111 1.3.1函数的单调性

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函数的单调性与导数（获奖教案

函数的单调性与导数（获奖教案3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是⾼中数学（选修1-1）第三章导数及其应⽤的第三节，本节的教学内容属导数的应⽤，是在学⽣学习了导数的概念、计算、⼏何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，⼜可为后⾯研究函数的极值和最值打好基础.由于学⽣在⾼⼀已经掌握了单调性的定义，并能⽤定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学⽣体验到，⽤导数判断单调性要⽐⽤定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数⽽⾔），充分展⽰了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容⽤1课时完成，主要经历从⽣活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到⼀般的数学思想，体现了数学知识来源于⽣活，⼜服务于⽣活.教学⽬标重点：利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何⽤导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能⼒点：1.通过本节的学习，掌握⽤导数研究单调性的⽅法.2.在探索过程中培养学⽣的观察、分析、概括的能⼒渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学⽣多动⼿、多观察、勤思考、善总结，培养学⽣的探索精神，引导学⽣养成⾃主学习的学习习惯.⾃主探究点：通过问题的探究，体会知识的类⽐迁移.以已知探求未知，从特殊到⼀般的数学思想⽅法.考试点：利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，⽽不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三⾓板课堂模式：学案导学⼀.引⼊新课y 的单调性，如何进⾏？师：判断函数的单调性有哪些⽅法？⽐如判断2x⽣：⽤定义法、图像法.师：因为⼆次函数的图像我们⾮常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想⼀下，有没有需要注意的地⽅？⽣：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本⽅法，但定义法较繁琐,⼜不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭⽰并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断⼆次函数的单调性）⼊⼿，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最⼤值或最⼩值等性质是⾮常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有⼀个基本的了解．函数的单调性与函数的导数⼀样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?⼆．探究新知师：如图（1），它表⽰跳⽔运动中⾼度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表⽰⾼台跳⽔运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最⾼点，以及从最⾼点到⼊⽔这两段时间的运动状态有什么区别？⽣：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最⾼点，离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最⾼点到⼊⽔，运动员离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学⽣提供⼀个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学⽣；让学⽣完成对函数单调性与导数关系的第⼀次认识，明确研究课题.师：导数的⼏何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下⾯函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；⽽x y 2/=，当0x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；⽽2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞?-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,⽽2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运⽤.让学⽣体会从特殊到⼀般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学⽣在⽼师的引导下⾃主学习和探索，提⾼学习的成就感和⾃信⼼.三. 理解新知师：如图，导数'0()f x 表⽰函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？⽣:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/师⽣共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/【设计意图】通过导数的⼏何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成⼀般性结论.让学⽣经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.四．运⽤新知例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的⼤致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点⽐较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的⼤致形状如图所⽰．学⽣思考，并在纸上画出函数图像教师投影若⼲学⽣的作业情况,学⽣共同分析.【设计意图】让学⽣通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利⽤导函数研究函数的必备技能.这⾥让学⽣切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1所⽰．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图2所⽰．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3所⽰．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图4所⽰．学⽣练（3）、（4）【设计意图】让学⽣初步体会⽤导数的⽅法确定函数单调性的简便. 【师⽣活动】总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例3．已知函数xx y 1+=，试讨论出此函数的单调区间. 解：2222//)1)(1(111)1(x x x x x x x x y +-=-=-=+=２令0)1)(1(2>+-xx x . 解得11-<>x x 或∴xx y 1+=的单调增区间是：),1()1-,(+∞-∞和令0)1)(1(2<+-x x x ，解得1001<<<<-x x 或∴xx y 1+=的单调减区间是：)1,0()0,1(和-练习：93P 1题五.课堂⼩结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间【设计意图】通过师⽣共同反思，优化学⽣的认知结构.六. 布置作业必做：课本８9P A 组 1,2 选做：1、求下列函数的单调区间： (1) 76223+-=x x y (2) x xy 21+=(3) []π2,0,sin ∈=x x y (4) x x y ln = 2、已知32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)P 且在1x =-处的切线⽅程为670x y -+=，求（1）()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间.3、已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学⽣动⼿练习,加强学⽣的应⽤意识.七.教后反思1. 本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学⽣以已知的熟悉的⼆次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从⽽到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推⼴到⼀般.这个过程中既让学⽣获得了关于新知的内容，更可贵的是让学⽣体会到如何研究⼀个新问题，即探究⽅法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想⽅法,培养了学⽣的探索精神，积累了探究经验.2. 不⾜之处：学⽣对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练.⼋、板书设计。

课时1 函数的单调性

关于函数单调性的教学，建议教师先通过图象观察分析图象的特征，让学生说出图象分别反映的函数的性质．然后教师再借助学生所熟悉的二次函数的图象来研究函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，给出这一性质就是函数的单调性．最后将这一性质用数学符号语言描述出来，进而给出函数的增、减性概念，通过例题让学生掌握判断函数单调性的步骤和方法．
的图象向左平移一个单位，再向上平移两个
单位得到，如图：
要使函数f(x)＝
2x－1 x＋1
在区间[m，＋∞)上为增函数，则需满足m∈(－
1，＋∞)．
(备选题)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－ a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围．
－1<1－a<1，
解：由题知－1<2a－1<1， 1－a>2a－1，
一、导入新课如图为某地2020年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：
二、提出问题 1．温度在哪个时间内是逐步升高的或下降的？
2．怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增长气温逐渐升高”这一特征？
3．对于任意的t1，t2∈[4,16]时，当t1<t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢？
(1)求f(－2)，f
1 2
的值；(2)试判断函数在
－1，＋∞
上的单调性，并
给予证明．解：(1)由函数f(x)＝axx＋－11的图象过点(1,2)，得f(1)＝a－2 1＝2，解得a
＝5，所以f(x)＝5xx＋－11，所以f(－2)＝－－111＝11，f12＝5×12＋12－1 1＝1.
(2)函数在(－1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x1，x2，且－ 1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝5xx11＋－11－5xx22＋－11＝ 5x1－1x2＋1－5x2－1x1＋1

1.3.1 函数的单调性讲义

1.3.1 函数的单调性一、单调函数的定义如果y ＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这个区间叫做y ＝f(x)的单调区间。

注意：（1）区间D ，必须在定义域I 内，即D ⊆I ，一个函数在不同区间上的单调性可以不同。

（2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则x 1＜x 2⇔f(x 1)＜f(x 2)。

（3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在D 上是增函数，则图象在D 上从左到右呈上升趋势；f(x)在D 上是减函数，则图象在D 上从左到右呈下降趋势。

（4）函数单调性受区间限制。

如函数f(x)＝x1分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是减函数，但不能说成它在整个定义域内(－∞,0)∪(0,＋∞)上是减函数。

单调区间用“，”逗开，不能用“∪”。

（5）有些函数不具备单调性。

如f(x)＝x ＋1，x ∈Z 。

（6）熟记常见函数在其定义域内的单调性。

二、用定义证明函数的单调性例2：证明函数f(x)＝－3x ＋2在R 上是减函数。

分析：按定义只需设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，当 x 1＜x 2，我们来证明f(x 1,)＞f(x 2)。

证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且 x 1＜x 2，取值 f(x 1)－f(x 2)＝(－3x 1＋2)－(－3x 2＋2)作差＝3(x 2－x 1) 变形由x 1＜x 2 ，得 x 2－x 1＞0图象上升图象下降于是 f(x 1)－f(x 2)＞0 即 f(x 1,)＞f(x 2) 定号所以，函数f(x)＝－3x ＋2在R 上是减函数。

定论例3：证明函数 x x f =)( 在区间[0，＋∞）上为增函数。

证明：设x 1，x 2是[0，＋∞）上的任意两个实数，且0≤x 1＜x 2，则21212121)()(x x x x x x x f x f +-=-=-由0≤x 1＜x 2，得x 1－x 2＜0且21x x +＞0于是 f(x 1)－f(x 2)＜0。

比较不同类型函数的单调性

比较不同类型函数的单调性在数学中，函数的单调性是一个重要的性质，它可以帮助我们了解函数在不同区间上的变化规律。

接下来，我们将比较不同类型函数的单调性，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和反比例函数。

1.一次函数：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k 和 b 为常数，且k≠0。

一次函数的单调性取决于k 的正负。

当k >0 时，函数在R 上为增函数；当k <0 时，函数在R 上为减函数。

2.二次函数：二次函数的一般形式为y = ax²+ bx + c（a≠0）。

二次函数的单调性取决于 a 的正负。

当 a >0 时，函数在R 上开口向上，对称轴为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为增函数和减函数；当 a <0 时，函数在R 上开口向下，对称轴同样为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为减函数和增函数。

3.指数函数：指数函数的一般形式为y = a^x（a >0，且a≠1）。

当a >1 时，函数在R 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在R 上为减函数。

4. 对数函数：对数函数的一般形式为y = log_a(x）（a >0，且a≠1）。

当 a >1 时，函数在(0, +∞) 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在(0, +∞) 上为减函数。

5.反比例函数：反比例函数的一般形式为y = k/x（k 为常数，且k≠0）。

反比例函数在第一象限和第三象限为增函数，在第二象限和第四象限为减函数。

综上所述，不同类型函数的单调性具有不同的特点。

了解这些性质有助于我们在实际问题中更好地分析和解决相关问题。

在后续的学习中，我们还将探讨更多类型的函数及其性质，以丰富我们的数学知识体系。

1.3.1-1函数的单调性

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?yx1-11-1y○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______?○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知1、y = x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上yx1-1 1-1升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

函数的单调性与最值知识点总结700字(优秀范文5篇)

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函数的单调性是高中数学中的重要概念之一，它对于我们理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

本文将从对函数的定义、单调性的概念以及如何判断函数的单调性三个方面来进行说明和解析，帮助读者深入理解函数的单调性，从而更好地应用到实际问题中。

函数的单调性与最值知识点总结(优秀范文)：1函数的单调性是高中数学中的重要概念之一，它对于我们理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

首先，让我们来回顾一下函数的定义。

函数是一个特殊关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

简单来说，函数就是一种输入和输出之间的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x)，它的输入是x，输出是x的平方。

这样的函数可以表示为f(x) = x^2。

通过这个函数，我们可以得到x对应的平方值。

接下来，我们来介绍一下函数的单调性。

通俗地讲，函数的单调性描述了函数图像在整个定义域上的“走势”。

具体来说，如果函数在定义域上的任意两个数值x1和x2满足x1f(x2)，那么我们称这个函数是递减的。

递减函数则具有“右低左高”的特点。

那么如何判断函数的单调性呢？这里我们介绍两种方法：导数法和增减表法。

首先，导数法是基于函数的导数来判断函数的单调性的。

如果函数在某个区间上导数大于零，则函数在该区间上是递增的；如果函数在某个区间上导数小于零，则函数在该区间上是递减的。

通过求解函数的导数，我们可以得到函数在不同区间上的单调性。

其次，增减表法是通过比较函数在不同区间上的取值来判断函数的单调性。

我们可以找到函数的驻点（即导数为零的点），并用这些驻点将整个定义域分成若干段。

然后，在每一段中选择一个测试点，代入原函数中求解出对应的函数值，用这些函数值的大小关系来判断函数在对应的区间上的单调性。

3.1.2 高中必修一数学教案《函数的单调性》

高中必修一数学教案《函数的单调性》教材分析函数的单调性与最值指的是在初中基础上对函数的单调性的再认识，是利用集合与对应的思想理解函数的定理，从而加深对抽象函数单调性的定义理解，根据定义，证明函数的单调性，理解单调区间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。

因为函数的单调性是初等数学与高等代数学衔接的枢纽，是函数的第一个也是最基本的性质，为研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及导函数的内容，对函数定性分析、求极值最值、比较大小、解不等式、判定零点都有重要的作用，所以具有重要的地位。

学情分析本节课的教学对象是高一理科的学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，不过由于年龄和思维原因，看问题容易片面。

在之前的学习中，学生已经掌握了函数的三要素，并且学生初中学过y随x的增大而增大（或减小），这些都有利于学生的理解。

但是本节课的单调性的定义更抽象，对学生而言是一个较大的考验。

教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；2、掌握增（减）函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间。

教学重点形成增减函数的定义。

教学难点在形成增减函数概念的过程中，从函数升降的直观认识，过渡到增减函数的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。

德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图3-1-7所示的记忆规律。

如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量，则不难看出，图3-1-7中，y是x的函数，记这个函数为y = f（x）这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？二、教学过程1、单调性的定义与证明情境中的函数y = f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小。

高一数学：1.3.1函数的单调性1

判断函数单调性的一般步骤：
1. 取量定大小: 在给定区间上任取两个实数 x1 , x2 , 且 x1 < x2 .
2.作差定符号: f(x 1)－f(x 2)的结果化积或化完全平方
式的和；
3. 给出结论. 结论一定要指出在那个区间上。
回顾小结：
这节课我们学习了函数单调性的定义，
要特别注意定义中“给定区间”,“属于”,“任意”
谢谢！
“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要
轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
例2: 证明：函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
证明：设 x 1 ，x 2是R上的任意两个值，且x 1 ＜ x 2，
则 f ( x 1 ) －f ( x 2 ) = （3x 1 +2）－（3 x 2 +2） = 3 （x 1 －x 2 ）
∵x 1 ＜ x 2 ， ∴x 1 － x 2< 0 ∴f ( x 1 ) －f ( x 2 ) < 0 即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以,函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
-1
2x
增区间为 [1, )
减区间为 ( ,1]
y
y =x3
o
x
增区间为
(,)
（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。

高中数学人教A版(2019)必修必修第一册3.《函数的单调性》课件(27张)

.y
A
0
x
y=x2
探究2：观察函数y=X2的图像，观察图像上A点的运动情况，
指出上面的函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下
降的？
教材分析教学方法学法指导教学过程设计说明 1 小组探究，观察图象.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题：教师补充：这时我们就说函数y==X2在x>0时是增函数。反过来，如果y=f(x)在x>0时是增函数,我们能不能得到自变量与函数值的变化规律呢？
4 研究性质，巩固练习；
5 课堂总结，布置作业
1 知识导入.
教材分析教学方法学法指导教学过程设计说明
作出这些函数y=x、y=-x、y=|x| 的图像
探究1：讨论这些函数图像是上升的还是
下降的?
y
y
y
0
x
0
x
0
x
y=x
y=-x
y=|x|
教材分析教学方法学法指导教学过程设计说明 1 观察思考，小组探究.
启发引导互动式探究
教学手段
信息技术辅助教学
教材分析教学方法学法指导教学过程设计说明
(1)培养从概念出发，进一步提高研究性质的意识及能力； (2)体会数形结合、分类讨论的数学思想。
教材分析教学方法学法指导教学过程设计说明
观察图象；
3 生成概念；
教材分析教学方法学法指导教学过程设计说明 1 观察思考，小组探究.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： (1)y轴的右侧部分图象具有什么特点？ (2)如果在y轴右侧部分取两个点(x1,y1)、(x2,y2),当x1<x2时，

函数的单调性及其应用

函数的单调性及其应用
函数的单调性是指函数在定义域内的取值增减情况。

具体地说，设函数$f(x)$在区间$I$内有定义，如果对于$I$内任意的$x_1$和
$x_2$，只要$x_1<x_2$，就有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递增；如果对于$I$内任意的$x_1$和$x_2$，只要
$x_1<x_2$，就有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递减。

应用方面，函数的单调性可以帮助我们判断函数的图像和性质，如：
1. 判断函数的最值及其取值范围：单调递增的函数在定义域内
最小值是在端点处取得，最大值是在定义域最大值处取得；单调递
减的函数则恰好相反。

2. 判断函数零点：若函数为单调递增，则只有一个零点；若函
数为单调递减，则只有一个零点。

3. 判断函数的奇偶性：若函数为奇函数，则当$x<0$时单调递减，$x>0$时单调递增；若函数为偶函数，则在整个定义域内都单调
递增或单调递减。

4. 判断函数解析式的符号：已知某函数在某区间单调递增或单
调递减，则我们可以根据函数图像的位置，得到函数解析式的符号。

优秀课件-函数的单调性

1.3.1函数的基本性质函数的单调性问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究•他经过测试 < 得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕分后20钟分后60钟8-9 小时后1天后2天后6天后一个月再记忆量y （百分比）10058.244.235.833.727.825.421.11/以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数•艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的"艾宾浩斯遗忘曲线"气温T 是关于时间t 的函数曲线图思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势?通过这个试验”你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2：“艾宾浩斯遗忘曲线" 100 80 60 40 20 0从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?t思考:气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高＞在哪段气温降低?气温T 是关于时间t 的函数曲线图观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗? 、随X 的增大，y的值有什么变化？用描点法画出下例函数的图像的增大而增大的增大而减小1）图象在y轴右侧（-00，。

!®着x的增加，y的值在增加，图像上升2）图象在y轴左侧（-込0］随着x的增加，y的值在减小图像下降湖照上例：画出函数fgX的图象，观察其变化规律：“X1、在区间(二加］上，f(X)的值随着X的增大而减小•| 2、在区间［0, + 8)上,f(x)的值随着x的增大而增大・i=i如何利用函数解析式f (x) =x2来描述图象这勺、：!就谊輕適生IMI网上境函娄如何用工与/（刃来描述上升的图像?在给定区间上任矚心，Xj V吃函数"刘在给定区间上为增函数。

如何用兀与/（兀丿来描述下降的图像?在给定区间上任矚兀，Xj V吃函数/■（刘在给定区间上为减函数。

函数的单调性(公开课课件)

利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
格单调的。
函数单调性的扩展
05
多变量函数的单调性
01 02
定义
对于多变量函数，如果函数在某个区域内的任意两点x1和x2，当x1<x2 时，函数值f(x1)<=f(x2)，则称函数在此区间内单调递增；反之，则称函数在此区间内单调递减。
判断方法
通过求导数或求偏导数，判断函数的增减性。
03
应用
在经济学、物理学等领域中，多变量函数的单调性有着广泛的应用。
严格单调函数的反例
总结词
非严格单调函数
详细描述
严格单调函数在其整个定义域内单调递增或递减，没有拐点或水平切线。反例可以是通过构造一个有拐点或水平切线的函数来证明。例如，函数$f(x) = x^3 + x$在$(-infty, +infty)$内是严格单调递增的，但如果在某点处添加一个水平切线，则该函数不再是严
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而上升。

函数的单调

、新课引入
观下察图: (1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数
的图h象(t,)图(2)4表.9示t 2高台6.跳5t水运10动员的速度 v 随时间 t 变化的函数
的图象.
v(t) h(t) 9.8t 6.5
1.3.1 函数的单调性与导数运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的
运动状态有什么区别?
v
h 海南华侨中学王敏
Oa
bt
O
a (1)
b
t
(2)
1.3.1 函数的单调性与导数
这种情况是否具有一般性呢？
海南华侨中学王敏
新课探究
函数及图象单调性
y
f ( x) x2 在(,0)上递减
切线斜率
k 的正负
负
导数的正负
负
o x 在(0, )上递增
正
正
y f (x)
由题意可知函数的定义域为R
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为
(
1
,
2 )
单调递减区间为
2 (,
1
)
2
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) y f (x) x3 3x; (2) y f (x) x2 2x 3; (3) y f (x) x3 3x2 (4) y f (x) x ln x
(3) f (x) x3 3x2;
f (x) 3x2 6x
令f (x) 0,即x 2或x 0，则f (x)在2，和
（- ，0）上是增函数；

《函数的单调性与最大(小)值》教案#优选.

1.3.1 函数的单调性与最大(小)值（1）教案授课人：马山中学蒙立勇1．教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方法．（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．2．教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．3．教学方法和教学手段运用导学案方式引导学探索发现新识。

4．教学过程5、教学基本流程：单调性的直观感受---单调性的定性描述-----单调性的定量刻画-----单调性的具体应用合作学习问题探究（2）对于函数f(x)，当自变量x在定义域的某个区间上的任取两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则在这个区间上随着自变量x的增大，函数值f(x)都在逐步增大，则函数在这个区间上是增函数由此可知要确保函数是增函数，x1，x2在这个区间必须是任意才可以归纳总结形成结论一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间D叫做函数的单调区间，分为递增区间和递减区间引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义，同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义教师引导学生找出定义中的关键词：定义域内的某个区间----自变量的任意两个值-----都有。

【一等奖教案】函数的单调性

课题：函数的单调性【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数xy x y x y x y 1,,2,22==+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数2+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小．(2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大，在)0,(-∞上y 随x 的增大而减小． (3)函数xy 1=在),0(+∞上 y 随x 的增大而减小，在)0,(-∞上y 随x 的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数()f x 在该区间上为增函数；如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数()f x 在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数)0(2>+=x xx y 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在),0[+∞为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以2)(x x f =在),0[+∞为增函数．(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以2)(x x f =在),0[+∞为增函数． (3) 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212221<-+=-x x x x x x ,即2221x x <，所以2)(x x f =在),0[+∞为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,x x ．〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． (1)板书定义(2)巩固概念判断题： ①是增函数所以函数因为已知)(),2()1(,1)(x f f f xx f <-=． ②若函数上为增函数，在区间则函数满足]32[)(),3()2()(x f f f x f <． ③若函数)(x f 在区间]2,1(和(2,3)上均为增函数，则函数)(x f 在区间(1,3)上为增函数．④因为函数x x f 1)(=在区间),0()0,(+∞-∞和上都是减函数，所以xx f 1)(=在),0()0,(+∞-∞ 上是减函数.通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在B A 上是增（或减）函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例证明函数xx x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数．1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取2121),,2(,x x x x <+∞∈且, 设元2(2()()(221121x x x x x f x f +-+=- 求差 22()(2121x x x x -+-= 变形 211221)(2)(x x x x x x -+-=)21)((2121x x x x --= 2121212)(x x x x x x --=,,221x x << 断号∴,2,02121><-x x x x∴,0)()(21<-x f x f 即),()(21x f x f <∴函数xx x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数．问题：要证明函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有0)()(1212>--x x x f x f 可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数．〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题．课后探究：(1) 证明：函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数的充要条件是对任意的),(,b a h x x ∈+，且,0≠h 有0)()(>-+hx f h x f ．(2) 研究函数)0(1>+=x xx y 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．《函数的单调性》教学设计说明一、教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．二、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。

函数的单调性

定理3.8 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.则有
(1) 如果在(a,b)内 f (x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b] 上严格单调增加.
(2) 如果在(a,b)内 f (x) 0 ，那么，函数f(x)在[a,b] 上严格单调减少.
证在[a,b]上任取两点 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 . 由定理的条件可知，f(x)在 [x1, x2 ]上连续，在 (x1, x2 )内可导. 由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点
(x1, x2) ，使得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1).
由于在(a,b)内有x2 x1,因此(x2 x1) 0. 如果在(a, b)内f (x) 0，则必定有f (x2 ) f (x1) 0, 即f (x1) f (x2 ) 0. 由于x1,x2为[a,b]上任意两点,因而表明f (x)在[a,b] 上严格单调增加. 同理，在(a,b)内f (x) 0,可推出f (x)在[a,b]上严
为(,1), (1,0), (0,1), (1,) 四个子区间.
为了研究函数的单调性，我们只关心 y在上
述四个子区间内的符号，
表中第一栏由小至大标出函数的定义域被三个特殊点划分的四个区间.
第二栏标出 y在各子区间内的符号.第三栏为函数的增减性.如本例可列表：
x (,1) －１ (1,0) 0 (0,1)
且F (1) 1. F(x) ex e
当x 1时，F(x) ex e 0,可知F (x)为(,1]上的严格单调减少函数，即F (x) F (1) 0. 当x 1时，F(x) ex e 0,可知F (x)为[1,)上的严格单调增加函数.即F (x) F (1) 0. 故对任意x 1，都有F(x) 0，即 ex ex.

1[1].3.1导数与函数单调性1

注:当x=1时, f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.
2、由f x 的正负 , 确定单调性
'
增 1 、由f x 0 得出f x 的单调减
'
注：
区间
3
y yx 3、区间内个别点导数为零,不影响
区间的单调性.
3
y x , y x 0 0, 如：
但在(,)上单调递增 .
又如：求函数f(x)=|x+1|+|x-3|的单调递增区间。
亦可用图解法：
y
4 3 x
-1
O
总结
1、若函数y=f(x)在某个区间内可导, 增 ' f x 0 f x 单调递减 2、由导数确定函数的单调性的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域. (2)求函数的导数. (3)令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x 的取值范围，即函数的单调区间。
思考题：已知函数
1 0, ） 0，的单调减区间是 4 ，则k的值是（ . 3
f x kx 3k 1x k 1, k 0
3 2 2
练习1、已知f(x)=2x3+3x2-12x+3,则函
数f(x)在区间(-2,1)内是（A）
A单调递减，
B单调递增，
C可能递增也可能递减，D以上都成立
例2、求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f′ (x)=x′lnx+x(lnx) ′=lnx+1. (1)、当lnx+1>0时，解得x>1/e. 则f(x)的单调递增区间是(1/e,+∞). (2)、当lnx+1<0时，解得0<x<1/e. 则f(x)的单减区间是（0，1/e).