相等的定义得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--.032,01622x x x x x 解得x=3. ∴x=3为所求. 综合运用11．m 取何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i.3m 6m m 2+--(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？解：（1）当时，⎩⎨⎧≠+=--03,01522m m m即⎩⎨⎧-≠-==,3,35m m m 或∴m=5时，z 是实数.（2）当时，⎩⎨⎧≠+≠--03,01522m m m即⎩⎨⎧-≠-≠≠.3,35m m m 且∴当m≠5且m≠-3时，z 是虚数.（3）当时，⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠+=--0152,03,0622m m m m m即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠-≠-==.35,3,23m m m m m 且或 ∴当m=3或-2时，z 是纯虚数.12．问m 为何值时，复数z=(m-1)+(m-1)(m+2)i 的值为零. 解析：∵z=0， ∴⎩⎨⎧=+-=-,0)2)(1(,01m m m∴m=1.13．设z=log2(a2-3a-3)+i ［1+(a+3)］(a ∈R),如果z 为纯虚数，试求a.21log解析：∵z 是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--②①0)3(log 10)33(log 2122a a a解①可知a2-3a-3=1，则a=4或a=-1. 解②可知：a≠-1. 综上所述：a=4. 拓展探究14．已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M ∪P=P,求实数m 的值.解：∴由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1.得解之，得m=1.⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-.02,1222m m m m由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解之，得m=2.⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.42,0222m m m m综上，可知m=1或m=2.。

2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：3.1.1数系的扩充与复数概念

3．1.1 数系的扩充与复数概念填一填1.复数(1)定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．满足i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定： a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d . 4．复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：判一判1.若a ，b 解析：当b ＝0时，z 是实数，故错误． 2．复数z ＝b i 是纯虚数．(×)解析：当b ＝0时，z 是实数，故错误．3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√) 解析：由复数相等的充要条件可知正确． 4．－1没有平方根．(×) 解析：－1的平方根为±i ，所以错．5．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i.(×)解析：由于两个虚数不能比较大小，所以错．6．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1.(×)解析：由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故错误．想一想1.复数m ＋n i 提示：不一定．只有当m ∈R ，n ∈R 时，m ，n 才是该复数的实部、虚部． 2．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，它的虚部是b 还是b i? 提示：虚部为b .3．复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？提示：当b ＝0时z 表示实数．4．复数集C 与实数集R 之间有什么关系？提示：R 是C 的真子集．5．我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0.6．a ＝0是z ＝a ＋b i 为纯虚数的充要条件吗？提示：不是．因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．7．z 1＝3＋2i ，z 2＝12－3i ，z 3＝－0.5i ，则z 1，z 2，z 3的实部和虚部各是什么？能否说z 1>z 2?提示：z 1的实部为3，虚部为2；z 2的实部为12，虚部为－3；z 3的实部为0，虚部为－0.5，因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z 1>z 2.8．若(a －2)＋b i>0，则a ，b 应满足什么条件？提示：要使(a －2)＋b i>0成立，则(a －2)＋b i 应为实数，且a －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0，a －2>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a >2，b ＝0. 思考感悟：练一练1．给出下列四个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③复数3－4i 的实部与复数4－3i 的虚部相等；④若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不一定成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题．对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2i ，所以②为假命题．对于③，复数3－4i 的实部为3，复数4－3i 的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a ＝－1时，(a ＋1)i 为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．答案：A2．下列命题：①1＋i 2＝0；②若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；③两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)解析：②当x ＝i ，y ＝1时，x 2＋y 2＝0，所以②错．所以①③正确．答案：①③3．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.答案：3或－2知识点一复数的概念1.复数⎝⎛⎭⎫2－3i 的虚部为( )A ．2B ．－32C ．2－32D ．0 解析：由复数定义知C 项正确．答案：C 2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C解析：集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．答案：D知识点二复数的分类3.若复数z A ．－2 B ．3 C ．－3 D ．±3解析：依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3.答案：B4．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.解析：复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2.故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数．答案：－25．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)若z 为实数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ≠－2且m ≠－1，解得m ≠－2且m ≠－1.∴当m ≠－2且m ≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m ＋1)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或＝－2，m ≠－1且m ≠－2.解得m ＝0.∴当m 知识点三复数相等的充要条件6.若a A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4. 答案：D7．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12B ．2C ．0D ．1解析：由复数相等的充要条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 答案：D8．已知M ＝{2，m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1,2,4i}，若M ∪N ＝N ，求实数m 的值．解析：因为M ∪N ＝N ，所以M ⊆N ，所以m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝1或m ＝2.所以实数m 的值是1或2.基础达标1．已知复数z ＝1＋i ，则下列结论中正确的个数是( ) ①z 的实部为1；②z >0；③z 的虚部为i.A ．1B ．2C ．3D ．0解析：易知①正确，②③错误，故选A. 答案：A2．下列各数中，纯虚数的个数是( )2－7，17i ，i 2,5i ＋8，i 2＋1＋3i,0.618＋a i(a ∈R )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由纯虚数的定义知，17i ，i 2＋1＋3i ＝3i 是纯虚数．答案：C3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2iC ．－5＋5i D.5＋5i解析：－5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i. 答案：A4．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2 B.23C ．－23D ．2解析：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2. 答案：D5．复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ ＋i 3sin θ(θ∈R )，若z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π2(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )解析：由复数相等的充要条件可知，⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ，∴cos θ＝32，sin θ＝12， ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D.答案：D6．复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1，故选C.答案：C7．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－1解析：根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.答案：B二、填空题8．3i 2＋7i 的实部为________，虚部为________．解析：3i 2＋7i ＝－3＋7i ，实部为－3，虚部为7. 答案：－3 79．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.解析：∵z <0，∴z 为实数且小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，解得m ＝－1.答案：－110．满足x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值分别为________，________.解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.答案：0 311．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝94，y ＝32.答案：94 3212．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数(其中i 是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析：因为sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，所以⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝1，cos θ≠－22，即⎩⎨⎧θ＝k π＋π4(k ∈Z )，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，又θ∈[0,2π)，所以θ＝π4.答案：π4三、解答题13．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解析：由题意，得(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－3a －1＝3，解得a ＝－1. 14．根据下列条件，分别求实数x ，y 的值． (1)x 2－y 2＋2xy i ＝2i ； (2)(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i.解析：(1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)∵(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.能力提升15.若关于x 的方程(1＋i)a 的值．解析：将原方程整理，得(x 2－2ax ＋5)＋(x 2－2x －3)i ＝0. 设方程的实数解为x 0，代入上式得(x 20－2ax 0＋5)＋(x 20－2x 0－3)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20－2ax 0＋5＝0，x 20－2x 0－3＝0，得a ＝73或a ＝－3.16．求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数．解析：(1)复数z 是虚数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数． (2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2，即m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．(3)由已知得，复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3，即m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．。

2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入素养提升演练(三)(含解析)新人教A版选修1_2

第三章数系的扩充与复数的引入1．(2018·宁波镇海中学模拟)复数z 与(z ＋3)2－5i 都是纯虚数，则z ＝( ) A ．3i B ．－3i C ．±3iD.56i 解析：选C.设纯虚数z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，则(z ＋3)2－5i ＝(3＋a i)2－5i ＝9－a 2＋(6a－5)i.又(z ＋3)2－5i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧9－a 2＝06a －5≠0，解得a ＝±3，所以z ＝±3i.2．已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1的共轭复数是21－i，则复数z 2＝( )A ．－1＋iB ．1－iC ．1＋iD ．－1－i解析：选D.因为z 1的共轭复数是21－i ，且21－i ＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以z 1＝1－i.又复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以z 2＝－1－i.3．已知复数z ＝m －2i(m ∈R )，ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差为－4m ，则|z |＝________．解析：因为z ＝m －2i ，所以ω＝z (z ＋i)＝(m －2i)(m －2i ＋i)＝m 2－2－3m i ，所以－3m －(m 2－2)＝－4m ，解得m ＝－1或m ＝2，所以z ＝－1－2i 或z ＝2－2i ，所以|z |＝5或2 2.答案：5或2 24．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )且|z －2|＝3，则yx的最大值是________，最小值是________．解析：如图所示，因为|z －2|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝k OA ＝31＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝k OB＝－ 3. 答案： 3 － 3 5．计算：(1)1＋2i3－4i ＋(1＋i)(1－i)； (2)2＋2i()1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6.解：(1)1＋2i3－4i ＋(1＋i)(1－i)＝()1＋2i ()3＋4i ()3－4i ()3＋4i ＋1－i 2＝－5＋10i 25＋2＝95＋25i. (2)2＋2i()1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6＝2＋2i －2i ＋()26()1＋i 6＝1＋i－i＋8⎣⎡⎦⎤()1＋i 23＝()1＋i i－i ·i＋8()2i 3＝－1＋i ＋1－i＝－1＋i ＋i ＝－1＋2i. 6．已知z ＝1＋i.(1)若ω＝z 2＋3z －－4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：(1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i －1＋3－3i －4＝－1－i. (2)由z ＝1＋i ，得z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝（1＋i ）2＋a （1＋i ）＋b （1＋i ）2－（1＋i ）＋1 ＝1＋2i －1＋a ＋a i ＋b1＋2i －1－1－i ＋1＝a ＋b ＋（a ＋2）ii＝[a ＋b ＋（a ＋2）i]（－i ）i （－i ）＝a ＋2－(a ＋b )i ，因为z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，所以a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.。