知识讲解_三角函数的图象和性质_基础

正弦、余弦的图象和性质 编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.

2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22

ππ

-的单调性.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、“五点法”作图

在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(

,1)2

π

，

(,0)π，3(

,-1)2

π

，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质

名称

sin y x =

cos y x = tan y x =

定义域

x R ∈ x R ∈

{|,}

2

x x k k Z π

π≠+

∈

值 域

[1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞

图象

奇偶性

奇函数 偶函数 奇函数

单调增区间:

单调增区间:

单调增区间：

应用

三角函数的图象与性质

正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质

正切函数的 图象与性质

要点诠释：

①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．

②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期

一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有

(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的

最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释：

应掌握一些简单函数的周期：

①函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T π

ω

=

；

②函数tan()y A x ωϕ=+的周期T πω

=

； ③函数sin y x =的周期=T π；

④函数tan

y x

=的周期=

Tπ.

【典型例题】

类型一、定义域

例1．求函数

2

1

log1

sin

=-

y

x

的定义域.

【思路点拨】根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可，同时对数要有意义，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.

【解析】为使函数有意义，需满足2

1

log10,

sin

sin0.

⎧

-≥

⎪

⎨

⎪>

⎩

x

x

，解得

1

0sin

2

<≤

x，由单位圆，如图所示：故函数的定义域为

5

{|22,}{|22,}

66

x k x k k Z x k x k k Z

ππ

πππππ

<≤+∈+≤<+∈.

【总结升华】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.

举一反三：

【变式】求函数2

2sin cos1

=+-

y x x的定义域.

【解析】为使函数有意义，需满足2

2sin cos10

+-≥

x x，即2

2cos cos10

--≤

x x，解得

1

cos1

2

-≤≤

x，由单位圆，如图所示：

函数的定义域为

22

{|22,}

33

x k x k k Z

ππ

ππ

-<<+∈.

例2．求函数2

sin

25log(2sin1)

x

y x x

=--的定义域.

【思路点拨】只需2

250

x

-≥，同时对数要有意义，即底sin0

x>且sin1

x≠，真数

2sin10

x->.

【解析】由题有

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

>

-

≠

>

≥

-

1

sin

2

1

sin

sin

252

x

x

x

x

⇒

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

∈

+

≠

∈

+

<

<

+

≤

≤

-

)

(

2

2

)

(

6

5

2

6

2

5

5

Z

k

k

x

Z

k

k

x

k

x

π

π

π

π

π

π

将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，

即：

∴因此函数的定义域为：

3375

[5,)(,)(,)(,)

2266226

πππππππ

----

【总结升华】①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.

②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.

举一反三：

【变式1】求函数的定义域：

（1）2log tan

1

2

y x x

=+（2）

tan(sin

4

lg(2cos1)

x x

y

x

π

-

=

-

.

【解析】（1）要使得函数有意义，需满足

04

2log0

1

2

tan02

x

x

k x k

x

π

ππ

<≤

+≥

⇒

≤<+

≥

⎧

⎧

⎪⎪

⎨⎨

⎪⎪

⎩⎩

，

解得

2

0x

π

<<或4

x

π≤≤，

∴定义域为：(0,)[,4]

2

x

π

π

∈.

（2）要使得函数有意义，需满足

42

sin0

2cos10

2cos11

x k

x

x

x

ππ

π

⎧

-≠+

⎪

⎪⎪

≥

⎨

⎪->

⎪

-≠

⎪⎩

解得

π

22,

3

k x k k Z

ππ

<<+∈

∴定义域为：

π

{|22,}

3

x k x k k Z

ππ

<<+∈.

【变式2】已知()

f x的定义域为[0,1]，求(cos)

f x的定义域.