人教版八年级上册数学 12.3 第2课时角平分线的判定参考学案

八年级数学上册-人教版八年级上册数学 12.3 第2课时角平分线的判定学案2

第2课时角平分线的判定学习内容：通过独立思考和小组合作，能够证明几何命题。

学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤2、进一步理解角平分线的判定及运用学习重点：角平分线的判定及运用学习难点：角平分线的判定的灵活运用学习方法：探究、交流、练习学习过程：一、课前巩固1、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等二、学习新知（一）思考：证明一个几何命题的一般步骤：①；②；③。

（二）应用：1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2、如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？（2．比例尺为1：20000是什么意思？三、基础练习1.到角的两边距离相等的点在上。

2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（）A.三条边上的高线的交点；B. 三个内角平分线的交点；C.三条边上的中线的交点；D.以上结论都不对。

3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是。

4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证 : ∠BAO=∠CAO四、拓展延伸已知:BD ⊥AM 于点D,CE ⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F 在∠A 的平分线上.五、课堂小结六、当堂检测1、图中的直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B.两处C.三处D.四处2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交D NE BF MC AOA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证：DF＝EF3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

及反思人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质优秀教学案例

（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请几名学生代表分享他们小组的讨论成果，通过学生的讲解，总结出角的平分线的性质以及应用方法。我还会对学生的讲解进行点评，补充和强调重点知识点，确保每位学生都能对角的平分线有清晰的认识。
（五）作业小结
为了巩固学生对本节课知识的学习，我会布置以下作业：
1.完成课本上的练习题，巩固角的平分线的性质。
（二）过程与方法
1.采用自主探究、小组合作的学习方式，引导学生主动发现角的平分线的性质，培养他们的观察、分析、归纳能力。
2.通过问题引导，让学生在解决具体几何问题时，学会运用角的平分线性质，提高解题效率。
3.设计丰富的教学活动，如讨论、展示、练习等，让学生在实践中掌握角的平分线相关知识，提高他们的实际操作能力。
4.注重数学方法的传授，让学生在学习过程中掌握几何图形的基本分析方法，培养他们的几何思维。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学几何学科的兴趣，使他们感受到数学学习的乐趣，培养他们的学习自信心。
2.培养学生面对几何问题时，勇于挑战、积极思考的良好品质，使他们养成独立解决问题的习惯。
3.通过对角的平分线的学习，让学生认识到几何知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的学习责任感。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究角的平分线性质。设计一系列具有启发性的问题，如：“角的平分线是什么？”“角的平分线有什么性质？”“如何运用角的平分线性质解决实际问题？”等。通过这些问题，激发学生的好奇心，让他们在解决问题的过程中，掌握角的平分线相关知识。
（三）小组合作
（二）问题导向，激发学生思维
本案例采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究角的平分线性质。设计具有启发性的问题，激发学生的好奇心，培养他们的逻辑思维和几何直观。在解决问题的过程中，学生能够逐步掌握角的平分线相关知识，提高解决问题的能力。

【推荐】人教版八年级数学上册导学案：12.3 第2课时角平分线的判定

第十二章全等三角形角平分线的性质第2课时角平分线的判定. . ．．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上. ）①三角形的三条角平分线相交于点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= .图1 图22.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定四、我的疑惑______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点即可1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,则下列结论一定正确的是( )A.AE=BEB.DB=DEC.AE=BDD.∠BCE=∠ACE2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证点P在∠BAC的平分线上.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.方法总结三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1.如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由． 1. 2.3.3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。

575.八年级新人教版数学上册12.3 第2课时角平分线的判定2-教案

第2课时角平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（二）合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP 能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）巩固训练（四）小结请你说说本课的收获与困惑.（五）作业初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

新人教版八年级上册数学12.3 第2课时角平分线的判定2教案

第2课时角平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（二）合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）巩固训练（四）小结请你说说本课的收获与困惑.（五）作业。

人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》第二课时参考教案

§12．3 角的平分线的性质〔二〕教学目标〔一〕教学知识点：角的平分线的性质〔二〕能力训练要求1．会表达角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上〞．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．〔三〕情感与价值观要求通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．教学重点：角平分线的性质及其应用．教学难点：灵活应用两个性质解决问题．教学方法：探索、归纳的方法．教学过程一．创设情境，引入新课[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？二．导入新课角平分线的性质即角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如下图的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．问题1：你能用文字语言表达所画图形的性质吗？问题2：〔出示投影片〕能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞这句话．请填下表：学生通过讨论作出以下概括：事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由事项推出的事项：PD=PE．【师】如何证明？请同学们试一试。

证明：略〔详见课本P49页〕。

于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？〔出示投影〕问题3：根据下表中的图形和事项，猜测由事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：于是，我们得到角平分线的性质的逆定理：【师】在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

【师】你能证明吗？请同学们试一试。

下面请同学们思考一个问题．思考：如下图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路穿插处500m，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？分析：1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？讨论结果展示：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：作法：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以假设遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．三．随堂练习1．课本P50页练习．第1、2题。

12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。

初中数学八年级上册12.3.2 角的平分线的判定

12.3.2 角的平分线的判定学习目标：1.掌握角的平分线的判定方法.2.掌握角的平分线的性质与判定的综合应用.一、学前准备1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CD =4cm ，则点D 到AB 的距离为 .2.如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ， AD =3，BC =10，则△BDC 的面积是 .二、预习导航（一）预习指导活动1用几何语言表达角平分线的判定定理（阅读教材第49～50页，掌握角平分线的判定方法及其表示方法）3.（1）角平分线的判定定理：_____________________________ .（2）（1）中的“已知”是：______________________________________________________；“结论”是：_______________________________________________________________.几何推理形式：如图，∵ ， ∴ . 第1题图 ACB D E第2题图 B D（3）如图，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，PD =PE .求证：OC 是∠AOB 的平分线.（4）学习课本50页例题，你能得出什么结论？预习疑惑：（二）预习检测4.到三角形三边的距离相等的点是 .5.（2016春•哈尔滨校级月考）如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ，OB =OC . 求证：∠1=∠2.21OAB C E D第3题图三、课堂互动问题1角平分线的性质与判定的综合应用6.如图，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC .求证：AE 是∠DAB 的平分线.方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则下列五个结论：①AD 上任意一点到AB ，AC 两边的距离相等；②AD 上任意一点到B ，C 两点的距离相等；③AD ⊥BC ，且BD =CD ；④∠BDE =∠CDF ；⑤AE =AF ．A其中，正确的有_______________________.（填写序号）2.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF，∠BAD=20°，求∠BAC的度数．（第1（第2《12.3.2 角的平分线的判定》参考答案一、学前准备1.答案：4cm .2.答案：15.二、预习导航3.（1）角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（2）（1）中的“已知”是：在角的内部有一个点，它到角的两边的距离相等；“结论”是：这个点在角的平分线上.几何推理形式：如图，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， PD =PE ，∴∠AOC =∠BOC .（3）证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠ODP =∠OEP =90°.在Rt △ODP 和Rt △OEP 中，PD PE OP OP==⎧⎨⎩ ∴Rt △ODP ≅Rt △OEP (HL) .∴∠DOP =∠EOP .∴OC 是∠AOB 的平分线.（4）三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等.4.三角形的三条角平分线的交点.5.证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠ODB =∠OEC =90°．在△ODB 和△OEC 中，ODB OEC DOB EOC OB OC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ODB ≌△OEC ．∴OD =OE ．∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OD =OE ， ∴AO 平分∠BAC ．∴∠1=∠2.三、课堂互动6.证明：如图，过点E 作EF ⊥AD 于F ，∵∠C =90°，DE 平分∠ADC ， ∴EC =EF ，∵E 是BC 的中点，∴BE =EC ，∴BE =EF ，又∵∠B =90°，EF ⊥AD ，∴AE 是∠DAB 的平分线．五、达标检测1.答案：①②③④⑤.2.答案：D.3.解：∵D 是BC 的中点，∴BD =CD ．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中， BD CD BE CF ==⎧⎨⎩ ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）， ∴DE =DF ，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的角平分线．∵∠BAD=20°，∴∠BAC=2∠BAD=40°．。

人教版数学八年级上册12 第2课时角平分线的判定导学案

第十二章全等三角形AOB = ．图1图22．如图2，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D ，C ，AD与BC 相交于点P ，若PA =PB ，则∠1与∠2的大小关系是 ( )A ．∠1=∠2B ．∠1>∠2C ．∠1<∠2D ．无法确定四、我的疑惑一、______________________________二、要点探究探究点1：角平分线的判定问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．证明猜想：已知：如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD =PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．知识总结：判定定理：．应用所具备的条件：（1）位置关系：；（2）数量关系：．定理的作用：．应用格式：∵，课堂探究教学备注配套PPT 讲授2．探究点1新知讲授（见幻灯片5-8）∴点P在∠AOB的平分线上．例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？方法总结:根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点．探究点2：三角形的内角平分线活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？发现：活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有么数量关系？发现：证明结论：已知：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．想一想：点P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．变式1：如图，在直角△ABC 中，AC =BC ，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC ，BD 平分∠ABC ，AP 、BD 交于点O ，过点O 作OM ⊥AC ，若OM ＝4．（1）求点O 到△ABC 三边的距离和；（2）若△ABC 的面积为32，求△ABC 周长．典例精析例2：如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠教学备注3．探究点2新知讲授（见幻灯片9-18）分∠BAC ，并说明理由．3．已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于，CN ⊥BD 于N ．求：CM ＝CN ．4．如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上．拓展提升：5．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置．l 1l 3l 2参考答案自主学习一、知识链接1．对应边相等的两个三角形是全等三角形．2．到角两边的距离相等的是角平分线上的点．二、新知预习1．解：如图．三角形的角平分线交于一点2．解：（1）平分线（2）①一三边的距离相等②角平分线的交点三、自学自测1．60°2．A四、我的疑惑课堂探究三、要点探究探究点1：角平分线的判定问题：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上．证明猜想：证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△PDO和Rt△PEO中，,, OP OP PD PE=⎧⎨=⎩∴Rt△PDO≌Rt△PEO（，D即为所求．探究点2：三角形的内角平分线活动1发现三角形的三条角平分线相交于一点活动2发现过交点作三角形三边的垂线段相等证明结论：证明：过点P 作PD ，PE ，PF 分别垂直于AB ，BC ，CA ，垂足分别为D ，E ，F ． ∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD =PE ．同理PE =PF ．∴PD =PE =PF ．即点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．想一想点P 在∠A 的平分线上．变式1解：（1）过点O 作OE ⊥AB 于点EOE ⊥AB 于点N ．∵AP 、BD 分别平分∠BAC 、∠ABC ，OM ⊥AC ，OE ⊥AB ，OE ⊥AB ，且OM ＝4， ∴OE =ON =OM =4．∴点O 到△ABC 三边的距离和为3×4=12．（2）连接OC ，则S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC =111222AB OE BC ON AC OM ⋅+⋅+⋅ ()1143264.22OM AB BC AC =⋅++=⨯⨯= 典例精析例2A 解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12∠ACB ，∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－40°＝140°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∴∠BOC ＝180°－70°＝110°．当堂检测1．解：如图，点P 即为所求．2．解：AD 平分∠BAC ．理由如下： ∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∴AD平分∠BAC．3．证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD．在△AOD与△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD．∴∠ADO=∠BDO．∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN．4．证明：过点F作FG⊥AE于G，F⊥BC于M．∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG＝FM．又∵点F在∠CBD的平分线上，F⊥BC，∴FM＝FH．∴FG＝FH．∴点F在∠DAE的平分线上．拓展提升5．解：如图，可选择的地址有4处．【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。

数学人教八年级上册(2013年新编)12-3-2 角的平分线的判定(导学案)

12.3.2 角的平分线的判定导学案一、学习目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.二、学习过程：课前自测角平分线的性质定理：文字语言：__________________________________________________.几何符号：________________________________________________________________________合作探究思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）猜想：__________________________________________________.把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：已知:__________________________________________________________.求证:________________________________________________.※角的平分线的判定：文字语言：________________________________________________.几何语言：____________________________________________________________________思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？【针对练习】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.典例解析例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.例2.如图，在△AB C中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110° B．120° C．130° D．140°例3.如图，P A、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.【针对练习】如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.例 4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+C D.达标检测1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时，点P在∠AOB的平分线上.2.如图,已知P A⊥ON于A,PB⊥OM于B,且P A=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°，则∠PCA=______.3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=D C．求证:AD是∠BAC 的平分线.。

12.3 第2课时角平分线的判定人教版八年级上册数学 12.3 第2课时角平分线的判定教案1

第2课时角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选A.方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【类型二】三角形内角平分线的应用已知：如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．解：(1)可选择的地点有4处，如图：P 1、P 2、P 3、P 4，共4处．(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．三、板书设计1．角平分线的判定定理．2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．。

新人教版八年级上册数学12.3 第2课时角平分线的判定导学案

第十二章全等三角形角平分线的性质第2课时角平分线的判定. . ．．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上.）①三角形的三条角平分线相交于点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= . 图2垂足分别为D,C,AD 与BC 相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 ______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点E,F,AE=AF.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . 例2：已知：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.方法总结:三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140° 已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 、BE 交于O ，∠1＝∠2. 求证：OB ＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1. 如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。

人教版八年级数学上册教案：12.3 第2课时角平分线的判定1【精品】

第2课时角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎨⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选A.方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【类型二】三角形内角平分线的应用已知：如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．解：(1)可选择的地点有4处，如图：P、P2、P3、P4，共4处．1(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．三、板书设计1．角平分线的判定定理．2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．。

新人教版初中八年级数学上册12.3 第2课时角平分线的判定学案

第2课时角平分线的判定一、学习目标1、掌握角的平分线的性质；2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．二、温故知新1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.三、自主探究合作展示（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。

已知：如图1，求证：证明：图1图2结论：（二）思考：如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（三）应用举例例：如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．图3例题反思：四、双基检测1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D点到直线AB 的距离是 cm ．2.如图5，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.图4BDPABC D 图53、如图6，所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点O。

求证：AO⊥BC。

五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

C 图6。

人教版八年级数学上册12.3第2课时角平分线的判定学案

第 2 课时角均分线的判断一、学习目标1、掌握角的均分线的性质；2、能应用角均分线的相关知识解决一些简单的实质问题．二、温故知新1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的抗命题.1、写出命题“角均分线上的点到角的两边的距离相等”的抗命题.三、自主研究合作展现（一）思虑：命题“角均分线上的点到角的两边的距离相等”的抗命题是不是真命题？假如真命题，请给出证明过程。

已知：如图1，求证：证明：图 1图 2结论：（二）思虑：如图 2 所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交错处 500m，这个集贸市场应建于哪处（在图上标出它的地点，比率尺为1： 20000）？（三）应用举例例：如图 3，△ ABC 的角均分线BM 、CN 订交于点P．求证：点P 到三边 AB 、 BC 、CA 的距离相等．图 3例题反省：四、双基检测1.如图 4，在△ ABC 中， C 90 ，AD均分CAB ， BC8cm， BD5cm ，那么D点到直线 AB 的距离是cm．AC D图 42.如图 5，已知在Rt△ ABC 中，∠ C=90 ° , BD 均分∠ ABC, 交 AC 于 D .(1)若∠ BAC =30° , 则 AD 与 BD 之间有何数目关系，说明原因 ;(2)若 AP 均分∠ BAC，交 BD 于 P, 求∠ BPA 的度数 .PB图 53、如图 6，所示，在△ ABC 中， AB=AC ， BD ⊥ AC ，CE⊥ AB ，垂足分别为 D、 E，BD 、 CE 订交于点 O。

求证： AO ⊥BC 。

AEDOB图 6五、学习反省请你比较学习目标，谈一下这节课的收获及疑惑。

B ADCC。

人教版八年级数学上册导学案：12.3 第2课时角平分线的判定【精品】

第十二章全等三角形角平分线的性质第2课时角平分线的判定. . ．．. 的逆命题.）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上. ）①三角形的三条角平分线相交于点，它到 . ②三角形内，到三边距离相等的点是 . °,则∠AOB= .图1 图22.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定四、我的疑惑______________________________ _____利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点即可1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,则下列结论一定正确的是( )A.AE=BEB.DB=DEC.AE=BDD.∠BCE=∠ACE2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证点P在∠BAC的平分线上.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.方法总结三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.二、课堂小结角平分线的判定定理内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判断一个点是否在角的平分线上三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.1.如图，某个居民小区C 附近有三条两两相交的道路MN 、OA 、OB ，拟在MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA 、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥AC 交BC 于点F ，点P 是 AD 上一点，且点D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由． 1. 2.3.3.已知：如图，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上.32。

八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质12.3.2角平分线的判定教案

第十二章全等三角形12。

3角的平分线的性质课时2 角的平分线的判定【知识与技能】掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.【过程与方法】通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度与价值观】通过认识的升华,使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.角的平分线的判定.灵活运用角的平分线的判定解题.多媒体课件。

教师出示教材P49思考:如图12—3—4,要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m。

这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000）？学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评,再将这个问题作为本节课开始的一个悬念.探究1:角的平分线的判定教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动手操作、探究,获得问题的结论.从实践中可知:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,将条件和结论互换:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演:已知：如图12-3—5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E,PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。

证明：经过点P作射线OC，如图12-3—5.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线。

∴点P在∠AOB的平分线上.然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论,确定这个集贸市场应该建于何处.学生分组讨论后回答。

接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性,即只要是角的平分线上的点，它到此角的两边一定等距离,而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性,即只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线）。

人教版八年级上册数学 12.3 第2课时 角平分线的判定参考学案

八年级数学上册-人教版八年级上册数学 12.3 第2课时 角平分线的判定学案2

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