2017年春季学期苏教版高中数学必修5：第9课时 等比数列的概念和通项公式
等比数列的定义和通项公式
练一练
1、指出下列数列是不是等比数列，若是， 指出下列数列是不是等比数列，若是， 说明公比；若不是，说出理由． 说明公比；若不是，说出理由． (1) １,2, 4, 16, 64, … (2)1, 9,… (2)1, 3, 9, 1, 3,9,… )1 (3) 2, -2, 2, -2, 2 (4) b, b, b, b, b, b, b, … 不是 不是 是 不一定
小结： 小结：填写下表
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列
an+1
an
=q
公差（比） 公差（ 定义变形 通项公式
q叫公比 叫 an+1=an q an=a1qn-1
an n−m an − am 一般形式 an=am+(n-m)d d = an=amqn-m q = a n− m m
an = a1 ⋅ q 对应点坐标为(n, an )
n −1
a1 n 等比数列 an}通项公式可整理为：an == ， { q q a1 x 它的图象是函数y = 的图象上的孤立点 q . q
=
课堂练习
1.已已等比数列 an }：(1) a1 能不能是零？ 不能 ； 已已等比数列{ 能不能是零？ 已已等比数列 ： (2)公比 能不能是零？ 不能；(3)公比 能不能是 ？ 公比q能不能是零 公比q能不能是 能 公比 能不能是零？ 公比 能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . 已已a ， ①已已 1=2，an=3an+1； ②1，2，4，……；× ， ， ， ； √ ③a，a，a，……，a； × ④1，-1，1，……，(-1)n+1√ ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ⑤sin1，sin2，sin4，sin8，……，sin2n-1； ， ， ， ， ， × ⑥2a，2a，2a，……，2a √ ， 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列 非零的 常数列
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
苏教版高中数学必修五知识讲解_等比数列_提高
等比数列 ： ：【学习目标】1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；2.掌握等比数列的性质，会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系.【要点梳理】要点一：等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠. 要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。
不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1(0)n na q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定，就便于操作了. 要点二：等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.其中G = 要点诠释：①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。
②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。
③当0ab >时，a 、G 、b成等比数列2G bG ab G a G⇔=⇔=⇔= ④2G ab =是a 、G 、b 成等比数列的必要不充分条件。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
等比数列的通项与公式
等比数列的通项与公式等比数列是数学中的一种重要数列，它的通项与公式在数学中有着广泛的应用和意义。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都相同，这个比值称为公比。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中的每一项与它前面的一项的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则它的通项可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ为第n项，n为项数。
1. 公比的定义与性质在等比数列中，公比q是等于相邻两项的比值，即 q = aₙ / a(n-1)。
2. 通项的推导与性质通过观察等比数列中相邻两项的比值，可以得到通项的推导公式。
假设第n项为aₙ，前一项为a(n-1)，则有：q = aₙ / a(n-1) （1）根据等比数列的定义，还可以得到：aₙ = a(n-1) * q （2）将（2）式代入（1）式中，可以得到：q = (a(n-1) * q) / a(n-1)整理得到通项的公式：aₙ = a(n-1) * q^(n-1)二、等比数列的应用举例等比数列在数学中有着广泛的应用。
下面将通过一些具体例子来展示等比数列的应用。
1. 计算等比数列前n项的和对于等比数列，我们常常需要计算前n项的和。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有以下公式：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)这个公式可以帮助我们快速计算等比数列前n项的和。
2. 物质的倍增在一些自然和社会领域中，存在着物质的倍增问题。
比如，细菌的繁殖、人口增长等都可以看作是等比数列的应用。
在这些问题中，公比q常常表示倍增的比例。
三、等比数列的举例与求解下面通过一些具体的例子来展示等比数列的应用与求解过程。
例1：已知等比数列的首项为2，公比为3，求第6项的值。
根据等比数列的通项公式可以得到：a₆ = a₁ * q^(6-1) = 2 * 3^(6-1) = 2 * 3^5 = 2 * 243 = 486所以第6项的值为486。
等比数列通项
等比数列通项首先，我们需要了解等比数列的概念和性质。
等比数列是指一个数列中的每一个元素都是前一个元素乘以同一个固定比例得到的。
通项公式是等比数列中求任意一项的公式，它可以用来计算数列中第n项的具体数值。
接下来，我们将详细探讨等比数列的通项公式及一些相关的问题。
一、等比数列的定义与性质等比数列由首项a和公比r决定，记作{a, ar, ar^2, ar^3, ...}。
其中，a为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 普通项：第n项为a * r^(n-1)。
2. 通项公式：第n项为a * r^(n-1)。
3. 前n项和：前n项和Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
4. 通项和比：第n项与第m项的比值为r^(n-m)。
5. 等比中项：若a、b、c三项成等比数列，则b为a和c的等比中项，即b^2 = ac。
6. 倒数数列：若数列{a, ar, ar^2, ...}是等比数列，且a ≠ 0，则其倒数数列{1/a, 1/(ar), 1/(ar^2), ...}亦为等比数列。
二、等比数列的通项公式在等比数列中，我们可以使用通项公式计算任意项的数值。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
例如，对于等比数列{3, 6, 12, 24, ...}，首项a = 3，公比r = 2。
我们可以使用通项公式an = 3 * 2^(n-1)计算数列的任意一项。
三、等比数列的应用等比数列在实际生活中有广泛的应用，尤其在金融、工程等领域中发挥重要作用。
1. 财务管理在复利计算中，等比数列的应用尤为突出。
以存款为例，若每年存款金额与前一年相比都是等比数列增长，则可以使用等比数列的通项公式计算任意年份的存款金额。
2. 工程规划在工程规划中，等比数列常用于计算连续变化的系列数值。
例如，如果一座桥每年的承重能力都以等比数列的方式递增，我们可以使用等比数列的通项公式计算任意年份桥梁的承重能力。
等比数列的概念和通项公式 课件
所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
[答案] －1
[误区] 忽视等比数列中 b2 与－4 同号而出现 b2＝2 或 b2＝±2 的错误． [防范措施] 1．注意等比数列中三种常见隐含条件的挖掘 (1)定义中隐含等比数列中每一项和公比都不为 0. (2)若两个数有等比中项，则这两个数同号． (3)若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的 符号相同，所有偶数项的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是 负数，b2 与－4 一定同号．
等比数列的概念和通项公式
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 文字 前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫 语言 作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公
比通常用字母 q 表示(q≠0)．
数学 符号
在数列{an}中，如果aan－n 1＝q(n≥2， n∈N*)或aan＋n 1＝qn∈N*(q≠0)成立，则称数列{an}为
等比数列，常数 q 称为等比数列的公比．
递推 an＝an－1·q(q≠0，n∈N*，n≥2)或 an＋1＝an·q(n∈N*，
关系 q≠0)
2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为 an＝ a1qn－1 (a1≠0， q≠0)． 3．等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基 本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公 式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求 得另一个量．求解时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果．
1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集：数列 第9课等比数列的概念和通项公式(学生版)
2.3等比数列第1课时【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1-nnaa=q（q≠0）注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛na｝成等比数列⇔nnaa1+=q（+∈Nn,q ≠0）⑵隐含：任一项00≠≠qan且⑶______________时，{a n}为常数列.2.等比数列的通项公式：⑴______________________⑵1(0)n mn ma a q a q-=⋅⋅≠3．既是等差又是等比数列的数列：_______．4.等比中项的定义：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且2G ac= 5．证明数列{}n a为等比数列：⑴定义：证明1nnaa+=常数；⑵中项性质：212121n nn n nn na aa a aa a+++++==g或；【精典范例】听课随笔【例1】判断下列数列是否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３）1，21-，41，81-，161. 【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项：（１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，21． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．【解】追踪训练一 1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…；（2）7，314，928，;,2756Λ （3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5，15+c ，125+c ，Λ,513+c .2. 数列m ,m ,m ,…m , ( )A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{1+n n a a }na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.【解】【例6】已知数列｛a n｝满足：lg a n＝3n＋5，试用定义证明｛a n｝是等比数列.【证明】na9·a10·a11的值等于( )n等于___ __.=___ ___.。
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。
（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2、等比数列的通项公式（1）通项公式若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
（2）等比数列中项的正负对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。
综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。
3、等比中项如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
苏教版高中数学必修五学案第二章第课时等比数列的概念和通项公式(2)
第9课时 等比数列的概念和通项公式【分层训练】1.在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A 14B 13C 12D 12.{}n a 是公比为2的等比数列，且147a a a ++28100a +=L ,则36930a a a a ++++L 等于（ ）A 25B 50C 125D 400 3.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ）A 0B 1C 2D 1或2 4. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ）A.1B. 2C. 3D. 45.设23,26,212a b c===，那么,,a b c（ ）.A 既是等差数列，又是等比数列B 是等差数列，但不是等比数列C 是等比数列，但不是等差数列D 既不是等差数列，也不是等比数列 6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____. 7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）. 8.已知数列{}n a 是等比数列，,,m n p N *∈，且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.【拓展延伸】9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.10.在数列{}n a 中，其前n 项和322n n n nS -=，()n N *∈,求证数列{}n a 是等比数列.。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的比值都是一个常数。
在等比数列中，我们可以通过一些公式来求解其通项和求和。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值都是一个常数。
这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
对于一个等比数列{a₁, a₂, a₃, ...}，它的公比为q，那么可以得到以下性质：1. 第n项与第m项的比值等于q的n-m次方，即aₙ/aₙ = q^(n-m)。
2. 等比数列的任意一项都可以表示为第一项乘以公比的n-1次方，即aₙ = a₁* q^(n-1)。
3. 等比数列的前n项和可以表示为第一项乘以公比的n次方减一，再除以公比减一，即Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
二、等比数列的通项公式的推导为了推导等比数列的通项公式，我们可以利用等比数列的性质。
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质2，第n项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
三、等比数列的求和公式的推导同样地，为了推导等比数列的求和公式，我们可以利用等比数列的性质。
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质3，前n项和可以表示为Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
四、等比数列的应用举例等比数列的通项公式和求和公式在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些应用举例：1. 财务投资：假设某人每年向银行存入1000元，年利率为5%。
那么他每年的存款金额就可以构成一个等比数列，其中第一项为1000，公比为1.05。
通过等比数列的通项公式，可以计算出第n年的存款金额。
而通过等比数列的求和公式，可以计算出n年内的总存款金额。
2. 科学实验：在某个科学实验中，每次实验的结果都是前一次实验结果的一半。
这个实验结果就可以构成一个等比数列，其中第一项为1，公比为0.5。
通过等比数列的通项公式，可以计算出第n次实验的结果。
苏教版高中数学必修五海头高级等比数列的概念与通项公式学案
[课题] 2.3.1等比数列的概念与通项公式[知识摘记]1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 2．等比数列的通项公式 ① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠3．证明数列{}n a 为等比数列： ①定义：证明1n n a a +=常数； ②中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==g 或； [例题解析]例1判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）11111,,,,24816--.例2．求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -．例3在等比数列{a n }中，(1)已知13,2a q ==-，求6a ；（2）已知3620,160a a ==，求n a ．【例4】在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．[课外作业]1． 2和8的等比中项是_____.2． 在等比数列{}n a 中，已知首项为89，末项为31,公比为32，则项数n 等于_____. 3．各项均为正数等比数列｛a n ｝中，484,64a a ==，那么公比q 等于4．在等比数列{a n }中，2512,4a a ==，那么公比q 等于5．已知等差数列{}n a 中的四项：121,,,4a a --，等比数列{}n b 中的四项：1231,,,,4b b b --，（1）分别求出{}n a 与{}n b 的公差和公比；（2）求出212a ab -的值。
等比数列的概念与求和公式
等比数列的概念与求和公式等比数列，又称为几何数列，是数学中一种特殊的数列。
在等比数列中，每个数都是前一个数与一个常数的乘积得到的。
等比数列的概念及其求和公式是数学中基础且重要的内容。
本文将着重介绍等比数列的概念以及如何求解等比数列的和。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项成等比关系。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列中的任意一项可以表示为：a₂ = a₁ × ra₃ = a₂ × r = a₁ × r²a₄ = a₃ × r = a₁ × r³......aₙ = a₁ × r^(n-1)其中，a₂表示等比数列的第二项，a₃表示等比数列的第三项，依此类推，aₙ表示等比数列的第n项。
二、等比数列的求和公式对于一个有限的等比数列，我们希望求得所有项的和，即等比数列的部分和。
为了方便计算，我们用Sₙ来表示等比数列的前n项和。
那么，对于等比数列的求和，存在以下公式：Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、求解等比数列的实例为了更好地理解等比数列及其求和公式的应用，让我们通过一个具体的例子进行演示。
例：求解等比数列1, 3, 9, 27, 81的前5项和。
解：根据等比数列的求和公式，我们可以将问题转化为代入公式计算，即：S₅ = a₁(1 - r⁵) / (1 - r)其中，a₁ = 1（首项），r = 3（公比），n = 5（项数）。
将这些值代入公式，我们可以得到：S₅ = 1(1 - 3⁵) / (1 - 3)= 1(1 - 243) / (-2)= 1(-242) / (-2)= 121因此，等比数列1, 3, 9, 27, 81的前5项和为121。
结语等比数列是数学中重要的概念之一，它在现实生活中的应用广泛，比如金融领域的利率计算、自然科学中的指数增长模型等。
苏教版高中数学必修五《等比数列的概念和通项公式(第1课时)》教案
等比数列的概念和通项公式（第1课时）【三维目标】：一、知识与技能1.通过实例，理解等比数列的概念，能判断一个数列是不是等比数列；2.类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法。
掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题。
二、过程与方法1.通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式；2.探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力，发现等比数列与指数函数的关系。
三、情感、态度与价值观1.培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力；2.充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：等比数列的定义和通项公式。
难点：等比数列与指数函数的关系；遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。
再看下面的例子：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，…观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数q ；（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且；（3）1≠q 时，}{n a 为常数。
二、研探新知1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常．数．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）。
等比数列知识点归纳总结高中
等比数列知识点归纳总结高中等比数列是高中数学中非常重要的一部分。
在学习等比数列时，我们需要掌握一些关键的知识点。
本文将对等比数列的基本概念、通项公式、前n项和以及求和等内容进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指数列中连续两个数之间的比是一个常数的数列。
该常数称为公比，通常用字母q表示。
在等比数列中，首项一般用字母a表示。
二、通项公式通项公式是指通过将等比数列的第n项与首项a和公比q联系起来，可以直接计算得到任意一项的数值。
等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
三、前n项和前n项和是指等比数列中前n个数的和。
求等比数列前n项和的公式如下：Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和。
四、性质与应用1. 若公比q>1，则等比数列呈现出递增的趋势；若0<q<1，则等比数列呈现出递减的趋势。
2. 若公比q>1，则等比数列无上界；若0<q<1，则等比数列无下界。
3. 等比数列常常用于解决与倍数关系有关的问题，如利润增长、人口增长等。
总结：在学习等比数列时，我们需要掌握基本概念、通项公式、前n项和以及性质与应用。
等比数列在解决与倍数关系有关的问题时起到非常重要的作用。
通过理解等比数列的概念和公式，并熟练运用相关的求解步骤，我们可以更好地应对相关问题，提高解题效率。
以上就是对等比数列知识点的归纳总结，希望能对你的学习有所帮助。
在学习过程中，多进行相关的练习和实践，加深对等比数列的理解和掌握。
祝你在学习中取得好成绩！。
高中数学必修五-等比数列
等比数列知识集结知识元等比数列的通项公式知识讲解1．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的通项公式例1.若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=64，则a6等于（）A．1B．2C．4D．8例2.已知等比数列{a n}前9项的积为512，且a8=32，则a2=（）A．B．C．D．例3.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1∙a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是（）A．q=2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8=510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列等比数列的性质知识讲解1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的性质例1.已知等比数列{a n}中a5=1，若+++=5，则a2+a4+a6+a8=（）A．4B．5C．16D．25例2.等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6+a3a7=18，则log3a1+log3a2+log3a3++log3a9=（）A．12B．10C．9D．2+log35例3.已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4=-a72=-64，则tan=（）A．B．C．D．当堂练习单选题练习1.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=（）A．16B．64C．128D．256练习2.在等比数列{a n}中，a1=1，=8，则a6的值为（）A．4B．8C．16D．32练习3.等比数列{a n}的各项均为正数，已知向量=（a4，a5），=（a7，a6），且∙=4，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．12B．10C．5D．2+log25练习4.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2B．4C．8D．16练习5.设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5<K6，K6=K7>K8，则下列结论错误的是（）A．0<q<1B．a7=1C．K9>K5D．K6与K7均为K n的最大值填空题练习1.已知数列{a n}的前n项和S n=3n-1，则首项a1=___，通项公式a n=________．练习2.已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），则a6的取值范围为__．练习3.在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a8+a9+a10=_____．练习4.在等比数列{a n}中，a4，a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则a2a6a10=____．练习5.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=_____．练习6.已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*，sin a n=1，则数列{a n}公比q的取值集合为______________．解答题练习1.'（1）在等差数列{a n}中，已知a1=3，d=4，a n=59，求n；（2）在等比数列{a n}中，已知，求a1与q．'练习2.'已知等差数列{a n}中，a2+a3=14，a4-a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a1，b3=a3，若b6=a m，求实数m的值．'练习3.'已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a>0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）当{b n}是公比为a-1的等比数列时，{a n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．'。
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第9课时 等比数列的概念和通
项公式
【分层训练】
1.在数列{}n a 中，对任意n N *
∈，都有
120n n a a +-=，则
12
34
22a a a a ++等于（ ）
A 14
B 13
C 1
2 D 1
2.{}n a 是公比为2的等比数列，且147a a a ++28100a += ,则
36930a a a a ++++ 等于（ ）
A 25
B 50
C 125
D 400 3.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数
()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点
的个数为（ ）
A 0
B 1
C 2
D 1或2 4. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，
236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 5.设23,26,212a b c ===，那么,,a b c
（ ）.
A 既是等差数列，又是等比数列
B 是等差数列，但不是等比数列
C 是等比数列，但不是等差数列
D 既不是等差数列，也不是等比数列 6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *
∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____. 7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）. 8.已知数列{}n a 是等比数列，
,,m n p N *
∈，
且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.
【拓展延伸】
9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
10.在数列{}n a 中，其前n 项和
322
n n n n
S -=，()n N *
∈,求证数列{}n a 是等比数列.。