2014年高考一轮复习数学教案：4.7 三角函数的图象与性质(三)

4.7 三角函数的图象与性质（三）●知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题. ●点击双基1.（2003年春季上海）关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为①f （x ）是奇函数 ②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立 ③f （x ）的最大值是23 ④f （x ）的最小值是－21A.1B.2C.3D.4解析：显然f （x ）为偶函数，结论①错.对于结论②，当x =1000π时，x ＞2003，sin 21000π=0，∴f （1000π）=21－（32）1000π＜21，因此结论②错. 又f （x ）=22cos 1x－（32）|x |+21=1－21cos2x －（32）|x |，－1≤cos2x ≤1，∴－21≤1－21cos2x ≤23.故1－21cos2x －（32）|x |＜23，即结论③错.而cos2x ，（32）|x |在x =0时同时取得最大值，所以f （x ）=1－21cos2x －（32）|x |在x =0时可取得最小值－21，即结论④是正确的.答案：A2.（2004年天津，12）定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为 A.－21B.21C.－23D.23解析：f （3π5）=f （3π5－2π）=f （－3π）=f （3π）=sin 3π=23.答案：D3.（2004年全国Ⅱ，10）函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 A.（2π，2π3） B.（π，2π）C.（2π3，2π5） D.（2π，3π）解析：用排除法，可知B 正确. 答案：B4.（2004年全国Ⅱ，11）函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为 A.4πB.2π C.π D.2π解析：y =sin 4x +cos 2x =（22cos 1x-）2+22cos 1x+=432cos 2+x =424cos 1x++43=81cos4x +87.故最小正周期T =4π2=2π.答案：B5.y =5sin （2x +θ）的图象关于y 轴对称，则θ=_______. 解析：y =f （x ）为偶函数. 答案：θ=k π+2π（k ∈Z ）●典例剖析【例1】 判断下面函数的奇偶性： f （x ）=lg （sin x +x2sin1+）.剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x ）与f （－x ）的关系. 解：定义域为R ，又f （x ）+f （－x ）=lg1=0， 即f （－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件. 【例2】 求下列函数的单调区间： （1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜.剖析：（1）要将原函数化为y =－21sin （32x －4π）再求之.（2）可画出y =－|sin （x +4π）|的图象.解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）. 故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间.∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］，递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）.（2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π－4π，k π+4π］，减区间为［k π+4π，k π+4π3］.44ππ4π-xy 5O深化拓展（2）不用图象能求解吗?提示：y =－）（4πsin 2+x =－22π2cos 1）（+-x =－22sin 1x+.【例3】 （2003年春季北京）已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）.所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2πk +4π，k ∈Z }.因为f （x ）的定义域关于原点对称，且 f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+---=xx x 2cos 1cos 5cos624+-=f （x ），所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠2πk +4π（k ∈Z ）时，f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=xx x 2cos 1cos31cos222））（（--=3cos 2x －1，所以f （x ）的值域为{y |－1≤y ＜21或21＜y ≤2}.评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.●闯关训练夯实基础1.（2005年北京海淀区高三期末练习）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数 A.（2π，2π3） B.（π，2π） C.（2π3，2π5）D.（2π，3π）解析：仿前面第3小题依次排除A 、B 、D.答案：C2.为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 A.98π B.2π197C.2π199 D.100π解析：4941×T ≤1，即4197×ωπ2≤1，∴ω≥2π197.答案：B思考：若条件改为在［x 0，x 0+1］上至少出现50次最大值呢？3.（2004年福建，11）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则A.f （sin6π）＜f （cos6π）B.f （sin1）＞f （cos1）C.f （cos3π2）＜f （sin3π2）D.f （cos2）＞f （sin2）解析：由f （x ）=f （x +2）知T =2， 又∵x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|， 可知当3≤x ≤4时，f （x ）=－2+x .当4＜x ≤5时，f （x ）=6－x .其图如下，故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|＜|sin2|， ∴f （cos2）＞f （sin2）.答案：D4.若f （x ）具有性质：①f （x ）为偶函数，②对任意x ∈R ，都有f （4π－x ）=f （4π+x ），则f （x ）的解析式可以是_______.（只写一个即可）答案：f （x ）=a 或f （x ）=cos4x 或f （x ）=|sin2x |等.5.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π；③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T ）=0.其中正确命题的序号是____________. 答案：④6.当α∈（0，π）时，求y =α2sin 1-－α2sin 1+.解：y =2cos sin ）（αα-－2cos sin ）（αα+=｜sin α－cos α｜－｜sin α+cos α｜.（1）当α∈（0，4π］时，有sin α＜cos α，sin α+cos α＞0，∴y =cos α－sin α－sin α－cos α=－2sin α. （2）当α∈（4π，4π3）时，sin α＞cos α，sin α+cos α≥0，∴y =sin α－cos α－sin α－cos α=－2cos α. （3）当α∈（4π3，π）时，有sin α＞cos α，sin α+cos α＜0，∴y =sin α－cos α+sin α+cos α=2sin α.培养能力 7.设x ∈［0，2π］，f （x ）=sin （cos x ），g （x ）=cos （sin x ），求f （x ）、g （x ）的最大值.解：∵在x ∈［0，2π］上，y =cos x 是单调递减的，且cos x ∈［0，1］，而y =sin x 是单调递增的，且sin x ∈［0，1］，∴f （x ）=sin （cos x ）∈［0，sin1］， g （x ）=cos （sin x ）∈［cos1，1］.∴f （x ）的最大值是sin1，g （x ）的最大值是1. 8.若｜log cos αsin α｜＞｜log sin αcos α｜（α为锐角），求α的取值范围. 解：∵α为锐角，0＜cos α＜1，0＜sin α＜1， ∴log cos αsin α＞0，log sin αcos α＞0. ∴原式就是log cos αsin α＞log sin αcos αααααcos logsin log sin cos ⇒＞1⇒（log cos αsin α）2＞1⇒log cos αsin α＞1⇒sin α＜cos α⇒0＜α＜4π.探究创新9.已知P （1，cos x ），Q （cos x ，1），x ∈［－4π，4π］.（1）求向量OP 和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数f （x ）； （2）求θ的最值.解：（1）∵OP ·OQ =2cos x ， |OP |·|OQ |=1+cos 2x ， ∴f （x ）=cos θ=xx 2cos1cos 2+.（2）cos θ=xx 2cos1cos 2+=xx cos 1cos 2+，x ∈［－4π，4π］，cos x ∈［22，1］.∴2≤cos x +xcos 1≤223，322≤f （x ）≤1，即322≤cos θ≤1.∴θmax =arccos322，θmin =0.●思悟小结1.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小.2.当函数的定义域为关于原点对称的区间时，判断函数的奇偶性一般运用奇偶性的定义，有时亦可应用与定义等价的命题，如f （－x ）∶f （x ）=1（f （x ）≠0），则f （x ）为偶函数，若f （－x ）∶f （x ）=－1 （f （x ）≠0），则f （x ）为奇函数，或由f （－x ）±f （x ）=0来判断奇偶性.3.判断y =－A sin （ωx +ϕ）（ω＞0）的单调区间，只需求y =A sin （ωx +ϕ）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y =A sin （－ωx +ϕ）（－ω＜0）单调区间时，则需要先将x 的系数变为正的，再设法求之.（读者考虑为什么）●教师下载中心 教学点睛本节是图象和性质的综合应用的内容，例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其他知识间的关联.拓展题例【例1】 判断f （x ）=xx x x cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性.正确解法：取x =2π，f （x ）有意义，取x =－2π，f （x ）没有意义，故定义域关于原点不对称.∴f （x ）是非奇非偶函数.常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致错误的结论.要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f （x ）与f （－x ）的关系.【例2】 在△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，求函数y =sin B +cos B 的值域. 分析：b 2=ac 可转化为∠B 的取值范围. 解：∵b 2=ac ，cos B =acbca2222-+=acacca222-+=acca222+－21≥acac 22－21=21，∴B ∈（0，3π］.∴y =2sin （B +4π）∈（1，2］.拓展：如果a 、b 、c 成等差数列呢?。