【最新】中考数学考点梳理课件：4.5锐角三角形和解直角三角形

合集下载

第19节锐角三角形-中考数学一轮知识复习课件

第四章三角形
第十九节锐角三角形
课标解读
1.利用类似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 (sin A，cos A，tan A)，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 2．知道30°，45°，60°角的三角函数值．
回归课本·温故知新
1.(锐角三角函数) 如图，
＝2 5 ，E 是 BC 的中点，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点
B 落在点 F 处，连接 CF，则 cos ∠ECF 的值为( C )
A．23
B．
10 4
C．
5 3
D．2 5 5
8．(2020·威海)如图，矩形 ABCD 的四个顶点分别在
直线 l3，l4，l2，l1 上．若直线 l1∥l2∥l3∥l4 且间距相等，
2．解直角三角形：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
解直角三角形的几种常见类型及解法(∠C＝90°，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c)：
明确考向·玩转中考
☞命题点1 锐角三角函数的概念(必考) 1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
针对训练
6．在△ABC
中，∠A、∠B
是锐角，且sin
A－12
＋|tan B－ 3 |＝0，判断△ABC 的形状．
解：△ABC 是直角三角形．理由如下：
∵sin A－12 ＋|tan B－ 3 |＝0，
∴sin A＝12 ，tan B＝ 3 . ∴在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°， ∠C＝180°－30°－60°＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．
实战演练·祝你提分
1．(2020·蓬江区二模)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，

《中考大一轮数学复习》课件锐角三角函数与解直角三角形

1 2
3
3
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 锐角三角函数定义若在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则 sinA＝________，cosA ＝________，tanA＝________．温馨提示 ①锐角三角函数是在直角三角形中定义的． ②sinA，cosA，tanA 表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位． ③锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关． ④当 A 为锐角时，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. 2. 特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα
1 2 3
5
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
4. 解直角三角形的应用中的相关概念 (1)仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角． (2)坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和________的比叫坡度(或坡比)，即 i＝tanα＝ h ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l
a 5 12 解析 sinA＝＝，可设 a＝5k，c＝13k，根据勾股定理得 b＝12k，所以 cosA＝ .故选 D. c 13 13
1 2
8
3
热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
点对点训练 1. (2013·山东济南)已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则 tanα的值等于( C )

九年级数学中考复习专题—锐角三角函数与解直角三角形课件 (共35张PPT)

考点2 解直角三角形
4．解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求__未__知__元_素___的过程叫做解直角三角形．
5．直角三角形中的三边关系为___a_2＋__b_2_＝__c_2 __，三角关系为
sins__∠Ai__＝nA__A＋c__＝o__s∠ssc__iBio__nB＝ns__A＝AB__＝ac＝＝__∠，c__caco__Cso，s_，isB_nBs＝_＝边Bi＝_nacac_角B，c，＝_o_关sssc_iiAo系 _n＝ns_BBA＝_为bc＝＝_，c_cbcot_o，sa_sAnt_A＝＝Aa_＝n_bcbcA_，ab，＝_，_ttaba_ta，n_anA_nAt＝_＝Ba＝_nabab_B，ba，＝__ttba_aa_nn_BB＝_＝_ba_ba___.(Rt△ABC
技法点拨►在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：
考点2 解直角三角形
对应练习2
3、（2018无锡）已知△ABC中，AC=10，BC= ，
∠A =30°，则△ABC的面积等于
15
。
3或10
3
考点 3 解直角三角形的应用
A．5 3米 B．10米 C．15米 D．10 3米
4如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝
1，AC=2，则tanA的值为（ B ）
A．2 B．
C、
D、
考点1 锐角三角函数的概念
【例 1】(1)(2018·贵阳)如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方
B 形的边长为 1，则 tan∠BAC 的值为( )
对应练习3
4、（2018济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相

中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件

) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】【类型一】仰角俯角问题例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度与长度.
解直角三角形的实际应用的基本类型
【主干必备】解直角三角形的实际应用的基本类型
应用类型
图示
测量方式
解答要点
仰角俯角问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯角测距离.
水平线与竖直线的夹角是 90°,据此构造直角三角形.
应用类型
坡度 (坡比)、坡角问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a

中考数学复习《解直角三角形》知识讲解

《解直角三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

中考数学总复习29锐角三角函数与解直角三角形 (共40张PPT)

分析
3 在 Rt△ABF 中，tan∠BAF＝tan∠EFC＝4， BF 3 ∴AB＝4， ∵AB＝8x，∴BF＝6x，
∴BC＝BF＋CF＝10x，∴AD＝10x.
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＋DE2＝AE2，
即(10x)2＋(5x)2＝(5 5 )2，解得x＝1，
∴AB＝8x＝8，AD＝10x＝10，
正弦正切递增值，余弦递减恰相逆.
3.锐角三角函数的性质 (1)同角三角函数之间的关系： sin2α＋cos2α＝ 1；tanα＝ ①sin(90°－α)＝ cosα ； ②cos(90°－α)＝ sinα . (3)锐角三角函数的增减性(0°<α<90°)： ①sinα，tanα的值都随α增大而增大； ②cosα的值都随α增大而减小.
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角.
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角.
(5)坡角：坡面与水平面的夹角. (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度， h 即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡. l
A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一
艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿
北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不
明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？
(最后结果保留整数)
(参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732， 3＝
5.直角三角形在现实生活中的应用
直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉

2024年中考第一轮复习直角三角形课件

[解析] 设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,
.
得x2-(x-2)2=82.解得x=17.
■ 知识梳理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于⑥ 斜边的平方
勾股定理
如果三角形中两边的平方和等于第三边的⑦ 平方 ,那么这个三角形
的逆定理是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
∴AD=BC,∠A=∠B=∠CFE=90°,AB∥CD,∴∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,
AD=CF,∴△ADE≌△FCD,∴ED=CD=x,∴FD=x-1,
在Rt△CFD中,FD2+CF2=CD2,∴(x-1)2+32=x2,解得x=5,∴CD=5.故选B.
考向三
勾股定理与拼图
例 3 [2020·孝感]如图 19-11①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个
图19-6
∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,
1
2
∵G 是 BC 的中点,∴EG=FG= BC=5,
∵D 是
1
EF 的中点,∴ED= EF=3,GD⊥EF,
2
∴∠EDG=90°.在 Rt△ EDG 中,
由勾股定理得,DG= 2 - 2 =4,故答案为 4.
考向二
利用勾股定理进行计算
例2 [2020·宜宾]如图19-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE平分
∠ABC交AC于点E,连结CD交BE于点O.若AC=8,BC=6,则OE的长是
.
图19-7
【方法点析】勾股定理是求线段长的重要工具,主要应用:(1)已知直角三角形的
两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的关系;(3)用于证明平

优选教育年中考数学总复习课件：锐角三角函数及解直角三角形.ppt

★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2

中考数学总复习课件：锐角三角函数及解直角三角形(共25张PPT)

★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4

★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3 ★考点3
★知识点4
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2

人教版中考数学专题课件：锐角三角形及其应用

皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测
锐角三角函数及其应用
作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是解直角三角形常用的方法．解直角三角形巧选三角函数：有斜用弦，无斜用切，宁．．．．乘勿除，取原避中 (已知条件有斜边选择正弦或余弦，没有斜边用正切，尽量选用乘法和原始数据计算)．
锐角三角函数及其应用
考点聚焦
考点1 锐角三角函数的定义在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
正弦 ∠A的对边 a sinA＝＝ c 斜边
余弦 cosA＝
正切 tanA＝
∠A的邻边 b ∠A的对边 a ＝＝ c ∠A的邻边 b 斜边
皖考探究当堂检测
它们统称为∠A 的锐角三角函数.
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
锐角三角函数及其应用
解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是：从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角函数的定义进行求解．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
锐角三角函数及其应用
探究二特殊锐角的三角函数值的应用命题角度： 1．30°、45°、60°角的三角函数值； 2．已知特殊三角函数值，求角度．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
锐角三角函数及其应用
例 2 [2013· 邵阳] 在△ABC ＝0，则∠C 的度数是 A．30° B．45°
1 1 2 中，若sinA－＋cosB－ 2 2
（ D） C．60° D．90°
解析
1 1 2≥0，根据非负数由于sinA－ ≥0，cosB－ 2 2

中考数学-第1部分教材同步复习第四章三角形4.5解直角三角形课件

中考金题·精析
解直角三角形解决相关图形问题
【例 1】 (2015·哈尔滨)如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上， ∠C＋∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝47，AD＝ 65，CD＝13，则线段 AC 的长为__4__1_3__.
【解答】作∠DAE＝∠BAD 交 BC 于 E，作 DF⊥AE 交 AE 于 F，作 AG⊥BC 交 BC 于 G.
方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角，方位角的范围为0°～360°.如图③， A点位于O点的东偏北30°方向，而B点位于O点的东南方向．
【注意】东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西 45°方向，我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．
大家好
1
第四章三角形 4.5 解直角三角形
知识要点·归纳
知识点一锐角三角函数
1．锐角三角函数的定义在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如图所示：正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝___ac___；余弦：cosA＝∠A斜的边邻边＝___bc___；正切：tanA＝∠∠AA的的邻对边边＝___ab___.
∵∠C＋∠BAD＝∠DAC， ∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝EC， ∴tan∠BAD＝74，∴设 DF＝4x，则 AF＝7x，在 Rt△ADF 中，AD2＝DF2＋AF2，即( 65)2＝(4x)2＋(7x)2，解得 x1＝－1(不合题意舍去)，x2＝1， ∴DF＝4，AF＝7，
利用锐角三角形函数求边长或角度是初中阶段常用的方法，通常是在一个直角三角形中，知道其中的两个量就可以求出另外的三个量．初中阶段的锐角三角函数有三种：正弦sin，余弦cos，正切tan，都是在直角三角形中研究结论．

初三数学解直角三角形考点梳理

解直角三角形考点全梳理考点1 锐角三角函数的定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.例题1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）A ．B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD的（）（第一题图）（第二题图）（第三题图）A ．B ．C ．D ．变式2如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（）A ．B ．C ．D ．变式3如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（）A．a•（cosα﹣cosβ）B ．C．a cos αD．a•cosα﹣a sinα•a•tanβ考点2 网格中的锐角三角函数值计算解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.例题2如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A ．B ．C ．D ．变式4如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．变式5如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为．变式6如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．考点3 锐角三角函数的增减性解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）例题3sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°变式7比较大小：（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．变式8比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．变式9如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）考点4 同角三角函数的关系解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA•cosA．例题4如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα，则tanα＝（）A．B．C．D．变式10若∠a为锐角，且tan a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（）A．1B．C．D．变式11在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（）A．sin A+cos A＜1 B．sin A+cos A＝1C．sin A+cos A＞1D．sin A+cos A≥1变式12已知sinαcosα，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．C．D．±考点5 互余两角三角函数的关系解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,例题5如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．变式13已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α），则α＝．变式14若a＜60°，且sin（60°﹣a），则cos（30°+a）＝．变式15化简：．考点6 特殊角的三角函数值的计算解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）tan260°变式16计算：3tan30°cos45°变式17计算：变式18计算（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．（2）．考点7 特殊角的三角函数值中的新定义问题例题6嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．变式19阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sin αcos αtan α一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝；sin15°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．考点8 解直角三角形解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）①三边之间的关系：a 2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．例题7如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．变式20如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，求∠B，a，c的值．变式21如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cos B，BC＝10．（1）求AB的长；（2）求AE的长；（3）求sin∠ADB的值．变式22如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cos A，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．考点9 解斜三角形解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.例题8如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6B．2C．2D．9变式23已知．在△ABC中，BC AC，∠BCA＝135°，求tan A的值．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B，AC＝6，求AB的长．变式24如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．考点10 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．例题9水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m ，（ 1.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．变式25如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i 为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．考点11 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．例题10如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）考点12 解直角三角形的应用（方位角问题）解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式26如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）。

数学九年级下《锐角三角函数和解直角三角形》课件ppt(共20张PPT)

D.tan α= 3
4
5 3
4
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
cos A=
3 ，BD=8，则AC=( D ) 5
A.15 B.16
15 C.18 D. 2
6、2 如图所示， R t △ A
例题解析
例1:如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，
CD为斜边AB上的高，D为垂足，AD=8， BD=4，求tan A的值。
数学九年级下《锐角三角函数和解直角三角形》课
件ppt
锐角三角函数和
解直角三角形
二.解直角三角形的依据 Rt △ ABC中, ∠ C=900 :
(1)三边关系：a2+b2=c2；
(2)锐角之间的关系： ∠ A+∠B=900
(3)边角之间的关系：sinA=cosB=a/c.
B cosA=sinB=b/c.
解：AB= AC2 BC2 =5，
由tan A= 5 =1 ∠A=45°
5
∠B=45°
例题解析
例7 已知:如图所示，在△ABC中，∠C=90°，sin A= 2 5
D为AC上一点，∠CBD=45°，DC=6，求AB. 【解析】∠C=90°， ∠CBD=45 CB=CD=6
Sin A= CB 2 AB 5
c
a tanA=a/b。
A
C
b
三、特殊角三角函数值
角度
三角函数
sinα cosα tanα
3 0° 45 ° 6 0°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3

中考数学复习专题课件锐角三角函数与解直角三角形的实际应用

（D ） A．1.59 m B．2.07 m C．3.55 m D．3.66 m
6．(2021·遵义)小明用一块含有 60°(∠DAE＝60°)的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度 AB 为 1.62 m，小明与树之间的水平距离 BC 为 4 m，则这棵树的高度约为 88..55 m.(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73)
(1)证明：∵AB＝AC＝AD， ∴点 B，C，D 在以点 A 为圆心，BD 为直径的圆上． ∴∠BCD＝90°，即 DC⊥BC.
(2)解：过点 E 作 EF⊥BC，垂足为 F.
在 Rt△BCD 中，
BC cos B＝BD，BC＝1.8.
BC
1.8
∴BD＝cos B＝cos 55°≈3.16.
∴BE＝BD＋DE≈3.16＋2＝5.16.
13．(2022·安顺)随着我国科学技术的不断发展，5G 移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现 5G 网络全覆盖，2021～2025 年拟建设 5G 基站 3 000 个，如图，在斜坡 CB 上有一建成的 5G 基站塔 AB，小明在坡脚 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45°，然后他沿坡面 CB 行走了 50 m 到达 D 处，D 处离地平面的距离为 30 m 且在 D 处测得塔顶 A 的仰角 53°.(点 A，B，C，D，E 均在同一平面内， CE 为地平线，参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43) (1)求坡面 CB 的坡度； (2)求基站塔 AB 的高．
4 10＋4a ∴3＝ 4a ，解得 a＝7.5， ∴AB＝AF－BF＝10＋a＝17.5 m.
答：基站塔 AB 的高为 17.5 m.